Разное

Какое количество цифр используется в восьмеричной системе счисления: Восьмеричная система счисления — урок. Информатика, 9 класс.

как переводить числа при помощи специальной методики и реализация на примере

Автор Маргарита Малиновская На чтение 5 мин. Опубликовано

Во время изучения информатики не всем понятно, как переводить в восьмеричную систему счисления десятичную форму представления. В школьной программе применяется обыкновенная общая методика, но при этом не учитываются умственные способности учеников. Специалисты разработали специальный алгоритм, позволяющий выполнить эту операцию без особых усилий. Однако для начала нужно изучить теорию, а затем перейти к ее практическому применению.

Общие сведения

Для кодирования информации используются различные формы представления данных. Это объясняется тем, что компьютер «не понимает» обыкновенного человеческого языка напрямую. Любая команда переводится в машинный код при помощи специальных алгоритмов кодирования данных. Чтобы в них разобраться, нужно освоить базовые понятия, к которым относятся следующие:

  1. Разрядная сетка.
  2. Виды СС.
  3. Перевод числовой информации на примере восьмеричной системы счисления.

Следует отметить, что каждый пункт необходимо подробно разобрать, поскольку от этого зависит корректность применения алгоритма. Далее нужно ознакомиться с понятием разрядной сетки.

Разрядная сетка

Разрядной сеткой называется совокупность цифр, расположенных в определенном порядке значимости элементов. На первый взгляд, определение является сложным для понимания. Однако это не так. Чтобы в этом убедиться, необходимо разобрать число «126789». Оно состоит из компонентов, которые называются цифрами, где каждая принимает значение из диапазона от 0 до 9. Любая из них находится на определенном месте, а именно:

  1. 9 — единицы.
  2. 8 — десятки.
  3. 7 — сотни.
  4. 6 — тысячи.
  5. 2 — десятки тысяч.
  6. 1 — сотни тысяч.

Следует отметить, что значимость элементов определяется очень просто. Для этого нужно сравнить для примера сотни и единицы. Первые больше, чем вторые. На основании этого примера утверждение о значимости доказано.

Компоненты разрядной сетки можно сложить, т. е. 1*9+10*8+100*7+1000*6+10000*2+100000*1=126789. Каждое число состоит из цифр. В этом и заключается основное отличие между ними. Теперь можно переходить к знакомству с системами счисления.

Виды систем счисления

Системы счисления условно делятся на две группы. К ним относятся следующие:

  1. Позиционные.
  2. Унарные.

В первом случае расположение математических символов (цифр) играет важную роль, поскольку влияет на величину числа в целом. Чтобы в этом убедиться, нужно разобрать значение в десятичном формате 192. Для опыта необходимо переставить знаки. При этом получаются пять числовых величин:

  1. 921.
  2. 912.
  3. 219.
  4. 291.
  5. 129.

Следует отметить, что каждое из них отличается от другого. Все пять чисел можно также сравнить с исходным значением. Из выполненного опыта можно сделать вывод, что расположение компонентов в разрядной сетке имеет значение.

К позиционным СС относятся следующие основные формы представления чисел:

  1. Двоичная.
  2. Восьмеричная.
  3. Шестнадцатеричная.

Однако существуют и другие формы представления числовых величин, а именно: третичная, четвертичная, пятеричная и т. д. Основным их отличием является основание.

Унарными называются такие СС, какие не зависят от расположения символов. Для примера необходимо вспомнить фильм о Робинзоне Крузо. Он считал дни при помощи обыкновенных палочек, которые чертил на поверхности.

Другим примером является подсчет количества мешков сахара, погруженных на грузовую машину. При загрузке одного мешка бригадир ставит обыкновенный произвольный символ, обозначающий единицу. У каждой системы счисления существует определенный алфавит или символы, используемые для записи цифр и чисел.

Чтобы перевести величину в позиционную восьмеричную СС, необходимо освоить методику конвертации и работы с двоичным кодом.

Двоичный код

Перед тем как начать работу с восьмеричным кодом нужно ознакомиться с двоичным.

Чтобы перевести число из десятичной формы в двоичную, требуется воспользоваться следующим алгоритмом:

  1. Записать величину: 19.
  2. Поделить ее на двойку, обозначив остаток (1 — нацело не делится, 0 — целочисленное деление): 19/2=9 (в остатке 1).
  3. Поделить частное во втором пункте на 2: 9/2=4 (1).0=19.
  4. Искомое значение: [10011]{2}.

Следует отметить, что проверить конвертацию можно при помощи специальных калькуляторов. Последние должны работать с двоичным, восьмеричным и шестнадцатеричным кодами. После освоения материала работы с двоичной формой представления числа можно перейти к восьмеричной.

Восьмеричная форма

Восьмеричная система исчисления применяется в программировании. Однако чтобы в нее перевести десятичную величину, нужно ознакомиться с методикой, позволяющей выполнить эту операцию. Она имеет следующий вид:

  1. Записывается десятичная форма.
  2. Величина, записанная в первом пункте, переводится в двоичный код.
  3. Двоичное представление разбивается на группы по три элемента в каждой (триады).
  4. Каждые три элемента зашифровываются цифрами от нуля до 7.
  5. Записывается искомый результат (восьмеричная форма).

Чтобы разобраться в теории, необходимо использовать алгоритм на практическом примере перевода десятичной формы в виде числа 19 в восьмеричный код. Получение искомого результата нужно осуществлять по такой методике:

  1. Десятичная форма: 19.
  2. Двоичный код: [10011]{2}.
  3. Разбивка на триады (при необходимости нужно дописать нули): (010) (011).
  4. Шифрование: (2) (3).
  5. Искомый результат: [23]{8}.

Для обратного преобразования применяется также определенные правила, составляющие в совокупности отдельный алгоритм. Он выглядит таким образом:

  1. Пишется величина в восьмеричном формате.
  2. Каждый из компонентов числа выделяется скобками по одному.
  3. Цифры, находящиеся в скобках, перекодируются в двоичный код.
  4. Число, полученное в третьем пункте, декодируется в десятичную систему счисления.

Для примера необходимо рассмотреть величину, равную [23]{8}. Чтобы ее перевести обратно на «человеческий понятный язык» (запись в десятичной форме), следует применить такой алгоритм:

  1. Восьмеричное значение: [23]{8}.
  2. Распределение по компонентам: (2) (3).
  3. Перевод в двоичный код: (010) (011).
  4. Результат: 19.

Следует отметить, что в третьем пункте для удобства может не присутствовать нуль, поскольку у двоичного кода есть одно важное правило: если дописывать нули слева, то это действие не повлияет на исходное число.

Кроме того, математики не рекомендуют составлять таблицу для восьмеричной системы счисления, поскольку в этом нет необходимости, как для шестнадцатеричного кода. Для удобства можно записать все методики на отдельные листы бумаги, которые должны находиться постоянно перед глазами ученика.

Таким образом, восьмеричная система представления чисел применяется для кодирования информации в программировании и вычислительной технике. Для этого необходимо получить базовые знания о специальных методиках конвертации величин.

простая методика перевода и примеры конвертации чисел

Перевод чисел на язык, который понятен любой электронно-вычислительной машине, осуществляется по определенному алгоритму в некоторое представление. Наиболее востребованными являются двоичная, шестнадцатеричная, а также восьмеричная системы счисления. Однако перед переходом к практике специалисты рекомендуют рассмотреть теорию конвертации первой и последней формы информации (2 и 8).

Общие сведения

Для работы с системами счисления (СС) необходимо разобрать их классификацию, а также базовые определения представления числовой информации. В математике существуют 2 понятия: цифра и число. Первое — базовая единица или символ, при комбинации которого можно записать любое значение.

Цифры бывают только двух типов: римскими и арабскими. Однако наибольшее применение получили последние, поскольку используются при выполнении расчетов, записи результатов и т. д. Римские применяются в основном для обозначения величин, на которые требуется обратить внимание. Однако они непрактичны, поскольку не все знают их расшифровку. Кроме того, римские величины невозможно представить в экспоненциальной и степенной форме.

Число — количественная характеристика, показывающая фактическое наличие или отсутствие какого-либо предмета, процесса или явления. Например, микропроцессор состоит из 32 миллиардов транзисторов. В примере числом или значением является 32 млрд.

Каждая величина состоит из разрядной сетки, т. е. единиц, десятков, сотен и т. д. При выполнении различных алгебраических операций важно следить за соответствием разрядов одного значения другому. Например, нельзя складывать сотни и единицы, т. к. это приведет к ошибочным вычислениям.

Классификация числовых представлений

Некоторые пользователи-практики могут считать, что нет смысла рассматривать классификацию систем исчисления, но это не так. Новички, начинающие знакомство с представлением числовой информации, должны понимать, что порядок (расположение) разрядов в двоичной и восьмеричной имеет значение. Всего бывает 2 вида СС, к которым относятся позиционные и непозиционные.

Первые зависят от расположения математических символов, которые их составляют. Это утверждение довольно просто доказать. Достаточно взять двузначное число (23), а затем образовать из него второе посредством перестановки десятков и единиц, т. е. 32. После этого произвести обычную математическую операцию их разности: 32-23=9. Из расчетов видно, что 2 значения отличаются между собой. Следовательно, расположение цифр имеет значение для позиционной формы представления информации.

Непозиционная — СС, в которой расположение знаков не влияет на результат. Для примера можно вспомнить известный фильм «Робинзон Крузо», где главный герой вел счет дней, прожитых на необитаемом острове, при помощи обыкновенных «палочек», которые рисовал на стене. После этого он подсчитывал их общее количество. Следует отметить, что их расположение не влияло на результат.

Другим примером непозиционной СС является обучение детей в начальных классах устному счету. Для этой цели применяются палочки, на которых ребенок выполняет операции сложения, вычитания, умножения и даже деления. Следует отметить, что у этой формы представления есть недостатки, которые мешают ей вытеснить позиционную.

К ним относятся следующие:

  1. Невозможность выполнения операций с дробями.
  2. Работа с небольшими числами.
  3. Затруднительное выполнение деления и умножения.

После внесения ясности в классификацию СС можно переходить к методике перевода в восьмеричную систему счисления. Однако для конвертации десятичной числовой формы в последнюю потребуется сначала ознакомиться с алгоритмом преобразования в двоичный код.

Двоичный код

Для работы с двоичным кодом необходимо обратить на его основание. Оно равно 2, поскольку в двоичной системе счисления применяется только два значения 0 и 1. Это позволяет довольно просто реализовать любые алгоритмы на различных устройствах, используемых в вычислительной технике.

В первых моделях ЭВМ использовались катушки индуктивности, информация в которых кодировалась наличием (1) или отсутствием (0) электромагнитного поля. Затем человек изобрел конденсатор, что улучшило характеристики компьютерной системы. Последние находились в специальных больших комнатах. Размеры ЭВМ постепенно уменьшались с изобретением новых элементов. Сначала это были транзисторы, а затем интегральные микросхемы.

Все компоненты электронно-вычислительной машины или персонального компьютера (ПК) состоят из базовых радиокомпонентов — транзисторов. Последние наносятся методом напыления, а затем «упаковываются» в корпус. В результате получается интегральная микросхема. Кодирование осуществляется при помощи состояний элементов — открытый и закрытый полупроводниковые переходы.

Конвертация десятичной формы в двоичную осуществляется двумя методами: делением в столбик и степенной системы.

Деление в столбик

Наиболее распространенный и простой способ перевода в двоичный код значения из десятичной системы счисления — деление в столбик. Последний имеет такой вид:

  1. Записать число в десятичной форме.
  2. Делить его на 2, записывая нули и единицы: 0 — делится, а 1 — образуется остаток.
  3. Написать результат (первый разряд эквивалентен последнему элементу).

Реализацию алгоритма конвертации необходимо разобрать на практическом примере. Например, требуется перевести 123 в двоичную форму. Для этого необходимо следовать определенной методике:

  1. 123{10}, где {10} — система счисления.
  2. Делить на 2: 123/2 (1).
  3. 61/2 (1).
  4. 30/2 (0).
  5. 15/2 (1).
  6. 7/2 (1).
  7. 3/2 (1)
  8. Остаток: (1).
  9. Результат записать с остатка, а затем последовательно вверх: 1111011{2}.

Для выполнения обратной операции следует воспользоваться степенным представлением числа, которое начинается справа налево. Если указана единица, то 2 в заданной степени есть. В противном случае — указывается ноль. Реализация методики выглядит следующим образом: 2^0+2^1+0^2+2^3+2^4+2^6=123{10}.1=2.

  • 3-2=1 (1).
  • Искомый результат: 1111011.
  • Специалисты рекомендуют ознакомиться с каждым из способов преобразования десятичной формы представления в двоичный код. Каждый решает, какой из них больше всего подходит.

    Восьмеричная форма

    В отличие от шестнадцатеричной формы представления чисел восьмеричная не содержит букв из английского алфавита. В ее основании присутствует 8. Форма получила широкое применение в кодировании текстовой информации. Кодируются и таблицы в восьмеричную систему счисления, различные цветовые оттенки и прочие данные, обладающие небольшими размерами.

    Для преобразования из десятичной нужно перевести величину в двоичный код. Далее следовать по такому алгоритму:

    1. Выделить триады (распределить по 3 разряда).
    2. Перекодировать группы, записав их в «десятичной форме». Когда не хватает количества разрядов, нужно пополнить его нулями.

    Для реализации методики нужно рассмотреть пример конвертации 123. Решение задачи имеет такой вид:

    1. 123.
    2. {2}: 1111011.
    3. Группы: {001}{111}{011}.
    4. {8}: 173.

    Операция конвертации выполняется аналогично, но в обратном порядке. Например, необходимо преобразовать 173{8}—>{10}. Решение имеет следующий вид:

    1. 173{8}.
    2. Разделяется на элементы: {1}{7}{3}.
    3. Каждая триада декодируется в исходный двоичный код: {001}{111}{011}.
    4. Убираются символы группировки и лишние нули: 1111011{2}.

    Специалисты в области информационных технологий рекомендуют проверять все решение на веб-сервисах или калькуляторах, работающих с двоичным, восьмеричным и шестнадцатеричным кодами. Их еще называют инженерными. Программы является компонентом всех операционных систем (Linux, Windows и MacOS). При необходимости в интернете можно найти и более удобные версии программного обеспечения для работы с машинными кодами.

    Таким образом, восьмеричную СС применяют для кодирования небольших массивов информации. Для конвертации необходимо выполнить промежуточную операцию преобразования десятичной в двоичную форму, а затем разложить последнюю на триады.

    Задача №1. Перевод из одной системы в другую, сравнение чисел в различных системах.

    Автор материалов - Лада Борисовна Есакова.

    Системы счисления и их разновидности.

    Система счисления – это способ представления, записи чисел с помощью письменных знаков. Количество этих самых знаков (цифр), используемых для записи чисел, называется основанием системы счисления.

    Различных систем счисления у разных народов существовало великое множество. Но все их можно поделить на непозиционные и позиционные. Позиционные системы в свою очередь подразделяются на однородные и смешанные.

    1. Непозиционные системы счисления.

    В непозиционных системах счисления число, обозначаемое цифрой, не зависит от положения цифры в записи числа.

    Самым простым примером непозиционной системы счисления является единичная (унарная) система счисления. Это запись числа с помощью повторения зарубок на дощечке или узелков на веревке. Все зарубки, узелки или другие «цифры» абсолютно одинаковы, а потому их порядок не имеет значения, число получается простым суммированием количества символов.

    Унарной системой счисления до сих пор пользуются маленькие дети, показывая количество на пальцах.

    Еще одной используемой до сих пор почти непозиционной системой счисления является Римская:







    Она названа почти непозиционной, потому что в Римской системе, кроме обычного сложения цифр в числе, действует правило: если младшая цифра стоит слева от старшей, она вычитается из суммы.
    Т.е. число , а число

    Непозиционных систем счисления известно очень много, но мы завершим на этом их рассмотрение. Использование непозиционных систем неудобно, а для очень больших чисел практически невозможно, и к тому же нет возможности записать дроби.

    2. Позиционные системы счисления.

    В позиционных системах счисления число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа.
    Самой популярной позиционной системой является, конечно же, десятичная.

    Мы видим, что числа 15 и 51 имеют совсем разные значения, хотя состоят из одних и тех же цифр. Разница обусловлена положением цифры в числе.

    Но десятичная система ничем не лучше и не хуже другой позиционной системы, она просто привычная. Число 10 выбрано основанием по количеству пальцев на двух руках (для удобства счета). Однако, в Китае популярной была пятиречная система счисления (по количеству пальцев на одной руке), а двадцатиричная система использовалась у Ацтеков, Майя и некоторых народов Африки (по количеству пальцев на ногах и руках).

    Еще одной известной позиционной системой счисления является двенадцатиричная (считали фаланги пальцев (кроме большого) на руке. Элементы двенадцатиричной системы сохранились в Англии: 1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов.

    Ну и, наконец, незаменимая в наш компьютерный век двоичная система. Почему именно двоичная? Да потому что у компьютера только 2 «пальца», точнее два состояния: «есть ток», «нет тока».

    2.1. Однородные системы счисления.

    В однородной системе в каждой позиции числа может находиться любая цифра. Примером может быть запись числа в любой позиционной системе счисления (десятичной, двоичной и пр.). Т.е. когда мы пишем число в десятичной системе, в любой позиции мы можем написать цифру от 0 до 9.

    2.2. Смешанные системы счисления.

    В смешанной системе счисления набор используемых цифр может отличаться в зависимости от позиции. В качестве примера удобно рассмотреть запись времени в формате ЧЧ.ММ.СС (часы.минуты.секунды). В качестве часов может быть использовано число от 00 до 23, в качестве минут и секунд – число от 00 до 59.

    Системы счисления. Перевод из одной системы в другую.

    1. Порядковый счет в различных системах счисления.

    В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

    Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

    Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

    Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

    0 0 0 0
    1 1 1 1
    2 10 2 2
    3 11 10 3
    4 100 11 4
    5 101 12 10
    6 110 20 11
    7 111 21 12
    8 1000 22 13
    9 1001 100 14
    10 1010 101 20
    11 1011 102 21
    12 1100 110 22
    13 1101 111 23
    14 1110 112 24
    15 1111 120 30

    Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

    0 0
    1 1
    2 2
    3 3
    4 4
    5 5
    6 6
    7 7
    8 8
    9 9
    10
    11

    1.1. Представление чисел в различных системах счисления

    Для представления в цифровых устройствах чисел, а также другой информации в процессе программирования наряду с привычной для нас десятичной системой счисления широко используются другие системы. Рассмотрим наиболее употребительные позицион­ные системы счисления. Числа в таких системах счисления представляются последователь­ностью цифр (цифр разрядов):

    a5 a4 a3 a2a1a0

    Здесь a0,a1, . . . обозначают цифры нулевого, первого и других разрядов числа.

    Цифре разряда приписан вес pk где р — основание системы счисления; k — номер разряда, равный индексу при обозначениях цифр разрядов. Так, приведенная выше запись означает следующее количество:

    N = …+  a5×p5 +  a4×p4 +  a3×p3 +  a2×p2 +  a1×p1 +  a0×p0 + …

    Для представления цифр разрядов используется набор из p различных символов. Так, при р = 10 (т. е. в обычной десятичной системе счисления) для записи цифр разрядов используется набор из десяти символов: 0, 1, 2 ….. 9. При этом запись 72932410 (здесь и далее индекс при числе указывает основание системы счисления, в которой представлено число) означает следующее количество:

    .

    Используя такой принцип представления чисел, но выбирая различные значения основания р, можно строить разнообразные системы счисления.

    В двоичной системе счисления основание системы счисления р = 2. Таким образом, для записи цифр разрядов требуется набор всего лишь из двух символов, в качестве которых используются 0 и 1.

    Следовательно, в двоичной системе счисления число представляется последовательностью символов 0 и 1. При этом запись 10111012 соответствует в десятичной системе счисления следующему числу:

    .

    В восьмеричной системе счисления основание системы счисления р = 8. Следовательно, для представления цифр разрядов должно использоваться восемь разных символов, в качестве которых выбраны 0, 1, 2,…,7 (заметим, что символы 8 и 9 здесь не используются и в записи чисел встречаться не должны). Например, записи 7354608 в десятичной системе счисления соответствует следующее число:

    ,

    т. е. запись 7354608 означает число, содержащее семь раз по 85 = 32768, три раза по 84 = 4096, пять раз по 83 = 512, четыре раза по 82 = 64, шесть раз по 81 = 8 и ноль раз по 80 = 1.                                                                                                                                                                                  

    В шестнадцатеричной системе счисления основание системы счисления р = 16 и для записи цифр разрядов должен использоваться набор из 16 символов: 0, 1,2…..9, А, В, С, D, Е, F. В нем используются 10 арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными буквами латинского алфавита. При этом символу А в десятичной системе счисления соответствует 10, В – 11, С – 12, D – 13, Е – 14, F – 15.

    Запись AB9C2F16 соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:

    ,

    Для хранения n-разрядных чисел в цифровой аппаратуре можно использовать устройст­ва, содержащие n элементов, каждый из которых запоминает цифру соответствующего разряда числа. Наиболее просто осуществляется хранение чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для запоминания цифры каждого разряда двоичного числа могут исполь­зоваться устройства с двумя устойчивыми состояниями (например, триггеры). Одному из этих устойчивых состояний ставится в соответствие цифра 0, другому – цифра 1.

    Информатика егэ 1 задание, объяснение и разбор

    На уроке рассмотрено решение 1 задание ЕГЭ по информатике 2017: дается подробное объяснение и разбор заданий

    Объяснение задания 1 ЕГЭ по информатике

    1-я тема характеризуется, как задания базового уровня сложности,
    время выполнения – примерно 1 минута,
    максимальный балл — 1

    Типичные ошибки и рекомендации по их предотвращению:

    "Перевод всех используемых в задании чисел в десятичную систему сам по себе не является ошибкой, но приводит к лишним вычислениям и увеличению вероятности арифметической ошибки"

    ФГБНУ "Федеральный институт педагогических измерений"

    Системы счисления и представление информации в памяти ПК

    Для решения 1 задания следует вспомнить и повторить следующие темы:

    Двоичная система счисления

    Количество цифр или основание системы: 2
    Цифры (алфавит): 0, 1

    Перевод чисел из 10-й системы счисления в двоичную:

    Перевод чисел из 10-й сист. сч-я в двоичную

    Егифка ©:

    Перевод чисел из 2-й системы счисления в 10-ую:

    Перевод чисел из 2-й сист. сч-я в 10-ую

    Егифка ©:

    При работе с большими числами, лучше использовать разложение по степеням двойки:

    Разложение по степеням двойки

    Егифка ©:

    Восьмеричная система счисления

    Количество цифр или основание системы: 8
    Цифры (алфавит): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

    Перевод чисел из 10-й системы счисления в 8-ую

    Перевод чисел из 10-й сист. сч-я в 8-ую


    Перевод чисел из 8-й сист. сч-я в 10-ую


    Перевод чисел из 8-й системы счисления в 10-ую

    Перевод чисел из 8-й сист. сч-я в 2-ую и обратно триадами

    Перевод из 8-й сист. сч-я в 2-ую и обратно триадами

    Егифка ©:

    Шестнадцатеричная система счисления

    Количество цифр или основание системы: 16
    Цифры (алфавит): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)

    Перевод чисел из 10-й системы счисления в 16-ую

    Перевод из 10-й сист. сч-я в 16-ую

    Перевод из 16-й системы счисления в 10-ую

    Перевод из 16-й сист. сч-я в 10-ую

    Перевод чисел из 2-й сист. сч-я в 16-ую и обратно тетрадами

    Перевод из 2-й с. сч-я в 16-ую и обратно тетрадами

    Егифка ©:

    Полезности для двоичной системы счисления:

    26 = 64 ≤ 126 7,    126 = 11111102  (7 цифр)
  • если число имеет вид 2k, то оно записывается в двоичной системе как единица и k нулей, например:
  • 32 = 25 = 1000002
  • если число имеет вид 2k-1, то оно записывается в двоичной системе k единиц, например:
  • 31 = 25-1 = 111112
  • если известна двоичная запись N, то двоичную запись числа 2•N можно легко получить, приписав в конец ноль, например:
  • 15 = 11112, 	30 = 111102,         60 = 1111002, 	120 = 11110002
  • Необходимо также выучить степени двойки, увеличивая степень справа налево:
  • 
    1024 512 256 128  64  32  16  8   4   2   1
    210   29  28   27   26  25  24  23  22  21  20
  • желательно выучить таблицу двоичного представления цифр от 0 до 7 в виде триад (групп из 3-х битов):
  • 
    X10,X8    X2
    0	000
    1	001
    2	010
    3	011
    4	100
    5	101
    6	110
    7	111
    
  • желательно знать таблицу двоичного представления чисел от 0 до 15 (в шестнадцатеричной с-ме – 0-F16) в виде тетрад (групп из 4-х битов):
  • 
    X10     X16      X2
    0	0       0000
    1	1       0001
    2	2       0010
    3	3       0011
    4	4       0100
    5	5       0101
    6	6       0110
    7	7       0111
    8	8	1000
    9	9	1001
    10	A	1010
    11	B	1011
    12	C	1100
    13	D	1101
    14	E	1110
    15	F	1111
    
  • Перевод отрицательного (-a) в двоичный дополнительный код выполняется следующим образом:
    • нужно перевести a-1 в двоичную систему счисления;
    • сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки

    Решение 1 задания ЕГЭ

    1_1: Разбор 1 задания ЕГЭ по информатике 2017 года ФИПИ вариант 1 (Крылов С.С., Чуркина Т.Е.):

    Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 2AC116?

    Подобные задания для тренировки

    ✍ Решение:

    • В шестнадцатеричной с-ме счисления числа от 10 до 15 представлены буквами латинского алфавита: A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15.
    • Необходимо вспомнить двоичные коды чисел от 1 до 15 (см. теорию выше на странице), так как для перевода 16-ричного в двоичную с-му достаточно каждую цифру отдельно записать в виде четверки двоичных цифр (тетрады):
    
     2     A     C     1
    0010  1010  1100  0001
  • в этой записи 6 единиц
  • Результат: 6

    Подробный разбор 1 задания с объяснением просмотрите на видео:


    1_2: 1 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика (ФИПИ):

    Сколько существует целых чисел x, для которых выполняется неравенство 2A16<x<618?
    В ответе укажите только количество чисел.

    Подобные задания для тренировки

    ✍ Решение:

    • Переведем 2A16 в десятичную систему счисления:
    2A16 = 2*161+10*160 = 32 + 10 = 42
  • Переведем 618 в десятичную с-му счисления:
  • 618 = 6*81+1*80 = 48 + 1 = 49
  • Получим сравнение:
  • 42 
    
  • Поскольку в задании дважды строгое сравнение (<), то количество целых, удовлетворяющих условию:
  • 49 - 42 - 1 = 6
  • Проверим: 43, 44, 45, 46, 47, 48
  • Результат: 6

    Подробное решение данного 1 задания из демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео:


    1_3: 1 задание. ГВЭ 11 класс по информатике 2018 (ФИПИ):

    Сколько значащих цифр в двоичной записи десятичного числа 129?
    1) 6
    2) 2
    3) 7
    4) 8

    ✍ Решение:

    • Выполним перевод из десятичной с-мы счисления в двоичную делением на 2, справа будем записывать остатки:
    
    129 / 1
    64  / 0
    32  / 0
    16  / 0
    8   / 0
    4   / 0
    2   / 0
    1
    
  • Перепишем остатки снизу вверх, начиная с последней единицы, которая уже не делится на два:
  • 
    10000001
    
  • Посчитаем количество разрядов в получившемся двоичном числе. Их 8, и все они значащие (незначащими могут быть только нули слева, например, 010 - это то же самое, что 10). Правильный ответ под номером 4
  • Результат: 4


    1_4: Решение 1 задания ЕГЭ по информатике (контрольный вариант экзаменационной работы 2018 года, С.С. Крылов, Д.М. Ушаков):

    Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполняется неравенство

    10101128?

    В ответе укажите только количество чисел.

    ✍ Решение:

    Подробный разбор решения тренировочного варианта предлагаем посмотреть на видео:


    1_5: Разбор 1 задания ЕГЭ вариант № 1, 2019 Информатика и ИКТ Типовые экзаменационные варианты (10 вариантов), С.С. Крылов, Т.Е. Чуркина::

    Вычислите значение выражения AE16 – 1916.
    В ответе запишите вычисленное значение в десятичной системе счисления.

    Подобные задания для тренировки

    ✍ Решение:

    • Переведем уменьшаемое и вычитаемое в десятичную систему счисления:
    
    1 0
    A E = 10*161 + 14*160 = 160 + 14 = 174
    
    

    * A16 соответствует числу 10 в десятичной системе счисления

    * E16 соответствует числу 14 в десятичной системе счисления

    
    1 0
    19 = 1*161 + 9*160 = 16 + 9 = 25
    
  • Найдем разность:
  • 
    174 - 25 = 149
    

    Результат: 149


    1_6: Разбор 1 задания ЕГЭ (с сайта К. Полякова, вариант 104 со ссылкой на Носкина А.Н.):

    Петя и Коля загадывают натуральные числа. Петя загадал число Х, а Коля число У. После того, как Петя прибавил к Колиному числу 9, а Коля к Петиному числу 20, сумма полученных чисел при записи в двоичной системе счисления представляет собой пять единиц.

    Чему равна изначальная сумма загаданных мальчиками чисел? Ответ запишите в двоичной системе счисления. Основание указывать не надо.

    ✍ Решение:

    • Перепишем условие задачи в более понятном виде:
    
    (x + 9) + (y + 20) = 111112
    
    (x + y)2 = ?
    
  • Переведем 111112 в десятичную систему счисления и вычтем из полученного результата числа Коли и Пети, чтобы получить просто сумму (x + y):
  • 
    111112 = 3110
    31 - 20 - 9 = 2
    
  • Переведем полученный результат в двоичную систему счисления:
  • 
    210 = 102
    

    Результат: 10


    1_7: Разбор 1 задания ЕГЭ (с сайта К. Полякова, вариант 105 со ссылкой на Куцырь Е.В.):

    Укажите наибольшее четырёхзначное восьмеричное число, четверичная запись которого содержит ровно 2 тройки, не стоящие рядом. В ответе запишите только само восьмеричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

    ✍ Решение:

    • Вспомним, что в восьмеричной системе максимальная цифра 7, а в четверичной - 3. Попробуем выполнить перевод наибольшего восьмеричного числа в четверичную систему, не учитывая условие с нестоящими подряд тройками. Выполним перевод через двоичную систему счисления:
    
    77778 - максимальное четырехзначное восьмеричное число
    
    Перевод в двоичную с.с:
     7   7   7   7
    111 111 111 111
    
    Перевод из двоичной с.с. в четверичную осуществляется делением на группы по две цифры:
    11  11  11  11  11  11
    3   3   3   3   3   3
    
  • Таким образом, чтобы получить наибольшее четверичное число, содержащие две не стоящие подряд тройки, нужно в его двоичной записи удалить по одной единице из всех групп, кроме двух, относящихся к старшим разрядам и не стоящих подряд:
  • 
    11 10 11 10 10 10
    3  2  3  2  2  24
  • Переведем результат в 8-ю систему счисления:
  • 111 011 101 010
     7   3   5   2

    Результат: 7352


    1_8: Разбор 1 задания ЕГЭ (с сайта К. Полякова, вариант 109 со ссылкой на Носкина А.Н.):

    Задан отрезок [a, b]. Число a – наименьшее число, восьмеричная запись которого содержит ровно 3 символа, один из которых – 3. Число bнаименьшее число, шестнадцатеричная запись которого содержит ровно 3 символа, один из которых – F.

    Определите количество натуральных чисел на этом отрезке (включая его концы).

    ✍ Решение:

    • Перепишем условие задачи в более понятном виде, подставив значения для чисел a и b:
    
    a: 1038 - наименьшее трехразрядное восьмеричное число, одна из цифр которого – 3
    b: 10F16- наименьшее трехразрядное 16-е число, одна из цифр которого – F
    
  • Переведем числа в десятичную систему счисления и найдем длину отрезка, выполнив разность этих чисел:
  • 
    1038 = 6710
    10F16 = 27110
    [a,b] = [67,271]
    длина отрезка = 271 - 67 + 1 (включая его концы) = 205 
    

    Результат: 205

    1_9: Решение 1 задания ЕГЭ 2020 (Тематические тренировочные задания, 2020 г., Самылкина Н.Н., Синицкая И.В., Соболева В.В.):

    Для хранения целого числа со знаком используется один байт.

    Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-116)?

    ✍ Решение:

      Для перевода отрицательного числа в двоичную систему счисления воспользуемся следующим алгоритмом:
    • Из модуля исходного числа вычтем единицу:
    |-116| - 1 = 115
  • Переведем результат в двоичную систему счисления:
  • 11510 = 11100112
  • Поскольку для хранения используется один байт, то необходимо дополнить получившееся число незначащими нулями слева до 8 цифр:
  • 01110011
  • Инвертируем результат (заменим единицы на нули, а нули на единицы):
  • 10001100

    Результат: 10001100

    Позиционная система счисления — Википедия

    Материал из Википедии — свободной энциклопедии

    Позиционная систе́ма счисле́ния (позиционная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда).

    Системы счисления в культуре
    Индо-арабская
    Арабская
    Тамильская
    Бирманская
    Кхмерская
    Лаосская
    Монгольская
    Тайская
    Восточноазиатские
    Китайская
    Японская
    Сучжоу
    Корейская
    Вьетнамская
    Счётные палочки
    Алфавитные
    Абджадия
    Армянская
    Ариабхата
    Кириллическая
    Греческая
    Грузинская
    Эфиопская
    Еврейская
    Акшара-санкхья
    Другие
    Вавилонская
    Египетская
    Этрусская
    Римская
    Дунайская
    Аттическая
    Кипу
    Майяская
    Эгейская
    Символы КППУ
    Позиционные
    2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
    Нега-позиционная
    Симметричная
    Смешанные системы
    Фибоначчиева
    Непозиционные
    Единичная (унарная)

    История

    Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам.{k}}, где  ak{\displaystyle \ a_{k}} — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству 0≤ak≤b−1.{\displaystyle 0\leq a_{k}\leq b-1.}

    Каждый базисный элемент

    Системы счисления

    Системы счисления


    Структуры данных и системы счисления
    © Авторские права Брайан Браун, 1984–1999. Все права зарезервированный.

    В этом учебном курсе используются расширения HTML 3.0


    Введение

    Система счисления определяет набор значений, используемых для представления количество. Мы говорим о количестве людей, посещающих занятия, количество модулей, взятых на одного студента, а также используйте числа для представляют собой оценки, полученные учащимися на тестах.

    Количественная оценка значений и предметов по отношению друг к другу является помогает нам понять окружающую среду. Мы делаем это в ранний возраст; выясняя, есть ли у нас больше игрушек, чтобы играть, больше подарки, еще леденцы и так далее.

    Изучение систем счисления не ограничивается только компьютерами. Мы применяем числа каждый день, и зная, как работают числа, мы дать нам представление о том, как компьютер манипулирует и хранит числа.

    Человечество на протяжении веков использовало знаки или символы для представляют собой числа.Ранние формы были прямыми линиями или группами линий, как в фильме Робинзон Крузо , где группа из шести вертикальных линий с диагональной линией поперек представлена ​​одна неделя.

    Сложно представить большие или очень маленькие числа с помощью такой графический подход. Уже в 3400 г. до н.э. в Египте и в 3000 г. до н.э. в Месопотамии они разработали символ, представляющий единицу 10. Это было большим достижением, поскольку уменьшило количество обязательные символы.Например, 12 можно представить как 10 и две единицы (три символа вместо 12, что требовалось ранее).

    Римляне изобрели систему счисления, которая могла представлять все числа от 1 до 1000000 с использованием всего семи символов

    • I = 1
    • В = 5
    • X = 10
    • L = 50
    • С = 100
    • D = 500
    • M = 1000

    Маленькая полоса над символом указывает, что номер умножить на 1000.

    Наиболее распространенной сегодня системой счисления является арабский система. Впервые он был разработан индусами и использовался как еще в 3 веке до нашей эры. Введение символа 0, используется для обозначения позиционного значения цифр, было очень важный. Таким образом, мы познакомились с концепцией групп единиц, десятков единиц, сотен единиц, тысяч единиц и скоро.

    В системах счисления часто полезно думать о повторяющихся устанавливает , где набор значений повторяется снова и снова.

    В десятичной системе счисления имеет набор значений. диапазон от 0 до 9. Этот базовый набор повторяется и над, создавая большие числа.

    Обратите внимание, как повторяется набор значений от 0 до 9, и для каждого повторить, столбец слева увеличивается (с 0 до 1, затем 2).

    Каждое увеличение значения происходит до значения наибольшего число в наборе (9), на этом этапе следующее значение является наименьшим в наборе (0), и новое значение создается в левый столбец (т. е. следующее значение после 9 - 10).

    09, 10 - 19, 20 - 29, 30 - 39 и т. Д.
    
     

    Мы всегда пишем цифру с наибольшим значением на слева от номера


    База Значения
    Базовое значение системы счисления - это количество различных значения, которые набор имеет перед повторением. Например, десятичный имеет основу из десяти значений от 0 до 9.

    • Двоичный = 2 (0, 1)
    • Восьмеричное число = 8 (0-7)
    • Десятичное число = 10 (0-9)
    • Двенадцатеричный = 12 (используется для некоторых целей римлянами)
    • Шестнадцатеричный = 16 (0-9, A-F)
    • Vigesimal = 20 (используется майя)
    • Шестидесятеричный = 60 (используется вавилонянами)

    Взвешивание Фактор
    Весовой коэффициент - это значение множителя, применяемое к каждому положение столбца номера.Например, десятичное число имеет весовой коэффициент ДЕСЯТЬ, в каждом столбце слева указывает на увеличение значения умножения на 10 по сравнению с предыдущим столбец справа, т.е. каждый столбец перемещается влево увеличивается с коэффициентом умножения 10.

    200 =
    ----- 0 * 10  0  = 0 * 1 = 0
    ------ 0 * 10  1  = 0 * 10 = 0
    ------- 2 * 10  2  = 2 * 100 = 200
    -----
    200 (суммируя)
    -----
    
     

    Рассмотрим еще один пример десятичного числа 312.

    312 =
    ----- 2 * 10  0  = 2 * 1 = 2
    ------ 1 * 10  1  = 1 * 10 = 10
    ------- 3 * 10  2  = 3 * 100 = 300
    -----
    312 (суммируя)
    -----
    
     

    десятичный Система счисления [Base-10]
    В этой системе счисления используется ДЕСЯТЬ. разные символы для представления значений.Установленные значения, используемые в десятичный:

     0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
     

    , где 0 имеет наименьшее значение, а девять - наибольшее. значение. Цифра или столбец слева имеет наибольшее значение, в то время как цифра справа имеет наименьшее значение.

    Если при вычислении высшая цифра (9) превышено, происходит перенос, который переносится в следующий столбец (налево).

      Пример добавления и превышения диапазона базовой установки 
    
    8 + 4
    
    8
    9 +1
    10 +2 Примечание 1:
    11 +3
    12 +4
    
    Примечание 1: при превышении 9 мы возвращаемся к началу набора (0),
    и перенесите значение 1 в следующий столбец слева. Еще один пример добавления и превышения диапазона базового набора 
    
    198 + 4
    
    198
    199 +1
    200 +2 Примечание 2:
    201 +3
    202 +4
    
    Примечание 2: при превышении 9 мы возвращаемся к началу набора (0),
    и перенесите значение 1 в следующий столбец слева. Таким образом
    в средний столбец (9) добавлен 1, следующее значение в наборе - 0, и
    мы переносим 1 (потому что набор был превышен) в следующий левый столбец.Добавление
    значение переноса от 1 до 1 в крайнем левом столбце дает.
    
    
     

    Позиционные значения [единицы, десятки, сотни, тысячи и т. Д. Колонны]
    Наверное, в школе нас учили позиционным ценностям, столбцы представляют степень 10. Это выражается нам как столбцы единиц (0-9), десятки (группы по 10), сотни (группы 100) и так далее.

     237 = (2 группы по 100) + (3 группы по 10) + (7 групп по 1)
    = (100 + 100) + (10 + 10 + 10) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)
    = (200) + (30) + (7)
    = 237
    
     

    Каждый столбец смещается влево в 10 раз больше предыдущего значения.


    двоичный Система счисления [База-2]
    В двоичной системе счисления используются ДВА значения для представления чисел. Значения:

    , где 0 имеет наименьшее значение, а 1 - наибольшее. значение. Столбцы используются так же, как и в десятичная система, в которой крайний левый столбец используется для представления наибольшего значения.

    Как мы видели в десятичной системе, значения в наборе (0 и 1) повторяются как по вертикали, так и по горизонтальные направления.

    0
    1
    10 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
    11
    100 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
    101
    110 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
    111
    
     

    В компьютере - двоичная переменная, способная хранить двоичные данные. значение (0 или 1) называется BIT.

    В десятичной системе столбцы представляют собой умножение. значения 10.Это произошло потому, что было 10 значений (0–9) в набор. В этой двоичной системе всего два значения (0 - 1) в наборе, поэтому столбцы представляют собой значения умножения 2.

    1011 =
    ---- 1 * 2  0  = 1
    ----- 1 * 2  1  = 2
    ------ 0 * 2  2  = 0
    ------- 1 * 2  3  = 8
    ----
    11 (в десятичной системе)
    
    
    
     

    Диапазоны чисел в двоичном формате с использованием указанного количества бит
    Сколько разных значений может быть представлено определенным числом бит?

    количество различных значений = 2  n 
    
    где  n  - количество бит
    
    например.2  8 
    = 256 разных значений
    
     

    Правила сложения двоичных файлов

    Эксплуатация Результат
    0 + 0 0
    0 + 1 1
    1 + 0 1
    1 + 1 0 и Carry 1
    1011 + 101 =
    1011
    101
    
    1.Начните с самого правого столбца и примените правила.
    2. 1 + 1 равно 0 и переносит 1 в следующий столбец слева.
    
    1011
    101
    ------
    0 и нести 1
    
    что действительно похоже
    
    1011
    111
    ------
    0
    
    3. Теперь сделайте второй столбец.
    4. 1 + 1 равно 0, перенесите 1 в следующий столбец слева.
    
    1011
    111
    ------
    00 и нести 1
    
    что действительно похоже
    
    1011
    111
    1
    ------
    00
    
    5.Теперь сделайте третий столбец
    6. 1 + 1 равно 0, перенесите 1 в следующий столбец слева.
    
    1011
    111
    1
    ------
    000 и нести 1
    
    что действительно похоже
    
    1011
    111
    1
    ------
    000
    
    7. Теперь займитесь последней колонкой слева.
    8. 1 + 1 равно 0 и переносится 1 слева.
    
    1011
    101
    ------
    10000
    
     

    Правила двоичного вычитания

    Эксплуатация Результат
    0-0 0
    0–1 1 и займ 1
    1-0 1
    1–1 0

    Правила двоичного умножения

    Эксплуатация Результат
    0 * 0 0
    0 * 1 0
    1 * 0 0
    1 * 1 1

    Примеры задач для двоичного сложения и вычитание


    Преобразование Десятичное в двоичное
    Есть несколько способов преобразования между десятичным и двоичным числами.Начнем с преобразования десятичного значения 254 в двоичный.

    Метод 1: Разделите число на 2, затем разделите полученное осталось на 2 и так далее, пока ничего не останется (0). Записывать остаток (равный 0 или 1) на каждом этапе деления. Как только делений больше нет, перечислите оставшиеся значения в обратный порядок. Это двоичный эквивалент.

    254/2, что дает 127 с остатком 0
    127/2 получается 63 с остатком 1
    63/2 получается 31 с остатком 1
    31/2 получается 15 с остатком 1
    15/2 получается 7 с остатком 1
    7/2 дает 3 с остатком 1
    3/2 дает 1 с остатком 1
    1/2 дает 0 с остатком 1
    
    таким образом, двоичный эквивалент  11111110 
    
     Другой пример, 132 десятичное 
    132/2, что дает 66 с остатком 0
    66/2, то есть 33 с остатком 0
    33/2 - 16 с остатком 1
    16/2 - 8 с остатком 0
    8/2 - 4 с остатком 0
    4/2 дает 2 с остатком 0
    2/2, что дает 1 с остатком 0
    1/2 дает 0 с остатком 1
    
    таким образом, двоичный эквивалент  10000100 
    
     

    Метод 2: Каждый столбец представляет степень двойки, поэтому используйте это как основа для расчета числа.Иногда бывает называется подходом 8: 4: 2: 1.
    Запишите двоичное число. Где 1 появляется в столбец, добавьте значение столбца как степень двойки к итоговому значению.

    Вес 8 4 2 1 Ответ
    Двоичное значение 1 0 1 1 11
    Вес 8 4 2 1 Ответ
    Двоичное значение 0 1 1 1 7
    Вес 32 16 8 4 2 1 Ответ
    Двоичное значение 1 1 1 0 1 1 59
    Вес 32 16 8 4 2 1 Ответ
    Двоичное значение 1 0 1 0 1 0 42

    Примеры задач для преобразования десятичных чисел в двоичные Преобразование

    Двоичные числа:

    • громоздко записывать
    • длинный
    • не имеет большого значения для обычного пользователя
    • понимаются компьютерами

    O кталь Система счисления [База-8]
    В восьмеричной системе счисления используется ВОСЕМЬ значения для представления чисел.Значения:

     0 1 2 3 4 5 6 7
     

    , где 0 имеет наименьшее значение, а семь - наибольшее. значение. Столбцы используются так же, как и в десятичной системе, в том, что самый левый столбец используется для представления наибольшего значения.

    Как мы видели в десятичной системе, значения в наборе (0 и 1) повторяются как по вертикали, так и по горизонтальные направления.

    0-7, 10-17, 20-27, 30-37......
    
     

    Задача: Преобразовать восьмеричное число 176 в десятичное.

    Каждый столбец представляет собой степень 8,
    
    176 =
    ---- 6 * 8  0  = 6
    ----- 7 * 8  1  = 56
    ------ 1 * 8  2  = 64
    ----
    126
    
     

    Octal широко использовался в ранних мэйнфреймах системы.


    шестнадцатеричный Система счисления [Base-16]
    В шестнадцатеричной системе счисления используется ШЕСТНАДЦАТЬ. значения для представления чисел.Значения:

     0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А Б В Г Д Е Ф
     

    , где 0 имеет наименьшее значение, а F - наибольшее значение. Столбцы используются так же, как и в десятичном система, в которой крайний левый столбец используется для представления наибольшая ценность.

    Как мы видели в десятичной системе, значения в наборе (0 и 1) повторяются как по вертикали, так и по горизонтальные направления.

    0 - F, 10 - 1 этаж, 20 - 2 этаж, 30 - 3 этаж......
    
     

    Шестнадцатеричный формат часто используется для представления значений [чисел и адреса памяти] в компьютерных системах.

    Десятичное - Двоичное - Шестнадцатеричное
    десятичный двоичный Шестнадцатеричный
    0 0000 0
    1 0001 1
    2 0010 2
    3 0011 3
    4 0100 4
    5 0101 5
    6 0110 6
    7 0111 7
    8 1000 8
    9 1001 9
    10 1010 А
    11 1011 B
    12 1100 С
    13 1101 D
    14 1110 E
    15 1111 F

    Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное
    Задача: Преобразование 176 из шестнадцатеричного числа в десятичное.

    Каждый столбец представляет степень 16,
    
    176 =
    ---- 6 * 16  0  = 6
    ----- 7 * 16  1  = 112
    ------ 1 * 16  2  = 256
    ----
    374
    
     

    Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное
    Проблема: Преобразование 10110 в шестнадцатеричное.

    Каждая шестнадцатеричная цифра представляет 4 двоичных бита. Разделить двоичное число
    на группы по 4 бита, начиная справа.1 0110
    = 1 = 6
    = 16 в шестнадцатеричном формате
    
     

    Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное
    Проблема: Преобразование десятичного числа 232 в шестнадцатеричное.

    Используйте тот же метод, который использовался ранее для деления десятичной дроби на
    двоичный, но разделить на 16.
    
    232/16 = 14 с остатком  8 
    14/16 = 0 с остатком  E  (14 в десятичной системе = E)
    
    =  E8    16   

    Во избежание путаницы мы часто добавляем суффикс для обозначения основания числа

    162  ч  ч означает шестнадцатеричный
    162  16  16 означает основание 16
    
    162  d  d означает десятичное число
    162  10  10 означает основание 10
    
    162  o  o означает восьмеричное
    162  8  8 означает основание 8
    
    101  b  b означает двоичное
    101  2  2 означает основание 2
    
     

    Примеры задач для шестнадцатеричной системы Преобразование


    Представляя положительный и отрицательные числа в двоичном формате
    Когда для хранения значений используется определенное количество битов, наиболее значащий бит [бит, имеющий наибольшее значение в крайний левый столбец] используется для хранения знака [положительный или отрицательный] числа.Остальные биты содержат фактическое значение.

    Если число отрицательное, знак будет 1 , а для положительные числа, знак 0 .

    Вопрос: Что такое диапазон чисел, доступных при использовании 8 бит.

    Для 8 бит один бит предназначен для знака, 7 - для числа, поэтому диапазон значений равен
    
    2  7  = 127 комбинаций
    
     

    Из-за проблем с сложением и вычитанием отрицательный числа обычно хранятся в формате, отличном от положительного числа.

    Дополнительная информация о представлении чисел


    Единицы Дополнение
    Дополнение 1 - это метод хранения отрицательных значений. Это просто инвертирует все 0 в 1 и все 1 в 0.

    Оригинальный номер Двоичное значение Дополняющее значение до 1
    7 00000111 11111000
    32 00100000 11011111
    114 01110010 10001101

    Дополнение до двоек
    Дополнение до 2 - это еще один метод хранения отрицательных значений.Это получается добавлением 1 к значению дополнения до 1.

    Оригинальный номер Двоичное значение Дополняющее значение до 1 Дополняющее значение 2
    7 00000111 11111000 11111001
    32 00100000 11011111 11100000
    114 01110010 10001101 10001110

    Другой способ создания дополнительного числа до 2 - начать наименьший значащий бит и скопируйте все 0 до достигается первая 1.Скопируйте первую 1, затем инвертируйте все оставшиеся биты.

    В следующей таблице показаны как единицы, так и двойки. дополнить, используя диапазон 4 бита.

    Таблица дополнений
    Двоичный Дополнение до 1 Дополнение по 2 Без знака
    0111 7 7 7
    0110 6 6 6
    0101 5 5 5
    0100 4 4 4
    0011 3 3 3
    0010 2 2 2
    0001 1 1 1
    0000 0 0 0
    1111 -0 -1 15
    1110 -1 -2 14
    1101 -2 -3 13
    1100 -3 -4 12
    1011 -4 -5 11
    1010 -5 -6 10
    1001 -6 -7 9
    1000 -7 -8 8

    Примечание: Посмотрите, как в случае дополнения до 1 есть два представления для 0


    Серый код
    Это циклический код с переменным взвешиванием .Значит, устроено так что каждый переход от одного значения к следующему включает только изменение одного бита .

    Код Грея иногда называют отраженным двоичным кодом , потому что первые восемь значений сравниваются с последними 8 значения, но в обратном порядке.

    Десятичное двоичный Серый
    0 0000 0000
    1 0001 0001
    2 0010 0011
    3 0011 0010
    4 0100 0110
    5 0101 0111
    6 0110 0101
    7 0111 0100
    8 1000 1100
    9 1001 1101
    10 1010 1111
    11 1011 1110
    12 1100 1010
    13 1101 1011
    14 1110 1001
    15 1111 1000

    Код Грея часто используется в механических приложениях, таких как энкодеры вала.

    Арифметика по модулю 2
    Это двоичное сложение, но перенос игнорируется.

    Преобразование серого в двоичное

    1. запишите номер серым кодом
    2. старший бит двоичного числа является самым старшим значащий бит кода Грея
    3. добавить (используя по модулю 2) следующий значащий бит двоичное число до следующего значащего бита серого закодированное число для получения следующего двоичного бита
    4. повторяйте шаг 3, пока все биты серого закодированного числа не будут добавлено по модулю 2
    5. результирующее число является двоичным эквивалентом серого число
     Пример, преобразование 1101101 кода Грея в двоичный 
    
    Серый двоичный
    1.1101101
    2.  1  101101 1 копировать вниз старший бит
    3. 1  1  1101  1  0 1 по модулю 2 1 = 0
    4. 11  0  1101 1  0  0 0 по модулю 2 0 = 0
    3/4 110  1  101 10  0  1 0 по модулю 2 1 = 1
    3/4 1101  1  01100  1  0 1 по модулю 2 1 = 0
    3/4 11011  0  1 1001  0  0 0 по модулю 2 0 = 0
    3/4 110110  1  10010  0  1 0 по модулю 2 1 = 1
    
    Ответ: 1001001
    
     

    Преобразование двоичного изображения в серый

    1. запишите число в двоичном коде
    2. старший бит серого числа является самым старшим значащий бит двоичного кода
    3. добавить (используя по модулю 2) следующий значащий бит двоичное число до следующего значащего бита двоичного число для получения следующего бита с кодом серого
    4. повторите шаг 3 до тех пор, пока все биты двоично-кодированного числа были добавлены по модулю 2
    5. результирующее число является серым эквивалентом двоичное число
     Пример преобразования двоичного кода 1001001 в код Грея 
    
    Бинарный серый
    1.1001001
    2.  1  001001 1 копировать вниз старший бит
    3.  10  01001 11 1 по модулю 2 0 = 1
    4. 1  00  1001110 0 по модулю 2 0 = 0
    3/4 10  01 001 1101 0 по модулю 2 1 = 1
    3/4 100  10  01 11011 1 по модулю 2 0 = 1
    3/4 1001  00  1 110110 0 по модулю 2 0 = 0
    3/4 10010  01  1101101 0 по модулю 2 1 = 1
    
    Ответ 1101101
    
     

    Превышение 3 Серый код
    Во многих приложениях желательно иметь код, который является двоично-десятичным кодом, а также единицей расстояния.Единица код расстояния получил свое название от того факта, что существует изменение только одного бита между двумя последовательными числами. Превышение 3 код Грея является таким кодом, значения для нуля и девяти различаются только 1 бит, как и все значения для последовательных чисел.

    Выходы линейных устройств или угловых энкодеров могут кодироваться более 3 кодов Грея для получения многозначных чисел BCD.

    Десятичное Излишек 3 Серый
    0 0010
    1 0110
    2 0111
    3 0101
    4 0100
    5 1100
    6 1101
    7 1111
    8 1110
    9 1010

    Главная | Другие курсы | Обратная связь | Примечания | Тесты

    © Copyright B Brown / Peter Henry.y} $. Сначала мы попытаемся понять, что такое цифра единиц, затем мы рассмотрим методику нахождения цифры единиц большой степени, а затем, используя эту технику, мы решим некоторые проблемы с цифрой единиц числа, возведенного в степень.

    В конце, пожалуйста, пройдите QUIZ , чтобы проверить свое понимание.

    Видео:

    Что такое цифра единиц измерения?

    Цифра единиц в номере - это цифра, стоящая на месте единицы.т.е. это крайняя правая цифра числа. Например, цифра единиц 243 равна 3, цифра единиц 39 - 9.

    Но тогда что такое цифра единиц больших чисел, например 23 в степени 46 или какая цифра единиц 2014 года в степени 2014 ? Здесь непросто вычислить цифру единиц этих чисел. Итак, давайте посмотрим на технику вычисления разряда единиц больших чисел.

    Разряд единиц больших чисел - число в степени

    Один из способов найти цифру единиц мощности - это найти остаток от деления этого числа на 10.{20} $ 1.

    Следовательно, последняя цифра в 6-й степени 2021 равна 6


    Тест: проверьте свое понимание

    Мы надеемся, что теперь у вас есть хорошее представление о том, как найти цифру единиц в числе возведен к власти. Вот небольшая викторина, чтобы проверить ваше понимание.

    Начни викторину!

    Поделитесь викториной, чтобы показать свои результаты!


    Единицы разряда большого числа Я получил %% балл %% из %% total %% right

    Что дальше?

    Нажмите на ссылку ниже, чтобы научиться вычислять последние две цифры больших чисел, например $ {91 ^ {246}} $, $ {(79) ^ {142}} $ и т. Д.

    ПОСЛЕДНИЕ ДВЕ ЦИФРЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

    Системы счисления

    Обзор

    Эта страница посвящена системам счисления.Вы уже знакомы по крайней мере с одной системой счисления - десятичной системой счисления, которую мы используем каждый день - на работе или за покупками - даже во время досуга (подумайте о многих играх и спортивных мероприятиях, связанных с хронометражом или счетом ). На протяжении всей письменной истории появилось множество различных систем счисления. Здесь нас в первую очередь интересуют те, с которыми мы встретимся в контексте математики, науки и технологий.

    Существует множество различных систем счисления, основное различие между которыми заключается в количестве используемых символов (называемых основанием или основанием системы счисления).Десятичные числа имеют основание десять , двоичные числа (которые очень важны в вычислениях) имеют основание два , восьмеричные числа имеют основание восемь , а шестнадцатеричные числа имеют основание шестнадцать .

    В вычислениях используются двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа. Шестнадцатеричные числа особенно важны в области вычислений, поскольку они обеспечивают удобный способ выражения двоичных значений.Каждая шестнадцатеричная цифра может использоваться для представления группы из четырех двоичных цифр (или битов ), а пара шестнадцатеричных цифр может использоваться для представления байтов (группа из восьми двоичных цифр).

    Символы, используемые в большинстве стран западного мира для выражения числовых значений, являются версией индуистско-арабской системы счисления, позиционной десятичной системы счисления , разработанной индуистскими и индийскими математиками в девятом веке, позже принятой арабскими математиками и принятой в их во многие части Европы.В системе десять символов, каждый из которых представляет одно из десяти целых значений от 0 до 9.

    Символы, используемые для обозначения цифр, важны только в том смысле, что они обеспечивают способ идентификации различных числовых значений с целью передачи их другим. Свойства данной системы счисления зависят только от количества различных используемых символов, а также от того, является ли система счисления позиционной.

    Цифры, используемые в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, приведены ниже.Обратите внимание, что шестнадцатеричная система счисления использует первые шесть букв алфавита (A-F) для обозначения чисел с десять до пятнадцать (10-15).


    Цифры, используемые в общих системах счисления
    Система счисления 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
    Двоичный 1 0
    восьмеричный 7 6 5 4 3 2 1 0
    десятичный 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
    десятичный ф E D С B А 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

    Десятичные числа

    Принято считать, что использование системы счисления, основанной на десяти символах (десятичная система счисления ), основано на том факте, что древний человек впервые научился считать, используя пальцы обеих рук, что позволяло им считать до десять с относительной легкостью.

    Все интересующие нас системы счисления (включая десятичную систему счисления, с которой большинство из нас знакомо) являются позиционными. Рассмотрим, например, число 123,456. Это число с плавающей запятой , то есть оно имеет дробную часть, представленную цифрами, которые появляются справа от десятичной запятой (термин «с плавающей запятой» просто означает, что десятичная запятая (или основание системы счисления ) может размещать в любом месте относительно значащих цифр номера).

    Число в первой позиции перед десятичной запятой (3) представляет собой значение 3 × 10 0 (три, умноженное на десять до нулевой степени), что равняется трем, поскольку любое число в степени нуля равно единице. Цифра во второй позиции слева от десятичной точки (2) представляет собой значение 2 × 10 1 или 20 (любое число в степени единицы само по себе). Цифра в третьей позиции слева от десятичной точки (1) представляет значение 1 × 10 2 или сто.



    Каждую цифру в десятичном числе необходимо умножить на десять в степени, которая зависит от положения цифры в числе, относительно десятичной точки, отделяющей целую часть числа от дробной части (если есть). Позиция имеет значение, потому что она определяет величин значения, представленного каждой цифрой. Три цифры справа от десятичной точки в приведенном выше примере (4, 5 и 6) представляют значения 4 × 10 -1 , 5 × 10 -2 и 6 × 10 -3 соответственно.

    Восьмеричные числа

    Восьмеричная система счисления, как следует из названия, имеет основание восемь (8). В ней используются те же первые восемь цифр, что и в десятичной системе счисления (от 0 до 7). Восьмеричная система счисления больше не широко используется в вычислениях (или где-либо еще в этом отношении), но когда-то она была популярна, потому что все восьмеричные цифры могли быть представлены с использованием всего трех битов.

    Некоторые ранние мэйнфреймы и миникомпьютеры были построены на основе 36-битной архитектуры. Восьмеричный код часто использовался для хранения цифровой информации, потому что группировка из трех битов довольно хорошо вписывалась в слово из тридцати шести бит. Восьмеричные цифры и их двоичные представления показаны ниже.

    0 = 000
    1 = 001
    2 = 010
    3 = 011
    4 = 100
    5 = 101
    6 = 110
    7 = 111

    Подобно шестнадцатеричной и двоичной системах счисления, используемым в современных компьютерах, восьмеричные числа часто требовались для представления десятичных значений.Выше мы видели, что представляет собой число 123,456 в десятичной системе счисления. Каждая цифра представляет собой некоторое число, кратное степени десяти, в зависимости от ее положения относительно точки счисления. Что бы представляла эта же последовательность чисел, если бы вместо десятичной системы счисления мы использовали восьмеричную систему счисления? Давайте выясним.



    Чтобы преобразовать это значение в его десятичный эквивалент, нам нужно сложить значения цифр:

    123.456 8 = 1 × 8 2 + 2 × 8 1 + 3 × 8 0 + 4 × 8 -1 + 5 × 8 -2 + 6 × 8 -3

    123,456 8 = 64 + 16 + 3 + 0,5 + 0,078125 + 0,01171875

    123,456 8 = 83,58984375

    Как видите, эта последовательность цифр представляет собой совсем другое восьмеричное значение. Обратите внимание: когда мы пишем десятичное число, мы обычно не указываем явно, что это десятичное число.Однако при написании чисел в других основаниях иногда рекомендуется указать используемое основание чисел, чтобы избежать путаницы. Мы можем сделать это, добавив нижний индекс после числа следующим образом:

    123,456 8

    Мы видели, что преобразование восьмеричных чисел в десятичные относительно несложно. Преобразование восьмеричных чисел в двоичные стало еще проще. Мы видели, что каждая цифра восьмеричного числа умножается на степень восьми, а восемь равняется двум в степени трех:

    8 = 2 3

    Каждая дополнительная цифра при перемещении справа налево в двоичном числе представляет собой последовательную степень двойки.Точно так же каждая дополнительная цифра при движении справа налево в восьмеричном числе представляет собой последовательную степень восьми. Это означает, что сдвиг на одну позицию влево в восьмеричном числе эквивалентен сдвигу на три позиции влево в двоичном числе.

    Значение может быть не сразу очевидным - возможно, вам придется подумать над этим некоторое время. Важно понимать, что для преобразования восьмеричного числа в его двоичный эквивалент мы просто заменяем каждую восьмеричную цифру тремя двоичными цифрами, которые ее представляют (мы видели их, перечисленные выше).Преобразуем восьмеричное число 123,456 в двоичное:



    Следовательно:

    123,456 8 = 1010011.10010111 2

    Обратите внимание, что мы удалили два начальных нуля и конечный ноль из двоичного результата. Вы должны увидеть, что обратный процесс (преобразование двоичных чисел в их восьмеричное представление) - это просто вопрос замены каждой группы из трех двоичных цифр ее восьмеричным представлением.Преобразуем двоичное число 111110101.10001101 в восьмеричное:



    Следовательно:

    111110101.10001101 2 = 765.432 8

    Единственное, что вам нужно быть осторожным, это убедиться, что вы разбили двоичное число на правильные трехзначные группы (при необходимости добавьте начальные или конечные нули, чтобы завершить левую и крайнюю правую группы двоичных цифр.

    Преобразование восьмеричных чисел в шестнадцатеричные нельзя выполнить напрямую - это двухэтапный процесс. Первый шаг - преобразовать восьмеричное число в его десятичный эквивалент, как показано выше. Второй шаг - преобразовать полученное десятичное число в шестнадцатеричное (см. Ниже).

    Шестнадцатеричные числа

    Шестнадцатеричная система счисления (или основание шестнадцати) - это позиционная система счисления, которая представляет числовые значения с использованием шестнадцати символов - от 0 до 9 для значений от нуля до девяти и A, B, C, D, E и F для представления чисел. без десяти пятнадцать.По этой причине считается, что его основание равняется шестнадцати. Шестнадцатеричные числа выражаются как последовательность из одной или нескольких шестнадцатеричных цифр, за которыми следует строчная буква «h» или иногда нижний индекс 16, чтобы указать, что они на самом деле являются шестнадцатеричными (основание шестнадцать) числами. Вот десятичное число сто шестьдесят пять (165), выраженное в виде шестнадцатеричного числа:

    A5h

    Как и в знакомой нам десятичной системе, положение каждой цифры в шестнадцатеричном числе определяет ее значение.В то время как каждая позиция в десятичном числе представляет некоторую степень десяти, однако каждая позиция в шестнадцатеричном числе представляет степень шестнадцати. В таблице ниже показаны числа от 0 до 63 (с основанием десять) в виде шестнадцатеричных чисел.


    Шестнадцатеричные числа
    шестигранник 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А B С D E F
    декабрь 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
    шестигранник 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1D 1E 1 этаж
    декабрь 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
    шестигранник 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2C 2D 2E 2F
    декабрь 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
    шестигранник 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3C 3D 3E 3F
    декабрь 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

    Десятичное число тридцать девять (39), выраженное шестнадцатеричным числом (27h), таким образом:

    2 × 16 1 + 7 × 16 0 = 32 + 7 = 39

    Шестнадцатеричная цифра в самой правой позиции любого шестнадцатеричного целого числа содержит наименьшее значение (с максимальным значением пятнадцать).Крайняя левая шестнадцатеричная цифра имеет максимальное значение, которое отражает ее положение относительно самой правой цифры, и будет кратным некоторой степени шестнадцати больше нуля. Значение самой левой шестнадцатеричной цифры (при условии, что мы игнорируем ведущие нули) всегда превышает суммарное значение всех цифр справа от нее. По этой причине общая величина шестнадцатеричного числа всегда определяется позицией самой левой цифры.

    Дроби также могут быть представлены с помощью шестнадцатеричных цифр, как и действительные (дробные) числа.Как и вещественные числа с основанием десять, дробная часть шестнадцатеричного числа следует за точкой. В десятичной системе счисления мы называем это десятичной точкой. В шестнадцатеричной системе счисления мы называем это шестнадцатеричной точкой .

    В десятичной системе число в первой позиции после десятичной точки умножается на 10 -1 (0,1), цифра во второй позиции после десятичной точки умножается на 10 -2 (0.01) и так далее. Дробная часть шестнадцатеричного числа работает по тому же принципу, за исключением того, что цифра в первой позиции после двоичной точки умножается на 16 -1 (от 0,0625 до десятичного основания), цифра во второй позиции после двоичной точки. умножается на 16 -2 (0,003 с точностью до десяти) и т. д.

    Обратите внимание, что, в то время как каждая последующая положительная степень шестнадцати имеет значение в шестнадцать раз больше, чем ее предшественник, каждая последующая отрицательная степень шестнадцати имеет одну шестнадцатую значение своей предшественницы.Анатомия реального шестнадцатеричного числа проиллюстрирована ниже.


    Анатомия реального шестнадцатеричного числа


    Поскольку так легко представить группы из четырех двоичных цифр с помощью шестнадцатеричных цифр, шестнадцатеричная система счисления часто используется для представления двоичных значений в областях вычислительной техники и цифровой электроники. Байтовые значения, которые могут представлять десятичные числа в диапазоне от 0 до 255, часто выражаются с помощью пары шестнадцатеричных цифр в диапазоне от 00h до FFh.Шестнадцатеричные числа также обычно используются для представления адресов памяти в программах на языке ассемблера.

    Двоичные числа

    Важность двоичной системы счисления, которая, как следует из названия, состоит только из двух символов (0 и 1), заключается в том, что это единственная система счисления, которую действительно «понимают» современные цифровые компьютеры. Следует помнить, что в основе этих устройств лежит центральный процессор (ЦП), который по сути представляет собой конечный автомат, состоящий из транзисторов и микросхем, обеспечивающих сотни миллионов взаимосвязанных высокоскоростных переключателей.Состояние каждого отдельного переключателя может быть включено или выключено, поэтому каждый переключатель может представлять только единицу или ноль.

    Хотя компьютеры могут обрабатывать огромные объемы данных и выполнять миллионы вычислений в секунду, все основные машинные операции, которые достигают этого, основаны на манипулировании двоичными значениями с использованием различных типов логических схем. Даже данные, хранящиеся в оперативной памяти (RAM) и на магнитных или оптических дисках, физически хранятся в виде двоичных данных - миллиарды отдельных двоичных цифр («битов»), все из которых имеют значение 0 или 1.

    В то время как целые числа в других системах счисления могут быть точно представлены с использованием двоичной системы счисления, многие действительные числа (с дробными значениями) не могут. Таким образом, такие значения являются приблизительными, хотя степень точности , достигаемая , увеличивается с увеличением количества битов, используемых в их представлении, за счет увеличения объема памяти в рабочей памяти или на диске.

    Поскольку двоичная система счисления (или система счисления с основанием два) представляет числовые значения с использованием всего двух символов (0 и 1), считается, что система счисления имеет основание два.Двоичные числа выражаются в виде серии двоичных цифр, иногда за которыми следует нижний индекс 2, чтобы указать, что они на самом деле являются двоичными числами. Вот десятичное число сто семьдесят (170), выраженное в виде двоичного числа:

    10101010 2

    Как и в знакомой нам десятичной системе, положение каждой цифры в двоичном числе определяет его значение.В то время как каждая позиция в десятичном числе представляет некоторую степень десяти, однако каждая позиция в двоичном числе представляет степень двойки. В таблице ниже представлены числа от 0 до 15 (с основанием десять) как 4-битные двоичные числа (пятнадцать - это наибольшее число, которое может быть выражено четырьмя двоичными цифрами).


    4-битные двоичные числа
    двоичный 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
    декабрь 0 1 2 3 4 5 6 7
    Двоичный 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
    декабрь 8 9 10 11 12 13 14 15

    Десятичное число 13 может быть выражено двоичным числом следующим образом:



    1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

    Двоичная цифра в крайней правой позиции любого двоичного целого числа содержит наименьшее значение (с максимальным значением, равным единице) и иногда называется младшим значащим битом (LSB).Самая левая двоичная цифра имеет максимальное значение, которое отражает ее положение относительно младшего разряда, и будет представлять собой некоторую степень двойки больше нуля.

    Крайняя левая двоичная цифра (при условии, что мы игнорируем ведущие нули) иногда называется старшим значащим битом (MSB), и ее значение всегда превышает суммарное значение всех битов справа от нее. По этой причине общая величина двоичного числа всегда определяется позицией самого левого (ненулевого) бита.

    Дроби также могут быть представлены двоичными цифрами, как и действительные (дробные) числа. Как и действительные числа с основанием десять, дробная часть двоичного числа следует за точкой счисления. В десятичной системе счисления мы называем это десятичной точкой, но в двоичной системе счисления мы называем это двоичной точкой .

    В десятичной системе число в первой позиции после десятичной точки умножается на 10 -1 (0.1) цифра во второй позиции после десятичной точки умножается на 10 -2 (0,01) и т. Д. Дробная часть двоичного числа работает по тому же принципу, за исключением того, что цифра в первой позиции, следующей за двоичной точкой, умножается на 2 -1 (от 0,5 до десятичного основания), цифра во второй позиции после двоичной точки. умножается на 2 -2 (0,25 с точностью до десяти) и т. д.

    Обратите внимание, что в то время как каждая последующая положительная степень двойки имеет двойное значение своего предшественника, каждая последующая отрицательная степень двойки имеет половину значения своего предшественника.Анатомия реального двоичного числа проиллюстрирована ниже.


    Анатомия реального двоичного числа


    Из вышесказанного видно, что преобразование двоичных чисел в десятичные относительно несложно. Просто сложите степени двойки, представленные каждой двоичной цифрой (это работает для двоичных целых чисел, дробей и действительных чисел).

    Когда вы думаете об этом, почти столь же очевиден тот факт, что точность, с которой действительные числа и дроби (с основанием десять) могут быть преобразованы в двоичные, часто будет зависеть от количества битов, доступных для представления дробной части числа.Чем больше количество используемых битов, тем точнее будет результат (с точки зрения вычислений более высокая точность означает больший объем памяти, необходимый для хранения результата).

    Преобразование двоичных чисел в шестнадцатеричные стало еще проще, и это позволяет нам представлять двоичные значения более удобным для человека способом. Мы уже видели таблицу, содержащую десятичные целые (целые числа) значения от нуля до пятнадцати (0–15) и их двоичные эквиваленты.Давайте теперь посмотрим на двоичные эквиваленты шестнадцати цифр, используемых в шестнадцатеричной системе (0–9, A – F):


    Двоичное преобразование в шестнадцатеричное
    двоичный 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
    шестигранник 0 1 2 3 4 5 6 7
    Двоичный 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
    шестигранник 8 9 А B С D E F

    Мы видели, что каждая цифра в шестнадцатеричном числе умножается на степень шестнадцати, а шестнадцать равно двум в степени четырех:

    16 = 2 4

    Каждая дополнительная цифра при перемещении справа налево в двоичном числе представляет собой последовательную степень двойки.Точно так же каждая дополнительная цифра при движении справа налево в шестнадцатеричном числе представляет собой последовательную степень шестнадцати. Это означает, что сдвиг на одну позицию влево в шестнадцатеричном числе эквивалентен сдвигу на четыре позиции влево в двоичном числе.

    Значение может быть не сразу очевидным - возможно, вам придется подумать над этим некоторое время. Важно понимать, что для преобразования двоичного числа в его шестнадцатеричный эквивалент достаточно просто заменить каждую группу из четырех двоичных цифр ее шестнадцатеричным представлением.Преобразуем двоичное число 110111110101.100011010011 в шестнадцатеричное:



    Следовательно:

    110111110101.100011010011 2 = DF5.8D3h

    Единственное, с чем вам нужно быть осторожным, это убедиться, что вы разбили двоичное число на правильные четырехзначные группы (при необходимости добавьте начальные или конечные нули, чтобы завершить левую и крайнюю правую группы двоичных цифр.Кстати, если вы хотите проверить любой из примеров преобразования, приведенных на этой странице, вы можете найти здесь удобный онлайн-инструмент для преобразования:

    Набор инструментов кодера - преобразование чисел

    Преобразование из шестнадцатеричного в двоичное - это просто вопрос обратного процесса. Другими словами, мы просто заменяем каждую цифру шестнадцатеричного числа четырьмя двоичными цифрами, которые ее представляют.После завершения преобразования мы можем безопасно удалить все нули в начале и в конце. Преобразуем шестнадцатеричное число F08.7A5h в двоичное:



    Следовательно:

    F08.7A5h = 111100001000.011110100101 2

    Преобразование десятичного числа в восьмеричное

    Один из методов, который можно использовать для преобразования десятичного числа в его восьмеричный эквивалент, - выполнить целочисленное деление с использованием восьми в качестве делителя.Преобразуемое число делится на восемь, а остаток записывается в крайней правой позиции (восьмеричной цифрой). Целочисленный результат деления затем снова делится на восемь, а остаток записывается (снова как восьмеричная цифра) слева от восьмеричной цифры, полученной на предыдущем шаге. Этот процесс повторяется до тех пор, пока целочисленный результат деления не станет нулевым. Пример будет служить для иллюстрации процесса. Чтобы преобразовать десятичное число 16895 в восьмеричное, выполните следующие действия:


    8
    Десятичное преобразование в восьмеричное
    Целочисленное деление Целочисленное значение Остаток Восьмеричное
    16,895 ÷ 8 2,111 7 7 8 7 8 7 8
    263 ÷ 8 32 7 7 8
    32 ÷ 8 4 0 0 0 4 4 8

    Следовательно:

    16 895 10 = 40777 8

    Мы можем выполнить относительно простой процесс - который мы уже видели, - чтобы преобразовать число обратно в десятичное (и в то же время подтвердить, что полученный ответ правильный).Просто умножьте каждую шестнадцатеричную цифру на соответствующую степень шестнадцати и сложите полученные десятичные значения, как показано ниже:

    4 × 8 4 + 0 × 8 3 + 7 × 8 2 + 7 × 8 1 + 7 × 8 0

    = 4 × 4,096 + 0 × 512 + 7 × 64 + 7 × 8 + 7 × 1

    = 16,384 + 0 + 448 + 56 + 7

    = 16,895 10

    Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное

    Один из методов, который можно использовать для преобразования десятичного числа в его шестнадцатеричный эквивалент, - выполнить целочисленное деление с использованием шестнадцати в качестве делителя.Преобразуемое число делится на шестнадцать, а остаток записывается в крайнем правом положении (в виде шестнадцатеричной цифры). Целочисленный результат деления затем снова делится на шестнадцать, а остаток записывается (снова как шестнадцатеричная цифра) слева от шестнадцатеричной цифры, полученной на предыдущем шаге. Этот процесс повторяется до тех пор, пока целочисленный результат деления не станет нулевым. Пример будет служить для иллюстрации процесса. Чтобы преобразовать десятичное число 13,337 в шестнадцатеричное, выполните следующие действия:


    Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное
    Целочисленное деление Целочисленное значение Остаток Шестнадцатеричный
    13,337 ÷ 16 833 9 9h
    52 ÷ 16 3 4 4h
    3 ÷ 16 0 3 3h

    Следовательно:

    13 337 10 = 3419 часов

    Мы можем выполнить относительно простой процесс - который мы уже видели, - чтобы преобразовать число обратно в десятичное (и в то же время подтвердить, что полученный ответ правильный).Просто умножьте каждую шестнадцатеричную цифру на соответствующую степень шестнадцати и сложите полученные десятичные значения, как показано ниже:

    3 × 16 3 + 4 × 16 2 + 1 × 16 1 + 9 × 16 0

    = 3 × 4096 + 4 × 256 + 1 × 16 + 9 × 1

    = 12 288 + 1,024 + 16 + 9

    = 13,337 10

    Преобразование десятичных чисел в двоичные

    Преобразование десятичных чисел в двоичные не так просто, но не так уж и сложно.Чтобы упростить задачу, мы будем иметь дело с целыми числами и дробями (или целыми числами и дробными частями действительных чисел) отдельно. Давайте начнем с двоичных целых чисел ("целое" - это имя, которое мы используем для целого числа). Описанный здесь метод - один из нескольких, которые можно использовать, но, вероятно, он является наиболее простым. Чтобы преобразовать десятичное число n в двоичное, действуйте следующим образом:

    1. Разделите n на два и запишите остаток (ноль или один).
    2. Если результат предыдущего шага больше нуля, разделите его на два и запишите остаток. В противном случае перейдите к шагу 4.
    3. Повторите шаг 2.
    4. Запишите последовательность значений остатка в обратном порядке.

    Следующий пример должен прояснить этот процесс. Мы собираемся преобразовать десятичное число сто шестьдесят девять (169) в его двоичный эквивалент.


    Преобразование десятичного в двоичное целое число
    Целочисленное деление Целочисленное значение Остаток Бит
    169 ÷ 2 84 1 LSB
    42 ÷ 2 21 0 -
    21 ÷ 2 10 1 -
    10 ÷ 2 5 5 ÷ 2 2 1 -
    2 ÷ 2 1 0 -
    1 ÷ 2 0 1 Двоичное число считывается из столбца остатка, начиная с самого нижнего бита ( старший значащий бит или MSB) и заканчивая самым верхним битом ( младший бит или LSB), что дает нам двоичное значение:

    169 10 = 10101001 2

    Преобразование десятичных дробей в двоичные - аналогичный процесс.Как и в случае с целочисленным преобразованием, описанным выше, показанный ниже метод не единственный доступный, но относительно прост в использовании. Его можно использовать для дробных значений, выраженных как собственных дробей (например, 3 / 4 ) или десятичных дробей (например, 0,75). Чтобы преобразовать десятичную дробь в двоичную, действуйте следующим образом:

    1. Начните с записи двоичной точки, которой предшествует ноль.
    2. Умножьте дробное значение на два.
    3. Если результат меньше единицы, добавьте ноль.
    4. Если результат один, добавьте единицу и переходите к шагу 7.
    5. Если результат больше единицы, добавьте единицу и отбросьте целую часть результата, чтобы создать новое дробное значение.
    6. Перейти к шагу 2.
    7. Стоп.

    В следующем примере показано, как работает этот процесс. Мы собираемся преобразовать дробь 1 / 3 в ее двоичный эквивалент.


    0,010
    Преобразование десятичной дроби в двоичное
    Дробь × 2 Результат <1 или> 1? Двоичная
    дробь
    1 / 3 × 2 2 / 3 <1 (прибавить 0) 0,0
    3
    900 × 2 1 1 / 3 > 1 (прибавить 1) 0.01
    1 / 3 × 2 2 / 3 <1 (добавить 0) 0,010
    2 / 3 196 × 1 1 / 3 > 1 (добавить 1) 0,0101
    1 / 3 × 2 2 / 3 <1 (добавить 0)
    2 / 3 × 2 1 1 / 3 > 1 (прибавить 1) 0.0101

    Быстро должно быть очевидно, что преобразуемая десятичная дробь в этом случае представлена ​​ повторяющимся двоичным шаблоном . Следовательно, точность преобразования будет зависеть от того, сколько битов доступно для хранения дробного значения. В этом случае мы разрешили шесть битов справа от двоичной точки, что дает нам двоичное значение:

    0,010101 2

    Обратите внимание, что 1 / 3 , выраженное в виде десятичной дроби, равно 0.333, поэтому точность десятичного представления зависит от количества двоичных цифр, следующих за точкой счисления. Поэтому при выполнении вычислений с использованием дробных значений всегда рекомендуется определять степень точности, требуемую для ответа. Для двоичных вычислений обычно существует верхний предел количества бит, доступных для дробной части результата.


    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *