Разное

Квадрат пирсона: Исследовательская работа «Квадрат Пирсона»

Содержание

Квадрат Пирсона в задачах на смеси из двух и трех растворов (сплавов)

Салтыкова Руслана Алусьевна

Учитель математики МБОУ СОШ д. Новая Бура

Краснокамского района Республики Башкортостан

КВАДРАТ ПИРСОНА В ЗАДАЧАХ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ

Цели и задачи: показать и раскрыть суть способа решения задач на сплавы и смеси, используя «квадрат Пирсона».

В работе раскрывается способ решения задач на концентрацию веществ, который предложил английский математик и статистик Карл (Чарльз) Пирсон (1857-1936).

Задачи на смеси, растворы и сплавы входят в обязательный курс школьной математики и встречаются на Едином государственном экзамене, но умеют решать их, увы, немногие. Постараемся исправить эту ситуацию и научимся решать данную разновидность задач с помощью квадрата Пирсона (или «методом креста»).

Квадрат Пирсона – это механический способ, который позволяет рационально и экономно проводить вычисления при решении задач на концентрацию, что особенно ценно на ЕГЭ и ГИА.

Применение квадрата Пирсона для смесей из двух сплавов достаточно хорошо раскрыто во многих исследовательских работах, опубликованных в различных изданиях, в том числе и в интернет-ресурсах. Но для смесей из трех и более сплавов вопрос применения данного метода остается открытым. Мало того, в некоторых исследовательских работах прямо указывается на невозможность применения «метода креста» для смесей из трех растворов. В данной работе показано, что этот способ можно применить для смесей из любого количества сплавов.

Ключевые слова: квадрат Пирсона, смеси, растворы, сплавы.

  1. Теоретическая часть.

Для начала примем некоторые допущения:

  • все получающиеся смеси и сплавы однородны;

  • для всех веществ выполняется закон сохранения массы (или объема): масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.

Определение. Процентным содержанием (концентрацией или массовой долей) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.

Сначала сформулируем и решим задачу в общем виде – составив таблицу. Допустим, имеется два раствора с концентрациями х1 % и х2 %, из которых требуется приготовить раствор с заданной концентрацией k %.

Пусть m1 – масса первого вещества, m2 – масса второго вещества, тогда при смешивании общая масса смеси будет равна m = m1 + m2.

При этом массовые доли растворенных веществ в данных растворах равны соответственно 0,01 х1 m1 и 0,01 х2 m2.

Заполним таблицу:

Процентное содержание вещества (%)

Масса вещества (кг)

Массовая доля растворенного вещества

I раствор

х1

m1

0,01 х1 m1

II раствор

х2

m2

0,01 х2 m2

Смесь

k

m = m1 + m2

0,011 m1 + х2 m

2)

0,01 k m

или 0,01 k (m1 + m2)

Очевидно, что выполняется равенство:

0,01∙ k ∙ (m1 + m2) = 0,01∙ (х1m1 + х2m2),

k ∙ (m1 + m2) = х1m1 + х2m2,

или х1m1 + х2m2 = km, (1)

откуда получаем уравнение:

m1 (k – х1) + m2 (k – х2) = 0. (2)

Применим к этой ситуации другой подход. Построим квадрат и начертим обе его диагонали. Слева от квадрата рядом с его вершинами запишем одну над другой процентное содержание растворенного вещества в исходных растворах, а в его центре – процентное содержание вещества в смеси, которую нужно приготовить, и общую массу вещества. Внутри квадрата у соответствующих вершин запишем массы взятых растворов.

Теперь выполним следующие действия:

  1. Умножим выражения, стоящие внутри и снаружи квадрата, рядом с верхней, а затем и нижней вершинами. Согласно формуле (1), их сумма равна произведению чисел, стоящих в центре квадрата.

  2. Вычтем вдоль каждой диагонали квадрата процентные содержания веществ и запишем у свободного конца диагонали, умножив их на соответствующие массы исходных растворов.

Получим выражения: (k – x

1) ∙ m2 и (k – x2) ∙ m2 .

По формуле (2) сумма этих выражений равна 0.

Таким образом, мы получили механический способ решения таких задач с помощью квадрата Пирсона.

Аналогично решается задача и для смеси из трех и более сплавов.

  1. Практическая часть.

Рассмотрим применение этого способа на конкретных примерах.

Задача 1.

В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Объем смеси равен 5 + 7 = 12 (л).

Построим квадрат Пирсона.

По формуле (1) имеем:

12 ∙ 5 + 0 ∙ 7 = 12 х,

12 х = 60,

х = 5 (%).

Ответ: концентрация получившегося вещества равна 5 %.

Задача 2.

Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Поскольку количество вещества одинаково, то массу каждого раствора можно принять равной 1 кг. Тогда масса смеси равна 1 + 1 = 2 (кг).

Как и в предыдущей задаче, применим квадрат Пирсона.

Опять применим первую формулу:

15 ∙ 1 + 19 ∙ 1 = 2 х,

2 х = 34,

откуда х = 17 (%).

Ответ: концентрация смеси равна 17 %.

Задача 3.

Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Общий объем смеси равен 4 + 6 = 10 (л).

Составим уравнение по формуле (1):

10 х = 15 ∙ 4 + 25 ∙ 6,

10 х = 210,

х = 21 (%).

Ответ: концентрация смеси равна 21 %.

Задача 4.

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Решение.

Пусть масса первого сплава равна х кг,

тогда масса второго сплава – (200 – х) кг.

Воспользуемся формулой (1):

10 х + 30 ∙ (200 – х) = 25 ∙ 200,

10 х + 6000 – 30 х = 5000,

20 х = 1000,

х = 50 (кг) – масса первого сплава.

200 – х = 200 – 50 = 150 (кг) – масса второго сплава.

150 – 50 = 100 (кг) – разность масс второго и первого сплавов.

Ответ: на 100 кг меньше.

Задача 5.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение.

Построим квадрат Пирсона и сложим два выражения, записанные справа от квадрата. Согласно формуле (2), эта сумма равна 0.

Получаем уравнение:

20 х – 10 (х + 3) = 0,

откуда х = 3 (кг) – масса первого сплава,

тогда х + 3 = 3 + 3 = 6 (кг) – масса второго сплава.

Масса третьего сплава равна:

3 + 6 = 9 (кг).

Ответ: 9 кг.

Задача 6.

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение.

Пусть масса первого раствора равна х кг, а второго – y кг.

Заполним квадраты для трех растворов:

По формуле (2) составим систему линейных уравнений:

6 х – 24 y + 360 = 0,

11 х – 19 y – 90 = 0,

из которой получаем х = 54 (кг).

Ответ: 54 кг.

Задача 7.

Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение.

Пусть процентное содержание вещества в первом растворе равно х %, а во втором – y%.

При заполнении первого квадрата масса смеси равна 30 + 20 = 50 (кг), а во втором – примем массы растворов равными 1 кг, тогда общая масса смеси равна 1 + 1 = 2 (кг).

Составим систему уравнений:

30 х + 20 y = 3400,

х + y = 140,

откуда х = 60 (%).

Масса кислоты, содержащейся в первом сосуде, равна

60 % (от 30 кг) = 0,6 ∙ 30 = 18 (кг).

Ответ: 18 кг.

Задача 8.

Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 15% воды. Сколько получится сухих грибов из 34 кг свежих грибов?

Решение.

Содержание воды в свежих грибах 90 %, следовательно, содержание «мякоти» равно 10 %. А в сушеных грибах содержится 100 – 15 = 85 (%) «мякоти».

В качестве второго «раствора» можно рассматривать 0 кг грибов с содержанием «мякоти» 0 %.

Тогда квадрат Пирсона выглядит так:

Составим и решим уравнение:

85 х = 34 ∙ 10 + 0,

откуда х = 4 (кг).

Ответ: 4 кг свежих грибов.

Задача 9.

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Решение.

По аналогии с предыдущей задачей содержание «мякоти» в винограде равно 100 – 90 = 10 (%), а в изюме – (100 – 5) = 95 %.

Составим уравнение по формуле (1):

10 х = 95 ∙ 20,

х = 190 (кг).

Ответ: 190 кг винограда.

Задача 10. Ну, а эта задача решается совсем просто.

Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35 % золота, а во втором – 60 %. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40 % золота?

Решение.

Построим квадрат Пирсона согласно условию задачи.

Очевидно, что сплавы надо взять в пропорции 20 : 5 = 4 : 1.

Ответ: первого сплава надо взять в 4 раза больше, чем второго.

Литература

  1. Задачи открытого банка заданий по математике. http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems?offsetStr=36&posMask=1024&showProto=true

  2. Азия, А.П. Вольпер, И.М. Квадрат Пирсона / А. П. Азия А., И. М. Вольпер// Квант. – 1973. - № 3. – С. 61. http://kvant.mccme.ru/1973/03/kvadrat_pirsona.htm

Научно-исследовательская работа "Квадрат Пирсона"

XIV Районная научно-практическая конференция «Эврика»

Направление: Математика

Исследовательская работа на тему:

«Квадрат Пирсона»

Автор:

Дугулубгов Ислам, ученик 8 класса

МОУ СОШ№1 с.п.В.Куркужин

Руководитель:

Дугулубгова Фатима Султановна,

учитель математики высшей категории

2018год

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………3

1. Карл Пирсон (1857-1936) - английский математик ……………………….4

2.Квадрат Пирсона…..……………………………………………………….…..5

3.Прототипы ЕГЭ задач профильной математики на сплавы и смеси……….5

4.Практическая часть: Решение задач с помощью квадрата Пирсона..……..7

Заключение ………………………………………………………………………10

Список литературы ……………………………………………………………..11

Приложение 1………………………………………………………………….…12

Приложение 2………………………………………………………………….…13

Введение.

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой. Любому завороженному математическими тайнами человеку интересно знать историю математических открытий, разные способы решения задач, уметь использовать математические теоремы для решения сложных задач. Заинтересовался решениями задач на сплавы и смеси. «В математике нет царских путей» но я решил найти легкий способ решения. Для этого мы с моим учителем решили изучить квадрат Пирсона. В моей работе я рассмотрел задачи на сплавы и смеси, которые на взгляд учащихся старших классов являются сложными. В данной работе расскажем о способе решения задач на концентрацию веществ, который предложил английский математик и статистик Карл (Чарльз) Пирсон.

Актуальность: умение решать задачи на сплавы и смеси помогут мне повысить знания по математике, по химии и пригодятся на ЕГЭ.

Объект исследования:  задачи на сплавы и смеси.

Предмет исследования: «квадрат Пирсона» при решении задач на сплавы и смеси.

Цель исследования: показать и раскрыть суть способа решения задач на сплавы и смеси, используя «квадрат Пирсона».

Задачи:

-изучить квадрат Пирсона, подобрав необходимую литературу;

-выбрать проблемные задачи, после опроса учеников старших классов;

-проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Методы исследования: сбор информации, обработка данных, анализ.

Гипотеза:  для решения задач на смеси и сплавы существует простейший метод решения - «квадрат Пирсона».

1. Карл Пирсон (1857-1936) - английский математик, биолог, статистик, философ, член Лондонского королевского общества (с 1896). Родился в Лондоне. Окончил Кембриджский университет. Учился в Гейдельбергском и Берлинском университетах. С 1884 по 1911—профессор прикладной математики и механики Лондонского университетского колледжа.

Этот способ имеет ещё два названия: химики называют этот способ метод креста или конверт Пирсона.

2. Квадрат Пирсона.

Ключевые слова: квадрат Пирсона, смеси, растворы, сплавы.

Обозначения: m1 –массовая доля I раствора (вещества),

m2 - массовая доля II раствора(вещества),

m - искомая массовая доля растворенного вещества в растворе,

Х1-процентное содержание 1 вещества,

Х2-процентное содержание 2 вещества,

R-процентное содержание полученного вещества, после концентрации.

3.Задачи для решения мы взяли из образовательного портала «Решу ЕГЭ», профильная математика, прототипы задании 11 – текстовые задачи, задачи на смеси и сплавы.

7. Задание 11 № 99571

В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 5

8. Задание 11 № 99572

Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 17

9. Задание 11 № 99573

Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ:21

11. Задание 11 № 99575

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Ответ: 100

12. Задание 11 № 99576

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Ответ: 9

Задача из жизни.

Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров воды нужно добавить к 60 литрам морской воды с 45% содержанием?

4. Практическая часть. Решение задач.

7. Задание 11 № 99571

В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ:5

8. Задание 11 № 99572

Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ: 17

9. Задание 11 № 99573

Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Ответ:21

11. Задание 11 № 99575

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Ответ: 100

12. Задание 11 № 99576

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Ответ: 9

Задача из жизни.

Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров воды нужно добавить к 60 литрам морской воды с 45% содержанием?

Заключение.

Для решения задач на концентрацию существует оригинальный метод решения - «квадрат Пирсона». Как и все методы решений, «квадрат Пирсона» имеет свои преимущества и недостатки. Одним из преимуществ этого способа является то, что он доступен нам, ученикам. Также «квадрат Пирсона» полезен для домохозяек, чтобы получать нужную концентрацию уксуса или сиропа. Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов. То есть если нужно смешать три или более веществ, «квадрат Пирсона» не поможет. Немецкий физик 18-го столетия Лихтенберг сказал: «То, что вы были вынуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете снова воспользоваться, когда в том возникнет необходимость». Поэтому я решил исследовать метод решения задач на смеси и сплавы, используя «квадрат Пирсона», чтобы в дальнейшем использовать этот метод в подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

Изучив тему, мы провели опрос учащихся 9-11 классов в виде небольшой анкеты (Приложение 1). Результаты показали, что некоторые учащиеся умеют решать задачи на смеси и сплавы другими способами, а квадрат Пирсона знаком лишь одному ученику 11 класса.

Итог нашей работы – брошюра «Квадрат Пирсона» (Приложение 2).

Надеюсь, что моя работа найдет практическое применение для подготовки учащихся к экзаменам.

Считаю, что цели и задачи исследовательской работы полностью реализованы.

Список литературы:

  1. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967.

  2. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ (сайт Гущина)

  3. Интернет- ресурсы.

Приложение 1

Анкета

Вопросы:

1. Решаете ли вы задачи на уроках математики и химии задачи на смеси и сплавы?

Да Нет

2.Умеете ли вы решать задачи на смеси и сплавы ? Да Нет

3.Легко ли вам решать задачи на смеси и сплавы? Да Нет

4. Знаком ли вам квадрат Пирсона? Да Нет

Результаты опроса:

1 вопрос

2 вопрос

3 вопрос

4 вопрос

Ответили - Да

9

10

5

8

0

0

10

15

9

3

0

0

11

9

4

3

2

1

Итого:

34

18

14

2

1

Приложение 2

Брошюра «Квадрат Пирсона»

Квадрат Пирсона в задачах на смеси и сплавы

Квадрат Пирсона в задачах на смеси и сплавы

Верба  Д.С. 1

1БОУ СОШ №1

Колокольцева  А.В. 1

1БОУ СОШ №1

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, всё более внедряется в традиционно далекие от неё области.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках.

Очень часто при решении задач приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. Задачи на смеси, растворы и сплавы входят в обязательный курс школьной математики и встречаются на Едином государственном экзамене, но умеют решать их, увы, немногие. В некоторых случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчёт. Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «квадрата Пирсона», или, что тоже самое, правило креста). Квадрат Пирсона – это механический способ, который позволяет рационально и экономно проводить вычисления при решении задач на концентрацию, что особенно ценно на ЕГЭ и ГИА. Поэтому, зная, два способа решения задач на растворы, один из них всегда можно применить в нужной ситуации, этим и показана актуальность данной темы.

Цель данной работы: изучить и раскрыть суть способа решения задач на сплавы и смеси, используя «квадрат Пирсона», сравнить данный способ решения с алгебраическим способом и сделать выводы.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

изучить способ «квадрат Пирсона» при решении задач на смеси и сплавы;

провести исследование при решении задач на смеси и сплавы из сборников ОГЭ и ЕГЭ с помощью данного метода;

провести сравнительный анализ успешного решения данного типа задач среди одноклассников и практического применения данного типа задач.

Историческая справка.

Карл Пирсон — английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, один из основоположников биометрики. Автор свыше 650 опубликованных научных работ. В русских источниках иногда называется Чарлз Пирсон.

Родился в семье преуспевающего лондонского адвоката. Закончил Кембриджский университет в 1879 году. Затем изучал физику в Гейдельбергском и Берлинском университетах. С 1884 по 1911 год — профессор прикладной математики и механики Лондонского университета, с 1911 года — директор Лаборатории евгеники Лондонского университета, заслуженный профессор.

Пирсон много усилий приложил для применения своих открытий в прикладных областях, прежде всего в биологии, евгенике, медицине. Ряд работ относится к философии и к истории науки. Наукой Пирсон продолжал заниматься до самой своей смерти – даже после выхода на пенсию. Скончался Карл в 1936-м.

Теоретические основы.

Для начала примем некоторые допущения:

все получающиеся смеси и сплавы однородны;

для всех веществ выполняется закон сохранения массы (или объема): масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.

Определение. Процентным содержанием (концентрацией или массовой долей) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах. Терминология: процентное содержание вещества; концентрация вещества; массовая доля вещества. Всё это синонимы.

Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В распоряжении имеется два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно.Сначала сформулируем и решим задачу в общем виде – составив таблицу. Допустим, имеется два раствора с концентрациями х1 % и х2 %, из которых требуется приготовить раствор с заданной концентрацией k %.

Пусть m1 – масса первого вещества, m2 – масса второго вещества, тогда при смешивании общая масса смеси будет равна m = m1 + m2.

При этом массовые доли растворенных веществ в данных растворах равны соответственно 0,01∙ х1m1 и 0,01∙ х2m2.

Заполним таблицу:

 

Процентное содержание вещества (%)

Масса вещества (кг)

Массовая доля растворенного вещества

I раствор

х1

m1

0,01∙ х1m1

II раствор

х2

m2

0,01∙ х2m2

Смесь

k

m = m1 + m2

0,01∙ (х1m1 + х2m2)

0,01∙ km

или 0,01∙ k ∙ (m1 + m2)

Очевидно, что выполняется равенство:

0,01∙ k ∙ (m1 + m2) = 0,01∙ (х1m1 + х2m2),

k ∙ (m1 + m2) = х1m1 + х2m2,

или х1m1 + х2m2= km, (1)

откуда получаем уравнение:

m1 ∙ (k – х1) + m2 ∙ (k – х2) = 0. (2)

Применим к этой ситуации другой подход. Построим квадрат и начертим обе его диагонали. Слева от квадрата рядом с его вершинами запишем одну над другой процентное содержание растворенного вещества в исходных растворах, а в его центре – процентное содержание вещества в смеси, которую нужно приготовить, и общую массу вещества. Внутри квадрата у соответствующих вершин запишем массы взятых растворов.

 

Х1

k

m1

 

m2

m

 

Х2

Теперь выполним следующие действия:

Умножим выражения, стоящие внутри и снаружи квадрата, рядом с верхней, а затем и нижней вершинами. Согласно формуле (1), их сумма равна произведению чисел, стоящих в центре квадрата.

Вычтем вдоль каждой диагонали квадрата процентные содержания веществ и запишем у свободного конца диагонали, умножив их на соответствующие массы исходных растворов.

Получим выражения: (k – x1) ∙ m2 и (k – x2) ∙ m2 .

По формуле (2) сумма этих выражений равна 0.

Таким образом, мы получили механический способ решения таких задач с помощью квадрата Пирсона.

Аналогично решается задача и для смеси из трех и более сплавов.

Решение задач из сборников ОГЭ и ЕГЭ.

Задача 1.(ОГЭ-2018, 12 вариант) Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение:

1 способ (алгебраический). Пусть х-концентрация в 1 сосуде, у- концентрация во втором, тогда 30х кг кислоты в 1 сосуде, а 20у кг кислоты во втором, если растворы смешать: 30х+20у=0,68*50, если смешать равные массы (примем за 1 кг), то:х+у=0,7*2

Составим систему уравнений:

3 0х+20у=34,

х+у=1,4

30*(1,4-у)+20у=34,

42-30у+20у=34,

-10у=-8,

у=0,8, х=0,6, значит, в первом сосуде будет 0,6*30=18кг.

2 способ. («квадрат Пирсона»). Пусть процентное содержание вещества в первом растворе равно х %, а во втором – y%.

При заполнении первого квадрата масса смеси равна 30 + 20 = 50 (кг), а во втором – примем массы растворов равными 1 кг, тогда общая масса смеси равна 1 + 1 = 2 (кг).

С оставим систему уравнений:

30 х + 20 y = 3400,

х + y = 140,

откуда х = 60 (%).

Масса кислоты, содержащейся в первом сосуде, равна

60 % (от 30 кг) = 0,6 ∙ 30 = 18 (кг).

Ответ: 18 кг.

Задача 2(ОГЭ – 2015, 8 вариант). Смешали 4 литра 15% водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Р ешение: 15% 25-Х 4л

Х

25% Х-15 6л

-3Х=2Х-30

-5Х=-105

Х=21%

Ответ: 21%.

Задача 3 (ЕГЭ-2012 , 6 вариант). Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Р ешение: Построим квадрат Пирсона и сложим два выражения, записанные справа от квадрата.

Получаем уравнение:

20 х – 10 (х + 3) = 0,

откуда х = 3 (кг) – масса первого сплава,

тогда х + 3 = 3 + 3 = 6 (кг) – масса второго сплава.

Масса третьего сплава равна:

3 + 6 = 9 (кг).

Ответ: 9 кг.

Задача 4 (ОГЭ-2018, 19 вариант) Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Р ешение: Содержание «мякоти» в винограде равно 100 – 90 = 10 (%), а в изюме – (100 – 5) = 95 %.

Составим уравнение :

10 х = 95 ∙ 20,

х = 190 (кг).

Ответ: 190 кг винограда.

Анализ результатов решения задач среди одноклассников и практическое применение.

В начале года на элективных курсах учитель предложил нам решить задачу на смеси и сплавы, по результатам выяснилось, что лишь 10% класса справились с этой задачей (2 ученика из 20), при разборе данной задачи выяснилось, что она имеет очень сложный расчет, мы заинтересовались, можно ли решить данную задачу проще?

Оказалось, что можно, с помощью «квадрата Пирсона», разобравшись в данном способе, я поделилась, своими знаниями с одноклассниками, и на одном из занятии, когда нам встретилась задача на сплавы с ней уже справились 25% класса (5 человек из 20). Данные исследования можно увидеть на диаграмме:

Таким образом, очевидно, что данный способ позволяет рационально и экономно проводить вычисления при решении задач на концентрацию.

Однажды, мама спросила меня, как из 9%-го раствора уксуса приготовить 2%-ый раствор, необходимый для маринада, т.е. сколько нужно добавить воды в 100 г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада?

9 % 2 100г

2%

0% 7 Хг

Х=

Х=350

Значит, мы должны взять 350г воды, чтобы получить раствор для маринада.

Заключение.

Задачи на смеси и сплавы - это важная часть подготовки ученика к экзаменам. Ведь  эти задачи, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в сборник для подготовки и проведения экзамена по алгебре за курс основной школы (9 класс). Практика показывает, что учащиеся, не знавшие вначале года как подойти к решению этих задач, в конце успешно решали и составляли сами задачи.  Так же эти задачи,  имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся. По моему мнению, цели и задачи, поставленные перед написанием данной работы, достигнуты. Данного типа задачи часто используется в разных отраслях нашей жизни. Она помогает избегать нам неудачные ситуации, предугадывая правильный ответ. Знания по данной теме помогут мне в подготовке к ЕГЭ по математике, а также в различных жизненных ситуациях.

Список использованной литературы

Задачи открытого банка заданий по математике/ http://mathege.ru.

Азия, А.П. Вольпер, И.М. Квадрат Пирсона / А. П. Азия А., И. М. Вольпер// Квант. – 1973. - № 3. – С. 61.

Квант №3, 1973 г/http://kvant.mccme.ru/1973/03/kvadrat_pirsona.htm

Я. И. Перельман «Занимательная математика»/– М.: издательство «Наука», 2005

«Математический праздник» Часть III.- М.: «Бюро Квантум», 2001. – 128 с.

Иду на экзамен №2 2007г.«Математика для школьников».

И.В.Ященко Сборники «ОГЭ-2018» /- М.:«Национальное образование», 2018.

И.В.Ященко Сборники «ОГЭ-2015» /- М.:«Национальное образование», 2015.

И.В.Ященко Сборники «ЕГЭ-2012» /- М.:«Национальное образование», 2012.

Приложение1.

Примеры задач:

Задача 1. Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение: Пусть процентное содержание вещества в первом растворе равно х %, а во втором – y%.

П ри заполнении первого квадрата масса смеси равна 30 + 20 = 50 (кг), а во втором – примем массы растворов равными 1 кг, тогда общая масса смеси равна 1 + 1 = 2 (кг).

С оставим систему уравнений:

30 х + 20 y = 3400,

х + y = 140,

откуда х = 60 (%).

Масса кислоты, содержащейся в первом сосуде, равна

60 % (от 30 кг) = 0,6 ∙ 30 = 18 (кг).

Ответ: 18 кг.

Задача 2. Смешали 4 литра 15% водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Р ешение: 15% 25-Х 4л

Х

25% Х-15 6л

25-Х/Х-15 =4/6

-3Х=2Х-30

-5Х=-105

Х=21%

Ответ: 21%.

Задача 3. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Р ешение: Построим квадрат Пирсона и сложим два выражения, записанные справа от квадрата.

Получаем уравнение:

20 х – 10 (х + 3) = 0,

откуда х = 3 (кг) – масса первого сплава,

тогда х + 3 = 3 + 3 = 6 (кг) – масса второго сплава.

Масса третьего сплава равна:

3 + 6 = 9 (кг).

Ответ: 9 кг.

Задача 4. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Р ешение: Содержание «мякоти» в винограде равно 100 – 90 = 10 (%), а в изюме – (100 – 5) = 95 %.

Составим уравнение :

10 х = 95 ∙ 20,

х = 190 (кг).

Ответ: 190 кг винограда.

Задача 5. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Вещество составляет 12% от 5 литров первоначального раствора, т.е. его объем

V = 0.12*5 = 0.6 литра

Когда добавили воды, количество вещества не изменилось, но общий обем стал = 5+7 = 12 литров.

Процентное содержание вещества в новом растворе = 0,6 / 12 = 1/20 = 0,05 = 5%

Ответ:5%

Задача 6. Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л морской воды с 55%-ым содержанием соли, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума?

Решение:

55% 2%

2

0% 53%

Т.е на 2 части воды с 55% содержанием соли необходимо добавить 53 части пресной

Воды, чтобы получить воду с 2% содержанием соли

Пусть k-одна часть, тогда

2k=80;

k=40.

53k=53*40=2120;

Значит, мы должны взять 2120 л воды, чтобы получить воду, пригодную

для заполнения аквариума.

Ответ: 2120 л воды.

Задачи для самостоятельного решения:

Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора марганцовки?

Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?

Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%?

Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?

Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%?

Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?

В сосуде объемом 10 л содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 2 л раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили ещё один раз. Определите концентрацию соли после первой и второй процедуры.

Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?

Сколько чистой воды нужно добавить к 100г 60%-го раствора кислоты, чтобы получить 30%-ный раствор?

К раствору, содержащему 40г соли, добавили 200г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор, и какова была в нем массовая доля соли?

Ответы и решения:

1 ) Решение:
Исходя из схемы, делаем выводы: в 200 г смеси содержится 14 частей 10% -го раствора и 6 частей 30% раствора. Найдем их массы: 200(14+6)·14=140; 200(14+6)·6=60.

Ответ: 140 г 10% и 60 г 30% раствора.

2 ) Решение: x 35 10-0=10

10

35-10=25

X=325:25*10=130г

Ответ: 130г

3) Решение:

x 5 1

1

4

Найдем массы:1%=0,01

0,01(х+100)=5

0,01х=4

х=400г

Ответ:400г

4) Решение:

Х 0 100г 15

10

Y 25 10

Исходя из схемы, делаем вывод: в 100 г раствора содержится

100 : (15 + 10) · 10 = 40 г нашатырного спирта и

100 : 25 · 15 = 60 г воды

5) Ответ: 1,5 кг масса цветков ромашки после сушки

6) Решение:

х 6 20т 3

8

11 2

Х=20:5*3 =12т

Отве:12т

7) Решение:Пусть в первом сосуде х, а во втором у кг кислоты
0,46*65=x+y                  29,9=x+y    897=30x+30y
2*0,47=x/30+y/35        x/30+y/35=0,94    35x+30y=987  5x=90  x=18 y=11,9
oтвет 18 и 11,9 соответственно

8) Ответ:1,6л : 10л · 100% = 16% - концентрация соли после 1-й процедуры
12,8% - концентрация соли после 2-й процедуры\

9) Решение:

Х 30% 600г 5%

15%

Y 10% 15%

Х=600:20*15=450г

Y=600:20*5=150г

Ответ:450г и 150г

10) Решение:

1 5 - 40 х 30

30

10

Х=15*30/40

х=11.25кг - олова надо добавить, чтобы получился 30% сплав меди

Ответ:11.25КГ

11) Решение:

m-100 60 x+100 30

30

m-x 0 30

0,3 (100+X)= 100*0,6

0,3X+30=60

X=100г

Ответ:100г

12) Ответ: 160г воды , 20% соли было в растворе.

Просмотров работы: 1202

Решение задач с помощью квадрата Пирсона

Но вначале немного истории и любопытных фактов

А теперь немного о Пирсоне…Карл Пирсон родился 27 марта в 1857 году в Лондоне. Он был разносторонним человеком, активно изучал историю, математику, статистику и германистику. Большую часть 80-х годов XIX века он провел в Берлине, Гейдельберге, Вене и Брикслеге. Интересовали его религия и поэзия – с одинаковым интересом он изучал Гёте и Священное Писание. Занимали Пирсона и вопросы пола – он даже основал Клуб Мужчин и Женщин. В 1898 году получил медаль Дарвина. Карл Пирсон Погиб в Англии в городе Суррее 27 апреля 1936 года. Прожил он 79 лет.

Как и все методы решений, квадрат Пирсона имеет свои преимущества и недостатки. Одним из преимуществ этого способа является то, что он доступен ученикам, которые не умеют решать уравнения. Также квадрат Пирсона очень полезен для домохозяек, чтобы получать нужную концентрацию уксуса или сиропа.

Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов. То есть если нужно смешать три или более веществ, квадрат Пирсона здесь не поможет.

Данный метод – «квадрат Пирсона» имеет ту же сущность, что и старинный метод, но немного видоизменен и, как мне кажется, удобен.

Для того чтобы решить задачу, используя квадрат Пирсона, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Строится квадрат, и проводятся его диагонали.

2. В левом верхнем углу ставят больший показатель крепости веществ (А).

3. В левом нижнем углу ставят меньший показатель крепости веществ (В).

4. На пересечении диагоналей ставят требуемый показатель крепости (С).

5. В правом нижнем углу после вычитания из А С получают У.

6. В правом верхнем углу после вычитания из С В получают Х.

7. Мы получаем, что нам надо взять Х частей с концентрацией А

и У частей с концентрацией В, и мы получим смесь с концентрацией С.

Приведу несколько примеров

Задача№5 Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л морской воды с 55%-ым содержанием соли, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума?

Т.е на 2 части воды с 55% содержанием соли необходимо добавить 53 части пресной

Воды, чтобы получить воду с 2% содержанием соли

Пусть k-одна часть, тогда

2k=80;

k=40.

53k=53*40=2120;

Значит, мы должны взять 2120 л воды, чтобы получить воду, пригодную

для заполнения аквариума.

Ответ: 2120 л воды.

Задача №6В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

 

Решение:

Дидактический материал (Приложение №1)

Задачи выбраны по справочникам и учебным пособиям, по экзаменационным материалам, в том числе и вариантам ЕГЭ. Собранный материал можно использовать на уроках и для самоподготовки учащихся.

III.Заключение

Итак, в своей исследовательской работе я рассмотрела методы решений задач на растворы и сплавы. Какие-то из них могут показаться легче, какие-то сложнее, но в целом их принцип очень похож. Все-таки в каждой задаче половину успеха решает правильно составленное условие, которое мы видели в совершенно разных вариациях, а остальное – умный человек. Мы видели множество различий между решениями, и я думаю, каждый уже выбрал для себя метод, который кажется ему привлекательным. Конечно, каждый из них с какой-то стороны силен, с какой-то имеет свои недочеты. И если нужен тонкий расчет, даже в самом обычном, бытовом деле как смешение сахара в чае или смешивание кондиционера и порошка для стирки, решение этого вопроса с помощью задачи – лучшее решение.

Приложение №1

Дидактический материал

1. Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора марганцовки?

2. Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?

3. Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%?

4. Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?

5. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки?

6. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%?

7. Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?

8. В сосуде объемом 10 л содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 2 л раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили ещё один раз. Определите концентрацию соли после первой и второй процедуры.

9. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

10. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?

Сколько чистой воды нужно добавить к 100г 60%-го раствора кислоты, чтобы получить 30%-ный раствор?

11. К раствору, содержащему 40г соли, добавили 200г воды, после чего массовая доля растворенной соли уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор, и какова была в нем массовая доля соли?

12. Первый сплав состоит из цинка и меди, входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

13. Смешали некоторое количество 15%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19%-го раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

14. Смешали 30%-ый раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-го раствора. Сколько граммов 10%-го раствора было взято?

Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

15. Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35% золота, а во втором — 60%. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

16. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%. и второго раствора этой ж кислоты концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый второй растворы?

Смешали 3 литра 40%-го водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 35%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

17. Смешали 8 литров 15%-го водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 40%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

18. Смешали некоторое количество 17%-го раствора некоторого вещества со втрое большим количеством 9-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

19. Смешали некоторое количество 14-процентного раствора некоторого вещества со вдвое большим количеством 8-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В сосуд, содержащий 5 литров 12% водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

20. Смешали некоторое количество 15% раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

21. Смешали 4 литра 15% водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Смешав 30% и 60% растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36% раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50% раствора той же кислоты, то получили бы 41% раствор кислоты. Сколько килограммов 30% раствора использовали для получения смеси?

22. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

 


Читайте также:


Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

Критерий хи-квадрат Пирсона | Lit-review.ru (НМА Литобзор) обзоры, статистика для медицины


Хи-квадрат Пирсона один из самых популярных статистических критериев для анализа качественных данных (номинальных, порядковых, ранговых), анализа частот. Однако, как и у каждого статистического критерия у хи-квадрата есть свои собственные правила применения метода, его интерпретации. Для того, чтобы Вы могли успешно овладеть этим ценнейшим статистическим инструментом сравнения статистических совокупностей по качественным данным предлагаем Вам ознакомиться с этой учебной статьей.

Правила использования хи-квадрата Пирсона
Условия применения хи-квадрата Пирсона
Как рассчитывать хи-квадрат Пирсона
Учет степеней свободы при применении хи-квадрата Пирсона
Пример корректной интерпретации хи-квадрата Пирсона

Как использовать хи-квадрат Пирсона?

Хи-квадрат используется прежде всего для анализа таблиц сопряженности (вид таблицы, которая учитывает совместное влияние фактора на исход, данные в таблице сопряженности должны быть представлены в виде частоты номинальных данных или интервалами, но не непрерывными количественными величинами). Стоит отметить, что при работе с сопряженными таблицами хи-квадрат часто является поддержкой для анализа влияния факторов риска с помощью расчета рисков (абсолютный и относительный риски) и отношение шансов.

Таблицы сопряженности могут принимать различные формы, простейшая таблица сопряженности выглядит следующим образом:

Исход есть Исхода нет Всего
Фактор риска есть A B A+B
Фактора риска нет C D C+D
Всего A+C B+D A+B+C+D

Как заполнить таблицу сопряженности? Обратимся к простому примеру:

Например, Вы хотите с помощью таблицы сопряженности и как следствия хи-квадрата Пирсона выяснить есть ли различия в частоте артериальной гипертонии в группах курящего и некурящего населения. Предполагается, что по остальным параметрам Ваши группы равномерны и превалирующим фактором риска развития артериальной гипертензии будет именно курение.

Для проведения исследования на основании ретроспективных данных (дизайн: случай-контроль) были отобраны две группы исследуемых — в первую вошли 70 человек, ежедневно выкуривающих не менее 1 пачки сигарет, во вторую группу вошли 80 некурящих такого же возраста, пола, и социального уровня (прочие систематически ошибки случайны).

В первой группе у 40 человек отмечалась артериальная гипертензия. Во второй — у 32 человек. Соответственно, референсное (нормальное) артериальное давление в группе «курильщиков» наблюдалось у 30 человек (70 — 40 = 30), а в группе «некурящих» нормальное АД наблюдалось у 48 (80 — 32 = 48).

Имея эти данные мы можем заполнить простейшую таблицу сопряженности:

Повышенное АД АД в пределах норма Всего
«Курильщики» 40 30 70
«Не курят» 32 48 80
Всего 72 78 150

АД- артериальное давление

Как видно из таблицы: каждая строка соответствует группе пациентов, которая подвергается влиянию фактора, каждый столбец, в свою очередь, обозначает частоту исходов в группе (к примеру: произошло/ не произошло, как в нашем примере).

Таблицы сопряженности служат удобным средством визуализации комбинации частот «фактор- исход» и субстратом для расчета хи-квадрата Пирсона, который в нашем случае сможет дать статистически точный ответ о случайности или не случайности наших находок.

Условия применения статистического критерия хи-квадрата Пирсона

  1. Тип данных: параметры должны быть качественными цельночисленными частотами, измеренными в номинальной шкале (Например, тип диагноза)

бинарными (пол: мужской/женский, наличие или отсутствие заболевания)

порядковыми (степень артериальной гипертензии),

  1. Желательно, чтобы общее количество наблюдений было более 20,
  2. Ожидаемая частота, соответствующая нулевой гипотезе должна быть более 5, если ожидаемое явление принимает значение менее 5, то необходимо использовать точный Критерий Фишера.
  3. Для четырехпольных таблиц (2х2): Если ожидаемое значение принимает значение менее 10 (а именно 5<x<10), необходим расчет поправки Йетса таблиц сопряженности
  4. Сравниваемые частоты должны быть примерно одного размера
  5. Сопоставляемые группы должны быть независимыми (то есть единицы наблюдения в них разные, в отличие от связанных групп, анализирующих изменения «до-после» у одних и тех единиц наблюдений до и после вмешательства. Для таких ситуаций существует отдельный тест МакНемара (McNemar)

Запрещается: использовать хи-квадрат для анализа непрерывных абсолютных данных, процентов и долей

Как рассчитать критерий хи-квадрат Пирсона?

Для оценки достоверности различий по методу хи-квадрата Пирсона (критерий соответствия, коэффициент согласия) анализируется различия между реальной существующими частотами в группах (Observed) и рассчитываемыми по формуле ожидаемыми «гипотетическими» частотами, которые соответствуют распределению хи-квадрат. При малом различии ожидаемых и наблюдаемых частот (хи-квадрат не достиг своего критического значения) мы принимаем нулевую гипотезу об отсутствии различий. Если же различия оказываются существенными (критическое значение хи-квадрата достигаются для заданного числа степеней свободы) мы отвергаем нулевую гипотезу и говорим о наличии статистически значимых различий.

Чем больше теоретические числа, рассчитанные на основе Но-гипотезы, будут отличаться от фактических, тем более «хи -квадрат» будет отличаться от 0, тем с большей вероятностью можно отклонить Но-гипотезу и говорить о статистической достоверности имеющихся различий в сравниваемых совокупностях.

Основная формула для расчета хи-квадрата Пирсона:

Зачем учитывать количество степеней свободы при расчете хи-квадрата?

Для того, чтобы не утомлять читателя пространными разъяснениями «о сумме квадратом нормально распределенных случайных величин» скажем лишь, что оценка критического значения хи-квадрата зависит от степени свободы изменения частот, что это значит на практике для пользователя хи-квадрата? То, что чем более многопольная таблица перед Вами, тем больше степеней свободы, чем она меньше, тем меньше. Формула расчета хи-квадрата следующая:

Degree of freedom (d.f.) = (c-1)(r-1)

Column (c) – количество столбцов частотами, r- количество строк с частотами.

Таким образом, количество степеней свободы для стандартной 2х2 таблицы сопряженности составит:

d.f. = (2-1)*(2-1)=1

и так далее.

Примеры расчета хи-квадрата Пирсона

Пример 1:

Необходимо определить наличие влияния предшествующей степени нарушения кровообращения на исход комиссуротомии (хирургическое разделение спаек при стенозе клапанного отверстия сердца). Пациенты поступали на комиссуротомию с различными исходными уровнями нарушения кровообращения. После комиссуротомии пациенты были выписаны с различными исходами операции.

Фактор: Степень нарушения кровообращения

Исход: Результативность операции

Таблица: наблюдаемые (Observed) частоты распределения влияния степени нарушения кровообращения на результаты операции комиссуротомии

Степень нарушения кровообращения Всего больных Выписан с хорошим результатом операции Выписан с удовлетворительным результатом операции Выписан с ухудшением
II 30 20 8 2
III 80 43 20 17
IV 60 10 40 10
Всего 170 73 68 29
H0-гипотеза 100% 43% 40% 17%

Первый этап

Расчет ожидаемых (Expected) величин (на основании групповых частот)

Второй этап

Сопоставление наблюдаемых и ожидаемых частот с нахождением их разницы (O-E)

Степень нарушения кровообращения Выписан с хорошим результатом операции Выписан с удовлетворительным результатом операции Выписан с ухудшением
II +7 -4 -3
III +9 -12 +3
IV -16 +16 0
Всего 0 0 0

Третий этап

Рассчитываем сумму отношений квадрата разности значений и делим ожидаемые данные (хи-квадрат) (O-E)2/E

Степень нарушения кровообращения Выписан с хорошим результатом операции Выписан с удовлетворительным результатом операции Выписан с ухудшением
II 49/13=3,77 16/12=1,33 9/5=1,80
III 81/34=2,38 144/32=4,50 9/14=0,64
IV 256/26=9,85 256/24=10,66 0/10*=0,10
Всего 16 16,49 2,54

как видно из данной таблицы одно из ожидаемых значений равно 0, в данном случае будет подставлена 1, корректнее применить точный критерий Фишера (см. Условия применения хи-квадрата Пирсона)

Четвертый этап

Необходимо соотнести полученное значение хи-квадрата с критическим значением хи-квадрата.Возникает вопрос, откуда брать критическое значение? Критическое значение хи-квадрата, как и для большинства, статистических критериев зависит от степени свободы и уровня достоверности (alpha), который Вы выбираете.В нашем случае, наше количество степеней свободы равно (3-1)*(3-1)=4, уровень значимости, который мы хотим соблюсти равен 0,05Обратимся к таблице критических значение хи-квадрата:

  • Xи-квадрат (для d.f.=4 p=0.05) = 9.488
  • Xи-квадрат (для d.f.=4 p=0.01) = 13.27735,03 > 13,277;
  • p<0,01

Пример корректной интерпретации: Предшествующая степень нарушения кровообращения влияет на исход комиссуротомии (однако! Мы не можем говорить о направленности связи, то есть: улучшает-ухудшает сказать не можем), оптимально указать степень свободы, точное значение хи-квадрата, если есть возможность рассчитать точное значение достоверности, то так же стоит указать и его или остановиться на критическом значении достоверности (p<0,05 или p<0,01 и так далее).В нашем случае:d.f.=4, x2=35,03, p< 0.01
Пример 2: Вернемся к нашему примеру с влиянием курения на развитие артериальной гипертензии:Исходная четырехпольная таблица:

Повышенное АД АД в пределах норма Всего
«Курильщики» 40 30 70
«Не курят» 32 48 80
Всего 72 78 150

Для четырехпольных таблиц существует упрощенная формула расчета значения хи-квадрата:

Исход + Исход 0 Всего
Фактор + a b a+b
Фактор 0 c d c+d
Всего a+c b+d N

 

  • x2= (40х48 – 32х30)х150 / (70)(80)(72)(78) = (1920 – 960)2х150/31449600 = 138240000/31449600 = 4,395
  • Сравним полученное значение хи-квадрата с критическим значением (для степени свободы 1, и уровнем значимости 3,841)

Правильная интерпретация: Курение оказывает влияние на формирование повышенного артериального давления df=1, x2= 4,395, p<0,05

Заключение по хи-квадрату Пирсона

хи-квадрат Пирсона является удобным статистическим методом для анализа изменения частот, оформленными в таблицы сопряженности для несвязанных групп. Как и все статистически инструменты хи-квадрат Пирсона имеет свои правила, преимущества и ограничения применения. Будьте внимательны и хи-квадрат Пирсона Вас не разочарует.

 


Если Вам понравилась статья и оказалась полезной, Вы можете поделиться ею с коллегами и друзьями в социальных сетях:

Проверка простых гипотез критерием хи-квадрат Пирсона в EXCEL. Примеры и описание

Рассмотрим применение в MS EXCEL критерия хи-квадрат Пирсона для проверки простых гипотез.

После получения экспериментальных данных (т.е. когда имеется некая выборка ) обычно производится выбор закона распределения, наиболее хорошо описывающего случайную величину, представленную данной выборкой . Проверка того, насколько хорошо экспериментальные данные описываются выбранным теоретическим законом распределения, осуществляется с использованием критериев согласия . Нулевой гипотезой , обычно выступает гипотеза о равенстве распределения случайной величины некоторому теоретическому закону.

Сначала рассмотрим применение критерия согласия Пирсона Х 2 (хи-квадрат) в отношении простых гипотез (параметры теоретического распределения считаются известными). Затем - применение критерияв случае сложных гипотез , когда задается только форма распределения, а параметры этого распределения и значение статистики Х 2 оцениваются/рассчитываются на основании одной и той же выборки .

Примечание : Применение критерия согласия Пирсона Х 2 в отношении сложных гипотез см. статью Проверка сложных гипотез критерием хи-квадрат Пирсона в MS EXCEL .

Примечание : В англоязычной литературе процедура применения критерия согласия Пирсона Х 2 имеет название The chi-square goodness of fit test .

Напомним процедуру проверки гипотез:

Проведем проверку гипотез для различных распределений.

Дискретный случай

Предположим, что два человека играют в кости. У каждого игрока свой набор костей. Игроки по очереди кидают сразу по 3 кубика. Каждый раунд выигрывает тот, кто выкинет за раз больше шестерок. Результаты записываются. У одного из игроков после 100 раундов возникло подозрение, что кости его соперника – несимметричные, т.к. тот часто выигрывает (часто выбрасывает шестерки). Он решил проанализировать насколько вероятно такое количество исходов противника.

Примечание : Т.к. кубиков 3, то за раз можно выкинуть 0; 1; 2 или 3 шестерки, т.е. случайная величина может принимать 4 значения.

Из теории вероятности нам известно, что если кубики симметричные, то вероятность выпадения шестерок подчиняется биномиальному закону . Поэтому, после 100 раундов частоты выпадения шестерок могут быть вычислены с помощью формулы =БИНОМ.РАСП(A7;3;1/6;ЛОЖЬ)*100

В формуле предполагается, что в ячейке А7 содержится соответствующее количество выпавших шестерок в одном раунде.

Примечание : Расчеты приведены в файле примера на листе Дискретное .

Для сравнения наблюденных (Observed) и теоретических частот (Expected) удобно пользоваться гистограммой .

При значительном отклонении наблюденных частот от теоретического распределения, нулевая гипотеза о распределении случайной величины по теоретическому закону, должна быть отклонена. Т.е., если игральные кости соперника несимметричны, то наблюденные частоты будут «существенно отличаться» от биномиального распределения .

В нашем случае на первый взгляд частоты достаточно близки и без вычислений сложно сделать однозначный вывод. Применим критерий согласия Пирсона Х 2 , чтобы вместо субъективного высказывания «существенно отличаться», которое можно сделать на основании сравнения гистограмм , использовать математически корректное утверждение.

Используем тот факт, что в силу закона больших чисел наблюденная частота (Observed) с ростом объема выборки n стремится к вероятности, соответствующей теоретическому закону (в нашем случае, биномиальному закону ). В нашем случае объем выборки n равен 100.

Введем тестовую статистику , которую обозначим Х 2 :

где O l – это наблюденная частота событий, что случайная величина приняла определенные допустимые значения, E l – это соответствующая теоретическая частота (Expected). L – это количество значений, которые может принимать случайная величина (в нашем случае равна 4).

Примечание : Вышеуказанная статистика является частным случаем статистики используемой для вычисления критерия независимости хи-квадрат (см. статью Критерий независимости хи-квадрат в MS EXCEL ).

Как видно из формулы, эта статистика является мерой близости наблюденных частот к теоретическим, т.е. с помощью нее можно оценить «расстояния» между этими частотами. Если сумма этих «расстояний» «слишком велика», то эти частоты «существенно отличаются». Понятно, что если наш кубик симметричный (т.е. применим биномиальный закон ), то вероятность того, что сумма «расстояний» будет «слишком велика» будет малой. Чтобы вычислить эту вероятность нам необходимо знать распределение статистики Х 2 ( статистика Х 2 вычислена на основе случайной выборки , поэтому она является случайной величиной и, следовательно, имеет свое распределение вероятностей ).

Из многомерного аналога интегральной теоремы Муавра-Лапласа известно, что при n—>∞ наша случайная величина Х 2 асимптотически распределена по закону Х 2 с L - 1 степенями свободы.

Итак, если вычисленное значение статистики Х 2 (сумма «расстояний» между частотами) будет больше чем некое предельное значение, то у нас будет основание отвергнуть нулевую гипотезу . Как и при проверке параметрических гипотез , предельное значение задается через уровень значимости . Если вероятность того, что статистика Х 2 примет значение меньше или равное вычисленному ( p -значение ), будет меньше уровня значимости , то нулевую гипотезу можно отвергнуть.

В нашем случае, значение статистики равно 22,757. Вероятность, что статистика Х 2 примет значение больше или равное 22,757 очень мала (0,000045) и может быть вычислена по формулам =ХИ2.РАСП.ПХ(22,757;4-1) или =ХИ2.ТЕСТ(Observed; Expected)

Примечание : Функция ХИ2.ТЕСТ() специально создана для проверки связи между двумя категориальными переменными (см. статью про критерий независимости ).

Вероятность 0,000045 существенно меньше обычного уровня значимости 0,05. Так что, у игрока есть все основания подозревать своего противника в нечестности ( нулевая гипотеза о его честности отвергается).

При применении критерия Х 2 необходимо следить за тем, чтобы объем выборки n был достаточно большой, иначе будет неправомочна аппроксимация Х 2 -распределением распределения статистики Х 2 . Обычно считается, что для этого достаточно, чтобы наблюденные частоты (Observed) были больше 5. Если это не так, то малые частоты объединяются в одно или присоединяются к другим частотам, причем объединенному значению приписывается суммарная вероятность и, соответственно, уменьшается число степеней свободы Х 2 -распределения .

Для того чтобы улучшить качество применения критерия Х 2 ( увеличить его мощность ), необходимо уменьшать интервалы разбиения (увеличивать L и, соответственно, увеличивать количество степеней свободы ), однако этому препятствует ограничение на количество попавших в каждый интервал наблюдений (д.б.>5).

Примечание : Рассмотренный выше пример является частным случаем применения критерия независимости хи-квадрат (chi-square test), который позволяет определить есть ли связь между двумя категориальными переменными (см. статью Критерий независимости хи-квадрат в MS EXCEL ).

СОВЕТ : О проверке других видов гипотез см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL .

Непрерывный случай


Критерий согласия Пирсона Х 2 можно применить так же в случае непрерывного распределения .

Рассмотрим некую выборку , состоящую из 200 значений. Нулевая гипотеза утверждает, что выборка сделана из стандартного нормального распределения .

Примечание : Cлучайные величины в файле примера на листе Непрерывное сгенерированы с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(СЛЧИС()) . Поэтому, новые значения выборки генерируются при каждом пересчете листа.

Соответствует ли имеющийся набор данных нормальному распределению можно визуально оценить с помощью графика проверки на нормальность (normal probability plot) .

Как видно из диаграммы, значения выборки довольно хорошо укладываются вдоль прямой. Однако, как и в дискретном случае для проверки гипотезы применим Критерий согласия Пирсона Х 2 .

Для этого разобьем диапазон изменения случайной величины на интервалы с шагом 0,5 стандартных отклонений . Вычислим наблюденные и теоретические частоты. Наблюденные частоты вычислим с помощью функции ЧАСТОТА() , а теоретические – с помощью функции НОРМ.СТ.РАСП() .

Примечание : Как и для дискретного случая , необходимо следить, чтобы выборка была достаточно большая, а в интервал попадало >5 значений.

Вычислим статистику Х 2 и сравним ее с критическим значением для заданного уровня значимости (0,05). Т.к. мы разбили диапазон изменения случайной величины на 10 интервалов, то число степеней свободы равно 9. Критическое значение можно вычислить по формуле =ХИ2.ОБР.ПХ(0,05;9) или =ХИ2.ОБР(1-0,05;9)

На диаграмме выше видно, что значение статистики равно 8,19, что существенно выше критического значения нулевая гипотеза не отвергается.

Ниже приведена диаграмма , на которой выборка приняла маловероятное значение и на основании критерия согласия Пирсона Х 2 нулевая гипотеза была отклонена (не смотря на то, что случайные значения были сгенерированы с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(СЛЧИС()) , обеспечивающей выборку из стандартного нормального распределения ).

Нулевая гипотеза отклонена, хотя визуально данные располагаются довольно близко к прямой линии.

В качестве примера также возьмем выборку из непрерывного равномерного распределения U(-3; 3). В этом случае, даже из графика очевидно, что нулевая гипотеза должна быть отклонена.

Критерий согласия Пирсона Х 2 также подтверждает, что нулевая гипотеза должна быть отклонена.

(2/5))), adjust = TRUE)

Аргументы
х
числовой вектор значений данных. Допускаются отсутствующие значения.
п. Классов
Количество классов. По умолчанию используется Мур (1986).
отрегулировать
логический; если ИСТИНА (по умолчанию), p-значение вычисляется из распределение хи-квадрат с n.{2} / E_ {i} $, где $ C_ {i} $ - количество подсчитанных, а $ E_ {i} $ - количество ожидаемых наблюдений (по гипотезе) в классе $ i $. Классы построены таким образом, что они равновероятны при гипотезе нормальности. Значение p вычисляется из распределения хи-квадрат с n. Классы -3 степени свободы. если отрегулируйте , это ИСТИНА и из распределения хи-квадрат с n. классы -1 степени свободы в противном случае. В обоих случаях это неверное (!) Значение p, лежащий где-то между ними, см. также Мур (1986).

Значение
Список с классом «htest», содержащий следующие компоненты:
статистика
значение статистики хи-квадрат Пирсона.
p.value
p-value для теста.
метод
символьная строка «Проверка нормальности хи-квадрат Пирсона».
data.name
символьная строка, дающая имя (имена) данных.
n.classes
количество классов, используемых для теста.
df
степень свободы распределения хи-квадрат, используемая для вычисления p-значения.
Примечание

Критерий хи-квадрат Пирсона обычно не рекомендуется для проверки сложной гипотезы нормальности. из-за худших энергетических характеристик по сравнению с другими тестами. Обычной практикой является вычисление p-значения из распределения хи-квадрат с n. классы - 3 степени свободы, чтобы скорректировать дополнительная оценка двух параметров.(Для простой гипотезы нормальности (известны среднее значение и дисперсия) статистика теста имеет асимптотическое распределение хи-квадрат с п. Классов - 1 степень свободы.) Однако это неверно, если параметры оцениваются как среднее значение (x) и var (x) (или sd (x) ), как это обычно делается, подробности см. в Moore (1986). Поскольку истинное значение p находится где-то между двумя, рекомендуется запустить pearson.test дважды, с adjust = TRUE (по умолчанию) и adjust = FALSE .Также предлагается немного изменить количество классов по умолчанию, чтобы чтобы увидеть влияние на p-значение. В конце концов, рекомендуется не полагаться на результат теста.

Вызов функции pearson.test (x) по существу производит тот же результат, что и при вызове функции S-PLUS chisq.gof ((x-mean (x)) / sqrt (var (x)), n.param.est = 2) .

Список литературы

Мур, Д.С. (1986): Тесты типа хи-квадрат.В: Д'Агостино, Р. Б., Стивенс, М. А., ред .: Методы согласия. Марсель Деккер, Нью-Йорк.

Тоде-младший, Х.С. (2002): Проверка на нормальность. Марсель Деккер, Нью-Йорк.

См. Также

shapiro.test для выполнения теста Шапиро-Уилка на нормальность. ad.test , cvm.test , lillie.test , sf.test для выполнения дальнейших тестов на нормальность. qqnorm для построения нормального графика квантиль-квантиль.

Псевдонимы
Примеры
  pearson.test (rnorm (100, среднее = 5, sd = 3))
pearson.test (runif (100, мин. = 2, макс. = 4))

  
Документация воспроизведена из пакета nortest, версия 1.0-4, Лицензия: GPL (> = 2)

Примеры сообщества

Похоже, примеров пока нет.

Статистические функции (scipy.stats) - Справочное руководство SciPy v1.6.0

alpha (* args, ** kwds)

Альфа-непрерывная случайная величина.

anglit (* args, ** kwds)

Угловая непрерывная случайная величина.

arcsine (* args, ** kwds)

Непрерывная арксинусная случайная величина.

argus (* args, ** kwds)

Распределение Argus

beta (* args, ** kwds)

Бета-непрерывная случайная величина.

Betaprime (* args, ** kwds)

Бета-простая непрерывная случайная величина.

bradford (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Брэдфорда.

заусенец (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина заусенца (тип III).

burr12 (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина заусенца (тип XII).

cauchy (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Коши.

chi (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина ци.

chi2 (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина хи-квадрат.

косинус (* args, ** kwds)

Косинусная непрерывная случайная величина.

хрустальный шар (* args, ** kwds)

Распределение Crystalball

dgamma (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина с двойной гаммой.

dweibull (* args, ** kwds)

Двойная непрерывная случайная величина Вейбулла.

erlang (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Эрланга.

expon (* args, ** kwds)

Экспоненциальная непрерывная случайная величина.

экспонент (* args, ** kwds)

Нормальная непрерывная случайная величина, измененная экспоненциально.

exponweib (* args, ** kwds)

Возведенная в степень непрерывная случайная величина Вейбулла.

exponpow (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина экспоненциальной степени.

f (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина F.

fatiguelife (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина усталостной долговечности (Бирнбаум-Сондерс).

fisk (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Фиска.

foldcauchy (* args, ** kwds)

Свернутая непрерывная случайная величина Коши.

foldnorm (* args, ** kwds)

Свернутая нормальная непрерывная случайная величина.

genlogistic (* args, ** kwds)

Обобщенная логистическая непрерывная случайная величина.

gennorm (* args, ** kwds)

Обобщенная нормальная непрерывная случайная величина.

genpareto (* args, ** kwds)

Обобщенная непрерывная по Парето случайная величина.

genexpon (* args, ** kwds)

Обобщенная экспоненциальная непрерывная случайная величина.

genextreme (* args, ** kwds)

Обобщенная непрерывная случайная величина с экстремальными значениями.

gausshyper (* args, ** kwds)

Гауссовская гипергеометрическая непрерывная случайная величина.

гамма (* args, ** kwds)

Гамма-непрерывная случайная величина.

gengamma (* args, ** kwds)

Обобщенная гамма-непрерывная случайная величина.

genhalflogistic (* args, ** kwds)

Обобщенная полулогистическая непрерывная случайная величина.

geninvgauss (* args, ** kwds)

Обобщенная обратная гауссовская непрерывная случайная величина.

гилбрат (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Гилбрата.

gompertz (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Гомперца (или усеченного Гамбеля).

gumbel_r (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Гамбеля, наклоненная вправо.

gumbel_l (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Гамбеля с наклоном влево.

полукоши (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина наполовину Коши.

halflogistic (* args, ** kwds)

Полу-логистическая непрерывная случайная величина.

полнорм (* args, ** kwds)

Полунормальная непрерывная случайная величина.

halfgennorm (* args, ** kwds)

Верхняя половина обобщенной нормальной непрерывной случайной величины.

гипсеканс (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина с гиперболическим секансом.

invgamma (* args, ** kwds)

Инвертированная гамма-непрерывная случайная величина.

invgauss (* args, ** kwds)

Обратная гауссовская непрерывная случайная величина.

invweibull (* args, ** kwds)

Инвертированная непрерывная случайная величина Вейбулла.

johnsonsb (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Джонсона С.Б.

johnsonsu (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Johnson SU.

каппа4 (* args, ** kwds)

Распределение по 4 параметрам Каппа.

каппа3 (* args, ** kwds)

3-параметрическое распределение Каппа.

ksone (* args, ** kwds)

Распределение статистики одностороннего критерия Колмогорова-Смирнова.

kstwo (* args, ** kwds)

Двусторонний критерий распределения статистики Колмогорова-Смирнова.

kstwobign (* args, ** kwds)

Предельное распределение масштабированной статистики двустороннего критерия Колмогорова-Смирнова.

Laplace (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Лапласа.

Laplace_asymmetric (* args, ** kwds)

Асимметричная непрерывная случайная величина Лапласа.

сбор (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Леви.

levy_l (* args, ** kwds)

Скошенная влево непрерывная случайная величина Леви.

levy_stable (* args, ** kwds)

Устойчивая по Леви непрерывная случайная величина.

логистика (* args, ** kwds)

Логистическая (или возведенная в квадрат) непрерывная случайная величина.

логгамма (* args, ** kwds)

Логарифмическая гамма-непрерывная случайная величина.

loglaplace (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина по лог-Лапласу.

lognorm (* args, ** kwds)

Логнормальная непрерывная случайная величина.

loguniform (* args, ** kwds)

Логарифмически однородная или обратная непрерывная случайная величина.

lomax (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Ломакса (Парето второго рода).

maxwell (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Максвелла.

mielke (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Mielke Beta-Kappa / Dagum.

мойал (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Мойял.

накагами (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Накагами.

ncx2 (* args, ** kwds)

Нецентральная непрерывная случайная величина хи-квадрат.

NCF (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина с нецентральным F-распределением.

nct (* args, ** kwds)

Нецентральная непрерывная случайная величина Стьюдента.

norm (* args, ** kwds)

Обычная непрерывная случайная величина.

norminvgauss (* args, ** kwds)

Нормальная обратная гауссовская непрерывная случайная величина.

pareto (* args, ** kwds)

Непрерывная по Парето случайная величина.

pearson3 (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина типа III Пирсона.

powerlaw (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина со степенной функцией.

powerlognorm (* args, ** kwds)

Непрерывная логарифмически нормальная непрерывная случайная величина.

powernorm (* args, ** kwds)

Нормальная непрерывная случайная величина мощности.

rdist (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина с R-распределением (симметричная бета).

релей (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Рэлея.

рис (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Райса.

получатель vgauss (* args, ** kwds)

Обратная обратная гауссовская непрерывная случайная величина.

полукруглый (* args, ** kwds)

Полукруглая непрерывная случайная величина.

skewnorm (* args, ** kwds)

Случайно-искаженная случайная величина.

т (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Стьюдента.

трапеция (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина трапециевидной формы.

треугольник (* args, ** kwds)

Треугольная непрерывная случайная величина.

truncexpon (* args, ** kwds)

Усеченная экспоненциальная непрерывная случайная величина.

truncnorm (* args, ** kwds)

Усеченная нормальная непрерывная случайная величина.

tukeylambda (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Тьюки-Ламдбы.

униформа (* args, ** kwds)

Единообразная непрерывная случайная величина.

vonmises (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина по фон Мизесу.

vonmises_line (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина по фон Мизесу.

wald (* args, ** kwds)

Непрерывная случайная величина Вальда.

weibull_min (* args, ** kwds)

Минимальная непрерывная случайная величина Вейбулла.

weibull_max (* args, ** kwds)

Максимальная непрерывная случайная величина Вейбулла.

wrapcauchy (* args, ** kwds)

Обернутая непрерывная случайная величина Коши.

PEARSON SQUARE Балансировка пайка

Презентация на тему: «ПИРСОН-ПЛОЩАДЬ, балансирование рациона» - стенограмма презентации:

1 ПИРСОН-ПЛОЩАДЬ Уравновешивание рациона
Уоррен Центральное сельское хозяйство

2 УПРАЖНЕНИЕ НА КРИТИЧЕСКОЕ МЫСЛЕНИЕ
Площадь Пирсона КРИТИЧЕСКОЕ УПРАЖНЕНИЕ МЫШЛЕНИЮ

3 Квадрат Пирсона Полезный инструмент для упрощения и балансировки рационов
Показывает пропорции или процентное соотношение двух кормов, которые необходимо смешать вместе, чтобы получить процентное содержание необходимых питательных веществ

4 Pearson Square 2000 # корма необходимо для выращивания 100 # свиней.
Таблица стандартов кормления показывает, что необходим рацион с содержанием сырого протеина 18%. Кукурузная и соевая мука (SBM) выбраны в качестве кормов.

5 Pearson Square Таблица состава корма показывает
Кукуруза содержит 8,9% сырого протеина SBM содержит 44,4% сырого протеина


6 Площадь Пирсона Сколько кукурузы и соевого шрота необходимо смешать вместе для получения 2000 # корма

7 Шаг 1. Квадрат Пирсона. Нарисуйте квадрат размером от 1 до 2 дюймов.Проведите диагональные линии поперек квадрата.

8 Квадрат Пирсона, шаг 2 - Напишите процент сырого протеина, необходимый животному, в центре квадрата, где диагональные линии пересекаются 18,0

9 Квадрат Пирсона Шаг 3 - Запишите каналы, которые будут использоваться на каждом углу. Укажите процент сырого протеина в кормах после названия корма Кукуруза 8.9% SBM 44,4% 18,0

10 Квадрат Пирсона. Шаг 4 - Вычтите меньшее из больших чисел. (Это включает сырой белок, необходимый животному и содержащийся в корме.) Запишите разницу в противоположных углах Части кукурузы 8,9% Части кукурузы SBM 44,4% SBM 18,0

11 Квадрат Пирсона Шаг 5 - Числа в двух правых углах - это части двух необходимых ингредиентов корма.26,4 части кукурузы + 9,1 части соевого шрота (SBM) 35,5 частей всего

Критерий независимости Пирсона по хи-квадрат - Принципы

Модели и эскизы исследований

Этот тест используется для оценки того, независимы ли парные наблюдения двух (обычно номинальных) переменных друг от друга. Таким образом, это позволяет нам определить, есть ли существенная разница между двумя независимыми пропорциями. Частоты в каждой категории расположены в таблице непредвиденных обстоятельств. Статистика теста представляет собой статистику хи-квадрат Пирсона (X 2 ), как определено ниже.Его точное распределение зависит от модели выборки.

Полиномиальная модель

Исходная статистика хи-квадрат Пирсона предполагает полиномиальную модель с фиксированным только общим числом наблюдений. Это может быть связано с двумя возможными схемами выборки:

    Признак
    B
    Признак A Итого
    Присутствует Отсутствует
    Настоящее время a b a + b
    Отсутствует c d c + d
    Итого a + c b + d n = a + b + c + d

    Берется единичная случайная выборка (аналитическое обследование), и отдельные лица классифицируются по двум характеристикам.Например, мы можем взять случайную выборку из 2000 взрослых мужчин в возрасте от 18 до 25 лет и определить, состоит ли каждый в браке или холост, и является ли каждый из них положительным или отрицательным на вирус ВИЧ. Затем мы сравниваем долю женатых мужчин с вирусом с долей холостых мужчин, инфицированных вирусом.

    Характеристика A Итого
    Присутствует Отсутствует
    Лечение 1 a b a + b
    Лечение 2 c d c + d
    Итого a + c b + d n = a + b + c + d

    Индивидуумов случайным образом распределяют на две группы лечения (полностью рандомизированный экспериментальный план), и в каждой группе регистрируют частоты с определенной характеристикой и без нее.Например, больных малярией случайным образом распределяют на две группы лечения, в которых пациентам назначают либо препарат А, либо препарат В. Доля пациентов, страдающих нейропсихиатрическими побочными эффектами, сравнивается между препаратом А и препаратом В. Обратите внимание, что на практике в большинстве экспериментов используется некоторая форма ограниченной рандомизации, так что числа в каждой экспериментальной группе (более или менее) фиксированы (см. Ниже).

Независимая биномиальная модель

Во второй модели итоговые суммы по строкам или столбцам фиксированы (что дает двойную биномиальную модель), но другие предельные итоги могут изменяться.

    Характеристика A Итого
    Присутствует Отсутствует
    Образец 1 a b a + b
    Образец 2 c d c + d
    Итого a + c b + d n = a + b + c + d

    Берутся две случайные выборки (план наблюдений в сравнительной области), и в каждой выборке регистрируются частоты с определенной характеристикой и без нее.Например, мы берем две случайные выборки, одну из сельской местности, а другую из городской, каждая из 1000 взрослых мужчин. Затем мы сравниваем долю инфицированных мужчин из сельской местности с долей инфицированных мужчин из городских районов. Та же модель применяется для когортных или случай-контрольных дизайнов, а также для рандомизированных исследований, в которых используется ограниченная рандомизация для выравнивания размеров групп для каждого лечения.

Точные распределения X 2 , полученные в рамках двух разных моделей, несколько отличаются.Однако асимптотическое распределение статистики для обеих моделей представляет собой хи-квадрат с (r - 1) (c - 1) степенями свободы - следовательно, это используется для теста большой выборки.

Важный момент

В Блоке 8 мы проанализировали пропорции в ситуации, когда мы взяли повторные образцы из совокупности, и вычислили процентное соотношение для каждой выборки. Это правильный подход для обработки реплицированных пропорций (преобразование не использовалось, так как p было близко к.5).

Здесь мы имеем дело с совершенно другой ситуацией, а именно, когда пропорции рассчитываются либо из одной случайной выборки, либо из двух независимых выборок. В этих условиях изменчивость не может быть измерена, а может быть оценена только с использованием биномиального распределения. Критерий хи-квадрат Пирсона не следует использовать для анализа воспроизводимых пропорций.

Испытания на больших выборках

Общая формула

Статистика теста - X 2 , известная как хи-квадрат Пирсона, - может быть рассчитана по следующей общей формуле:

Эту формулу также можно использовать для критериев согласия и для таблиц непредвиденных обстоятельств, содержащих более двух строк или столбцов.

Для 2 2 таблиц непредвиденных обстоятельств существует альтернативная вычислительная формула, которая является предпочтительной, поскольку она менее подвержена ошибкам округления:

Алгебраически -
X 2 = н (ad - bc) 2
(а + б) (а + в) (б + г) (в + г)
Где:
  • X 2 - статистика хи-квадрат Пирсона,
  • a, b, c и d - частоты в каждой ячейке таблицы, как показано выше,
  • n - общее количество наблюдений.

Обратите внимание, что для таблицы 2 2 приведенные выше формулировки математически идентичны квадрату статистики, полученной в тесте z для независимых пропорций.

Значение X 2 относится к калькулятору вероятности в вашем программном пакете или к таблице значений χ 2 при (r - 1) (c - 1) степенях свободы, где r - число строк в таблице непредвиденных обстоятельств, а c - количество столбцов.Таким образом, для таблицы непредвиденных обстоятельств два на два всегда существует только одна степень свободы.

Когда критерий хи-квадрат используется в качестве теста ассоциации, он, естественно, двусторонний, поскольку нулевая гипотеза не имеет ассоциации по сравнению с альтернативой некоторой ассоциации. Однако, когда он используется для сравнения двух пропорций (другими словами, для таблицы 2 2), может потребоваться односторонний тест. Это достигается простым уменьшением вдвое значения P , полученного с помощью статистики хи-квадрат Пирсона.

Поправка на непрерывность

Многие - но не все - статистики считают, что для небольших размеров выборки следует применять поправку на непрерывность. Это связано с тем, что непрерывное распределение (хи-квадрат) используется для представления дискретного распределения частот дискретизации. Поправка Йетса к общей формуле достигается вычитанием 0,5 из модуля каждой разницы между наблюдаемыми и ожидаемыми значениями:

Алгебраически -
X 2 c = Σ (| f i - i | - 0.5) 2
i
Где:
  • X 2 c - скорректированная статистика хи-квадрат Пирсона,
  • f i - наблюдаемая частота в ячейках от a до d,
  • i - ожидаемая частота в ячейках от a до d, рассчитанная, как указано выше.

Поправка Йейтса для расчетной формулы показана ниже:

Алгебраически -
X 2 c = n (| ad - bc | - n / 2) 2
(а + б) (а + в) (б + г) (в + г)
Где:
  • X 2 c - скорректированная статистика хи-квадрат Пирсона,
  • a, b, c и d - частоты в каждой ячейке таблицы, как показано выше,
  • n - общее количество наблюдений.

Коррекция обычно рекомендуется только в том случае, если наименьшая ожидаемая частота меньше 5. Обратите внимание, что поправку не следует применять, если | ad - bc | меньше n / 2.

Тест хи-квадрат «n - 1»

В 1947 году Пирсон рекомендовал третью версию критерия хи-квадрат, где n в вычислительной формуле для таблицы 2 × 2 заменяется на n - 1.

Алгебраически -
X 2 = (n - 1) (ad - bc) 2
(а + б) (а + в) (б + г) (в + г)
Где:
  • X 2 - статистика хи-квадрат Пирсона,
  • a, b, c и d - частоты в каждой ячейке таблицы, как показано выше,
  • n - общее количество наблюдений.

Отметим, что один статистический пакет (EpiInfo) описывает это как критерий хи-квадрат Мантеля-Хензеля, хотя такое использование термина не рекомендуется.

Точные тесты с использованием статистики X 2

Полиномиальный
Для модели, в которой итоги по строкам и столбцам не фиксированы, точное распределение получается из полиномиального распределения.Однако это требует вычислений из-за множества возможных таблиц. Например, даже при n = 4 существует 35 различных таблиц непредвиденных обстоятельств. Тем не менее, можно провести точный тест для очень маленьких таблиц (см. Conover (1999), стр. 206–209), и несколько статистических пакетов предоставляют это.

Независимый двучлен
Для модели с фиксированными итоговыми суммами по строкам или столбцам положение несколько проще, так как существует меньше возможных таблиц.Например, для двух наблюдений в каждой популяции (опять же n = 4) существует только 9 различных таблиц сопряженности. Точное распределение X 2 дается путем умножения вероятностей для каждой совокупности, полученных из биномиального распределения (см. Conover (1999), стр. 185 - 187).

Решения Монте-Карло
Альтернативный подход - использовать подход Монте-Карло для моделирования распределения статистики для каждой из двух моделей.Функция chisq.test в базе R предоставляет только имитационный тест Монте-Карло для X 2 с использованием третьей модели, в которой фиксированы итоги по строкам и столбцам. Это не очень полезно, поскольку эта модель используется редко и в любом случае покрывается точным тестом Фишера. Следовательно, мы предоставили набор из 4 функций ниже, которые позволяют R дать вам P -значений тестов X 2 , где распределение статистики X 2 оценивается на основе случайных выборок из одной или двух нулевых популяций. .

Выполнение точного теста X 2 с R:

Мы использовали этот подход, чтобы сравнить наш результат с результатом, данным Ludbrook (2008) для независимой биномиальной модели (названной Ludbrook сравнительным испытанием или таблицей 2 × 2 с однократным условием). В группе 1 было 14 мертвых и 9 живых, поэтому p 1 = 0,6087. В группе 2 было 17 погибших и 2 живых, поэтому p 2 = 0,8947. Ладбрук посчитал приемлемым значение P , равное 0,044, полученное с помощью пакета Testimate для варианта с одним условием для точных тестов с отношением шансов 1, отношением рисков 1 и разницей рисков 0. P -значение 0,0391, полученное StatXact для точных тестов при соотношении рисков 1 и разнице рисков 0, также было сочтено приемлемым. Наш точный тест Монте-Карло X 2 для этих данных с одним миллионом повторов дал аналогичное значение P , равное 0,0381.

Допущения

Выборка или распределение случайное
Для модели 1 (полиномиальная).
  • Берется простая случайная выборка, и каждое наблюдение классифицируется по одной из двух различных категорий для каждой из двух характеристик или
  • Лица в группе (полностью) случайным образом распределяются для получения либо лечения A 1 , либо лечения A 2 , а затем классифицируются в одну из двух различных категорий по признаку B. Для модели 2 (двойной бином)
  • Две независимые выборки отбираются случайным образом, и каждое наблюдение классифицируется в одну из двух различных категорий по характеристике A или
  • Лица в группе распределяются для получения либо лечения A 1 , либо лечения A 2 с использованием ограниченной рандомизации для выравнивания размеров групп, а затем классифицируются в одну из двух разных категорий по характеристике B
    Независимые наблюдения

    Предполагается, что наблюдения независимы друг от друга.Это предположение не выполняется, если (например) образцы получены из кластеров или используется рандомизация кластеров, а затем тест используется для анализа результатов на индивидуальном уровне. Однако существует приблизительная поправка, которая может быть применена к критерию хи-квадрат для использования с кластерными выборками, которые мы рассмотрим в Блоке 10. Этот тест также не подходит для анализа таблиц сопряженности, полученных из объединенных выборок. Анализ наборов из 2 2 таблиц непредвиденных обстоятельств рассматривается в соответствующей теме выше.

    Ошибки нормально распределены

    Обе модели предполагают, что ошибки имеют нормальное распределение. Если частоты ячеек достаточно велики, значения ячеек в таблице 2 2 будут нормально распределены относительно своих ожидаемых значений. Если любая ожидаемая частота меньше 5, то при условии, что вам нужно обычное значение P , следует применить коррекцию непрерывности. Если пропустить поправку на непрерывность, получится среднее значение P . Для очень малых размеров выборки общепринято было использовать точный тест Фишера, хотя в настоящее время предпочтительнее использовать точный тест, основанный на правильной модели.

    Взаимная исключительность

    Данный случай может относиться только к одному классу.

    Связанные Тем:

    Тест отношения правдоподобия G

    rc таблицы и разделы

    Тест хи-квадрат для тренда

    Сравнение выживаемости

    Несколько столов 2 × 2

    Соглашение об измерениях

  • Проверка независимости хи-квадрат | Реальная статистика с использованием Excel Реальная статистика с использованием Excel

    Метод, описанный в разделе «Качество совпадения», также можно использовать для определения независимости двух наборов данных друг от друга.Такие данные организованы в так называемые таблицы непредвиденных обстоятельств , как описано в Примере 1. В этих случаях df = (количество строк - 1) (количество столбцов - 1).

    Функция Excel : Функцию CHISQ.TEST, описанную в разделе «Степень соответствия», можно расширить для поддержки диапазонов, состоящих из нескольких строк и столбцов. Для R1 = массив наблюдаемых данных и R2 = массив ожидаемых значений имеем

    CHISQ.TEST (R1, R2) = CHISQ.DIST ( x, df ), где x вычисляется из R1 и R2, как в определении 2 критерия согласия, и df = (количество строк - 1 ) (количество столбцов - 1).

    Диапазоны R1 и R2 должны иметь одинаковый размер и форму и могут содержать только числовые значения.

    Для версий Excel до Excel 2010 функция CHISQ.TEST не существует. Вместо этого вам нужно использовать эквивалентную функцию CHITEST.

    Пример 1 : проводится опрос 175 молодых людей, родители которых классифицируются как богатые, средний класс или бедные, для определения их наивысшего уровня образования (закончили университет, окончили среднюю школу или нет).Результаты представлены в левой части рисунка 1 (наблюдаемые значения). На основании собранных данных, не зависит ли уровень образования человека от состояния его родителей?

    Рисунок 1 - Наблюдаемые данные и ожидаемые значения для примера 1

    Мы установили нулевую гипотезу равной

    H 0 : Достигнутый высший уровень школьного образования не зависит от благосостояния родителей

    Мы используем критерий хи-квадрат, поэтому нам необходимо вычислить ожидаемые значения, которые соответствуют наблюдаемым значениям в таблице выше.Для этого мы используем тот факт (согласно Определению 3 основных концепций вероятностей), что если A и B являются независимыми событиями, то P ( A B ) = P ( A ) ∙ P ( B ). Мы также предполагаем, что пропорции для выборки являются хорошими оценками вероятностей ожидаемых значений.

    Теперь мы покажем, как построить таблицу ожидаемых значений (т.е. ожидаемых значений на рисунке 1).Мы знаем, что 45 из 175 человек в выборке - из богатых семей, поэтому вероятность того, что кто-то в выборке из богатой семьи, составляет 45/175 = 25,7%. Аналогичным образом вероятность того, что кто-то из выборки окончил университет, составляет 68/175 = 38,9%. Но, исходя из нулевой гипотезы, происхождение из богатой семьи не зависит от окончания университета, и поэтому ожидаемая вероятность обоих событий является просто произведением двух событий, или 25,7% ∙ 38,9% = 10,0%.Таким образом, исходя из нулевой гипотезы, мы ожидаем, что 10,0% из 175 = 17,5 человек - из обеспеченной семьи и закончили университет.

    Таким образом мы можем заполнить таблицу ожидаемых значений. Мы начинаем с того, что устанавливаем все итоги в таблице ожидаемых значений такими же, как соответствующие итоги в таблице наблюдаемых значений (например, ячейка K6 содержит формулу = E6). Затем мы устанавливаем значение каждой ячейки в таблице ожидаемых значений равным

    .

    (итого по строке ∙ итого по столбцу) / итого

    E.г. ячейка H6 содержит формулу = K6 * H9 / K9. Альтернативный подход для заполнения всех ячеек в таблице ожидаемых значений - поместить следующую формулу массива в диапазон H6: J8 (а затем нажать Ctrl-Shft-Enter ):

    = MMULT (K6: K8, H9: J9) / K9

    См. Матричные операции для получения дополнительной информации о функции массива MMULT. Теперь мы можем рассчитать p-значение для статистики критерия хи-квадрат как CHISQ.TEST ( Obs , Exp , df ), где Obs - это массив наблюдаемых значений 3 × 3, Exp = массив ожидаемых значений 3 × 3 и df = (количество строк - 1) (количество столбцов - 1) = 2 ∙ 2 = 4.С

    CHISQ.TEST (B6: D8, H6: J8) = 0,003273 <0,05 = α

    мы отвергаем нулевую гипотезу и заключаем, что достигнутый уровень образования не зависит от благосостояния родителей.

    Пример 2 : Исследователь хочет знать, существует ли значительная разница в двух методах лечения пациентов с кокаиновой зависимостью (определяемой как отказ от приема кокаина в течение по крайней мере 6 месяцев). Она тестирует 150 пациентов и получает результаты в верхней левой части таблицы ниже (отмечены наблюдаемые значения).

    Рисунок 2 - Критерии хи-квадрат на независимость

    Мы устанавливаем следующую нулевую гипотезу:

    H 0 : Нет никакой разницы между способностью этих двух терапий излечивать кокаиновую зависимость

    Затем мы вычисляем ожидаемые значения из наблюдаемых значений, а затем p-значение статистики хи-квадрат, как мы это делали в примере 1. Однако на этот раз мы будем использовать подход, использованный в примере 2 критерия согласия, а именно вычисление статистики критерия хи-квадрат Пирсона напрямую (с использованием определения 2 критерия согласия).Значение этой статистики - 5,516 (ячейка D17 на рисунке 2). Поскольку мы имеем дело с таблицей наблюдений 2 × 2, df = (2 - 1) (2 - 1) = 1. Наконец, мы замечаем, что

    p-значение = CHISQ.DIST.RT (χ 2 , df ) = CHISQ.DIST.RT (5,516,1) = 0,0188 <0,05 = α

    χ 2 -crit = CHISQ.INV.RT ( α, df ) = CHISQ.INV.RT (.05,1) = 3,841 <5,516 = χ 2 -obs

    , и поэтому мы отвергаем нулевую гипотезу и заключаем, что существует значительная разница в скорости излечения между двумя видами лечения.

    Как было упомянуто в «Доброте совпадения», критерий максимального правдоподобия является более точной версией теста хи-квадрат, используемого до сих пор. В нижней правой части рабочего листа на Рисунке 2 показано, как вычислить статистику максимального правдоподобия (с использованием определения 1 качества соответствия). Значение этой статистики составляет 5,725, что не сильно отличается от тестовой статистики, которую мы получили с помощью теста Пирсона. Поскольку эта статистика также является приблизительно хи-квадрат с одной степенью свободы, анализ очень похож:

    p-значение = CHISQ.DIST.RT (χ 2 , df ) = CHISQ.DIST.RT (5,725,1) = 0,015 <0,05 = α

    χ 2 -crit = CHISQ.INV.RT ( α, df ) = CHISQ.INV.RT (.05,1) = 3,841 <5,725 = χ 2 -obs

    , и поэтому мы снова отвергаем нулевую гипотезу и заключаем, что существует значительная разница в результатах для двух методов лечения.

    Наблюдение : Очень важно включить в тест все наблюдения. Например. если в примере 2 мы тестируем только Cured vs.Терапия 1 и 2, мы получим ошибочные результаты. Нам нужно включить Not Cured, а также Cured.

    Функции Excel для реальной статистики : В пакете ресурсов для реальной статистики предусмотрены следующие дополнительные функции:

    CHI_STAT2 (R1, R2) = статистика хи-квадрат Пирсона для значений наблюдений в диапазоне R1 и ожидаемых значений в диапазоне R2

    CHI_MAX2 (R1, R2) = Статистика хи-квадрат максимального правдоподобия для значений наблюдения в диапазоне R1 и ожидаемых значений в диапазоне R2

    CHI_STAT (R1) = статистика хи-квадрат Пирсона для значений наблюдения в диапазоне R1.Это CHI_STAT2 (R1, R2), где R2 - ожидаемые значения, вычисленные из R1.

    CHI_MAX (R1) = Статистика хи-квадрат максимального правдоподобия для значений наблюдения в диапазоне R1. Это CHI_MAX2 (R1, R2), где R2 - ожидаемые значения, вычисленные из R1.

    CHI_TEST (R1) = p-значение для статистики хи-квадрат Пирсона для значений наблюдений в диапазоне R1. Это CHISQ.TEST (R1, R2), где R2 - ожидаемые значения, рассчитанные из R1.

    CHI_MAX_TEST (R1) = p-значение для статистики хи-квадрат максимального правдоподобия для значений наблюдения в диапазоне R1

    Диапазоны R1 и R2 должны содержать только числовые значения.

    Инструмент анализа данных реальной статистики : Кроме того, пакет ресурсов реальной статистики предоставляет дополнительный инструмент анализа данных Тест хи-квадрат . Чтобы использовать этот инструмент для примера 1, введите Ctrl-m и выберите опцию Тест хи-квадрат . Появится диалоговое окно, показанное на рисунке 3.

    Рисунок 3 - Диалоговое окно для теста хи-квадрат

    Вставьте данные наблюдения в Входной диапазон (исключая итоги, но необязательно включая заголовки строк и столбцов; i.е. диапазон A5: D8), щелкните переключатель Excel format и нажмите кнопку OK . Не устанавливайте флажок для параметра Fisher Exact Test (см. Точный тест Fisher для использования этой опции).

    Инструмент анализа данных создает массив с ожидаемыми значениями и выполняет тесты хи-квадрат Пирсона и максимального правдоподобия. Размер эффекта Крамера и для таблиц непредвиденных обстоятельств 2 × 2 размер эффекта отношения шансов, как описано в разделе «Размер эффекта для хи-квадрат».Выходные данные инструмента анализа данных для данных в примере 1 показаны на рисунке 4.

    Рисунок 4 - Выходные данные инструмента анализа данных хи-квадрат для Примера 1

    Наблюдение : Как описано в разделе «Хорошее совпадение», ожидаемая частота для любой ячейки в таблице непредвиденных обстоятельств должна быть не менее 5. В небольших таблицах (особенно таблицах 2 × 2) ячейки с ожидаемой частотой не менее 10 будут желательно.

    Для больших таблиц непредвиденных обстоятельств может быть приемлем небольшой процент ячеек с ожидаемой частотой менее 5.Даже для небольших таблиц непредвиденных обстоятельств наличие одной ячейки с ожидаемой частотой менее 5 может не вызвать больших проблем, но, вероятно, в этом случае лучше использовать точный тест Фишера. В любом случае вам следует избегать использования теста хи-квадрат, когда ожидаемая частота меньше 1 в любой ячейке.

    Если ожидаемая частота для одной или нескольких ячеек меньше 5, может быть полезно объединить одну или несколько ячеек, чтобы это условие могло быть выполнено, хотя это должно быть сделано таким образом, чтобы не искажать результаты.

    Наблюдение : В дополнение к обычному формату входных данных Excel, инструмент анализа данных Real Statistics Chi Square Test поддерживает другой формат входных данных, называемый стандартным форматом . Этот формат аналогичен тому, который используется в SPSS и других программах статистического анализа.

    Пример 3 : Опрос проводится среди 38 молодых людей, родители которых классифицируются как богатые, средний класс или бедные, чтобы определить, закончат ли они университет или нет.Результаты сведены в таблицу в левой части рисунка 5 (показаны только первые 13 из 38 строк данных). На основании собранных данных, не зависит ли уровень образования человека от состояния его родителей?

    Рисунок 5 - Данные и тесты хи-квадрат для Примера 3

    Еще раз введите Ctrl-m и выберите инструмент анализа данных Хи-квадрат . Когда появится диалоговое окно, показанное на рисунке 3, вставьте A3: B41 в Диапазон ввода , щелкните переключатель Стандартный формат и нажмите кнопку OK .

    Инструмент анализа данных сначала создает таблицу непредвиденных обстоятельств (диапазон D5: F8 на рисунке 5) и выполняет тот же тип анализа, что и в примерах 1 и 2. Поскольку sig = no (ячейки R11 и R12), мы не можем отклонить нулевое значение. гипотеза о том, что выпуск студента из университета не зависит от уровня доходов его родителей.

    Наблюдение : В примере 3 используется двухколоночная версия стандартного формата. Существует также версия с тремя столбцами, которая представляет собой версию таблицы частот другого стандартного формата.Это показано на рисунке 6, где A4: C9 вставлен в Диапазон ввода (или A3: C9, если заголовки столбцов / строк включены с данных, отмечен). Результат идентичен показанному на Рисунке 5.

    Рисунок 6 - Стандартный формат

    Дополнительное тестирование

    После получения значимого результата теста независимости хи-квадрат можно выполнить один из нескольких последующих тестов, чтобы точно определить причину значимого результата.Дополнительную информацию по этой теме можно найти, перейдя по следующим ссылкам:

    Тест независимости с хи-квадрат | R Учебник

    Две случайные величины x и y называются независимыми, если распределение вероятностей одной переменной не зависит от наличия другой.

    Предположим, что f ij - это наблюдаемое число частот событий, принадлежащих обоим i-м категория x и j-я категория y. Также предположим, что e ij является соответствующим ожидаемый счет, если x и y независимы.Нулевая гипотеза независимости Предположение должно быть отклонено, если p-значение следующей статистики критерия хи-квадрат меньше заданного уровня значимости α.

    Пример

    Во встроенном обследовании наборов данных в столбце Дым регистрируются курящие студенты. привычки, а в столбце Exer записывается уровень их тренировок. Допустимые значения в Дым бывают «Сильный», «Регул» (регулярно), «Иногда» (иногда) и «Никогда». Что касается Exer, это «Freq» (часто), «Some» и «None».

    Мы можем сопоставить количество курящих студентов с уровнем упражнений с помощью table в R. Результат называется таблицей непредвиденных обстоятельств двух переменные.

    > Library (MASS) # загрузите пакет MASS
    > tbl = table (survey $ Smoke, survey $ Exer)
    > tbl # таблица непредвиденных обстоятельств

    Freq None Some
    Heavy 7 1 3
    Never 87 18 84
    Occas 12 3 4
    Регул 9 1 7
    Задача

    Проверьте гипотезу, зависит ли курение студентов от их привычки. уровень упражнений на.05 уровень значимости.

    Решение

    Мы применяем функцию chisq.test к таблице непредвиденных обстоятельств tbl и нашли p-значение быть 0,4828.

    > Chisq.test (tbl)

    Критерий хи-квадрат Пирсона

    данные: таблица (опрос $ Smoke, опрос $ Exer)
    X-квадрат = 5,4885, df = 6, значение p = 0,4828

    Предупреждающее сообщение:
    В chisq.test (таблица (обзор $ Smoke, обзор $ Exer)):
    Аппроксимация хи-квадрат может быть неверной
    Ответ

    В качестве p-значения 0.4828 больше, чем уровень значимости 0,05, мы не отвергаем нулевая гипотеза о том, что пристрастие к курению не зависит от уровня физических упражнений студенты.

    Расширенное решение

    Предупреждающее сообщение, обнаруженное в приведенном выше решении, связано с маленькими значениями ячеек в таблица непредвиденных обстоятельств. Чтобы избежать такого предупреждения, мы объединяем вторую и третью столбцы таблицы tbl и сохраните ее в новой таблице с именем ctbl. Затем мы применяем chisq.test функция против ctbl вместо этого.

    > Ctbl = cbind (tbl [, "Freq"], tbl [, "None"] + tbl [, "Some"])
    > ctbl
    [, 1] [, 2]
    Heavy 7 4
    Never 87 102
    Occas 12 7
    Regul 9 8

    > чиск.test (ctbl)

    критерий хи-квадрат Пирсона

    данные: ctbl
    X-квадрат = 3,2328, df = 3, p-значение = 0,3571
    Упражнение

    Провести тест независимости курения и физических упражнений с помощью критерия хи-квадрат, вычисление p-значения по формуле из учебника.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *