Позиционные системы счисления — что это, определение и ответ
Системы счисления — одна из самых базовых тем в информатике. Знание систем счисления позволяет успешно решать задание№14. Также системы счисления лежат в основах логики, программирования и кодирования. В этой теме надо разбираться по порядку.
Допустим, необходимо посчитать количество цветов на поляне. Можно загибать пальцы, делать зарубки на дереве, как это делали древние люди, и так далее. Можно сделать вывод, что форма счета может быть любой, также, как и форма записи. Для способа записи чисел ввели такое понятие, как система счисления.
Существует два типа систем счисления:
Нас будут интересовать именно позиционные системы счисления с различными основаниями. Самые популярные системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная. Позиционные системы счисления основаны на том, что «вес» цифры зависит от её положения — или позиции — в числе, отсюда и такое название. Для успешной подготовки к экзамену необходимо уметь переводить любое число из десятичной системы счисления в любую другую n‑ричную и из n‑ричной в десятичную. Далее приведена информация по каждому случаю.
Десятичная система счисления
Исторически сложилось, что это самая распространенная система счисления. Именно её мы используем, когда мы делаем покупки в магазине, набираем номер телефона или открываем страницу в книге. На каждой позиции может стоять только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием (то есть, количество цифр) является число 10. Это значит, что «вес» любой цифры в числе будет кратен 10 в степени, равной позиции этой цифры. При этом позиции (их называют разрядами) отсчитываются с правого конца числа, начиная с нуля.
Пример. Чтобы разобраться подробнее, возьмем число 123. Давайте «разложим» это число по разрядам. Для этого каждую цифру числа умножим на основание системы, в данном случае число 10, возведенное в степень, равную номеру разряда.
Цифра 3 стоит в нулевом разряде, цифра 2 — в первом, а цифра 1 — во втором. Получается, значение равно:
1 * 102 + 2 * 101 + 3 * 100 = 100 + 20 + 3 = 123.
При работе с разными системами счисления, чтобы избежать путаницы, справа от числа приписывают нижний индекс с основанием: 12310.
Двоичная система счисления
Эта система счисления используется в вычислительной технике. Десятичную систему счисления в компьютерах не стали использовать, потому что требовалось производство устройств, способных работать в десяти состояниях, а это сильно увеличило бы цену и размер таких устройств. Двоичная же система позволяла экономить на всем.
Двоичная система счисления, как следует из названия, имеет основание 2 и использует только цифры 0 и 1.
Пример. Возьмем число 1001 — это число 9 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести число из 2-ичной в 10-ичную систему счисления, необходимо точно так же «разложить» число на разряды, т.
е. каждую цифру двоичного числа умножить на основание 2, возведенное в степень, равную разряду:
10012 = 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9.
Точно так же выполняется перевод из любой n-ричной системы счисления в десятичную. Для этого надо:
1. определить количество разрядов;
2. умножить каждую цифру n-ричной системы счисления на основание «n», возведенное в степень, равную разряду.
Пример. Посмотрим на то, как переводить число из десятичной системы счисления в n-ричную. Сейчас сделаем это опять на примере двоичной системы. Пусть нужно перевести число 24010 в двоичную систему счисления. Для этого надо последовательно делить число 240 на 2, фиксируя получающиеся остатки (удобнее всего делать это «лесенкой»), пока не дойдем до последнего частого, которое на 2 уже не делится.
Это будет первая цифра числа в двоичной системе. А остальные цифры — это получившиеся остатки, записанные в обратном порядке:
Осталось записать обведенные кружком цифры в обратном порядке, начиная с самой правой (выделена жирным). Получаем, что число 24010 = 111100002.
Точно так же выполняется перевод из десятичной системы счисления в любую n-ричную. Для этого надо:
-
целую часть числа последовательно делить на основание новой системы счисления, пока не останется число или цифра, которая уже делиться не будет;
-
эта оставшаяся цифра будет первой цифрой нового числа. Остальные цифры — это остатки от всех делений, записанные в обратном порядке.
Восьмеричная система счисления
Имеет основание 8, использует цифры от 0 до 7.
Для того, чтобы перевести из восьмеричной системы счисления в десятичную, необходимо умножить каждую цифру восьмеричного числа на основание 8, возведенное в степень, равную разряду.
Пример. 6718 = 6 * 82 + 7 * 81 + 1 * 80 = 384 + 56 + 1 = 44110.
Перевод из десятеричной системы счисления в восьмеричную осуществляется аналогично переводу в двоичную, только делителем в данном случае является 8.
Пример. Пусть надо перевести число 16310 в восьмеричную систему:
Получаем, что 16310 = 2438.
Шестнадцатеричная система счисления
Имеет основание 16, использует цифры от 0 до 9 и буква A, B, C, D, E, F, где буква А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15.
Для того, чтобы перевести из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную, нужно необходимо умножить каждую цифру восьмеричного числа на основание 16, возведенное в степень, равную разряду.
Пример. 12716 = 1 * 162 + 2 * 161 + 7 * 160 = 256 + 32 + 7 = 29510.
Для того, чтобы перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную, нужно целую часть числа находить делением на основание новой.
Пример. 19110 переведем в шестнадцатеричную систему:
Получаем, что 19110 = BF16
Перевод между системами счисления, основания которых являются степенью двойки.
Для перевода чисел, записанных в восьмеричной системе в двоичный код, необходимо каждую цифру восьмеричного числа представить триадой двоичных символов.
Триады — числа, состоящие из трех цифр, грубо говоря, это перевод восьмеричных чисел от 0 до 7 в двоичную систему счисления. Тетрады состоят из четырех, и это, грубо говоря, перевод шестнадцатеричных чисел от 0 до F в двоичную систему счисления.
Триады и тетрады переводятся, начиная с конца числа (т.е. с младших разрядов). Если крайние триады (тетрады) оказались неполными, они дополняются нулями. Если при переводе в двоичную систему в начале числа (слева) возникают нули, их следует отбросить (они незначащие).
Пример. 123456678 = 001 010 011 100 101 110 110 1112 = 1 010 011 100 101 110 110 1112
Таблица с триадами и тетрадами, которую надо знать наизусть.
| Число | Триада | Тетрада |
|---|---|---|
| 0 | 000 | 0000 |
| 1 | 001 | 0001 |
| 2 | 010 | 0010 |
| 3 | 011 | 0011 |
| 4 | 100 | 0100 |
| 5 | 101 | 0101 |
| 6 | 110 | 0110 |
| 7 | 111 | 0111 |
| 8 | 1000 | |
| 9 | 1001 | |
| A (10) | 1010 | |
| B (11) | 1011 | |
| C (12) | 1100 | |
| D (13) | 1101 | |
| E (14) | 1110 | |
| F (15) | 1111 |
Перевод чисел с большими степенями
В задании №14 в ЕГЭ по информатике важно знать еще пару особенностей систем счисления.
В десятичной системе счисления вы привыкли к тому, что 10a (десять в степени a) равно единице с a нулями. Важно то, что во всех других позиционных системах это работает точно так же. Сформулируем соответствующее правило:
| Десятичное число вида na в n-ричной системе счисления будет выглядеть как единица с a нулями. |
Пример. Десятичное число 27 в двоичной системе счисления будет выглядеть как единица и семь нулей: 100000002, десятичное число 54 в пятеричной системе счисления будет выглядеть как единица и четыре нуля: 100005 и т.д.
Еще одна важная вещь касается вычитания маленьких чисел из больших круглых чисел в разных системах счисления. Если мы в десятичной системе счисления из 1000000 вычтем 1, мы получим 999999 – это никого не удивляет. Однако, в двоичной и других системах счисления понимание этого дается многим с трудом, хотя принцип абсолютно тот же самый.
Сформулируем соответствующее правило:
| Если необходимо из числа 1000…000n+1, содержащего единицу и a нулей, вычесть 1n+1, то результат будет nnn…nnnn+1, где количество цифр n будет равно a. |
Пример. 100006 – 16 = 55556, 100000003 – 13 = 22222223.
В форматных заданиях №16 часто встречаются прототипы, где нужно складывать и вычитать десятичные числа с большими показателями. Давайте посчитаем количество «шестерок» в выражении 725 – 73, где числа записали в семеричной системе счисления. При переводе чисел получим, что 725 = 1000…0007 (25 нулей), 73 = 10007. Запишем решение через столбик:
Видим, что младшие 3 разряда остаются нулями, остальные разряды превращаются в шестерки.
Заметим, что в получившемся числе 25 разрядов, 3 из которых – это нули, а оставшиеся 22 разряда – шестерки. Таким образом, ответом является 22.
Отметим, что мы искали количество цифр, имеющих максимальное значение в данной системе счисления. Можно заметить, что мы взяли 25 — показатель старшей степени, и вычли из него 3 — показатель младшей степени, и получили верный ответ. Такое правило работает с любым выражением, где числа имеют одинаковое основание. Сформулируем соответствующее правило:
| Если необходимо десятичное число, имеющее вид an – am, перевести в a–ричную систему счисления, то количество цифр (a-1) будет равно разности показателей, то есть n-m. |
Пример. Сколько будет единиц в двоичной записи числа 2234 -2217? Нам нужно посчитать количество максимальных цифр в двоичной записи данного выражения. Числа имеют одинаковое основание 2, поэтому воспользуемся правилом, которое мы вывели выше, то есть 234 – 217 = 17.
Позиционные системы счисления — что это, определение и ответ
Системы счисления – одна из самых базовых тем в информатике, поэтому разберемся в этой теме по порядку.
Допустим, необходимо посчитать количество цветов на поляне. Можно загибать пальцы, делать зарубки на дереве, как это делали древние люди, и так далее. Можно сделать вывод, что форма счета может быть любой, также, как и форма записи. Для способа записи чисел ввели такое понятие, как система счисления.
Существует два типа систем счисления:
-
Непозиционная
-
Позиционная
В непозиционной системе счисления величина, которая обозначает цифру, не зависит от положения в числе.
К таким системам счисления можно отнести египетскую и римскую системы счисления.
Пример. Число в римской системе счисления – это набор стоящих подряд заглавных латинских букв, таких как I, V, X, L, C, В и M, которые обозначают числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 соответственно.
Тогда число 67 в римской системе счисления можно записать, как LXVII.
Непозиционные системы счисления годны для записи числа, но при сложных вычислениях вызывают массу неудобств хотя бы потому, что в них отсутствуют единые правила формирования больших чисел.
Позиционные системы счисления основаны на том, что «вес» цифры зависит от её положения – или позиции – в числе, отсюда и такое название.
Самые популярные в информатике позиционные системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная.
Десятичная система счисления
Исторически сложилось, что это самая распространенная система счисления. Именно её мы используем, когда мы делаем покупки в магазине, набираем номер телефона или открываем страницу в книге. На каждой позиции может стоять только одна цифра из диапазона от 0 до 9.
Основанием (то есть, количество цифр) является число 10. Это значит, что «вес» любой цифры в числе будет кратен 10 в степени, равной позиции этой цифры.
При этом позиции (их называют разрядами) отсчитываются с правого конца числа, начиная с нуля.
Пример. Чтобы разобраться подробнее, возьмем число 123. Давайте «разложим» это число по разрядам. Для этого каждую цифру числа умножим на основание системы, в данном случае число 10, возведенное в степень, равную номеру разряда. Цифра 3 стоит в нулевом разряде, цифра 2 – в первом, а цифра 1 – во втором. Получается, значение равно:
1∙102 + 2∙101 + 3∙100 = 100 + 20 + 3 = 123.
При работе с разными системами счисления, чтобы избежать путаницы, справа от числа приписывают нижний индекс с основанием: 12310.
Двоичная система счисления
Эта система счисления используется в вычислительной технике. Десятичную систему счисления в компьютерах не стали использовать, потому что требовалось производство устройств, способных работать в десяти состояниях, а это сильно увеличило бы цену и размер таких устройств.
Пример. Возьмем число 1001 – это число 9 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести число из двоичной в десятичную систему счисления, необходимо точно так же «разложить» число на разряды, т.е. каждую цифру двоичного числа умножить на основание 2, возведенное в степень, равную разряду:
10012 = 1∙23 + 0∙22 + 0∙21 + 1∙20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9.
Точно так же выполняется перевод из любой n-ричной системы счисления в десятичную. Для этого надо:
-
Определить количество разрядов;
-
Умножить каждую цифру n-ричной системы счисления на основание «n», возведенное в степень, равную разряду.
Пример. Посмотрим, как переводить число из десятичной системы счисления в двоичную. Пусть нужно перевести число 24010 в двоичную систему счисления. Для этого надо последовательно делить число 240 на 2, фиксируя получающиеся остатки (удобнее всего делать это «лесенкой»), пока не дойдем до последнего частного, которое на 2 уже не делится.
Это будет первая цифра числа в двоичной системе. А остальные цифры – это получившиеся остатки, записанные в обратном порядке:
Осталось записать обведенные кружком цифры в обратном порядке, начиная с самой правой (выделена жирным). Получаем, что число
24010 = 111100002.
Точно так же выполняется перевод из десятичной системы счисления в любую n-ричную. Для этого надо:
-
Целую часть числа последовательно делить на основание новой системы счисления, пока не останется число или цифра, которая уже делиться не будет;
-
Эта оставшаяся цифра (частное) будет первой цифрой нового числа. Остальные цифры – это остатки от всех делений, записанные в обратном порядке.
Восьмеричная система счисления
Имеет основание 8, использует цифры от 0 до 7.
Для того, чтобы перевести из восьмеричной системы счисления в десятичную, необходимо умножить каждую цифру восьмеричного числа на основание 8, возведенное в степень, равную разряду.
Пример.
6718 = 6∙82 + 7∙81 + 1∙80 = 384 + 56 + 1 = 44110.
Перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную осуществляется аналогично
переводу в двоичную, только делителем в данном случае является 8.
Пример. Пусть надо перевести число 16310 в восьмеричную систему:
Получаем, что:
16310 = 2438.
Шестнадцатеричная система счисления
Имеет основание 16, использует цифры от 0 до 9 и буква A, B, C, D, E, F, где буква А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15.
Для того, чтобы перевести из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную, необходимо умножить каждую цифру восьмеричного числа на основание 16, возведенное в степень, равную разряду.
Пример.
12716 = 1∙162 + 2∙161 + 7∙160 = 256 + 32 + 7 = 29510.
Для того, чтобы перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную, нужно целую часть числа находить делением на основание новой.
Пример. 19110 переведем в шестнадцатеричную систему:
При этом 11 = B, 15 = F. Получаем, что:
19110 = BF16.
Метод триад и тетрад
Для перевода чисел, записанных в восьмеричной системе в двоичный код, необходимо каждую цифру восьмеричного числа представить триадой двоичных символов.
Триады – числа, состоящие из трех цифр, вообще говоря, это перевод восьмеричных чисел от 0 до 7 в двоичную систему счисления. Тетрады состоят из четырех, и являются переводом шестнадцатеричных чисел от 0 до F в двоичную систему счисления.
Триады и тетрады переводятся, начиная с конца числа (т.е. с младших разрядов). Если крайние триады (тетрады) оказались неполными, они дополняются нулями. Если при переводе в двоичную систему в начале числа (слева) возникают нули, их следует отбросить (они незначащие).
Пример.
123456678 = 001 010 011 100 101 110 110 1112 = 1 010 011 100 101 110 110 1112.
Таблица с триадами и тетрадами, которую надо знать наизусть.
| Число | Триада | Тетрада |
|---|---|---|
| 0 | 000 | 0000 |
| 1 | 001 | 0001 |
| 2 | 010 | 0010 |
| 3 | 011 | 0011 |
| 4 | 100 | 0100 |
| 5 | 101 | 0101 |
| 6 | 110 | 0110 |
| 7 | 111 | 0111 |
| 8 | 1000 | |
| 9 | 1001 | |
| A (10) | 1010 | |
| B (11) | 1011 | |
| С (12) | 1100 | |
| D (13) | 1101 | |
| E (14) | 1110 | |
| F (15) | 1111 |
Перевод из десятичной системы счисления в двоичную с помощью степенной таблицы
Рассмотрим еще один альтернативный метод перевода из десятичной системы счисления в двоичную, который заключается в использовании таблицы степеней двоек.
Рассмотрим данный алгоритм подробнее:
-
Записываем таблицу степеней двойки в обратном порядке.
-
Выбираем самое большое значение степени, помещающееся в число, которое переводим в двоичную систему. Эту степень обводим.
-
Переходим к следующей степени двойки.
-
Вычитаем каждое следующее помещающееся число. Вмещающиеся степени обводим.
-
Продолжаем вычитать, пока не дойдем до конца таблицы.
-
Под обведенными степенями пишем «1», под не обведенными «0».
-
Записываем получившееся число.
Пример. С помощью этого метода переведем число 7910 из десятичной системы счисления в двоичную.
79 = 64 + 8 + 4 + 2 + 1
Получаем:
7910 = 10011112 .
Арифметика в позиционных системах счисления
С первого класса вас учили производить расчеты в десятичной системе счисления, далее мы рассмотрим, как производить расчеты в произвольной позиционной системе счисления.
Все позиционные системы счисления «одинаковы», и выполнение арифметических вычислений во всех них производятся по общим правилам сложения, вычитания, умножения и деления столбиком, аналогичным правилам в десятичной системе счисления.
Сложение в позиционных системах счисления
Сложение многозначных чисел в n-ричной системе счисления производится поразрядно, начиная с младшего разряда. Если при суммировании цифр одного разряда сумма оказывается больше n – 1, то в данном разряде записывается младшая цифра суммы, а старшая цифра прибавляется к ближайшему слева разряду. При этом таблица сложения в двоичной системе счисления выглядит следующим образом:
Пример. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления, опираясь на таблицу сложения. Маленькими цифрами сверху обозначены значения, переносимые при сложении в соседний слева разряд.
Вычитание в позиционных системах счисления
Вычитание многозначных чисел в n-ричной системе производится также столбиком.
Если в очередном разряде уменьшаемого стоит цифра, меньшая чем у вычитаемого, то занимается единица у ближайшего слева ненулевого разряда. В результате к вычисляемому разряду уменьшаемого добавляется n. Если единица занималась не у соседнего слева разряда, то к промежуточным разрядам добавляется n – 1.
Пример. Рассмотрим вычитание чисел в восьмеричной системе счисления.
Умножение и деление в позиционных системах счисления
Наконец, умножение сводится к многократному сложению со сдвигом разрядов, а деление – к многократному вычитанию. Для данных операций удобно использовать таблицу умножения в двоичной системе счисления:
Пример. Рассмотрим, как умножать и делить числа в двоичной системе счисления.
Пример. Закрепим операции умножения и деления чисел в пятеричной системе счисления.
Числа Фибонначи и Фибоначчиевая система счисления
Итальянский математик Леонардо Пизанский, более известный под именем Фибоначчи, открыл удивительную последовательность чисел:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Именно такие числа называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность – последовательностью Фибоначчи.
В этой последовательности первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число получается из суммы двух предыдущих чисел:
1 = 0 +1, 2 = 1 + 1, 3 = 1 +2, 5 = 2 + 3, 8 = 3 +5, и т. д.
Пример. Запомнить правило последовательности Фибоначчи просто с помощью задачи про кроликов. Пусть пару кроликов поместили в некое место, огражденное со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару кроликов, а рождаются кролики у пары со второго месяца.
Решая эту задачу, получаем таблицу с данными, которые являются членами последовательности Фибоначчи:
Числа Фибоначчи используются в так называемой Фибоначчиевой системе счисления.
Принцип разложения любого числа в Фибоначчиевой системе счисления основывается на вышеупомянутым переводе десятичного числа в двоичное с помощью степенной таблицы, но данном случае верхнюю строку таблицы заполняем числами Фибоначи в порядке убывания вместо степеней двоек.
При этом нижний индекс для обозначения системы счисления выглядит следующим образом: Fib.
Пример. Рассмотрим прямое и обратное разложение числа в Фибоначчиевой системе счисления.
2510 = XFib
25 = 21 + 3 + 1
Таким образом, получаем:
2510 = 1000101Fib.
10010101Fib = X10
Тогда:
10010101Fib = 34 + 8 + 3 + 1 = 4610.
Восьмеричная система счисления: определение, преобразование, таблица, примеры
Что такое восьмеричная система счисления?
Восьмеричная система счисления — это система счисления с основанием 8. Система счисления — это система представления чисел. Система счисления — это способ представления чисел с помощью набора символов и указаний. Наиболее часто используемой системой счисления является десятичная система счисления, которая имеет основание 10 и использует десять цифр от 0 до 9 для формирования других чисел.
Вот таблица, показывающая различные системы счисления и количество цифр, используемых в каждой системе.
Восьмеричная система счисления представляет собой систему счисления с основанием 8 и использует цифры от 0 до 7. Это означает, что имеется только 8 символов или цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), используемых для образуют другие числа.
Основное преимущество использования восьмеричной системы счисления заключается в том, что в ней используется меньше цифр, чем в десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Таким образом, у него меньше вычислений и, следовательно, меньше ошибок в расчетах.
Определение восьмеричной системы счисления
Система счисления с основанием 8 называется восьмеричной системой счисления. Позиция каждой цифры имеет значение, равное степени 8. Число в восьмеричной системе счисления представлено числом 8 в основании, например 9.0006 $512_8,\; 56_8$ , и т.д.
Теперь давайте разберемся, как осуществляются взаимопреобразования между этими системами.
Связанные игры
Преобразование восьмеричных чисел в двоичные
Основание восьмеричной системы счисления равно 8. Основание двоичной системы счисления равно 2. Чтобы преобразовать восьмеричное число в двоичное, нам нужно преобразовать каждое число из восьмеричного числа к двоичному числу. Взгляните на приведенную ниже таблицу преобразования восьмеричных чисел в двоичные:
| Восьмеричное значение | Двоичный эквивалент | |
| 0 | 000 10038 9004 0038 | 001 | |
| 2 | 010 | |
| 3 | 011 | |
| 4 | 100 | |
| 5 | 101 | |
| 6 | 110 | 9003 90032 33 111 |
Каждая цифра должна быть преобразована в 3-битное двоичное число.
Таким образом, мы получаем двоичный эквивалент числа. Давайте разберемся в этом с помощью примера.
Пример: Преобразуйте $(16)_8$ в двоичное число.
Решение: $(16)_8$ — восьмеричное число.
С помощью приведенной выше таблицы преобразования мы можем записать
$1_8 = 001_2$ и $6_8 = 110_2$
Таким образом, $(16)_8 = (001110)_2$
Связанные рабочие листы
Преобразование восьмеричных чисел в десятичные
Преобразование восьмеричных чисел в десятичные — простой процесс!
Число в восьмеричной системе расширяется по основанию восемь, где каждая цифра умножается на степень 8 в зависимости от ее положения.
После преобразования восьмеричного числа в десятичное оно имеет основание 10.
Поясним это на примере:
Пример: Преобразуйте $(321)_8$ в десятичную форму.
90)$
$= (3\times64) + (2\times8) + (1\times1)$
$= 192 + 16 + 1$
Таким образом ( 321)_8 = (209)_{10}$
| Восьмеричная Основание 8 | Десятичное число Основание 10
Преобразование десятичного числа в восьмеричное При этом преобразовании десятичное число делится на 8 каждый раз, когда из предыдущей цифры получается напоминание. Пример: Преобразование $416_{10}$ в восьмеричное число. Разделить 416 на восьмеричное основание, 8.
Останавливаемся когда значение частного становится равным 0. Записав остатки в обратном порядке, мы получим эквивалентное восьмеричное число. Таким образом, восьмеричное представление числа 416 равно 640. Следовательно, $(416)_{10} = (640)_8$ Преобразование восьмеричного числа в шестнадцатеричное Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16 и использует шестнадцать символов. В нем используются цифры от 0 до 9 и буквы от A до F.
Записав остатки в обратном порядке, получим эквивалентное восьмеричное число. Следовательно, $(725)_{10} = (1325)_8$ Пример 5. Преобразование восьмеричного числа 90$ $= 4\times64 + 5\times8 + 2\times1$ $= 256 + 40 + 2$ $(452)_8 = (298)_{10}$ Следовательно, десятичная дробь число $(298)_{10}$. Теперь мы можем узнать шестнадцатеричное число, разделив 298 на 16, пока остаток не станет меньше 16. $\frac{298}{16} = 18$, остаток $= 10$ $\frac{18 }{16} = 1$, остаток $= 2$ $\frac{1}{16} = 0$, остаток $= 1$ Используя таблицу преобразования десятичных чисел в шестнадцатеричные, мы имеем $10 = A$ Запишите остатки в обратном порядке. $(452)_8 = (12A)_{16}$ Таким образом, $(452)_8 = (12A)_{16}$ Практические задачи по восьмеричной системе счисления1 Система счисления с его основанием как _________ известен как восьмеричная система счисления. 16 8 2 10 Правильный ответ: 8 2 90) = 64_{10}$Часто задаваемые вопросы о восьмеричной системе счисленияДля чего используется восьмеричная система счисления? Восьмеричная система счисления обеспечивает удобный способ преобразования больших двоичных чисел в более компактные и меньшие группы. Однако восьмеричная система счисления менее популярна. Поскольку базовое значение восьмеричной системы счисления равно 8, их максимальное числовое значение равно 7 и не может быть больше 7. Как преобразовать двоичное число в восьмеричное? Сгруппируйте все 1 и 0 в двоичном числе в наборы по три, начиная с крайнего правого. Добавьте нули слева от последней цифры, если у вас недостаточно цифр, чтобы составить набор из трех. Сравните свои наборы двоичных чисел с этой восьмеричной таблицей преобразования. Давайте разберем это преобразование на примере: Преобразование $(11100100)_2$ в восьмеричное число. $(011100100)_2 = 011 | 100 | 100 = 344$ Следовательно, $(11100100)_2 = (344)_8$ Каковы недостатки восьмеричной системы счисления? Основным недостатком восьмеричной системы счисления является то, что компьютер ее не понимает. Поэтому для цифровых систем требуется дополнительная схема, преобразующая восьмеричное число в двоичное. Восьмеричная система счисления используется в миникомпьютерах. Как сложить восьмеричные числа? Существуют различные способы сложения восьмеричных чисел. Одним из способов является преобразование добавляемых чисел в десятичные числа и нахождение суммы в виде десятичного числа. Наконец, преобразуйте результат обратно в восьмеричное число. Другой способ — использовать восьмеричную таблицу сложения. Это дает мгновенный результат и не требует расчетов, Что следует за цифрой 7 в восьмеричном счете? Восьмеричное число после 7 равно 10. Система счисления в Python — GeeksforGeeksАрифметическое значение, которое используется для представления количества и используется в расчетах, определяется как ЧИСЛА. Система записи для обозначения чисел с использованием цифр или символов в логическом порядке определяется как Система счисления . Система счисления — это система, которая определяет числа по-разному для представления чисел в разных формах. Типы системы счисления Система счисления в Python представлена с использованием следующих четырех систем:
Двоичная система счисления Система счисления с основанием или основанием 2 известна как двоичная система счисления. 1) Двоичное число в десятичное Для преобразования двоичного числа в десятичное двоичное число использует веса, присвоенные каждой битовой позиции. как а = 1 0 0 1 а = 1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 а= (8+0+0+1) = 9 Python3
Вывод: Двоичный в десятичный 1001 : 9 в восьмеричный
8 Binary 6 8 Binary 65 Восьмеричный 9: 0o11  Python3  3) От восьмеричного до шестнадцатеричного: Восьмеричное число может преобразовать в шестнадцатеричное число, преобразовав число в десятичное, а затем десятичное число в шестнадцатеричное. Давайте сначала преобразуем b в десятичное число. б = (456) 8 (456)8 = 4*8 2 + 5*8 1 + 6*8 0 (456) 8 = (302) 10 = (12E) 16 Python3
Вывод: Восьмеричный в шестнадцатеричный 302 : 0x12e Десятичная система счисления с основанием A 6 9 0 Число 10 называется десятичной системой счисления. и это представлено цифрами от (0 до 9).
Здесь разрядное значение обозначается справа налево как первое разрядное значение, называемое единицами, второе слева как десятки, затем сотни, тысячи и т. д. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| , ч, ":" , шестнадцатеричный (ч )) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| печать ( 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |
Давайте разберемся с этим преобразованием на примере. 
Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное 
Джеймс Андерсон критиковал французов за то, что они основывают метрическую систему на десятичной арифметике. Он предложил основание 8 и ввел термин восьмеричное число. 
Давайте решим несколько примеров на основе понятий, которые мы рассмотрели. 
Таким образом, восьмеричное представление числа 725 равно 1325. 
Десятичное число 8 представлено как 10 в восьмеричной системе счисления. В восьмеричной системе счисления нет ни 8, ни 9. 
Только 0 и 1 используются для представления чисел в этой системе. 
В Python функция hex() используется для преобразования восьмеричного числа в шестнадцатеричное.