1 в двоичной системе: Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайн

− B = + не B + 1

Умножение

Умножение в наборе из двух предметов подобно его десятичному коллеге. Два числа и могут быть умножены на частичные продукты: для каждой цифры в продукт той цифры в вычислен и написан на новой линии, перемещенной влево так, чтобы ее самая правая цифра выстроилась в линию с цифрой в этом, использовался. Сумма всех этих частичных продуктов дает конечный результат.

С тех пор есть только две цифры в наборе из двух предметов, есть только два возможных исхода каждого частичного умножения:

• Если цифра в 0, частичный продукт — также 0
• Если цифра в равняется 1, частичный продукт равен

Например, двоичные числа 1011 и 1010 умножены следующим образом:

1 0 1 1

× 1 0 1 0

———

0 0 0 0 ← Соответствует самому правому ‘нолю’ в

+ 1 0 1 1 ← Соответствует следующему в

+ 0 0 0 0

+ 1 0 1 1

—————

= 1 1 0 1 1 1 0

Двоичные числа могут также быть умножены с битами после запятой в двоичном числе:

1 0 1. 1 0 1 (5.625 в десятичном числе)

× 1 1 0. 0 1 (6.25 в десятичном числе)

——————

1. 0 1 1 0 1 ← Соответствует ‘тому’ в

+ 0 0. 0 0 0 0 ← Соответствует ‘нолю’ в

+ 0 0 0. 0 0 0

+ 1 0 1 1. 0 1

+ 1 0 1 1 0. 1

—————————

= 1 0 0 0 1 1. 0 0 1 0 1 (35.15625 в десятичном числе)

См. также алгоритм умножения Бута.

Таблица умножения

Стол умножения в двоичной системе совпадает с таблицей истинности логической операции по соединению.

Подразделение

:

Двоичное деление снова подобно своему десятичному коллеге:

Здесь, делитель равняется 101 или 5 десятичным числам, в то время как дивиденд 11011, или 27 десятичных чисел. Процедура совпадает с процедурой десятичного длинного подразделения; здесь, делитель 101 входит в первые три цифры 110 из дивиденда одно время, таким образом, «1» написан на главной линии. Этот результат умножен на делитель и вычтен из первых трех цифр дивиденда; следующая цифра («1») включена, чтобы получить новую последовательность с тремя цифрами:

1

___________

1 0 1) 1 1 0 1 1

—-

0 1 1

Процедура тогда повторена с новой последовательностью, продолжившись, пока цифры в дивиденде не были исчерпаны:

1 0 1

___________

1 0 1) 1 1 0 1 1

—-

0 1 1

− 0 0 0

—-

1 1 1

—-

1 0

Таким образом фактор 11 011 разделенных 101 равняется 101, как показано на главной линии, в то время как остаток, показанный на итоге, равняется 10. В десятичном числе 27 разделенных 5 равняются 5 с остатком от 2.

Квадратный корень

Процесс взятия двойной цифры квадратного корня цифрой совпадает с для десятичного квадратного корня и объяснен здесь. Пример:

1 0 0 1

———

√ 1 010 001

1

———

101 01

0

——-

1001 100

0

——-

10001 10 001

10 001

——

0

Битовые операции

Хотя не непосредственно связанный с числовой интерпретацией двойных символов, последовательностями битов можно управлять, используя Булевых логических операторов. Когда рядом двойных символов управляют таким образом, это называют битовой операцией; логические операторы И, ИЛИ, и XOR могут быть выполнены на соответствующих битах в двух двоичных цифрах, обеспеченных, как введено. Логическое НЕ операция может быть выполнено на отдельных битах в единственной двоичной цифре, обеспеченной, как введено. Иногда, такие операции могут использоваться в качестве арифметических коротких путей и могут обладать другими вычислительными преимуществами также. Например, арифметическое изменение, оставленное двоичного числа, является эквивалентом умножения (положительный, составной) власть 2.

Преобразование в и от других систем цифры

Десятичное число

Чтобы преобразовать из основы 10 цифр целого числа к ее основе 2 (двойных) эквивалента, число разделено на два, и остаток — наименьшее количество — значительный бит. (Целое число) результат снова разделен на два, его остаток — следующий наименее значительный бит. Этот процесс повторения до фактора становится нолем.

Преобразование от основы 2, чтобы базировать 10 доходов, применяя предыдущий алгоритм, если можно так выразиться, наоборот. Части двоичного числа используются один за другим, начинающийся с самого значительного (крайнего левого) бита. Начиная со стоимости 0, неоднократно удвойте предшествующую стоимость и добавьте следующий бит, чтобы произвести следующую стоимость. Это может быть организовано в многостолбцовом столе. Например, преобразовать 10010101101 в десятичное число:

:

Результат — 1197. Обратите внимание на то, что первая Предшествующая Ценность 0 является просто начальным десятичным значением. Этот метод — применение схемы Хорнера.

Фракционные части числа преобразованы с подобными методами. Они снова основаны на эквивалентности перемены с удвоением или сокращением вдвое.

Во фракционном двоичном числе такой как 0,11010110101, первая цифра, второе, и т.д. Таким образом, если есть 1 во-первых после десятичного числа, то число, по крайней мере, и наоборот. Дважды то число — по крайней мере 1. Это предлагает алгоритм: Неоднократно удваивайте число, которое будет преобразовано, отчет, если результат — по крайней мере 1, и затем выбрасывает часть целого числа.

Например, в наборе из двух предметов:

:

Таким образом повторяющаяся десятичная дробь 0.6-2) & = & 1100010101 \\

x& = & 1100010101/111110 \\

x& = & (789/62) _ {10 }\

\end {выравнивают }\

Другой способ преобразовать от набора из двух предметов до десятичного числа, часто более быстрого для человека, знакомого с шестнадцатеричным, состоит в том, чтобы сделать так косвенно — сначала преобразовывающий (в наборе из двух предметов) в (в шестнадцатеричном) и затем преобразовывающий (в шестнадцатеричном) в (в десятичном числе).

Для очень больших количеств эти простые методы неэффективны, потому что они выполняют большое количество умножения или подразделений, где один операнд очень большой. Простой алгоритм делить-и-побеждать более эффективный асимптотически: учитывая двоичное число, это разделено на 10, где k выбран так, чтобы фактор примерно равнялся остатку; тогда каждая из этих частей преобразована в десятичное число, и эти два связаны. Учитывая десятичное число, это может быть разделено на две части приблизительно того же самого размера, каждая из которых преобразована в набор из двух предметов, после чего первая переделанная часть умножена на 10 и добавлена к второй переделанной части, где k — число десятичных цифр во втором, наименьшем количестве — значительная часть перед преобразованием.

Шестнадцатеричный

Набор из двух предметов может быть преобразован в и от шестнадцатеричного несколько более легко. Это вызвано тем, что корень шестнадцатеричной системы (16) является властью корня двоичной системы счисления (2). Более определенно, 16 = 2, таким образом, требуется четыре цифры набора из двух предметов, чтобы представлять одну цифру шестнадцатеричных, как показано в столе вправо.

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в его двоичный эквивалент, просто замените соответствующими двоичными цифрами:

:3A = 0011 1 010

:E7 = 1110 0111

Чтобы преобразовать двоичное число в его шестнадцатеричный эквивалент, разделите его на группы четырех битов. Если число битов не кратное число четыре, просто вставьте дополнительные 0 битов слева (названный дополнением). Например:

:1010010 = 0101 0010 сгруппированных с дополнением = 52

:11011101 = 1101 1101 сгруппировался = DD

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в его десятичный эквивалент, умножьте десятичный эквивалент каждой шестнадцатеричной цифры соответствующей властью 16 и добавьте получающиеся ценности:

:C0E7 = (12 × 16) + (0 × 16) + (14 × 16) + (7 × 16) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 × 1) = 49 383

Октальный

Набор из двух предметов также легко преобразован в октальную систему цифры, начиная с октального использования корень 8, который является властью два (а именно, 2, таким образом, требуется точно три двоичных цифры, чтобы представлять октальную цифру). Корреспонденция между октальными и двоичными цифрами совпадает с для первых восьми цифр шестнадцатеричных в столе выше. Двойные 000 эквивалентны октальной цифре 0, двойные 111 эквивалентно октальным 7, и т.д.

:

Преобразование от октального до двойных доходов тем же самым способом, как это делает для шестнадцатеричного:

:65 = 110 101

:17 = 001 111

И от набора из двух предметов до октального:

:101100 = 101 100 сгруппированный = 54

:10011 = 010 011 сгруппированных с дополнением = 23

И от октального до десятичного числа:

:65 = (6 × 8) + (5 × 8) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53

:127 = (1 × 8) + (2 × 8) + (7 × 8) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87

Представление действительных чисел

Нецелые числа могут быть представлены при помощи отрицательных полномочий, которые выделены от других цифр посредством десятичной запятой (названный десятичной запятой в десятичной системе счисления). Например, двоичное число 11.01 таким образом средства:

:

Для в общей сложности 3,25 десятичных чисел.

всех двухэлементных рациональных чисел есть заканчивающаяся двоичная цифра — у двойного представления есть конечное число условий после десятичной запятой. У других рациональных чисел есть двойное представление, но вместо завершения, они повторяются с конечной последовательностью цифр, повторяющихся неопределенно. Например

: = = 0,01010101 …

: = = 0.10110100 10110100…

Явление, которое двойное представление любого рационального или заканчивает или повторяется также, происходит в других основанных на корне системах цифры. Посмотрите, например, объяснение в десятичном числе. Другое подобие — существование альтернативных представлений для любого представления завершения, полагаясь на факт, что 0,111111 … — сумма геометрического ряда 2 + 2 + 2 +…, который равняется 1.

Двоичные цифры, которые не заканчиваются и не повторяются, представляют иррациональные числа. Например,

• 0,10100100010000100000100 … действительно есть образец, но это не фиксированная длина повторяющийся образец, таким образом, число — иррациональный
• 1,0110101000001001111001100110011111110 … — двойное представление, квадратный корень 2, другое иррациональное число. У этого нет заметного образца. Посмотрите иррациональное число.

См. также

• Двоично-десятичное число

• Набор из двух предметов пальца

• Линейный сдвиговый регистр обратной связи

• Набор из двух предметов погашения

• Сокращение summands

• Избыточное двойное представление

• Повторение десятичного числа

• Дополнение Туо

Примечания

Внешние ссылки

• Краткий обзор Лейбница и связи с двоичными числами

• Изучение осуществления для детей в

• Двоичный счетчик с детьми

• «Волшебные» карточные фокусы

• Быстрая ссылка на Практическом руководстве прочитала набор из двух предметов

• Двойной конвертер ВЕДЬМЕ/ДЕКАБРЮ/ОКТЯБРЮ с прямым доступом вдребезги

• От одного до другой системы числа статья имела отношение к созданию компьютерной программы для преобразования числа от одного до другой системы числа с исходным кодом, написанным в

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления

1МБОУ Барвихинская СОШ

1МБОУ Барвихинская СОШ

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Двоичная система счисления имеет прямое отношение к математической теории чисел. Необходимость изучения данной темы связана с тем, что в нашей современной жизни трудно обойтись без компьютера, а все числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления. Данная тема вносит вклад в фундаментальное математическое школьное образование. Различные системы счисления используются тогда, когда появляется потребность в числовых расчетах, начиная с вычислений в начальной школе на бумаге и заканчивая вычислениями на суперкомпьютерах.

В данной работе изложена и описана одна из наиболее популярных систем счисления – двоичная, а также области ее применения. Данная тема является значимой, потому что наша жизнь связана с электронной вычислительной техникой (ЭВМ). Двоичная система счисления появилась задолго до изобретения вычислительной и компьютерной техники, но без нее невозможно использование любой электронно-вычислительной техники, а также мобильных телефонов и всевозможных гаджетов.

Цель проекта – рассмотрение применения двоичной системы счисления в нашей жизни.

Поставленные задачи проекта:

1) Рассмотреть понятия систем счисления и их виды;

2) Изучить двоичную систему счисления;

3) Изучить математические действия в двоичной системе счисления;

5) Показать применение двоичной системы счисления в современной жизни человека и в компьютерной технике;

6) Оформление результатов работы с возможностью их дальнейшего использования в форме брошюры, презентации и устного доклада.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

Нашу жизнь нельзя представить без цифр. Температура воздуха, цены на продукты, номера телефонов, время и прочее. Везде мы используем цифры даже не замечая этого.

Число – это одно из фундаментальных и самых древних понятий математики. Первые числа появились вместе с речью. В древние времена счет считался математической деятельностью. Одним из первых существенных открытий являются представления о самом числе и изобретение основных четырех действий: сложение, вычитание, умножение и деление. Возникновение и развитие математики проходило благодаря египтянам и вавилонянам, примерно 3000 лет до нашей эры.

Счет был необходим для занятия торговлей и даже скотоводством, чтобы следить за количеством животных. Вначале для счета использовали части тела, например, пальцы рук. Число появилось сначала в связи со счетом отдельных предметов, а затем стало обозначать количественную меру. Это привело к идее о бесконечности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4… и т.д. Для обычных обывателей такого определения достаточно, но математиками были разработаны и другие числа. В 19 веке была разработана теория действительных чисел. Новый импульс эта теория получила в связи с развитием компьютерных технологий.

Числовая ось бесконечна, потому что к каждому числу можно прибавить еще одну единицу и получить следующее число, с которым можно поступить так же. При этом придумывать какие-либо специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) бесконечной числовой оси нереально. Поэтому для записи произвольного числа бесконечной числовой оси прибегают к помощи одной или нескольким систем счисления.

Понятие системы счисления и их виды

Система счисления – это способ представления любых чисел с помощью определенного количества знаков (цифр) по позиционному принципу. Количество знаков, которые обычно именуют «цифрами», всегда ограничено. И с помощью такого, ограниченного количества цифр (мы используем десять цифр) удается записывать произвольные числа, например, 23 456 или 1 000 123 456 789. Чтобы преодолеть это ограничение, используется особый способ записи, который называется «позиционным».

Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, при этом позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры на математическом языке называется разрядом. Значение цифры «переменчиво» и зависит от ее позиции в числе. Например, в числе «11» две единицы имеют разное значение, это относится и к другим сочетаниям «единиц» — «111», «1111», «11 111» и далее. Не всякие числовые системы используют именно такой позиционный способ записи.

Выбор количества цифр диктуется какими-либо потребностями реальной жизни, науки или удобствами обработки. Исторически этот выбор определялся привычками или традициями конкретного народа.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления значение числа определяется как сумма или разность цифр в числе. Считать в такой системе трудно. Например, у многих народов использовалась система, алфавит, который состоял из одного символа – палочки. Чтобы изобразить число пять нужно записать пять палочек. Египтяне применяли для записи чисел иероглифы. Самым распространенным примером непозиционной системы счисления является римская система счисления.

Позиционной системой счисления называется та система, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Это двоичная, троичная, пятеричная, восьмеричная, десятеричная, шестнадцатеричная системы. Достоинства любой позиционной системы счисления — это простота выполнения арифметических действий и ограниченное количество символов, необходимых для записи любого числа.

Системы счисления делятся на различные группы:

Анатомического происхождения:

Пятеричная система была распространена у некоторых африканских

племен.

Десятичная система оказалась общепринятой по причине того, что десять пальцев рук — это самый первый аппарат для счета, которым человек пользовался с доисторических времен. По пальцам удобно считать от 1 до 10. Сосчитав до 10, естественно принять само число 10 за новую, более крупную единицу – единицу следующего разряда и т.д. Именно счет по пальцам рук положил начало той системе, которая кажется нам самой привычной.

Десятичная система счисления представляет собой систему, в которой, каждое целое положительное число представляется в виде суммы различных степеней числа 10 с коэффициентами, которые могут принимать значения от 0 до 9 включительно. Например, запись числа 3 756 означает, что рассматриваемое число содержит 6 единиц, 5 десятков, 7 сотен и 3 тысячи.

Десятичная система счисления не сразу заняла господствующее положение. В разные исторические периоды разные народы мира пользовались другими система счисления.

Двенадцатеричная система.

Широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Ее происхождение тоже связано со счетом пальцев рук. Так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют 12 фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счет от 1 до 12. Потом 12 принимается за единицу следующего разряда и т.д. Остатки двенадцатеричной системы сохранились до наших дней: вместо «двенадцать» говорят «дюжина». Многие предметы часто считают именно дюжинами (вилки, тарелки, ножи, носовые платки). А также число месяцев в году — 12. Остатки двенадцатеричной системы счисления имеются у англичан, например, в системе мер 1 фут = 12 дюймам или в денежной системе 1 шиллинг = 12 пенсам.

С математической точки зрения, двенадцатеричная система имела некоторые преимущества перед десятичной, потому что число 12 делится на 2, 3, 4, 6 и 12, а число 10 только на 2, 5 и 10. А больший запас делителей у числа, служащего основанием системы счисления создает удобства в ее использовании.

Двадцатеричная система.

У ацтеков и майя — народов, населявших в течении многих столетий обширные области американского континента и создавших там высокую культуру – была принята двадцатеричная система. Она же была принята у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Следы двадцатеричной системы кельтов сохранились и в современном французском языке, например, «восемьдесят» по-французски будет как «четырежды двадцать». Число 20 встречалось и во французской денежной системе: франк делится на 20 су.

Шестидесятеричная система.

В древнем Вавилоне существовала сложная шестидесятеричная система. Мнения историков по поводу происхождения данной системы расходятся. Но не смотря на недоказанность гипотез возникновения шестидесятеричной системы, сам факт её существования и широкого распространения в древнем Вавилоне установлен. Эта система сохранилась до наших дней, например, в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд или в системе измерения углов: градус = 60 минутам, минута = 60 секундам.

Алфавитные:

Древнеармянская, древнегрузинская, древнегреческая, славянская.

Машинные:

Двоичная система – это позиционная система с основанием 2.

Двоичная система встречалась у некоторых племен Австралии и Полинезии.

Восьмеричная система  — это позиционная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.

Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно. Широко использовалась в программировании и компьютерной документации, однако позднее была почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Шестнадцатеричная система  — это позиционная система счисления по основанию 16. В качестве цифр этой системы счисления обычно используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 1010, 1110, 1210, 1310, 1410, 1510 соответственно.

Шестнадцатеричная система широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной адресуемой единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.

Прочие:

Римская система

Способ записи чисел с помощью римских цифр такой: если цифра расположена справа, то ее значение прибавляется к предыдущей, например, число «XI» означает «одиннадцать», а если слева, то значение вычитается, например, число «IX», состоящее из тех же цифр, уже означает «девять». Кроме того, в римской системе счисления в числе вес цифры X в любой позиции равен десяти, например, число XXXII (тридцать два). Римская система счисления не прижилась, потому что римские числа трудно складывать или умножать, не говоря уже о более сложных функциях.

Вавилонская, Египетская, Китайская и другие.

Неколичественная система счета (качество выступает в роли количества: «много», «мало») была у эскимосов.

Из всех вышеперечисленных систем счисления меня очень заинтересовала двоичная система счисления.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание равно двум. В этой системе счисления используются всего два знака, две цифры – «0» и «1».

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами от 0 до 9. Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела, т.е. единицы, появляется новый разряд, а старый обнуляется¹.

Таблица 1. Соответствие десятичных и двоичных чисел

Таблица 2. Таблица степеней основания 2

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

В двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Необходимо уметь переводить двоичные числа в десятичные².

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д.

пример:

1365 = 1000 + 300 + 60 + 5 или

1365 = 1 * 10³ + 3 * 10² + 6 * 10¹ + 5 * 10⁰

Если посмотреть на эту запись внимательно мы увидим здесь цифры 1, 3, 6 и 5 — это набор цифр из которых состоит число 1365. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число, только основание здесь будет 2.

пример:

10110001 = 1*2⁷ + 0*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

Посчитав сумму составляющих, мы получим десятичное число, соответствующее 10110001

пример:

10110001 = 1*2⁷ + 0*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ =

= 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 177

Т.е. число 10110001 по основанию 2 равно числу 177 по основанию 10.

Перевод десятичного числа в двоичное

Для того чтобы перевести десятичное число в двоичное используют несколько способов.

Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков.

пример: необходимо получить из числа 731 его двоичную запись

731 / 2 = 365 (1 остаток)

365 / 2 = 182 (1 остаток)
182 / 2 = 91 (0 остаток)
91 / 2 = 45 (1 остаток)
45 / 2 = 22 (1 остаток)
22 / 2 = 11 (0 остаток)
11 / 2 = 5 (1 остаток)

5 / 2 = 2 (1 остаток)

2 / 2 = 1 (0 остаток)

1 / 2 = 0 (1 остаток)

пример: другое представление записи

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1011011011. Это и есть число 731 в двоичном представлении.

пример: проверяем

1011011011 = 1*2⁹ + 0*2⁸ + 1*2⁷ + 1*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + + 1*2⁰ или 1011011011 = 1*512 + 0*256 + 1*128 + 1*64 + 0*32 + 1 *16 + 1*8 + + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 512 + 0 + 128 + 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 731

Т.е. число 731 по основанию 10 равно числу 1011011011 по основанию 2.

Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает большой размер. Собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить очень сложно³.

Для больших чисел используют второй способ перевода чисел из десятичной системы в двоичную, который выглядит так:

пример: рассмотрим тоже число 731. Нам нужно разложить это число

на слагаемые, равные степени двойки. Ищем наибольшее число из таблицы степеней основания 2 которое меньше чем 731.

Это 2⁹ = 512

731 > = 512? Да, поэтому 512 = 1, далее 731 — 512 = 219

219 > = 256? Нет, поэтому 256 = 0, далее

219 > = 128? Да, поэтому 128 = 1, далее 219 — 128 = 91

91 > = 64? Да, поэтому 64 = 1, далее 91 — 64 = 27

27 > = 32? Нет, поэтому 32 = 0, далее

27 > = 16? Да, поэтому 16 = 1, далее 27 – 16 = 11

11 > = 8? Да, поэтому 8 = 1, далее 11 – 8 = 3

3 > = 4? Нет, поэтому 4 = 0, далее

3 > = 2? Да, поэтому 2 = 1, далее 3 — 2 = 1

1 > = 1? Да, поэтому 1 = 1, далее 1 — 1 = 0.

Таблица 3. Таблица наглядности полученных вычислений

пример: 512 + 0 + 128 + 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 731

Далее есть два способа, можно использовать любой из них. Легко увидеть, что в любой системе счисления её основание всегда 10. Квадрат основания всегда будет 100, а куб 1000. То есть степень основания системы счисления – это 1 (единица), и за ней столько нулей, какова степень.

Способ 1: Расставим 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 7, 6, 4, 3, 1, 0. В остальных местах будут стоять нули. Единицы стоят на 9-м, 7-м, 6-м, 4-м, 3-м, 1-м и 0-м местах.

Способ 2: Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.

Параллельно можно легко посчитать сколько единиц в двоичной записи числа 731. Их столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У числа 731 их 7.

Сложение в двоичной системе счисления

При сложении чисел в двоичной системе важно помнить, что она имеет всего два символа — 0 и 1. Никаких других символов в ней быть не может! Поэтому сложение двух единиц 1 + 1 дает не 2, как в десятичной системе, а 10, так как 10 – это следующее за единицей число в двоичной системе.

Таблица 5. Правила сложения в двоичной системе

Эти правила необходимы, чтобы складывать числа в двоичной системе в столбик. В случае прибавления единицы к единице, единица идет в следующий разряд. Прибавление нуля к любому двоичному числу не изменит это число. Большие двоичные числа удобно складывать в столбик. Правила в двоичной системе аналогичны сложению правилам сложения в столбик в десятичной системе.

пример: сложить числа 10111 и 10101

Вычитание в двоичной системе счисления

Вычитать двоичные числа несколько сложнее, чем складывать, для этой цели есть два метода: вычитание с использованием дополнительного кода числа и вычитание в столбик.

Метод вычитания с использованием дополнительного кода приводит поставленную задачу к операции сложения путем преобразований над вычитаемым числом. Это преобразование называется дополнительным кодом (ДК). Определить его можно по следующему алгоритму: сначала значения всех позиций вычитаемого числа меняются на противоположные: нули на единицы, а единицы на нули. Потом к получившемуся промежуточному результату прибавляется двоичная единица, т.е. число, которое увеличивает его младший разряд на 1⁴.

пример: найти разность чисел: 11001 – 1101

а) меняем значения всех позиций вычитаемого числа на

противоположные:

1 1 0 1 на

0 0 1 0

б) к получившемуся промежуточному результату прибавляем

двоичную единицу:

0 0 1 0

+ 0 0 0 1

= 0 0 1 1

в) складываем уменьшаемое число и число, полученное из 2-го

действия:

1 1 0 0 1

+ 0 0 1 1

= 1 1 1 0 0

г) завершающий этап данного метода – необходимо отбросить единицу,

стоящую в старшей позиции, т.е. 1 1 1 0 0 = 1 1 0 0.

Таблица 6. Наглядное вычисление разности в двоичной системе

Второй метод в столбик — это обычное поразрядное вычитание, аналогичное действию над десятичными числами. Если для получения разности не хватает единицы, то она занимается в старшем разряде и превращается в 2, ведь именно столько составляет один разряд двоичного числа⁵.

пример: найти разность чисел: 10101 – 1011

Умножение в двоичной системе счисления

Умножение в двоичной системе счисления требует знания таблицы умножения двоичных чисел.

Таблица 7. Таблица умножения двоичных чисел

Умножая двоичные числа, мы используем таблицу умножения двоичных чисел. Принцип такой же, как и при умножении десятичных чисел. Умножать будем столбиком.

пример: умножить 1001 на 111

Деление в двоичной системе счисления

Деление в двоичной системе – это процесс последовательного вычитания одного числа из другого.

пример: разделить 101101 на 101

Рассмотрев все математические действия в двоичной системе счисления можно выделить преимущества и недостатки этой системы.

Преимущества:

— простота математических действий;

— возможность производить автоматическую обработку информации, использу

Двоичный преобразователь в десятичный

Из Двоичный Десятичный Шестнадцатеричный

Чтобы Двоичный Десятичный Шестнадцатеричный

Шаги десятичного расчета

Преобразователь десятичной системы в двоичную ►

Как преобразовать двоичное в десятичное

Для двоичного числа с n цифрами:

d _n-1 … d ₃ d ₂ d ₁ d ₀

Десятичное число равно сумме двоичных цифр (d _n ), умноженной на их степень двойки (2 ⁿ ):

в десятичной системе = d ₀ × 2 ⁰ + d ₁ × 2 ¹ + d ₂ × 2 ² +…

Пример

Найдите десятичное значение 111001 ₂ :

111001 ₂ = 1⋅2 ⁵ + 1⋅2 ⁴ + 1⋅2 ³ + 0⋅2 ² + 0⋅2 ¹ + 1⋅2 ⁰ = 57 ₁₀

Таблица преобразования двоичного числа в десятичное

См. Также

| Двоичный переводчик

Введите двоичные числа с любым префиксом / постфиксом / разделителем и нажмите кнопку Преобразовать
(E.г: 01000101 01111000 01100001 01101101 01110000 01101100 01100101):

folder_open Открыть файл folder_open Открыть двоичный файл поиск

Вставьте двоичные числа или перетащите файл:

Кодировка символов (необязательно) ASCIIUnicodeASCII / UTF-8UTF-16UTF-16 little endianUTF-16 big endian Windows-1252Big5 (китайский) CP866 (русский) EUC-JP (японский) EUC-KR (корейский) GB 18030 (китайский) GB 2312 (китайский) ISO-2022- CN (китайский) ISO-2022-JP (японский) ISO-8859-1 (Latin1 / Западноевропейский) ISO-8859-2 (Latin2 / Восточноевропейский) ISO-8859-3 (Latin3 / Южноевропейский) ISO-8859-4 (Latin4 / Северо-Европейский) ISO-8859-5 (Латинский / Кириллица) ISO-8859-6 (Латинский / Арабский) ISO-8859-7 (Латинский / Греческий) ISO-8859-8 (Латинский / Иврит) ISO-8859- 8-I (Latin / Hebrew) ISO-8859-10 (Latin6 / Nordic) ISO-8859-13 (Latin7 / Baltic Rim) ISO-8859-14 (Latin8 / Celtic) ISO-8859-15 (Latin9 / Western European) ISO-8859-16 (Latin10 / Юго-Восточная Европа) KOI8-R (русский) KOI8-U (украинский) Macintosh (x-mac-roman) Mac OS Кириллица (x-mac-кириллица) Shift JIS (японский) Windows- 874 (тайский) Windows-1250 (восточноевропейский) Windows-1251 (кириллица) Windows-1252 (западноевропейский) Windows-1253 (греческий) Windows-1254 (турецкий) Windows-1255 (иврит) Windows-1256 (арабский) Windows- 1257 (Балтийский) Windows-1258 (Вьетнамский) X-User- Определен

autorenew Конвертировать очистить Сброс swap_vert Своп

content_copy Копировать save_alt Сохранить

Конвертер текста в двоичный ►

ASCII использует фиксированный 1 байт для каждого символа.

UTF-8 использует переменное количество байтов для каждого символа. Для этого требуется разделитель между каждым двоичным числом.

Как преобразовать двоичный файл в текст

Преобразовать двоичный код ASCII в текст:

1. Получить двоичный байт
2. Преобразовать двоичный байт в десятичный
3. Получить символ кода ASCII из таблицы ASCII
4. Перейти к следующему байту

Пример

Преобразовать двоичный код ASCII «01010000 01101100 01100001 01101110 01110100 00100000 01110100 01110010 01100101 01100101 01110011» в текст:

Решение:

Используйте таблицу ASCII для получения символа из кода ASCII.

01010000 ₂ = 2 ⁶ +2 ⁴ = 64 + 16 = 80 => «P»

01101100 ₂ = 2 ⁶ +2 ⁵ +2 ³ +2 ² = 64 + 32 + 8 + 4 = 108 => «l»

01100001 ₂ = 2 ⁶ +2 ⁵ +2 ⁰ = 64 + 32 + 1 = 97 => «а»

⁝

Для всех двоичных байтов вы должны получить текст:

«Сажать деревья»

Как преобразовать двоичный формат в текст?

1. Получить двоичный байт-код
2. Преобразовать двоичный байт в десятичный
3. Получить символ десятичного кода ASCII из таблицы ASCII

Двоичное число — Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

Двоичная система счисления — это способ записывать числа, используя только две цифры: 0 и 1.Они используются в компьютерах как серия переключателей «выключено» и «включено». В двоичном формате значение разряда каждой цифры вдвое больше, чем у следующей цифры справа (поскольку каждая цифра содержит два значения). В десятичной системе, которую обычно используют люди, каждая цифра содержит десять значений, а разрядное значение увеличивается в десять раз (единицы, десятки, сотни и т. Д.). В любом случае разряд самой правой цифры равен 1.

Пример: 10110011

• Значение последней единицы (крайняя правая позиция) равно 1.
• Разрядная 1 перед ней равна 2.
• Разрядный знак 0 перед ним равен 4.
• Разрядный знак 0 перед ним равен 8.
• Разрядная цифра перед ним равна 16.
• Разрядная цифра перед ним равна 32.
• Разрядный знак 0 перед ним равен 64.
• Разрядное значение 1 перед этим равно 128.

Если сложить вместе все разрядные значения с 1, получится 1 + 2 + 16 + 32 + 128 = 179.Для удобства двоичные цифры (для краткости биты) обычно группируются в две группы по 4 бита. Это 8 бит, или байт, и записывается в шестнадцатеричной системе счисления. Это будет показано как 1011 0011 = B3.

Арифметика — это способ сложения двух или более двоичных чисел. В двоичной арифметике есть четыре правила. Они есть:

0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (2)
1 + 1 + 1 = 11 (3)

Это потому, что в двоичном формате всего две цифры; 0 и 1.Из-за этого числа два и три нужно представлять как-то иначе. Вот как рассчитывается двоичное значение для трех:

Это показывает, что двоичное значение будет 11 .

Binary — это система счисления, которая представляет собой последовательность единиц и нулей, означающих (для компьютеров) включение и выключение.Это основание 2, а наша система счисления (десятичная) — 10, где используются 10 цифр, а не 2.

В 1817 году Джон Лесли (шотландский математик) предположил, что первобытные общества, возможно, развили счет с помощью предметов (например, гальки), прежде чем у них были даже слова, чтобы описать общее количество задействованных объектов. Следующим шагом в эволюции подсчета было бы открытие того, что эту груду объектов можно сократить до двух стопок равных размеров (оставив либо 0 объектов, либо только остаток от 1).Затем этот остаток (нечетное = 1 или четное = 0) будет записан, и одна из стопок будет удалена, в то время как вторая стопка будет затем разделена на две дополнительные стопки. Если вы запишите остаток, оставшийся после того, как исходная стопка была разделена на две части, и продолжите повторять этот процесс; разделив одну из оставшихся стопок пополам, а затем удалив одну из этих стопок и продолжив разделение оставшейся стопки на две стопки, вы в конечном итоге останетесь только с 2 или 3 объектами. Если вы запишете оставшийся остаток (нечетное = 1 или четное = 0) в конце каждого сокращения, у вас в конечном итоге останется итоговая запись из 1 и 0, которая будет двоичным представлением вашей исходной кучи объектов.Поэтому вместо того, чтобы представлять исходную кучу объектов повторяющимся числом, метками или маркерами (которые для больших чисел могут быть довольно длинными), вы уменьшили кучу объектов до более компактного двоичного числа. Если вам нужно восстановить исходное количество объектов из этого суммированного двоичного числа, это достаточно просто сделать; просто начав с первой метки подсчета, а затем удвоив ее и добавив единицу, если следующее двоичное число содержит 1, и затем продолжая процесс до тех пор, пока не будет достигнут конец двоичного числа.