Что такое позиционный способ записи чисел 5 класс: Системы счисления. — Математика — Презентации

Планирование урока математики для 5 классов на тему: «Позиционные системы счисления». (Урок изучения нового материала) УМК «Математика. Психология, Интеллект» (МПИ) | Учебно-методический материал по алгебре (5 класс) на тему:

Министерство образования и науки РФ

Государственное бюджетное образовательное учреждение «Школа с углубленным изучением французского языка № 1265»

Планирование урока математики для 5 классов на тему:

«Позиционные системы счисления».

(Урок изучения нового материала)

УМК «Математика. Психология, Интеллект» (МПИ)

Автор: учитель математики Догова А.Т.

Москва 2015

Цели урока:

• Обучающие: ввести понятие «позиционная система счисления», создать его образное сопровождение, исследовать и обобщить его ее основные особенности.
• Воспитывающие: создание условий для совершенствования интеллектуальных ресурсов каждого ученика за счет обогащения форм индивидуального умственного опыта.
• Развивающие: развитие интереса к математике, литературе, активация мыслительной деятельности учащихся, развитие творческого мышления, математической речи учащихся.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Решить задачу: чему равно 84, если 8∙8=54?

Вопрос показался для учащихся странным, ведь они давно знают, что 8∙8=64. А по условию 8∙8=54!? И как связаны числа 54 и 84?

Вопрос не лишен смысла, однако ответить на него мы сможем позже, когда познакомимся с системами счисления.

2. Объяснение нового материала.

Для записи чисел, мы пользуемся цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифр всего десять (запомните, это важно). Нужно помнить, что значение каждой цифры в записи чисел определяется не только ей самой, но и местом (позицией) которое она занимает в записи числа. Например, число «три» изображается цифрой 3. Можно записать 3, 03, 003, и т.д. В любом случае, цифра 3 стоит справа, и все эти записи обозначают одно и то же число. Если же цифру 3 переместить влево на позицию, то получится 30(три десятка), на две позиции – 300 (три сотни) и т. д. Вот почему запись числа при такой системе называется позиционной. Для позиционной системы характерно, что число разбивается на разряды. Например, запись 798 означает, что число состоит из 8 единиц, 9 десятков и 7 сотен. Единица каждого разряда в 10 раз превосходит единицу предыдущего разряда.  Поэтому такая система счисления называется десятичной.

Почему привычная нам система счисления называется десятичной? (Единица каждого разряда в 10 раз превосходит единицу предыдущего разряда)

Запишем число 1598 в виде суммы разрядных единиц: 1∙1000+5∙100+9∙10+8=1∙103+5∙102+9∙101+8.

Кроме десятичной системы счисления, существуют и другие позиционные системы счисления с любым другим натуральным основанием (кроме 1). Так, в Древнем Вавилоне применялась шестидесятеричная система счисления, сохранившаяся и до наших дней. Деление часа на 60 минут, а минуты – на 60 секунд. В древности широко использовалась двенадцатеричная система. Возможно, даже вы слышали такое определение, как дюжина? То есть 12! И в наше время некоторые предметы считают не десятками, а дюжинами: столовые приборы в сервизе, стулья в мебельном гарнитуре и т. д.

Вернемся к задаче, сформулированной в начале урока. Теперь вы догадались, что числа, входящие в условии задачи, были записаны не в десятичной системе счисления.

Пусть основание неизвестной системы х, тогда число 84 означает 8 единиц второго разряда и 4 единицы – первого. Тогда:

84=8х+4 и 54=5х+4.

8∙8=5х+4, т.к. 8∙8=54.

Решая уравнение, получаем: х=12. Это означает, что числа записаны в двенадцатеричной системе. А значит, 84=8х+4=8∙12+4=100.

Итак, одно и тоже число можно записать по-разному: в системах счисления с разными основаниями. В десятичной системе счисления число 2910 пишется просто 29 (то есть, в нижнем право углу числа принято указывать основание системы счисления).

В системе счисления с основанием 5 используется только пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. Поэтому запись числа 2910=1045:

29	5
4	5	5
	0	1

В системе счисления с основанием 3 используется только три цифры: 0, 1, 2. Поэтому 2910=10023:

29	3
2	9	3
	0	3	3
		0	1

В системе счисления с основанием 2 используется только две цифры: 0 и 1. Поэтому 2910=111012:

29	2
1	14	2
	0	7	2
		1	3	2
			1	1

Системы счисления с основанием больше 10 необычны – если в десятичной системе счисления используется все десять цифр, то для 12-ричной системы счисления, например, нужно 12 (в том числе, две двузначные – 10 и 11).  В таких случаях используются латинские буквы:

Вместо 10 – А, 11 – В и т.д.

III. Подведем итоги:

1. Позиционная система счисления дает возможность записывать любое число с помощью небольшого количества цифр. При этом значение каждой цифры зависит не только от ее вида, но и от ее места(позиции) в записи числа.

2.Одно и то же число можно по-разному записать в позиционных системах счисления с разными основаниями.

IV. Решение задач:

1. Какие цифры используются в системах счисления:

а) с основанием 6; б) с основанием 3?

2.количество предметов на рисунках представьте числами в разных (соответствующих) системах счисления:

3. Найдите и объясните ошибку в одной из записей. Числа записаны следующим образом:

1) 215;  2)13;  3) 196;  4) 1123.

4.Заполните таблицу, указав в клетках количество единиц в группе (для подсказки три клетки заполнены):

Вид группы	Основание системы счисления
	2	3	5	8	10	12
Группа I порядка	2
Группа II порядка		9
Группа III порядка			125

5. заполните таблицу, записав в пустые клетки числа в соответствующей системе счисления (за образец возьмите выделенную строку):

Основание системы счисления
2	3	5	8	10	12
102	23	25	28	2	212
				7
		145
			408
				22
	1223
101002

6. Запишите число учеников в вашем классе в десятичной, пятеричной и двоичной системах счисления.

7.Для каждого из чисел 223 , 245,  408,  19812  запишите число:

а) следующее за ним в указанной системе счисления;

б) предшествующее ему в этой системе счисления.

8. Верно ли, что:

а) 208

б) 20

в) 208

г) 218

9. Сравните числа в каждой паре:

а) 9 и 145;

б) 145 и 315:

в) 9 и 315;

г) 345 и 1103;

д) 1103 и 19;

е) 345 и 19.

Использованные источники

1. Математика: учебник для 5 класса: в2 ч. Ч.1/ Э.Г. Гельфман, О.В. Холодная – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.
2. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах. С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2002.
3. Изучая математику: книга для учащихся 5-6 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995.
4. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1998

Высшее образование БГПУ

1. Понятие о системе счисления. 2. Позиционные и непозиционные системы счисления. 3. Запись целых неотрицательных чисел в позиционных системах счисления.

1.                Понятие о системе счисления.

2.                Позиционные и непозиционные системы счисления.

3.     Запись целых неотрицательных чисел в позиционных системах счисления.

Понятие системы счисления

Понятие числа возникло в глубокой древности, и тогда же возникла необ­хо­димость записи чисел. До возникновения письменности люди считали с помощью пальцев, палочек, ракушек, камешков, узелков на веревке и т. п. Но легко дога­дать­ся, что такой способ счета был неудобен, особенно когда приходилось иметь дело с большими числами, их сравнением и выполнением действий над ними.

Поэтому возникла необходимость в более рациональных способах счета. Его начали вести группами сложенных из одинакового количества элементов. Целую группу предметов (палочек, черточек, камней…) начали называть одним словом и обозначать одним знаком.

Этому содействовало развитие счета с помощью пальцев рук и ног. Переход человека к пальцевому и другому погрупповому счету привел к построению раз­личных систем счисления: двоичной, пятеричной, восьмеричной, десятичной (десятеричной), шестидесяте­ричной (60-ной) и др. Самая первая система была двоичная, когда человек считал при помощи рук. Следы этой системы счисления сохранились и до сегодняшних дней. И теперь часто считают парами.

Определение. Системой счисления называется совокупность правил наименова­­ния и изображения чисел с помощью конечного набора символов, называемых цифрами.

В разные исторические периоды развития человечества для подсчетов и вычислений использовались те или иные системы счисления. Например, довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году двенадцать. Двенадцатеричная система счисления сохранилась в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).

В древнем Вавилоне существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Она, как и двенадцатеричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1 час = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам, аналогично в системе измерения углов: 1 градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).

У некоторых африканских племен была распространена пятеричная система счисления, у ацтеков и народов майя, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента, — двадцатеричная система. У некоторых племен Австралии и Полинезии встречалась двоичная система.

Позиционные и непозиционные системы счисления

Все системы счисления на основе записи чисел делятся на 2 класса: позиционные системы счисления и непозиционные системы счисления.

1. Система счисления называется непозиционной, если значение цифры в записи числа не зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Примеры непозиционных систем счисления: римская, древне­греческая и др.

Единичная система счисления. Простейшая, но абсолютно неудобная система счисления. Основана на един­ственной цифре – единице (палочке). Позволяет записывать только натуральные числа. Чтобы представить число в этой системе счисления, нужно записать столько пало­чек, каково само число (взаимно однозначное соответствие между конечными множествами A палочек и B предметов, олицетворяющих данное число). Исполь­зовалась нецивилизованными племенами, потреб­ности которых в счете, как правило, не выходили за рамки первого десятка. Чисто формально единичную систему счисления можно отнести к числу основных (с основанием 1). Но, в отличие от остальных основных систем счисления, можно лишь с очень сильной натяжкой считать ее пози­ционной, а универсальной она вообще не является (в ней нельзя представить ноль, дроби и отрицательные числа).

Римская система счисления. С помощью семи цифр можно, причем относительно несложно и довольно выразительно представлять натуральные числа в диапазоне до нескольких тысяч:

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1000

Чтобы записать число в римской системе счисления, его необходимо разложить на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятерок и единиц.

Например, число 2367 в римской системе счисления запишется в виде MMCCСLXVII.

Вначале в римской системе счисления цифры записывались в порядке умень­шения их значения (слева направо). Потом, чтобы уменьшить количество знаков для записи числа, были приняты некоторые уточнения: когда перед цифрой с боль­шим значением стоит цифра с меньшим значением, то это меньшее число необ­ходимо отнять от большего. Например, число 4 стали писать IV вместо IIII, число 9 – IX вместо VIIII, 1994 записывают как MCMXCIV.

Заметим, что уточненная римская система остается непозиционной (каждая циф­ра означает одно и то же число). В рассмотренной римской системе, как и в лю­бой другой непозиционной системе, неудобно записывать большие числа и выпол­нять арифме­тические действия над ними. В наше время римская система счис­ления большого практического применения не имеет и употребляется в основном для нумерации разделов и параграфов в книгах, для нумерации томов книг, месяцев, года, классов и т. д.

 

Древнегреческая система счисления, также известная как ионийская или ново­греческая – непозиционная система счисления, – алфавитная запись чисел, в которой в ка­честве символов для счёта, употребляют буквы классического греческого алфавита, а также некоторые буквы доклассической эпохи, такие как ϝ (дигамма), ϟ (коппа) и ϡ (сампи). Одно из начертаний дигаммы внешне похоже на распространившуюся в ви­зантийскую эпоху лигатуру ϛ (ϲτ), поэтому распространилось заблуждение, что для записи числа 6 исполь­зовалась стигма. Эта система пришла на смену аттической, или ста­рогреческой, системе, которая господствовала в Греции в III веке до н. э. Необхо­димость сохранять порядок букв ради сохранения их числовых значений привела к относительно ранней (IV век до н. э.) стабилизации греческого алфавита.

Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись боль­ших чисел в таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно велик.

 

2. В позиционной системе счисления один и тот же знак-цифра может означать разные числа, в зависимости от места (позиции), которое он занимает в записи дан­ного числа. Другими словами, своеобразный вес (значимость) цифры меняется с изме­нением место­положе­ния цифры в числе, но при этом полностью определяется написанием цифры и местом, которое она занимает. В частности, это означает, что вес цифры не зависит от значений окружающих ее цифр.

Например, в числе 28381 первая цифра 8 показывает количество тысяч, вторая – десятков, а в числе 28 восьмерка показывает количество единиц.

В настоящее время общепринята десятеричная (десятичная) система счисления. Совре­мен­ная десятеричная система счисления была создана в Индии в VI в. (хотя перво­начально ее разработал древнегреческий ученый Архимед в III в. до н. э.). С по­мощью этой системы можно было рационально записывать очень большие числа. Потом система была заимствована арабами и в XII в. от арабских стран перешла в Европу, где к XVI в. была распространена всюду.

Для записи любого числа в этой системе счисления используется, как известно, толь­ко десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 – углов нет, 1 – один угол, 2 – два угла и т. д.

Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Рис. 1

Развернутая форма записи чисел. Всякое натуральное число в де­ся­тич­ной системе счисления можно записать в виде суммы степеней с основанием 10:

 
(это развернутая форма числа,
или другими словами: запись числа в виде суммы разрядных единиц).

Число а можно записать и так: .

Черта сверху показывает отличие записи числа а от произведения чисел a_n, a_n–1, a_n–2, …, a₂, a₁, a₀. Если вместо букв пишутся цифры, то черта сверху не ставится.

Например, 423071 = 4 ∙ 10⁵ + 2 ∙ 10⁴ + 3 ∙ 10³ + 7 ∙ 10 + 1.

Пример 1. Записать в развернутом виде число А₁₀ = 5124.
Решение. 5124₁₀ = 5 ∙ 10³ + 1 ∙ 10² + 2 ∙ 10¹ + 4 ∙ 10⁰.

Пример 2. Записать в развернутом виде число А₈ = 327,14.
Решение. 327,14₈ = 3 ∙ 8² + 2 ∙ 8¹ + 7 ∙ 8⁰ + 1 ∙ 8^-1 + 4 ∙ 8^-2_.

Пример 3. Записать в развернутом виде число А₁₆ = 3D2E.
Решение. 3D2E ₁₆ = 3 ∙ 16³ + D ∙ 16² + 2 ∙ 16¹ + E ∙ 16⁰ = 3 ∙ 16³ + 13 ∙ 16² + 2 ∙ 16 + 14 ∙ 1.

В позиционной системе счисления числа разбиваются на классы, а каждый класс – на три разряда, которые считаются справа налево. Каждая цифра числа обозначает коли­чество единиц того разряда, в котором она стоит (единица каждого следующего разряда в 10 раз больше единиц предыдущего). Соответствующие названия имеют следующие разрядные единицы:

1 – единица 101 – десяток 102 – сотня 103 – тысяча 106 – миллион

109 – миллиард 1012 – триллион 1015 – квадриллион 1018 – квинтильон 1021 – секстильон

Числа, меньшие 1000, принято называть  числами I класса; числа, большие 103, но меньшие 106 – 1, – числами II класса; числа, большие 106, но меньшие 109 – 1, –  числами III класса и т. д.

Обычно на практике имеют дело с числами, не превышающими 10¹². Существу­ют (ими пользовались и ранее и в настоящее время) позиционные системы с осно­ванием счета, от­лич­ным от 10.

В Древнем Вавилоне использовалась 60-ричная позиционная система счисления, на Ближ­нем Востоке – 12-ричная система счисления, в некоторых африканских племенах и в Китае – 5‑ричная система счисления. Следы этих систем сохранились до настоящего времени: час делят на 60 минут, а минуту – на 60 секунд; дюжина (12) – дю­жинами обычно считают ложки, тарелки, кресла в актовом зале и т. д.

60-ричная система счисления. Автор: Josell7 — File:Babylonian_numerals.jpg,
CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9862983

Для записи чисел в позиционной системе с основанием h нужно иметь алфавит из h цифр. Обычно для этого при h < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

Вот примеры алфавитов нескольких систем: 

Основание	Система	Алфавит
h = 2	Двоичная	0 1
h = 3	Троичная	0 1 2
h = 8	Восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
h = 16	Шестнадцатиричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

 

 

Основание системы, к которой относится число, обычно обозначается подстрочным индексом к этому числу: 101101₂, 3671₈, ЗВ8F₁₆.

Ряд натуральных чисел в разных позиционных системах счисления строится по тому же принципу, что и в десятичной системе. А именно: сначала идут однозначные числа, потом двузначные, затем трехзначные и т. д. Самое большое однозначное число в десятичной системе – 9. Затем следуют двузначные числа – 10, 11, 12, … Самое большое двузначное число – 99, далее идут 100, 101, 102 и т. д. до 999, затем 1000 и т. д.

Все позиционные системы счисления имеют одинаковую структуру.

1. Для записи чисел используют такое количество цифр, которое определяется числом основания системы счисления. Так, в 10-ричной системе счисления для записи чисел используют 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, …, 9;

в пятеричной – 5 цифр: 0, 1, 2, 3, 4;

в шестиричной – 6 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5;

в шестнадцатиричной – 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A₁₆, B₁₆, C₁₆, D₁₆.

2. Каждая цифра означает разные числа в зависимости от места (позиции), которое она занимает в записи числа.

;

.

Число а в системе счисления с основанием h можно записать в виде:

 или ,

где  – цифры числа а.

Например, при h  = 5 имеем:  – запись натурального числа в 5-ричной системе счисления.

Возникает вопрос: возможна ли запись любого натурального числа в системе счис­ле­ния с основанием h, где hÎN (и h>1)? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

• Теорема 1. Всякое натуральное число а может быть записано, причем однозначно, в системе счисления с основанием h, т. е.

                                                                                   (2)

или                                        ,

где h Î N, h > 1, a_n ≠ 0, a_i Î N (i = 0, 1, 2, … , n).

Доказательство.

Если a < h, h – однозначное число и для его записи исполь­зуется одна цифра а.

Если a > h, то разделим a на h с остатком:

,                                                                                                                                                    (3)

где a₀ < h, и если q₀ < h, то, обозначив q₀ = a₁, получим:

 –                                                   теорема доказана.

Если q₀ ³ h, то разделим q₀ на h: , где a₁ < h.

Значение q₀ подставим в (3) и получим:

.                                                                                 (4)

Если q₁ < h, то обозначим q₁ = а₂ и получим:

 –                                теорема доказана.

Далее поступаем аналогично:

если q₁ ³ h, то разделим q₁ на h, получим . Подставим q₁ в (4):

 (обозначим q₂ = а₃) =  
и т. д.

Данный процесс не может быть бесконечным, поскольку последовательность чисел q₀, q₁, q₂, … – убывающая и на некотором n-м шаге будет иметь: q_n–1 < h. Окончательно, обозначив q_n–1 через а_n, получим

 или .

Однозначность записи числа а в виде равенства (2) следует из теоремы о един­ственности частного и остатка при делении с остатком.

10. Задача 1. При каком основании системы счисления h выполняется ра­вен­ство: а) 101_h = 37₁₀, б) 312_h + 213_h = 140₁₀?

Решение. а) По теореме 1 запишем 101_h = h² + 0 ∙ h + 1 = h² + 1, поэтому

h² + 1=37

h² = 36

h₁ = –6, ­–6ÏN; h₂ = 6.

Ответ: h = 6.

б) По теореме 1 имеем:             312_h = 3h² + h + 2; 213_h = 2h² + h + 3;

далее:                                                               (3h² + h + 2) + (2h² + h + 3) = 140;

5h² + 2h – 135 = 0, D=2704=52², ,

h₁ = 5;  h₂ = –5,4, –5,4ÏN.

Ответ: h₁ = 5.

10. Задача 2. В саду 100_q фруктовых деревьев: из них 33_q яблонь, 22_q груш, 16_q слив и 17_q вишен. Найдите q – основание системы счисления, в которой посчитаны деревья. 

Решение. Всего в саду 100_q деревьев:   100_q = 33_q+22_q+16_q+17_q.

Пронумеруем разряды и представим данные числа в развернутой форме: 

Ответ: деревья посчитаны в системе счисления с основанием 9.

Что такое порядковые номера? Определение, список, примеры, факты

Что такое порядковые числительные?

Числа, которые используются для обозначения ранга или положения объекта или человека, известны как порядковые числительные. Их также называют номерами позиционирования или ранжирования. Последовательность порядковых номеров зависит от параметров, основанных на определенных позициях, таких как вес, рост, отметки, размер и т. д. Такие числа также известны как порядковые номера.

Как писать порядковые номера?

Порядковые числительные или порядковые номера записываются с использованием числительных в качестве префиксов и прилагательных в качестве суффиксов.

Например, 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й, 6-й, 7-й, 8-й и так далее. Мы можем легко определить порядковый номер: он говорит о позиционировании.

Итак, если бы мы сказали: «Принеси мне бутылку варенья, которая лежит на 4-й полке», то можно было бы знать, что порядковый номер здесь равен 4, что информирует нас о положении бутылки с вареньем.

На картинке выше показаны разные этажи здания. Здесь мы можем использовать порядковые номера для определения положения этажей.

Цифры 1-й (первый), 2-й (второй), 3-й (третий), 4-й (четвертый), 5-й (пятый), 6-й (шестой), 7-й (седьмой), 8-й (восьмой), 9-й (девятый) и 10-й (десятый) расскажите о расположении различных этажей в здании. Следовательно, все они являются порядковыми числами.

Применение порядковых числительных

Порядковые числительные — отличный способ рассказать о порядке чего-либо. Например, порядок дат. Эти номера используются только тогда, когда данные предоставлены и данные должны быть расположены по порядку.

Например: Тот, кто хорошо выступал в течение года, может получить шанс быть прощальным. Они будут первыми в очереди. Но тот, кто показал хорошие результаты, но не смог набрать столько же баллов, сколько предыдущий человек на различных тестах и ​​экзаменах, может быть вторым в очереди на прощальное выступление. У человека, который вообще не показал себя хорошо, меньше всего шансов.

На приведенном ниже рисунке показаны спортсмены, соревнующиеся в беге на 500 м. Мы также можем использовать порядковые номера для определения их позиций, чтобы увидеть, кто является победителем и кто занял второе место в гонке.

Другие примеры порядковых номеров:

• Дженнифер всегда занимает второе место в классе.

Здесь 2nd — это порядковый номер, который говорит вам о должности, которую получила Дженнифер.

• Джейн стоит на пятом месте в очереди.

Под этим порядковый номер 5-й, мы понимаем позицию Джейн в очереди.

• Дженни заняла третье место в гонке.

Здесь 3rd — это порядковый номер, который говорит вам о месте, которое Дженни заняла в гонке.

• 10-й стол зарезервирован.

Здесь порядковый номер 10 означает количество зарезервированных столиков.

Порядковые числительные 1

– 50 список

Порядковые числительные 51

– 100 список

Порядковые числительные против количественных числительных . Этот тип чисел используется для представления количества элементов в наборе.

Кардинальность означает знание количества элементов в наборе.

Числа могут быть натуральными числами, которые мы используем при счете, например, один, два, три, четыре, пять и так далее.

С другой стороны, порядковые номера используются для определения ранга или положения любого объекта или лица. Мы пишем порядковые числа, используя числа в качестве префиксов и прилагательные в качестве суффиксов.

Давайте поймем разницу на примере.

Некоторых учеников попросили собрать шарики.

Том собрал 1, Джейн собрала 2, а Гвоздика собрала 3 шарика.

Здесь числа 1, 2, 3 являются количественными числами, поскольку они обозначают количество шариков.

Теперь побеждает тот, кто наберет максимальное количество очков. Итак, Гвоздика занимает 1-е место, Джейн — 2-е, а Том — 3-е.

Здесь числа 1-й, 2-й и 3-й являются порядковыми, так как они обозначают положение студентов.

Порядковые номера v. Номинальные номера

Набор номеров, которые используются для маркировки определенных предметов или мест, чтобы их можно было легко идентифицировать, известен как номинальные номера. Всякий раз, когда нам нужно однозначно идентифицировать объект, мы используем номинальные номера. Эти числа не очень полезны, потому что они просто дадут информацию о местоположении, а не о его количестве, качестве и т. д. Номинальные числа могут использоваться в качестве кодов городов, на номерных знаках транспортных средств и т. д. Такие операции, как сложение, вычитание , умножение и деление бессмысленны на номинальных числах.

Например: в телефонном номере 202 588-6500 это номинальный номер. Даже если мы применим операцию, она не даст нам ничего осмысленного.

На порядковой руке порядковые номера говорят нам о ранге или положении любого предмета или человека.

Например: София живет в 34-м доме на Сан-Пабло-авеню, Калифорния.

Интересный факт!

11, 12 и 13 — единственные числа, в которых используется суффикс «–th», но все остальные числа, оканчивающиеся на 1, используют «–st», числа, оканчивающиеся на 2, используют «–nd», а заканчивающиеся на 3 используют «–rd». ‘.

Решенные примеры

Пример 1: Какой английский алфавит является 12-м с начала?  

Решение : Алфавит, стоящий 12-й с начала, — L.  

Пример 2. Ким, Кети, Киа и Каина сидят в очереди в алфавитном порядке. Каково положение Киа с самого начала?

Решение : Согласно алфавитному порядку, они будут сидеть в следующем порядке: Каина, Кети, Киа, Ким. Итак, Киа находится на 3-й позиции.

3. Рождество приходится на _____ декабря. Решение : Рождество приходится на 25 декабря.

Практические задачи

1

Что из следующего обозначает порядковый номер?

Номер автомобиля Сары — KL23AB89.

На дереве 9 яблок.

Кэтлин заняла 4-е место в конкурсе рисунков.

Ничего из этого

Правильный ответ: Кэтлин заняла 4-е место в конкурсе рисунков.
В варианте С число 4 говорит о позиции Кэтлин в конкурсе рисунков.

2

Как записать 51 в порядковых числах?

51

51-й

51-й

51-й

Правильный ответ: 51-й
Порядковый номер 51 для 51-го.

3

В слове «КОМпенсация» какие четвертая и десятая буквы?

M и O

M и N

P и I

E и O

Правильный ответ: P и I
Четвертая буква P, десятая буква I.

Часто задаваемые вопросы

Является ли 0 порядковым номером?

Нет, мы не можем записать 0 как порядковый номер.

Что такое исключительные порядковые числительные?

Исключительные порядковые числительные — это порядковые числительные, не оканчивающиеся на -th. Например: 1st (первый), 2nd (второй), 3rd (третий) и т. д.

Кто изобрел порядковые числительные?

Порядковые числительные были изобретены Георгом Кантором в 1883 году.

Что такое разрядное значение? Объяснение для учителей, родителей и детей

В этом посте мы объясним, что такое разрядное значение, что оно означает, и предоставим вам несколько вопросов, которые вы можете использовать для проверки навыков вашего ребенка!

Что такое разрядное значение?

Разрядное значение является основой всей нашей системы счисления. Это значение каждой цифры в числе. Другими словами, положение цифры в числе определяет его значение.

Например, 5 в числе 350 представляет 5 десятков или 50; однако 5 из 5006 представляют 5 тысяч или 5000.

Важно, чтобы дети понимали, что, хотя цифра может быть одной и той же, ее значение зависит от того, где она находится в числе.

Детей, скорее всего, будут обучать разряду с помощью таблицы, подобной этой:

Часто они просто появляются с буквами на них, обозначающими каждую позицию: M миллионов, H undred Th тысяч, T en Th тыс., Th тыс., H undreds, T ens, O н/с, t энт, h нред и так далее.

Например, в числе 27 435 число 2 стоит в разряде десятков тысяч и представляет 2 десятки тысяч или 20 000; число 7 стоит в разряде тысяч и представляет 7 тысяч или 7000; число 4 стоит в разряде сотен и представляет 4 сотни или 400, число 3 находится в разряде десятков и представляет 3 десятка или 30; а цифра 5 стоит на месте единиц и представляет 5 единиц или 5.

Вы можете загрузить свою собственную диаграмму разрядности и активности здесь. На это совсем не требуется времени, а затем вы можете физически манипулировать числами, чтобы показать их позиционное значение. Это очень важно при работе с детьми.

Когда мой ребенок узнает о значении места в школе?

Значение разряда, возможно, является одной из самых важных областей начальной математической программы.
У каждого уровня обучения есть набор задач, специально ориентированных на числовое и разрядное значение. В начале каждого учебного года в начальной школе ваш ребенок, скорее всего, просматривает предыдущую работу над разрядами и дополняет ее большими (или меньшими в случае десятичных дробей) числами.

Пример «ступеньки» от использования манипулятивных средств — их графических изображений — взят из онлайн-уроков математики Third Space Learning.

Школы Common Core:

В детском саду учащиеся должны:

• Считать до 100 единицами и десятками.
• Счет вперед с любого заданного номера.
• Запись чисел до 20 цифрами.

Учащиеся также могут начать распознавать разряды чисел после 20, читая, записывая, считая и сравнивая числа до 100, опираясь на предметы и визуальные представления.

В 1-м классе учащиеся должны: 

• Распознавать разрядное значение каждой цифры в двузначном числе (десятки, единицы).
• Читать и записывать числа не менее 100 цифрами и прописью.

К концу 1-го класса учащиеся должны знать числовые связи до 20 и быть точными в использовании и понимании разрядного значения.

В 2-й класс учащиеся должны: 

• Узнавать разрядное значение каждой цифры в трехзначном числе (сотни, десятки, единицы).
• Подсчет в пределах 1000; пропуск счета на 5, 10 и 100 секунд.
• Чтение и запись чисел до 1000 с использованием цифр, названий чисел и расширенной формы.

В

В 3-м классе учащиеся должны: -цифровое целое число, цифра на одном месте в десять раз больше, чем на месте справа от нее.

Чтение и запись многозначных целых чисел с использованием десятичной системы счисления, имен чисел и расширенной формы.

Используйте понимание разрядности для округления многозначных целых чисел до любого разряда.

В 5-м классе учащиеся должны: 

• Знать, что в многозначном числе цифра на одном месте представляет в 10 раз больше, чем на месте справа, и в 10 раз больше, чем на представляет в месте слева от него.
• Читать, писать и сравнивать десятичные дроби с тысячными.
• Используйте понимание разрядности для округления десятичных знаков до любого разряда.

Другие школы:

 Другие школы, не соблюдающие Common Core, следуют той же последовательности концепций обучения местам, как показано выше, хотя некоторые отдельные стандарты могут немного отличаться.

Как мой ребенок будет обучаться расстановке знаков в начальной школе?

В начальной школе используются два конкретных математических ресурса, которые помогают детям понять значение разряда. Оба следующих вспомогательных средства делают это, представляя его в визуальной манере.

Блоки с основанием 10

Блоки с основанием 10 (также известные как «блоки с основанием 10») — это кубы, которые используются для представления единиц/единиц, десятков, сотен и тысяч.

Эти кубики — простой способ для детей составлять разные числа. Чтобы составить число 174, им нужно собрать один набор из 100, 7 наборов из 10 и четыре отдельных кубика.

Десять рамок

Десять рамок представляют собой прямоугольные сетки с двумя рядами по пять ячеек. Они обычно используются в начальных классах для представления чисел в контексте «десять». Это помогает учащимся развить сильное чувство числа, предоставляя учащимся простые визуальные представления единиц и десятков.

Число 7 в десятичной рамке

Чтобы использовать десятичную рамку, учащиеся получают счетчики, которыми они могут манипулировать внутри десятичной рамки, чтобы составлять различные числа и узнавать о разрядности. Они также могут использовать два кадра из десяти — полный кадр из десяти, чтобы показать десятку, а затем второй кадр из десяти, чтобы показать единицы — для создания чисел 11-20. Десять кадров также используются, когда ученики только начинают учиться складывать и вычитать.

Эти десять кадров показывают, что 7 + 3 = 10

Понимание разрядности крайне важно для детей, прежде чем они смогут перейти к сложению и вычитанию двузначных чисел.

Если вы заинтересованы в более глубоком изучении этой темы, мы рекомендуем прочитать это подробное руководство по обучению позиционной стоимости и попробовать некоторые из этих игр с позиционной стоимостью.

Как разрядное значение связано с другими областями математики?

Значение места неразрывно связано со многими другими областями математики; твердое понимание этого жизненно важно, чтобы позволить детям грамотно складывать, вычитать, умножать и делить, среди прочего.

Разрядное значение и другие области математики в каждом классе

Школы, использующие Common Core:

В Kindergarten учащиеся будут составлять (составлять) и разлагать (разбирать) числа от 11 до 19 на десятки и единицы с помощью предметов или рисунков.

В 1-м классе учащиеся будут использовать разрядность и числовые факты для сложения и вычитания в пределах 100. 

Во 2-м классе учащиеся будут складывать и вычитать в пределах 1000, используя стратегии, основанные на разрядности, свойствах операций и /или связь между сложением и вычитанием, и они объяснят, почему эти стратегии работают.

В 3-м классе разрядное значение используется для сложения и умножения. Учащиеся будут складывать и вычитать в пределах 1000, используя стратегии, основанные на разрядности, свойствах операций и/или отношениях между сложением и вычитанием.

Учащиеся также будут умножать однозначные целые числа на кратные 10 в диапазоне от 10 до 90, используя стратегии, основанные на разрядности и свойствах операций.

При измерении учащиеся 3-го класса опираются на свое понимание разрядного значения, соотнося сложение и умножение с понятиями площади и периметра.

В 4-м классе учащихся будут складывать и вычитать многозначные целые числа по стандартному алгоритму.

Учащиеся также будут умножать целое число, состоящее из четырех цифр, на целое однозначное число, умножать два двузначных числа и делить вплоть до четырехзначных делимых и однозначных делителей, используя стратегии, основанные на разрядности .

При измерении учащиеся будут использовать свои знания о разрядных значениях и четырех операциях для решения текстовых задач, связанных с расстояниями, интервалами времени, объемами жидкостей, массами объектов и деньгами. Они также будут использовать умножение и деление для преобразования таких единиц, как метры и километры.

В 5-м классе учащихся будут умножать многозначные целые числа с использованием стандартного алгоритма и делить целые числа с делимыми до четырехзначных чисел и двузначными делителями

умножать и делить десятичные дроби до сотых.

При измерении учащиеся будут преобразовывать стандартные единицы измерения разного размера в заданной системе измерения.

Другие школы:

 Другие школы, не использующие Common Core, по-прежнему следуют той же последовательности концепций, как показано выше; учащиеся начинают в детском саду с составления и разложения десятков и единиц и проходят через четыре операции, пока, наконец, в 5-м классе они не используют четыре операции с десятичными знаками. Некоторые стандарты могут различаться в зависимости от штата.

Практические вопросы по расценкам для детей начальной школы

Попробуйте ответить на эти вопросы, чтобы понять, насколько комфортно вашему ребенку знакома система расценок.

1) Каково значение цифры 7 в следующих числах? a) 405,7   b) 30 070

2) У Джека четыре карты с числами: 2, 3, 4 и 7. Он использует каждую карту один раз, чтобы составить четырехзначное число. Он помещает 4 в столбец десятков; 2 так, чтобы оно имело большее значение, чем любая из других цифр, и остальные цифры, чтобы 7 имело большее значение. Какое число составил Джек?

3) Посмотрите на этот номер: 23 451,96. Запишите цифру, стоящую в а) разряде сотен б) разряде сотых.

4) Запишите число 402 037 прописью.

• Что такое квадратное число?
• Что такое БОДМАС или БИДМАС?
• Объяснение задач по математике для родителей и учителей
• Что такое модель «часть целого»?

Этот блог является частью нашей серии блогов, предназначенных для учителей, школ и родителей, поддерживающих домашнее обучение.