Что такое система счисления основание: § 1.1. Системы счисления

Лекция на тему: Системы счисления

Лекция 2

Тема: Системы счисления. Что такое?

Система счисления — это способ записи (представления) чисел.

Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. Для этого можно — загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево — один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру — палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочки.

Системы счисления подразделяются на: позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные. Запишем

Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда).

То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.

Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления — позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3. Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.
Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем опять же 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.

Непозиционные системы: единичная

Как только люди научились считать — возникла потребность записи чисел. В начале все было просто — зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления — единичная.

Единичная система счисления

Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек. Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек.

Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.
Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Позиционные системы счисления 2-я, 8-я, 10-я, 16-я.

Десятичная система счисления

Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.

Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас — позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10² + 0*10¹ + 3*10⁰ = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 503₁₀.

Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.

Двоичная система счисления

Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу — сложные верёвочные сплетения и узелки.

Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра — либо 0, либо 1.

Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 101

2 = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 4+0+1 = 5₁₀.

Восьмеричная система счисления

8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.

Пример восьмеричного числа: 254. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд исходного числа умножить на 8ⁿ, где n — это номер разряда. Получается, что 254₈ = 2*8² + 5*8¹ + 4*8⁰ = 128+40+4 = 172₁₀.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF — белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.

В качестве примера возьмем число 4F5₁₆. Для перевода в восьмеричную систему — сначала преобразуем шестнадцатеричное число в двоичное, а затем, разбив на группы по 3 разряда, в восьмеричное. Чтобы преобразовать число в 2-е необходимо каждую цифру представить в виде 4-х разрядного двоичного числа. 4F5₁₆ = (100 1111 101)₂. Но в 1 и 3 группах не достает разряда, поэтому заполним каждый ведущими нулями: 0100 1111 0101. Теперь необходимо разделить полученное число на группы по 3 цифры справа налево: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Переведем каждую двоичную группу в восьмеричную систему, умножив каждый разряд на 2ⁿ, где n — номер разряда: (0*2²+1*2¹+0*2⁰) (0*2²+1*2¹+1*2

0) (1*2²+1*2¹+0*2⁰) (1*2²+0*2¹+1*2⁰) = 2365₈.

Для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа — 0 и 1?

Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое — единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр — группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров — это оперативная память. Число, содержащееся в регистре — машинное слово.

Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа — достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах,поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто.

Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой — по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими.

В качестве примера возьмем число 101100₂. В восьмеричной — это 101 100 = 54₈, а в шестнадцатеричной — 0010 1100 = 2С₁₆. Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране.

Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.

Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:

1) Троичная

2. Четверичная

3. Двенадцатеричная

Перевод из одной системы счисления в другую

Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.

Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную.

Возьмем двоичное число 10011110₂, для перевода в восьмеричное — разобьем его справа налево на группы по 3 цифры: 010 011 110, теперь умножим каждый разряд на 2ⁿ, где n — номер разряда, 010 011 110₂ = (0*2²+1*2¹+0*2⁰) (0*2²+1*2¹+1*2⁰) (1*2²+1*2¹+0*2⁰) = 236₈. Получается, что 10011110₂ = 236₈. Для однозначности изображения двоично-восьмеричного числа его разбивают на тройки: 236₈ = (10 011 110)_2-8.

Преобразование в десятичную систему счисления

Имеется число А₁А₂А₃ в системе счисления с основанием b. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд числа умножить на bⁿ, где n — номер разряда. Таким образом,

(А₁А₂А₃)_b = (a₁*b² + a₂*b¹ + a₃*b⁰)₁₀.

Пример: 101₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 4+0+1 = 5₁₀

Преобразование из десятичной системы счисления в другие

Целая часть:

1. Последовательно делим целую часть десятичного числа на основание системы, в которую переводим, пока десятичное число не станет равно нулю.

2. Полученные при делении остатки являются цифрами искомого числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.

Дробная часть:

1. Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.

2.Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.

Пример: переведем 15₁₀ в восьмеричную:

15\8 = 1, остаток 7

1\8 = 0, остаток 1

Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 15₁₀ = 17₈.

Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

Для перевода в восьмеричную из двоичной — разбиваем двоичное число на группы по 3 цифры справа налево, а недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями. Далее преобразуем каждую группу, умножая последовательно разряды на 2ⁿ, где n — номер разряда.

В качестве примера возьмем число 1001₂: 1001₂ = 001 001 = (0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰) (0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰) = (0+0+1) (0+0+1) = 11₈
Для перевода в шестнадцатеричную из двоичной — разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем — аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.

1001₂ = 0000 1001 = (0*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2⁰) (1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰) = (0+0+0+0) (8+0+0+1) = 9₁₆

Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

Перевод из восьмеричной в двоичную — преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число по коду.

0 = 0000; 1 = 0001; 2 = 0100; 3 = 0011; 4 = 0100; 5 = 1001; 6 = 0110; 7 = 0111; 8 = 1000; 9 = 1001; А = 1010; B = 1011; C = 1100; D = 1101; E = 1110; F = 1111

Для примера рассмотрим число 45₈: 45 = (100) (101) = 100101₂

Перевод из 16-ой в 2-ю — преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.

Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную

Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.

Пример: 101,011₂ = (1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰), (0*2^-1 + 1*2^-2 + 1*2^-3) = (5), (0 + 0,25 + 0,125) = 5,375₁₀

Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую

Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.

Пример: 1001,01₂ = 001 001, 010 = (0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰) (0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰), (0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2₈

Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.

Для примера переведем 10,625₁₀ в двоичную систему:
0,625*2 = 1,25

0,250*2 = 0,5

0,5*2 = 1,0

Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,625₁₀ = (1010), (101) = 1010,101₂

Простая информатика — Система счисления

Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков – цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления – это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. А во второй – I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:

11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1.
 II – здесь обе единицы обозначают единицу.

345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50, а в третьем – 500.

XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел). 

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.

Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.

Разряд — это позиция цифры в числе. Разрядность числа — количество цифр, из которых состоит число (например, 264 — трехразрядное число, 00010101 — восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка — третий).

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления. (придумать схему)

Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни. 

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:
 0 – это ноль
 1 – это один (и это предел разряда)
 10 – это два
 11 – это три (и это снова предел)
 100 – это четыре
 101 – пять
 110 – шесть
 111 – семь и т.д.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные. 

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 — это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

10001001₂ = 13710
Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.
Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)
 38 / 2 = 19 (0 остаток)
 19 / 2 = 9 (1 остаток)
 9 / 2 = 4 (1 остаток)
 4 / 2 = 2 (0 остаток)
 2 / 2 = 1 (0 остаток)
 1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Восьмеричная система счисления

Итак, современное «железо понимает» лишь двоичную систему счисления. Однако человеку трудно воспринимать длинные записи нулей и единиц с одной стороны, а с другой – переводит числа из двоичной в десятичную систему и обратно, достаточно долго и трудоемко. В результате, часто программисты используют другие системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. И 8 и 16 являются степенями двойки, и преобразовывать двоичное число в них (так же как и выполнять обратную операцию) очень легко.

В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствуют набор из трех цифр в двоичной системе счисления:

000 – 0
 001 – 1
 010 – 2
 011 – 3
 100 – 4
 101 – 5
 110 – 6
 111 – 7

Для преобразования двоичного числа в восьмеричное достаточно разбить его на тройки и заменить их соответствующими им цифрами из восьмеричной системы счисления. Разбивать на тройки нужно начинать с конца, а недостающие цифры в начале заменить нулями. Например:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Т.е число 1011101 в двоичной системе счисления равно числу 135 в восьмеричной системе счисления. Или 1011101₂ = 1358.

Обратный перевод. Допустим, требуется перевести число 1008 (не заблуждайтесь! 100 в восьмеричной системе – это не 100 в десятичной) в двоичную систему счисления.

100₈ = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002 

Перевод восьмеричного числа в десятичное можно осуществить по уже знакомой схеме:

6728 = 6 * 8² + 7 * 8¹ + 2 * 8⁰ = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
 1008 = 1 * 8² + 0 * 8¹ + 0 * 8⁰ = 6410

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления, так же как и восьмеричная, широко используется в компьютерной науке из-за легкости перевода в нее двоичных чисел. При шестнадцатеричной записи числа получаются более компактными.

В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). 

При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системе счисления:

Например:
 10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

Если потребуется, то число 4C5 можно перевести в десятичную систему счисления следующим образом (C следует заменить на соответствующее данному символу число в десятичной системе счисления – это 12):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Максимальное двухразрядное число, которое можно получить с помощью шестнадцатеричной записи — это FF.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255 

255 – это максимальное значение одного байта, равного 8 битам: 1111 1111 = FF. Поэтому с помощью шестнадцатеричной системы счисления очень удобно кратко (с помощью двух цифр-знаков) записывать значения байтов. Внимание! Состояний у 8-ми битного байта может быть 256, однако максимальное значение – 255. Не забывайте про 0 – это как раз 256-е состояние

Унарная система счисления

Определение 1

Унарная система счисления — это непозиционная система счисления, состоящая из одной цифры, которая обозначает единицу.

Введение

Ещё с древности человека стали интересовать числа. Люди подсчитывали число дней в году, количество созвездий в небе, различные финансовые траты на сооружение строений, обустройство дорог и тому подобное. Без всякой натяжки возможно считать, что цифры заложены в основание жизнедеятельности человека практически любого вида. Для выполнения каких-либо математических расчётов, нужно обладать соответствующей системой и научиться её использовать.

Определение 2

Под системой счисления понимается набор символов и законов формирования на их базе числовых значений и осуществления арифметических действий.

Таким образом, применяя систему счисления, возможно производить разные вычислительные процедуры и в финале сформировать итог разрешения сформулированной задачи в форме числового значения. Очень важна в разных системах счисления форма выражения числовых значений. Можно разделить возможные форматы чисел на позиционные и непозиционные.

Для позиционного представления чисел, вес каждой цифры определяется её позицией в числовом выражении. Для непозиционного формата числа положение цифры в общем «списке» символов числа не имеет значения.

К примеру, общепринятая десятичная форма представления числа — это позиционная система. Например, число 33 состоит из единиц и десятков. То есть первая слева тройка означает три десятка, а вторая тройка это три единицы. Классический пример непозиционной системы — это латинские цифровые обозначения. Например, число «XVIII» расшифровывается как сумма всех входящих в него знаков. То есть: X + V + I + I + I = 18. В такой системе меняется лишь знак операции (сложение или вычитание) при подсчёте суммарного значения. Если меньшая цифра стоит перед большей, то она из неё вычитается. К примеру, XI = X + I = 11, но IX = X — I = 9, в данном случае буквы «X» и «I» обозначают цифры 10 и 1 соответственно.

Унарная система счисления

Определение 3

Под унарной системой счисления понимается метод отображения числовых значений, основанный на единственном цифровом символе.

Выходит, что она является наиболее простой системой счисления из всех ныне известных и существующих. Термин унарная происходит от латинского unum — «один» и как раз и означает наличие в основании всего одной цифры. Эту цифру в качестве примера обозначим как символ «|». Для представления какого-либо числа компонентов N в унарной системе счисления, необходимо просто в ряд записать необходимое количество выбранного цифрового символа. К примеру, число восемь будет выглядеть так: IIIIIIII.

Приведённый пример с очевидностью показывает, что при возрастании числа компонентов, нужно будет для их отображения записать большое количество символов, что конечно не очень удобно. По этой причине были придуманы разные методы, позволяющие упростить представление чисел в унарной системе счисления. Один из таких распространённых способов считается отображение пятёрками. Имеется ввиду группирование пяти компонентов соответствующим образом с применением «палочек». Например, во Франции и Бразилии эта группа чисел представлена в виде квадрата с диагональю: «|» — это число один, «L» (две «палочки») — число два, «U» (три «палочки») – число три, проведя черту сверху «U», получаем квадрат (число 4), наконец, «|», используемая в качестве диагонали квадрата, будет заканчивать формирование цифры пять.

Согласно данным историков, неизвестны древние цивилизации, которые бы применяли такую примитивнейшую систему для вычислительных операций, однако подтверждён такой факт, что унарная система счисления была положена в основу почти всех представлений о числах в древние времена. В качестве примера можно взять древний Египет. Там унарную систему применяли, чтобы считать от одного до десяти, а далее прибавляли новое обозначение для десятков и считали дальше, суммируя палочки. Когда счёт достигал сотен, опять применялся новый необходимый знак, и продолжали далее. Римская система тоже в своей основе имела унарную систему. Правильность такого вывода можно подтвердить, взглянув на первые три цифры: I, II, III. Истоки унарных систем счисления можно найти и у цивилизаций востока. Например, чтобы посчитать что-либо древние китайцы, японцы и корейцы по аналогии с римской системой, вначале применяли унарные методы счёта, а впоследствии добавляли новую символику.

Примеры применения унарной системы

Невзирая на очень простую структуру, унарные принципы используются и сегодня при осуществлении определённого класса вычислительных процедур. Обычно, эта система обнаруживает свою простоту и полезность в применении в тех случаях, когда не имеет значения финальное число компонентов, и требуется производить процесс счёта просто путём прибавления или вычитания одного компонента. Можно привести следующие примеры использования унарной системы счисления:

1. Обычный процесс счёта на пальцах.
2. Подсчитывание числа людей, посетивших какую-то организацию за определённый временной интервал.
3. Операция подсчёта количества голосов на выборах в какую-либо структуру власти.
4. Первоклассников обучают процедуре счёта и простым арифметическим действиям как раз с применением унарной системы посредством разноцветных палочек.
5. В информационных дисциплинах унарная система счисления применяется для разрешения отдельных проблем, к примеру, вычислительной сложности. Чтобы это сделать, необходимо привести числовое значение к унарному виду, поскольку тогда его легко можно представить в виде составляющих элементов, каждый из которых можно обрабатывать параллельными вычислениями на компьютере.

Достоинства и недостатки унарных систем

Основное достоинство мы обозначили немного выше, и оно состоит в применении всего единственного знака («|») для выражения любого числа компонентов. Помимо этого, унарное представление чисел позволяет крайне просто производить арифметические операции. Однако недостатки унарной системы счисления имеют существенно больший вес, чем достоинства. Например, отсутствие ноля становится большой преградой для математических вычислений.

Лекция 3 Системы счисления

 3.1. Основные понятия систем счисления

 3.2. Виды систем счисления

 3.3. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

 3.4. Иллюстрированный вспомогательный материал

 3.5. Тестирование

 3.6. Контрольные вопросы

Разные народы в разные времена использовали разные системы счисления. Следы древних систем счета встречаются и сегодня в культуре многих народов. К древнему Вавилону восходит деление часа на 60 минут и угла на 360 градусов. К Древнему Риму — традиция записывать в римской записи числа I, II, III и т. д. К англосаксам — счет дюжинами: в году 12 месяцев, в футе 12 дюймов, сутки делятся на 2 периода по 12 часов.

По современным данным, развитые системы нумерации впервые появились в древнем Египте. Для записи чисел египтяне применяли иероглифы один, десять, сто, тысяча и т.д. Все остальные числа записывались с помощью этих иероглифов и операции сложения. Недостатки этой системы — невозможность записи больших чисел и громоздкость.

В конце концов, самой популярной системой счисления оказалась десятичная система. Десятичная система счисления пришла из Индии, где она появилась не позднее VI в. н. э. В ней всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 но информацию несет не только цифра, но также и место позиция, на которой она стоит. В числе 444 три одинаковых цифры обозначают количество и единиц, и десятков, и сотен. А вот в числе 400 первая цифра обозначает число сотен, два 0 сами по себе вклад в число не дают, а нужны лишь для указания позиции цифры 4.

3.1. Основные понятия систем счисления

Система счисления — это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ;;и т. д.

Различают два типа систем счисления:

позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д.

Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

где S — основание системы счисления;

— цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n — количество разрядов числа.

Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом:

3.2. Виды систем счисления

Римская система счисленияявляется непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква — V пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.

Таблица 2. Запись чисел в римской системе счисления

1	2	3	4	5
I	II	III	IV	V
6	7	8	9	10
VI	VII	VIII	IX	X
11	13	18	19	22
XI	XIII	XVIII	XIX	XXII
34	39	40	60	99
XXXIV	XXXIX	XL	LX	XCIX
200	438	649	999	1207
CC	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

 

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Десятичня система счисления– в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке — наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII — ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы — триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки — точки и тире, может передать практически любой текст.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.

Таблица 3. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
1	001	1	1
2	010	2	2
3	011	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Семеричная система счисления

Содержание:
Что такое семеричная система счисления
Как перевести целое десятичное число в семеричную систему счисления
Как перевести десятичную дробь в семеричную систему счисления
Как перевести число из семеричной системы счисления в десятичную
Как перевести дробное семеричное число в десятичное
Таблица значений десятичных чисел от 0 до 100 в семеричной системе счисления

Что такое семеричная система счисления

Семеричная система счисления, является позиционной системой счисления, то есть имеется зависимость от позиции цифры в записи числа. Для записи числа в семеричной системе счисления используется семь цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Для определения в какой системе счисления записано число, внизу, справа от числа ставят цифру, которая называется основанием системы счисления. Например, 116₇ или 6015₇

Если вам необходимо перевести число любой системы счисления в другую систему счисления, воспользуйтесь калькулятором систем счисления с подробным решением онлайн.

Как перевести целое десятичное число в семеричную систему счисления

Для того, чтобы перевести целое десятичное число в семеричную систему счисления нужно десятичное число делить на 7 до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.

Например, переведем число 129₁₀ в семеричную систему счисления:

129 : 7 = 18 остаток: 3
18 : 7 = 2 остаток: 4
2 : 7 = 0 остаток: 2

129₁₀ = 243₇

Как перевести десятичную дробь в семеричную систему счисления

Для того чтобы перевести десятичную дробь в семеричную систему счисления необходимо сначала перевести целую часть десятичной дроби в семеричную систему счисления, а затем дробную часть, последовательно умножать на 7, до тех пор, пока в дробной части произведения не получиться ноль (результатом произведения будет целое число) или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой. Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль. В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.

Например, переведем десятичное число 84.2₁₀ в семеричную систему счисления:

Переведем целую часть

84 : 7 = 12 остаток: 0
12 : 7 = 1 остаток: 5
1 : 7 = 0 остаток: 1

84₁₀ = 150₇

Переведем дробную часть

0.2 · 7 = 1.4
0.4 · 7 = 2.8
0.8 · 7 = 5.6
0.6 · 7 = 4.2
0.2 · 7 = 1.4
0.4 · 7 = 2.8
0.8 · 7 = 5.6
0.6 · 7 = 4.2
0.2 · 7 = 1.4
0.4 · 7 = 2.8

0.2₁₀ = 0.1254125412₇
84.2₁₀ = 150.1254125412₇

Семеричные дроби, как и десятичные могут быть как конечными, так и бесконечными. Не всегда конечная десятичная дробь может быть представлена конечной семеричной. В данном примере получается бесконечная периодическая семеричная дробь, поэтому умножение на 7 можно производить бесконечное число раз и все равно дробная часть частного не будет равна нулю. В данном случае десятичная дробь 84.2 не может быть точно представлена в семеричной системе счисления.

Как перевести число из семеричной системы счисления в десятичную

Для того, чтобы перевести число из семеричной системы счисления в десятичную систему счисления, необходимо записать позиции каждой цифры в числе с права на лево начиная с нуля. Каждая позиция цифры будет степенью числа 7, так как система счисления 7-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число на 7 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции. Например, переведем число 5601₇ в десятичную систему счисления:

Позиция в числе	3	2	1	0
Число	5	6	0	1

5601₇ = 5 ⋅ 7³ + 6 ⋅ 7² + 0 ⋅ 7¹ + 1 ⋅ 7⁰ = 2010₁₀

Как перевести дробное семеричное число в десятичное

Для того, чтобы перевести дробное семеричное число в десятичное, необходимо записать дробное семеричное число, убрав точку и затем сверху расставить индексы. Индексы в дробной части числа начинаются от -1 и продолжаются на уменьшение вправо, индексы в целой части начинаются с 0 и ставятся с права на лево по возрастанию. Каждая позиция цифры (индекс) будет степенью числа 7, так как система счисления 7-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число на 7 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.

Например, переведем дробное семеричное число 16.25₇ в десятичное:

Позиция в числе	1	0	-1	-2
Число	1	6	2	5

16.25₇ = 1 ⋅ 7¹ + 6 ⋅ 7⁰ + 2 ⋅ 7^-1 + 5 ⋅ 7^-2 = 13.3877551020408163265306122448₁₀

Таблица значений десятичных чисел от 0 до 100 в семеричной системе счисления

Значение числа в десятичной системе счисления	Значение числа в семеричной системе счисления
010	07
110	17
210	27
310	37
410	47
510	57
610	67
710	107
810	117
910	127
1010	137
1110	147
1210	157
1310	167
1410	207
1510	217
1610	227
1710	237
1810	247
1910	257
2010	267
2110	307
2210	317
2310	327
2410	337
2510	347
2610	357
2710	367
2810	407
2910	417
3010	427
3110	437
3210	447
3310	457
3410	467
3510	507
3610	517
3710	527
3810	537
3910	547
4010	557
4110	567
4210	607
4310	617
4410	627
4510	637
4610	647
4710	657
4810	667
4910	1007
5010	1017

Значение числа в десятичной системе счисления	Значение числа в семеричной системе счисления
5110	1027
5210	1037
5310	1047
5410	1057
5510	1067
5610	1107
5710	1117
5810	1127
5910	1137
6010	1147
6110	1157
6210	1167
6310	1207
6410	1217
6510	1227
6610	1237
6710	1247
6810	1257
6910	1267
7010	1307
7110	1317
7210	1327
7310	1337
7410	1347
7510	1357
7610	1367
7710	1407
7810	1417
7910	1427
8010	1437
8110	1447
8210	1457
8310	1467
8410	1507
8510	1517
8610	1527
8710	1537
8810	1547
8910	1557
9010	1567
9110	1607
9210	1617
9310	1627
9410	1637
9510	1647
9610	1657
9710	1667
9810	2007
9910	2017
10010	2027

Перевод чисел в системах счисления с кратными основаниями

Рассмотримправило перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную.

Для перевода восьмеричного числа в двоичную систему счисления достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующим трехразрядным двоичным числом.После этого необходимо удалить нули, стоящие слева от старшего разряда в целой части, а при наличии дробной части – также нули, стоящие справа от младшего разряда в дробной части.

Перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную выполняется аналогично. Только в этом случае каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется соответствующим четырехразрядным двоичным числом.

Примеры:

Перевести число 305.4 из восьмеричной системы счисления в двоичную.

Решение.

Переводимое число Результат

(3 0 5. 4)(8) = 11000101.1(2)

011 000 101. 100

Перевести число 7D2.E из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.

Решение.

Переводимое число Результат

(7 D 2. E)(16) = 11111010010.111(2)

0111 1101 0010. 1110

Для перевода числа издвоичнойсистемы счисленияввосьмеричную (илишестнадцатеричную) поступают следующим образом: двигаясь от запятой сначала влево, а затем вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя, при необходимости, нулями крайние левую и правую группы. Затем каждую группу из трех (четырех) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример. Перевести число 111001100.001 из двоичной системы счисления в восьмеричную, а число 10111110001.001 – из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Решение.

Переводимое число Результат

(111 001 100. 001)(2) = 714.1(8)

7 1 4. 1

Переводимое число Результат

(0101 1111 0001. 0010)(2) = 5F1.2(16)

5 F 1. 2

Представление информации в цифровых

Автоматах

Для автоматизации работы с данными, относящимися к различным типам, очень важно унифицировать их форму представления. Для этого обычно используется прием, называемый кодированием.Суть кодирования состоит в выражении данных одного типа через данные другого типа. Естественные человеческие языки – это не что иное, как системы кодирования понятий для выражения мыслей посредством речи. К языкам близко примыкают азбуки (системы кодирования компонентов языка с помощью графических символов).

В вычислительной технике используется своя система кодирования, называемая двоичным кодированием. Она основана на представлении данных последовательностью всего двух знаков: 0 и 1. Одним битом могут быть выражены два понятия: 0 или 1 (да или нет, черное или белое, истина или ложьи т.п.). Если количество битов увеличить до двух, то уже можно выразить четыре различных понятия:

00 01 10 11

Тремя битами можно закодировать восемь различных значений:

000 001 010 011 100 101 110 111

Увеличивая на единицу количество разрядов в системе двоичного кодирования, мы увеличиваем в два раза количество значений, которое может быть выражено в данной системе, то есть, в общем случае:

N = 2 n,

где N – количество независимых кодируемых значений;

n – разрядность двоичного кодирования, принятая в данной системе.

Для представления символьной информации в средствах автоматизированной обработки (например, ЭВМ) также используется двоичное кодирование. Если каждому символу алфавита сопоставить определенное целое число (например, порядковый номер), то с помощью двоичного кода можно кодировать и текстовую информацию. Восьми двоичных разрядов достаточно для кодирования 256 различных символов. Этого хватит, чтобы выразить различными комбинациями восьми битов все символы английского и русского языков, как строчные, так и прописные, а также знаки препинания, символы основных арифметических действий и некоторые общепринятые специальные символы, например §, $, / и др.

Для того чтобы весь мир одинаково кодировал текстовые данные, нужны единые таблицы кодирования. Пока это невозможно из-за противоречий между символами национальных алфавитов.

Институт стандартизации США (ANSI – American National Standard Institute)ввел в действие систему кодирования ASCII (American Standard Code for Information Interchange – стандартный код информационного обмена США). В системе ASCIIзакреплены две таблицы кодирования – базовая и расширенная.Базовая таблица закрепляет значения кодов от 0 до 127, расширенная относится к символам с номерами от 128 до 255.

Первые 32 кода базовой таблицы, начиная с нулевого, отданы производителям аппаратных средств (в первую очередь производителям компьютеров и печатающих устройств). В этой области размещаются так называемые управляющие коды, которым не соответствуют никакие символы языков, и, соответственно, эти коды не выводятся ни на экран, ни на устройства печати, но ими можно управлять процессом вывода прочих данных.

Начиная с номера 32 по номер 127 в таблице ASCII размещены коды символов английского алфавита, знаков препинания, цифр, арифметических действий и некоторых вспомогательных символов. Коды букв русского алфавита располагаются в расширенной таблице ASCII (кодировка «Windows — 1251») начиная с номера 192 (рисунок 2).

Аналогичные системы кодирования текстовых данных были разработаны и в других странах. Так, например, в СССР в этой области действовала система кодирования КОИ-7 (код обмена информацией, семизначный). Другая распространенная кодировка носит название КОИ-8 (код обмена информацией, восьмизначный) – ее происхождение относится ко временам действия Совета Экономической Взаимопомощи государств Восточной Европы. Сегодня кодировка КОИ-8 имеет широкое распространение в компьютерных сетях на территории России и в российском секторе Интернета.

Однако поддержка производителей оборудования и программ вывела американский код ASCII на уровень международного стандарта, и национальным системам кодирования пришлось отступить во вторую, расширенную часть системы кодирования, определяющую значения кодов со 128 по 255.

В связи с изобилием систем кодирования текстовых данных, действующих в России, возникает задача межсистемного преобразования данных – это одна из распространенных задач информатики.

Рисунок 2 – Базовая и расширенная таблицы ASCII

Если проанализировать организационные трудности, связанные с созданием единой системы кодирования текстовых данных, то можно прийти к выводу, что они вызваны ограниченным набором кодов (256). В то же время очевидно, что если, например, кодировать символы не восьмиразрядными двоичными числами, а числами с большим количеством разрядов, то и диапазон возможных значений кодов станет намного больше. Такая система, основанная на 16-разрядном кодировании символов, получила название универсальной – UNICODE. Шестнадцать разрядов позволяют обеспечить уникальные коды для 65 536 различных символов – этого поля достаточно для размещения в одной таблице символов большинства языков планеты.

Несмотря на тривиальную очевидность такого подхода, простой механический переход на данную систему долгое время сдерживался из-за недостаточных ресурсов средств вычислительной техники (в системе кодирования UNICODEвсе текстовые документы автоматически становятся вдвое длиннее). Во второй половине 90-х годов технические средства достигли необходимого уровня обеспеченности ресурсами, и сегодня мы наблюдаем постепенный перевод документов и программных средств на универсальную систему кодирования.

Кроме символьных данных современные компьютеры позволяют обрабатывать и другие типы данных, например – графические. Остановимся на способах кодирования таких данных.

Если рассмотреть с помощью увеличительного стекла черно-белое графическое изображение, напечатанное в газете или книге, то можно увидеть, что оно состоит из мельчайших точек, образующих характерный узор, называемый растром. Поскольку линейные координаты и индивидуальные свойства каждой точки (яркость) можно выразить с помощью целых чисел, то можно сказать, что растровое кодирование позволяет использовать двоичный код для представления графических данных. Общепринятым на сегодняшний день считается представление черно-белых иллюстраций в виде комбинации точек с 256 градациями серого цвета, и, таким образом, для кодирования яркости любой точки обычно достаточно восьмиразрядного двоичного числа.

Для кодирования цветных графических изображений применяется принцип декомпозиции произвольного цвета на основные составляющие. В качестве таких составляющих используют три основные цвета: красный (Red, R), зеленый (Green, G) и синий (Blue, B). На практике считается (хотя теоретически это не совсем так), что любой цвет, видимый человеческим глазом, можно получить путем механического смешения этих основных цветов. Такая система кодирования называется системой RGB по первым буквам названий основных цветов.

Если для кодирования яркости каждой из основных составляющих использовать по 256 значений (восемь двоичных разрядов), как это принято для полутоновых черно-белых изображений, то на кодирование цвета одной точки надо затратить 24 разряда. При этом система кодирования обеспечивает однозначное определение 16,5 млн. различных цветов, что на самом деле близко к чувствительности человеческого глаза. Режим представления цветной графики с использованием 24 двоичных разрядов называется полноцветным(True Color).

Каждому из основных цветов можно поставить в соответствие дополнительный цвет, то есть цвет, дополняющий основной цвет до белого. Нетрудно заметить, что для любого из основных цветов дополнительным будет цвет, образованный суммой пары остальных основных цветов. Соответственно, дополнительными цветами являются: голубой (Cyan, C), пурпурный (Magenta, M) и желтый (Yellow, Y). Принцип декомпозиции произвольного цвета на составляющие компоненты можно применять не только для основных цветов, но и для дополнительных, то есть любой цвет можно представить в виде суммы голубой, пурпурной и желтой составляющей. Такой метод кодирования цвета принят в полиграфии, но в полиграфии используется еще и четвертая краска – черная (Black, K). Поэтому данная система кодирования обозначается четырьмя буквами CMYK (черный цвет обозначается буквой К, потому, что буква В уже занята синим цветом), и для представления цветной графики в этой системе надо иметь 32 двоичных разряда. Такой режим тоже называется полноцветным(True Color).

Если уменьшить количество двоичных разрядов, используемых для кодирования цвета каждой точки, то можно сократить объем данных, но при этом диапазон кодируемых цветов заметно сокращается. Кодирование цветной графики 16-разрядными двоичными числами называется режимом High Color.

При кодировании информации о цвете с помощью восьми бит данных можно передать только 256 цветовых оттенков. Такой метод кодирования цвета называется индексным. Смысл названия в том, что, поскольку 256 назначений совершенно недостаточно, чтобы передать весь диапазон цветов, доступный человеческому глазу, код каждой точки растра выражает не цвет сам по себе, а только его номер (индекс) в некоей справочной таблице, называемой палитрой. Разумеется, эта палитра должна прикладываться к графическим данным – без нее нельзя воспользоваться методами воспроизведения информации на экране или бумаге (точнее, воспользоваться, конечно, можно, но из-за неполноты данных полученная информация не будет адекватной: листва на деревьях может оказаться красной, а небо – зеленым).

Статьи к прочтению:

Перевод чисел, системы счисления с основанием 2, 8, 16

Похожие статьи:

Что такое система счисления? — Типы системы счисления и значение

Компьютеры понимают машинный язык . Каждая буква, символ и т.д., которые мы пишем в инструкциях, данных компьютеру, преобразуется в машинный язык. Этот машинный язык состоит из чисел. Для понимания языка, используемого компьютерами и другими цифровыми системами, очень важно лучше понимать систему счисления.

Системы счисления можно разделить на подтипы на основе базы этой системы.База систем счисления играет решающую роль в понимании системы счисления и преобразовании ее из одного подтипа в другой подтип. Основание также иногда называют основанием ; оба этих термина имеют одинаковое значение.

Классификацию систем счисления на основе базы можно понять из приведенной ниже диаграммы.

Таким образом, у нас есть четыре основных типа систем счисления: двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Чтобы понять это, мы должны знать основу конкретной системы счисления.

Вы, должно быть, думаете, что это за основная терминология в системах счисления? База может быть определена как количество цифр, доступных в системе счисления для выражения любой цифры в этой конкретной системе счисления.

Этот термин также имеет значение в процессе конверсии. Например: Десятичное число означает 10, поэтому десятичная система счисления называется так, потому что основание десятичной системы счисления равно 10.

Ключевые компоненты для определения значения цифры в системе счисления

Чтобы найти значение цифры в конкретной системе счисления, нам необходимо иметь три основных компонента.Они следующие:

1. Сама цифра.
2. Позиция цифры в конкретном номере.
3. Основание системы счисления.

Теперь давайте кратко обсудим каждый из подтипов систем счисления.

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления состоит из 10 цифр. Это цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Основание десятичной системы счисления — 10, потому что всего в системе счисления доступно 10 цифр.Это не означает, что только 10 цифр могут быть выражены в десятичной системе счисления, но с помощью этих 10 цифр мы можем определить любое число в этой системе, независимо от того, насколько оно велико.

С любым числом связаны два значимых термина: его разряд и номинал. Номинал — это сама цифра, а разряд — это величина, которую представляет цифра.

Рассмотрим число 7896, в котором номинальное значение 8 равно 8, а его разрядное значение — 100.

Расширение десятичного числа: Снова рассмотрим указанное выше число i.е. 7896.

Теперь это можно записать как: —

7896 = 10007 + 1008 + 109 + 6

Чтобы записать число по основанию 10, мы можем использовать позиционное значение как верхний индекс основания 10.

7896 = 10 ³ 7 + 10 ² 8 + 10 ¹ 9 + 10 ⁰ 6

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления

состоит только из двух цифр, то есть 0 и 1. Это делает ее менее сложной, чем любая другая система счисления, поскольку она состоит только из двух цифр.Таким образом, основание двоичной системы составляет 2, так как доступные цифры в этой системе счисления равны 2. Остальные числа могут быть выражены этими двумя цифрами.

Двоичные цифры называются битами, состоит из двух слов Bi nary и Dig его . 4 бита вместе называются полубайтом, а 8 битов вместе называются байтом. Двоичные цифры полезны для вычисления результатов устройств, которые имеют два состояния ВКЛ и ВЫКЛ.

Десятичный эквивалент двоичного числа может быть вычислен путем умножения двоичных цифр на 2 в степени позиционных значений соответствующих цифр.

10011 = 2 ⁴ 1 + 2 ³ 0 + 2 ² + 2 ¹ 1 + 2 ⁰ 1

= 16 + 2 + 1

= 19

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления состоит из 8 цифр, то есть от 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Таким образом, база восьмеричной системы счисления равна 8. Намного легче обрабатывать массив восьмеричных чисел по сравнению с двоичные числа. Это потому, что если мы представим любое число с помощью двоичных цифр, это будет длинный массив двоичных чисел.А в случае восьмеричных чисел массив чисел будет меньше.

Десятичный эквивалент восьмеричного числа: Десятичный эквивалент восьмеричного числа можно вычислить, умножив цифры на 8, и основание 8 будет возведено в положение соответствующей цифры.

Давайте рассмотрим восьмеричное число 431, теперь его десятичный эквивалент может быть описан как: —

431 = 8 ² 4 + 8 ¹ 3 + 8 ⁰ 1

= 256 + 24 + 1

= 281

Шестнадцатеричная система счисления

Он состоит из 10 цифр, и 6 алфавитов. 10 цифр из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 и используемые алфавиты: A, B, C, D, E и F. Все остальные числа могут быть выражены с помощью помощь комбинации этих цифр и алфавитов. A, B, C, D, E, F представляют 10, 11, 12, 13, 14 и 15 соответственно.

Основание шестнадцатеричной системы счисления — 16, так как всего в этой системе счисления доступно 16 элементов. Таким образом, шестнадцатеричная система счисления используется в основном в микропроцессорах и микроконтроллерах .

Десятичный эквивалент шестнадцатеричных чисел: давайте рассмотрим шестнадцатеричное число 5B52, теперь его десятичный эквивалент можно вычислить, умножив каждую цифру на 16, и 16 будет возведено в степень позиционного значения соответствующей цифры.

5B52 = 16 ³ 5+ 16 ² 11+ 16 ¹ 5 + 16 ⁰ 2

= 54096 + 11256 + 80 + 2

= 23378

Значение систем счисления

Системы счисления имеет решающее значение для понимания обработки цифровой системы. Цифровая система принимает двоичное число , восьмеричное и шестнадцатеричное число в качестве входных данных, обрабатывает их и генерирует выходные данные. Таким образом, в области информационных технологий или встроенных систем повсюду нужно хорошо знать систему счисления, чтобы понимать ее работу.

Базы номеров

База 10

Мы используем «Base 10» каждый день … это наша десятичная система счисления.

Имеет 10 цифр:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Считаем так:

	0		Начать с 0
•	1		Затем 1
••	2		Затем 2
	⋮
•••••••••	9		До 9
••••••••••	10		Снова начать с 0, но добавить 1 слева
•••••••••• •	11
•••••••••• ••	12
	⋮
•••••••••• •••••••••	19
•••••••••• ••••••••••	20		Снова начать с 0, но добавить 1 слева
•••••••••• •••••••••• •	21		И так далее!

Но есть и другие базы!

Binary (Base 2) состоит только из 2 цифр: 0 и 1

Считаем так:

	0		Начать с 0
•	1		Затем 1
••	10		Снова начать с 0, но добавить 1 слева
•••	11
••••	100		снова начните с 0 и прибавьте единицу к числу слева… … но это число уже равно 1, поэтому оно также возвращается к 0 … … и 1 добавляется к следующей позиции слева
•••••	101
••••••	110
•••••••	111
••••••••	1000		Снова начать с 0 (для всех 3 цифр), добавить 1 слева
•••••••••	1001		И так далее!

Посмотрите, как это делается, на этой небольшой демонстрации (нажмите кнопку воспроизведения):

Также попробуйте десятичное число и попробуйте другие основания, например 3 или 4.
Это поможет вам понять, как работают все эти разные базы.

Ternary (Base 3) состоит из 3 цифр: 0, 1 и 2

Считаем так:

	0		Начать с 0
•	1		Затем 1
••	2
•••	10		Снова начать с 0, но добавить 1 слева
••••	11
•••••	12
••••••	20		Снова начать с 0, но добавить 1 слева
•••••••	21
••••••••	22
•••••••••	100		снова начните с 0 и прибавьте единицу к числу слева… … но это число уже равно 2, поэтому оно также возвращается к 0 … … и 1 добавляется к следующей позиции слева
••••••••••	101		И так далее!

Четвертичный (основание 4) состоит из 4 цифр: 0, 1, 2 и 3

Считаем так:

	0		Начать с 0
•	1		Затем 1
••	2
•••	3
••••	10		Снова начать с 0, но добавить 1 слева
•••••	11
••••••	12
•••••••	13
••••••••	20		Снова начать с 0, но добавить 1 слева
•••••••••	21		И так далее!

Пятизначный (база 5) состоит из 5 цифр: 0, 1, 2, 3 и 4

Считаем так:

	0		Начать с 0
•	1		Затем 1
••	2
•••	3
••••	4
•••••	10		Снова начать с 0, но добавить 1 слева
••••••	11
•••••••	12
••••••••	13
•••••••••	14
••••••••••	20		Снова начать с 0, но добавить 1 слева
•••••••••• •	21		И так далее!

Senary (Base 6) состоит из 6 цифр: 0, 1, 2, 3, 4 и 5

Считаем так:

	0		Начать с 0
•	1		Затем 1
••	2
•••	3
••••	4
•••••	5
••••••	10		Снова начать с 0, но добавить 1 слева
•••••••

Двоичная система счисления

Двоичное число состоит только из 0 с и 1 с.

110100

Пример двоичного числа

В двоичном формате нет 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9!

« bit » — это одиночный код b inary dig it . Число выше состоит из 6 бит.

Двоичные числа имеют множество применений в математике и не только.

Фактически в цифровом мире используются двоичные цифры.

Как мы считаем, используя двоичный код?

Это похоже на десятичный счет, за исключением того, что мы достигаем 10 намного раньше.

Двоичный
0		Начнем с 0
1		Затем 1
???		Но тогда для 2 нет символа … что нам делать?

Ну как считать в десятичном формате?
	0		Начать с 0
	…		Посчитайте 1,2,3,4,5,6,7,8, а затем …
	9		Это последняя цифра в десятичном формате
	10		Итак, мы снова начинаем с 0, но добавляем 1 слева

То же самое делается в двоичном формате …

	двоичный
	0		Начать с 0
•	1		Затем 1
••	10		Теперь начните снова с 0, но добавьте 1 слева
•••	11		еще 1
••••	???		А ТЕПЕРЬ что…?

Что происходит в десятичном формате?
	99		Когда у нас заканчиваются цифры, мы …
	100		… начать снова с 0, но добавить 1 слева

И это то, что мы делаем в двоичном формате …

	двоичный
	0		Начать с 0
•	1		Затем 1
••	10		Снова начать с 0, но добавить 1 слева
•••	11
••••	100		снова начните с 0 и прибавьте единицу к числу слева… … но это число уже равно 1, поэтому оно также возвращается к 0 … … и 1 добавляется к следующей позиции слева
•••••	101
••••••	110
•••••••	111
••••••••	1000		Снова начать с 0 (для всех 3 цифр), добавить 1 слева
•••••••••	1001		И так далее!

Посмотрите, как это делается, на этой небольшой демонстрации (нажмите кнопку воспроизведения):

Десятичное и двоичное

Вот несколько эквивалентных значений:

десятичный:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Двоичный:	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Симметрия

Двоичные числа также имеют красивый и элегантный узор:

Вот несколько больших значений:

десятичный:	20	25	30	40	50	100	200	500
Двоичный:	10100	11001	11110	101000	110010	1100100	11001000	111110100

«Бинарный — это так же просто, как 1, 10, 11.«

Теперь посмотрим, как использовать двоичный код для подсчета на пальцах больше 1000:

Позиция

В десятичной системе есть единицы, десятки, сотни и т. Д.

В Binary есть единицы, двойки, четверки и т. Д., Например:

Это 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 + 1 × (1/2) + 0 × (1/4) + 1 × (1/8)
= 13,625 в десятичном виде

Цифры можно размещать слева или справа от точки, чтобы отображать значения больше единицы и меньше одного.

10,1
	Число слева от точки целое число (например, 10)
По мере продвижения влево каждое числовое место получает 2 раз больше .
	Первая цифра справа означает половин (1/2).
	По мере продвижения вправо каждое число становится в 2 раза меньше (вдвое меньше).

Пример: 10.1

• «10» означает 2 в десятичной системе счисления,
• «.1» означает половину,
• Таким образом, «10,1» в двоичном формате равно 2,5 в десятичном.

Вы можете преобразовывать двоичные числа в десятичные в шестнадцатеричные.

слов

Слово двоичное происходит от «Bi-», что означает два. Мы видим «би-» в таких словах, как «велосипед» (два колеса) или «бинокль» (два глаза).

Когда вы произносите как двоичное число, произносите каждую цифру (например, двоичное число «101» произносится как «один ноль один» , или иногда «один ноль один» ). Так люди не запутаются с десятичным числом.

Одна двоичная цифра (например, «0» или «1») называется «битом».

Например, 11010 имеет длину пять бит.

Слово бит состоит из слов « b

Base (математика) — Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

В математике основание или основание — это количество различных цифр или комбинаций цифр и букв, которые система счета использует для представления чисел.Например, наиболее распространенной базой, используемой сегодня, является десятичная система.Поскольку «dec» означает 10, оно использует 10 цифр от 0 до 9. Большинство людей думают, что мы чаще всего используем основание 10, потому что у нас 10 пальцев.

Основание обычно представляет собой целое число больше 1, хотя математически возможны и нецелочисленные основания. Основание числа может быть написано рядом с числом: например, 238 {\ displaystyle 23_ {8}} означает 23 по основанию 8 (что равно 19 по основанию 10).

В компьютерах часто используются разные базы. Двоичный (основание 2) используется, потому что на самом простом уровне компьютеры могут иметь дело только с 0 и 1.Шестнадцатеричное (основание 16) используется из-за того, как компьютеры группируют двоичные цифры вместе. Каждые четыре двоичные цифры превращаются в одну шестнадцатеричную цифру при переходе между ними. Поскольку в шестнадцатеричном формате более 10 цифр, шесть цифр после 9 отображаются как A, B, C, D, E и F.

В самых старых системах счета использовалась базовая. Нанесение отметок на стене с использованием одной отметки для каждого подсчитываемого предмета является примером унарного подсчета. Некоторые старые системы измерения используют двенадцатеричную систему счисления (основание двенадцать).Это показано на английском языке, поскольку есть такие слова, как дюжина (12) и брутто (144 = 12 × 12), и длины, такие как футы (12 дюймов). Для измерения углов часто используется система, адаптированная из вавилонских цифр с основанием 60.

При вводе базы небольшое число, обозначающее базу, обычно находится в базе десять. Это потому, что если бы основание системы счисления было записано с собственной базой, оно всегда было бы «10», поэтому не было бы никакого способа узнать, в какой базе он должен был находиться.

Вот несколько примеров того, как некоторые числа записываются в разных основаниях по сравнению с десятичными знаками:

Десятичный (основание 10)	двоичный (база 2)	Octal (база 8)	без десятичных чисел (база 11)	Шестнадцатеричный (основание 16)	Senary (База 6)	Унарный (База 1)
1	1	1	1	1	1	1
2	10	2	2	2	2	11
3	11	3	3	3	3	111
4	100	4	4	4	4	1111
5	101	5	5	5	5	11111
6	110	6	6	6	10	111111
7	111	7	7	7	11	1111111
8	1000	10	8	8	12	11111111
9	1001	11	9	9	13	111111111
10	1010	12	A	А	14	1111111111
11	1011	13	10	B	15	11111111111
12	1100	14	11	С	20	111111111111
13	1101	15	12	D	21	1111111111111
14	1110	16	13	E	22	11111111111111
15	1111	17	14	F	23	111111111111111
16	10000	20	15	10	24	1111111111111111

Simple English Wikipedia, бесплатная энциклопедия

Шестнадцатеричная система счисления , часто сокращаемая до «шестнадцатеричная» , представляет собой систему счисления, состоящую из 16 символов (основание 16).Стандартная система счисления называется десятичной (основание 10) и использует десять символов: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. В шестнадцатеричном формате используются десятичные числа и шесть дополнительных символов. Нет числовых символов, которые представляют значения больше девяти, поэтому используются буквы, взятые из английского алфавита, а именно A, B, C, D, E и F. Шестнадцатеричный A = десятичный 10 и шестнадцатеричный F = десятичный 15.

Люди в основном используют десятичную систему счисления. Вероятно, это потому, что у людей на руках десять пальцев. Однако у компьютеров есть только включение и выключение, называемое двоичной цифрой (или для краткости битом).Двоичное число — это просто строка из нулей и единиц: например, 11011011. Для удобства инженеры, работающие с компьютерами, обычно группируют биты вместе. Раньше, например, в 1960-х годах, они группировали по 3 бита за раз (подобно тому, как большие десятичные числа сгруппированы по тройкам, например, 123 456 789). Три бита, каждый из которых включен или выключен, могут представлять восемь чисел от 0 до 7: 000 = 0; 001 = 1; 010 = 2; 011 = 3; 100 = 4; 101 = 5; 110 = 6 и 111 = 7. Это называется восьмеричным.

По мере роста компьютеров стало удобнее группировать биты по четыре вместо трех.Это удваивает числа, которые будет представлять символ; он может иметь 16 значений вместо восьми. Hex = 6 и Decimal = 10, поэтому он называется шестнадцатеричным. На компьютерном жаргоне четыре бита составляют полубайт (иногда пишется полубайт ). Полубайт — это одна шестнадцатеричная цифра, записанная с использованием символа 0-9 или A-F. Два полубайта составляют байт (8 бит). Большинство компьютерных операций используют байт или кратное байту (16 бит, 24, 32, 64 и т. Д.). Шестнадцатеричный код упрощает запись этих больших двоичных чисел.

Во избежание путаницы с десятичной, восьмеричной или другими системами счисления шестнадцатеричные числа иногда записываются с буквой «h» после или «0x» перед числом. Например, 63h и 0x63 означают 63 в шестнадцатеричном формате.

Шестнадцатеричная система счисления похожа на восьмеричную систему счисления (основание 8), поскольку каждую из них можно легко сравнить с двоичной системой счисления. В шестнадцатеричном формате используется четырехбитное двоичное кодирование. Это означает, что каждая цифра в шестнадцатеричном формате совпадает с четырьмя цифрами в двоичном формате. Octal использует трехбитную двоичную систему.

В десятичной системе первая цифра — это разряд , следующая цифра слева — это разряда десятков , следующая — разряда сотен и т. Д. В шестнадцатеричной системе каждая цифра может иметь 16 значений. , а не 10. Это означает, что у цифр — это место, у — шестнадцать — , а следующая — 256 — это место. Таким образом, 1h = 1 десятичный, 10h = 16 десятичный и 100h = 256 в десятичном.

Примеры значений шестнадцатеричных чисел, преобразованных в двоичные, восьмеричные и десятичные.

Шестигранник двоичный восьмеричное десятичный 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 А 1010 12 10 B 1011 13 11 С 1100 14 12 D 1101 15 13 E 1110 16 14 ф 1111 17 15 10 1 0000 20 16 11 1 0001 21 17 24 10 0100 44 36 5E 101 1110 136 94 100 1 0000 0000 400 256 3E8 11 1110 1000 1750 1000 1000 1 0000 0000 0000 10000 4096 ЛИЦО 1111 1010 1100 1110 175316 64206

Двоичное в шестнадцатеричное [изменить | изменить источник]

Для изменения числа с двоичного на шестнадцатеричный используется метод группировки.Двоичное число разделено на группы по четыре цифры, начиная справа. Затем эти группы преобразуются в шестнадцатеричные числа, как показано на приведенной выше диаграмме для шестнадцатеричных чисел от 0 до F. Чтобы изменить шестнадцатеричные числа, делается обратное. Каждая шестнадцатеричная цифра заменяется двоичной, и группировка обычно удаляется.

Двоичный	Группы				шестигранник
01100101			0110	0101	65
010010110110		0100	1011	0110	4B6
1101011101011010	1101	0111	0101	1010	D75A

Когда количество битов в двоичном числе не кратно 4, оно дополняется нулями, чтобы сделать это так.Примеры:

• двоичное 110 = 0110, что составляет 6 Hex.
• в двоичном формате 010010 = 00010010, что составляет 12 шестнадцатеричных чисел.

Шестнадцатеричное в десятичное [изменить | изменить источник]

Существует два распространенных способа преобразования числа из шестнадцатеричного в десятичное.

Первый метод чаще всего выполняется при преобразовании вручную:

1. Используйте десятичное значение для каждой шестнадцатеричной цифры. Для 0–9 это то же самое, но A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 и F = 15.
2. Сохраняйте сумму преобразованных чисел на каждом шаге ниже.
3. Начать с младшей шестнадцатеричной цифры. Это цифра на правом конце. Это будет первый предмет в сумме.
4. Возьмем вторую наименьшую значащую цифру. Это рядом с цифрой на правом конце. Умножьте десятичное значение цифры на 16. Добавьте это к сумме.
5. Сделайте то же самое для третьей младшей значащей цифры, но умножьте ее на 16 ² (то есть на 16 в квадрате или 256).Добавьте к сумме.
6. Продолжайте для каждой цифры, умножая каждое место на другую степень 16. (4096, 65536 и т. Д.)

	Расположение
	6	5	4	3	2	1
Значение	1048576 (16 5 )	65536 (16 4 )	4096 (16 3 )	256 (16 2 )	16 (16 1 )	1 (16 0 )

Следующий метод чаще используется при программном преобразовании числа.Ему не нужно знать, сколько цифр имеет число до его начала, и оно никогда не умножается более чем на 16, но на бумаге оно выглядит длиннее.

1. Используйте десятичное значение для каждой шестнадцатеричной цифры. Для 0-9 это то же самое, но A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 и F = 15.
2. Сохраняйте сумму преобразованных чисел на каждом шаге ниже.
3. Начните со старшей цифры (цифра слева). Это первая позиция в сумме.
4. Если существует еще одна цифра, умножьте сумму на 16 и добавьте десятичное значение следующей цифры.
5. Повторяйте вышеуказанный шаг, пока не кончатся цифры.

Пример: 5Fh и 3425h в десятичном формате, метод 1

5Fh в десятичной системе Шестигранник десятичный 5Fh = (5 х 16) + (15 х 1) = 80 + 15 5Fh = 95

3425h в десятичной системе Шестигранник десятичный 3425h = (3 x 4096) + (4 х 256) + (2 х 16) + (5 х 1) = 12288 + 1024 + 32 + 5 3425h = 13349

Пример: 5Fh и 3425h в десятичной системе, метод 2

5Fh в десятичной системе шестигранник десятичный сумма = 5 = (5 х 16) + 15 сумма = 80 + 15 (без цифр) 5Fh = 95

3425h в десятичной системе Шестигранник десятичный сумма = 3 = (3 х 16) + 4 = 52 сумма = (52 х 16) + 2 = 834 сумма = (834 х 16) + 5 = 13349 3425h = 13349

Системы счисления и основы — лучше объяснение

Базовые системы, такие как двоичная и шестнадцатеричная, сначала кажутся немного странными.Ключ в понимании того, как разные системы «работают», как одометр, когда они заполнены. База 10, наша десятичная система, «переключает», когда получает 10 элементов, создавая новую цифру. Мы ждем 60 секунд, прежде чем «перейти» к новой минуте. Шестнадцатеричный и двоичный значения похожи, но отметьте галочкой каждые 16 и 2 элемента соответственно.

Попробуйте преобразовать числа в шестнадцатеричное и двоичное здесь:

Путь назад, когда: унарные числа

Раньше у нас не было базовых систем! Он шел в обе стороны, сквозь снег и палящую жару.Если вы хотите сосчитать один, вы пишете:

л

Когда вы хотели 5, вы должны написать

lllll

И ясно, 1 + 5 = 6

l + lllll = llllll

Это самый простой способ подсчета.

Введите римлян

В римских цифрах два означает один, дважды. Три было один, трижды:

 один = я
два = II
три = III
 

Однако они решили, что могут добиться большего успеха, чем старая традиция линий на песке. Для пяти мы могли бы использовать V для представления lllll и получить что-то вроде

л + V = Vl

Неплохо, а? И, конечно же, есть еще много символов (L, C, M и т. Д.) вы можете использовать.

Ключевым моментом является то, что V и lllll — это два способа кодирования числа 5.

Дайте каждому номеру имя

Еще одним прорывом стало осознание того, что каждое число может быть отдельной концепцией. Вместо того, чтобы представлять три как ряд единиц, дайте ему собственный символ: «3 ″. Проделайте это от одного до девяти, и вы получите символы:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Римляне были близки, так близки, но давали уникальные символы только 5, 10, 50, 100, 1000 и т. Д.

Используйте свою позицию

Теперь ясно, что вы не можете давать каждому номеру свой собственный символ. Их просто слишком много.

Но обратите внимание на одну особенность римских цифр: они используют позицию символов для обозначения значения.

IV означает «вычесть 1 из 5»

и VI означает «прибавить 1 к 5».

В нашей системе счисления мы используем позицию аналогичным образом. Мы всегда прибавляем и никогда не вычитаем. И каждая позиция на 10 больше, чем предыдущая.

Итак, 35 означает «прибавить 3 * 10 к 5 * 1 ″, а 456 означает 4 * 100 + 5 * 10 + 6 * 1 . Эта «позиционная десятичная» система исчисления представляет собой индуистско-арабскую систему счисления, которую мы используем сегодня.

Наш выбор базы 10

Почему мы решили каждый раз умножать на 10? Скорее всего потому, что у нас 10 пальцев.

Следует понимать, что вам нужно достаточно цифр для «заполнения», пока вы не наберете следующее число. Позвольте мне продемонстрировать.

Если мы хотим, так сказать, проверять одометр каждые 10, нам нужны символы для чисел от одного до девяти; мы еще не достигли десяти.Представьте, что числа медленно тикают вверх — в какой момент вы переворачиваете следующую единицу и начинаете с нуля?

Введите ноль

А что будет, когда мы дойдем до десяти? Как показать, что мы хотим ровно одну «десять» и ничего в столбце «единицы»?

Мы используем ноль, число, которого не существует.