Комплексные числа и операции над ними: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

3.$

Ответ: $i.$

Найти действительные решения следующего уравнения:

1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$

Ответ: $x=1/3; y=1/4.$

Решить следующие системы линейных уравнений:

1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$

$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

Ответ: $z_1=1; z_2=i.$

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$

Содержание

Комплексные числа и действия над ними Практикум

федеральное агенство по образованию

Дальневосточный государственный технический университет

(ДВПИ им. В.В. Куйбышева)

Методические указания по проведению практических занятий для студентов технических специальностей

Владивосток 2010

Одобрено методическим советом университета

УДК 519

Комплексные числа и действия над ними. : метод. указания / Сост. Н.Е. Дегтярева. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2010. – 20с.

В краткой форме излагается основной теоретический материал, входящий в раздел теории функций комплексного переменного: понятие комплексного числа и форм его записи, изображение комплексного числа на комплексной плоскости, действия над комплексными числами, заданными в различных формах записи. Содержит 10 вариантов заданий для самостоятельной работы студентов. Приведены решения типовых заданий и список дополнительных задач.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

Методические указания печатаются с оригинал-макета, подготовленного автором

©Н.Е.Дегтярева

©Изд.-во ДВГТУ, 2010

Комплексные числа и формы их записи

Комплексное число – это выражение вида:

(1.1)

где – действительная часть, обозначается;– мнимая часть, обозначается; – мнимая единица, такая, что:

(1. 2)

Формула (1.1) называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Комплексное число, как некоторую точку на комплексной плоскости, можно задать радиус-вектороми углом поворотаэтого вектора (рис.1).

Рис.1

Применяя формулы перехода из декартовой системы координат в полярную систему

(1.3)

получим комплексное число, записанное через тригонометрические функции, т.е. в тригонометрической форме:

(1.4)

где — модуль комплексного числа,- аргумент комплексного числа= +

Формулы перехода от декартовых координат к полярным, задаются соотношениями:

(1.5)

где

(1.6)

Где , или

Применяя к тригонометрической форме записи комплексного числа формулу Эйлера:

(1. 7)

получим показательную или экспоненциальную форму записи комплексного числа:

. (1.8)

Для каждого комплексного числа определено комплексно сопряженное числои определяемое формулами:

(1.9)

Важно знать, что (1.10)

При вычислениях и доказательствах некоторых комплексных тождеств полезны следующие формулы: , .

2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Сложение и вычитание

Действие сложения и вычитания комплексных чисел ипроизводится по правилу сложения и вычитания двучленов

Группируя отдельно действительную и мнимую части, получим формулу:

(2.1)

Умножение.

Действие умножение комплексных чисел ипроизводится по правилу умножения двучленов

раскроем скобки

используя формулу (1. 2) и группируя действительные и мнимые слагаемые, получим выражение:

(2.2)

Деление.

Чтобы преобразовать дробь в комплексное число, необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряжённое к знаменателю, в числителе произвести действие умножения, а для знаменателя воспользоваться формулой (1.10)

;

(2.3)

Операции с комплексными числами

К Добавить два комплексные числа , добавьте действительную часть к действительной части и мнимую часть к мнимой части.

( а + б я ) + ( с + г я ) знак равно ( а + с ) + ( б + г ) я

Пример 1:

( 2 + 7 я ) + ( 3 − 4 я ) знак равно ( 2 + 3 ) + ( 7 + ( − 4 ) ) я знак равно 5 + 3 я

К вычесть два комплексных числа, вычесть действительную часть из действительной части и мнимую часть из мнимой части.

( а + б я ) − ( с + г я ) знак равно ( а − с ) + ( б − г ) я

Пример 2:

( 9 + 5 я ) − ( 4 + 7 я ) знак равно ( 9 − 4 ) + ( 5 − 7 ) я знак равно 5 − 2 я

К умножать два комплексных числа, используйте ФОЛЬГА метод и объединять подобные термины .

( а + б я ) ( с + г я ) знак равно а с + а г я + б с я + б г я 2 знак равно а с + ( а г + б с ) я − б г ( Воспоминание я 2 знак равно − 1 ) знак равно ( а с − б г ) + ( а г + б с ) я

Пример 3:

( 3 + 2 я ) ( 5 + 6 я ) знак равно 15 + 18 я + 10 я + 12 я 2 знак равно 15 + 28 я − 12 знак равно 3 + 28 я

К разделять два комплексных числа, умножьте числитель и знаменатель на комплексное сопряженный , расширить и упростить. Затем запишите окончательный ответ в стандартной форме.

а + б я с + г я ⋅ с − г я с − г я знак равно ( а с + б г ) + ( б с − а г ) я с 2 + г 2

Пример 4:

3 + 2 я 4 − 5 я знак равно 3 + 2 я 4 − 5 я ⋅ 4 + 5 я 4 + 5 я знак равно 12 + 15 я + 8 я + 10 я 2 16 + 25 знак равно 2 + 23 я 41 знак равно 2 41 + 23 41 я

2.

2: Операции над комплексными числами

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 267

Исайя Ланкхэм, Бруно Нахтергаэле и Энн Шиллинг
Калифорнийский университет, Дэвис

Несмотря на то, что мы формально определили $\mathbb{C}$ как множество всех упорядоченных пар действительных чисел, тем не менее мы можем расширить обычные арифметические операции над $\mathbb{R}$, так что они также делают смысл в $\mathbb{C}$. Мы обсудим такие расширения в этом разделе, наряду с некоторыми другими важными операциями над комплексными числами.

2.2.1 Сложение и вычитание комплексных чисел

Сложение комплексных чисел выполняется покомпонентно, то есть действительная и мнимая части просто объединяются.

Определение 2.2.1. Имея два комплексных числа \((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in \mathbb{C}\, мы определяем их комплексную сумму как быть

\[ (x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) . \]

Пример 2.2.2 . $ (3, 2) + (17, -4,5) = (3 + 17, 2 — 4,5) = (20, -2,5).$

Как и в случае с действительными числами, вычитание определяется как сложение с так -называется аддитивной инверсией , где аддитивная инверсия $z=(x,y)$ определяется как $-z=(-x,-y)$.

Пример 2.2.3. $ (\pi, \sqrt{2}) — (\pi/2, \sqrt{19}) = (\pi, \sqrt{2}) + (-\pi/2, -\sqrt{19 }), $

, где

\[ (\pi, \sqrt{2}) + (-\pi/2, -\sqrt{19}) = (\pi — \pi/2, \sqrt{ 2} — \sqrt{19}) = (\pi/2, \sqrt{2} — \sqrt{19}). \]

Сложение комплексных чисел обладает многими из тех же свойств, что и сложение действительных чисел, включая ассоциативность, коммутативность, существование и уникальность аддитивной идентичности, а также существование и уникальность аддитивных инверсий. Мы резюмируем эти свойства в следующей теореме, которую вы должны доказать для себя.0114 практика.

Теорема 2.2.4. Пусть $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}$ — любые три комплексных числа. Тогда верны следующие утверждения.

( Ассоциативность ) $(z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2} + z_{3})$.
( Коммутативность ) $z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}$.
( Аддитивный идентификатор ) Существует уникальное комплексное число, обозначаемое $0$, такое, что для любого комплексного числа $z \in \mathbb{C}$, $0 + z = z$. Более того, , $0 = (0, 0)$.
( Аддитивные инверсии ) Для любого комплексного числа $z \in \mathbb{C}$, существует уникальное комплексное число, обозначаемое $-z$, такое, что $ z + (-z) = 0$. Более того, если $z = (x, y)$ с $x, y \in \mathbb{R}$, , то \(-z = (-x, -y)\ ).

Доказательство этой теоремы простое и опирается исключительно на определение комплексного сложения, а также на знакомые свойства сложения для действительных чисел. Например, чтобы проверить коммутативность, пусть $z_{1} = (x_{1}, y_{1})$ и $z_{2} = (x_{2}, y_{2})$ комплексные числа с $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} \in \mathbb{R}$.
Тогда
\[
z_{1} + z_{2} =
(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) =
(x_{2} + x_{1} , y_{2} + y_{1}) =
z_{2} + z_{1}.
\]

2.2.2 Умножение и деление комплексных чисел

Определение умножения двух комплексных чисел на первый взгляд несколько менее прямолинейно, чем определение сложения.

Определение 2.2.5. Учитывая два комплексных числа $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in \mathbb{C}$, мы определяем их комплексных 9{2}
\\
& =
x_{1}x_{2} + x_{1}y_{2}i + x_{2}y_{1}i — y_{1}y_{2}
\\
& =
x_{1}x_{2} — y_{1}y_{2} + (x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})i.
\end{align*}

Как и в случае сложения, основные свойства комплексного умножения достаточно легко доказать с помощью определения. Мы суммируем эти свойства в следующей теореме, которую вам также следует доказать на практике.

Теорема 2.2.6. Пусть $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C}$ — любые три комплексных числа. Тогда верны следующие утверждения .

( Ассоциативность ) $(z_{1}z_{2})z_{3} = z_{1}(z_{2}z_{3})$.
( Коммутативность ) $z_{1}z_{2} = z_{2}z_{1}$.
( Мультипликативное тождество ) Существует уникальное комплексное число, обозначаемое $1$, такое, что для любых $z \in \mathbb{C}$, $1 z = z $. Более того, , $1 = (1, 0)$.
( Распределение умножения по сложению 9{2}}\справа). \]
Доказательство.
Уникальность: Комплексное число $w$ является обратным к $z$, если $z w=1$ (по коммутативности комплексного умножения это эквивалентно $w z=1$ Сначала мы докажем, что если $w$ и $v$ — два комплексных числа такие, что $z w=1$ и $z v=1$, то мы обязательно имеем $w=v\ ). Тогда это будет означать, что любой \(z\in\mathbb{C}$ может иметь не более одного обратного. Чтобы увидеть это, мы начнем с $z v=1$. Умножив обе части на $w\ ), получаем \(w z v=w 1$. Используя тот факт, что $1$ является мультипликативной единицей, что произведение коммутативно, и предположение, что $w$ является обратным, получаем $ z w v=v=w$.9{2}}
\справа)
=
\слева(
\разрыв{3 + 8}{9 + 16}
,
\разрыв{6 — 4}{9 + 16}
\справа)
=
\ влево(
\frac{11}{25}
,
\frac{2}{25}
\right).
\]
2.2.3 Комплексное сопряжение
Комплексное сопряжение — это операция над $\mathbb{C}$, которая окажется очень полезной, поскольку позволяет нам манипулировать только мнимой частью комплексного числа. В частности, в сочетании с понятием модуля (как определено в следующем разделе) это одна из самых фундаментальных операций над $\mathbb{C}$. Определение и основные свойства комплексного сопряжения следующие. (Как и в предыдущих разделах, вы должны предоставить доказательство теоремы ниже для собственной практики.)
Определение 2.2.8. Учитывая комплексное число $z = (x, y) \in \mathbb{C}$ с $x, y \in \mathbb{R}$, мы определяем ( комплексное ) сопряженное из $z$ быть комплексным числом
\[ \bar{z} = (x, -y). \]
Теорема 2.2.9. Даны два комплексных числа $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$,
$\overline{z_{1} + z_{2}} = \overline{z_{ 1}} + \overline{z_{2}}$.
$\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}\, \overline{z_{2}}$.
$ \overline{1/z_1} = 1/\overline{z_1}$, для всех $z_1\neq 0$.
$\overline{z_{1}} = z_{1}$ тогда и только тогда, когда $\ImaginaryPart(z_{1}) = 0$.
$\overline{\overline{z_{1}}} = z_{1}$.
действительная и мнимая части $z_{1}$ могут быть выражены как
\[ \mathrm{Re}(z_{1}) = \frac{1}{2}(z_{1} + \overline{z_{1}})
{\rm \quad и \quad}
\mathrm{Im}(z_{1}) = \frac{1}{2 i}(z_1 — \overline{z_1} ). \]
2.2.4 Модуль (он же норма, длина или величина) 9{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \]
Чтобы увидеть это геометрически, постройте фигуру на евклидовой плоскости, например
, и примените теорему Пифагора к полученный прямоугольный треугольник, чтобы найти расстояние от начала координат до точки $(3, 4)$.
Следующая теорема перечисляет основные свойства модуля, особенно в том, что касается комплексного сопряжения. Вы должны предоставить доказательства для вашей собственной практики.
Теорема 2.2.12. Даны два комплексных числа $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}$,
$|z_{1}z_{2}| = |z_{1}| \cdot|z_{2}|$.
${\displaystyle \left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right| = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}}$, при условии, что $z_{2} \neq 0$.
$|\overline{z_{1}}| = |z_{1}|$.
$|\mathrm{Re}(z_{1})| \leq |z_{1}|$ и $|\mathrm{Im}(z_{1})| \leq |z_{ 1}|$.
( Неравенство треугольника 9{2}\), некоторые из операций, определенных в разделе 2. 2, можно непосредственно визуализировать, как если бы они были операциями над векторами .
Для целей этой главы мы рассматриваем векторы как направленные отрезки, которые начинаются в начале координат и заканчиваются в заданной точке на евклидовой плоскости. Эти отрезки также можно перемещать в пространстве до тех пор, пока сохраняются направление (которое мы будем называть аргументом в разделе 2.3.1 ниже) и длина (также известная как модуль). Таким образом, различие между точками на плоскости и векторами является просто вопросом соглашения, пока мы, по крайней мере, неявно думаем о каждом векторе как о перемещенном, так что он начинается в начале координат.
Как мы видели в примере 2.2.11 выше, модуль комплексного числа можно рассматривать как длину гипотенузы некоторого прямоугольного треугольника. Сумма и разность двух векторов также могут быть представлены геометрически как длины определенных диагоналей в конкретном параллелограмме, который формируется путем копирования и соответствующего перевода двух объединяемых векторов.
Пример 2.2.13. Мы изображаем сумму $(3, 2) + (1, 3) = (4, 5)$ как главную штриховую диагональ параллелограмма на крайнем левом рисунке ниже. Разность $(3, 2) — (1, 3) = (2, -1)$ также можно рассматривать как более короткую диагональ того же параллелограмма, хотя мы должны были бы настаивать на том, чтобы эта более короткая диагональ была перенесена так что он начинается в начале координат. Последнее показано на крайнем правом рисунке ниже.
Авторы
Исайя Ланкхэм, математический факультет Калифорнийского университета в Дэвисе
Бруно Нахтергаэле, математический факультет Калифорнийского университета в Дэвисе
Энн Шиллинг, математический факультет Калифорнийского университета в Дэвисе
Версии этого учебника в твердом и мягком переплете доступны онлайн на сайте WorldScientific.com.
Эта страница под названием 2.2: Операции над комплексными числами распространяется по недекларированной лицензии, ее авторами, ремикшированием и/или кураторами являются Исайя Лэнкхэм, Бруно Нахтергаэле и Энн Шиллинг.