Разное

Im re комплексные числа: Комплексные числа — rajak.rs

Содержание

1.4.1. Понятие комплексного числа



Глава 1. Арифметика

1.4.

1.4.1.

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,


Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что , а именно

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i3 = 3i. Чисто мнимое число i1 = 1i = i обладает удивительным свойством:

Таким образом,

С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,

то есть как раз получается нужная формула. Пример 1

Вычислить z1 + z2 и z1z2, где z1 = 1 + 2i и z2 = 2 – i.

Имеем

Ответ. z1 + z2 = 3 + i, z1z2 = 4 + 3i.


 

1
Рисунок 1.4.1.1

Мы хорошо помним, что геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, как было установлено выше, на действительной прямой «нет места для новых точек», то есть любой точке на действительной оси отвечает действительное число. Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью, на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную; будем называть её мнимой осью.

Тогда любому комплексному числу z = x + iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть. Таким образом мы построим взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью.

Очень важной является интерпретация комплексного числа z = a + ib как вектора с координатами (a; b) на комплексной плоскости с началом в точке O (0; 0) и концом в точке A с координатами (a; b). Ясно, что это соответствие является взаимнооднозначным. В самом деле, как было только что отмечено, любому комплексному числу z = a + ib соответствует вектор и наоборот, каждому вектору соответствует, и притом единственное, число z = a + ib.

Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости.

Модель 1.14. Комплексные числа на плоскости

Модуль комплексного числа z обычно обозначается или r. Указанная в определении формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора (см. рис.).

2
Рисунок 1.4.1.2

Если то то есть для действительного числа модуль совпадает с абсолютной величиной. Ясно, что для всех При этом тогда и только тогда, когда

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.

Отметим следующий важный факт: заданием своего модуля и аргумента комплексное число фиксируется однозначно. Обратное, вообще говоря, неверно: если задано комплексное число z ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет.

Действительно, если φ = arg z – аргумент этого комплексного числа, то все числа вида φ + 2πn также будут аргументами этого комплексного числа. Например, аргументами комплексного числа z = 1 + i являются углы и т. д. Поэтому в качестве аргумента комплексного числа обычно выбирают значение –π ≤ arg z ≤ π.

Заданием только лишь своего модуля определяется только комплексное число z = 0.

Из определения тригонометрических функций следует, что φ = arg z тогда и только тогда, когда для этого φ выполняется система

Пример 2

Найти модуль и аргумент комплексного числа z = –1 – i.

Так как Re z = –1 и Im z = –1, то точка z лежит в третьей координатной четверти.

Для поиска аргумента решим систему

Ответ.

4

5

6

i

(

)

π

e

1

2

3

sin

cos

tg

ctg

ln

.

0

sh

ch

th

cth

abs


Скрыть клавиатуру

Вычислено выражений:

Как пользоваться калькулятором

  1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
  2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем "С решением"
  3. Нажмите на кнопку "Построить"

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

  • Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
  • Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
  • Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
  • Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

  • Арифметические операции: +, -, *, /, ^
  • Получение абсолютного значения числа: abs
  • Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
  • Получение действительной и мнимой частей: re, im
  • Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
  • Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
  • Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
  • Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

  • (2+3i)*(5-7i)
  • sh(i)
  • (4+i) / (3 - 4i)
  • sqrt(2i)
  • (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 - 8i)/4 - 3. 75)

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа вида x+iy, где x, y — вещественные числа, а i - мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i2 = -1).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

  • 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
  • -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
  • i — действительная часть = 0, мнимая = 1
  • -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
  • 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

  • сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • вычитание: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
  • деление: = = + i

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i:
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 - 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом:5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

Найти разность чисел 12-i и -2i:
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 - 0 = 12, im = -1 - (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом:12-i - (-2i) = 12 + i

Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i:
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 - 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом:2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i:
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 - 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 - 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 - 18i
Полученное число и будет ответом:75-50i / (3+4i) = 1 - 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

  • Получение действительной части числа: Re(z) = a
  • Получение мнимой части числа: Im(z) = b
  • Модуль числа: |z| = √(a2 + b2)
  • Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
  • Экспонента: ez = ea·cos(b) + i·ea·sin(b)
  • Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
  • Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
  • Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
  • Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
  • Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 - 3i
Re(z) = Re(4 - 3i) = 4
Im(z) = Im(4 - 3i) = -3
|z| = √(42 + (-3)2) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

  • Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть
  • Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
  • Показательная форма — запись вида r·e, где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

Решение:

  • Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(12 + 12) = √2
  • Найдём аргумент числа: φ = arctan() = = 45°
  • Запишем результат в тригонометрической форме: √2·(cos(45°) + isin(45°))
  • Запишем результат в показательной форме: √2·eπi/4

Действительные и комплексные числа MatLab

Урок 2. Установка системы и первые навыки работы
Установка и файловая система MATLAB
Запуск MATLAB и работа в режиме диалога
Новый и старый облик системы MATLAB 6.0
Операции строчного редактирования
Команды управления окном
MATLAB в роли суперкалькулятора
О переносе строки в сессии
Основные объекты MATLAB
Понятие о математическом выражении
Действительные и комплексные числа
Константы и системные переменные
Текстовые комментарии
Переменные и присваивание им значений
Уничтожение определений переменных
Операторы и функции
Применение оператора : (двоеточие)
Сообщения об ошибках и исправление ошибок
Форматы чисел
Формирование векторов и матриц
Особенности задания векторов и матриц
Объединение малых матриц в большую
Удаление столбцов и строк матриц
Операции с рабочей областью и текстом сессии
Дефрагментация рабочей области
Сохранение рабочей области сессии
Ведение дневника
Загрузка рабочей области сессии
Завершение вычислений и работы с системой
Завершение вычислений
Завершение работы с системой
Что нового мы узнали?

 


Число — простейший объект языка MATLAB, представляющий количественные данные. Числа можно считать константами, имена которых совпадают с их значениями. Числа используются в общепринятом представлении о них. Они могут быть целыми, дробными, с фиксированной и плавающей точкой. Возможно представление чисел в хорошо известном научном формате с указанием мантиссы и порядка числа.
Ниже приводятся примеры представления чисел:


2
-3
2.301 0.00001 123.45бе-24
-234.456е10


Как нетрудно заметить, в мантиссе чисел целая часть отделяется от дробной не запятой, а точкой, как принято в большинстве языков программирования. Для отделения порядка числа от мантиссы используется символ е. Знак «плюс» у чисел не проставляется, а знак «минус» у числа называют унарным минусом. Пробелы между символами в числах не допускаются.
Числа могут быть комплексными: z =Rе(x)+Im(x)*i. Такие числа содержат действительную Re(z) и мнимую Im(z) части. Мнимая часть имеет множитель i или j, означающий корень квадратный из -1:
3i

 2j

 2+3i
-3.141i
-123.456+2.7e-3i
Функция real (z) возвращает действительную часть комплексного числа, Re(z), a функция imag(z) — мнимую, Im(z). Для получения модуля комплексного числа используется функция abs(z), а для вычисления фазы — angle(Z). Ниже даны простейшие примеры работы с комплексными числами:
»i
ans=
0 +1.0000i
» j
ans =
0 + 1.0000i 

» z=2+3i 

z =
2. 0000 + 3.0000i 

» abs(z)

 ans =
3.6056 

» real(z) 

ans=
2
» imag(z) 

ans =

3
» angle(z) 

ans =
0.9828

В MATLAB не принято делить числа на целые и дробные, короткие и длинные и т. д., как это принято в большинстве языков программирования, хотя задавать числа в таких формах можно. Вообще же операции над числами выполняются в формате, который принято считать форматом с двойной точностью. Такой формат удовлетворяет подавляющему большинству требований к численным расчетам, но совершенно не подходит для символьных вычислений с произвольной (абсолютной) точностью. Символьные вычисления MATLAB может выполнять с помощью специального пакета расширения Symbolic Math Toolbox.

 

Мнимая часть комплексного числа, формула и примеры

Например. — комплексное число, действительной частью которого является вещественное число , а мнимой частью – вещественное число .

Если действительная часть комплексного числа равна нулю комплексное число называется чисто мнимым.

Например. где .

Комплексные числа являются расширением действительных (вещественных) чисел, у которых мнимая часть равна нулю.Любое действительное число может быть записано в форме комплексного числа: .

Например. Комплексные числа обозначают действительное число .

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Можно изображать комплексные числа на комплексной плоскости следующим образом: действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

Любому комплексному числу можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами: , и радиус-вектор (существуют также обозначения ) комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу.

Историческая справка

К понятию мнимого числа впервые пришли математики Кардано и Бомбелли. Последний описывал возможность использовать мнимые величины при решении кубического уравнения . Само название «мнимых» корней закрепилось после работ Декарта. В XVIII веке Эйлер предложил использовать символ для обозначения мнимых чисел. Можно еще отметить исследования Муавра и Котса, также относящиеся к XVIII столетию. Несмотря на активное развитие математической теории, длительное время ученые с сомнением относились к полученным в отношении мнимых чисел результатам. Лишь позднее, в XIX столетии, математик и астроном Гаусс развил и популяризировал теорию мнимых чисел.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Комплексные числа - Алгебра и геометрия

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратныхдля случая < 0 (здесь D–дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: z=abi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e2 –1. Число называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа abiДва комплексных числа abi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Свойства:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a0или a – 0i. Например 5 + 0iи 5 – 0iозначают одно и то же число 5.

2. Комплексное число 0biназывается чисто мнимым числом. Записьbi означает то же самое, что и 0bi.

3. Два комплексных числаabiи cdiсчитаются равными, еслиa= c иb= d. В противном случае комплексные числа не равны.

Действия:

Сложение. Суммой комплексных чисел abiи cdi называется комплексное число (ac) + (bd)iТаким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Вычитание.Разностью двух комплексных чисел abi (уменьшаемое) и cdi(вычитаемое) называется комплексное число (a – c) + (b – d)i.Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение.Произведением комплексных чисел abiи cdi называется комплексное число:

(ac – bd) + (ad bc)Это определение вытекает из двух требований:

1) числа abiи cdi должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством:  2 = –1.

П р и м е р .  ( a+ bi )( a – bi )= a 2 + b 2Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число  abi (делимое) на другое cdi (делитель) значит найти третье число ef i (чатное), которое будучи умноженным на делитель cdi,  даёт в результате делимое  abi.  Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р .  Найти  ( 8 + ) : ( 2 – 3i) .

Р е ш е н и е . Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на  2 + 3и выполнив все преобразования, получим

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка Aозначает число –3, точка B–число 2, и  –ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число abiбудет представлено точкой  Р  с абсциссой а и ординатой b. Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  abi обозначается  | abi | или ) буквой  r  и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат По осям нужно задать размерность, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси; Rez

мнимую единицу по мнимой оси. Imz

Видео YouTube


ТОЭ Лекции - №15 Основные сведения о комплексных числах

Комплексным числом называется выражение вида:

где – c обозначение комплексного числа; a и b – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа; j=√(-1) – мнимая единица.

Величины a и b часто обозначают следующим образом: a = Re(c) , b = Im(c) . Символы Re и Im – есть начальные буквы английских слов Real – действительный и Imaginary – мнимый.

Геометрически комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости (рис. 15.1). Горизонтальная и вертикальная оси, отмеченные соответственно знаками +1 и +j, называются действительной (или вещественной) и мнимой. Действительная и мнимая составляющие комплексного числа представляют собой проекции вектора на эти оси.

На рис.15.1

Модуль комплексного числа, равный длине вектора, а

- аргумент комплексного числа. Так как

- тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера

последняя преобразуется в показательную форму:

Применяется еще и полярная форма

в самой простой форме задающая модуль и агрумент комплексного числа.

Свойства мнимой единицы (рис. 15.2):

Два комплексных числа c и c` называются сопряженными, если они имеют одинаковые модули и равные по величине, но разные по знаку аргументы (рис. 15.3):

Изображающие их векторы симметричны относительно вещественной оси.

Действия над комплексными числами.

Сложение и вычитание производится над числами, записанными в алгебраической форме:

т.е. складываются по отдельности вещественные и мнимые части слагаемых:

a=a1+a2; b=b1+b2

Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение изображающих их векторов.

Сумма сопряженных комплексных чисел равна удвоенному значению вещественной части:

Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме. Модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются:

где

Что происходит с векторами при перемножении комплексных чисел?

На рис. 15.4 мы видим, что при умножении длина вектора возросла в с2 раз, а аргумент увеличился на α2.Рассматривая комплексное число как вектор, мы приходим к следующему выводу.

При умножении вектора на комплексное число аеjα , вектор растягивается в а раз и поворачивается на угол α .

Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа:

или

Иногда приходится производить умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Перемножение выполняется по правилам умножения многочленов с учетом того, что j2 = -1

При делении, чтобы получить результат, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Этого можно достичь умножением числителя и знаменателя на сопряженный знаменатель:

где

Комплексные числа. Операции над ними... - Математика

Глава 4: Комплексные числа:

Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — вещественные числа, i — элемент, так называемая, мнимая единица, не принадлежащий R(множеству действительных чисел).

Рассмотрим комплексное число z = a + bi. Число a называется действительной частью комплексного числа, b — мнимой частью, и обозначаются Re(z) и Im(z), соответственно.

Пример: Для комплексного числа z = 3 − 2i имеем, Re(z) = 3, Im(z) = −2.

Замечание: Любое вещественное число a можно рассматривать как комплексное число a + 0i. Таким образом, множество вещественных чисел лежит в множестве комплексных чисел.

Два комплексных числа будем считать равными тогда и только тогда, когда совпадают их вещественные и мнимые части. Множество комплексных чисел обозначается буквой C.

4.1: Арифметические операции:

На множестве комплексных чисел введем две операции: сложение и умножение. Пусть даны два комплексных числа z = a + bi, w = c + di. Тогда

• z + w = (a + c) + (b + d)i;
• zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Введенные операции обладают всеми хорошими свойствами, такими же как операции сложения и умножения на множестве вещественных чисел (ассоциативностью, коммутативностью, дистрибутивностью).

Пример 20. Для мнимой единицы i можно легко составить таблицу jумножения: i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 и т.д. 

Упражнение: вычислите, чему равно выражение i59

Подчеркнем еще раз важное свойство мнимой единицы: i2 = −1.

По аналогии с операциями на R на множестве комплексных чисел можно ввести операции вычитания и деления. Для комплексных чисел z = a + bi и w = c + di определим

Пусть дано комплексное число z = a + bi. Комплексно сопряженным к числу z называется число a − bi и обозначается через z. Рассмотрим некоторые свойства комплексного сопряжения. Для любых комплексных числ z, z1, z2 выполнено

Простое правило для выполнения деления комплексных чисел. Для того, чтобы вычислить выражение w zс комплексными числами z и w, нужно и числитель, и знаменатель умножить на комплексно сопряженное к знаменателю.

4.2: Комплексная плоскость 

Геометрической интерпретацией комплексных чисел является так называемая комплексная плоскость. На плоскости введем декартову (прямоугольную) систему координат. Каждой точке плоскости с координатами (a, b) сопоставим комплексное число a + bi. Такое сопоставление является взаимно однозначным. Ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат — мнимой осью. 
На плоскости можно ввести полярную систему координат, ассоциированную декартовой. Тогда любая точка плоскости задается парой чисел: длиной радиус-вектора и углом поворота.

Длина радиус вектора, отвечающего комплексному числу z = a + bi, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Справедлива формула . Величина угла между положительным направлением действительной оси и радиус вектором, отвечающим комплексному числу, называется аргументом этого числа и обозначается arg z или φ. Следующие формулы имеют место 

4.3: Тригонометрическая форма

Форма записи комплексного числа a+bi называется алгебраической. Это форма удобна для сложения и вычитания комплексных чисел. Перейдя в полярную систему координат на комплексной плоскости (a = r cos φ и b = r sin φ), любое комплексное число z = a + bi можно представить в виде:

z = r(cos φ + isin φ).

Такая запись называется тригонометрической формой комплексного числа z. Здесь число r —  модуль комплексного числа z, φ — аргумент числа z. На рис. 4.4 изображена единичная окружность с основными табличными значениями синуса и косинуса.

 

Комплексные числа

Представление комплексных чисел

Все комплексные числа z = a + bi представляют собой «комплекс» всего из двух частей:

Действительная часть : Re (z) = a

Мнимая часть : Im (z) = b

Когда Re (z) = 0, мы говорим, что z равно чисто мнимому ; когда Im (z) = 0, мы говорим, что z - это чисто вещественное .

И Re (z), и Im (z) являются действительными числами.Таким образом, любое комплексное число можно представить как упорядоченную пару действительных чисел (a, b). Мы знаем все об упорядоченных парах действительных чисел. Чтобы визуализировать их, мы наносим их на плоскость:

Это изображение комплексной плоскости (часто называемое диаграммой Аргана, хотя идея обычно приписывается Весселю) позволяет нам назначать некоторые знакомые атрибуты комплексным числам.

Например, мы присваиваем «размер» действительным числам x, задавая абсолютное значение | x | .Это говорит нам, как далеко x от начала координат, независимо от его направления. Точно так же мы можем измерить расстояние r комплексного числа z от начала координат, используя формулу декартового расстояния:

Этот «размер» комплексного числа часто называют его модулем .

Точно так же каждому действительному числу присвоено «направление»: либо +, либо -, в зависимости от того, идем ли мы вправо или влево от начала координат соответственно. На картинке выше видно, что для сложных чисел не все так просто.Комплексные числа могут отходить от начала координат в любом направлении циферблата. Чтобы указать направление, мы даем угол q, измеренный против часовой стрелки вверх от оси x до отрезка линии, содержащего начало координат и комплексное число. Обратите внимание, что:

Это «направление» комплексного числа часто называют его аргументом .

Разница между описанием комплексного числа с помощью пары (a, b) и пары (r, q) заключается в разнице между использованием декартовых координат и полярных координат , соответственно.

Просмотр полярных координат

В следующем примере показано, как полярные координаты (r, q), подобные тем, которые используются для описания комплексных чисел, также могут использоваться для упрощенного описания кривых с определенной «полярной» симметрией:

Изучите полярные кривые

Две приведенные выше формулы для модуля r и аргумента q в терминах a и b обеспечивают своего рода «перевод» между двумя системами представления.

обозначение - Что означает $ \ mathrm {Re} (x) $? Обозначение

- Что означает $ \ mathrm {Re} (x) $? - Обмен математическим стеком
Сеть обмена стеками

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange - это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях. Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 25k раз

$ \ begingroup $

Я все время вижу это в выводе Mathematica, а также в тексте, например, в верхней части страницы функций Wikipedia Beta.

Чарльз

30.1k44 золотых знака5454 серебряных знака132132 бронзовых знака

Создан 06 окт.

OctaviaQOctaviaQ

1,94911 золотых знаков77 серебряных знаков2121 бронзовый знак

$ \ endgroup $ 3 $ \ begingroup $

Действительная часть комплексного числа x.Если вы раньше не видели комплексные числа, это двумерная версия обычных действительных чисел.