НОУ ИНТУИТ | Лекция | Работа с числами в языке Java
Аннотация: Двоичное представление целых чисел. Позиционные и непозиционные системы счисления. Двоичное представление положительных целых чисел. Двоичное представление отрицательных целых чисел. Дополнительный код. Проблемы целочисленной машинной арифметики. Шестнадцатеричное представление целых чисел и перевод из одной системы счисления в другую. Побитовые маски и сдвиги. Двоичное представление вещественных чисел. Двоичные дроби. Мантисса и порядок числа. Стандарт IEEE 754 представления чисел в формате с плавающей точкой.
Ключевые слова: представление, система счисления, позиционная система счисления, алгоритмизация, кодирование информации, словосочетание, binary digit, архитектура компьютера, микрокоманда, порт ввода-вывода, аналого-цифровые преобразователи, двоичная система счисления, двоичное представление, дополнительный код, целочисленный тип, операции, бит, ячейка, криптография, инверсия, эквивалентность, значение, буфер, floating point, знаковый бит, мантисса, plain text, exponent, натуральный логарифмы, IEEE 754, IEC, экспонента, infinity, nan, IND, indeterminism, signaling, quiet
4.1. Двоичное представление целых чисел
Позиционные и непозиционные системы счисления
Позиционная система счисления — это такой способ записи числа, при котором вес цифры зависит от занимаемой позиции и пропорционален степени некоторого числа. Основание степени называется основанием системы счисления.
Например, число 2006 в десятичной системе счисления представляется в виде суммы тысяч, сотен, десятков и единиц:
то есть слагаемых с различными степенями числа 10. По основанию степени — числу десять — система называется десятичной. Другие позиционные системы счисления отличаются только числом в основании степени.
При написании программ чаще всего используют десятичную, шестнадцатеричную (основание шестнадцать), восьмеричную (основание восемь) и двоичную (основание два) системы. Число различных знаков — цифр, используемых для записи чисел — в каждой системе равно основанию данной системы счисления.
| 0,1 | — цифры двоичной системы |
| 0,1,2,3,4,5,6,7 | — цифры восьмеричной системы |
| 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 | — цифры десятичной системы |
| 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F | — цифры шестнадцатеричной системы |
intuit.ru/2010/edi»>В шестнадцатеричной системе «обычных» десятичных цифр недостаточно, и для обозначения цифр, больших девяти, используются заглавные латинские буквы A,B,C,D,E,F.В дальнейшем везде, где это необходимо, мы будем указывать основание системы счисления индексом рядом с числом: — в десятичной системе, — в шестнадцатеричной системе, — в восьмеричной системе, — в двоичной системе.
Существует множество непозиционных систем счисления, в которых числа изображаются и называются по своим правилам. Для римской системы чисел характерны сопоставление отдельного знака каждому большому числу ( V — пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, M — тысяча ), повторение знака столько раз, сколько таких чисел во всем числе ( III — три, XX — двадцать), отдельные правила для предшествующих и последующих чисел (IV — четыре, VI — шесть, IX — девять). Множество непозиционных систем счисления связано с традиционными способами измерения конкретных величин — времени ( секунда, минута, час, сутки, неделя, месяц, год), длины ( дюйм, фут, ярд, миля, аршин, сажень), массы ( унция, фунт), денежных единиц.
Приведем пример самой простой из возможных систем счисления – унарную. В ней имеется всего одна цифра 1. В унарной системе счисления число 1 изображается как 1, число 2 изображается как 11, число 3 как 111, число 4 как 1111, и так далее. Первоначально вместо единицы использовались палочки (помните детский сад?), поэтому такая система счисления иногда называется палочковой. Как ни странно, она является позиционной.
Позиционные системы счисления с основанием 2 и более удобны для алгоритмизации математических операций с числами (вспомните способ сложения и умножения «столбиком»). Двоичная система является естественным способом кодирования информации в компьютере, когда сообщение представляется набором нулей («0» — нет сигнала на линии) и единиц («1» — есть сигнал на линии). Для обозначения двоичных цифр применяется термин «бит», являющийся сокращением английского словосочетания «двоичная цифра» (BInary digiT).
Архитектура компьютера накладывает существенное ограничение на длину информации, обрабатываемой за одну операцию. Эта длина измеряется количеством двоичных разрядов и называется разрядностью. С помощью восьми двоичных разрядов можно представить целых чисел. Порция информации размером 8 бит (8-ми битовое число) служит основной единицей измерения компьютерной информации и называется байтом (byte). Как правило, передача информации внутри компьютера и между компьютерами идет порциями, кратными целому числу байт.
Машинным словом называют порцию данных, которую процессор компьютера может обработать за одну операцию (микрокоманду). Первые персональные компьютеры были 16-разрядными, т.е. работали с 16-битными (двухбайтными) словами. Поэтому операционные системы для этих компьютеров также были 16-разрядными. Например, MS DOS. Операционные системы для персональных компьютеров следующих поколений были 32-разрядны (Windows® ’95/’98/NT/ME/2000/XP, Linux, MacOS®), так как предназначались для использования с 32-разрядными процессорами.
Современные операционные системы либо 32-разрядны, либо даже 64-разрядны (версии для 64-разрядных процессоров).
Двоичное представление положительных целых чисел
Целые числа в компьютере обычно кодируются в двоичном коде, то есть в двоичной системе счисления. Например, число 5 можно представить в виде .
Показатель системы счисления принято записывать справа снизу около числа.
Аналогично, , и так далее. Все очень похоже на обозначение чисел в десятичной системе счисления:
ru/2010/edi»>. Но только в качестве основания системы счисления используется число . У чисел, записанных в десятичной системе счисления, индекс 10 обычно не пишется, но его можно писать. Так что , и так далее.В двоичной арифметике всего две цифры, 0 и 1. Двоичный код положительного целого числа – это коэффициенты разложения числа по степеням двойки.
Умножение числа на двоичное десять, то есть на , приводит к дописыванию справа нуля в двоичном представлении числа. Умножение на двоичное сто, то есть на — дописыванию двух нулей. И так далее.
Целочисленное деление на с отбрасыванием остатка производится путем отбрасывания последнего (младшего) бита, деление на — отбрасывания двух последних бит, и так далее. Обычно такие операции называют побитовыми сдвигами на n бит влево (умножение на ) или вправо (целочисленное деление на ).
intuit.ru/2010/edi»>Сложение двоичных чисел можно производить «в столбик» по полной аналогии со сложением десятичных чисел. Единственное отличие – то, что в двоичной арифметике только две цифры, 0 и 1, а не десять цифр (от 0 до 9) как в десятичной. Поэтому если в десятичной арифметике единицу более старшего разряда дает, к примеру, сложение 1 и 9, то в двоичной арифметике ее даст сложение 1 и 1. То есть(в десятичной системе это равенство выглядит как 1+1=2). Аналогично, , и так далее.
Примеры сложения «в столбик»:
Совершенно аналогично выполняется умножение:
В машинной реализации целочисленного умножения используют побитовые сдвиги влево и сложения. Поскольку эти алгоритмы очень просты, они реализуются аппаратно.
Язык программирования Java и среда NetBeans
Главная / Программирование / Язык программирования Java и среда NetBeans / Тест 4
Упражнение 1:
Номер 1
Из скольки бит состоит байт?
Ответ:
 (1) 1 
 (2) 2 
 (3) 8 
Номер 2
Что такое машинное слово?
Ответ:
 (1) порция данных, которую процессор компьютера может обработать за одну операцию 
 (2) порция информации размером 8 бит 
 (3) команда процессора 
Номер 3
Какие утверждения являются верными?
Ответ:
 (1) 1 байт равен 8 битам 
 (2) машинное слово — это порция информации размером 8 бит 
 (3) передача информации внутри компьютера осуществляется порциями, кратными целому числу байт 
Упражнение 2:
Номер 1
Какое двоичное число соответствует десятичному числу 9?
Ответ:
 (1) 1000 
 (2) 1001  (3) 1101 
 (4) 1011 
 (5) 1111 
Номер 2
Какое двоичное число соответсвует десятичному числу 8?
Ответ:
 (1) 1000 
 (2) 1001 
 (3) 1101 
 (4) 1011 
 (5) 1111 
Номер 3
Какое двоичное число соответсвует десятичному числу 15?
Ответ:
 (1) 1000 
 (2) 1001 
 (3) 1101 
 (4) 1011 
 (5) 1111 
Упражнение 3:
Номер 1
Результат вычисления какого двоичного выражения будет содержать наибольшее количество цифр?
Ответ:
 (1) 1100 + 0011 
 (2) 0110 + 1011 
 (3) 111 + 001 
Номер 3
В каком случае результат вычисления в десятичном представлении будет наибольшим?
Ответ:
 (1) 1111 + 1111 
 (2) 1100 + 1010 
 (3) 10111 + 1000 
Упражнение 4:
Номер 1
В каком случае осуществляется сложение противоположных по знаку чисел (в четырёхбитном представлении)?
Ответ:
 (1) 1001 + 1010 
 (2) 1110 + 0010 
 (3) 0011 + 1110 
Номер 2
В каком случае осуществляется сложение одинаковых по знаку чисел (в четырёхбитном представлении)?
Ответ:
 (1) 0001 + 0010 
 (2) 1110 + 0010 
 (3) 0011 + 1110 
Номер 3
В каком случае осуществляется сложение одинаковых по знаку чисел (в четырёхбитном представлении)?
Ответ:
 (1) 0001 + 0010 
 (2) 1111 + 1111 
 (3) 0011 + 1110 
Упражнение 5:
Номер 1
Какие утверждения являются верными?
Ответ:
 (1) при выходе за разрешённый диапазон значений умножение двух положительных чисел может дать отрицательное 
 (2) при выходе за разрешённый диапазон значений сложение двух положительных чисел может дать отрицательное 
Номер 2
В каком случае при вычислении значения m*n*k возникнет арифметическое переполнение?Ответ:
 (1) byte m=10,n=10,k=10; 
 (2) int m=10,n=10,k=10; 
 (3) int m=1000,n=1000,k=1000; 
Номер 3
В каком случае при вычислении значения x=m*n*k не возникнет арифметическое переполнение?Ответ:
 (1) byte x=0, m=10,n=10,k=10; 
 (2) int x=0, m=10,n=10,k=10; 
 (3) int x=0, m=100,n=100,k=100; 
Упражнение 6:
Номер 1
Какое из приведенных двоичных чисел соответствует шестнадцатиричному числу F2E
Ответ:
 (1) 1011010111 
 (2) 111100101110 
 (3) 1010000000011011 
Номер 2
Какое из приведенных двоичных чисел соответствует шестнадцатиричному числу 2D7
Ответ:
 (1) 1011010111 
 (2) 111100101110 
 (3) 1010000000011011 
Номер 3
Какое из приведенных двоичных чисел соответствует шестнадцатиричному числу A01B
Ответ:
 (1) 100101011 
 (2) 1010000100001011 
 (3) 1010000000011011 
Упражнение 7:
Номер 1
Какая операция с маской используется для установки нужных бит переменной в единицу, если нужные биты маски установлены в единицу, а остальные – нули?
Ответ:
 (1) AND 
 (2) OR 
 (3) XOR 
Номер 2
Какая операция с маской используется для установки нужных бит переменной в ноль, если нужные биты маски установлены в ноль, а остальные – единицы?
Ответ:
 (1) AND 
 (2) OR 
 (3) XOR 
Номер 3
Какие биты числаa=1100изменяют значения при выполнении операцииa^m, если используется маскаm=0101
Ответ:
 (1) 0 
 (2) 1 
 (3) 2 
 (4) 3 
Упражнение 8:
Номер 1
Какой тип побитового сдвига эквивалентен быстрому целочисленному умножению числаmна2n?
Ответ:
 (1) m>>>n 
 (2) m>>n 
 (3) m<<n 
Номер 2
Какой тип побитового сдвига эквивалентен быстрому целочисленному делению числаmна2n?
Ответ:
 (1) m>>>n 
 (2) m>>n 
 (3) m<<n 
Номер 3
Какие утверждения являются верными?
Ответ:
 (1) побитовый сдвиг на n бит влево m<<n эквивалентен быстрому целочисленному делению числа m на 2n 
 (2) побитовый сдвиг на n бит вправо m>>n эквиваленен быстрому целочисленному делению числа m на 2n 
 (3) побитовый сдвиг на n бит вправо m>>>n эквиваленен быстрому целочисленному умножению числа m на 2n 
Упражнение 9:
Номер 1
Каким будет результат выполнения сдвигаm<<1для числаm=-1(считается, что ячейка четырехбитовая)?
Ответ:
 (1) -2 
 (2) -3 
 (3) -4 
Номер 2
Что обозначает оператор ~?Ответ:
 (1) оператор «побитовое исключающее или» (XOR) 
 (2) оператор побитового дополнения (побитовое «не», побитовое отрицание) 
 (3) оператор «побитовое и» (AND) 
 (4) оператор «побитовое или» (OR) 
Номер 3
Что обозначает оператор |?Ответ:
 (1) оператор «побитовое исключающее или» (XOR) 
 (2) оператор побитового дополнения (побитовое «не», побитовое отрицание) 
 (3) оператор «побитовое и» (AND) 
 (4) оператор «побитовое или» (OR) 
Упражнение 10:
Номер 1
Какое двоичное число имеет отрицательный порядок?
Ответ:
 (1) 1.
0101 
 (2) 10.101 
 (3) 0.10101 
Номер 2
Какое двоичное число имеет неположительный порядок?
Ответ:
 (1) 1.0101 
 (2) 10.101 
 (3) 0.10101 
Номер 3
Какое двоичное число имеет неотрицательный порядок?
Ответ:
 (1) 1.0101 
 (2) 10.101 
 (3) 0.10101 
Упражнение 11:
Номер 1
Какая двоичная дробь соответствует десятичному числу 3.3125?
Ответ:
 (1) 11.
0100 
 (2) 11.0111 
 (3) 11.0101 
Номер 2
Какие из указанных двоичных чисел имеют одинаковую мантиссу?
Ответ:
 (1) 1.0101 
 (2) 10.101 
 (3) 0.10101 
Номер 3
Какие утверждения являются верными?
Ответ:
 (1) при перемножении чисел их мантиссы перемножаются 
 (2) при перемножении чисел их порядки перемножаются 
 (3) при делении чисел их мантиссы делятся 
 (4) при делении чисел их порядки делятся 
Упражнение 12:
Номер 1
Какие утверждения являются верными?
Ответ:
 (1) число двоичных разрядов, отводимых под порядок числа, влияет на допустимый диапазон значений чисел 
 (2) погрешность вычисления определяется числом двоичных разрядов, отводимых под порядок числа 
 (3) чем больше разрядность мантиссы, тем меньше погрешность вычисления 
Номер 2
Какие утверждения являются неверными?
Ответ:
 (1) число двоичных разрядов, отводимых под порядок числа, влияет на допустимый диапазон значений чисел 
 (2) погрешность вычисления определяется числом двоичных разрядов, отводимых под порядок числа 
 (3) чем больше разрядность мантиссы, тем меньше погрешность вычисления 
Номер 3
Какие утверждения являются верными?
Ответ:
 (1) число двоичных разрядов, отводимых под порядок числа, влияет на допустимый диапазон значений чисел 
 (2) погрешность вычисления определяется числом двоичных разрядов, отводимых под порядок числа 
 (3) разрядность мантиссы влияет на погрешность вычислений 
 (4) чем больше разрядность мантиссы, тем больше погрешность вычисления 
Главная / Программирование / Язык программирования Java и среда NetBeans / Тест 4
Почему Java не может правильно складывать
В моем последнем сообщении описывалась ситуация, в которой язык программирования Java заведомо выдает неверные результаты.
В приведенном мной примере Java сложил два положительных числа, выдал отрицательный результат и не посчитал это ошибкой. А именно:
2 111 000 333
+ 1 000 222 333
—————
-1 183 744 630
подробности о том, как и почему это происходит. Но если вы не программист (теперь официальный термин — «разработчик»), может показаться невероятным, что язык программирования не может выполнять сложение. Здесь, в кратком экскурсе в nerdville, я попытаюсь объяснить это.
Вы можете думать о проблеме как о двух фунтах чепухи в однофунтовом мешке (отсылка к эпизоду «Молодоженов», где Ральф застревает между двумя большими трубами).
Существует два типа языков программирования: типизированные и нетипизированные. В типизированном языке, таком как Java, программисты должны указывать типы данных для каждой переменной. Числа в примере были присвоены типу данных «int» (сокращение от integer) (фактический код Java находится в предыдущую публикацию).
Число типа «int» в Java может находиться в диапазоне от -2 147 483 648 до 2 147 483 647.
Другой тип, называемый «коротким», используется для целых чисел до 32 767.
Меньшие целые числа могут быть назначены типу «byte», максимальное значение которого составляет 127. Дополнительные сведения см. в разделе «Примитивные типы данных».
Java хранит переменные «int», используя 32 двоичных разряда (бита). Двоичная цифра — это либо ноль, либо единица. Все, что связано с компьютерами, сводится к набору битов на самом низком уровне.
Крайний левый бит переменной Java «int» представляет знак, остальные 31 бит — это само число. Если крайний левый бит равен нулю, число положительное, если единица, число отрицательное. Чтобы проиллюстрировать, вот как выглядят положительная тройка и отрицательная тройка.
положительная тройка: 00000000000000000000000000000011
отрицательная тройка: 111111111111111111111111111111101
Ради простоты мы можем игнорировать детали представления отрицательных чисел, кроме того факта, что они начинаются с единицы.
Теперь вы видите, что ошибку, которую допускает Java, легко обнаружить.
Если вы добавите два числа типа «int», где бит слева равен нулю, то результат также должен иметь ноль в крайнем левом бите. По крайней мере, правильный результат имеет там ноль. Если вы сложите два положительных числа, результат также будет положительным.
Где именно произошел сбой в Java?
В десятичной системе счисления наибольшее значение, которое умещается тремя цифрами, равно 999, что также равно 10 в 3-й степени минус единица. Та же формула применима и к двоичной системе счисления. Наибольшее значение, которое умещается в 31 двоичной цифре, равно 2, возведенному в 31-ю степень минус один.
Посмотреть это можно с помощью калькулятора, встроенного в Windows. Измените вид со стандартного на научный. Полезно также включить группировку цифр, еще один параметр в меню «Вид».
Нажмите на 2, затем на розовую кнопку x-to-power-y, 31 и равно. Вычитание единицы дает максимально возможное целое число в переменной Java «int»: 2 147 483 647.
Теперь щелкните переключатель Bin (для двоичных файлов).
Калькулятор показывает 31 двоичную цифру, все единицы (см. выше). Это двоичный эквивалент всех девяток в десятичной системе счисления.
Чтобы увидеть два фунта чепухи в однофунтовом мешке, прибавьте единицу к этому двоичному числу.
Очень похоже на добавление 1 к 99 приводит к 100 (требуется дополнительная цифра, а все младшие цифры равны нулю), это приводит к числу, для которого требуется дополнительная двоичная цифра слева, а остальные двоичные цифры равны нулю.
Вот где Java идет не так. Хотя он выполняет сложение точно так же, как калькулятор Windows, он затем сопоставляет результат обратно с типом данных «int». Таким образом, он считает эту последовательность битов отрицательным числом, потому что бит слева равен единице.
Другими словами, Java складывает два числа, как если бы они были 32-битными числами. Но это не так, это 31-битные числа со знаковым битом слева. Упс.
Это добавление Java на пределе возможностей:
2 147 483 647
+ 1
—————-
-2 147 483 648
Вы можете увидеть это в динамике в Inner Int Java Applet Билла Веннерса, автора книги Inside the Java Virtual Machine.
Чтобы было ясно, это проблема Java. Результаты одинаковы для Windows, Linux, Mac OS X и многих других операционных систем, которые предоставляют среду выполнения Java (JRE).
Каково было мышление, когда разрабатывалась Java, что лучше возвращать неправильные результаты, чем вызывать состояние ошибки? Java рассматривает деление на ноль как ошибку, но охотно допускает переполнение целых чисел, так что вы можете сложить два положительных числа и получить отрицательный результат.
По крайней мере, компьютеры должны быть способны к вычислениям.
[Java] — Код на Java, чтобы задать два дополнительных математических вопроса
Чтобы задать два математических вопроса на сложение со случайными переменными, вы можете написать код на Java следующим образом. Попробуйте код здесь!
👩💻 Технический вопрос
Спросил 3 месяца назад в Джава by nisa
как написать код с помощью java, который задает два математических вопроса на сложение, используя случайные переменные
Математика добавление переменные случайный код Джава вопрос сгенерировать
Дополнительные вопросы по программированию на Java👩💻 Технический вопрос
Спросил 1 месяц назад в Джава по Uğurcan
можете ли вы показать пример функции java?
ява функция пример вход выход
👩💻 Технический вопрос
Спросил 1 месяц назад в Джава по Hayeland
Что такое Java?
ява язык программирования объектно-ориентированный Приложения JVM
👩💻 Инструкции по коду Java
Спросил 2 месяца назад в Джава by Camila
Для этого метода вам будут даны числитель и знаменатель, и вы вернете true, если они уменьшены, и false, если нет.
