Х а 7: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Бином Ньютона, биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля, подмножества

Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b)ⁿ, где a + b есть любой бином, а n — целое число.

Каждое выражение — это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до «половины пути», а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)⁶. Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов

a⁶ + c₁a⁵b + c₂a⁴b² + c₃a³b³ + c₄a²b⁴ + c₅ab⁵ + b⁶.
Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, c_i? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля:

Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете.
Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b)⁶ путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:

Мы видим, что в последней строке

первой и последнее числа

1;
второе число равно 1 + 5, или 6;
третье число это 5 + 10, или 15;
четвертое число это 10 + 10, или 20;
пятое число это 10 + 5, или 15; и
шестое число это 5 + 1, или 6.

Таким образом, выражение (a + b)⁶ будет равно
(a + b)⁶ = 1a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + 1b⁶.

Для того, чтобы возвести в степень (a + b)⁸, мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:

Тогда
(a + b)⁸ = a⁸ + 8a⁷b + 28a⁶b² + 56a⁵b³ + 70a⁴b⁴ + 56a³b⁵ + 28a²b⁶ + 8ab

7 + b⁸.

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,
(a + b)ⁿ = c₀aⁿb⁰ + c₁a^n-1b¹ + c₂a^n-2b² + . … + c_n-1a¹b^n-1 + c_na⁰bⁿ,
где числа c₀, c₁, c₂,…., c_n-1, c_n взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1 Возведите в степень: (u — v)⁵.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тогда у нас есть
(u — v)⁵ = [u + (-v)]⁵ = 1(u)⁵ + 5(u)

4(-v)¹ + 10(u)³(-v)² + 10(u)²(-v)³ + 5(u)(-v)⁴ + 1(-v)⁵ = u⁵ — 5u⁴v + 10u³v² — 10u²v³ + 5uv⁴ — v⁵.
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.

Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t)⁴.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
1 4 6 4 1
Тогда мы имеем

Разложение бинома используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)¹¹. Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку — скажем, 8-ю строку — без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует

биномиальное обозначение коэффициента .
Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом.

Пример 3 Возведите в степень: (x² — 2y)⁵.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = x², b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем

Наконец, (x

2 — 2y)⁵ = x¹⁰ — 10x⁸y + 40x⁶y² — 80x⁴y³ + 80x²y⁴ — 35y⁵.

Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√x)⁴.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = 2/x, b = 3√x, и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим

Finally (2/x + 3√x)⁴ = 16/x⁴ + 96/x^5/2 + 216/x + 216x^1/2 + 81x².

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b)ⁿ есть .

Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x — 5y)⁶.

Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x — 2)¹⁰.

Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть
.
Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1)

n:
.
Так. общее количество подмножеств (1 + 1)ⁿ, или 2ⁿ. Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2ⁿ.

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество {A, B, C, D, E}?

Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 2⁵, или 32.

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
{кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр}.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

.

Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

Fujifilm X-A5 и X-A7 — 10 основных отличий

Серия X-A — это линейка начального уровня в системе Fujifilm X-mount. Их элегантный и простой дизайн предназначен для начинающих и любителей, которым нужна простая камера. К сожалению, серия долгое время страдала плохими характеристиками видео и медленной автофокусировкой — то есть до сих пор.

Новая X-A7 может стать первой камерой в линейке, способной вывести серию на новый уровень. Характеристики видео (наконец-то!) минимальны, какие можно ожидать от камеры 2019 года., а улучшенная система автофокуса на бумаге выглядит очень хорошо. Является ли X-A7 достойным обновлением? Давайте посмотрим, как он сравнивается со своим предшественником, X-A5.

Дополнительное покрытие x-A7:

X-A5 против X-A7 -x-A7 против X-T100- x-A7 против A6100

Что есть в A6100

. общие:
Режимы моделирования пленки, также известные как цветовые профили (11 вариантов)
Максимальная скорость непрерывной съемки 6 кадров в секунду
Выдержка 1/32000 с с электронной (бесшумной) опцией
встроенная выдвижная вспышка
Аккумулятор NP-W126S и срок службы аккумулятора (440/450 снимков)
Карта SD UHS-I (1 слот)
Заявление об этике: Информация, представленная в этой статье, основана на нашем непосредственном опыте работы с X-A5 и официальных спецификациях. Нас не просили что-либо написать об этих камерах и не предоставили никакой компенсации. Внутри статьи есть партнерские ссылки. Если вы решили что-то купить после перехода по ссылке, мы получим небольшую комиссию. Чтобы узнать больше о нашей этике, вы можете посетить нашу полную страницу раскрытия информации. Благодарю вас!
1. Новая матрица
Модели X-A5 и X-A7 оснащены матрицей APS-C с разрешением 24,2 мегапикселя, но чип внутри X-A7 был переработан.
В дополнение к большему количеству точек определения фазы (см. вторую главу ниже), в нем используется медная проводка, а не алюминий, что повышает скорость и шумовые характеристики, а также позволяет использовать более тонкую конструкцию, улучшающую сбор света.
Исходный диапазон ISO составляет от 200 до 12 800 на обеих камерах с расширенными значениями до 51 200 ISO. С расширенными значениями X-A5 создает только JPG, тогда как неясно, может ли X-A7 также записывать в формате RAW.
2. Автофокус
Обе камеры используют гибридную систему с определением фазы и контраста. X-A5 имеет максимум 91 точку обнаружения фазы, тогда как X-A7 имеет всего 117 областей, которые можно разделить на 425 с определенными настройками (как у X-T3). Наличие большего количества точек повышает точность автофокусировки, в том числе потому, что они покрывают большую часть сенсора.
X-A7 поставляется с обновленным алгоритмом распознавания лиц и глаз, который считается самым передовым на сегодняшний день от Fujifilm. Производительность при слабом освещении также была улучшена.
X-A5 не впечатлил нас, когда мы тестировали его в прошлом году. Это боролось больше, чем мы ожидали. Новая система автофокусировки и улучшенный алгоритм должны стать хорошей новостью для X-A7. Возможно, производительность этой линейки, наконец, сможет приблизиться к той, что используется в камерах Fuji с датчиком X-Trans.
3. Частота кадров в формате 4K
X-A5 была первой камерой в серии X-A, поддерживающей запись видео в формате 4K, но с разочаровывающей скоростью 15 кадров в секунду. Качество, хоть и приличное, нас тоже не впечатлило, а максимальное время записи составило всего 5 минут.

Посмотреть это видео на YouTube
X-A7 обеспечивает максимальную частоту кадров до 30 кадров в секунду, что означает, что теперь вы можете записывать на обычных скоростях. Кроме того, камера выполняет полное считывание пикселей, используя всю ширину сенсора, что должно улучшить качество отснятого материала благодаря более четким деталям. Вы можете непрерывно записывать 4K до 15 минут.
Более высокая скорость считывания сенсора должна уменьшить скользящий затвор по сравнению с X-A5.
Компания Fujifilm добавила новый режим под названием «Видео обратного отсчета», который позволяет записывать короткий клип продолжительностью 15, 30 или 60 секунд и быстро загружать его в социальные сети.
Обе камеры могут записывать Full HD со скоростью до 60 кадров в секунду или замедленное видео до 4x в формате 720p. X-A7 также имеет новый режим соотношения сторон 1:1.
4. Порты для микрофона и USB
X-A7 — более интересная камера для видео, поскольку она единственная с входом для микрофона. Это тип мини-джека 2,5 мм, что означает, что вам, вероятно, понадобится переходник с 2,5 мм на 3,5 мм для использования обычных микрофонов. Тем не менее, это лучше, чем ничего!
Еще одним отличием является порт USB: X-A7 использует стандарт модели Type C, тогда как X-A5 имеет более старый micro USB 2. 0. Прежде чем вы слишком взволнованы, скорость USB-порта X-A7 составляет 2.0.
5. Механизм экрана
Компания Fujifilm неоднократно пыталась предложить альтернативные решения для наклона/переворота задних мониторов. В X-A7 они решили использовать стандартное решение, которое использовалось во многих камерах в течение многих лет: полностью шарнирный ЖК-дисплей, который откидывается в сторону и поворачивается на 180˚. Тот, что на X-A5, наклоняется только вверх и вниз (до 180˚).
Экран также больше на 3,5 дюйма, имеет потрясающее разрешение 2,7 млн точек и соотношение сторон 16:9, что хорошо подходит для записи видео (вы получите черные полосы слева и справа при фотосъемке, так как фотографии имеют соотношение 3:2).
Обе камеры оснащены сенсорным экраном, позволяющим выполнять различные операции, в том числе делать снимки или перемещать точку автофокусировки. У вас больше возможностей на X-A7 благодаря добавлению большего количества элементов управления с сенсорным экраном, включая новое Smart Menu.
6. Смарт-меню
Смарт-меню X-A7 — это новый интерфейс GIU, который позволяет выбирать настройки на сенсорном экране и просматривать их в режиме реального времени. Вы можете изменить профиль изображения (режим имитации пленки), глубину резкости (размытие фона), яркость (экспозицию) и другие параметры. Это четкое напоминание о том, на кого нацелена эта камера.
7. Яркий режим
X-A7 имеет новый яркий режим, который вы можете найти, когда камера находится в режиме Advanced SR Auto. Камера выбирает идеальные настройки для автоматического создания изображений, подобных HDR, или изображений с яркими и насыщенными цветами.
8. Режим Light Trail
Light Trail — это новое дополнение к режимам сюжетной съемки камеры X-A7. Это позволяет вам захватывать световые следы и видеть эффект в режиме реального времени. Полезными приложениями могут быть автомобильные фары, звездные дорожки или фейерверки.
9. Дизайн
X-A7 получил несколько обновлений дизайна по сравнению с X-A5. По размерам они почти идентичны, но X-A7 стал еще легче:
X-A5: 116,9 мм x 67,7 мм x 40,4 мм, 361 г
X-A7: 119,0 мм x 67,7 мм x 41,1 мм, 320 г
X-A5 X-A7
Сверху находится новая кнопка включения/выключения, которая заменяет переключатель вокруг кнопки спуска затвора. На его месте есть передний диск для лучшего управления настройками экспозиции. Задний диск также имеет настраиваемую кнопку в центре.
X-A5 X-A7
Расположение кнопок на задней панели было реорганизовано, а поскольку экран стал больше, Fujifilm выбрала 8-позиционный джойстик, а не обычный 4-позиционный D-Pad.
X-A5 X-A7
X-A5 доступен в серебристом, коричневом или розовом цвете. Новый X-A7 имеет новый набор цветов, который включает серебристый, темно-серебристый, верблюжий и мятно-зеленый.
10. Цена
Стартовая цена X-A7 составляет 700 долларов США / 700 фунтов стерлингов / 770 евро с комплектным объективом 15–45 мм.
X-A5 можно найти примерно за 500 долларов США / 410 фунтов стерлингов / 450 евро с тем же объективом.
Заключение
Fujifilm X-A7 — это камера начального уровня, которую стоит рассмотреть по нескольким причинам: в дополнение к красивому дизайну она оснащена большим сенсорным экраном с очень удобным интерфейсом. Качество видео 4K кажется действительно хорошим, а улучшенный автофокус — долгожданная настройка.
X-A5 дешевле, и его цена может снизиться еще больше, прежде чем он будет снят с производства. Если вы ищете менее дорогой вариант для повседневного использования, нет причин не рассматривать его. В противном случае X-A7, безусловно, является лучшим предложением.
Напоминание: приведенные ниже ссылки являются партнерскими. Если вы решили что-то купить после перехода по ссылке, мы получим небольшую комиссию.
Проверить цену Fujifilm X-A5 на
Amazon | Амазонка Великобритания | БиГ Фото | eBay
Проверить цену Fujifilm X-A7 на
B&H Фото | eBay
Fujifilm xa7 | FUJI X ЕЖЕНЕДЕЛЬНО
Опубликовано 12 сентября 2019 г. автором Ritchie Roesch
Компания Fujifilm только что анонсировала новую беззеркальную камеру X-A7. Линия X-A — это малобюджетная серия, в которой используется датчик Bayer вместо X-Trans, и она сравнима с X-T100. Честно говоря, я не уверен, почему у Fujifilm есть обе серии камер, поскольку они во многом похожи, если не считать дизайна корпуса. У X-A7 есть некоторые преимущества перед X-T100, но я уверен, что всякий раз, когда будет анонсирован X-T110, он будет включать те же обновления.
Раньше у меня был Fujifilm X-A3, который на два года старше X-A7 (нет ни X-A4, ни X-A6). Это была удивительно хорошая камера. Пользовательский опыт и качество изображения очень напомнили мне сенсорные камеры X-Trans I или, возможно, X-Trans II. Большие улучшения, которые произошли с тех пор, касаются скорости (включая автофокус, который должен быть довольно фантастическим на X-A7), качества видео и нового заднего ЖК-экрана с переменным углом наклона. Я сомневаюсь, что есть большая разница в качестве изображения между X-A3 и X-A7, но кажется, что в остальном камера продвинулась довольно далеко.
Это может быть похоже на X-Trans II+ (если такое существует), но не совсем эквивалентно X-Trans III, но с ЖК-дисплеем, который не похож ни на что из любой камеры X-Trans, а также с улучшенным автофокусом.
Я знаю, что многие люди не в восторге от этой камеры не потому, что она плохая, а потому, что она не X-Trans и в основном сделана из пластика. Линия X-A не особенно популярна в Америке, но в некоторых частях мира она чрезвычайно популярна. Я слышал, что в паре стран Юго-Восточной Азии линейка X-A продается лучше, чем Nikon, Canon и Sony вместе взятые. Я понятия не имею, правда ли это, но я знаю, что камера будет хорошо продаваться на международном уровне, а на американском рынке она получит лишь незначительное внимание, что очень плохо, потому что это хорошая камера.

Для тех, кто ищет недорогую вторую (или, возможно, третью) камеру, X-A7 (или даже X-A5 или X-A3) — хороший выбор. Это также может быть отличным вариантом для тех, кто покупает свою первую камеру со сменными объективами. Я могу рассматривать X-A7 как ступеньку в систему Fujifilm для тех, у кого ограниченные средства. Если вы пытаетесь выбрать между X-A7 и X-T100, важно ли видео или сверхбыстрый автофокус, я бы рекомендовал X-A7, но если нет, то X-T100 в основном то же самое, и Сейчас на 100 долларов дешевле (в то время как X-A5 дешевле на 200 долларов, а X-A3 — на 285 долларов). Моя личная рекомендация — получить X-T20 в сочетании с объективом 16-50 мм, который сейчас всего на 100 долларов дороже и в целом является лучшей камерой. X-A7 с рекомендуемой производителем розничной ценой 700 долларов США в сочетании с комплектным объективом 15-45 мм доступен сегодня для предварительного заказа (нажмите здесь, чтобы сделать предварительный заказ на Amazon) и будет отправлен 24 октября. Обязательно ознакомьтесь с «мятно-зеленой» версией, которую вы либо полюбите, либо возненавидите (вероятно, возненавидите). Хотя я уверен, что большинство из вас зевало от этого объявления, некоторые из вас, вероятно, купят эту камеру и будут наслаждаться ею в течение следующих нескольких лет.
Ниже приведены некоторые фотографии, сделанные на камеру Fujifilm X-A3:
Бесконечные каньоны — Dead Horse Point SP, UT — Fujifilm X-A3
La Sal Through Mesa Arch — Canyonlands NP, UT — Fujifilm X-A3
Hoodoos — Canyonlands NP, UT — Fujifilm X-A3
Feeling Blue — Canyonlands NP, UT — Fujifilm X-A3
Kids At The Salt Flats — Fujifilm We — 9ndover, UT — 9ndover, UT -A3
Соленые пни — Вендовер, Юта — Fujifilm X-A3
Отражение в соленой воде — Вендовер, Юта — Fujifilm X-A3
Stark Salt — Вендовер, Юта — Fujifilm X-A3
Река Гранд-Каньон NP, AZ – Fujifilm X-A3
Maricopa Point – Гранд-Каньон NP, AZ – Fujifilm X-A3
Ищи:
Последние сообщения
Creative Collective 034: добавьте блик, отразив
Какие рецепты моделирования фильма, когда? — Часть III (X-Транс III)
Я заплатил 1700 долларов за симуляцию фильма?!?
Краткосрочный проект Fujifilm X-T1, обновление 2
Рецепты от дождя
Случайная встреча дождливым майским днем
Загрузите эти два рецепта имитации пленки в свою камеру…
Краткосрочный проект Fujifilm X-T1, обновление 1
Fujifilm X-T30 (+X-T3 и X-Trans III) Рецепт имитации пленки: классический Kodak
Как я непреднамеренно сделал Fujifilm X100V таким дорогим
Архив
ноябрь 2022 г.
Октябрь 2022
Сентябрь 2022
август 2022
июль 2022
июнь 2022
май 2022
Апрель 2022
март 2022
Февраль 2022
Январь 2022
Декабрь 2021
ноябрь 2021
Октябрь 2021
Сентябрь 2021
август 2021
июль 2021
июнь 2021
Май 2021
апрель 2021
март 2021
Февраль 2021
Январь 2021
Декабрь 2020
ноябрь 2020 г.
Октябрь 2020
Сентябрь 2020
август 2020 г.
июль 2020 г.
июнь 2020 г.
Май 2020
апрель 2020 г.
март 2020 г.
Февраль 2020
Январь 2020
Декабрь 2019
ноябрь 2019 г.
октябрь 2019 г.
Сентябрь 2019
август 2019 г.
июль 2019 г.
июнь 2019 г.
май 2019 г.
апрель 2019
март 2019 г.