Разное

Числа близнецы в математике: Найдено доказательство бесконечного количества пар простых чисел

Содержание

Найдено доказательство бесконечного количества пар простых чисел

Это доказательство существенно приближает математиков к решению одной из самых серьёзных и нерешенных задач, так называемой, гипотезе чисел-близнецов.

Число называется простым, если оно делится без остатка только на само себя и на единицу. Числа-близнецы - это простые числа, отличающиеся на 2, например 3 и 5, 5 и 7 или 11 и 13.

Наибольшая известная на сегодняшний день пара чисел-близнецов: 3 756 801 695 685 × 2 666 669 + 1 и 3 756.801 695 685 × 2 666 669 - 1, которые были обнаружены в 2011 году.

Гипотеза чисел-близнецов, идея которой в 1849 году была предложена французским математиком Альфонсом де Полиньяком утверждает, что существует бесконечное число этих пар. Несмотря на простоту своей концепции, гипотеза по сей день остается неразрешенной.

"Высказывать гипотезы - это одно дело", - говорит Хенрик Иванец из Университета Рутгерса в Пискатавэй, Нью-Джерси. "Но предложить доказательство - это совсем другой вопрос".

"Мой главный результат: да", - сказал Тан Чжан (Yitang Zhang) из Университета Нью-Гемпшира в Дареме на семинаре в Гарвардском университете.

Чтобы частично упростить решение этой гипотезы была предложена другая задача: доказать, что количество конечных простых чисел, которые имеют соседние простые числа на некотором расстоянии от первого числа, даже если это расстояние гораздо больше, чем 2 - бесконечно?

Тан Чжан (Yitang Zhang)Американский математикКак правило, разрыв между простыми числами увеличивается для все больших чисел, но команда Goldston показала, что всегда существуют некоторые простые числа, которые очень близки друг к другу даже в области очень больших чисел. Однако имелись существенные препятствия для использования метода Goldston непосредственно для решения проблемы бесконечного количества чисел-близнецов

Блестящая идея

В июле прошлого года, во время пребывания в загородный дом своего друга, Чжана вдруг посетила мысль, позволившая ему добиться прогресса. Он понял, как показать, что существует бесконечное число простых пар, разделенных конечным количеством чисел.

К сожалению, для отдельных простых чисел это расстояние все еще достаточно велико: 70 000 000. В то же время Чжан подчеркивает, что это верхняя граница расстояния.

"Это значение очень грубо," - говорит он. "Я думаю, что у меня получится уменьшить это расстояние до одного миллиона, а может даже меньше", - и это станет ещё одним прорывом в математике и позволит ещё больше приблизиться к решению гипотезы чисел-близнецов.

Иванец меньше озабочен возможностью сужения интервала. "70 000 000 или меньше - не так уж и важно", - говорит он. Важно то, что Чжан сумел показать, что разрыв между соседними простыми числами не может превышать определенного значения.

"Люди будут ошеломлены результатом. Я уверен, что математики будут работать над этой проблемой ещё очень долго".

Иванец, внесший большой вклад в исследование гипотезы чисел-близнецов, непосредственно не принимал участия в новой работе, но, изучив доказательство Чжана, не смог найти в нем ошибку. Доказательство Чжана было опубликовано и вероятно крепко войдет в историю математики.

"Его результат очень элегантен", - сказал Иванец. "Он заработал свои 15 минут славы».

Визуализация простых чисел

Проблема Гольдбаха

Другой проблемой в теории простых чисел, в решении которой был достигнут некоторый прогресс, стала проблема, впервые сформулированная ​Гольдбахом в 1742 году. Гольдбах предположил, что каждое четное число, большее 2, является суммой двух простых чисел. Гаральд Хельфготт из Высшей школы в Париже предложил решение частного случая: нечетные Гольдбаха выше 5 являются суммой трех простых чисел.

Доказательство "частного случая" гипотезы Гольдбаха свидетельствует о том, что вы можете взять четное число, состоящее из двух простых чисел, и прибавить к нему 3, чтобы получить нечетное число, составив его, таким образом, из трех простых чисел. "Но доказательство Хельфготт вряд ли поможет математикам продвинуться в правильном направлении", - говорит Теренс Тао из Калифорнийского университета - то есть проблема Гольдбаха осталась нерешенной.

Простые числа-близнецы — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Простые числа-близнецы, или парные простые числа — пары простых чисел, отличающихся на 2.

Общая информация

Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид <math>6n\pm 1,</math> так как числа с другими вычетами по модулю 6 делятся на 2 или на 3. Если учитывать также делимость на 5, то окажется, что все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид <math>30n\pm1</math>, <math>30n+12\pm1</math> либо <math>30n+18\pm1</math>. Для любого целого m ≥ 2, пара (m, m + 2) является парой простых чисел-близнецов тогда и только тогда, если 4[(m - 1)! + 1] + m делится на m(m + 2) (следствие теоремы Вильсона).

Первые простые числа-близнецы[1]:

  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61), 
  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),
  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),
  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Наибольшими известными простыми-близнецами являются числа <math>3756801695685 \cdot 2^{666669}\pm 1</math>[2]. 2}\right) \approx 0.66016118158468695739278121100145\ldots</math>

История

Вопрос о том, бесконечно ли множество простых чисел-близнецов, был одним из величайших открытых вопросов в теории чисел в течение многих лет.

Счастливые числа знака зодиака Близнецы

Считается, что счастливое число знака зодиака Близнецы - это тройка и четверка. Они имеют очень сильные астрологические колебания для представителей знака для Близнецы и зачастую приносят успех и удачу. Так же наблюдается очень благоприятное влияние на будущие планы данного знака, а так же на их повседневную жизнь.

Какое число знака зодиака Близнецы считается счастливым

3 и 4 - данные числа могут сделать ее более позитивной и счастливой. Но это только в том случае если человек знает об этом и постоянно старается использовать магию чисел.

Хотя, следует отметить то, что Близнецы очень редко полагаются на нее. Успеха в своей жизни они добиваются только при помощи упорству в труде, а так же своей настойчивости. Зачастую на их пути встречаются препятствия и проблемы.

Хотя для их решения Близнецы стараются выбрать наиболее легкие пути. Зачастую многие восхищаются представителями данного знака зодиака. Так что многие знают о том, что счастливое число знака зодиака Близнецы существует и не одно, и их можно использовать для того, чтобы сделать жизнь немного проще.

Многие специалисты считают, что счастливым днем для Близнецов является среда. Именно в это время, по мнению астрологов, следует начинать те дела, которые вы считаете наиболее важными. В этом поистине счастливый день вы будете на высоте.

Все задуманное будет у вас получаться без применения особых усилий. Многие Близнецы в этот день начинают строительство дома или же капитальный ремонт в квартире. Ведь если изначально знать о том, что в этот день удача приходит именно Близнецам, то это может отложиться на подсознательном уровне. При этом ваши действия будут более уверенными и скоординированными.

Так же Близнецам могут принести удачу серебряный и серый цвет. Это следует принять во внимание представителям данного знака в том случае, если они хотят декорировать свой интерьер или же покупают новые вещи к своему гардеробу.

Зачастую только этот цвет может принести удачу тем людям, которые родились под знаком зодиака Близнецы. Однако ни в коем случае не переборщите с данной цветовой гаммой. Ведь все должно быть в меру. Иначе данная цветовая гамма начнет со временем вызывать у вас раздражение и перестанет приносить удачу.

Она в таком случае просто начинает отталкиваться человеком на подсознательном уровне. Это недопустимо, ведь уже через некоторое время будет очень тяжело убедить себя в том, что серебряный и серый цвета принесут вам удачу.

Как рассчитать числа для знака зодиака Близнецы

Не только имя и фамилия человека, дата его рождения, знак зодиака но и число определяют его дальнейшую судьбу. На самом деле, у каждого человека есть свое число, которое в первую очередь раскрывает его характер. Одновременно оно будет считаться для него счастливым.

Существуют разные версии, как найти из множества свое счастливое число. Нет, это не просто число дня рождения или год, сейчас мы рассмотрим наиболее популярную технику которая позволит найти «свое» счастливое число знака зодиака Близнецы.

Итак, для этого нужно сложить числа, соответствующие буквам ( они будут приведены дальше) вашего полного имени и фамилии до того момента, пока не получиться однозначное число. Вот сопоставление букв и чисел: А-2, Б-2, В-6, Г-3, Е-5, Ж-2, З-7, И-1, Й-1, К-2, Л-2, М-2, Н-5, О-7, П-8, Р-2, С-3, Т-4, У-6, Ф-8, Х-5, Ц-3, Ч-7, Ш-2, Щ -9, Ы-1, Ь-1, Э-6, Ю-7, Я-2.

Для примера возьмем имя несуществующего человека: Анастасия Толмаш.

АНАСТАСИЯ = 1+5+1+3+4+1+3+1+2= 21

ТОЛМАШ = 4+7+2+2+1+2 = 18

21+18 = 39 = 3+9 = 12 = 1+2 = 3

Как видим, числовое значение имени Анастасия Толмаш составляет число 3. Далее ищем это число знака зодиака Близнецы в списке типов характеров.

Счастливые числа и планеты на удачу для Близнецов

Число 1 – Солнце. Начало всего живого, на него опирается вся вселенная. Если вы относитесь к этому числу, то главной настановкой будет не замыкаться в себе.

Число 2 – Луна. Эти люди отличаются особой открытостью. Они редко идут на риск, так как обладают непревзойденной интуицией, которая помогает обойти все неблагоприятные ситуации.

Число 3 – Юпитер. Люди Юпитера – оптимисты, позитивно настроены ко всему и ко всем. Они компанейские, поддерживают тесные отношения с людьми, которые им нравятся. Для счастья и гармонии они как магнит.

Число 4 – Уран. Это число знака зодиака Близнецы означает, что его представители упрямы и своенравны, они не хотят жить по общепринятым правилам и везде прокладывают свою собственную дорогу. Часто они популярны и любимы, но в них напрочь отсутствует хозяйственность.

Число 5 – Меркурий. Эта планета наделяет изворотливым, живым умом. Они во всем проявляют инициативу, но быстро падают духом из-за неудач. Поскольку эта п

Комплексные числа


Комплексный номер

Комплексное число - это комбинация действительного числа
и мнимого числа

Реальные числа - это числа вроде:

1 12,38 -0,8625 3/4 √2 1998

Практически любое число, которое вы можете придумать, является действительным числом!

Мнимые числа при возведении в квадрат дают отрицательный результат .

Обычно этого не происходит, потому что:

Но только представьте, что такие числа существуют, потому что мы хотим их.

Давайте поговорим еще о мнимых числах ...

«Единичное» мнимое число (например, 1 для действительных чисел) - это i, что является квадратным корнем из −1

.

Потому что, возводя i в квадрат, мы получаем −1

я 2 = -1

Примеры мнимых чисел:

3i 1.04i −2,8i 3i / 4 (√2) я 1998i

И мы оставляем там маленькое «i», чтобы напомнить нам, что нам нужно умножить на √ − 1

Комплексные числа

Когда мы объединяем действительное число и мнимое число, мы получаем комплексное число :

Примеры:

1 + я 39 + 3i 0,8 - 2,2i −2 + πi √2 + я / 2

Может ли число быть комбинацией двух чисел?

Можем ли мы составить одно число из двух других чисел? Мы можем точно!

Мы постоянно делаем это с дробями. Дробь 3 / 8 - это число, состоящее из 3 и 8. Мы знаем, что это означает «3 из 8 равных частей».

Ну, комплексное число - это всего лишь , два числа, сложенные вместе (действительное и мнимое число).

Любая часть может быть нулевой

Итак, комплексное число имеет действительную и мнимую части.

Но любая часть может быть 0 , поэтому все действительные и мнимые числа также являются комплексными числами.

Комплексный номер Реальная часть Воображаемая часть
3 + 2i 3 2
5 5 0 Чисто Настоящее
−6i 0 −6 Чисто воображаемое

Сложно?

Сложный не означает сложный.

Это означает, что два типа чисел, действительные и мнимые, вместе образуют комплекс , как и комплекс зданий (здания, соединенные вместе).

A Визуальное объяснение

Вы знаете, как проходит числовая линия слева направо ?

Что ж, пусть воображаемые числа идут вверх-вниз :

И получаем сложный самолет

Комплексное число теперь может отображаться как точка:


Комплексный номер 3 + 4 и

Добавление

Чтобы сложить два комплексных числа, складываем каждую часть отдельно:

(a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i

Пример: сложите комплексные числа 3 + 2 i и 1 + 7 i

  • сложите действительные числа и
  • сложите мнимые числа:

(3 + 2i) + (1 + 7i)
= 3 + 1 + (2 + 7) i
= 4 + 9i

Попробуем еще:

Пример: сложите комплексные числа 3 + 5 i и 4 - 3 i

(3 + 5 i ) + (4 - 3 i )
= 3 + 4 + (5 - 3) i
= 7 + 2 i

В комплексной плоскости это:

Умножение

Для умножения комплексных чисел:

Каждая часть первого комплексного числа умножается на
каждая часть второго комплексного числа

Просто используйте "FOIL", что означает " F irsts, O uters, I nners, L assts" (см. Биномиальное умножение для более подробной информации):

  • Первые: a × c
  • Внешний: a × d i
  • Внутренние: b i × c
  • Длина: b i × d i

(a + b

i ) (c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i 2

Как это:

Пример: (3 + 2i) (1 + 7i)

(3 + 2i) (1 + 7i) = 3 × 1 + 3 × 7i + 2i × 1 + 2i × 7i

= 3 + 21i + 2i + 14i 2

= 3 + 21i + 2i - 14 (потому что i 2 = −1)

= −11 + 23i

А это:

Пример: (1 + i) 2

(1 + я) (1 + я) = 1 × 1 + 1 × я + 1 × я + я 2

= 1 + 2i - 1 (поскольку i 2 = −1)

= 0 + 2i

Но есть способ быстрее!

Используйте это правило:

(a + b i ) (c + d i ) = (ac − bd) + (ad + bc) i

Пример: (3 + 2i) (1 + 7i) = (3 × 1-2 × 7) + (3 × 7 + 2 × 1) i = −11 + 23i

Почему это правило работает?

Это просто метод "ФОЛЬГА" после небольшой работы:

(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i 2 FOIL method

= ac + ad i + bc i - bd (потому что i 2 = −1)

= (ac - bd) + (ad + bc) i (собирает похожие термины)

И вот у нас есть шаблон (ac - bd) + (ad + bc) i .

Это правило, безусловно, быстрее, но если вы его забудете, просто запомните метод FOIL.

Давайте попробуем i 2

Ради интереса воспользуемся методом вычисления i 2

Пример: i 2

Мы можем записать i с действительной и мнимой частью как 0 + i

i 2 = (0 + i) 2 = (0 + i) (0 + i)

= (0 × 0 - 1 × 1) + (0 × 1 + 1 × 0) и

= −1 + 0 и

= −1

И это хорошо согласуется с определением, что i 2 = −1

Так что все работает замечательно!

Узнайте больше в разделе «Умножение комплексных чисел».

Конъюгаты

Нам нужно будет узнать о конъюгатах через минуту!

Сопряжение - это где мы меняем знак в середине вот так:

Сопряжение часто пишется с чертой над ним:

Пример:

5 - 3 i = 5 + 3 i

Деление

Конъюгат используется для облегчения сложного деления.

Уловка состоит в том, чтобы умножить верхний и нижний на , сопряженный с нижним .

Пример:

Введение в теорию чисел

Раздел 5.2 Введение в теорию чисел

Мы использовали натуральные числа для решения задач. Это был правильный набор чисел для работы в дискретной математике, потому что мы всегда имели дело с целым рядом вещей. Натуральные числа были инструментом. Давайте сейчас рассмотрим этот инструмент. Какие математические открытия мы можем сделать о самих натуральных числах?

Это главный вопрос теории чисел: огромного, древнего, сложного и, прежде всего, прекрасного раздела математики.Исторически теория чисел была известна как королева математики и в значительной степени была ветвью чистой математики , изученной ради нее самой, а не как средство понимания приложений реального мира. Однако это изменилось в последние годы, когда были обнаружены приложения теории чисел. Вероятно, наиболее известным примером этого является криптография RSA, один из методов, используемых для шифрования данных в Интернете. Это стало возможным благодаря теории чисел.

Какие вопросы относятся к области теории чисел? Вот показательный пример.Напомним, в нашем исследовании индукции мы спросили:

Какая сумма почтовых расходов может быть произведена с использованием всего лишь 5-центовых и 8-центовых марок?

Мы смогли доказать, что могут быть получены на любые суммы, превышающие 27 центов. Вы можете задаться вопросом, что произойдет, если мы изменим номинал марок. Что, если бы у нас были марки в 4 и 9 центов? Будет ли какая-то сумма, после которой все суммы будут возможны? Что ж, опять же, мы могли бы заменить две марки по 4 цента маркой по 9 центов или три марки по 9 центов на семь марок по 4 цента.В каждом случае мы можем создать еще один цент почтовых расходов. Использование этого в качестве индуктивного случая позволит нам доказать, что может быть произведена любая сумма почтовых расходов, превышающая 23 цента.

Что, если бы у нас были марки по 2 и 4 цента. Здесь это выглядит менее многообещающим. Если мы возьмем некоторое количество марок по 2 цента и некоторое количество марок по 4 цента, что мы можем сказать об общей сумме? Может ли это быть странным? Не похоже.

Почему работает 5 и 8, 4 и 9 работают, а 2 и 4 не работают? Что такого особенного в этих числах? Если бы я дал вам пару цифр, не могли бы вы сразу сказать, будут ли они работать или нет? Мы ответим на эти и многие другие вопросы, предварительно исследуя некоторые более простые свойства самих чисел.

ПодразделДелимость

Натуральные числа легко складывать и умножать. Если мы расширим наш фокус на все целые числа, то вычитание также будет простым (нам нужны отрицательные числа, чтобы мы могли вычесть любое число из любого другого числа, даже большего из меньшего). Разделение - первая операция, которая представляет собой сложную задачу. Если бы мы хотели расширить наш набор чисел, чтобы было возможно любое деление (возможно, исключая деление на 0), нам нужно было бы посмотреть на рациональные числа (набор всех чисел, которые можно записать в виде дробей). Это было бы слишком далеко, поэтому мы откажемся от этого варианта.

На самом деле, хорошо, что не каждое число можно разделить на другие числа. Это помогает нам понять структуру натуральных чисел и открывает двери для многих интересных вопросов и приложений.

Если заданы числа \ (a \) и \ (b \ text {,} \), возможно, что \ (a \ div b \) дает целое число. В этом случае мы говорим, что \ (b \) делит \ (a \ text {,} \) на символы, мы пишем \ (b \ mid a \ text {.} \) Если это верно, то \ (b \) является делителем или множителем \ (a \ text {,} \) и \ (a \) делится на \ (b \ text {.} \) In другими словами, если \ (b \ mid a \ text {,} \), то \ (a = bk \) для некоторого целого числа \ (k \) (это означает, что \ (a \) является некоторым кратным \ (b \ )).

Отношение делимости

Даны целые числа \ (m \) и \ (n \ text {,} \), мы говорим «\ (m \) делит \ (n \)» и пишем

\ begin {уравнение *} м \ мид п \ end {уравнение *}

при условии, что \ (n \ div m \) является целым числом. Таким образом, следующие утверждения означают одно и то же:

  1. \ (м \ середина п \)
  2. \ (n = mk \) для некоторого целого числа \ (k \)
  3. \ (m \) - множитель (или делитель) числа \ (n \)
  4. \ (n \) делится на \ (m \ text {.} \)

Обратите внимание, что \ (m \ mid n \) - это инструкция. Это либо правда, либо ложь. С другой стороны, \ (n \ div m \) или \ (n / m \) - некоторое число. Если мы хотим заявить, что \ (n / m \) не является целым числом, поэтому \ (m \) не делит \ (n \ text {,} \), тогда мы можем написать \ (m \ nmid n \ text { .} \)

Пример5.2.1

Решите, является ли каждое из приведенных ниже утверждений верным или ложным.

  1. \ (4 \ середина 20 \)
  2. \ (20 \ середина 4 \)
  3. \ (0 \ середина 5 \)
  4. \ (5 \ середина 0 \)
  5. \ (7 \ середина 7 \)
  6. \ (1 \ середина 37 \)
  7. \ (- 3 \ середина 12 \)
  8. \ (8 \ середина 12 \)
  9. \ (1642 \ середина 136299 \)
Решение
  1. Верно. 4 «входит» в 20 пять раз без остатка. Другими словами, \ (20 \ div 4 = 5 \ text {,} \) целое число. Мы также могли бы оправдать это, сказав, что \ (20 \) кратно 4: \ (20 = 4 \ cdot 5 \ text {.} \)

  2. Ложь. Хотя 20 кратно 4, неверно, что \ (4 \) кратно 20.

  3. Ложь. \ (5 \ div 0 \) даже не определено, не говоря уже о целом числе.

  4. Верно. Фактически, \ (x \ mid 0 \) верно для всех \ (x \ text {.} \). Это потому, что 0 является кратным каждому числу: \ (0 = x \ cdot 0 \ text {.} \)

  5. Верно. Фактически, \ (x \ mid x \) верно для всех \ (x \ text {.} \)

  6. Верно. 1 делит каждое число (кроме 0).

  7. Верно. Отрицательные числа отлично подходят для отношения делимости. Здесь \ (12 = -3 \ cdot 4 \ text {.} \) Также верно, что \ (3 \ mid -12 \) и \ (- 3 \ mid -12 \ text {.} \)

  8. Ложь. И 8, и 12 делятся на 4, но это не означает, что \ (12 \) делится на \ (8 \ text {.} \)

  9. Ложь. Смотри ниже.

В этом последнем примере возникает вопрос: как можно решить, \ (m \ mid n \ text {?} \). Конечно, если бы у вас был надежный калькулятор, вы могли бы запросить у него значение \ (n \ div m \ text {.} \) Если он выдаст что-то кроме целого числа, вы знаете \ (m \ nmid n \ text {.} \) Это немного похоже на обман: у нас нет деления, поэтому мы должны действительно использовать деление для проверки делимости?

Хотя мы действительно не знаем, как делить, мы знаем, как умножать.Мы можем попытаться умножить \ (m \) на все большие и большие числа, пока не приблизимся к \ (n \ text {.} \) Насколько близко? Что ж, мы хотим быть уверены, что если мы умножим \ (m \) на следующее большее целое число, мы перейдем к \ (n \ text {.} \)

Например, давайте попробуем это решить, будет ли \ (1642 \ mid 136299 \ text {.} \) Начинать поиск кратных 1642:

\ begin {уравнение *} 1642 \ cdot 2 = 3284 \ qquad 1642 \ cdot 3 = 4926 \ qquad 1642 \ cdot 4 = 6568 \ qquad \ cdots \ end {уравнение *}

Все это значительно меньше 136299. Полагаю, мы можем немного забежать вперед:

\ begin {уравнение *} 1642 \ cdot 50 = 82100 \ qquad 1642 \ cdot 80 = 131360 \ qquad 1642 \ cdot 85 = 139570 \ end {уравнение *}

А, значит, нам нужно искать где-то между 80 и 85. Попробуйте 83:

\ begin {уравнение *} 1642 \ cdot 83 = 136286 \ end {уравнение *}

Это лучшее, что мы можем сделать? Насколько мы далеки от желаемого 136299? Если мы вычтем, мы получим \ (136299 - 136286 = 13 \ text {.} \). Итак, мы знаем, что не можем подняться до 84, это будет слишком много. Другими словами, мы обнаружили, что

\ begin {уравнение *} 136299 = 83 \ cdot 1642 + 13 \ end {уравнение *}

Поскольку \ (13 \ lt 1642 \ text {,} \) теперь мы можем с уверенностью сказать, что \ (1642 \ nmid 136299 \ text {.} \)

Оказывается, что процесс, который мы прошли выше, можно повторить для любой пары чисел. Мы всегда можем записать число \ (a \) как некоторое кратное числу \ (b \) плюс некоторый остаток. Мы знаем это, потому что знаем о дивизии с остатком от начальной школы. Это просто способ выразить это с помощью умножения. Из-за процедурного характера, который может использоваться для нахождения остатка, этот факт обычно называют алгоритмом деления :

Алгоритм деления

Для любых двух целых чисел \ (a \) и \ (b \ text {,} \) мы всегда можем найти целое число \ (q \) такое, что

\ begin {уравнение *} а = qb + r \ end {уравнение *}

, где \ (r \) - целое число, удовлетворяющее \ (0 \ le r \ lt | b | \)

Идея состоит в том, что мы всегда можем взять достаточно большое число, кратное \ (b \), чтобы остаток \ ( г \) как можно меньше.Мы допускаем возможность \ (r = 0 \ text {,} \), и в этом случае мы имеем \ (b \ mid a \ text {.} \)

Подраздел Остаточные классы

Алгоритм деления сообщает нам, что при делении на \ (b \ text {.} \) Возможны только \ (b \) остатки. Если мы исправим этот делитель, мы сможем сгруппировать целые числа по остатку. Каждая группа называется классом остатка по модулю \ (b \) (или иногда классом остатка ).

Пример5.2.2

Опишите оставшиеся классы по модулю \ (5 \ text {.} \)

Решение

Мы хотим классифицировать числа по тому, каким будет их остаток при делении на \ (5 \ text {.} \) Из алгоритма деления мы знаем, что будет ровно 5 классов остатка, потому что есть только 5 вариантов того, что \ (r \) может быть (\ (0 \ le r \ lt 5 \)).

Сначала рассмотрим \ (r = 0 \ text {.} \) Здесь мы ищем все числа, делящиеся на \ (5 \), поскольку \ (a = 5q + 0 \ text {.} \) Другими словами, кратно 5. Получаем бесконечное множество

\ begin {уравнение *} \ {\ ldots, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, \ ldots \} \ end {уравнение *}

Обратите внимание, что мы также включаем отрицательные целые числа.

Затем рассмотрим \ (r = 1 \ text {.} \) Какие целые числа при делении на 5 имеют остаток 1? Ну, конечно, 1, делает, как 6, и 11. Отрицательные? Здесь мы должны быть осторожны: \ (- 6 \) НЕ имеет остатка 1. Мы можем написать \ (- 6 = -2 \ cdot 5 + 4 \) или \ (- 6 = -1 \ cdot 5 - 1 \ text {,} \), но только один из них является «правильным» примером алгоритма деления: \ (r = 4 \), поскольку нам нужно, чтобы \ (r \) было неотрицательным. Фактически, чтобы получить \ (r = 1 \ text {,} \), мы должны иметь \ (- 4 \ text {,} \) или \ (- 9 \ text {,} \) и т.д. Таким образом, мы получаем остаточный класс

\ begin {уравнение *} \ {\ ldots, -14, -9, -4, 1, 6, 11, 16, 21, \ ldots \} \ end {уравнение *}

Осталось еще три.Остальные классы для \ (2 \ text {,} \) \ (3 \ text {,} \) и \ (4 \) составляют, соответственно,

\ begin {уравнение *} \ {\ ldots, -13, -8, -3, 2, 7, 12, 17, 22, \ ldots \} \ end {уравнение *} \ begin {уравнение *} \ {\ ldots, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18, 23, \ ldots \} \ end {уравнение *} \ begin {уравнение *} \ {\ ldots, -11, -6, -1, 4, 9, 14, 19, 24, \ ldots \}. \ end {уравнение *}

Обратите внимание, что в приведенном выше примере каждое целое число находится ровно в одном классе остатка. Технический способ сказать это так: классы остатка по модулю \ (b \) образуют разбиение целых чисел.Самым важным фактом о разделах является то, что из раздела можно определить отношение эквивалентности : это отношение между парами чисел, которое действует во всех важных направлениях, таких как отношение «равно».

Если оставить в стороне забавный технический язык, идея действительно проста. Если два числа принадлежат одному и тому же классу остатка, то в некотором роде они одинаковы. То есть они одинаковые до деления на \ (b \) . В случае, когда \ (b = 5 \) выше, числа \ (8 \) и \ (23 \ text {,} \), хотя и не одно и то же число, одинаковы, когда дело доходит до деления на 5, потому что оба есть остаток \ (3 \ text {.} \)

Важно, что такое делитель: \ (8 \) и \ (23 \) одинаковы до деления на \ (5 \ text {,} \), но не до деления на \ (7 \ text {,} \), поскольку остаток \ (8 \) при делении на 7 равен 1, а остаток 23 - 2.

Имея все это в виду, введем некоторые обозначения. Мы хотим сказать, что \ (8 \) и 23 в основном одинаковы, хотя они и не равны. Было бы неправильно говорить \ (8 = 23 \ text {.} \) Вместо этого мы пишем \ (8 \ Equiv 23 \ text {.} \). Но это не всегда верно.Это работает, если мы думаем о делении на 5, поэтому нам нужно как-то обозначить это. На самом деле мы напишем следующее:

\ begin {уравнение *} 8 \ эквив 23 \ pmod {5} \ end {уравнение *}

, который читается как «8 конгруэнтно 23 по модулю 5» (или просто «по модулю 5»). Конечно, тогда мы могли наблюдать, что

\ begin {уравнение *} 8 \ not \ эквив 23 \ pmod {7} \ end {уравнение *}
Конгруэнтность по модулю \ (n \)

Мы говорим, что \ (a \) конгруэнтно \ (b \) по модулю \ (n \) , и пишем

\ begin {уравнение *} а \ эквив б \ pmod {п} \ end {уравнение *}

при условии, что \ (a \) и \ (b \) имеют одинаковый остаток при делении на \ (n \ text {.} \) Другими словами, при условии, что \ (a \) и \ (b \) принадлежат одному и тому же классу остатка по модулю \ (n \ text {.} \)

Во многих книгах сравнение по модулю \ (n \) определяется несколько иначе. . Они говорят, что \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \) тогда и только тогда, когда \ (n \ mid ab \ text {.} \) Другими словами, два числа конгруэнтны по модулю \ (n \ text {,} \), если их разница кратна \ (n \ text {.} \) Итак, какое определение правильное? Оказывается, это не имеет значения: они равнозначны.

Чтобы понять, почему, рассмотрим два числа \ (a \) и \ (b \), которые конгруэнтны по модулю \ (n \ text {. } \) Тогда \ (a \) и \ (b \) имеют одинаковый остаток при делении на \ (n \ text {.} \). У нас есть

\ begin {уравнение *} а = q_1 n + r \ qquad \ qquad b = q_2 n + r \ end {уравнение *}

Здесь два \ (r \) действительно одинаковы. Посмотрим, что мы получим, если возьмем разницу между \ (a \) и \ (b \ text {:} \)

\ begin {уравнение *} a-b = q_1n + r - (q_2n + r) = q_1n - q_2 n = (q_1-q_2) n \ end {уравнение *}

Итак, \ (a-b \) кратно \ (n \ text {,} \) или, что эквивалентно, \ (n \ mid a-b \ text {.} \)

С другой стороны, если мы сначала предположим, что \ (n \ mid ab \ text {,} \) so \ (ab = kn \ text {,} \), то рассмотрим, что произойдет, если мы разделим каждый член на \ (n \текст{.} \) При делении \ (a \) на \ (n \) останется некоторый остаток, как и при делении \ (b \) на \ (n \ text {.} \). Однако при делении \ (kn \) на \ ( n \) оставит 0 остатка. Таким образом, остатки в левой части должны уравняться. То есть остатки должны быть такими же.

Таким образом имеем:

Конгруэнтность и делимость

Для любых целых чисел \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (n \ text {,} \) имеем

\ begin {уравнение *} a \ Equiv b \ pmod {n} \ qquad \ mbox {тогда и только тогда, когда} \ qquad n \ mid a-b. \ end {уравнение *}

Также будет полезно переключаться между сравнениями и регулярными уравнениями. Приведенный выше факт помогает в этом. Мы знаем, что \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \) тогда и только тогда, когда \ (n \ mid ab \ text {,} \) тогда и только тогда, когда \ (ab = kn \) для некоторого целого числа \ (k \ text {.} \) Переставляя это уравнение, мы получаем \ (a = b + kn \ text {.} \) Другими словами, если \ (a \) и \ (b \) конгруэнтны по модулю \ (n \ text {,} \), то \ (a \) на \ (b \) больше, чем некоторое кратное \ (n \ text {.} \). Это согласуется с нашим предыдущим наблюдением, что все числа в конкретном классе остатка являются такое же количество больше, чем кратное \ (n \ text {.} \)

Конгруэнтность и равенство

Для любых целых чисел \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (n \ text {,} \) имеем

\ begin {уравнение *} a \ Equiv b \ pmod {n} \ qquad \ mbox {тогда и только тогда, когда} \ qquad a = b + kn \ mbox {для некоторого целого числа} k. \ end {уравнение *}

Подраздел Свойства сравнения

Ранее мы говорили, что сравнение по модулю \ (n \) во многих важных отношениях ведет себя так же, как и равенство. В частности, мы могли бы доказать, что сравнение по модулю \ (n \) является отношением эквивалентности , что потребует проверки следующих трех фактов:

Конгруэнтность по модулю \ (n \) является отношением эквивалентности

Для любых целых чисел \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (c \ text {,} \) и любого положительного целого числа \ (n \ text {,} \) следующий трюм:

  1. \ (а \ эквив \ pmod {n} \ text {.} \)
  2. Если \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \), то \ (b \ Equiv a \ pmod {n} \ text {.} \)

  3. Если \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \) и \ (b \ Equiv c \ pmod {n} \ text {,} \), то \ (a \ Equiv c \ pmod {n} \ text { .} \)

Другими словами, сравнение по модулю \ (n \) рефлексивно, симметрично и транзитивно, как и отношение эквивалентности.

Вам следует потратить минуту, чтобы убедиться, что каждое из приведенных выше свойств действительно соответствует друг другу. Попробуйте объяснить каждый из них, используя определения как остатка, так и делимости.

Затем рассмотрим, как ведет себя конгруэнтность при выполнении основных арифметических действий. Мы уже знаем, что если вы вычесть два конгруэнтных числа, результат будет конгруэнтен 0 (кратен \ (n \)). Что, если мы добавим что-то, совпадающее с 1, к чему-то, совпадающему с 2? Получим ли мы что-нибудь, соответствующее трем?

Сравнение и арифметика

Предположим, что \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \) и \ (c \ Equiv d \ pmod {n} \ text {.} \), Тогда выполняется следующее:

  1. \ (а + с \ эквив б + д \ pmod {п} \ текст {.} \)
  2. \ (а-с \ эквив б-г \ pmod {n} \ text {.} \)
  3. \ (ac \ Equiv bd \ pmod {n} \ text {.} \)

Приведенные выше факты могут быть написаны немного странно, но идея проста. Если у нас есть истинное совпадение, и мы добавляем одно и то же к обеим сторонам, результатом все равно будет истинное совпадение. Похоже, мы говорим:

Если \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \), то \ (a + c \ Equiv b + c \ pmod {n} \ text {. } \)

Конечно, это также верно, это частный случай, когда \ (c = d \ text {.} \) Но то, что у нас есть, работает в более общем плане. Думайте о конгруэнтности как о «практически равном». Если у нас есть два числа, которые в основном равны, и мы прибавляем одно и то же к обеим сторонам, результат будет в основном одинаковым.

Это кажется разумным. Это правда? Докажем первый факт:

Проба

Предположим, \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \) и \ (c \ Equiv d \ pmod {n} \ text {.} \) Это означает \ (a = b + kn \) и \ (c = d + jn \) для целых чисел \ (k \) и \ (j \ text {.} \) Добавьте эти уравнения:

\ begin {уравнение *} а + с = b + d + kn + jn.\ end {уравнение *}

Но \ (kn + jn = (k + j) n \ text {,} \), которое просто кратно \ (n \ text {.} \) Итак \ (a + c = b + d + (j + k) n \ text {,} \) или, другими словами, \ (a + c \ Equiv b + d \ pmod {n} \)

Два других факта можно доказать аналогичным образом.

Одно из важных следствий этих фактов о сравнениях состоит в том, что мы можем в принципе заменить любое число в сравнении любым другим числом, с которым оно конгруэнтно. Вот несколько примеров, чтобы увидеть, как (и почему) это работает:

Пример 5.2.3

Найдите остаток от деления \ (3491 \) на \ (9 \ text {.} \)

Решение

Мы могли бы выполнить деление в столбик, но есть другой способ. Мы хотим найти \ (x \) такой, что \ (x \ Equiv 3491 \ pmod {9} \ text {.} \) Теперь \ (3491 = 3000 + 400 + 90 + 1 \ text {.} \) Конечно \ (90 \ Equiv 0 \ pmod 9 \ text {,} \), поэтому мы можем заменить 90 в сумме на 0. Почему это нормально? Фактически мы вычитаем «одно и то же» с обеих сторон:

\ begin {уравнение *} \ begin {align} x \ amp \ эквив 3000 + 400 + 90 + 1 \ pmod 9 \\ - ~~ 0 \ amp \ экв 90 \ pmod 9 \\ х \ amp \ эквив 3000 + 400 + 0 + 1 \ pmod 9.\ end {выровнен} \ end {уравнение *}

Затем обратите внимание, что \ (400 = 4 \ cdot 100 \ text {,} \) и \ (100 \ Equiv 1 \ pmod 9 \) (поскольку \ (9 \ mid 99 \)). Таким образом, мы можем фактически заменить 400 на просто 4. Мы снова апеллируем к нашему утверждению, что мы можем заменять конгруэнтные элементы, но на самом деле мы обращаемся к свойству 3 об арифметике сравнения: мы знаем \ (100 \ эквив 1 \ pmod {9} \ text {,} \), поэтому, если мы умножим обе стороны на \ (4 \ text {,} \), мы получим \ (400 \ Equiv 4 \ pmod 9 \ text {. } \)

Точно так же мы можем заменить 3000 на 3, поскольку \ (1000 = 1 + 999 \ Equiv 1 \ pmod 9 \ text {.} \) Таким образом, наше исходное сравнение становится

\ begin {уравнение *} х \ эквив 3 + 4 + 0 + 1 \ pmod 9 \ end {уравнение *} \ begin {уравнение *} х \ эквив 8 \ пмод 9. \ end {уравнение *}

Следовательно, \ (3491 \), деленное на 9, имеет остаток 8.

Приведенный выше пример должен убедить вас, что хорошо известный тест на делимость числа 9 верен: сумма цифр числа делится на 9 тогда и только тогда, когда исходное число делится на 9. Фактически, теперь мы знаем кое-что еще. : любое число конгруэнтно сумме своих цифр по модулю 9.p \ pmod n \ text {.} \) Это просто применение свойства 3 несколько раз.

До сих пор мы видели, как складывать, вычитать и умножать с помощью сравнений. А как насчет разделения? Есть причина, по которой мы ждали, чтобы обсудить это. Оказывается, просто разделить нельзя. Другими словами, даже если \ (ad \ Equiv bd \ pmod n \ text {,} \) мы не знаем, что \ (a \ Equiv b \ pmod n \ text {. } \) Рассмотрим, например:

\ begin {уравнение *} 18 \ экв 42 \ pmod 8. \ end {уравнение *}

Это правда. Теперь \ (18 \) и \ (42 \) делятся на 6.Однако

\ begin {уравнение *} 3 \ not \ Equiv 7 \ pmod 8. \ end {уравнение *}

Хотя это не работает, обратите внимание, что \ (3 \ Equiv 7 \ pmod 4 \ text {.} \) Мы не можем разделить \ (8 \) на 6, но мы можем разделить 8 на наибольший общий делитель \ ( 8 \) и \ (6 \ text {.} \) Всегда ли это будет?

Предположим, \ (ad \ Equiv bd \ pmod n \ text {.} \) Другими словами, у нас есть \ (ad = bd + kn \) для некоторого целого числа \ (k \ text {.} \) Конечно \ ( ad \) делится на \ (d \ text {,} \), как и \ (bd \ text {.} \), поэтому \ (kn \) также должно делиться на \ (d \ text {.} \) Теперь, если \ (n \) и \ (d \) не имеют общих множителей (кроме 1), тогда мы должны иметь \ (d \ mid k \ text {.} \). Но в целом, если мы попробуем разделить \ (kn \) на \ (d \ text {,} \), мы не знаем, что мы получим целое число, кратное \ (n \ text {. } \). Некоторые из \ (n \) могут разделись. На всякий случай разделим как можно больше \ (n \). Возьмите наибольший множитель как \ (d \), так и \ (n \ text {,} \) и исключите его из \ (n \ text {.} \) Остальные множители \ (d \) придут из \ (k \ text {,} \) без проблем.

Мы будем называть наибольший делитель как \ (d \), так и \ (n \) \ (\ gcd (d, n) \ text {,} \) для наибольшего общего делителя .В нашем примере выше \ (\ gcd (6,8) = 2 \), поскольку наибольший делитель, общий для 6 и 8, равен 2.

Сравнение и деление

Предположим, \ (ad \ Equiv bd \ pmod n \ text {.} \) Затем \ (a \ Equiv b \ pmod {\ frac {n} {\ gcd (d, n)}} \ text {.} \)

Если \ (d \) и \ (n \) не имеют общих множителей, то \ (\ gcd (d, n) = 1 \ text {,} \), поэтому \ (a \ Equiv b \ pmod n \ text {. } \)

Пример5.2.5

Упростите следующие сравнения с помощью деления: (а) \ (24 \ эквив 39 \ pmod 5 \) и (б) \ (24 \ эквив 39 \ pmod {15} \ text {.} \)

Решение

(a) И \ (24 \), и \ (39 \) делятся на \ (3 \ text {,} \), а \ (3 \) и \ (5 \) не имеют общих делителей, поэтому мы получаем

\ begin {уравнение *} 8 \ эквивалент 13 \ pmod 5. \ end {уравнение *}

(b) Опять же, мы можем разделить на 3. Однако, делая это вслепую, мы получаем \ (8 \ Equiv 13 \ pmod {15} \), что уже неверно. Вместо этого мы также должны разделить модуль 15 на наибольший общий делитель \ (3 \) и \ (15 \ text {,} \), который равен \ (3 \ text {.} \). Снова мы получаем

\ begin {уравнение *} 8 \ эквивалент 13 \ pmod 5.\ end {уравнение *}

Подраздел Решение сравнений

Теперь, когда у нас есть некоторые алгебраические правила для управления отношениями конгруэнции, мы можем попытаться найти неизвестное в сравнении. Например, существует ли значение \ (x \), которое удовлетворяет,

\ begin {уравнение *} 3x + 2 \ эквив 4 \ pmod {5}, \ end {уравнение *}

и если да, то что это?

В этом примере, поскольку модуль мал, мы могли бы просто попробовать все возможные значения для \ (x \ text {.} \). На самом деле нужно учитывать только 5, так как любое целое число, удовлетворяющее конгруэнтности, может быть заменено любым другим целое число сравнимо с модулем 5.Здесь, когда \ (x = 4 \), мы получаем \ (3x + 2 = 14 \), что действительно сравнимо с 4 по модулю 5. Это означает, что \ (x = 9 \) и \ (x = 14 \) и \ (x = 19 \) и т. д. каждое также будет решением, потому что, как мы видели выше, замена любого числа в конгруэнтности на конгруэнтное число не меняет истинности сравнения.

Итак, в этом примере просто вычислите \ (3x + 2 \) для значений \ (x \ in \ {0,1,2,3,4 \} \ text {.} \). Это даст 2, 5, 8 , 11 и 14 соответственно, для которых только 14 конгруэнтно 4.

Давайте также посмотрим, как вы могли бы решить эту проблему, используя наши правила алгебры сравнений.Такой подход был бы намного проще, чем метод проб и ошибок, если бы модуль упругости был больше. Во-первых, мы знаем, что можем вычесть 2 из обеих частей:

\ begin {уравнение *} 3x \ эквив 2 \ pmod {5}. \ end {уравнение *}

Затем, чтобы разделить обе стороны на 3, мы сначала прибавляем 0 к обеим сторонам. Конечно, в правой части мы хотим, чтобы 0 был равен 10 (да, \ (10 ​​\) действительно равно 0, поскольку они конгруэнтны по модулю 5). Это дает,

\ begin {уравнение *} 3x \ Equiv 12 \ pmod {5}. \ end {уравнение *}

Теперь разделите обе стороны на 3.Так как \ (\ gcd (3,5) = 1 \ text {,} \) нам не нужно изменять модуль:

\ begin {уравнение *} х \ эквивалент 4 \ pmod {5}. \ end {уравнение *}

Обратите внимание, что это фактически дает общее решение : не только может \ (x = 4 \ text {,} \), но и \ (x \) может быть любым числом, которое конгруэнтно 4. Мы можем оставить это так. , или напишите «\ (x = 4 + 5k \) для любого целого числа \ (k \ text {.} \)»

Пример5.2.6

Решите следующие сравнения для \ (x \ text {.} \)

  1. \ (7x \ эквив 12 \ pmod {13} \ text {.} \)
  2. \ (84x - 38 \ эквив 79 \ pmod {15} \ text {.} \)
  3. \ (20x \ эквив 23 \ pmod {14} \ text {.} \)
Решение
  1. Все, что нам нужно здесь сделать, это разделить обе части на 7. Мы прибавляем 13 к правой части несколько раз, пока не получим число, кратное 7 (добавление 13 аналогично добавлению 0, так что это допустимо). Получаем \ (25 \ text {,} \) \ (38 \ text {,} \) \ (51 \ text {,} \) \ (64 \ text {,} \) \ (77 \) - получили . Итак, имеем:

    \ begin {уравнение *} \ begin {выровнено} 7x \ amp \ эквив 12 \ pmod {13} \\ 7x \ amp \ эквив 77 \ pmod {13} \\ х \ amp \ эквив 11 \ pmod {13}.\ end {выровнен} \ end {уравнение *}
  2. Здесь, поскольку у нас есть числа, превышающие модуль, мы можем уменьшить их перед применением какой-либо алгебры. Имеем \ (84 \ эквив 9 \ текст {,} \) \ (38 \ эквив 8 \) и \ (79 \ эквив 4 \ текст {.} \) Таким образом,

    \ begin {уравнение *} \ begin {align} 84x - 38 \ amp \ эквив 79 \ pmod {15} \\ 9x - 8 \ amp \ эквив 4 \ pmod {15} \\ 9x \ amp \ эквив 12 \ pmod {15} \\ 9x \ amp \ эквив 72 \ pmod {15}. \ end {выровнен} \ end {уравнение *}

    Мы получили 72, добавив \ (0 \ Equiv 60 \ pmod {15} \) к обеим сторонам сравнения.Теперь разделите обе части на 9. Однако, поскольку \ (\ gcd (9, 15) = 3 \ text {,} \), мы также должны разделить модуль на 3:

    \ begin {уравнение *} х \ эквив 8 \ пмод 5. \ end {уравнение *}

    Итак, решения - это те значения, которые сравнимы с 8 или, что эквивалентно 3, по модулю 5. Это означает, что в некотором смысле есть 3 решения по модулю 15: 3, 8 и 13. Мы можем записать решение:

    \ begin {уравнение *} х \ эквив 3 \ pmod {15}; ~~ х \ экв 8 \ pmod {15}; ~~ х \ экв 13 \ pmod {15}. \ end {уравнение *}
  3. Сначала уменьшаем по модулю 14:

    \ begin {уравнение *} 20x \ эквив 23 \ pmod {14} \ end {уравнение *} \ begin {уравнение *} 6x \ Equiv 9 \ pmod {14}.\ end {уравнение *}

    Теперь мы можем разделить обе стороны на 3 или попытаться увеличить 9 на 14, чтобы получить число, кратное 6. Если мы разделим на 3, мы получим

    \ begin {уравнение *} 2x \ эквив 3 \ pmod {14}. \ end {уравнение *}

    Теперь попробуйте сложить число, кратное 14, к 3, в надежде получить число, которое можно разделить на 2. Это не сработает! Каждый раз, когда мы добавляем 14 к правой части, результат все равно будет нечетным. У нас никогда не будет четного числа, поэтому мы никогда не сможем разделить на 2. Таким образом, у сравнения нет решений.

Последнее сравнение выше иллюстрирует то, как сравнения могут не иметь решений. Фактически, мы могли это сразу увидеть. Посмотрите на исходное сравнение:

\ begin {уравнение *} 20x \ эквив 23 \ pmod {14}. \ end {уравнение *}

Если мы запишем это в виде уравнения, мы получим

\ begin {уравнение *} 20x = 23 + 14k, \ end {уравнение *}

или эквивалентно \ (20x - 14k = 23 \ text {.} \) Мы легко видим, что у этого уравнения не будет решения в целых числах. Левая часть всегда будет четной, а правая - нечетной.Аналогичная проблема возникла бы, если бы правая часть делилась на любого числа , которого не было бы в левой части.

Так в целом с учетом сравнения

\ begin {уравнение *} ах \ эквив б \ пмод {п}, \ end {уравнение *}

, если \ (a \) и \ (n \) делятся на число, на которое \ (b \) не делится, то решений не будет. Фактически, нам действительно нужно проверить только один делитель \ (a \) и \ (n \ text {:} \) наибольший общий делитель. 2 \ text {.} \) Целочисленные решения этого уравнения называются тройками Пифагора . В общем, решение диофантовых уравнений сложно (на самом деле, доказуемо не существует общего алгоритма для определения того, имеет ли диофантово уравнение решение, результат, известный как теорема Матиясевича). Мы ограничимся рассмотрением линейных и диофантовых уравнений, с которыми значительно проще работать.

Диофантовы уравнения

Уравнение с двумя или более переменными называется диофантовым уравнением , если интерес представляют только целочисленные решения.Линейное диофантово уравнение принимает вид \ (a_1x_1 + a_2x_x + \ cdots + a_nx_n = b \) для констант \ (a_1, \ ldots, a_n, b \ text {.} \)

Решение диофантова уравнения - это решение уравнения, состоящее только из целых чисел.

У нас есть инструменты, необходимые для решения линейных диофантовых уравнений. Рассмотрим в качестве основного примера уравнение

\ begin {уравнение *} 51х + 87у = 123. \ end {уравнение *}

Общая стратегия состоит в том, чтобы преобразовать уравнение в сравнение, а затем решить это сравнение.Давайте рассмотрим этот конкретный пример, чтобы увидеть, как это может произойти.

Сначала проверьте, возможно, нет решений, потому что делитель \ (51 \) и \ (87 \) не является делителем \ (123 \ text {.} \). На самом деле, нам просто нужно проверить, \ ( \ gcd (51, 87) \ mid 123 \ text {.} \) Этот наибольший общий делитель равен 3, и да \ (3 \ mid 123 \ text {.} \) На этом этапе мы могли бы также вычесть это наибольший общий делитель. Вместо этого мы решаем:

\ begin {уравнение *} 17х + 29у = 41. \ end {уравнение *}

Теперь заметьте, что если будут решения, то для этих значений \ (x \) и \ (y \ text {,} \) две стороны уравнения должны иметь одинаковый остаток друг от друга, независимо от на что мы делим.В частности, если мы разделим обе части на 17, мы должны получить тот же остаток. Таким образом, мы можем спокойно написать

\ begin {уравнение *} 17x + 29y \ эквив 41 \ pmod {17}. \ end {уравнение *}

Мы выбрали 17, потому что \ (17x \) будет иметь остаток 0. Это позволит нам сократить сравнение до одной переменной. Мы также могли бы перейти к сравнению по модулю 29, хотя обычно есть веская причина выбрать меньший вариант, так как это позволит нам уменьшить другой коэффициент. В нашем случае мы сокращаем сравнение следующим образом:

\ begin {уравнение *} \ begin {align} 17x + 29y \ amp \ Equiv 41 \ pmod {17} \\ 0x + 12y \ amp \ эквив 7 \ pmod {17} \\ 12 лет \ amp \ эквив 24 \ pmod {17} \\ у \ amp \ эквив 2 \ pmod {17}.\ end {выровнен} \ end {уравнение *}

Теперь мы знаем, что \ (y = 2 + 17k \) будет работать для любого целого числа \ (k \ text {.} \). Если мы не ошиблись, мы сможем снова подключить это к нашему исходное диофантово уравнение, чтобы найти \ (x \ text {:} \)

\ begin {уравнение *} \ begin {align} 17x + 29 (2 + 17k) \ amp = 41 \\ 17x \ amp = -17 - 29 \ cdot 17k \\ х \ amp = -1-29к. \ end {выровнен} \ end {уравнение *}

Мы нашли все решения диофантова уравнения. Для каждого \ (k \ text {,} \) \ (x = -1-29k \) и \ (y = 2 + 17k \) будут удовлетворять уравнению.Мы можем проверить это в нескольких случаях. Если \ (k = 0 \ text {,} \), решением будет \ ((- 1,2) \ text {,} \) и да, \ (- 17 + 2 \ cdot 29 = 41 \ text {.} \) Если \ (k = 3 \ text {,} \), решение будет \ ((- 88, 53) \ text {.} \) Если \ (k = -2 \ text {,} \), мы получим \ ((57, -32) \ text {.} \)

Подводя итог этому процессу, для решения \ (ax + by = c \ text {,} \) мы,

  1. Разделите обе части уравнения на \ (\ gcd (a, b) \) (если это не оставляет правую часть в виде целого числа, решений нет). Предположим, что \ (ax + by = c \) уже уменьшено таким образом.

  2. Выберите меньшее из \ (a \) и \ (b \) (здесь, предположим, это \ (b \)), и преобразуйте его в сравнение по модулю \ (b \ text {:} \)

    \ begin {уравнение *} ax + через \ Equiv c \ pmod {b}. \ end {уравнение *}

    Это сведется к конгруэнтности с одной переменной, \ (x \ text {:} \)

    \ begin {уравнение *} ах \ эквив с \ пмод {б}. \ end {уравнение *}
  3. Решите сравнение, как мы делали в предыдущем разделе. Запишите решение в виде уравнения, например,

    \ begin {уравнение *} х = п + кб \ end {уравнение *}
  4. Подставьте это в исходное диофантово уравнение и решите относительно \ (y \ text {.} \)

  5. Если мы хотим узнать решения в определенном диапазоне (например, \ (0 \ le x, y \ le 20 \)), выбирайте разные значения \ (k \), пока не получите все требуемые решения.

Вот еще пример:

Пример5.2.7

Как можно заработать 6,37 доллара, используя только 5-центовые и 8-центовые марки? Какое наименьшее и наибольшее количество марок вы могли бы использовать?

Решение

Во-первых, нам нужно диофантово уравнение. Мы будем работать в центах.Пусть \ (x \) будет количеством марок с ценой \ (5 \), а \ (y \) будет количеством марок по 8 центов. Нас:

\ begin {уравнение *} 5х + 8у = 637. \ end {уравнение *}

Преобразуйте в сравнение и решите:

\ begin {уравнение *} \ begin {align} 8y \ amp \ Equiv 367 \ pmod {5} \\ 3у \ amp \ эквив 2 \ pmod 5 \\ 3у \ amp \ эквив 12 \ pmod 5 \\ у \ amp \ эквив 4 \ pmod 5. \\ \ end {выровнен} \ end {уравнение *}

Таким образом, \ (y = 4 + 5k \ text {.} \) Тогда \ (5x + 8 (4 + 5k) = 637 \ text {,} \), поэтому \ (x = 121 - 8k \ text {.} \ )

Это говорит о том, что один из способов заработать 6 долларов.37 должен взять 121 из 5-центовых марок и 4 из 8-центовых марок. Чтобы найти наименьшее и наибольшее количество штампов, попробуйте разные значения \ (k \ text {.} \)

\ (к \) \ ((х, у) \) Марки
-1 (129, -1) невозможно
0 (121, 4) 125
1 (113, 9) 122
2 (105, 13) 119
\ точки \ vdots \ vdots

Это неудивительно.Наличие наибольшего количества марок означает, что у нас есть как можно больше 5-центовых марок, а для получения наименьшего количества марок потребуется наименьшее количество 5-центовых марок. Чтобы минимизировать количество 5-центовых марок, мы хотим выбрать \ (k \) так, чтобы \ (121-8k \) было как можно меньше (но все еще положительным). Когда \ (k = 15 \ text {,} \) мы имеем \ (x = 1 \) и \ (y = 79 \ text {.} \)

Таким образом, чтобы заработать 6,37 доллара, вы можете использовать всего 80 марок (1 5-центовая марка и 79 8-центовых марок) или до 125 марок (121 5-центовая и 4 8-центовых).

Используя этот метод, если вы можете решать линейные сравнения с одной переменной, вы можете решать линейные диофантовы уравнения с двумя переменными. Однако бывают случаи, когда решение линейного сравнения - это большая работа. Например, предположим, что вам нужно решить:

\ begin {уравнение *} 13x \ Equiv 6 \ pmod {51}. \ end {уравнение *}

Вы, , могли бы продолжать прибавлять 51 к правой части, пока не получите кратное 13: вы получите 57, 108, 159, 210, 261, 312, и 312 - первое из них, которое делится на 13.Это работает, но на самом деле это слишком много. Вместо этого мы могли бы преобразовать обратно в диофантово уравнение:

\ begin {уравнение *} 13x = 6 + 51 тыс. \ end {уравнение *}

Теперь решите и этот , как в этом разделе. Запишите это как сравнение по модулю 13:

. \ begin {уравнение *} \ begin {align} 0 \ amp \ эквив 6 + 51k \ pmod {13} \\ -12k \ amp \ эквив 6 \ pmod {13} \\ 2к \ amp \ эквив -1 \ pmod {13} \\ 2к \ amp \ эквив 12 \ pmod {13} \\ к \ amp \ экв 6 \ pmod {13} \ end {выровнен} \ end {уравнение *}

так что \ (k = 6 + 13j \ text {.} \) Теперь вернитесь и найдите \ (x \ text {:} \)

\ begin {уравнение *} \ begin {align} 13x \ amp = 6 + 51 (6 + 13j) \\ х \ amp = 24 + 51j. \ end {выровнен} \ end {уравнение *}

Конечно, вы можете делать это переключение между конгруэнциями и диофантовыми уравнениями сколько угодно раз. Если бы вы только использовали эту технику, вы бы по сути воспроизвели алгоритм Евклида, более стандартный способ решения диофантовых уравнений.

Подраздел Упражнения

1

Предположим, что \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (c \) - целые числа.Докажите, что если \ (a \ mid b \ text {,} \), то \ (a \ mid bc \ text {.} \)

Решение
Доказательство

Предположим, \ (a \ mid b \ text {.} \) Тогда \ (b \) кратно \ (a \ text {,} \) или, другими словами, \ (b = ak \) для некоторого \ (k \ text {.} \) Но тогда \ (bc = akc \ text {,} \) и поскольку \ (kc \) является целым числом, это означает, что \ (bc \) кратно \ (a \ text {.} \) Другими словами, \ (a \ mid bc \ text {.} \)

2

Предположим, что \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) и \ (c \) - целые числа. Докажите, что если \ (a \ mid b \) и \ (a \ mid c \), то \ (a \ mid b + c \) и \ (a \ mid b-c \ text {.} \)

Решение
Доказательство

Предположим, что \ (a \ mid b \) и \ (a \ mid c \ text {.} \). Это означает, что \ (b \) и \ (c \) оба кратны \ (a \ text {,} \), поэтому \ (b = am \) и \ (c = an \) для целых чисел \ (m \) и \ (n \ text {.} \) Тогда \ (b + c = am + an = a (m + n) \ text {,} \), поэтому \ (b + c \) кратно \ (a \ text {,} \) или, что эквивалентно, \ (a \ mid b + c \ text {.} \) Точно так же \ (bc = am-an = a (mn) \ text {,} \), поэтому \ (bc \) кратно \ (a \ text {,} \), то есть \ (a \ mid bc \ text {.} \)

3

Запишите оставшиеся классы для \ (n = 4 \ text {.} \)

Решение

\ (\ {\ ldots, -8, -4, 0, 4, 8, 12, \ ldots \} \ text {,} \) \ (\ {\ ldots, -7, -3, 1, 5 , 9, 13, \ ldots \} \ text {,} \)

\ (\ {\ ldots, -6, -2, 2, 6, 10, 14, \ ldots \} \ text {,} \) и \ (\ {\ ldots, -5, -1, 3, 7 , 11, 15, \ ldots \} \ text {.} \)

4

Пусть \ (a \ text {,} \) \ (b \ text {,} \) \ (c \ text {,} \) и \ (n \) будут целыми числами. Докажите, что если \ (a \ Equiv b \ pmod {n} \) и \ (c \ Equiv d \ pmod {n} \ text {,} \), то \ (ac \ Equiv bd \ pmod {n} \ text { .} \)

Решение
Доказательство

Предположим, что \ (a \ Equiv b \ pmod n \) и \ (c \ Equiv d \ pmod n \ text {.2 \ Equiv 2 \ pmod 7 \ text {.} \) Решение

Для всего этого просто вставьте все целые числа от 0 до модуля, чтобы увидеть, какие из них работают.

  1. Нет решений.

  2. \ (x = 3 \ text {.} \)
  3. \ (x = 2 \ text {,} \) \ (x = 5 \ text {,} \) \ (x = 8 \ text {.} \)
  4. Нет решений.

  5. Нет решений.

  6. \ (x = 3 \ text {.} \)
7

Решите следующие сравнения (опишите общее решение).

  1. \ (5x + 8 \ Equiv 11 \ pmod {22} \ text {.} \)
  2. \ (6x \ Equiv 4 \ pmod {10} \ text {.} \)
  3. \ (4x \ Equ 24 \ pmod {30} \ text {.} \)
  4. \ (341x \ Equ 2941 \ pmod {9} \ text {.} \)
Решение
  1. \ (x = 5 + 22k \) для \ (k \ in \ Z \ text {.} \)
  2. \ (x = 4 + 5k \) для \ (k \ in \ Z \ text {.} \)
  3. \ (x = 6 + 15k \) для \ (k \ in \ Z \ text {.} \)
  4. Сначала уменьшите каждое число по модулю 9, что можно сделать, сложив цифры чисел.Ответ: \ (x = 2 + 9k \) для \ (k \ in \ Z \ text {.} \)

8

Я думаю о числе. Если вы умножите мое число на 7, прибавите 5 и разделите результат на 11, у вас останется остаток 2. Какой остаток вы получите, если разделите мое исходное число на 11?

Решение

Мы должны решить \ (7x + 5 \ Equiv 2 \ pmod {11} \ text {.} \). Это дает \ (x \ Equiv 9 \ pmod {11} \ text {.} \) В общем, \ ( x = 9 + 11k \ text {,} \), но когда вы разделите любой такой \ (x \) на 11, остаток будет равен 9.

9

Решите следующие линейные диофантовы уравнения, используя модульную арифметику (опишите общие решения).

  1. \ (6x + 10y = 32 \ text {.} \)
  2. \ (17x + 8y = 31 \ text {.} \)
  3. \ (35x + 47y = 1 \ текст {.} \)
Решение
  1. Разделить на 2: \ (3x + 5y = 16 \ text {.} \) Преобразовать в сравнение по модулю 3: \ (5y \ Equiv 16 \ pmod 3 \ text {,} \), которое сводится к \ (2y \ Equiv 1 \ pmod 3 \ text {.} \) Итак \ (y \ Equiv 2 \ pmod 3 \) или \ (y = 2 + 3k \ text {.} \) Вставьте это обратно в \ (3x + 5y = 16 \) и решите для \ (x \ text {,} \), чтобы получить \ (x = 2-5k \ text {.} \). Итак, общее решение \ (x = 2-5k \) и \ (y = 2 + 3k \) для \ (k \ in \ Z \ text {.} \)

  2. \ (x = 7 + 8k \) и \ (y = -11 - 17k \) для \ (k \ in \ Z \ text {.} \)
  3. \ (x = -4-47k \) и \ (y = 3 + 35k \) для \ (k \ in \ Z \ text {.} \)
10

У вас есть 13 унций. бутылка и 20 унций. бутылка, с которой вы хотите отмерить ровно 2 унции. Однако у вас ограниченный запас воды.Если какая-либо вода попадет в любую бутылку, а затем будет вылита, она исчезнет навсегда. Какое наименьшее количество воды вы можете начать и при этом завершить задачу?

Решение

Сначала решите диофантово уравнение \ (13x + 20 y = 2 \ text {.} \). Общее решение - \ (x = -6 - 20k \) и \ (y = 4 + 13k \ text {.} \) Теперь, если \ (k = 0 \ text {,} \) это соответствует заполнению 20 унций. бутылку 4 раза и опорожнение 13 унций. бутылка 6 раз, что потребовало бы 80 унций. воды. Для увеличения \ (k \) потребуется значительно больше воды.Может быть, \ (k = -1 \) было бы лучше? Тогда у нас будет \ (x = -6 + 20 = 14 \) и \ (y = 4-13 = -11 \ text {,} \), который описывает решение, в котором мы заполняем 13 унций. бутылку 14 раз и вылейте 20 унций. бутылка 11 раз. Для этого потребуется 182 унции. воды. Таким образом, наиболее эффективная процедура - это несколько раз наполнить бутылку на 20 унций, опорожнить ее в бутылку на 13 унций и выбросить полные 13 унций. бутылки, для чего требуется 80 унций. воды.

Number - Math Open Reference

Number - Math Open Reference Числа - это цепочки цифр, используемые для обозначения величины.Они измеряют размер - насколько велико или мало количество. В математике есть несколько типов чисел, но они делятся на два основных класса: счетные числа и скаляры.

Счетные числа, натуральные числа

Они используются для подсчета количества объектов. Они представляют собой целые положительные числа и не имеют дробных частей. Например 12 машин, 45 студентов, 3 дома. Подробнее об этом см. Подсчет чисел и натуральных чисел.

Скаляры

Это числа, используемые для измерения некоторой величины с любой желаемой степенью точности.Например, высота здания 12,388 метра, или скорость самолета - 810,31 километра в час. Они могут иметь десятичные знаки или дробные части. Смотрите также Скалярное определение. В этой категории есть несколько типов номеров:

  • Реальные числа

    Вещественные числа - это числа, которые могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, и могут иметь десятичные знаки или дробные части. Это наиболее распространенные числа, используемые для измерения величин. Пример 31,88 сантиметра.У них обычно есть единицы. Подробнее см. Определение действительного числа.

  • Целые числа

    Целые числа Целые числа, которые могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, но не имеют десятичных знаков или дробных частей. Они похожи на счетные числа, но могут быть отрицательными. Для получения дополнительной информации см. Целочисленное определение.

  • Положительные и отрицательные числа

    Положительные числа - это числа, которые считаются больше нуля. Большое положительное число больше меньшего, например, +12 больше, чем +2.Для получения дополнительной информации см. Определение положительного числа.

    Отрицательные числа считаются меньше нуля. Их можно рассматривать как долг или дефицит. Например, если ваш кошелек пуст и вы должны кому-то 12 долларов, тогда вы можете думать о своем кошельке как о отрицательных 12 долларах. В каком-то смысле у вас меньше нуля долларов. Подробнее об этом см. Определение отрицательного числа.

  • Рациональные и иррациональные числа

    Рациональные числа - это числа, которые можно записать как отношение двух целых чисел.
    Слово «рациональный» происходит от «отношения». Например, число 0,5 является рациональным, поскольку его можно записать как отношение & half ;. Для получения дополнительной информации см. Определение рационального числа.

    Иррациональные числа - это числа, которые не являются рациональными, то есть числа, которые нельзя записать как отношение двух целых чисел. Подробнее см. Определение иррационального числа.

  • Мнимые числа

    Мнимые числа нужны для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел, что обычно невозможно.Так, например, квадратный корень из -16 будет записан как 4i , где i - это символ квадратного корня из отрицательного числа. Подробнее об этом см. Определение мнимого числа.

  • Комплексные числа

    Напомним, что настоящие числа - это числа, лежащие на числовой прямой. Комплексные числа распространяют эту идею на числа, лежащие на двумерной плоской плоскости. Комплексные числа состоят из двух компонентов, называемых действительной и мнимой частями. См. Определение комплексного числа.

  • Простые и составные числа

    Простое число - это целое число, не имеющее делителей (целые числа, которые делят данное число без остатка). кроме одного и самого себя. Другими словами, его можно разделить только на единицу и само число. 17 - простое число. 16 не потому, что его можно разделить на 2, 4 и 8.

    Составное число - это непростое число. имеет множители и является противоположностью простого числа.См. Определение составного числа.

Обозначение номера

Числа можно записывать или изобразить разными способами.

  • Номер строки

    Числовая линия - это графический способ визуализации чисел путем размещения их на прямой линии, обычно с нулем посередине, положительные числа справа и отрицательные числа слева.
    Подробнее см. Числовая строка.

  • Десятичное представление

    Самый распространенный способ представления действительных чисел.Строка цифр и десятичная точка (точка). Цифры слева от точки - увеличивающие степени десяти, справа - увеличивающие отрицательные степени десяти. Пример 836.33, -45.009.

  • Дроби

    Дробь - это две величины, написанные одна над другой, что показывает, сколько всего у нас есть. Например, у нас может быть три четверти пиццы:

    Подробнее см. Определение дроби.

  • Нормальная форма (научная запись)

    Для очень больших и очень маленьких чисел десятичная запись не самая удобная.число в нормальной форме состоит из двух частей: коэффициента и показателя степени (степень десяти). Например, расстояние до Солнца 93000000 миль. Это может быть более удобно записано как 93 × 10 6 миль. 93 - коэффициент, а 6 - показатель степени. Подробнее см. Нормальная форма (научное обозначение).

Некоторые числа вообще не числа

Иногда числа используются как идентификаторы. Вместо того, чтобы измерять размеры объекта или считать, они используются для обозначения объектов в реальном мире.Например, номер студенческого билета ни для чего не используется. Это просто строка цифр, которая идентифицирует одного конкретного студента.

Нет смысла пытаться делать с ними арифметические операции. Деление номера ученика на два или нахождение квадратного корня из телефонного номера не имеет смысла.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *