Разное

Как изобразить точку в трехмерной системе координат: Координаты точки и вектора — урок. Геометрия, 11 класс.

Как найти Координаты Точки? Примеры

Современные технологии позволяют в несколько кликов поделиться с другом нашим месторасположением. Достаточно зайти в гугл карты и пошерить координаты точки. В этом материале узнаем, как такое же действие отобразить на бумаге.

Понятие системы координат

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой

x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.


  • Координатные оси
    — это прямые, образующие систему координат.
  • Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
  • Ось ординат Oy — вертикальная ось.
  • Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
  • Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

  • верхний правый угол — первая четверть I;
  • верхний левый угол — вторая четверть II;
  • нижний левый угол — третья четверть III;
  • нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Правила координат:

  • Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
  • Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
  • Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
  • Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.


Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).


Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

 

  1. Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
    точка С (0, 2).

  2. Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
    точка F (3, 0).

  3. Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).

  4. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.

  5. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.

  6. Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).

  7. Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).

Бесплатные занятия по английскому с носителем

Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый.

Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

 

  1. Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.

  2. Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.

  3. Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

 

  1. Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
    перед 4 стоит знак минус.

  2. Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:


 

Шпаргалки по математике родителей

Все формулы по математике под рукой

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.


Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1.  В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и :

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

.

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

;

.

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

.

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA1 = √3

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

  

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Построение трехмерных точек — Криста Кинг Математика

Как наносить точки в трех измерениях

Чтобы наносить точки в трехмерном координатном пространстве, мы начнем с трехмерной системы координат, где ось ???x??? ???y???-ось движется вправо, а ???z???-ось совершенно вертикальна.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Прочитайте больше.

Если нам нужно рассмотреть отрицательные значения ???x???, ???y??? или ???z???, то мы должны знать, что отрицательное направление ???x?? ?-ось следует прямой положительной оси ???x???-от нас, что отрицательное направление оси ???y???-оси смещается влево, а отрицательное направление ???z???-ось совершенно вертикальна, простираясь ниже положительного направления ???z???-оси.

Таким же образом, как мы наносим точки в двумерном координатном пространстве, перемещаясь по оси ???x???-к нашему ???x??? значения, а затем двигаясь параллельно оси ???y???, пока не найдем нашу точку, в трехмерном пространстве мы будем двигаться вдоль оси ???x???, затем параллельно оси ?? ?y???-оси, затем параллельно ???z???-оси, пока мы не достигнем нашей точки координат.

Видеоинструкция по построению четырех разных точек в трехмерном пространстве

Пройти курс

Хотите узнать больше об исчислении 3? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Учить больше

Еще один пример построения точки в трех измерениях

Пример

Нанесение точки в трехмерной системе координат.

???(4,2,3)???

 

Начнем с рисования осей, затем будем двигаться от начала координат вдоль оси ???x???, пока не дойдем до ???x=4???.

Чтобы добраться до ???(4,2)??? в плоскости ???xy??? мы начнем с того места, где остановились на оси ???x???, и будем двигаться параллельно оси ???y???, пока не дойдем до ???у=2???.

Чтобы добраться до ???(4,2,3)??? в трехмерном пространстве мы начнем с того места, где остановились в координатной плоскости ???xy???, и будем двигаться параллельно оси ???z???, пока не доберемся до ???z= 3???.

в трехмерном пространстве мы будем двигаться вдоль оси x, затем параллельно оси y, затем параллельно оси z, пока не достигнем нашей координатной точки.

Если мы нанесем только точку и ничего больше, может быть трудно или невозможно определить местоположение трехмерной точки на двухмерном листе бумаги. Чтобы решить эту проблему, мы можем заполнить трехмерный блок, поместив один угол блока в начало координат, а противоположный угол в точку координат, которую мы только что нанесли.

Несмотря на то, что наносить и маркировать координатную точку необходимо только технически, вы можете видеть, как рисование линий, которые мы использовали, чтобы добраться до точки, и прямоугольник, соединяющий начало координат с точкой координат, действительно помогает нам получить некоторые перспектива.

Получить доступ к полному курсу Calculus 3

Начать

Учим математикуКриста Кинг точек построения в трех измерениях

0 лайков

Площадь поверхности и объем — трехмерная система координат


У двумерных фигур есть плоскость x-y , к которой нужно вернуться домой в конце дня, а что есть у твердых тел? Ничего такого. Трехмерные формы были бездомными в течение столь долгого времени, что они начали продавать свою поверхность в качестве убежища.

Итак, пора твердым телам занять свое место. Мы создали дом, чтобы 3D-фигурам больше не приходилось спать на скамейках в парке с газетами вместо одеял. Здесь твердые тела могут найти свое место и, наконец, почувствовать себя желанными в математическом мире. Это называется трехмерной системой координат.

Система координат x-y не будет достаточной для размещения трехмерных фигур. Если мы попытаемся сжать 3D-форму в 2D-координатную плоскость, это будет неудобно для формы, и мы можем разорвать плоскость (а мы не можем позволить себе новую). Вместо этого мы можем настроить систему координат x-y-z для размещения любых трехмерных форм.

Как мы можем представить трехмерную систему координат? Легкий. Сначала мы нарисуем на листе бумаги плоскость x-y и посмотрим на нее сверху вниз.

Здесь живут все двумерные фигуры, такие как треугольники, окружности и четырехугольники. Если мы посмотрим вверх, мы можем представить себе другую ось, поднимающуюся и выходящую из страницы через начало координат и перпендикулярную другим осям.

Это ось z . Это трехмерное пространство. Это то, в чем живут твердые тела. И это то, чем является реальный мир: трехмерная система координат.

Разве это не выглядит красиво? Это недавно отремонтированный с паркетными полами и всем остальным.

Как и в 2D-графике, мы отмечаем точки фигур координатами. На этот раз, поскольку есть три оси, нам нужны три (желательно действительные) числа для определения точек в пространстве. Эти числа представляют собой координату, называемую упорядоченной тройкой , и имеют порядок ( x , y , z ).

Точка P , например, имеет упорядоченную тройку (3, 1, 3). Это означает, что P составляет 3 единицы по оси x , 1 единица по оси 9.0064 y -ось, и 3 единицы по оси z .

Нам также нужно вычислить расстояния и прочее в этой системе координат, так что формула будет полезна. Это похоже на формулу 2D-расстояния, но с добавленной к ней координатой z , как дополнительной конечностью.

Формула Малкома в средней точке также может быть расширена до третьего измерения, так что точка, равноудаленная между двумя точками в трехмерном пространстве, имеет упорядоченную тройку:

Пример задачи

Какое расстояние между точками T (6, 2, 3) и U (1, 7, -4)? Где их середина?

Вставьте их. Потрогай их.



d ≈ 9,95

Мы нашли расстояние. Теперь о средней точке.



Видишь? Кусок пирога.

С этими координатами мы можем делать больше, чем просто вычислять то, то и другое (все это вам нужно знать). Мы тоже умеем рисовать.

Допустим, мы хотим нарисовать треугольную призму с основанием, имеющим вершины в точках (0, 0, 0), (1, 2, 0) и (4, 0, 0) и высотой 5 единицы измерения.

Мы можем начать рисовать основание призмы, а затем решить, куда двигаться дальше (Гавайи, кто-нибудь?).

Это 2D-форма. Чтобы сделать его трехмерным, мы должны добавить 5 единиц высоты. Поскольку это не указано, мы можем выбрать, где мы хотим взять высоту (Гавайи, кто-нибудь?).

Ницца. Это наша треугольная призма в трехмерном координатном пространстве. Он нашел дом, так что о Гавайях, вероятно, не может быть и речи… или нет?

Если мы хотим переместить фигуру в трехмерном пространстве, все, что нам нужно сделать, это изменить каждую точку этой фигуры на одинаковую величину. Это называется в переводе (нет, не на латиницу). Например, чтобы переместить прямоугольную призму вверх на 13 единиц по оси y , нам просто нужно добавить 13 к каждой координате y в каждой упорядоченной тройке.

То же самое происходит с увеличением или уменьшением размера фигуры. Чтобы найти координаты тела, похожего на данное, все, что нам нужно знать, — это координаты и коэффициент масштабирования. Умножьте каждое значение каждой точки на коэффициент масштабирования, и все готово.

Коробка выше имеет следующие координаты: A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (2, 1, 0), D (0 , 1, 0), E (0, 1, 3), F (0, 0, 3), G (2, 1, 3) и H (2, 0, 3).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *