Как раскрыть скобки со степенью 2. Скобка в скобке
Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений . Например , в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).
Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение : В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей .
Пример.
Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.
При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение : У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:
Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…
Потом второе.
Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:
Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать.
Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.
Скобка в скобке
Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).
Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.
При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение , просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение :
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) | Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается. | |
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) | Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке. | |
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) | Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него. | |
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) | ||
И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные. | ||
Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
3 \)
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто
встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a — b)^2 \) и \(a^2 — b^2 \), т.
2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у.
Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.
И так вот они:
Первая х 2 — у 2 = (х — у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.
Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Третья (х — у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
Пятая (х — у) 3 = х 3 — 3х 2 у + 3ху 2 — у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 — ху + у 2) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
Седьмая х 3 — у 3 = (х — у) (х 2 + ху + у 2) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).
О существовании этих закономерностей з
нали еще около 4 тысяч лет тому назад.
Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.
Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .
Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Раскрытие скобок
Продолжаем изучать основы алгебры. В данном уроке мы научимся раскрывать скобки в выражениях. Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.
Чтобы раскрывать скобки, нужно выучить наизусть два правила. При регулярных занятиях раскрывать скобки можно с закрытыми глазами, и про те правила которые требовалось заучивать наизусть, можно благополучно забыть.
Первое правило раскрытия скобок
Рассмотрим следующее выражение:
8 + (−9 + 3)
Значение данного выражения равно 2. Раскроем скобки в данном выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на значение выражения. То есть после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) по прежнему должно быть равно двум.
Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:
При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.
Итак, мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Этот плюс нужно опустить вместе со скобками. Иными словами, скобки исчезнут вместе с плюсом, который перед ними стоял. А то, что было в скобках запишется без изменений:
Мы получили выражение без скобок 8−9+3. Данное выражение равно 2, как и предыдущее выражение со скобками было равно 2.
8 + (−9 + 3) = 2
8 − 9 + 3 = 2
Таким образом, между выражениями 8+(−9+3) и 8−9+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
2 = 2
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (−1 − 4)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Пример 3.
Раскрыть скобки в выражении 2 + (−1)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:
2 + (−1) = 2 − 1
В данном примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией замене вычитания сложением. Как это понимать?
В выражении 2 − 1 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 2 + (−1). Но если в выражении 2 + (−1) раскрыть скобки, то получится изначальное 2 − 1.
Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после каких-нибудь преобразований. То есть избавить его от скобок и сделать проще.
Например, упростим выражение 2a + a− 5b + b.
Чтобы упростить данное выражение, можно привести подобные слагаемые. Напомним, что для приведения подобных слагаемых, нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:
Получили выражение 3a + (−4b).
В этом выражении раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок, то есть опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:
3a + (−4b) = 3a − 4b
Таким образом, выражение 2
Раскрыв одни скобки, по пути могут встретиться другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в следующем выражении:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В данном случае применимо первое правило раскрытия скобок, а именно опускание скобок вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 6+(−3)+(−2)
В обоих местах, где имеются скобки, перед ними стоит плюс. Здесь опять же применяется первое правило раскрытия скобок:
6 + (−3) + (−2) = 6 − 3 − 2
Иногда первое слагаемое в скобках записано без знака.
Например, в выражении 1+(2+3−4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Возникает вопрос, а какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ напрашивается сам — перед двойкой будет стоять плюс.
На самом деле даже будучи в скобках перед двойкой стоит плюс, но мы его не видим по причине того, что его не записывают. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3. Но плюсы по традиции не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас положительные числа 1, 2, 3.
Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1+(2+3−4), нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, стоящим перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −5 + (2 − 3)
Перед скобками стоит плюс, поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками.
Но первое слагаемое, которое в скобках записываем со знаком плюс:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Пример 5. Раскрыть скобки в выражении (−5)
Перед скобками стоит плюс, но он не записан по причине того, что до него не было других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило раскрытия скобок, а именно опустить скобки вместе с этим плюсом (даже если он невидим)
(−5) = −5
Пример 6. Раскрыть скобки в выражении 2a + (−6a + b)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
Пример 7. Раскрыть скобки в выражении 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
В данном выражении имеется два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками.
То, что было в скобках запишется без изменений:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d
Второе правило раскрытия скобок
Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус.
Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.
Например, раскроем скобки в следующем выражении
5 − (−2 − 3)
Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:
Мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Данное выражение равно 10, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.
5 − (−2 − 3) = 10
5 + 2 + 3 = 10
Таким образом, между выражениями 5−(−2−3) и 5+2+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
10 = 10
Пример 2.
Раскрыть скобки в выражении 6 − (−2 − 5)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, записываем с противоположными знаками:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
2 − (7 + 3) = 2 − 7 − 3
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −(−3 + 4)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
−(−3 + 4) = 3 − 4
Пример 5. Раскрыть скобки в выражении −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения +(−9 − 2) нужно применить первое правило:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Пример 6.
Раскрыть скобки в выражении −(−a − 1)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
−(−a − 1) = a + 1
Пример 7. Раскрыть скобки в выражении −(4a + 3)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
−(4a + 3) = −4a − 3
Пример 8. Раскрыть скобки в выражении a − (4b + 3) + 15
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
a − (4b + 3) + 15 = a − 4b − 3 + 15
Пример 9. Раскрыть скобки в выражении 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения −(3c+5) нужно применить второе правило:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Пример 10.
Раскрыть скобки в выражении −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Здесь три места, где нужно раскрыть скобки. Вначале нужно применить второе правило раскрытия скобок, затем первое, а затем опять второе:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15
Механизм раскрытия скобок
Правила раскрытия скобок, которые мы сейчас рассмотрели, основаны на распределительном законе умножения:
a(b + c) = ab + ac
На самом деле раскрытием скобок называют ту процедуру, когда общий множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки исчезают. Например, раскроем скобки в выражении 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Поэтому, если нужно умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках умножить на число) надо говорить раскроем скобки.
Но как связан распределительный закон умножения с правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали ранее?
Дело в том, что перед любыми скобками стоит общий множитель. В примере 3 × (4 + 5) общий множитель это 3. А в примере a(b + c) общий множитель это переменная a.
Если перед скобками нет чисел или переменных, то общим множителем является 1 или −1, в зависимости от того, какой знак стоит перед скобками. Если перед скобками стоит плюс, значит общим множителем является 1. Если перед скобками стоит минус, значит общим множителем является −1.
К примеру, раскроем скобки в выражении −(3b − 1). Перед скобками стоит минус, поэтому нужно воспользоваться вторым правилом раскрытия скобок, то есть опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед скобками. А выражение, которое было в скобках, записать с противоположными знаками:
−(3b − 1) = −3b + 1
Мы раскрыли скобки, воспользовавшись правилом раскрытия скобок. Но эти же скобки можно раскрыть, воспользовавшись распределительным законом умножения. Для этого сначала записываем перед скобками общий множитель 1, который не был записан:
−1(3b −1)
Минус, который раньше стоял перед скобками относился к этой единице.
Теперь можно раскрыть скобки, применяя распределительный закон умножения. Для этого общий множитель −1 нужно умножить на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложить.
Для удобства заменим разность, находящуюся в скобках на сумму:
−1(3b −1) = −1( 3b + (−1) )
Далее умножаем общий множитель −1 на каждое слагаемое в скобках:
−1(3b −1) = −1(3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Как и в прошлый раз мы получили выражение −3b + 1. Каждый согласится с тем, что в этот раз затрачено больше времени на решение столь простейшего примера. Поэтому разумнее пользоваться готовыми правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали в данном уроке:
−(3b − 1) = −3b + 1
Но не мешает знать, как эти правила работают.
В данном уроке мы научились ещё одному тождественному преобразованию. Вместе с раскрытием скобок, вынесением общего за скобки и приведением подобных слагаемых можно немного расширить круг решаемых задач.
Например:
Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:
Здесь нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые. Итак, по порядку:
1) Раскрываем скобки:
2) Приводим подобные слагаемые:
В получившемся выражении −10b+(−1) можно раскрыть скобки:
Пример 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:
1) Раскроем скобки:
2) Приведем подобные слагаемые. В этот раз для экономии времени и места, не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть
Пример 3. Упростить выражение 8m+3m и найти его значение при m=−4
1) Сначала упростим выражение. Чтобы упростить выражение 8m+3m, можно вынести в нём общий множитель m за скобки:
8m + 3m = m(8 + 3)
2) Находим значение выражения m(8 + 3) при m = −4.
Для этого в выражение m(8 + 3) вместо переменной m подставляем число −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 2. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 3. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 4. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 5. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 6. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 7. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 8. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 9. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 10. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 11.
Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 12. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 13. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 14. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 15. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 16. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 17. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 18. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 19. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 20. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 21. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 22. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:
Показать решение
Задание 23.
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:
Показать решение
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Принцип 7 Встраивание лечения в установку брекетов
Принцип 6 описывает обоснование дизайна конкретных брекетов. Эти брекеты можно использовать для размещения зубов в идеальном месте с точки зрения как эстетики, так и стабильности, но только в том случае, если они правильно размещены на зубах.
Для правильного позиционирования брекета необходимо учитывать три измерения:
1. Высота
2. Ангуляция
3. Мезиодистальное положение
Высота кронштейна
Хотя анатомия зубов у разных людей разная, подавляющее большинство пациентов с нормальным или глубоким прикусом можно лечить, используя критерии установки брекетов, показанные на рис.
7-1. В Таблице 7-1 приведены относительные высоты брекетов для зубов верхней и нижней челюсти. Точное использование этих измерений позволит расположить зубы таким образом, чтобы лечение привело к отличному прикусу, хорошему клыковому ведению и хорошей щечной окклюзии.
Рис. 7-1 Высота кронштейна (мм).
При установке брекетов крайне важно использовать калибр для брекетов, чтобы обеспечить точность. Хотя для этой цели было разработано много инструментов, я использую один из них, который придумал сам, с причудливым названием Wick Stick (рис. 7-2–7-4).
Рис. 7-2 Измеритель высоты кронштейна (фитильный стержень).
Рис. 7-3 Кронштейн для клыка, используемый для измерения высоты (мм).
Рис. 7-4 Измерение высоты брекета клыка.
Прежде чем устанавливать брекеты на передние зубы верхней челюсти, необходимо учесть несколько факторов. Во-первых, необходимо проверить соотношение режущих краев между центральными и латеральными резцами (рис.
7-5). Если брекеты для центральных резцов расположены на расстоянии 4,50 мм (измеряется от режущего края до центра прорези для брекетов), то брекеты для боковых резцов следует располагать на расстоянии 4,25 мм, а не 4,00 мм, чтобы обеспечить идеальную дугу улыбки. дуга улыбки относится к отношению нижней губы к режущим краям верхних резцов при естественной улыбке. Если брекет латерального резца верхней челюсти расположен слишком далеко от десны, латеральный резец может мешать нижнечелюстному резцу при боковом смещении.
Рис. с 7-5a по 7-5c Отношение центральных резцов к боковым резцам.
Во-вторых, резцовые края передних зубов осматриваются на наличие переломов, признаков чрезмерного износа и мамелоновых гребней. Если удаление этих дефектов является частью плана лечения, обычно предпочтительнее размещать брекеты ближе к десне. Это позволяет экструдировать зуб на величину дефекта, а резцовый край можно реконструировать ближе к концу лечения, когда положение, выравнивание и эстетика гарантированы.
В-третьих, еще одним важным фактором является относительная высота десневого гребня. Если один резец значительно экструдирован для выравнивания режущих краев, контуры десны могут стать несбалансированными. Эта проблема чаще всего затрагивает взрослых пациентов. Если ортодонтическая экструзия вызывает несоответствие длины коронки и/или высоты десны, в плане лечения следует рекомендовать реставрацию пародонтологом и/или реставратором (рис. 7-6 и 7-7).
Рис. 7-6 (a) Виды до лечения и (b) после лечения, показывающие несоответствие высоты десны.
Рис. 7-7 Тот же пациент, показанный на рис. 7-6: (a) в конце лечения и (b) после частичной гингивэктомии и бондинга.
На результат лечения неправильного прикуса влияет высота брекета, степень выравнивания окклюзионной плоскости и использование челюстно-нижнечелюстных эластиков. По завершении активного лечения желателен передний прикус примерно 2 мм. Исследования моих пациентов 1–5 обнаружили «осадочные» изменения с течением времени менее 1 мм (таблица 7-2).
Адекватный неправильный прикус необходим для создания переднего направления или дезокклюзии задних зубов при движении вперед для нормального функционирования височно-нижнечелюстных суставов (ВНЧС).
Для нормальной функции ВНЧС в равной степени необходимо правильное управление собакой. Размещение всех брекетов для клыков на расстоянии 5 мм от окклюзионного края кончика клыка (измеряемого от центра прорези брекета) обеспечит ведение клыка за счет достаточного подъема клыка во время боковых экскурсий (рис. 7-8). Если кончик бугорка имеет необычную форму, перед установкой брекета на клык его следует изменить. Риск гиперчувствительности, связанный с контурной пластикой эмали, снижается, если она выполняется небольшими порциями в течение нескольких посещений.
Рис. 7-8 Установка кронштейна для клыка. (а,б) Начало лечения. (в, г) Во время лечения.
Одной из наиболее распространенных ошибок при установке брекетов на резцы нижней челюсти является установка брекетов слишком далеко от режущего края.
Чтобы избежать этой ошибки, брекет для резцов сначала следует разместить в центре клинической коронки, а затем измерить и переместить на заданную высоту.
Как правило, вершина бугорка первого премоляра больше, чем у второго премоляра. Чтобы компенсировать эту разницу, брекет устанавливается на 0,5 мм ниже второго премоляра.
Установка брекетов для лечения открытых прикусов
У пациентов с открытым прикусом высота брекета для передних зубов верхней челюсти, находящихся вне окклюзии, увеличена на 0,5 мм (рис. 7-9). Высота брекета для жевательных зубов, находящихся в окклюзии, уменьшена на 0,5 мм (рис. 7-10 и 7-11). Эта модификация высоты для лечения открытого прикуса не всегда применяется к нижнечелюстным зубам, потому что только передние верхнечелюстные зубы обычно требуют экструзии. Величину кривой Шпее на нижнечелюстной дуге можно использовать для определения необходимости изменения высоты брекета. Если имеется значительное обратное искривление окклюзионной плоскости нижней челюсти, то высота брекетов корректируется как на верхней, так и на нижней дуге.
Рис. 7-9 Установка переднего брекета в случае открытого прикуса.
Рис. 7-10 Установка заднего брекета, правая сторона.
Рис. 7-11 Установка заднего брекета, левая сторона.
Изгиб брекета
Правильный наклон брекетов на зубах приблизит корни и коронки к их идеальному положению в конце лечения. Для обеспечения точности брекеты сконструированы таким образом, что горизонтальные аспекты (т. е. паз брекета и поворотные крылья) выровнены параллельно режущему краю зуба (рис. 7-12). Однако мамелоновые гребни, потертости и трещины приводят к неровным режущим краям, которые могут мешать визуальному ориентиру. По этой причине длинная ось коронки служит лучшим и более последовательным ориентиром для параллельного выравнивания корней. Если вертикальные аспекты брекета выровнены с длинной осью коронки, можно добиться отличного позиционирования корня (рис. 7-13).
Рис. 7-12 Размещение кронштейна, горизонтальное положение.
Рис. 7-13 Размещение кронштейна, вертикальная ссылка.
Изгиб резцов
Правильный наклон верхних резцов значительно улучшает эстетический вид улыбки и поэтому заслуживает особого внимания. Доктор Чарльз Твид представил концепцию включения художественного позиционирования изгибов в брекеты передних зубов верхней и нижней челюсти. Однако при поиске в литературе было обнаружено только одно упоминание об искривлении резцов нижней челюсти, сделанное Уильямсом 9.0065 6 (рис. 7-14).
Рис. 7-14 Изгиб резцов нижней челюсти. 6
Изгиб передних брекетов верхней и нижней челюсти рассчитан на расхождение корней. Вторые премоляры верхней челюсти наклонены так, что корни наклоняются дистально на 4 градуса (см. рис. 6-11). Первые моляры нижней челюсти наклонены так, что коронка наклоняется дистально на 6 градусов (см. рис. 6-11).
Частые рецидивы, которые возникали из-за недостаточного угла наклона латерального резца нижней челюсти (рис.
7-15), впервые привели меня к тому, что я начал наклонять старые безрецептурные брекеты во время бандажирования (рис. 7-16). Позже в аппарате Alexander Discipline эти углы были включены в рецепт брекета резцов (рис. 7-17). Однако, когда резцы находятся под правильным углом, режущие края часто , а не параллельно друг другу. Чтобы решить эту проблему, необходимо незначительное реконтурирование режущего края этих зубов для выравнивания всех режущих краев.
Рис. 7-15 Рецидив латерального резца из-за недостаточной ангуляции.
Рис. 7-16 (a) Увеличенный угол наклона безрецептурного брекета для боковых резцов, (b) с превосходным углом наклона.
Рис. 7-17 Углы брекетов (градусы), нижние резцы и клыки.
Ангуляция первых моляров нижней челюсти
Когда я впервые начал частную практику, я обычно наклонял первые моляры нижней челюсти на -6 градусов (т. е. на кончик заднего конца), как это предписано доктором Твидом.
Этот дистальный угол наклона вершины коронки помог выровнять нижнечелюстную дугу, не отклоняя назад второй моляр. Сегодня такое вертикальное положение первого моляра нижней челюсти представляет собой важный фактор успеха в достижении долгосрочной стабильности при лечении аномалий глубокого прикуса, что подтверждается двумя исследованиями. экструдируется, что также способствует выравниванию нижнечелюстной дуги. Поскольку вертикальные первые моляры, как правило, стабильны, коррекция прикуса в случаях глубокого прикуса также обеспечивает долгосрочную стабильность.
Исключение из практики дистального наклона первого моляра нижней челюсти делается при лечении пациентов с открытым прикусом. Цель в случаях открытого прикуса состоит в том, чтобы сохранить или увеличить, а не устранить кривизну нижнечелюстной дуги, чтобы помочь закрыть трензель/>
Читать дальше могут только обладатели статуса Gold. Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы продолжить
31 декабря 2014 г.