ЯКОБИАН — это что такое ЯКОБИАН
функциональный определитель ∣aik∣1n с элементами yi = fi (X1,…, Xn), l ≤ i ≤ n, — функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:
.
Введён К. Якоби (1833, 1841). Если, например, n = 2, то система функций
y1 = f1 (. x1, x2), y2 = f2(x1, x2) (1)
задаёт отображение области Δ, лежащей на плоскости x1, x2, на часть плоскости y1, y2.Роль Я. для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной.
Например, абсолютное значение Я. в некоторой точке М равно коэффициенту искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Я. в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае. Если Я. не обращается в нуль в области Δ и φ (y1, у2) — функция, заданная в области Δ1 (образе Δ), то
(формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов (См. Кратный интеграл). Если Я. отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение
x1 = φ1(y1, y2), x1 = φ2(y1, y2),
причём
(аналог формулы дифференцирования обратной функции).
Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных функций (См. Неявные функции). Для возможности явного выражения в окрестности точки М (x1(0),…, xn (0, y1(0),…, ym (0)) функций y1,…, ут, неявно заданных уравнениями Fk (x1,…, xn, y1,…, ум) = 0, (2)
1 ≤ k ≤ m,
достаточно, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнениям (2), функции Fk имели непрерывные частные производные и Я.
был отличен от нуля в точке М.
Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.
Якобиан.
Пусть
–
-мерная
вектор-функция
переменных, дифференцируемая в точке
.
В данном случае производная матрица
является квадратной, размера .
Для такой матрицы может быть вычислен
определитель. Этот определитель называется якобианом и обозначается .
Примеры. 1. Сосчитаем якобиан перехода от полярных координат к декартовым координатам. Напомним формулы: . Имеем .
. Имеем .
Касательная плоскость к поверхности, заданной параметрически.
Мы уже знаем, что касательная плоскость к поверхности, заданной явно в виде , в точке имеет уравнение .
Пусть теперь та же поверхность задана параметрически:
где – параметры, причем и .
В соответствии с явным и параметрическим заданиями одной и той же поверхности имеем . Это значит, что мы имеем суперпозицию функции двух переменных и вектор-функции . Поэтому производная матрица-строка равна произведению матрицы-строки на квадратную матрицу . Сравнивая элементы одинаковых матриц, получим
Последние соотношения
можно рассматривать как систему
относительно и .
Система с ненулевым главным определителем
имеет единственное решение, которое
можно найти с помощью правила Крамера: .
Подставляя полученные частные производные в уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной в явном виде, получим уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной параметрически:
Производная по направлению.
Случай функции двух переменных . Направление задается вектором. Выберем единичный вектор, задающий направление на плоскости: . Этот вектор образует угол с положительным направлением оси OX. Производной функции двух переменных по направлению называется выражение .
Случай функции трех переменных . Пусть задан единичный вектор , образующий углы с осями OX, OY и OZ, соответственно. Если обозначить координаты вектора через , то по формуле косинуса угла между двумя векторами и получим . Аналогично, . Таким образом, единичный вектор, образующий углы с осями OX, OY и OZ, имеет координаты .
Производной функции трех переменных
по направлению
называется выражение
Производной функции трех переменных
по направлению
называется выражение.
Частные производные высших порядков.
Любая частная производная функции переменных сама также является функцией переменных. Частная производная от частной производной функции многих переменных называется частной производной второго порядка функции . При этом, если переменные, по которым берутся производные сначала от функции , а затем от функции , не совпадают, такая частная производная называется смешанной. Обозначения частной производной второго порядка: . В том случае, когда и – непрерывные функции в окрестности некоторой точки, в этой точке.
Аналогично вводятся частные производные любого порядка.
Дифференциалы высших порядков.
По аналогии с
производными вводятся дифференциалы
высших порядков, то есть дифференциалы
от дифференциалов. Рассмотрим функцию
трех переменных .
Дифференциалом этой функции является
выражение .
Заметим, что входящие в последнее
выражение производные – функции от ,
а дифференциалы переменных не зависят
от
.
Поэтому при условии непрерывности
смешанных производных дифференциал
второго порядка имеет вид
.
В последней формуле мы воспользовались свойством равенства смешенных производных. Нетрудно видеть, что формула дифференциала второго порядка аналогична формуле второй степени суммы трех слагаемых. Нетрудно сосчитать дифференциалы второго и третьего порядков функции двух переменных : ,
.
Формула Тейлора для функции многих переменных.
Как и в случае функций одной переменной, для функций многих переменных формула Тейлора дает связь между приращением функции в точке и ее дифференциалами в этой же точке:
где .
В частности, для функции двух переменных имеем:
Здесь .
Локальный экстремум функции многих переменных.
Точкой локального
экстремума функции называется такая точка
,
для которой в области
существует окрестность, в которой
разность не меняет знак.
В частности, точка
является точкой минимума, если ,
и точка
является точкой максимума, если .
Необходимое условие локального экстремума.
Пусть – точка экстремума, и функция дифференцируема в точке . Рассмотрим функцию одной переменной , где – любое натуральное число между 1 и . Эта функция имеет точкой экстремума точку , и значит, . Следовательно, необходимым условием экстремума функции многих переменных в точке , где она дифференцируема, является следующее условие: . Точка, в которой все частные производные первого порядка данной функции равны нулю, называется критической точкой этой функции.
Достаточное условие локального экстремума.
Выполнение
необходимого условия экстремума не
обязательно обеспечивает действительное
наличие экстремума в точке, то есть,
критическая точка функции может не быть
точкой локального экстремума. В качестве
примера рассмотрим функцию двух
переменных
.
Критической точкой для этой функции
является точка (0,0).
hypar.wxm
Для того чтобы выяснить, достигается ли в критической точке экстремум и какой, следует обратиться к дифференциалу второго порядка в этой точке. Итак, пусть – критическая точка для функции многих переменных . В этом случае . В соответствии с формулой Тейлора
где .
Поэтому знак разности в окрестности точки определяется знаком дифференциала второго порядка в точке при всевозможных малых приращениях .
Рассмотрим случай . Пусть критическая точка имеет координаты . Рассмотрим приращение функции в окрестности этой точки:
Если при любом
сочетании бесконечно малых приращений выражение в квадратных скобках не меняет
знак, то данная критическая точка
является точкой локального экстремума.
Вынесем за квадратную скобку множитель .
Знак приращения функции совпадает со
знаком квадратного трехчлена относительно .
Как известно, квадратный трехчлен не
меняет знак в том случае, если не имеет
корней, то есть если его дискриминант
отрицателен.
— Что такое матрица Якоби?
Вот пример . Предположим, у вас есть две неявные дифференцируемые функции
$$F(x,y,z,u,v)=0,\qquad G(x,y,z,u,v)=0$$
и функции, также дифференцируемые, $u=f(x,y,z)$ и $v=g(x,y,z)$ такие что
$$F(x,y,z,f(x,y,z),g(x,y,z))=0,\qquad G(x,y,z,f(x,y, z),g(x,y,z))=0.$$
Если вы продифференцируете $F$ и $G$, вы получите
\begin{eqnarray*}
\ гидроразрыва {\ парциальное F} {\ парциальное х} + \ гидроразрыва {\ парциальное F} {\ парциальное и} \ гидроразрыва {\ парциальное и} {
\partial x}+\frac{\partial F}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} &=&0\qquad
\\
\ гидроразрыва {\ парциального G} {\ парциального х} + \ гидроразрыва {\ парциального G} {\ парциального и} \ гидроразрыва {\ парциального и} {
\partial x}+\frac{\partial G}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} &=&0.
\end{выравнивание*}
Решив эту систему, вы получите
$$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\det \begin{pmatrix} \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{pmatrix}}{\det \begin{pmatrix} \ гидроразрыва {\ парциальное F} {\ парциальное и} & \ гидроразрыва {\ парциальное F} {\ парциальное v} \\ \ гидроразрыва {\ парциальное G} {\ парциальное и} & \ гидроразрыва {\ парциальное G} {\ парциальное v} \end{pmatrix}}$$
и аналогичные для $\dfrac{\partial u}{\partial y}$, $\dfrac{\partial u}{\partial z}$, $\dfrac{\partial v}{\partial x}$, $\dfrac{\partial v}{\partial y}$, $% \dfrac{\partial v}{\partial z}$. Компактное обозначение знаменателя
$$\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\det \begin{pmatrix} \ гидроразрыва {\ парциальное F} {\ парциальное и} & \ гидроразрыва {\ парциальное F} {\ парциальное v} \\ \ гидроразрыва {\ парциальное G} {\ парциальное и} & \ гидроразрыва {\ парциальное G} {\ парциальное v} \end{pmatrix}$$
и аналогичные для числителя.
$$\dfrac{\partial u}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}}{% \dfrac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}}$$
, где $\dfrac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)},\dfrac {\ частичное (F, G)} {\ частичное (u,v)}$ равно 93$ этот коэффициент измеряет искажение единичного объема и т.д. cos v}$$
$$y=\frac{\sin v}{\cos u}$$
преобразует (см. мой вопрос) квадратную область $0\lt x\lt 1$ и $0\lt y\lt 1$ в треугольную область $u,v>0,u+v<\pi /2$ (в Доказательствах из КНИГИ М. Айгнера и Г. Циглера). 9{2}.$$
Якобиан Знак и ориентация замкнутых кривых . Предположим, у вас есть две маленькие замкнутые кривые, одна вокруг $(x_0,y_0)$, а другая вокруг $u_0,v_0$, эта кривая является изображением первой при отображении $u=f(x,y),v=g (х, у) $. Если знак $\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ положительный, то обе кривые будут проходиться в одном и том же направлении. Если знак отрицательный, они будут иметь противоположные значения.
исчисление — В чем разница между производной (якобианом) и дифференциалом? 92$.
Однако, если $f$ считать «отображением», то равен ли дифференциал отображения $\mathrm{d}f$ якобиану $J$?
Судя по некоторым ответам, я принял некоторые вещи как должное (общеизвестные или общеизвестные). Более того, кажется, что существует путаница между дифференциалом, производной и их обозначениями.
Итак, во-первых, давайте согласимся, что дифференциал (полная производная) и производная (якобиан) — это , а не одно и то же:
Разница между дифференциалом и производной
https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_of_a_function
Далее, согласно Википедии, давайте договоримся об обозначениях. Каждое из $f'(x)$, $D f(x)$, $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ и $J$ относится к производной. Обозначение $\mathrm{d}f$ зарезервировано для обозначения дифференциала.
Теперь вернемся к моему вопросу.
По какой-то причине некоторые люди ошибочно используют термин «дифференциал отображения» для обозначения производной, как будто они не различают производную и дифференциал:
https://en.wikipedia.org/wiki/Pushforward_(дифференциал)#The_ Differential_of_a_smooth_map
Дифференциал карты
Мой вопрос: Что с этим не так и что я упускаю?
Почему это важно: долгое время я не понимал, что такое дифференциал. Это стало проблемой, когда я использовал матричное исчисление для вычисления гессиана матричной функции. Книга Матричное дифференциальное исчисление с приложениями в статистике и эконометрике все прояснил для меня. Он правильно и отчетливо определяет якобиан, градиент, гессиан, производную и дифференциал. Различие между якобианом и дифференциалом имеет решающее значение для процесса дифференцирования матричной функции и идентификации якобиана (например, первая идентификационная таблица в книге).
На данный момент я немного раздражен (на себя), что раньше я писал вещи (которые уже слишком поздно исправлять) и слепо (полагаясь на предыдущую работу) использовал термин «дифференциал отображения». Итак, в настоящее время я либо ищу какое-то оправдание этому неправильному названию, либо иным образом предлагаю сообществу пересмотреть его.
Я пытался найти виновника этой «странной моды» и дошел до библии дифференциальной геометрии. Глядя на ду Кармо, определение 1 в приложении к главе 2, стр. 128 (стр. 127 в первом издании), определение $dF_p$ подходит (кроме грамматики): это линейная карта, связанная с каждой точкой области.
Но затем, в примере 10 (стр. 130), он использует одно и то же обозначение для обозначения как якобиана, так и дифференциала. (Вероятно, это и имел в виду Ульрих, говоря почти то же самое.)
Точнее, он «применяет его дважды»: один раз для получения якобиана и один раз для получения дифференциала. Он использует $df(\cdot)$ для обозначения якобиана, нелинейного отображения в матричную цель, и $df_{(\cdot)}(\cdot)$ для обозначения дифференциала, линейного отображения в векторную цель.
, и он называет оба дифференциала. 9{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}$:
$f(X) = tr AX$
Я бы использовал дифференциальный оператор:
$df(X; dX) = tr AdX$
И из таблицы идентификации Якоби (Magnus19) я получу:
$Df(X) = A’$
Обратите внимание, что дифференциал больше не является тривиальной линейной картой.
Это также ведет к другому пункту. Дифференциал имеет смысл линейной аппроксимации. По сути, это означает изменение функции. Если это функция скалярного значения, изменение будет скалярным, и, следовательно, дифференциал (будет отображаться в скаляре). Если областью являются матрицы, то якобиан является матрицей (нелинейным отображением матриц в матрицы). Я определенно счел бы это запутанным, если бы кто-то относился к ним одинаково. 9{2 \times 2}$:
$f(X) = AX$
Используя дифференциальный оператор:
$df(X; dX) = AdX$
$vec\ df(X; dX) = ( I_2 \otimes A) vec\ dX$
Из таблицы идентификации Якоби:
$Df(X) = I_2 \otimes A$
В этом случае я не уверен, что буду рассматривать дифференциал $df$ и якобиан $Df$ почти одно и то же (я не очень хорошо разбираюсь в тензорах).