Разное

Классификация уравнений второго порядка в частных производных: Классификация уравнений в частных производных второго порядка — Студопедия

Содержание

Классификация уравнений в частных производных второго порядка — Студопедия

Студопедия Категории Авто Автоматизация Архитектура Астрономия Аудит Биология Бухгалтерия Военное дело Генетика География Геология Государство Дом Журналистика и СМИ Изобретательство Иностранные языки Информатика Искусство История Компьютеры Кулинария Культура Лексикология Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлы и Сварка Механика Музыка Население Образование Охрана безопасности жизни Охрана Труда Педагогика Политика Право Программирование Производство Промышленность Психология Радио Регилия Связь Социология Спорт Стандартизация Строительство Технологии Торговля Туризм Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Эконометрика Экономика Электроника Юриспунденкция Предметы Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений
электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и
прикладные исследования
в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ

4. 2. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка

Введем обозначения (для сокращения и удобства письма):

.

Пусть дано уравнение

,                            (4.1)

где        – заданные функции х, y.

Это уравнение называется линейным. Если , то уравнение называется линейным однородным, в противном случае линейным неоднородным. Если все коэффициенты постоянные, то уравнение называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

Практика и теория подтверждает, что с помощью преобразования переменных  данное дифференциальное уравнение остается линейным:

,                                        (4.2)

где коэффициенты [7]:

Спрашивается: нельзя ли выбрать переменные  и  так, чтобы в преобразованном уравнении (4.2) некоторые коэффициенты обратились в нуль? Эта возникшая задача связана с решением обыкновенного дифференциального уравнения, которое называется характеристическим для исходного с частными производными:

                                            (4.3.)

Его интегралы называются характеристиками.

Если  – общий интеграл (4.3), то, положив , мы обратим в нуль коэффициент

 при .

Если  – другой интеграл (4.3), линейно независим от , то полагают , тем самым в нуль обращают  при .

Уравнение (4.3.) можно записать так:

.                                               (4.4)

Если , то  и  – действительные и различные. Делая замену, приводим уравнение к виду:

                                                 (4.5)

В этом случае говорят, что уравнение имеет гиперболический тип. Если положить , , то уравнение примет вид:

.                                         (4.6)

Если , то имеем один общий интеграл . Пусть  – любая функция, линейно независимая от , тогда: , и исходное уравнение будет иметь вид:

                                                 (4.7)

В этом случае говорят, что уравнение имеет параболический тип.

Если, то характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные интегралы:

 и ,

и, положив     уравнение приведем к виду:

,                                         (4.8)

который называется эллиптическим.

Если коэффициенты линейного уравнения постоянные, то характеристическое уравнение имеет решение:

При  уравнение приводится к виду:

или

,

который называется гиперболическим.

При

3. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка

Дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка не имеют единого метода численного решения. Поэтому следует рассмотреть их классификацию, позволяющую использовать единые методы для численного решения каждого из подтипов этих уравнений.

Общий вид дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных при условии, что искомая функция зависит от двух переменных, можно представить следующим образом:

В зависимости от знака величины

(1.1)

дифференциальные уравнения в частных производных 2-го порядка относят к уравнениям:

при D> 0 –гиперболическоготипа,

при D< 0 –эллиптическоготипа,

при D= 0 –параболическоготипа.

Принадлежность многомерных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка к тому или иному типу определяют, руководствуясь следующими правилами.

1. Если в уравнении присутствуют производные 2-го порядка по всем независимым переменным и знаки перед ними одинаковые – то данное уравнение относят к уравнениям эллиптическоготипа, например:

2. Если в уравнении отсутствует производная 2-го порядка хотя бы по одной из независимых переменных – то данное уравнение относят к уравнениям параболическоготипа, например:

4. Начальные и граничные условия

Для решения дифференциальных уравнений численными методами требуются дополнительные условия. Если искомая функция (концентрация, температура и т.д.) является функцией времени

u = f (t), то требуютсяначальные условия, характеризующие значение этой функции в момент времени, принятый за начальный:

Если искомая функция также является функцией пространственных координат u = f (tx), то начальные условия характеризуют её распределение в пространстве в начальный момент времени:

В последнем случае помимо начальных условий, требуются ещё и граничныеусловия, характеризующие значение функцииuна границе изучаемой системы с внешней средой для любого момента времени. Причём если искомая функция является функцией нескольких пространственных координат, то необходимо задавать граничные условия по каждой из них. Количество граничных условий по каждой пространственной координате определяется порядком старшей производной функцииuпо этой координате в дифференциальном уравнении. Например, для решения многомерного уравнения

требуются: начальное условие,

2 граничных условия по координате х,

1 граничное условие по координате y,

2 граничных условия по координате z.

5. Классификация граничных условий

В различных физико-химических задачах граничные условия могут быть представлены в разном виде. Рассмотрим классификацию граничных условий на примере уравнения теплового баланса трубчатого реактора с продольным перемешиванием:

где w– скорость реакции;Hтепловой эффект реакции;– теплоёмкость, плотность и температура смеси в реакторе;v– линейная скорость потока;– коэффициент теплопроводности;х– координата по длине реактора.

Начальные условия для данного уравнения характеризуют распределение температуры по длине реактора в начальный момент времени:

1) Граничные условия 1-го родаопределяют температуры на границах реактора для любого момента времени:

2) Граничные условия 2-го рода

задают изменение температуры на границах реактора для любого момента времени:

3) Граничные условия 3-го родаопределяют закон свободного теплообмена с окружающей средой на границах реактора для любого момента времени:

4) Смешанные граничные условия, если при постановке задачи используются граничные условия разных родов, например:

Здесь – коэффициент теплоотдачи;l– длина реактора;Тср– температура окружающей среды.

Классификация уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические, эллиптические и гиперболические.

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

где A, B, C — коэффициенты, зависящие от переменных x и y, а многоточие означает члены, зависящие от x, y, u и частных производных первого порядка: и . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения:

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от знака дискриминанта , классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

1. — Гиперболическое уравнение,

2. — Эллиптическое уравнение,

3. — Параболическое уравнение (здесь предполагается, что в данной точке коэффициенты A, B, C не обращаются в нуль одновременно).

В случае, когда все коэффициенты A, B, C — постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y. В случае, если коэффициенты A, B, C непрерывно зависят от x и y, множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых — эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения.

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

оно также может быть расклассифицирована[1] (в заданной точке ), по аналогии с соответствующей квадратичной формой:

Невырожденным линейным преобразованием

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке ) рассматриваемого уравнения:

1. Если в точке квадратичная форма в каноническом виде имеет все коэффициенты одного знака, то уравнение в этой точке называется уравнением эллиптического типа.

2. Если точке квадратичная форма в каноническом виде имеет коэффициенты различных знаков, но при этом все они отличны от 0, то уравнение в этой точке называется уравнением гиперболического типа.

3. Если точке квадратичная форма в каноническом виде имеет хотя бы один коэффициент равный 0, то уравнение в этой точке называется уравнением параболического типа.

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

1. Гиперболический тип может быть расклассифицирован на:

1. Нормальный гиперболический тип, если один коэффициент одного знака, а остальные другого.

2. Ультрагиперболический тип, если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.

2. Параболический тип может быть расклассифицирован на:

1. Эллиптически-параболический тип, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.

2. Гиперболически-параболический тип, если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:

1. Нормальный гиперболически-параболический тип

2. Ультрагиперболически-параболический тип

3. Ультрапараболический тип, если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

 

ВОПРОС 59. Линейные дифференциальные уравнения. Структура общего решения линейного дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение называется линейным и может быть решено двумя методами: методом интегрирующего множителя или методом вариации постоянной.


Похожие статьи:

II. Квазилинейные уравнения в частных производных второго порядка. Классификация и приведение к каноническому виду.

Для упрощения записи дальше будем использовать обозначения:

.

Общий вид квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка для случая, когда неизвестная функция зависит от двух переменных:

. (2.1)

Здесь функции непрерывны по , а – произвольная непрерывная по всем переменным функция. Кроме того, уравнение (2.1) невырожденное, т.е. . В каждой точке плоскости уравнение вида (2.1) принадлежит к одному (и только одному) из трех типов уравнений: гиперболическому, параболическому и эллиптическому.

Тип уравнения однозначно определяется через функцию коэффициентов при старших производных :

· если , то уравнение (2.1) имеет гиперболический тип;

· если , то уравнение (2.1) имеет параболический тип;

· если , то уравнение (2.1) имеет эллиптический тип.

Функция сохраняет знак при любом невырожденном преобразовании координат, следовательно тип уравнения не зависит от выбора независимых переменных. Для каждого типа уравнений существует такая система координат, в которой уравнение имеет максимально простой, или, как его принято называть, канонический вид.

· Канонический вид для уравнений гиперболического типа:

или .

· Канонический вид для уравнений параболического типа:

или .

· Канонический вид для уравнений эллиптического типа:

.

 

Пример 2. В области провести исследование уравнения

: (2.2)

а) определить тип и привести уравнение к каноническому виду;

b) найти общее решение уравнения;

c) найти частное решение уравнения, удовлетворяющее условиям: , .

Решение.

А. В указанной области , следовательно, уравнение имеет гиперболический тип. Составим уравнение характеристик

,

распадающееся на два вещественных уравнения первого порядка, из которых находятся два первых интеграла:

  • следовательно, первый интеграл ;
  • следовательно, первый интеграл .

Делаем замену переменных , которая должна привести уравнение к канонической форме. По формулам дифференцирования сложной функции получаем:

; ;

;

;

.

Подставляя преобразованные производные в исходное уравнение и обозначая , приводим его к каноническому виду:

. (2.3)

В.Перепишем уравнение (2.3) в виде. Тогда , где – произвольная функция, зависящая только от .

Интегрируя полученное уравнение по , найдем, что

или ,

где , – произвольные (дважды дифференцируемые) функции своих аргументов. Возвращаясь к переменным получаем общее решение уравнения (2.2):

. (2.4)

С.Выделим теперь из общего решения частное, т.е. найдем такие функции и , при которых выполнены заданные условия.



Из первого условия получаем: .

Аналогично из второго: .

Выражая из первого уравнения и подставляя во второе, получаем: , следовательно, , а . Перейдя для удобства к другим переменным, имеем окончательно: , , где – произвольная постоянная. Для получения частного решения осталось подставить найденные и в формулу (2.4): Частное решение, таким образом, имеет вид:

 

Задание 3.

В указанных областях для данных уравнений:

а) определить тип и привести уравнение к каноническому виду;

b) найти общее решение;

c) найти частное решение, удовлетворяющее заданным условиям.

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

 

Классификация ДУ с частными производными второго порядка. — КиберПедия

Введение.

Уравнения математической физики – дифференциальные уравнения, в них входят частные производные.

 

Примеры уравнений первого порядка:

(1)

Примеры уравнений второго порядка:

(2)

Рассмотрим простейшее уравнение:

. (3)

Очевидно, что его решение:

(4)

Где φ(y) – произвольная функция.

Следующий пример уравнения

где f(y) – заданная функция. (5)

Общее решение

(6)

Где φ(y) – произвольная функция.

Упражнение. Проверить, что общее решение уравнения

(7)

Есть

(8)

Где φ – произвольная дифференцируемая функция.

 

Простейшее уравнение второго порядка:

(9)

Заменим . Тогда наше уравнение принимает вид:

(10)

Его общее решение v=f(y). Тогда, возвращаясь к замене, получаем:

(11)

Общее решение

(12)

Или

(13)

Упражнение. Проверить, что функция является общим решением уравнения

(14)

Уравнения гиперболического типа.

Основные задачи.

3.1.1. Поперечные колебания струны.

 

Рассмотрим струну, колеблющуюся в одной плоскости. Для описания процесса колебаний вводится функция u(x,y) – вертикальное смещение струны, так что u=u(x,y) – уравнение струны в данный момент. В нашей модели струна – гибкая упругая нить, что означает, что напряжение в струне всегда направлены по касательной к струне. Мы будем рассматривать малые колебания струны. В этом приближении можно показать, что сила натяжения струны не зависит от x и t, т.е.

(44)

 

Для получения уравнения малых колебаний струны составим ее уравнение движения. Рассмотрим элемент струны от х до и запишем для него уравнение движения в проекциях на вертикальную ось:

(45)

Так как мы рассматриваем малые колебания, то можно пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению с

- линейная плотность струны.

m – масса единицы длины струны.

- сила, которая действует на весь элемент струны.

Каждая точка струны двигается по вертикали

u(x,y) – смещение.

a – ускорение элемента струны.

 

В этом приближении

В результате уравнение движения может быть переписано в виде:

(46)

При получаем

(47)

Полученное уравнение – уравнение малых поперечных колебаний струны. В случае однородной струны его можно переписать в виде

(48)

где

- сила

- линейная плотность струны.

- плотность силы, отнесенная к единице массы. При отсутствии внешней силы получаем однородное уравнение

(49)

 

 

Продольные колебания стержня.

 

Уравнение продольных колебаний однородного стержня имеет вид:



 

(50)

Где

,

k – модуль Юнга стержня,

.

u – смещение точки стержня.

Поперечные колебания мембраны.

 

Мембраной называется плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мы будем рассматривать только поперечные колебания мембраны. Дифференциальное уравнение таких колебаний имеет вид

(51)

Для однородной мембраны

(52)

Где

Колебания круглой мембраны.

Применим метод решения задачи о колебаниях прямоугольной мембраны к колебаниям круглой мембраны. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса R с центром в начале координат. Введем полярные координаты r и φ:

x=rcos φ, y=rsin φ.

 

Выполняя замену переменных u(x,y,t) à u(r,φ,t) уравнение колебаний мембраны приводятся к виду

(131)

 

 

Граничные условие будет иметь вид

Начальные условия

Будем рассматривать только осесимметричные колебания мембраны, т.е. начальные условия не должны зависеть от угла φ. Очевидно, что в любой момент времени скорости и отклонения точек будут зависеть от угла, поэтому наша задача упрощается:

(132)

Граничные условия

Начальные условия

 
 

 

Будем искать решение в виде

(133)

Из краевого условия сразу находим

U(R)=0

Подставляя (133) в уравнение, получаем

разделим на UT

(134)

В результате приходим к уравнениям

(135)

(136)

В последнем сделаем замену :

Подставляя в наше уравнение, получаем

(137)

Получившееся уравнение является частным случаем уравнения Бесселя:

(138)

Решениями последнего уравнения при заданном k называется бесселевыми функциями порядка k (цилиндрическими функциями).

Найдем решение уравнения (138). Очевидно, что оно имеет особую точку при x=0, поэтому его решение будем искать в виде степенного ряда. Для этого преобразуем его к виду:

(139)

 

 

Записываем ряд:

(140)

Подставляя (140) в (139) и приравнивая коэффициенты при каждой степени x нулю, получим систему уравнений



(141)

Где l=2,3…

Предполагая, что , находим

Из второго уравнения (141) находим, что =0. преобразуем l-е уравнение в системе (141).

 

(142)

Отсюда получаем рекуррентную формулу:

(143)

С учетом найденного =0 делаем вывод, что все нечетные коэффициенты равны нулю. Очевидно, что при решение обращается в бесконечность при x=0. будем рассматривать случай . В результате, для четных коэффициентов получаем

(144)

Применяя эту формулу m-1 раз, получим

(145)

Полагая,

Получаем

(146)

В результате, полученное решение называется функцией Бесселя первого рода k-ого порядка и имеет вид:

(147)

 

Колебания круглой мембраны.

Введем полярные координаты r и φ: x=rcos φ, y=rsin φ.

Выполняя замену переменных u(x,y,t) à u(r,φ,t) уравнение колебаний мембраны приводятся к виду

Граничные условие будет иметь вид

Начальные условия

Будем рассматривать только осесимметричные колебания мембраны, т.е. начальные условия не должны зависеть от угла φ. Очевидно, что в любой момент времени скорости и отклонения точек будут зависеть от угла,

Граничные условия

Начальные условия

Будем искать решение в виде

Из краевого условия сразу находим U(R)=0

С учетом этого находим

Задачи диффузии.

Концентрация – число атомов и молекул этого вещества в единице объема.

В задачах диффузии находится неизвестная функция – концентрация диффундирующего вещества, обозначаемая

Процесс диффузии аналогичен теплопроводности, поэтому уравнение диффузии будет иметь вид

Здесь D – коэффициент диффузии.

Начальные условия –

мы задаем начальную концентрацию. Краевые условия

соответствует тому, что граница G непроницаема для диффундирующего вещества, - концентрация на границе

Введение.

Уравнения математической физики – дифференциальные уравнения, в них входят частные производные.

 

Примеры уравнений первого порядка:

(1)

Примеры уравнений второго порядка:

(2)

Рассмотрим простейшее уравнение:

. (3)

Очевидно, что его решение:

(4)

Где φ(y) – произвольная функция.

Следующий пример уравнения

где f(y) – заданная функция. (5)

Общее решение

(6)

Где φ(y) – произвольная функция.

Упражнение. Проверить, что общее решение уравнения

(7)

Есть

(8)

Где φ – произвольная дифференцируемая функция.

 

Простейшее уравнение второго порядка:

(9)

Заменим . Тогда наше уравнение принимает вид:

(10)

Его общее решение v=f(y). Тогда, возвращаясь к замене, получаем:

(11)

Общее решение

(12)

Или

(13)

Упражнение. Проверить, что функция является общим решением уравнения

(14)

Классификация ДУ с частными производными второго порядка.

Уравнением с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными x, y называется соотношение между неизвестной функцией u(x,y) и ее частными производными до второго порядка включительно:

(15)

Линейное относительно старших производных уравнение

(16)

Здесь коэффициенты являются функциями x и y.

Линейное уравнение

(17)

Причем a, b, c, f – зависят только от x и y. Если a, b, c, f не зависят от x и y, то (17) – однородное уравнение.

Рассмотрим вопрос о приведении уравнения (16) к наиболее простому виду. Для этого рассмотрим замену переменных:

(18)

(19)

По правилу нахождения производной сложной функции:

(20)

(21)

Далее

(22)

Аналогично,

Подставляем вычисленные значения производных в уравнение (16)

(23)

Коэффициенты при старших производных имеют вид:

(24)

(25)

(26)

Очевидно, что наиболее простой вид рассматриваемое уравнение будет иметь, если и .

Для того, чтобы , необходимо, чтобы функция φ(x,y) была решением уравнения.

(27)

Для того, чтобы , , необходимо, чтобы функция φ(x,y) была решением уравнения (27).

Теорема. Для того, чтобы функция z = φ(x,y) удовлетворяла уравнению (27), необходимо, чтобы соотношение φ(x,y)=С (28)

было общим интегралом уравнения

(29)

Докажем необходимость. Пусть функция z = φ(x,y) удовлетворяет уравнению (27).

Тогда из (27) получаем:

(30)

Из (28) находим:

(31) получаем, как φ(x,y)=С – берем полный дифференциал.

(31)

Подставляем в уравнение (30)

Домножаем на

. Таким образом мы доказали необходимость.

Докажем теперь достаточность.

Пусть φ(x,y)=С – общий интеграл уравнения (29), которое мы перепишем еще раз:

Отсюда получаем:

Подставляем сюда (31), находим

Отсюда,

, что и требовалось доказать.

Таким образом, если и =const есть общий интеграл уравнения

(33)

то коэффициент при =0. если и =const есть другой независимый интеграл этого уравнения, то коэффициент при .

Уравнение (33) называется характеристическим, а его интегралы – характеристиками.

Уравнение (33) распадается на два:

(34)

(35)

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения

(36)

Если >0, то уравнение (36) – уравнение гиперболического типа. В этом случае правые части (34) и (35) действительны и различны. Получаем соответствующие общие интегралы =С и =С. Далее выполняем замену переменных

, (37)

И разделив на коэффициент при получаем уравнение вида:

(38)

Полученное уравнение – каноническая форма уравнений гиперболического типа.

Далее выполняем замену:

или

Т.е.

Вычисляем производные:

Подставляя в уравнение (38), получаем:

(39)

Если =0, то уравнение (36) – уравнение параболического типа. В этом случае уравнения (34) и (35) совпадают. Соответственно, возникает только один общий интеграл =const

Выбираем переменные следующим образом:

, (40)

где функция - любая независимая от φ.

Рассмотрим коэффициент . С учетом, находим

(41)

Тогда для (42)

Таким образом, мы доказали, что

В результате мы получаем каноническую форму уравнения параболического типа:

Если <0, то уравнение (36) – уравнение эллиптического типа.

 

z=x+iy;

z=|z|

z*=x-iy

z*=|z|

В этом случае правые части уравнений (34) и (35) комплексны. Если φ(x,y)=С – есть комплексный интеграл (34), то φ*(x,y)=С* - есть комплексный интеграл (35).

Если ввести новые переменные

,

то уравнение эллиптического типа приводится к формально тому же виду, что и гиперболическое, но с комплексными переменными. Для того, чтобы перейти к действительным переменным, сделаем замену:

или

Отсюда,

В результате наше уравнение приводится к виду

,

Если из коэффициентов при старших производных составить матрицу

(43)

и вычислить знак определителя, то знак детерминанта матрицы А будет определять тип уравнения:

detA>0 – эллиптический.

detA<0 - гиперболический

detA=0 – параболический

PPT - Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных (PDE) PowerPoint Presentation

  • Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных (PDEs) • Введение в PDE. • Полуаналитические методы решения PDE. • Введение в конечные разности. • Стационарные задачи, эллиптические уравнения в частных производных. • Проблемы, зависящие от времени. • Комплексные проблемы исследования Солнечной системы.

  • Введение в PDE. • Определение дифференциальных уравнений в частных производных.• УЧП второго порядка. -Эллиптический-параболо-гиперболический. • Линейные, нелинейные и квазилинейные УЧП. • В чем заключается хорошо поставленная проблема? • Краевые задачи (стационарные). • Проблемы с начальным значением (в зависимости от времени).

  • Дифференциальные уравнения • Дифференциальное уравнение - это уравнение для неизвестной функции одной или нескольких переменных, которое связывает значения самой функции и ее производных различного порядка. • Обыкновенное дифференциальное уравнение: функция имеет 1 независимую переменную.• Уравнение в частных производных: не менее 2 независимых переменных.

  • Физические системы часто описывают с помощью связанных частных дифференциальных уравнений (УЧП) • Уравнения Максвелла • Уравнения Навье-Стокса и Эйлера в гидродинамике. • МГД-уравнения в физике плазмы • Уравнения Эйнштейна для общей теории относительности • ... • ...

  • Определения УЧП • Общая (неявная) форма для одной функции u (x, y): • Старшая производная определяет порядок PDE • Явное PDE => Мы можем разрешить уравнение относительно старшей производной от u.• Линейное УЧП => УЧП линейно по u (x, y) и для всех производных от u (x, y) • Полулинейные УЧП - это нелинейные УЧП, которые линейны по производной высшего порядка.

  • Линейные УЧП 2. Порядок • a (x, y) c (x, y) - b (x, y) 2/4> 0 Эллиптический • a (x, y) c (x, y) ) - b (x, y) 2/4 = 0 Параболический • a (x, y) c (x, y) - b (x, y) 2/4 <0 Гиперболический Квазилинейный: коэффициенты зависят от u и / или первая производная от u, но НЕ на вторых производных.

  • УЧП и квадратные уравнения • Квадратные уравнения в форме описывают сечения конуса.• a (x, y) c (x, y) - b (x, y) 2/4> 0 Эллипс • a (x, y) c (x, y) - b (x, y) 2/4 = 0 Парабола • a (x, y) c (x, y) - b (x, y) 2/4 <0 Гипербола

  • С преобразованием координат эти уравнения могут быть записаны в стандартных формах: Эллипс: Парабола : Hyperbola: Преобразования координат также могут применяться для избавления от смешанных производных в PDE. (Для коэффициентов, зависящих от пространства, это возможно только локально, а не глобально)

  • Линейные УЧП 2.Заказ • Обратите внимание: мы по-прежнему говорим о линейных УЧП, даже если коэффициенты a (x, y) ... e (x, y) могут быть нелинейными по x и y. • Линейность требуется только в неизвестной функции u и всех производных от u. • Дальнейшее упрощение: - постоянные коэффициенты a-e, - исчезающие смешанные производные (b = 0) - отсутствие производных более низкого порядка (d = e = 0), - исчезающая функция f = 0.

  • УЧП второго порядка с более чем двумя независимыми переменными • Эллиптический: все собственные значения имеют одинаковый знак.[Уравнение Лапласа] • Параболический: одно собственное значение равно нулю. [Уравнение диффузии] • Гиперболическое: одно собственное значение имеет противоположный знак. [Волновое уравнение] • Ультрагиперболическое: более одного положительного и отрицательного собственных значений. Смешанные типы возможны для непостоянных коэффициентов, часто встречаются в науке и часто трудны для решения. Классификация по собственным значениям матрицы коэффициентов:

  • Elliptic Equations • Встречается в основном для стационарных задач. • Решается как краевая задача.• Решение гладкое, если позволяют граничные условия. Пример: уравнение Пуассона и Лапласа (f = 0)

  • Параболические уравнения • Исчезающее собственное значение часто связано с производной по времени. • Описывает нестационарные процессы. • Решается как начальная, так и граничная задача. • Разрывы / резкие градиенты сглаживаются во время временной эволюции. Пример: уравнение диффузии, теплопроводность

  • Гиперболические уравнения • Собственное значение с противоположным знаком часто связано с производной по времени.• Начальная и краевая задача. • Разрывы / резкие градиенты в исходном состоянии сохраняются во время временной эволюции. • Типичным примером является волновое уравнение. • При задействовании нелинейных членов во время эволюции могут образовываться резкие градиенты => Удары

  • Хорошо поставленные задачи (как определено Адамаром 1902 г.) Проблема правильно поставлена, если: • Решение существует. • Решение уникальное. • Решение непрерывно зависит от данных (граничных и / или начальных условий).1865-1963 гг. Проблемы, не отвечающие этим критериям, некорректны. Хорошо поставленные задачи имеют хорошие шансы на численное решение с помощью стабильного алгоритма.

  • Некорректные задачи • Некорректно поставленные задачи играют важную роль в некоторых областях, например, для обратных задач, таких как томография. • Проблема требует переформулирования для численного рассмотрения. • => Добавить дополнительные ограничения, например гладкость решения. • Входные данные необходимо упорядочить / предварительно обработать.

  • Плохо обусловленные проблемы • Даже хорошо поставленные проблемы могут быть плохо обусловлены. • => Небольшие изменения (ошибки, шум) в данных приводят к большим ошибкам в решении. • Может возникнуть, если непрерывные задачи решаются приблизительно на числовой сетке. PDE => алгебраическое уравнение в форме Ax = b • Число обусловленности матрицы A: максимальное и минимальное собственные значения A. • Хорошо обусловленные задачи имеют низкое число обусловленности.

  • Как решить PDE? • PDE решаются вместе с соответствующими граничными условиями и / или начальными условиями.• Краевая задача - Дирихле BC: укажите u (x, y, ...) на границах (скажем, при x = 0, x = Lx, y = 0, y = Ly в прямоугольной рамке) - фон Нейман BC: укажите нормальный градиент u (x, y, ...) на границах. В принципе граница может иметь произвольную форму. (но сложно реализовать в компьютерных кодах)

  • Граничная задача

  • Задача начального значения • Граничные значения обычно задаются на всех границах вычислительной области.• Начальные условия задаются во всей вычислительной (пространственной) области, но только для начального времени t = 0. • Начальные условия как задача Коши: -Укажите начальное распределение u (x, y, ..., t = 0) [для параболических задач, таких как уравнение Теплопроводности] - Укажите u и du / dt для t = 0 [для гиперболических задач как волновое уравнение.]

  • Задача начального значения

  • Граничные условия Коши • Коши BC навязывают и Дирихлет, и фон Нейман Б.C. на части границы (для PDE 2-го порядка). • Более общий: для УЧП порядка n задача Коши определяет u и все производные от u вплоть до порядка n-1 на частях границы. • В физике задача Коши часто связана с задачами временной эволюции (начальные условия указаны для t = 0) Огюстен Луи Коши 1789–1857

  • Введение в УЧПSummary • Что такое хорошо поставленная задача? Решение существует, единственное, непрерывное по граничным условиям. • Эллиптический (Пуассон), параболический (диффузия) и гиперболический (волна) УЧП.• УЧП решаются с граничными условиями и начальными условиями. • Что такое граничные условия Дирихле и фон Неймана?

  • Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных (PDE) • Введение в PDE. • Полуаналитические методы решения PDE. • Введение в конечные разности. • Стационарные задачи, эллиптические уравнения в частных производных. • Проблемы, зависящие от времени. • Комплексные проблемы исследования Солнечной системы.

  • Полуаналитические методы для решения PDE. • От систем связанных PDE первого порядка (которые сложно решить) до несвязанных PDE второго порядка. • Пример: Из уравнений Максвелла к волновому уравнению. • (Полу) аналитические методы решения волнового уравнения путем разделения переменных. • Упражнение: решите уравнение диффузии путем разделения переменных.

  • Как получить несвязанные 2. упорядочить ПДЭ из законов физики? • Пример: от уравнений Максвелла к волновым уравнениям. • Уравнения Максвелла представляют собой связанную систему векторных уравнений в частных производных первого порядка.• Можно ли переформулировать это уравнение в более простой форме? • Здесь мы используем электромагнитные потенциалы, векторный потенциал и скалярный потенциал.

  • уравнения Максвелла Джеймс К. Максвелл 1831–1879

  • Что мы выигрываем с помощью волновых уравнений? • Неоднородно связанная система Максвелла сводится к волновым уравнениям. • Мы получаем скалярные уравнения в частных производных 2-го порядка для компонент электрического и магнитного потенциалов. • Уравнения не связаны и имеют одинаковую форму. • Существуют хорошо известные методы решения этих волновых уравнений.

  • Волновое уравнение • Электрические заряды и токи в правой части волнового уравнения могут быть вычислены из других источников: • Моменты распределения электронов и ионов в плазме. • Распределение частиц может быть получено путем численного моделирования, например путем решения уравнения Власова для каждого вида. • Здесь мы для простоты изучаем волновое уравнение в вакууме.

  • Волновое уравнение в вакууме

  • (Полу) аналитические методы • Пример: однородное волновое уравнение • Может быть решено любой аналитической функцией f (x-ct) и g (x + ct).• Поскольку уравнение однородной волны является линейным уравнением, любая линейная комбинация отключена, а g также является решением уравнения в частных производных. • Это свойство можно использовать для задания граничных и начальных условий. Соответствующие коэффициенты часто приходится находить численно.

  • Полуаналитический метод: разделение переменных

  • Полуаналитический метод: разделение переменных

  • Полуаналитический метод: разделение переменных

  • Разделение Показать: demo_wave_sep.pro Это IDL-программа для анимации волнового уравнения.

  • lecture_diffusion_draft.pro Упражнение: 1D уравнение диффузии Это черновик IDL-программы для решения уравнения диффузии путем разделения переменных. Задача: найти разделяемые решения для граничных условий Дирихле и фон Неймана и реализовать их.

  • Полуаналитические методы Резюме • Некоторые (в основном) линейные УЧП с постоянными коэффициентами могут быть решены аналитически. • Одна из возможностей - это метод «Разделение переменных», который приводит к обычным дифференциальным уравнениям.• Для линейных PDE: наложение различных решений также является решением PDE.

  • Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных (PDE) • Введение в PDE. • Полуаналитические методы решения PDE. • Введение в конечные разности. • Стационарные задачи, эллиптические уравнения в частных производных. • Проблемы, зависящие от времени. • Комплексные проблемы исследования Солнечной системы.

  • Введение в конечные разности. • Запомните определение дифференциального частного.• Как вычислить дифференциальное частное с конечным числом узлов сетки? • Приближения первого и более высокого порядка. • Центральные и односторонние конечные разности. • Точность методов для гладких и не гладких функций. • Производные высшего порядка.

  • Численные методы • Большинство УЧП не могут быть решены аналитически. • Разделение переменных работает только для некоторых простых случаев и, в частности, обычно не для неоднородных и / или нелинейных УЧП. • Для численных методов требуется дискретизация УЧП на сетке.• Методы конечных разностей популярны / чаще всего используются в науке. Они заменяют дифференциальные уравнения разностными уравнениями) • Инженеры (и все большее число ученых) часто используют конечные элементы.

  • Конечные разности Помните определение дифференциального частного: • Как вычислить дифференциальное частное численно? • Просто примените формулу выше для конечного h. • Для простоты мы используем эквидистантную сетку inx = [0, h, 2h, 3h, ...... (n-1) h] и вычисляем f (x) в соответствующих точках сетки xi.• Разрешение сетки h должно быть достаточно высоким. Сильно зависит от функции f (x)!

  • Точность конечных разностей Мы аппроксимируем производную f (x) = sin (nx) на сетке x = 0 ... 2 Pi с 50 (и 500) точками сетки как df / dx = (f (x + h) -f (x)) / h и сравните с точным решением df / dx = n cos (nx) Средняя ошибка, полученная путем дискретизации: 50 точек сетки: 0,040 500 точек сетки: 0,004

  • Точность конечные разности Мы аппроксимируем производную f (x) = sin (nx) на сетке x = 0...2 Пи с 50 (и 500) точками сетки на df / dx = (f (x + h) -f (x)) / h и сравнить с точным решением df / dx = n cos (nx) Средняя ошибка, сделанная Дискретизация: 50 точек сетки: 2,49 500 точек сетки: 0,256

  • Методы более высокой точности Можно ли использовать больше точек для повышения точности?

  • Более высокая точность: центральные разности • df / dx = (f (x + h) -f (x)) / h вычисляет производную по x + h / 2, а не точно по x. • Альтернативная формула df / dx = (f (x) -f (x-h)) / h имеет те же недостатки.• Мы вводим центральные разности: df / dx = (f (x + h) -f (x-h)) / (2 h), которые обеспечивают производную в x. • Центральные различия имеют точность 2 порядка вместо 1 порядка для более простых методов, описанных выше.

  • Как найти формуляры высшего порядка? Для достаточных гладких функций мы описываем функцию f (x) локально полиномом n-го порядка. Для этого требуется n + 1 точек сетки. n определяет порядок схемы. Сделайте расширение Тейлора (Определение):

  • Загрузить еще...

    Бесплатный онлайн-курс: Уравнения в частных производных (PDE) для инженеров: Решение путем отделения переменных от Swayam

    Лучшие онлайн-курсы года

    Посмотреть Закрыть Класс Центральный Предметы
    Субъектов
    • Компьютерная наука

    • Здоровье и медицина

    • Математика

    • Бизнес

    • Гуманитарные науки

    • Инженерное дело

    • Наука

    • Образование и обучение

    • Социальные науки

    • Арт Дизайн

    • Data Science

    • Программирование

    • Личное развитие

    • Все предметы
    Просмотреть все предметы
    Ежемесячные отчеты о курсе
    • Начиная с этого месяца
    • Новые онлайн-курсы
    • Самостоятельный темп
    • Самый популярный
    Курсы от 900+ университетов

    Меню

    • Компьютерная наука

      Компьютерная наука

      • Искусственный интеллект
      • Алгоритмы и структуры данных
      • Интернет вещей
      • Информационные технологии
      • Кибербезопасность
      • Компьютерная сеть
      • Машинное обучение
      • DevOps
      • Глубокое обучение
      • Блокчейн и криптовалюта
      • Квантовые вычисления
      • Посмотреть все компьютерные науки
    • Здоровье и медицина

      Здоровье и медицина

      • Питание и благополучие
      • Болезни и расстройства
      • Здравоохранение
      • Здравоохранение
      • Уход
      • Анатомия
      • Ветеринария
      • Посмотреть все Здоровье и медицина
    • Математика

      Математика

      • Статистика и вероятность
      • Основы математики
      • Исчисление
      • Алгебра и геометрия
      • Посмотреть всю математику
    • Бизнес

      Бизнес

      • Менеджмент и лидерство
      • Финансы
      • Предпринимательство
      • Развитие бизнеса
      • Маркетинг
      • Стратегический менеджмент
      • Специфическая отрасль
      • Бизнес-аналитика
      • Бухгалтерский учет
      • Отдел кадров
      • Управление проектом
      • Продажи
      • Дизайн-мышление
      • Реклама
      • Программное обеспечение для бизнеса
      • Посмотреть все Бизнес
    • Гуманитарные науки

      Гуманитарные науки

      • История
      • Литература
      • Иностранный язык
      • Грамматика и письмо
      • Философия
      • Религия
      • ESL
      • Культура
      • Спортивный
      • Журналистика
      • Этика
      • Лингвистика
      • Просмотреть все гуманитарные науки
    • Инженерное дело

      Инженерное дело

      • Электротехника
      • Инженерное дело
      • Гражданское строительство
      • Робототехника
      • Нанотехнологии
      • ГИС
      • Текстиль
      • Производство
      • BIM
      • CAD
      • Химическая инженерия
      • Посмотреть все разработки
    • Наука

      Наука

      • Химия
      • Физика
      • Наука об окружающей среде
      • Астрономия
      • Биология
      • Квантовая механика
      • сельское хозяйство
      • Термодинамика
      • Материаловедение
      • Просмотреть все науки
    • Образование и обучение

      Образование и обучение

      • K12
      • Высшее образование
      • STEM
      • Профессиональное развитие учителей
      • Развитие курса
      • Онлайн-образование
      • Подготовка к тесту
      • Просмотреть все Образование и обучение
    • Социальные науки

      Социальные науки

      • Социология
      • Экономика
      • Психология
      • Антропология
      • Политическая наука
      • Закон
      • Городское планирование
      • Права человека
      • Устойчивость
      • Публичная политика

    Дифференциальные уравнения.Определения. Заказ, степень. Общие, частные и особые решения.

    Дифференциальные уравнения. Определения. Заказ, степень. Общее, частное и единственное решения.
    SolitaryRoad.com
    Владелец сайта: Джеймс Миллер
     

    [ Главная ] [Вверх] [ Информация ] [Почта]

    Дифференциальные уравнения. Определения. Заказ, степень. Общие, частные и особые решения.

    Определения

    По умолчанию. Дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение - это уравнение, содержащее производные от зависимая переменная по отношению к одной или нескольким или независимым переменным.Следующие типичные примеры:

    Когда используется только первая производная, уравнение часто записывается в терминах дифференциалы. Например, 2) выше можно написать

    По умолчанию. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение, содержащее единственное независимая переменная. Производные, входящие в уравнение, являются обычными производными.

    По умолчанию.Уравнение в частных производных. Дифференциальное уравнение, содержащее два или более независимые переменные. Производные, входящие в уравнение, являются частными производными.

    По умолчанию. Порядок дифференциального уравнения. Порядок старшей производной встречающиеся в уравнении. Уравнения 2) и 4), указанные выше, относятся к первому порядку, а уравнения 1) и 3) имеют второй порядок.

    По умолчанию. Степень дифференциального уравнения. В общем, степень высшего порядка производная, входящая в уравнение.Однако не каждое дифференциальное уравнение имеет степень. Если производные встречаются в радикалах или дробях, степень которых может не быть. Если уравнение можно рационализировать и очистить от дробей по отношению ко всем имеющимся производным, тогда его степень - это степень наивысшей упорядоченной производной, входящей в уравнение.

    Пример. Уравнения 1), 2) и 4) выше относятся к первой степени, а уравнение 3) - ко второй. степень. Дифференциальное уравнение (y '') 2/3 = 2 + 3y 'можно рационализировать, возведя обе части в куб получаем (y '') 2 = (2 + 3y ') 3 .Таким образом, он второй степени.

    По умолчанию. Линейное дифференциальное уравнение. Линейное дифференциальное уравнение - это уравнение форма

    , где a i (x) являются функциями только x. Это уравнение, в котором каждый член имеет первую степень зависимая переменная и ее производные.

    Решения дифференциальных уравнений. Решением дифференциального уравнения является любое свободная от производных связь между задействованными переменными, которая сводит дифференциальное уравнение к личности.Решение может иметь форму выражаемой зависимой переменной явно как функция независимой переменной (или переменных), как в y = f (x), или неявно как в отношении типа f (x, y) = 0.

    По умолчанию. Основные константы. Набор констант называется существенным, если их нельзя заменить на меньшее количество констант.

    Решение содержит n существенных произвольных констант. Пример очень простого дифференциальное уравнение имеет вид

    Решение такого уравнения включает n повторных интегрирований, каждое из которых дает произвольная константа.Таким образом, решение содержит n произвольных существенных констант. Например, в уравнение

    имеем после двукратного интегрирования

    y = x 3 + C 1 x + C 2

    Этот результат называется общим решением дифференциального уравнения. Любое решение, которое может быть полученное из него путем присвоения конкретных значений C 1 и C 2 , называется частным решением.

    Общее решение дифференциального уравнения также называется примитивом.

    Теорема. Общее решение или примитив дифференциального уравнения порядка n всегда содержит ровно n произвольных существенных констант.

    Особые решения. В дополнение к общему решению дифференциальное уравнение может также иметь исключительное решение. Особое решение - это решение, которое нельзя получить путем присвоения определенных значений к произвольным постоянным общего решения. Это уравнение оболочки семьи кривых, представленных общим решением.Эта огибающая удовлетворяет дифференциальному уравнению потому что в каждой из его точек наклон и координаты точки такие же, как у некоторого члена семейства кривых, представляющих общее решение.

    Джеймс / Джеймс. Математический словарь

    Наличие решений. Не каждое дифференциальное уравнение имеет решение. Например, там не может быть какой-либо действительной функцией, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

    (г) 2 + 1 = 0

    Почему? Поскольку для любой действительной функции левая часть уравнения будет больше, или равно единице и, следовательно, не может быть нулем.Фактически, только относительно небольшое количество дифференциальных уравнений имеют решения. Из них только некоторые могут быть решены в закрытой аналитической форме. Лишь немногие могут быть решается в терминах элементарных функций (т. е. рациональных алгебраических, тригонометрических, экспоненциальных и логарифмические функции, знакомые из элементарного исчисления). Некоторые другие можно решить в термины высших трансцендентных функций. В остальном необходимо использовать численное приближение такие методы, как представление степенного ряда.

    Большинство дифференциальных уравнений возникает из задач физики, техники и науки.Эти уравнения часто имеют определенные условия, называемые граничными или начальными условиями, связанными с им, что они должны удовлетворить. Затем мы должны спросить не только, существует ли решение для уравнения, но и также, если он существует, он также будет удовлетворять указанным начальным условиям. Например, предположим, что мы хотите решить дифференциальное уравнение

    ху '- 2у = 0

    при начальном условии x = 0, y = 1. Общее решение уравнения:

    5) y = Ax 2

    , но изучение пункта 5) показывает, что не существует значения A, которое удовлетворяло бы начальным условиям.

    Методы решения. Не существует общей процедуры решения дифференциального уравнения. Непосредственным интегрированием можно решить лишь несколько простых уравнений. Большинство уравнений решаются методы, разработанные для конкретного типа уравнения. У каждого из различных типов есть свои метод решения. Как правило, для решения уравнения необходимо уметь распознавать тип и вспомните правильный метод решения.

    Список литературы

    1. Росс Р. Миддлмисс. Дифференциальное и интегральное исчисление.Глава. XXIX

    2. Джеймс / Джеймс. Математический словарь.

    3. Мюррей Р. Шпигель. Прикладные дифференциальные уравнения.

    4. Джеймс Б. Скарборо. Дифференциальные уравнения и приложения.

    5. Фрэнк Эйрес. Дифференциальные уравнения (Шаум).

    6. Эшбах. Справочник по основам инженерии.

    7. Эрл Рейнвилл. Элементарные дифференциальные уравнения.

    Ещё с сайта SolitaryRoad.com:

    Путь истины и жизни

    Божье послание миру

    Иисус Христос и Его учение

    Мудрые слова

    Путь просветления, мудрости и понимания

    Путь истинного христианства

    Америка, коррумпированная, развратная, бессовестная страна

    О целостности и ее отсутствии

    Проверка на христианство человека - это то, что он есть

    Кто попадет в рай?

    Высший человек

    О вере и делах

    Девяносто пять процентов проблем, которые большинство людей пришли из личной глупости

    Либерализм, социализм и современное государство всеобщего благосостояния

    Желание причинить вред, мотивация поведения

    Учение:

    О современном интеллектуализме

    О гомосексуализме

    О самодостаточной загородной жизни, усадьбе

    Принципы жизни

    Актуальные притчи, заповеди, Котировки.Общие поговорки. Альманах бедного Ричарда.

    Америка сбилась с пути

    Действительно большие грехи

    Теория формирования характера

    Моральное извращение

    Ты то, что ты ешь

    Люди подобны радиотюнерам - они выбирают и слушайте одну длину волны и игнорируйте остальные

    Причина черт характера --- по Аристотелю

    Эти вещи идут вместе

    Телевидение

    Мы то, что мы едим - живем в рамках диеты

    Как избежать проблем и неприятностей в жизни

    Роль привычки в формировании характера

    Истинный христианин

    Что такое истинное христианство?

    Личные качества истинного христианина

    Что определяет характер человека?

    Любовь к Богу и любовь к добродетели тесно связаны

    Прогулка по одинокой дороге

    Интеллектуальное неравенство между людьми и властью в хороших привычках

    Инструменты сатаны.Тактика и уловки дьявола.

    Об ответе на ошибки

    Настоящая христианская вера

    Естественный путь - Неестественный путь

    Мудрость, разум и добродетель тесно связаны

    Знания - это одно, мудрость - другое

    Мои взгляды на христианство в Америке

    Самое главное в жизни - понимание

    Оценка людей

    Мы все примеры - хорошие или плохие

    Телевидение --- духовный яд

    Главный двигатель, который решает, "кто мы"

    Откуда берутся наши взгляды, взгляды и ценности?

    Грех - это серьезное дело.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *