Исследование на сходимость: Как исследовать ряд на сходимость: примеры решений

Содержание

Сходимость ряда онлайн

Проверить сходимость ряда можно несколькими способами. Во-первых можно просто найти сумму ряда. Если в результате мы получим конечное число, то такой ряд сходится. Например, поскольку

то данный ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.

Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:

здесь и соответственно и члены ряда, а сходимость определяется значением . Если — ряд сходится, если — расходится. При — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью признака Даламбера. Сначала запишем выражения для и . Теперь найдем соответствующий предел:

Поскольку , в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.

Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:

здесь — n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением . Если — ряд сходится, если — расходится. При — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью радикального признака Коши.

Сначала запишем выражение для Теперь найдем соответствующий предел:

Поскольку , в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.

Стоит отметить, что наряду с перечисленными, существуют и другие признаки сходимости рядов, такие как интегральный признак Коши, признак Раабе и др.

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет протестировать сходимость ряда. При этом, если калькулятор в качестве суммы ряда выдает конкретное число, то ряд сходится. В противном случае, необходимо обращать внимание на пункт «Тест сходимости ряда». Если там присутствует словосочетание «series converges», то ряд сходится. Если присутствует словосочетание «series diverges», то ряд расходится.

Ниже представлен перевод всех возможных значений пункта «Тест сходимости ряда»:

Текст на английском языке	Текст на русском языке
By the harmonic series test, the series diverges.	При сравнении исследуемого ряда с гармоническим рядом , исходный ряд расходится.
The ratio test is inconclusive.	Признак Даламбера не может дать ответа о сходимости ряда.
The root test is inconclusive.	Радикальный признак Коши не может дать ответа о сходимости ряда.
By the comparison test, the series converges.	По признаку сравнения, ряд сходится
By the ratio test, the series converges.	По признаку Даламбера, ряд сходится
By the limit test, the series diverges.	На основнии того, что , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится.

Калькулятор сходимости ряда

Переменная суммирования: xyztupqnms

Верхний предел суммирования: 01π-π∞-∞ввести самому

Нижний предел суммирования: 01π-π∞-∞ввести самому

Проверить сходимость ряда:∞n039n23n2

Установить калькулятор на свой сайт

Другие полезные разделы:

Калькулятор несобственных интегралов
Калькулятор объёма тела вращения

Оставить свой комментарий:

Об исследовании сходимости по сетке

При решении задач гидродинамики численными методами неизбежно приходится сталкиваться с неудовлетворительной точностью получаемых результатов. Причин этому может быть очень много. Но одной из наиболее распространенных является недостаточное разрешение расчетной сеткой.

Процесс поиска минимально необходимой расчетной сетки для получения качественного расчета в задаче (или классе задач) называется исследованием сходимости по расчетной сетке.

В данной статье рассмотрены такие вопросы, как:

Что такое сеточная сходимость и почему её необходимо достигать

Как лучше всего проводить исследование сходимости по сетке
Что бывает, когда исследованием по сетке пренебрегают или не доводят до победного конца
Что делать если сходимость нельзя достигнуть из-за недостатка вычислительных ресурсов, но результат получить очень хочется

Что такое сходимость по сетке? Почему без нее нельзя?

В основе метода конечных объемов, применяемого во FlowVision, лежит аппроксимация расчетного пространства конечными объемами – расчетными ячейками. Весь расчетный объем разбивается на параллелепипеды и многогранные ячейки у граничных условий. Затем производится вычисление потоков физических величин входящих и исходящих через каждую грань ячейки.

Рис. 1. Аппроксимация градиента переменной на гранях приграничной ячейки.

Чем мельче размер конечных объемов (расчетных ячеек) относительно размеров всего расчетного объема, тем выше разрешение расчетного объема. Здесь можно провести прямую аналогию с разрешением монитора компьютера: выше разрешение – больше детализация.

При моделировании физических процессов всегда необходимо представлять, какая особенность процесса является определяющей, ключевой для поставленной задачи, имеет наибольшее влияние на результат. Именно эта особенность (деталь конструкции, вихрь, источник тепла, профиль скорости у стенки) должна быть разрешена расчетной сеткой в первую очередь.

Например, при моделировании обтекания самолета вполне допустимо пренебречь геометрией заклепок. Разрешать расчетной сеткой каждую заклепку нецелесообразно, т.к. возмущение потока, порожденное заклепкой несущественно по сравнению с теми градиентами давления, которые создает, например, закрылок.

На рисунке 2 видно, первая картинка представляет собой предельный случай – только одна ячейка на высоту канала не позволяет наблюдать никаких вихрей. При грубой сетке вихрь наблюдается, но за обратным уступом существенно короче, чем при сетке высокого разрешения. Связано это с тем, что вихрь плохо разрешен по высоте и быстро прижимается основным потоком, не успев развиться в протяженную теневую зону за уступом.

Рис. 2. Картина течения за обратным уступом при различном разрешении расчетной сетки. Сверху-вниз: разрешение от 1 ячейки по высоте до 240 по высоте.

Однако даже если хорошо себе представлять, какая особенность моделируемого физического процесса нуждается в хорошем пространственном разрешении, не всегда возможно однозначно сказать, какого разрешения будет достаточно. По этой причине при решении задач численным методом необходимо выполнять исследование сходимости по сетке.

Подходы к исследованию сходимости по сетке

В общем случае исследование сходимости по сетке заключается в изучении зависимости решения от разрешения пространства с помощью расчетной сетки.

Этапы исследования сходимости по сетке:

Выбор математической модели: на этом этапе необходимо правильно выбрать набор решаемых уравнений, полностью описывающих ключевые физические процессы, происходящие в моделируемом устройстве.
Выбор контрольных (характерных) параметров: здесь необходимо определить, какие параметры устройства или течения являются ключевыми, отражают корректность получаемого решения. Эти же параметры, как правило, служат и для определения момента сходимости стационарного решения. Например, для задачи течения по каналам наиболее характерной величиной может являться перепад давления или расход, в случае теплообмена сюда добавляется температура. Для внешнего обтекания тела наибольший интерес могут представлять подъемная сила и сила сопротивления.

Упрощение расчетной задачи: очень часто исследование сходимости по сетке можно провести на неполной постановке задачи. Взять лишь часть моделируемого устройства с наиболее важным физическим процессом. Например, в случае течения в канале или обтекания трехмерного крыла целесообразно перейти к двухмерной постановке. Сетка, найденная для двумерного случая, почти наверняка подойдет для трехмерного случая. При необходимости можно будет проверить это, проведя расчет в трехмерной постановке на двух сетках. Применение упрощенных постановок задач позволяет на порядки сократить затраты времени и вычислительных ресурсов на этапе исследования сходимости по сетке.
Выбор начальной расчетной сетки
: исследование сходимости можно проводить разными способами, измельчая начальную сетку или применяя адаптацию. В случае адаптации необходимо помнить, что применение высоких уровней адаптации приводит к ухудшению масштабируемости задачи на несколько процессоров. Не используйте уровень адаптации выше 5. С какого размера ячеек стоит начать? Можно отталкиваться от следующих рекомендаций: а) на характерные размеры в задаче (диаметр отверстия, высота уступа, ширина канала или диаметр вихря) должно приходиться минимум 4 ячейки, а лучше 8-10; б) при решении большинства задач внешнего обтекания стартовать стоит с Y+ не больше 1000 — 10 000; в) при отказе от пристеночных функций, т. е. при разрешении пристеночного слоя расчетной сеткой начинать необходимо максимум с Y+ = 1..2.
Моделирование с последовательным измельчением расчетной сетки: можно выбрать разные стратегии, в зависимости от сложности задачи:
1. Для измельчения расчетной сетки применять адаптацию по поверхности и в объеме. Такой подход позволяет использовать ранее посчитанное решение как хорошее начальное приближение для расчета на новой сетке. Второй плюс – экономное измельчение сетки – сетка мельчится только в наиболее интересных инженеру местах.
2. Измельчение сетки выполнять перенастраивая начальную сетку. У этого подхода два минуса: размерность задачи будет больше, т.к. фактически адаптируется весь расчетный объем, а не отдельные зоны; расчет каждый раз необходимо запускать с нуля. Данный подход чаще всего применяется в случае двумерных расчетов, когда время счета занимает считанные минуты или часы. Главным преимуществом такого подхода является то, что измельчается именно весь расчетный объем, исключая ошибку инженера, который мог не учесть какой-то характерный процесс за зоной адаптации (за зоной исследования влияния размера ячейки на решение).
Анализ полученных результатов: после завершения серии расчетов с разным разрешением сетки необходимо построить графики, которые иллюстрируют влияние размера ячейки на характерные величины (определенные на втором шаге). Ось Y на таких графиках – характерная величина; ось X – размер ячейки, либо Y+, либо уровень адаптации. О сеточной сходимости можно говорить тогда, когда наблюдается выход построенного графика на асимптоту, т.е. когда дальнейшее измельчение сетки не приводит к существенному изменению характерных, контролируемых величин.
Уменьшение расчетной сетки: при исследовании сходимости, особенно в случае измельчения методом перестроения начальной сетки, будет найдена расчетная сетка, которая дает качественный результат, но может не являться оптимальной. Т.е. найденная расчетная сетка может быть избыточной, например, разрешать часть расчетной области, в которой не происходит ничего интересного: нет высоких градиентов физических величин, нет вихрей и геометрических особенностей. Эта часть расчетной области попала в зону высокого разрешения случайно или вследствие недостаточно вдумчивого подхода к построению расчетной сетки. На этом этапе можно редуцировать расчетную сетку в таких «спокойных» местах, каждый раз убеждаясь, что загрубление сетки не приводит к изменению результатов. Другой подход уменьшения числа расчетных ячеек – применение адаптации к решению.
Модификация сетки с учетом полной постановки задачи: на этом шаге можно проверить, что сетка перенесенная из двухмерной постановки на трехмерную также является оптимальной. Т.е. дальнейшее измельчение ячеек в два раза не приводит к существенному изменению результата. Это всего лишь один расчет и он может уберечь от ошибки. Кроме того, может понадобиться дополнительно разрешить элементы геометрии, которые отсутствовали в двумерной задаче, но могут повлиять на расчет.

Пример исследования сходимости. Шаг за шагом

Решается задача внешнего обтекания трехмерного крыла самолета при числе Маха 0,6.

Шаг 1. Выбор математической модели

Рис.3. Картина течения вокруг крыла конечной длины в трехмерной постановке

При больших числах Маха необходимо учитывать сжимаемость газа, его нагрев. Поэтому кроме уравнений Навье-Стокса необходимо включить расчет уравнения для энергии. Кроме того значение числа Re на несколько порядков больше 1500, поэтому необходимо применять модель турбулентности. В силу трехмерной постановки разрешение пристеночного слоя может оказаться нецелесообразным с точки зрения потребных вычислительных ресурсов. Поэтому выбирается применение пристеночных функций, вместо прямого разрешения пристеночного слоя.

Шаг 2. Выбор контрольных параметров

В данной задаче основными параметрами являются коэффициент сопротивления, коэффициент подъемной силы, коэффициент момента. Причем рассматривать необходимо сразу все три параметра, т.к. сеточная сходимость для каждого из них может быть достигнута при разном разрешении расчетной сетки.

Шаг 3.

Упрощение расчетной задачи

Данное крыло имеет конечную длину, но постоянный профиль. Впрочем, даже если бы профиль был не постоянным, все равно, переход к двухмерной постановки является оправданным для экономии ресурсов на этапе исследования сходимости по сетке.

Шаг 4. Выбор начальной сетки

В задачах внешнего обтекания профиля основной интерес лежит в области положения отрыва или скачка (при их наличии), правильное разрешение градиентов давления и корректное определение профиля скорости у стенки, во многом определяющие силу сопротивления. Соответсвенно, во многом надо ориентироваться на Y+. У пристеночной функции есть область применимости: Y+ должен быть больше 3. Это оценка снизу, от нее уже можно отталкиваться. Либо можно отталкиваться от максимального значения Y+ = 10 000. Либо можно стартовать с 10 ячеек по высоте профиля.

Чтобы оценить значение Y+ хотя бы примерно можно провести расчет для сетки с 10 ячейками по высоте профиля и посмотреть на среднее значение Y+. Измельчение такой сетки в два раза будет давать уменьшение Y+ примерно в два раза.

Шаг 5. Моделирование с последовательным измельчением начальной сетки

Как было сказано, основная сеточная интрига в данной задаче заключается в качественном разрешении градиентов у поверхности профиля. По этой причине выбран подход с измельчением поверхности с помощью поверхностной адаптации. Последовательно проведено несколько расчетов, с постепенным увеличением уровня адаптации.

Рис.4. Эволюция расчетной сетки в процессе исследования сходимости по сетке.

Шаг 6. Анализ полученных результатов

В результате исследования была построена следующая диаграмма:

Рис.5 . Зависимость подъемной силы от уровня адаптации по поверхности

Как видно, измельчение сетки после 5ого уровня адаптации влияет на подъемную силу несущественно, можно остановиться на размере ячейки, соответствующем 5ому уровню. Однако если посмотреть на аналогичный график для силы сопротивления, можно заметить, что сходимость по этой силе достигается на более мелких сетках:

Рис. 6. Зависимость силы сопротивления от уровня адаптации по поверхности

Таким образом необходимо остановить свой выбор на размере ячейки у поверхности , соответствующем шестому уровню адаптации.

Шаг 7. Уменьшение расчетной сетки

В данном исследовании расчетная сетка строилась в несколько слоев на каждый уровень адаптации, чтобы обеспечить плавный переход от одного уровня адаптации к другому, чтобы также аккуратно разрешить градиенты величин, направленные по нормали к поверхности.

Возможно, количество слоев было выбрано избыточное и, если уменьшить количество слоев на каждый уровень адаптации, то можно сэкономить сетку. Для этого запущен расчет с шестым уровнем адаптации и меньшим числом слоев на каждый уровень. Дополнительно, проведен расчет с большим числом слоев, чтобы убедиться, что слоев достаточно:

Рис.7 . Исследование влияния числа слоев адаптации на силу сопротивления при шестом уровне адаптации

Как видно, уменьшение числа слоев сказывается негативно на результатах, а увеличение приводит к незначительному изменению. Таким образом уменьшить размерность задачи не представляется возможным — в ходе исследования сходимости была сразу найдена оптимальная расчетная сетка.

Шаг 8. Модификация сетки с учетом полной постановки задачи

При переходе к трехмерной постановке были учтены следующие особенности:

Необходима объемная адаптация вокруг бокового края крыла, для учета концевых эффектов у крыла конечной длины.
Применение адаптации высокого уровня (выше четвертого) крайне негативно сказывается на качестве распараллеливания расчета. По этой причине начальная сетка была измельчена в 4 раза, чтобы перейти от шестого уровня адаптации к четвертому. Также дополнительно для улучшения масштабируемости была включена динамическая балансировка сетки.

На что стоит обратить внимание при построении расчетной сетки

Старайтесь на каждый уровень адаптации использовать минимум 4 слоя, а лучше 8 и более. Плавный переход от сетки разного размера позволяет получить более точное и корректное решение.
В области ненулевых градиентов физических величин, в области существования вихрей необходимо использовать ячейки, максимально близкие по форме к кубу. Применение вытянутых ячеек в области с непараллельным направлением течения относительно сторон ячеек негативно сказывается на точности и качестве решения.
Не используйте слишком высокие уровни адаптации, это плохо сказывается на возможностях ускорения расчета с помощью многопроцессорных систем.
При работе с моделями турбулентности следите за преобладающим значением Y+ . Разные модели турбулентности с и без пристеночных функций имеют ограниченную область применимости.

Что происходит, если не проводить исследование сходимости или не доводить исследование до конца?

Рассмотрим пример, когда пользователь выполняет исследование сходимости, ориентируясь на экспериментальные результаты.

Инженер моделирует обтекание крылового профиля при угле атаки три градуса, пробует измельчать расчетную сетку до тех пор, пока подъемная сила не совпадет с экспериментальными данными (красная линия), см. рис. 8.

Рис.8. Зависимость подъемной силы от размера ячейки. Исследование сходимости, проведенное только до момента пересечения с линией экспериментального значения.

При размере ячейки 0,125 получилось идеальное совпадение с экспериментом. После чего инженер счел, что сходимость по сетке достигнута и возможно приступать к моделированию течения при разных углах атаки. Результат представлен на следующем рисунке:

Рис.9. Зависимость подъемной силы от угла атаки для постановки с недостигнутой сеточной сходимостью.

Как видно, при угле атаки в три градуса мы по-прежнему имеем чудесное совпадение с экспериментом, а вот во всех остальных точках решение может быть даже не соответствующим физике процесса.

Такая ситуация возможна и в тех случаях, когда исследование сходимости по сетке остановлено из-за ограниченных вычислительных ресурсов или времени, а не следствиями из природы численных методов.

Что было бы, если бы инженер продолжил исследование сходимости по сетке и убедился, что сходимость действительно достигнута?

Рис. 10. Зависимость подъемной силы от размера расчетной ячейки. Исследование сходимости по сетке доведено до конца.

Те же результаты, но построенные не для размера расчетной ячейки, а для уровня адаптации по поверхности профиля:

Рис. 11. Зависимость подъемной силы от уровня адаптации. Исследование сходимости по сетке доведено до конца.

Как видно на рисунке выше, дальнейшее измельчение сетки привело сначала к удалению от экспериментального значения и лишь более высокие уровни адаптации позволили асимптотично подойти к экспериментальному значению.

Почему же решение при размере ячейки в 0,125 м дало такое хорошее совпадение с экспериментом? Ответ очень прост: случайное совпадение. Две кривые имеют очень много шансов когда-нибудь пересечься.

Итак, инженер убедился, что сходимость по сетке на угле атаки в три градуса достигнута. Но результаты моделирования на всем диапазоне углов атаки снова разочаровывают:

Рис.12. Зависимость подъемной силы от угла атаки для расчетной сетки, полученной в ходе корректного исследования сходимости на угле атаки в 3 градуса.

В целом совпадение с экспериментом замечательное, однако, на высоких углах атаки результаты во FlowVision противоречат не только эксперименту, но и знаниям инженера.

Дело в том, что на больших углах атаки сильно меняется физика процесса. Т.е. исследование сходимости по сетке проводилось для малого угла атаки, для безотрывного течения. На большом же угле атаки образовался отрыв, появились вихри, резкие градиенты давления, которые могут быть не разрешены сеткой, идеально подходящей для безотрывного течения.

Таким образом, необходимо учитывать особенности различных режимов работы моделируемого устройства и при необходимости проводить отдельные исследования сходимости. Конечно не для всех режимов, но выделять несколько характерных диапазонов.

Что делать если сходимость нельзя достигнуть из-за недостатка вычислительных ресурсов, но результат получить очень хочется

При моделировании сложных устройств, в которых необходимо учитывать процессы, существенно отличающиеся в геометрических масштабах, сходимость по сетке достигается на десятках, а то и на сотнях миллионов расчетных ячеек. При этом на предприятии просто может не оказаться потребных вычислительных ресурсов. Что делать, если сходимость не достигнута, а оперативной памяти уже не хватает?

Обратимся к истории, когда на заре вычислительной гидродинамики оперативная память ЭВМ исчислялась не терабайтами, а килобайтами. Как удавалось решать сложнейшие задачи?

Качественный результат важнее количественного: не нужно гнаться за точным совпадением с экспериментом. Главное обеспечить качественно правильное решение, когда на любом режиме течения мы получим ожидаемый результат, а изменение того или иного параметра приведет к изменению решения в ожидаемом направлении. Проверить, что качественно решение правильное можно посчитав устройство на разных режимах течения и убедившись, что кривая эквидистантна экспериментальной или теоретической.
Двухмерная постановка: переход к двухмерной постановке существенно ускоряет расчет. Оцените, насколько важны те детали, которые удается учесть только в трехмерной постановке. Может от учета их влияния можно отказаться?
Съешьте слона по частям: проанализируйте стоящую перед Вами задачу. Может быть, большая и сложная задача разбивается на несколько независимых подзадач? А решение каждой такой подзадачи может быть использовано как граничное условие для другой? Простейший пример: сложный трубопровод с клапанами, поворотами и тройниками можно разбить на несколько секций.

Будьте внимательны, попытка удовлетвориться решением без исследования сеточной сходимости может привести к потере времени или более печальным последствиям. Также не забывайте, что в вычислительной гидродинамике есть еще несколько абстракций, влияние которых на решение также необходимо исследовать:

Граничные условия (их удаленность от объекта исследования, их тип)
Шаг по времени (разрешаете ли во времени ключевые процессы?)

Конвергенция анализа методом конечных элементов и независимость сетки

Предыстория

Эта битва так же стара, как и анализ методом конечных элементов.

Как добиться точных результатов, уравновешивая размер и время решения модели МКЭ?

Простые модели могут решать быстро, но точны ли результаты? И сложные модели могут давать очень точные результаты, но время решения может составлять часы или даже дни.

Программные пакеты для численного решения решают задачи, используя ряд дискретных точек. Каждая точка или узел добавляет в систему степени свободы (DOF). Таким образом, чем больше степеней свободы в модели, тем лучше она отражает структурное поведение.

Каждая степень свободы увеличивает сложность и время решения. Инженер должен сбалансировать сложность модели со временем решения:

Слишком мало степеней свободы, и ответ может быть неверным
Слишком много степеней свободы, и модель может работать несколько дней

Итак, как инженер разрабатывает точную, но эффективную модель FEA?

Путем оценки сходимости и демонстрации независимости сетки.

Исследование конвергенции и независимости сетки

Анализ методом конечных элементов не требует много времени для получения результатов. Но чтобы результаты были точными, мы должны продемонстрировать, что результаты сходятся к решению и не зависят от размера сетки. Для начала давайте определим несколько ключевых терминов:

Конвергенция: Конвергенция сетки определяет, сколько элементов требуется в модели, чтобы гарантировать, что результаты анализа не повлияют на изменение размера сетки. Реакция системы (напряжение, деформация) будет сходиться к воспроизводимому решению при уменьшении размера элемента.
Независимость сетки: После сходимости дополнительное измельчение сетки не влияет на результаты. В этот момент модель и ее результаты не зависят от сетки.

Исследование сходимости сетки подтверждает, что модель FEA сходится к решению. Это также обеспечивает обоснование независимости сетки, и дополнительное уточнение не требуется.

Пример сходимости сетки

Я считаю, что принципы лучше всего применять на практике. Рассмотрим сходимость конечно-элементной модели стальной балки. Ранее мы рассматривали проверку модели конечных элементов в нашем блоге Проверка анализа методом конечных элементов.

Анализ

Исследования конвергенции изменяют размер и конфигурацию сетки FEA. Итак, прежде чем начать, мы отключим возможность автоматического построения сетки нашего решателя FEA.

Наш пример представляет собой прямоугольную балку, поэтому мы можем изменять параметры сетки в трех направлениях. Мы можем варьироваться по размеру элемента или количеству делений. Для нашего примера мы будем использовать «количество делений» с одинаковым интервалом. Наша сетка будет варьировать количество элементов вдоль:

Ширина луча
Глубина балки
Пролет балки

Процесс

Используя итерационный метод, мы увеличиваем количество элементов вдоль каждой стороны и решаем. Мы записываем сложность модели по сравнению с откликом. Для нас сложность — это количество элементов и последующая степень свободы. Наш интерес представляет максимальное вертикальное отклонение. Варьируя количество элементов вдоль каждого ребра, мы можем составить таблицу зависимости размера сетки от прогиба и времени решения:

Insight

Затем мы можем построить график зависимости максимального вертикального отклонения от количества элементов в модели. В какой-то момент реакция системы сходится к решению. Уточнение сетки (добавление дополнительных элементов) практически не влияет на решение.

Когда это происходит, у нас есть конвергентное решение.

Время решения

Мы также можем построить график зависимости времени решения и вертикального отклонения от количества элементов. Добавление элементов увеличивает время решения. В какой-то момент большее количество элементов увеличивает время решения без уточнения решения. Уточнение после этой точки является неэффективным применением FEA.

Заключение

Результаты модели МКЭ не должны зависеть от размера сетки. Исследование конвергенции гарантирует, что модель FEA отражает поведение системы, сокращая время решения.

Мы в XCEED знаем, что МКЭ может стать аналитической основой для принятия дорогостоящих или сопряженных с высоким риском решений. Наши результаты FEA должны быть на 100% точными и поддающимися проверке другими. Вот почему мы выполняем сходимость сетки во всех проектах, чтобы проверить точность наших результатов.

Что такое сходимость в анализе методом конечных элементов? SimScale

Типичный инженерный проект включает прогнозирование прогибов/смещений, напряжений, собственных частот, распределения температуры и т. д. Эти параметры используются для итерации параметров материала и/или геометрии для оптимизации их поведения. Традиционные методы, такие как ручные вычисления, включали идеализацию физических моделей с использованием простых уравнений для получения решений. Однако эти приближения чрезмерно упрощают задачу, и аналитическое решение может дать только консервативные оценки. В качестве альтернативы FEM и другие численные методы предназначены для проведения инженерного анализа, учитывающего гораздо больше деталей, что было бы непрактично при ручных расчетах. МКЭ делит тело на более мелкие части, обеспечивая непрерывность перемещений вдоль границ этих элементов. Дополнительную информацию о том, «как работает FEM» и «как изучить FEM», можно найти в соответствующих статьях SimScale.

Схождение в методе конечных элементов

Что такое сходимость в методе конечных элементов (МКЭ)?
Для тех, кто использует анализ конечных элементов, часто используется термин «конвергенция». Большинство линейных задач не нуждаются в итерационной процедуре решения. Сходимость сетки является важной проблемой, которую необходимо решить. Кроме того, в нелинейных задачах также необходимо учитывать сходимость в итерационной процедуре. Итак, что это значит? В этой статье мы исследуем и решаем вопросы, связанные с этим термином.
Чтобы прочитать более общую статью об анализе конечных элементов, мы хотели бы отослать вас к SimWiki, где мы подробно обсуждаем важные темы инженерного моделирования.
Сходимость в FEA
Сходимость по сетке: h- и p-уточнение в анализе методом конечных элементов
Одной из наиболее игнорируемых проблем вычислительной механики, влияющих на точность , является сходимость по сетке. Это связано с тем, насколько маленькими должны быть элементы, чтобы гарантировать, что на результаты конечно-элементного анализа не повлияет изменение размера сетки.
Рис. 01: Сходимость количества с увеличением степеней свободы
Как показано на рис. 01, очень важно сначала определить интересующую величину. Необходимо учитывать как минимум три точки, и по мере увеличения плотности сетки интересующая величина начинает сходиться к определенному значению. Если два последующих сгущения сетки существенно не меняют результат, то можно считать, что результат сошёлся.
Рис. 02: Измельчение сетки конструкции
Что касается измельчения сетки, то не всегда необходимо измельчать сетку во всей модели. Принцип Сен-Венана утверждает, что локальные напряжения в одной области не влияют на напряжения в других местах. Следовательно, с физической точки зрения модель может уточняться только в отдельных областях интереса и дополнительно иметь переходную зону от грубой к мелкой сетке. Существует два типа уточнения (h- и p-уточнение), как показано на рис. 02. H-уточнение относится к уменьшению размеров элемента, а p-уточнение относится к увеличению порядка элемента.
Однако важно различать геометрический эффект и сходимость сетки. В частности, при создании сетки криволинейной поверхности с использованием прямых (или линейных) элементов, что потребует большего количества элементов (или иного уточнения сетки) для точного захвата границы. Как показано на рис. 03, измельчение сетки приводит к значительному уменьшению ошибок.
Рис. 03: Уменьшение ошибки за счет h-уточнения криволинейной поверхности
Такое уточнение может позволить увеличить сходимость решений без увеличения размера решаемой задачи в целом.
FEA
Конвергенция при наличии сингулярностей
После прочтения предыдущего раздела можно с уверенностью предположить, что, как только напряжение сходится в определенной части конструкции, использование элемента того же размера в другом месте должно привести к сходящимся решениям. Однако это не верное предположение.
Большинство моделей имеют углы, как внутренние, так и внешние, радиус которых считается равным нулю. Это также имеет место при наличии трещин. В этих случаях напряжения теоретически бесконечны. Теперь вы можете догадаться, почему окна самолета не имеют углов, а закруглены по краям?
Рис. 04 Стрессовая сингулярность
При наличии сингулярности необходимо уточнить сетку вокруг нее. Однако, как показано на рис. 04, чем больше сгущается сетка, тем больше напряжение продолжает расти и стремиться к бесконечности.
Следовательно, при наличии скруглений, как правило, более разумно принять фактический радиус, а затем уточнить область, используя достаточное количество элементов. Для получения более подробной информации об особенностях сетки мы рекомендуем нашу недавнюю статью в блоге SimScale под названием «Влияние размера сетки на концентрацию механических напряжений».
Каска предназначена для защиты человека, который ее носит, от травм головы при ударе. В этом проекте конечно-элементного анализа воздействие человеческого черепа в шлеме и без него было смоделировано с помощью нелинейного динамического анализа. Скачайте этот кейс бесплатно.
Скачать пример из практики бесплатно
Анализ методом конечных элементов
Конвергенция во время блокировки
Другая часто встречающаяся нелинейная проблема связана с блокировкой, а именно с объемными и сдвиговыми эффектами блокировки. Объемная блокировка обычно встречается в задачах, связанных с несжимаемостью, в задачах гиперупругости и пластичности. В качестве альтернативы сдвиговая блокировка обычно встречается в задачах с преобладанием изгиба.
Для более подробного обсуждения объемной блокировки и фиксации при сдвиге вы можете обратиться к нашим статьям в блоге SimScale: «Моделирование эластомеров» и «Создание сетки в МКЭ» соответственно.
На рис. 05 показана стандартная задача тестирования несжимаемых эффектов. Как показано, рассматривается небольшая труба с внутренним давлением. Такие приложения обычно встречаются в различных средах, включая артерии человека. Необходимо учитывать только четверть модели из-за симметрии задачи. Поскольку коэффициент Пуассона стремится к 0,5, объемный модуль стремится к бесконечности, и, таким образом, материал демонстрирует несжимаемость. В этом случае предпочтительны элементы второго порядка или, другими словами, требуется p-уточнение. На рисунке также показано поведение различных типов элементов при увеличении коэффициента Пуассона.
Рис. 05: Стандартная задача с внутренним давлением, рассматриваемая для проверки объемного запирания (вверху) и сходимости в задачах объемного запирания
Аналогичным образом, на рис. 06 показана простая задача на изгиб балки, где к свободному концу приложен момент. Рассмотрен прогиб на свободном конце балки, и эта задача даже имеет аналитическое решение для сравнения. На рис. 06 показана сходимость прогиба для различных видов элементов.
Рис. 06: Блокировка при сдвиге в задаче на изгиб балки и сходимость для различных элементов
FEA Convergence
Как измерить сходимость
Итак, теперь, когда мы обсудили важность сходимости, как ее можно измерить? Что является количественной мерой конвергенции? Одним из способов его измерения было бы сравнение с аналитическими решениями или экспериментальными результатами.
Рис. 07: Определение ошибок
Как показано на Рис. 07, можно определить несколько ошибок для перемещений, деформаций и напряжений. Эти ошибки можно было бы использовать для сравнения, и их нужно было бы уменьшить с помощью измельчения сетки. Однако в сетке МКЭ величины рассчитываются в различных точках (узловых и по Гауссу). В таком случае, где и в скольких точках следует вычислять ошибку?
Рис. 08: Норма погрешности и сравнение с размером элемента
В качестве альтернативы нормы определяются таким образом, чтобы можно было рассчитать усредненные погрешности по всей конструкции или ее части. Как показано на рис. 08, нормы ошибок также можно сравнивать с размером элемента. Здесь « c » — константа пропорциональности, а « h » — размер элемента, как определено на рис. 08. Следовательно, некоторые ошибки, такие как L2 и нормы ошибки энергии, могут быть определены следующим образом:
Однако в реальных практических приложениях безразмерная версия того же самого более полезна для оценки фактической степени ошибки.