Как построить линию в полярных координатах?
Собственно:
– Сначала нужно построить полярную систему координат: отметить полюс, изобразить полярную ось и указать масштаб. Впрочем, этот пункт можно выполнить позже.
– Определяем область определения функции – угловые секторы, в которых линия существует, и в которых нет. Тонко прочерчиваем соответствующие угловые направления (прямые и / или лучи, разграничивающие эти секторы). Лучше пунктиром.
– В большинстве случаев потребуется найти десяток-другой точек, принадлежащих линии. Но иногда можно обойтись меньшим количеством, а то и вовсе отделаться схематическим чертежом.
– На следующем шаге следует прочертить угловые направления точек (тонкие прямые) и отметить на них найденные точки. Как это сделать с помощью
каменного топора транспортира, циркуля и линейки, я подробнейшим образом объяснил выше.
– И, наконец, отложенные точки нужно аккуратно-аккуратно соединить линией (линиями).
Отработаем алгоритм на более основательных типовых задачах:
Задача 120
Построить по точкам линию, заданную в полярной системе координат уравнением , рассматривая значения угла с интервалом в рад. Найти уравнение линии в прямоугольной системе координат.
Решение: найдём область определения. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то:
Неравенство опять же удобно решить графически. Мысленно либо на черновике изобразите график косинуса (см. Приложение
Тригонометрия) и прямой . Что означает неравенство ? Оно означает, что нас
устраивает та часть косинусоиды, которая не ниже прямой .
График косинуса полностью удовлетворяет этому условию, поэтому может принимать
любые значения, и нам предстоит «перепахать» весь круг от 0 до , причём, по
условию сделать это требуется строго с интервалом в рад.
и так далее, пока не будет пройден весь оборот до «двух пи»…., но хочется ли вам сидеть с калькулятором… и ложкой? J Используйте Приложение Геометрический Калькулятор, который позволит буквально в пару щелчков вычислить все значения !
Вычисления, как правило, не расписывают подробно, а сразу заносят их результаты в таблицу:
Изобразим на чертеже полярную систему координат и угловые направления – тонкие прямые, соответствующие
вышеуказанным углам. Здесь можно опять воспользоваться
Если у вас под рукой нет ни программы, ни транспортира, ни даже линейки, то используйте мой handmade-продукт – выполните этот чертёж,
ориентируясь по клеточкам:
(углы проставлены для удобства, и на чистовике их записывать не надо)
До сих пор бережно храню этот листок бумаги, чтобы лет через 10-20 продать его антикварном аукционе J
… Шутки шутками, а оперативная память моего первого компьютера ZX Spectrum составляла 32 килобайта.
КИЛОбайта. При этом программисты умудрялись
заталкивать туда аркадные игры с сотнями экранов и отличной графикой (по меркам 8-разрядных машин, конечно). …А ведь с той поры прошло немногим
больше двух десятилетий.
После ностальгических воспоминаний отметим найденные точки на чертеже и аккуратно соединим их линией:
Напоминаю, что одинаковые значения радиуса эффективнее засекать циркулем,
а слишком малые значения для углов допустимо отметить и «на глазок».
Данная кривая называется кардиоидой. Найдём её уравнение в декартовой системе координат. Для этого используем знакомый приём – домножим обе части
уравнения на «эр»:
И по формулам перехода к прямоугольным координатам , получим:
Перенесём «икс» налево и возведём обе части в квадрат:
Дальнейшее возведение левой части в квадрат только усложнит запись, поэтому результат целесообразнее оставить в таком виде.
Из полученного уравнения следует, что кардиоида – это алгебраическая линия 4-го порядка, и обратите
внимание, насколько сложной получилась её формула по сравнению с полярной системой координат. Алгебраическим линиям 3-го, 4-го, 5-го, 6-го и высших
порядков посвящены серьёзные исследования, и желающие без труда могут отыскать море информации по данной теме. Хорошая тема для курсовика, кстати,
или реферата. Ну а я, как обычно, предлагаю полезную и здоровую пищу на каждый день:
Задача 121
Линия задана уравнением в полярной системе координат. Треба:
1) построить линию по точкам, придавая значения через интервал , начиная
с и заканчивая ;
2) найти уравнение линии в декартовой системе координат;
3) определить вид кривой.
Типовая формулировка, предвещающая час (а то и больше) усердного пыхтения,
а нередко и чертыханья студента.
Рассмотрим ряд других важных особенностей решения:
Задача 122
Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;
2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат;
3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.
Решение: 1) найдём область определения: .
Заметьте, что ноль в знаменателе нас тоже не устраивает, и поэтому неравенство строгое. Перенесём косинус направо: и развернём избушку – к нам передом, а к лесу задом:
Неравенство несложно решить аналитически, но для лучшего
понимания я опять воспользуюсь графическим методом. Мысленно или на черновике изобразим графики , при этом нас будет интересовать только один период – от до :
Условию удовлетворяет та часть синусоиды, которая расположена ПОД прямой .
То есть, в нашем распоряжении оказываются почти все значения угла за исключением «макушки», расположенной на симметричном отрезке .
Таким образом, . Арккосинус составляет примерно , поэтому из
рассмотрения исключаем углы и . Заполним расчётную таблицу с прочерками в соответствующих ячейках:
Изобразим полярную систему координат и лучи , между которыми нет точек линии. Прочертим угловые направления найденных точек и с помощью циркуля сделаем засечки. Аккуратно соединим отмеченные точки линией (точки, соответствующие углам , не вместились на чертёж)
:2) Найдём уравнение линии в прямоугольной системе координат. Судя по всему должна получиться гипербола. Избавляемся от дроби:
Используем формулы перехода
и дальнейшее знакомо из задач с линиями второго порядка:
– искомое
уравнение.
3) Данная линия представляется собой гиперболу с центром симметрии в точке , действительной полуосью , мнимой полуосью .
Вы спрОсите: «но в полярной же системе координат прорисовалась только одна ветвь гиперболы, поэтому не ошибочно ли сейчас говорить
о целой гиперболе?». Не ошибочно! И вот по какой причине: если подразумевать обобщённую полярную систему координат с отрицательными значениями «эр», то при значениях угла из интервала прорисуется левая ветвь! Желающие могут провести самостоятельную проверку и анализ этого факта. Я не сторонник и даже
противник обобщенных полярных координат, но в данном случае всё получается ловко и очень хитро – можно как бы и не оговариваться о том, что на
чертеже только одна ветвь гиперболы.
Вычислим координаты фокусов и эксцентриситет. По условию уравнение не нужно приводить к каноническому виду, а значит, требуемые вещи проще найти напрямую – с учётом параллельного переноса гиперболы, к тому же, она не повёрнута.
Вычислим значение и поправкой на параллельный перенос в точку найдём фокусы:
Эксцентриситет:
Готово. Педантичные люди могут ещё записать развёрнутый ответ.
Заключительное задание для самостоятельного решения:
Задача 123Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;
2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат и определить её вид;
3) привести уравнение к каноническому виду и выполнить чертёж в прямоугольной системе координат. Найти фокусы кривой и её эксцентриситет.
Внимательно проанализируйте, что и в каком порядке требуется выполнить по условию. Сам много раз «налетал» – краем
глаза показалось одно, а нужно совсем другое. В образце решения приведение уравнения линии 2-го порядка к
каноническому виду выполнено строгим академическим способом.
Когда удобно использовать полярные координаты? Ну, конечно, когда мы имеем дело со всевозможными окружностям, дугами, кругами, эллипсами, спиралями и т.д. А причина простА – уравнения получаются простые.
На основе полярных координат плоскости базируются цилиндрические и сферические координаты пространства. В частности, угловые величины широко используются в воздушной навигации и астрономии. Действительно, представьте земной шар (а если строго, эллипсоид), эллиптические орбиты планет и вы поймёте, что «распиаренная» прямоугольная система координат как-то здесь совсем «не в тему».
5.1.1. Понятие плоскости в пространстве
4.5. Полярная роза
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
..
..
Открывается это окно либо двойным щелчком левой кнопкой мыши на графической области (см. рисунок 3.4).
5:
для m=1, 2 и 3.
Построить на одном поле три графика с m = 0:
для σ = 0.5, 0.6, 0.8
На графиках отобразить не менее100 точек по оси x.
Тип представления ряда данных – Lines.
7:
для m=-2, 2 и 4.
Построить на одном поле три графика с m = 0:
для σ = 0.2, 0.4, 0.7
На графиках отобразить не менее100 точек по оси x.
Тип представления ряда данных – Step.
8:
для m=-1, 2 и 3.
Построить на одном поле три графика с m = 0:
для σ = 0.5, 0.7, 0.8
На графиках отобразить не менее100 точек по оси x.
Тип представления ряда данных – Bar.
Построить на одном поле три графика с m = 0:
для σ = 0.3, 0.4, 0.6
На графиках отобразить не менее100 точек по оси x.
Тип представления ряда данных – Points.
Построить на одном поле три графика с m = 0:
для σ = 0.2, 0.4, 0.7
На графиках отобразить не менее100 точек по оси x.
Тип представления ряда данных – Stem.
3, 0.6, 0.7
На графиках отобразить не менее100 точек по оси x.
Тип представления ряда данных – Stem.
..Модуль 25 — Полярные функции
Кривые, описанные с использованием полярных координат, могут быть очень интересными, и уравнения часто намного проще в полярной форме, чем в прямоугольной. В этом уроке рассматривается графическое построение полярных уравнений.
При построении графика полярных функций на TI-89, — независимая переменная, а r — зависимая переменная. Углы положительны, если они измерены против часовой стрелки от положительной x — ось.
Независимая переменная в режиме полярного графика: .
| |||
График в полярном режиме
Перейдите в режим построения графика Polar на вашем TI-89.
- Откройте меню Graph Mode, затем выделите «3: POLAR».
- Выберите и сохраните этот режим, нажав дважды
График полярной функции r = 3 sin(2 ).
- Введите следующие значения окна
| хмин = 6 | умин = 3 | |
| хмакс = 6 | умакс = 3 | |
| кскл = 1 | ysc = 1 |
- Показать график
Этот граф называется четырехлистной розой .
25.2.1 Предсказать форму графика r = 3sin(3 ), затем проверьте свой прогноз, отобразив график на TI-89. Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ.
Нахождение количества листьев
Существует связь между значением n в полярной функции r = 3sin( n ) и количество листьев.
25.2.2 Определите, как n относится к количеству листьев в графе r = 3sin( n ) путем построения графика следующих полярных функций. Вам нужно будет настроить до 2 для функций, где n четно. Вы также можете сделать меньше для последних нескольких функций, чтобы сделать графики гладкими.
г = 3sin(4 )
r = 3sin(5 )
r = 3sin(6 )
r = 3sin(7 )
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
25.2.3 Сколько листьев вы ожидаете на графике ? Позволять и нарисуйте функцию, чтобы проверить свой прогноз. Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
График кардиоиды
График кардиоиды r = 2(1 + cos ) с помощью следующего смотрового окна.
Нахождение касательной линии
Используйте функцию Tangent, чтобы найти уравнение касательной линии к кардиоиде. в
- Откройте меню Graph Math, нажав
- Выделите «A: Касательная»
- Выберите эту функцию, нажав
- Входить /4 для подсказки «Касательная в?»
- Нажимать
Уравнение касательной в точке примерно y = -0,414 x + 3,414, что дается в координатах xy и отображается внизу экрана.
Определение длины дуги
Найдите длину дуги кардиоиды r = 2(1 + cos ) для .
- Перерисуйте кардиоиду, нажав
- Откройте меню Graph Math, нажав
- Выделите «B: Дуга»
- Нажимать
- Введите 0 для первой точки
- Введите 2 для второй точки
- Нажимать
Длина дуги на интервале составляет 16 единиц.
8. Кривые в полярных координатах
Открыть изображение на новой страницеr = sin (2 θ ) − 1,7
Это реальный график с использованием полярных координат.
Хорошо, я признаю, что добавляю
глаза и улыбка. 🙂
Далее на этой странице…
Не пропустите интерактивный апплет Polar graphs.
Мы построим графики в этом разделе с помощью компьютера. Вы также научитесь рисовать некоторые из них на бумаге, потому что это поможет вам понять, как работают графики в полярных координатах.
Не беспокойтесь о всей сложной алгебре во второй части ответов — она просто демонстрирует, что полярные координаты намного проще, чем прямоугольные координаты для этих графиков. Мы преобразуем их, используя то, что мы узнали в предыдущем разделе «Полярные координаты».
Полезный фон
Кривые в полярных координатах очень похожи на векторы. См.:
Векторные концепции
Примеры
Нужна миллиметровка?
Значок миллиметровкиСкачать миллиметровку
Нарисуйте каждую из следующих функций, используя полярные координаты, а затем преобразуйте каждую в уравнение в прямоугольной форме. координаты.
Пример 1: r = 2 + 3 sin θ
(Этот полярный график называется limacon от латинского слова «улитка». )
Ответить
Использование таблицы значений для рисования кривых в полярных координатах
Если у нас нет компьютера и нам нужно нарисовать функцию на бумаге, нам нужно настроить таблицу значений следующим образом:
| θ (градусы ) | `0°` | `30°` | `60°` | `90°` | `120°` | `150°` | `180°` |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| θ (радианы) | `0` | `π/6` | `π/3` | `π/2` | `(2π)/3` | `(5π)/6` | `π` |
r = 2 + 3 sin θ | `2` | `3,5` | `4,60` | `5` | `4,6` | `3,5` | `2` |
| θ (градусы) | `180°` | `210°` | `240°` | `270°` | `300°` | `330°` | `360°` |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| θ (радианы) | `π` | `(7π)/6` | `(4π)/3` | `(3π)/2` | `(5π)/3` | `(11π)/6` | `2π` |
r = 2 + 3 sin θ | `2` | `0,5` | `-0,60` | `-1` | `-0,60` | `0,5` | `2` |
Первые 7 точек из этой таблицы: (2, 0 ○ ), (3,5, 30 ○ ), (4,60, 60 ○ ), (5, 90 ○ 7, ) 120 ○ ), (3. 5, 150 ○ ) и (2, 180 ○ ).
Нанесем эти точки (они пронумерованы) на полярный график. Я также указал стрелками направление, в котором нужно двигаться при соединении точек.
Вспомните: Отрицательное значение « r » означает, что мы должны быть на противоположной стороне от исходной точки.
Вот полный график.
0°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330°012345График r = 2 + 3 sin θ, лимакон.
Преобразование в прямоугольную форму
Еще раз мы преобразуем нашу полярную функцию в прямоугольную форму, чтобы мы могли видеть, насколько проще полярная форма для некоторых функций.
92` `=0`Обратите внимание, насколько проще полярная форма по сравнению с прямоугольная форма.
Вот еще один пример лимакона:
0°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330°012345Открыть изображение на новой странице График r = 2 -2 sin θ , лимакон.
Пример 2: r = 3 cos 2 θ
Ответить
Использование таблицы значений для наброска этой кривой
Что делать, если вы не можете использовать компьютер для построения графика?
Вам необходимо настроить таблицу значений следующим образом. Я указал градусы и их эквиваленты в радианах.
| θ (градусы) | 0 ○ | 30 ○ | 60 ○ | 90 ○ | 120 ○ | 150 ○ | 180 ○ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| θ (радианы) | `0` | `π/6` | `π/3` | `π/2` | `(2π)/3` | `(5π)/6` | `π` |
`r = 3\ cos\ 2θ` | `3` | `1,5` | `-1,5` | `-3` | `-1,5` | `1,5` | `3` |
| θ (градусы) | 210 ○ | 240 ○ | 270 ○ | 300 ○ | 330 ○ | 360 ○ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| θ (радианы) | `(7π)/6` | `(4π)/3` | `(3π)/2` | `(5π)/3` | `(11π)/6` | `2π` |
`r = 3\ cos\ 2θ` | `1,5` | `-1,5` | `-3` | `-1,5` | `1,5` | `3` |
Первые 7 точек из этой таблицы: (3, 0°), (1,5, 30°), (-1,5, 60°), (-3, 90°), (-1,5, 120°), ( 1. 5, 150°) и (3, 180°).
Размещение этих первых 7 точек на сетке полярных координат дает нам следующее:
Мы начинаем с точки 1, (3, 0°), и перемещаемся по графику, увеличивая угол и изменяя расстояние от начала координат (определяемое подстановкой угла в r = 3 cos 2 θ . Я нарисовал стрелки, чтобы указать основное направление, в котором мы должны двигаться, чтобы добраться до следующей точки.
Вспомнить: Отрицательное значение « r » означает, что мы должны быть на противоположной стороне от исходной точки.
Я нанес только первые 7 точек выше, чтобы упростить график. Ясно, что нам нужно было бы вычислить больше точек, чем это количество, чтобы получить хороший набросок. (Вам потребуется, по крайней мере, в два раза больше точек, чем указано в таблице выше — каждых 15° будет достаточно.)
Вот полный график.
0°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330°0123 График r = 3 cos (2θ).
[На приведенном выше графике углы выражены в радианах , где π радиана = 180°. Чтобы узнать больше, см.: Радианы.]
Обратите внимание, что кривая полностью рисуется, когда θ принимает все значения от 0 до 2 π .
Преобразование полярных координат в прямоугольные
Далее, вот ответ для преобразования в прямоугольные координаты.
Почему? Мы преобразуем функцию, указанную в этом вопросе, в прямоугольные координаты, чтобы увидеть, насколько проще она будет записана в полярных координатах.
Чтобы преобразовать `r = 3\ cos\ 2θ` в прямоугольных координат , мы используем тот факт, что
cos 2 θ = cos 2 θ — sin 2 θ .
Так r = 3 cos 2 θ = 3(cos 2 θ — sin 92)`
в прямоугольных координатах.
Мы видим, что наше уравнение в полярных координатах r = 3 cos 2 θ намного проще прямоугольного эквивалента.
Пример 3: r = sin θ − 1
(Этот называется кардиоидным , потому что он имеет форму сердца. Это особый чехол лимакон.)
Ответить
Нам нужно нарисовать `r=sin theta-1`.
Используя тот же процесс для предыдущих примеров, мы получаем: 92` `=0`
Пример 4: `r = 2,5`
Ответить
Нам нужно нарисовать `r = 2,5`
В этом примере мы не можем видеть « θ » в данная нам функция. Это означает, что радиус r равен константе , нет независимо от того, какое значение принимает угол θ .
Вот график:
0°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330°0123Открыть изображение на новой страницеГрафик r = 2,5, лимакон.
Что такое эквивалент в прямоугольных координатах? 92= 6.25`.
Получается: x 2 + y 2 = 6,25
Неудивительно, что это похоже на уравнение для окружности, которое мы получили ранее в разделе «Окружность».
Пример 5: r = 0,2 θ
Это интересная кривая, называемая архимедовой спиралью. По мере увеличения θ увеличивается и r .
Ответить
На этот раз мы строим график r = 0,2 θ в полярных координатах.
0°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330°0123Открыть изображение на новой страницеГрафик r = 2,5, лимакон.
Обратите внимание, что значение r всегда в 0,2 раза больше значения θ (конечно, мы находимся в радианах ).
См. также Равноугольная спираль.
Позже мы научимся находить длину спирали Архимеда.
Пример 6: r = грех (2 θ ) — 1,7
Это лицо, которое я нарисовал вверху этой страницы. Мы даже не будем пытаться найти эквивалент в прямоугольных координатах!
Вы можете поиграть с этим графиком в следующем интерактивном апплете.
Интерактивный график
Вы можете изучить приведенные выше графики, используя этот интерактивный график.