Дифференцирование функций нескольких переменных: Частная производная функции нескольких переменных

.

Если существуют пределы:

,

,

они называются частными производными функции по переменным и соответственно.

Замечание 2.1. Аналогично определяются частные производные функций любого числе независимых переменных.

Замечание 2.2. Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной при условии, что остальные переменные – постоянны, то все правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных.

Пример 2.2.Найти частные производные функции .

Решение. Находим:

,

.

Пример 2.3.Найти частные производные функции .

Решение. Находим:

,

,

.

Полным приращением функции называется разность

.

Главная часть полного приращения функции , линейно зависящая от приращений независимых переменных и , называется полным дифференциалом функции и обозначается . Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен

,

где , — произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами.

Аналогично для функции трех переменных полный дифференциал определяется выражением

.

Пусть функция имеет в точке частные производные первого порядка по всем переменным. Тогда вектор называется

Замечание 2.3. Символ « » называется оператором Гамильтона и произносится «намбла».

Пример 2.4.Найти градиент функции в точке .

Решение. Найдем частные производные:

, ,

и вычислим их значения в точке :

, , .

Следовательно, .

Производной функции в точке по направлению вектора называют предел отношения при :

, где .

Если функция дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле

,

где , — углы, который вектор образует с осями и соответственно.

В случае функции трех переменных производная по направлению определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид

где — направляющие косинусы вектора .

Пример 2.5.Найти производную функции в точке в направлении вектора , где .

Решение. Найдем вектор и его направляющие косинусы:

, , , .

Вычислим значения частных производных в точке :

, , ; , , .

Подставляя в (2.1), получаем

.

Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка:

,

,

,

Частные производные , называются смешанными. Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны.

Пример 2.6.Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Вычислим предварительно частные производные первого порядка:

, .

Продифференцировав их еще раз, получим:

, ,

, .

Сравнивая последние выражения, видим, что .

Пример 2.7.Доказать, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

Решение. Находим:

, .

, .

Тогда

.

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для всех точек , отличных от и принадлежащих достаточно малой ее окрестности, выполняется неравенство

( ).

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка, в которой достигается экстремум функции, называется

Теорема 2.1 (Необходимые условия экстремума).Если точка является точкой экстремум функции , то или хотя бы одна из этих производных не существует.

Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными, или критическими. Точки экстремума всегда являются стационарными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия экстремума.

Введем предварительно следующие обозначения:

, , , .

Теорема 2.2 (Достаточные условия экстремума).Пусть функция дважды дифференцируема в окрестности точки и точка является стационарной для функции . Тогда:

1. Если , то точка является экстремумом функции, причем будет точкой максимума при

2. Если , то в точке экстремума нет.

3. Если , то экстремум может быть, а может и не быть.

Пример 2.8.Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Так как в данном случае частные производные первого порядка всегда существуют, то для нахождения стационарных (критических) точек решим систему:

, ,

откуда , , , . Таким образом, получили две стационарные точки: , .

Находим:

, , .

Для точки получаем: , то есть в этой точке экстремума нет. Для точки получаем: и , следовательно, в этой точке данная функция достигает локального минимума: .

Дифференциальные уравнения

Рассмотрим основные виды дифференциальных уравнений первого порядка.

Читайте также:

Методическая разработка по теме «Дифференциальное исчисление функций двух переменных» | Методическая разработка по теме:

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ

Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных

Пояснительная записка.

Тема  «Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных  переменных» входит в курс программы «Элементы высшей математики (Математика)» предназначенной для реализации Государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» среднего профессионального образования.  

        Для изучения данной темы отводится 6 часов учебных занятий, из которых 4 часа являются практическими занятиями.

После изучения данной темы студенты должны

        знать:

• понятие функции нескольких переменных и ее области определения;
• понятие предела функции нескольких переменных;
• определение частных производных и дифференциала функции нескольких переменных;

уметь:

• находить значения функции нескольких переменных,
• находить область определения функции нескольких переменных;
• вычислять частные производные и дифференциалы.

        Данная методическая разработка содержит теоретические сведения по теме, а также упражнения для практических занятий и методические рекомендации к ним.

1. Определение функции нескольких переменных.

Понятие функции одной переменной не охватывает зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин. Например, площадь прямоугольника есть величина, зависящая от длины и ширины (S=xy).

Определение. Переменная  z называется функцией двух переменных x и y, если:

1) задано множество G пар численных значений x и y;

2) задан закон, по которому каждой паре чисел (x; y)  из этого множества соответствует единственное численное значение.

При этом переменные x  и y называются аргументами или независимыми переменными.

Обозначения функций двух переменных аналогичны обозначениям функций одной переменной:

,  , и т.д.

Определение. Множество G  всех пар значений аргументов данной функции двух переменных называется областью определения этой функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения – областью значений функции.

        Пара чисел  x и y определяет положение точки М на плоскости хОу с координатами x и y. Поэтому областью определения функции считается множество всех точек плоскости, для которых формула имеет смысл.

Пример 1. Областью определения функции  является множество всех пар чисел (x; y), т.е. вся плоскость хОу, а областью значений этой функции – промежуток .

Пример 2. Областью определения функции  является множество, для которого  . Множество  таких точек образует внутренность круга с центром в начале координат и радиусом, равным единице, а областью значений этой функции – промежуток .

Пример 3. Найти частное значение функции  в точке А(2; -3).

Решение. Подставляя в выражение функции х = 2, у = -3 получаем

.

Аналогично можно дать определение функции трех и более числа  переменных.

2. Геометрическое изображение функций двух переменных.

Функцию двух независимых переменных геометрически можно изобразить как аппликату точи, абсциссой и ординатой которой служат соответственно независимые переменные х и у. В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Пусть А(х;у) – точка плоскости хОу, АА1 =  — соответствующая ей аппликата (рис. 1). Говорят, что  есть значение функции в точке А(х;у).

Пример 1. Построить график функции .

Решение. Точки, для которых x = 0 принадлежат плоскости yОz  и в этой плоскости функция имеет вид  . Таким образом данная поверхность пересекается с плоскостью yОz по параболе. Сечениями данной поверхности плоскостями, параллельными плоскости yОz () также являются параболы.

Аналогично для плоскости хОz.

В сечении поверхности плоскостью получим точку , т.е. начало координат. В сечении поверхности плоскостями  получаются окружности  с центрами в точках (0;0;h) и радиусами . Итак, данное уравнение представляет собой параболическую поверхность с вершиной в начале координат и осью Oz.  Такая поверхность называется параболоид вращения.

Построение графиков функций двух переменных в большинстве случаев представляет значительные трудности. В связи с этим оказывается удобным геометрически описывать функции двух переменных, не выходя в трехмерное пространство. Средством такого описания являются линии уровня.

Отметим на плоскости хОу все точки (х;у), в которых функция  принимает одно и тоже значение, например значение, равное с. Иначе говоря, отмечаем те точки, для которых .

Множество этих точек и называется линией уровня функции. придавая с различные значения и каждый раз строя линию по данной формуле, получаем семейство линий уровня. Это семейство наглядно описывает функцию .

Пример 2. Построить линии уровня функции .

Решение. Как было описано выше, при сечении данной поверхности плоскостями  образуются окружности. Задавая различные значения с = 0; 1; 2; … получаем семейства линий уровня, которые изображаем на плоскости хОу.

Линиями уровня обозначают глубину морей и высоту гор на географических картах. Аналогичные линии описывают распределение тех или иных веществ в почве, распределение среднесуточной температуры и т. д.

3. Предел функции двух переменных.

Множество точек координаты которых удовлетворяют неравенству , или короче, ММ0, называется -окрестностью точки М0(x0;y0). Другими словами, -окрестность точки М0 – это все точки, лежащие внутри круга с центром М0 радиуса .

Определение. Число А называется пределом функции при стремлении точки М к точке М0(x0;y0) , что кратко записывается , если для любого числа существует такое число ,  что для всех точек М из области определения этой функции, удовлетворяющих условию  имеет место неравенство . Обозначают это так:

 или .

        Функция  называется бесконечно малой при  если .

        Все основные свойства о бесконечно малых и о пределах, установленных для функции одной переменной, обобщаются и на случай функций двух и большего числа переменных.

При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной, для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки .

Для функции двух переменных стремление к предельной точке  на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

Пример 1 . Найти .

Решение. Пусть стремление к предельной точке  происходит по прямой .

Тогда

.

Предел, очевидно, не существует, так как число  зависит от .

Пример 2.  Найти .

Решение. По любой прямой  предел один и тот же:

.

        С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда

;

следовательно, предел не существует.

4. Непрерывность функций двух переменных.

        Пусть дана функция  с областью определения G и пусть  – предельная точка множества G.

        Определение. Говорят, что функция  непрерывна в точке , если:

1)     ;

2)     , т.е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим , .  Полным приращением функции  при переходе от точки М0 к точке М называется разность значений функции в этих точках, а именно:  .

Определение. Говорят, что функция   непрерывна в точке , если выполняется равенство

.

Пример 1. Функция  непрерывна в любой точке плоскости хОу, так как при любых значениях х и у величина

стремиться к нулю при .

Свойства непрерывных функций:

Если функции  и  непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции , , а если , то и функция .

5. Частные производные функции нескольких переменных.

        Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными).

        Рассмотрим функцию двух независимых переменных . Придадим аргументу х приращение , оставляя у неизменным. В этом случае функция получит частное приращение .

Определение. Предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующего аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю

 называется частной производной от z по х и обозначается следующим образом:

; ; .

Аналогично определяется частная производная по  и вводятся ее обозначения:

; ; .

        Функция трех независимых переменных имеет три частные производные первого порядка: , , .

Пример 1. Найти частные производные  и   следующей функции двух переменных:  .

Решение. Так как частные приращения функции получаются при изменении только одного аргумента, то для нахождения частной производной пользуются правилами дифференцирования функций одной переменной. При нахождении производной данной функции по переменной х считаем постоянной величину у; при дифференцировании по у постоянной будем считать х:

у-const — ; x-const .

        Как уже отмечалось полным приращением функции  при переходе от точки М0 к точке М называется выражение:  . Если данное приращение можно представить в виде:

,

где А и В не зависят от  и , а  и  стремятся к нулю при стремлении к нулю  и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть  приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается :

.

        Для независимых переменных  и  полагают  и . Поэтому полный дифференциал записывают также в виде

,

где А и В можно найти по формулам:   ; .

Пример 2. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Находим частные производные:

у-const ;

x-const .

Полный дифференциал данной функции равен:

.

        При достаточно малых  и  для дифференцируемой функции  справедливы приближенные равенства:

 и ,

поэтому полным дифференциалом функции двух переменным можно пользоваться при приближенных вычислениях приращений функций, используя формулу:

      (1)

Пример 3.  Вычислить приближенное значение:

Решение. Рассмотрим функцию  и две точки М(1,08; 3,96) т М0(1;4). , =0,08, =-0,04

Найдем значения частных производных в точке М0(1;4).

у-const  и  ;     x-const  и .

Подставляя в формулу 1,  найдем значение :

.

6. Частные производные высших порядков.

        Частные производные функций нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции  двух независимых переменных можно определить четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

;

; .

Частные производные , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка. 

Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Найдем частные производные первого порядка

у-const  ; х-const  .

Таким образом, частные производные второго порядка будут равны:

у-const    ;

06. Дифференцирование сложных и неявных функций. Сложные функции одной и нескольких переменных

1°. Пусть и в свою очередь, .

Теорема 9.5. Если функции дифференцируемы в точке , то для производной сложной функции одной переменной справедлива формула

или

. (6.1)

В частности, если T Совпадает, например, с переменной , то и “полная” производная функции И По равна

. (6.2)

2°. Пусть и, в свою очередь, , .

Теорема 9.6. Если функции дифференцируемы в точке , а функция F дифференцируема в точке , то сложная функция M переменных дифференцируема в точке N и справедливы формулы:

, (6.3)

При этом частные производные функции U по вычислены в точке М, а частные производные функций По (L=1,2,…,M) вычислены в точке N.

Выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет вид (5.4) (

Пример 8. Найти , если , где .

Ñ По формуле (6.1) имеем . #

Пример 9. Найти производную функции .

Ñ Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для функции одной переменной.

Второй способ. Функция U(T) есть результат образования сложной функции при подстановке в функцию вместо X и Y двух одинаковых функций переменой T: . Тогда по формуле (6.1): + получаем =
+.#

Пример 10. Найти и , если , где Y = sin2X.

Ñ Имеем . По формуле (6.2) получим = .#

Пример 11. Найти , если , где , .

Ñ — сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по формулам (6.3) получим: ;

; ,

, ,

.#

Лекция 24 Дифференцируемость функции нескольких переменных

Лекция 24. Дифференцируемость функции нескольких переменных.

П 1.Частные производные.

ОПР. Частной производной функции по переменной в точке

называют производную функции

по переменной : .

ПРАВИЛО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.

Для нахождения частной производной по какой – либо переменной необходимо совершать привычные действия дифференцирования по этой переменной, полагая остальные переменные постоянными.

ПРИМЕР 1. Найти частные производные по переменным и функции в произвольной точке .

РЕШЕНИЕ. .

Существование частных производных у функции в какой – то точке еще не гарантирует даже ее непрерывность в этой точке.

ПРИМЕР 2. Функция разрывна в точке , хотя имеет в этой точке частные производные по обоим переменным (равные нулю).

В дальнейшем для краткости записи , если не оговорено противное, рассматриваются функции двух переменных.

ОПР. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

, где А и В – константы, — бесконечно

малая более высокого порядка , чем .

Функции можно придать вид ,

где бесконечно малые функции в точке (0,0).

Действительно, , где

— бесконечно малая функция,

— ограниченные функции : , .

Тогда и — бесконечно малые функции (0,0).

Определение дифференцируемости перефразируем так : Функция называется дифференцируемой в точке ,если ее приращение можно представить в виде , где А и В – константы, , — бесконечно малые функции (0,0).

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что дифференцируемая функция в точке непрерывна в этой точке.

ТЕОРЕМА 1. ( Необходимое условие дифференцируемости)

Если функция дифференцируема в точке , то она имеет частные производные в этой точке и А=, В=.

ДОК. При отношение имеет предел при равный А. При отношение имеет предел при равный В.

ТЕОРЕМА 2. (Достаточные условия дифференцируемости)

Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности ,

которые непрерывны в точке , то функция дифференцируема в точке.

ДОК. Представим приращение функции в виде

. По теореме о среднем для производной (Лагранжа ) по каждой переменной и

. Из непрерывности частных производных в точке следует, что при достаточно малых и : и . Объединяя выражения, получим ()()=

+, т.е. функция дифференцируема.

П 2. Частные производные сложных функций.

Если функция дифференцируема в точке , а x и y являются в свою очередь дифференцируемыми функциями переменных u и v: , в точке , причем , , то может быть рассмотрена сложная функция .

ТЕОРЕМА 3. Сложная функция дифференцируема в точке и ее частные производные вычисляются по формулам : , .

( производные вычисляются в соответствующих точках и ).

ДОК. +, где функции и являются бесконечно малыми при и . Тогда, по определению, сложная функция дифференцируема и ее частные производные равны коэффициентам при линейных по и членах представления приращения .

ПРИМЕР 3. Введя новые переменные решить дифференциальное уравнение : .

РЕШЕНИЕ. , .

Тогда и решениями являются , где — произвольная дифференцируемая функция.

П.3 Полный дифференциал функции нескольких переменных.

ОПР. Полным дифференциалом функции называется главная линейная часть приращения функции : .

Если функция дифференцируема в точке , то по теореме 1 константы А и В сохраняют смысл значений частных производных функции в точке . Если переменную xрассматривать как линейную функцию , то . По аналогии, .

Тогда полный дифференциал функции примет форму

.

Эта форма записи дифференциала сохраняется, если x и y являются не независимыми переменными, а функциями переменных u и v . Действительно, по теореме 3

.

Это свойство называется инвариантностью формы полного дифференциала.

Если в формуле для приращения функции пренебречь слагаемыми более высокого порядка малости , чем , то можно получить приближенную формулу для вычисления значения функции : .

ПРИМЕР 4. Вычислить приближенно значение .

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим функцию . Тогда есть значение функции при и . Выбираем и . Частные производные , . Тогда по приближенной формуле :

.

Полный дифференциал используют при вычислении линейной ошибки при измерениях.

Если вычисления производятся по формуле , где x и y величины, полученные в результате измерения с ошибками соответственно, то величина является ошибкой вычисления по неточным данным. Линейным приближением для является

дифференциал , который называется линейной ошибкой.

ПРИМЕР 5. Длина x, ширина yи высота z прямоугольного параллелепипеда оказались равными : , , (в метрах). Ошибка прибора для вычисления длины и ширины составляет м., а высоты м. Какова линейная ошибка вычисления объема параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ. . , , Тогда линейная ошибка м³.

Действие дифференциала на арифметические операции над функциями аналогичны действию дифференциалов на функции одной переменной.

1) , 2) , 3)

П 4. Производная неявной функции.

ОПР. Уравнение задает функцию одной переменной на отрезке [a;b] неявно, если точка для всех и .

ФОРМУЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ неявной функции одной переменной.

Если уравнение задает неявную функцию , , и функция дифференцируема в точке , причем , то

.

ДОК. .

ОПР. Уравнение задает функцию в области неявно, если точка для все и .

ФОРМУЛА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ неявной функции.

Если уравнение задает функцию в области неявно , , функция дифференцируема в точке , причем , то , .

ДОК.

.

П. 5. Производная по направлению, градиент функции.

Рассмотрим приращение функции в направлении единичного вектора : .

ОПР. Производной функции в точке в направлении вектора называют число .

ФОРМУЛА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ по направлению.

Если функция дифференцируема в точке , то

.

ДОК. =.

ОПР. Вектор , компоненты которого равны частным производным функции , называется градиентом функции в точке .

Тогда производная по направлению равна скалярному произведению вектора градиента на единичный вектор направления . Из такого представления производной следует, что градиент указывает направление , в котором функция быстрее всего растет и указывает наибольшее значение производной.

Если уравнение задает поверхность в пространстве и дифференцируемая кривая на этой поверхности : для , то

, где — касательный вектор к кривой . Таким образом, вектор градиента функции в точке перпендикулярен касательному вектору к любой кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, вектор градиента является нормальным вектором к касательной плоскости к поверхности в точке .

УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ.

.

УРАВНЕНИЕ НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ.

.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Понятие частной производной функции нескольких переменных, понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое условие дифференцируемости.

2) Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.

3) Частные производные сложной функции.

4) Полный дифференциал, инвариантность формы полного дифференциала.

Приложение понятия полного дифференциала.

5) Производная неявной функции, производная функции по направлению. Градиент,

уравнение касательной и нормали к поверхности.

14.1: Функции нескольких переменных

Определение функции двух переменных очень похоже на определение функции одной переменной. Основное отличие состоит в том, что вместо сопоставления значений одной переменной значениям другой переменной мы сопоставляем упорядоченные пары переменных с другой переменной. 2} \)

Решение

а.2 \). Чтобы определить диапазон, сначала выберите значение z . Нам нужно найти решение уравнения \ (f (x, y) = z, \) или \ (3x − 5y + 2 = z. \). Одно такое решение можно получить, сначала положив \ (y = 0 \ ), что дает уравнение \ (3x + 2 = z \). Решением этого уравнения является \ (x = \ dfrac {z − 2} {3} \), что дает упорядоченную пару \ (\ left (\ dfrac {z − 2} {3}, 0 \ right) \) как решение уравнения \ (f (x, y) = z \) для любого значения \ (z \). Следовательно, диапазон функции — это все действительные числа или \ (R \).

г.2} \) с центром в начале координат. Любая точка на этой окружности удовлетворяет уравнению \ (g (x, y) = c \). Следовательно, диапазон этой функции можно записать в интервальной записи как \ ([0,3]. \)

Calculus II — Функции нескольких переменных