Как исследовать на сходимость ряд: Найти радиус и область сходимости степенного ряда. Примеры решения задач онлайн

Найти радиус и область сходимости степенного ряда. Примеры решения задач онлайн

Функциональным рядом называется ряд вида:

где  – функции, определенные на некотором множестве .

Множество  всех точек сходимости ряда (*) называется его областью сходимости.

В области сходимости   определены функции:

( n-я частичная сумма ряда)

(сумма ряда)

(остаток ряда)

Ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Из всех функциональных рядов наиболее часто применяют степенные ряды, которыми называют ряды вида

Действительные числа  называют коэффициентами ряда.

Неотрицательное число , такое, что ряд (**) сходится в интервале  и расходится вне этого интервала, называется радиусом сходимости этого ряда, а интервал  – интервалом сходимости ряда.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формулам:

или

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда при всех значениях  из интервала сходимости есть непрерывная функция.

2. Степенной ряд в его интервале сходимости можно почленно дифференцировать, то есть:

3. Степенной ряд можно интегрировать по любому отрезку, содержащемуся в интервале сходимости, причем:

Условие задачи

Найдите область сходимости степенного ряда:

Если вам сейчас не требуется платная помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Решение задачи

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле:

В нашем случае:

Интервал сходимости:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

При

Это знакопеременный ряд.{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$. Для начала определим, является ли этот ряд положительным, т.е. верно ли неравенство $u_n≥ 0$. Сомножитель $\frac{1}{\sqrt{n}}> 0$, это ясно, а вот что насчёт арктангенса? С арктангесом ничего сложного: так как $\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}} >0$, то и $\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}>0$. Вывод: наш ряд является положительным. Применим признак сравнения для исследования вопроса сходимости этого ряда.

Для начала выберем ряд, с которым станем сравнивать. Если $n\to\infty$, то $\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\to 0$. Следовательно, $\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\sim\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$. Почему так? Если посмотреть таблицу в конце этого документа, то мы увидим формулу $\arctg x\sim x$ при $x\to 0$. Мы эту формулу и использовали, только в нашем случае $x=\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$.n\cdot n!}$.

Ответ: ряд сходится.

Ряды — Студопедия

Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Методические указания по теме 1.4:

Числовые ряды:

Числовым рядом называется сумма вида

где числа u₁, u₂, u₃, n_n, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член un называется общим членом ряда.

Суммы

. . . . . . . . .

составленные из первых членов ряда (27.1), называются частными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S₁, S₂, S₃. Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда S_n стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S — суммой сходящегося ряда, т.е.

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма S_nряда (27.1) при неограниченном возрастании n не имеет конченого предела (в частности, стремится к + ¥ или к — ¥), то такой ряд называется расходящимся

Если ряд сходится, то значение S_n при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность r_n= S — S_n называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. r_n = 0, и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Ряд вида называется геометрическим рядом.

Ряд вида

называется гармоническим.

если N®¥, то S_n®¥, т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 1. Записать ряд по его заданному общему члену:

1) u_n= ;

2) u_n= ;

3) .

1) полагая n = 1, n = 2, n = 3, имеем бесконечную последовательность чисел: , , , Сложив ее члены, получим ряд

2) Поступая так же, получим ряд

3) Придавая n значения 1, 2, 3, и учитывая ,что 1! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3, получим ряд

Пример 2. Найти n-й член ряда по его данным первым числам:

1) ; 2) ; 3) .

Пример 3. Найти сумму членов ряда:

1) ;

2) .

1) Находим частичные суммы членов ряда:

; ;

… .

Запишем последовательность частичных сумм: …, , … .

Общий член этой последовательности есть . Следовательно,

.

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна .

2) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой a₁= , q= . Используя формулу получим Значит, ряд сходится и его сумма равна 1.

Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера:

Необходимый признак сходимости ряда. Ряд может сходиться только при условии, что его общий член u_n при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:

Если , то ряд расходится — это достаточный признак растворимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.

При исследовании рядов на сходимость и растворимость по этому признаку часто используется геометрический ряд

который сходится при |q|

,

являющийся расходящимся.

При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд

.

Если p = 1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если p < 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p > 1 имеем геометрический ряд, в котором |q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при p£1.

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами

(u_n>0)

выполняется условие , то ряд сходится при ll > 1.

Признак Даламбера не дает ответа, если l = 1. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная сходимость рядов:

Числовой ряд

u₁ + u₂ + u₃ + u_n

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член u_n стремится к нулю при n® ,то ряд сходится.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем поскольку . Следовательно, данный ряд сходится. Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Попробуем применить признак Лейбница: Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞. Поэтому данный ряд расходится. Пример 6. Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся.

Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствующих членов, находим Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Пример 7. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1)

2) ;

1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают и . Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходятся ли этот ряд абсолютно или условно.

2) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , но

.

Функциональные ряды:

Обычный числовой ряд состоит из чисел:

Все члены ряда – это числа.

Функциональный же ряд состоит из функций:

В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и т.д. непременно входит буква «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда – это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Степенные ряды:

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа а₀

, а₁, а₂, а_n называется коэффициентами ряда, а член a_nxⁿ— общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений x, при которых данный ряд сходится .

Число R называется радиусом сходимости ряда, если при |x|<R ряд сходится.

Пример 8. Дан ряд

.

Исследовать его сходимость в точках x = 1 и х = 3, x = -2.

При х = 1 данный ряд превращается в числовой ряд

.

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Имеем

т.е. ряд сходится.

При х = 3 получим ряд

Или

,

Который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда

При х = -2 получим

.

Это знакочередующийся ряд, который, согласно признаку Лейбница, сходится.

Итак, в точках x = 1 и х = -2. ряд сходится, а в точке x = 3 расходится.

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена:

Рядом Тейлора для функции f(x) называется степенной ряд вида

.

Если, а = 0, то получим частный случай ряда Тейлора

.

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадают с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

1) вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке x = 0, т.е. , , , …,

2) составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных в формулу

3) найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

Пример 9. Разложить в ряд Маклорена функцию:

1)

.

2)

.

3) ;

,

Задания для самостоятельного решения по теме 1.4:

1. Найдите первые пять членов ряда по его заданному общему члену:

1) ; 2)

2. Найдите первые четыре члена ряда по его заданному члену:

1) 2) .

3. Вычислите сумму членов ряда:

1) ;

2)

4. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

1) ;

2) ;

5. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

1) ;

2) ;

3) .

6. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующиеся ряды:

1)

2)

3)

7. Исследовать ряды на сходимость:

1) ;

2) ;

3) ;

8. Разложить в ряд Маклорена функции:

1) ;

2) ;

3) .

I. Необходимый признак сходимости рядов

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Необходимым признаком сходимости рядов является следующая теорема.

Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при равен нулю, т.е. .

Однако на практике в таком виде применять теорему для исследования ряда невозможно, т.к. мы не знаем, сходится ли наш ряд. Поэтому для практического применения необходимый признак сходимости сформулируем в следующем виде:

Следствие. Если предел общего члена ряда при не равен нулю, то ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Т.к. , то ряд расходится (по необходимому признаку сходимости).

Очень важно помнить, что из того, что , не следует ни сходимость, ни расходимость ряда. Говорят, что если , то необходимый признак не работает.

Замечание. Смысл или польза этого признака: если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, а если , то это заведомо расходящийся ряд. Этот признак является необходимым, но не достаточным.

В качестве примера рассмотрим ряд

, (2.1)

называемый гармоническим.

Необходимый признак сходимости для этого ряда не работает, т.к. . Докажем, что ряд расходится.

Перепишем ряд (2.1) в виде:

(2.2)

Напишем вспомогательный ряд:

(2.3)

Ряд (2.3) строится так, что каждый его член меньше либо равен соответствующему члену ряда (2.2).

Обозначим через сумму первых членов ряда (2.2), и через частичную сумму ряда (2.3).

Т.к. каждый член ряда (2.2) больше либо равен соответствующему ему члену ряда (2.3), то

. (2.4)

Вычислим несколько частичных сумм ряда (2.3) для значений , равных :

………………………………………………………….

следовательно, , а тогда в силу (2.4) , и ряд (2.1) расходится.

Далее рассмотрим достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

II. Признак Даламбера

Теорема. Пусть для ряда ( ) существует предел отношения ( )-го члена ряда к -му: . Тогда:

а) если , то ряд сходится,

б) если , то ряд расходится,

в) если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. признак не работает.

Примеры

Исследовать следующие ряды на сходимость:

1) . Решение. Т.к.

то по признаку Даламбера ряд сходится.

2)

Замечание. Напомним, что , поэтому .

Решение. Воспользуемся формулой , тогда:

следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

3)

Решение

и ряд расходится.

Замечание. С помощью признака Даламбера исследовать ряды на сходимость имеет смысл только тогда, когда в выражении для — го члена ряда имеются показательная функция и/или факториал.

III. Радикальный признак Коши

Теорема. Пусть для ряда , ( ) существует . Тогда

а) если , то ряд сходится,

б) если , то ряд расходится,

в) если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. признак не работает.

Примеры. Исследовать следующие ряды на сходимость:

1)

Решение. Вычислим

, следовательно, по радикальному признаку Коши ряд расходится.

2)

Решение. Вычислим

, следовательно, по радикальному признаку Коши ряд сходится.

Замечание. С помощью радикального признака Коши исследовать ряды на сходимость имеет смысл тогда, когда -й член ряда представляет собой некое выражение, возведенное в -ю степень.

IV. Интегральный признак Коши

Теорема. Пусть члены ряда положительны и пусть такая непрерывная функция, что , , … , …, причем функция невозрастающая на интервале при некотором . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд ,

2) если несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд .

Для краткости говорят: «Ряд и интеграл ведут себя одинаково».

Замечание. Для применения интегрального признака к исследованию сходимости ряда надо подобрать такую функцию , что , т.е. попросту говоря, выписать и заменить в нем n на x, и затем исследовать сходимость интеграла . Это имеет смысл делать только тогда, когда полученный интеграл достаточно легко вычисляется.

Примеры

1) Применим интегральный признак к исследованию на сходимость ряда вида , , называемого обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле.

Решение. В этом случае требуемой функцией является . Функция является невозрастающей на интервале . Вычислим .

Если , то .

Если , то .

Следовательно, несобственный интеграл сходится при и расходится при . То же самое можно сказать и о данном ряде.

Запомнить! Обобщенный гармонический ряд сходитсяпри и расходится при .

2) Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Выписав и заменив в нем n на x, получим функцию .

Внимание! Пока мы не убедились, что функция невозрастающая на некотором интервале вида , к интегрированию переходить рано!

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной: . Критическая точка , на интервале , т.е. функция невозрастающая. Теперь можно переходить к интегрированию.

, интеграл расходится, расходится и данный ряд.

V. Признаки сравнения

Теорема.Первый признак сравнения (признак сравнения в форме неравенства). Пусть даны два ряда с положительными членами:

(2.5)

(2.6)

причем члены первого ряда не превосходят членов второго при любом , т.е.

(2.7)

Тогда: а) если сходится ряд (2.6), то сходится и ряд (2.5)

б) если расходится ряд (2.5), то расходится и ряд (2.6).

Удобно применять другую формулировку этой теоремы:

а) если больший ряд сходится, то меньший ряд тоже сходится;

б) если меньший ряд расходится, то больший ряд тоже расходится.

Примеры

Исследовать сходимость следующих рядов:

1)

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим , мысленно отбросив его первый член, равный 1 (что, естественно, не повлияет на сходимость ряда). Т.к. , , и вообще, (ведь ), то члены данного ряда больше членов расходящегося гармонического ряда, и, следовательно, на основании признака сравнения данный ряд расходится.

Понятно, что для применения признака сравнения в форме неравенства нужно сначала установить подходящее неравенство. При этом часто пользуются следующими стандартными неравенствами:

, (2.8)

,

.

Иногда приходится применять более сложные неравенства:

,

,

,

,

при некотором .

2)

Решение. Прежде всего, заметим, что это ряд с положительными членами, т.к. синус возводится в четную степень. Далее очевидное неравенство позволяет заключить, что , а поскольку ряд сходится, то и ряд с меньшими членами тоже сходится.

3)

Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы, следующим образом:

(здесь мы учли, что ).

Т.к. ряд – сходится (как обобщенный гармонический при ), то исследуемый ряд также сходится.

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

а) геометрический ряд – сходится при , расходится при ,

б) обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный» ряд, но и доказать неравенство (2.7), для чего часто требуется преобразование рядов (например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определенные числа и т. п.). Более простым оказывается признак сравнения в предельной форме – ведь вычислять пределы обычно гораздо проще, чем доказывать неравенства.

Теорема.Второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме). Если и – ряды с положительными членами и существует предел отношения их общих членов , причем , то ряды ведут себя одинаково: либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Чаще всего исследуемый ряд сравнивают с обобщенным гармоническим рядом , причем p удобно подбирать в процессе сравнения, как это сделано ниже в примере 1.

Примеры

1)

Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом , причем p подберем в процессе сравнения.

Выпишем предел и преобразуем его:

(2.9)

Мы пришли к пределу отношения двух степенных выражений на бесконечности. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0, а это тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен , а это опять тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Таким образом, нас устроит только случай, когда степень числителя равна степени знаменателя, т.е. , или (в этом случае предел равен отношению старших коэффициентов, т.е. не 0 и не ). Итак, исследуемый ряд ведет себя так же, как и ряд , т.е. сходится.

Разумеется, решение похожих задач не надо расписывать так подробно. Обычно, выписав предел (2.9), далее пишут сходится. Ясно, что слово «сходится» относится сразу к двум рядам и к , и к исходному ряду.

Следствием второго (предельного) признака сравнения является третий признак сравнения.

Теорема.Третий признак сравнения (признак сравнения в форме эквивалентных б.м. или кратко эквивалентный признак сравнения). В общем члене ряда бесконечно малый множитель или делитель можно заменить на эквивалентный, поведение ряда (сходимость или расходимость) от этого не изменится.

Замечание 1. Напомним таблицу эквивалентных бесконечно малых величин (при ):

.

Замечание 2. При работе с эквивалентным признаком сравнения необходимо помнить, что таблица эквивалентных бесконечно малых величин выписана при , а в рядах всегда , т.е. n является бесконечно большой. А вот бесконечно малыми являются величины вида: (и вообще при ), (и вообще при ).

2)

Решение. Т.к. при (т.е. – б.м.), то , и ряд ведет себя так же, как и ряд – обобщенный гармонический ряд при p=1/2<1, т.е. расходится.

На практике запись ведут кратко:

– расходится. Ясно, что слово «расходится» относится к обоим рядам.

3) .

Решение. Т.к. ,то , ряд знакоположительный, и к нему можно применять эквивалентный признак сравнения. Поскольку – б.м. при , то и = .

Последний ряд легко исследуется по признаку Даламбера (он сходится).

Несмотря на то, что предельный и эквивалентный признаки сравнения более просты по сравнению с признаком сравнения в форме неравенства, иногда без первого признака не обойтись. Покажем это на следующем примере, а заодно продемонстрируем, как надо рассуждать в общем и целом при исследовании рядов на сходимость.

4)

Решение. Проверим необходимый признак: – необходимый признак не работает. Попробуем применить признак Даламбера:

,

т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым. Этого следовало ожидать (см. замечание к признаку Даламбера).

Применим признак сравнения в предельной форме. Сравним данный ряд, например, с гармоническим рядом:

,

т.е. ответа о сходимости ряда нет. Аналогичная картина наблюдается и при использовании других «эталонных» рядов.

Применим, наконец, признак сравнения в форме неравенства (первый признак сравнения). Сравним данный ряд с гармоническим, у которого отброшен первый член: … Т.к. члены рассматриваемого ряда больше членов расходящегося гармонического , что вытекает из неравенства (2.8), то данный ряд расходится.

Отметим, что для исследования сходимости данного ряда неприменим и интегральный признак, т.к. первообразная подынтегральной функции не является элементарной функцией, т.е. соответствующий неопределенный интеграл является «не берущимся».

Задачи

А) Исследовать ряды с помощью признака Даламбера:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

B) Исследовать ряды с помощью радикального признака Коши:

7. 8. 9. 10.

C) Исследовать ряды с помощью интегрального признака Коши:

11. 12. 13.

14. 15.

D) Исследовать ряды с помощью признаков сравнения:

16. 17. 18.

19. 20. 21.

Е) Исследовать ряды на сходимость:

22.{n} $сходится.

Сходимость или расходимость ряда | Онлайн калькулятор

Данный калькулятор предназначен для исследования ряда на сходимость. Под числовым рядом понимается сумма членов числовой последовательности следующего вида: ∑^∞_n=1a_n=a₁+a₂+a₃+…, где все a — это числа. Если говорить о функциональном ряде, то все члены последовательности являются функциями: ∑^∞_n=1f_n(x)=f₁(x)+f₂(x)+f₃(x)+… Ряд, членами которого являются степенные функции, называется степенным рядом: ∑^∞_n=1a_nxⁿ. Чтобы найти сходимость числового ряда, функционального ряда или степенного ряда, необходимо знать признаки сходимости рядов. Существует необходимый признак сходимости ряда: если ряд ∑^∞_n=1a_n сходится, то (lim)┬(n→∞)⁡an=0.

Однако данный признак не является гарантией сходимости ряда, поэтому рассматриваются также достаточные признаки сходимости. Признаки сравнения рядов заключаются в следующем. Даны два ряда ∑^∞_n=1a_n и ∑^∞_n=1b_n, при этом 0 n n. В таком случае, если ∑^∞_n=1b_n сходится, то также должен сходиться ряд ∑^∞_n=1a_n. Если ∑^∞_n=1a_n расходится, то ∑^∞_n=1b_n тоже расходится. Предельные признаки сравнения рядов состоят в следующем. Даны два ряда ∑^∞_n=1a_n и ∑^∞_n=1b_n, при этом a_n и b_n – положительны. Тогда, во-первых, если 0 n/b_nn/b_n=0, то ∑^∞_n=1a_n сходится, если сходится ∑^∞_n=1b_n. В-третьих, если lim a_n/b_n=∞, то ∑^∞_n=1a_n расходится, если расходится ∑^∞_n=1b_n. Калькулятор поможет определить сходимость или расходимость ряда онлайн. Расшифровка ответов следующая: Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

converges — ряд сходится
not converges — ряд расходится.

Calculus II — Схождение / расхождение серии

Онлайн-заметки Павла

Ноты Быстрая навигация Скачать

• Перейти к
• Ноты
• Проблемы с практикой
• Проблемы с назначением
• Показать / Скрыть
• Показать все решения / шаги / и т. Д.
• Скрыть все решения / шаги / и т. Д.

• Разделы
Серия
• — Основы
• Специальная серия
• Разделы
• Параметрические уравнения и полярные координаты
• Векторы
• Классы
• Алгебра
• Исчисление I
• Исчисление II
• Исчисление III
• Дифференциальные уравнения
• Дополнительно
• Алгебра и триггерный обзор
• Распространенные математические ошибки
• Праймер для комплексных чисел
• Как изучать математику
• Шпаргалки и таблицы
• Разное
• Свяжитесь со мной
• Справка и настройка MathJax
• Мои студенты

• Заметки Загрузки
• Полная книга
• Текущая глава
• Текущий раздел
• Practice Problems Загрузок
• Полная книга — Только проблемы
• Полная книга — Решения
• Текущая глава — Только проблемы
• Текущая глава — Решения
• Текущий раздел — Только проблемы
• Текущий раздел — Решения
• Проблемы с назначением Загрузок
• Полная книга
• Текущая глава
• Текущий раздел
• Прочие товары
• Получить URL для загружаемых элементов

• Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
• Показать все решения / шаги и распечатать страницу
• Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу

• Дом
• Классы
• Алгебра
  • Предварительные мероприятия
    • Целые экспоненты
    • Рациональные экспоненты
    • Радикалы
    • Полиномы
    • Факторинговые многочлены
    • Рациональные выражения
    • Комплексные числа
  • Решение уравнений и неравенств
    • Решения и наборы решений
    • Линейные уравнения
    • Применение Linea

Примеры практики конвергенции и расхождения серий

1

Теперь мы рассмотрим применение различных тестов сходимости / расхождения, которые мы рассмотрели до сих пор, к некоторым рядам, не указывая, какой тест применять конкретно.{\ infty} \ frac {1} {1 + \ sqrt {n}} $ расходится.

В этом разделе мы исследуем сходимость рядов, которые не состоят только из неотрицательных членов.

Презентация на тему: «В этом разделе мы исследуем сходимость рядов, которые не состоят только из неотрицательных членов» — стенограмма презентации:

1 В этом разделе мы исследуем сходимость рядов, которые не состоят только из неотрицательных членов.

2 До сих пор все наши тесты на сходимость проводились только для ряда, где a k ≥ 0 для всех k. А как насчет серий, в которых бесконечно много k, для которых a k <0?

3

4 Если сходится, то то же самое. Примечание: мы можем использовать все наши тесты на сходимость, чтобы определить, сходится или нет, поскольку члены положительные.

5 Определите, сходится ли следующий ряд абсолютно. Если он сходится, найдите N, чтобы.

6

7 Тот факт, что ряд не сходится абсолютно, не обязательно означает, что ряд расходится.особый тип серии.

9 Позволять. Если и То ряд сходится и: 1. S находится между любыми двумя последовательными частичными суммами. 2. Для всех n,

11 Определите, сходится ли данный ряд абсолютно, сходится условно или расходится. Если он сходится, найдите верхнюю и нижнюю границы суммы.

PPT — Серия: Руководство по исследованию конвергенции презентация PowerPoint | бесплатно для просмотра

PowerShow.com — ведущий веб-сайт для обмена презентациями и слайд-шоу. Независимо от того, является ли ваше приложение бизнесом, практическими рекомендациями, образованием, медициной, школой, церковью, продажами, маркетингом, онлайн-обучением или просто для развлечения, PowerShow.com — отличный ресурс. И, что лучше всего, большинство его интересных функций бесплатны и просты в использовании.

Вы можете использовать PowerShow.com, чтобы найти и загрузить примеры онлайн-презентаций PowerPoint ppt практически на любую тему, которую вы можете себе представить, чтобы вы могли узнать, как улучшить свои собственные слайды и презентации бесплатно.Или используйте его, чтобы найти и загрузить высококачественные практические презентации PowerPoint ppt с иллюстрированными или анимированными слайдами, которые научат вас делать что-то новое, также бесплатно. Или используйте его для загрузки собственных слайдов PowerPoint, чтобы вы могли поделиться ими со своими учителями, классом, студентами, руководителями, сотрудниками, клиентами, потенциальными инвесторами или всем миром. Или используйте его для создания действительно крутых слайд-шоу из фотографий — с 2D- и 3D-переходами, анимацией и музыкой на ваш выбор — которыми вы можете поделиться со своими друзьями в Facebook или в кругах Google+.Это тоже бесплатно!

За небольшую плату вы можете получить лучшую в отрасли конфиденциальность в Интернете или публично продвигать свои презентации и слайд-шоу с высокими рейтингами. Но в остальном это бесплатно. Мы даже преобразуем ваши презентации и слайд-шоу в универсальный формат Flash со всей их оригинальной мультимедийной красотой, включая анимацию, эффекты перехода 2D и 3D, встроенную музыку или другой звук или даже видео, встроенное в слайды. Все бесплатно. Большинство презентаций и слайд-шоу на PowerShow.com доступны для просмотра, многие даже можно бесплатно загрузить. (Вы можете выбрать, разрешить ли людям загружать ваши оригинальные презентации PowerPoint и слайд-шоу из фотографий за плату или бесплатно или вовсе.) Зайдите на PowerShow.com сегодня — БЕСПЛАТНО. Здесь действительно есть что-то для каждого!

презентации бесплатно. Или используйте его, чтобы найти и загрузить высококачественные практические презентации PowerPoint ppt с иллюстрированными или анимированными слайдами, которые научат вас делать что-то новое, также бесплатно. Или используйте его для загрузки собственных слайдов PowerPoint, чтобы вы могли поделиться ими со своими учителями, классом, студентами, руководителями, сотрудниками, клиентами, потенциальными инвесторами или всем миром.Или используйте его для создания действительно крутых слайд-шоу из фотографий — с 2D- и 3D-переходами, анимацией и музыкой на ваш выбор — которыми вы можете поделиться со своими друзьями в Facebook или в кругах Google+. Это тоже бесплатно!

За небольшую плату вы можете получить лучшую в отрасли конфиденциальность в Интернете или публично продвигать свои презентации и слайд-шоу с высокими рейтингами. Но в остальном это бесплатно. Мы даже преобразуем ваши презентации и слайд-шоу в универсальный формат Flash со всей их оригинальной мультимедийной красотой, включая анимацию, эффекты перехода 2D и 3D, встроенную музыку или другой звук или даже видео, встроенное в слайды.Все бесплатно. Большинство презентаций и слайд-шоу на PowerShow.com можно бесплатно просматривать, многие даже можно бесплатно загрузить. (Вы можете выбрать, разрешить ли людям загружать ваши оригинальные презентации PowerPoint и слайд-шоу из фотографий за плату или бесплатно или вовсе.) Зайдите на PowerShow.com сегодня — БЕСПЛАТНО. Здесь действительно есть что-то для каждого!

Конвергенция серии

онлайн

Существуют разные способы проверки сходимости рядов. Прежде всего, можно просто найти сумма серии.Если полученное значение является конечным числом, то серия сходится . Например, из-за

эта серия сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, следует использовать разные методы проверки сходимости ряда.

Одним из таких методов является ratio test , которое можно записать в следующей форме:

Вот и это и членов ряда соответственно, а сходимость ряда определяется величиной .Если — ряд сходился, если — сериалы разошлись. Если — тест соотношения не дает результатов, и необходимо провести дополнительные исследования.

В качестве примера проверьте сходимость следующего ряда ∞n0n4n с помощью теста соотношения. Прежде всего выпишите выражения для ann4n и an1n14n1 .Затем найдите соответствующий предел:

limn∞an1anlimn∞n14n4n1nlimn∞n14n14limn∞11n14

Потому как 141 , в соответствии с тестом соотношения, серии сходились.

Другой метод, позволяющий проверить сходимость рядов, — это root test , который можно записать в следующем виде:

limn∞nanD

Вот ан является n-м членом ряда, и сходимость ряда определяется значением D аналогично проверке отношения: если D <1 - ряды сходились, если D> 1 — ряды расходились.Если D = 1 — корневой тест неубедителен и необходимо провести дополнительные исследования.

В качестве примера проверьте сходимость следующего ряда ∞n05n12n56n2 с помощью корневого теста. Прежде всего, выпишите выражение для an5n12n56n2 . Затем найдите соответствующий предел:

limn∞nanlimn∞n5n12n56n2limn∞5n12n56n2nlimn∞5n12n562nlimn∞5n1n2n5n62nlimn∞51n25n62nlimn∞51n25n6limn∞51n25n2n5261562564

Потому как 1562564> 1 , по корневому тесту серии разошлись.

Следует отметить, что наряду с методами, перечисленными выше, существуют также другие методы проверки сходимости серий, такие как интегральный тест, тест Раабе и т. Д.

Наш онлайн-калькулятор, построенный на системе Wolfram Alpha, может проверять сходимость различных рядов. Следует отметить, что если калькулятор находит сумму ряда и это значение является конечным числом, то этот ряд сходится. В противном случае следует обратить внимание на модуль «Проверка сходимости серий».

Ниже приведены объяснения возможных значений модуля «Проверка сходимости рядов»:

Значение модуля «Тест сходимости серий»	Пояснение
Посредством теста гармонического ряда ряд расходится.	Затем серию сравнивали с гармонической. ∞n01n , исходная серия признана расходящейся.
Тест соотношения не дал результатов.	Применение теста отношения не смогло дать понимания сходимости ряда, потому что значение соответствующего предела равно 1 (см. Выше).
Корневой тест безрезультатен.	Применение корневого теста не смогло дать понимания сходимости ряда, потому что значение соответствующего предела равно 1 (см. Выше).
По сравнительному тесту ряд сходится.	При применении сравнительного теста к серии она была признана расходящейся.
По критерию соотношения ряд сходится.	Тест соотношения позволил определить сходимость ряда
По предельному тесту ряд расходится.	Потому что limn∞an0 , либо указанный предел не существует, серия признана расходящейся.

Серия

: Тесты на конвергенцию Учебное пособие

Как и в большинстве случаев в математике, есть несколько вещей, которые просто не могут хорошо уместиться в коробки стандартного размера, которые мы пытаемся поместить в них. В случае нескольких series нам нужен ящик Пандоры, который можно открывать с 2-х сторон.

Взгляните получше, с какими животными мы имеем дело, нам нужен специальный ящик, чтобы сдерживать их. Мы можем рисовать прямоугольники для рядов с отрицательными членами так же, как мы рисовали левую и правую суммы для интегралов от функций с отрицательными значениями.Если член отрицательный, мы помещаем его прямоугольник под горизонтальную ось.

Предположим, это ряд, члены которого могут быть положительными и / или отрицательными. Мы можем составить другую серию, взяв абсолютное значение каждого члена:

Визуально, если прямоугольники для выглядят так:

, то для получения прямоугольников мы берем любые прямоугольники, которые были ниже горизонтальной оси, и переворачиваем вместо этого они должны лежать на нем:

Если исходный ряд сходится, а ряд абсолютных значений — нет, мы говорим, что исходный ряд сходится условно .

Эти серии — доктор Джекил и мистер Хайд сходимости. Сами по себе они хорошо себя ведут, но когда вы добавляете небольшое зелье с символом абсолютного значения, они выходят из-под контроля и расходятся. Если мы попытаемся положить их в ящик нашей Пандоры, иногда открыть ящик безопасно, а иногда нет.

Вот как выглядит условная сходимость. Предположим, что есть как положительные, так и отрицательные члены, и условно сходится.

Так как предел частичных сумм сходится, положительные и отрицательные члены в основном компенсируют друг друга по мере продвижения:

Поскольку сходится условно , ряды не сходятся.Это означает, что прямоугольники покрывают бесконечную площадь:

Если ряд абсолютных значений сходится, мы говорим, что исходный ряд сходится абсолютно . Если ряд абсолютных значений сходится, это удобно заставляет сходиться и исходный ряд. Другими словами, если мистер Хайд ведет себя хорошо, доктор Джекил тоже. Коробку безопасно открывать с любой стороны.

Вот как выглядит абсолютная конвергенция.

Если сходится, то область, охватываемая всеми его прямоугольниками, конечна.

Любая подобласть конечной области конечна.