Разное

1 в двоичной системе: Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайн

Содержание

Двоичный калькулятор онлайн

Если вам необходимо произвести математические операции над двоичными числами воспользуйтесь нашим двоичным онлайн калькулятором:

Просто введите целые двоичные числа, выберите операцию и получите результат.

Данный калькулятор может производить следующие действия над двоичными числами:

  • сложение +
  • вычитание
  • умножение ×
  • деление ÷
  • логическое И (AND)
  • логическое ИЛИ (OR)
  • исключающее ИЛИ (XOR)

Сложение двоичных чисел

Сложение двух двоичных чисел производится столбиком поразрядно. Начиная с младшего разряда (справа на лево), как и при сложении столбиком десятичных чисел. Но так как цифр всего две (0 и 1), их сложение происходит по следующим правилам:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Пример

Для примера сложим 1011 и 101:

+ 1 0 1 1
1
0 1
1 0 0 0 0

10112 + 1012 = 100002

(1110 + 510 = 1610)

Вычитание двоичных чисел

Вычитание двоичных чисел производится аналогично сложению – столбиком, но по следующим правилам:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

10 – 1 = 1

Пример

Для примера вычтем из числа 1011 число 101:

10112 − 1012 = 1102

(1110 − 510 = 610)

Умножение двоичных чисел

Умножение двоичных чисел производится в столбик аналогично умножению в десятичной системе, но по следующим правилам:

0 × 0 = 0

0 × 1 = 0

1 × 0 = 0

1 × 1 = 1

Пример

Для примера перемножим числа 1011 и 101:

× 1 0 1 1
1 0 1
+ 1 0 1 1
0 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1 1 1

10112 × 1012 = 1101112

(1110 × 510 = 5510)

Деление двоичных чисел

Внешне деление двоичных чисел похоже на деление десятичных чисел, но тут есть свои нюансы: такое деление производится вычитанием делителя со сдвигом вправо, если остаток больше нуля. Чтобы понять этот процесс рассмотрим пример:

Пример

Для примера разделим число 11110 на 110:

111102 ÷ 1102 = 1012

(3010 ÷ 610 = 510)

См. также

Двоичная система счисления

Однажды в Риме

Древних римлян часто поминают дурным словом за их громоздкую систему записи чисел. Люди не любят римские числа, так как они обременяют вычисления. Никто не обрадуется перспективе перемножать XLVII и DCDXXIV. А вот задача умножить 47 на 924 не выглядит настолько угрожающей (хотя большинство из нас все равно побежит за калькулятором). Впрочем, прежде чем сбрасывать римские числа со счетов как причудливый анахронизм, нам необходимо признать, что их основополагающий принцип – буквы вместо цифр – используется до сих пор. Этот ключевой аспект римских чисел обрел новое воплощение. Что легче прочесть?

 

• Реновация школ в нашем округе обойдется в 23000000 долларов

• Реновация школ в нашем округе обойдется в 23 млн долларов
 

Разумеется, я не стал разделять разряды в первом случае, чтобы число было сложнее прочесть (и я попал в точку, не правда ли?). Но, даже если проставить пробелы, фраза «Пентагон требует дополнительные 19 000 000 000 долларов» сложнее для восприятия, чем «Пентагон требует дополнительные 19 млрд долларов». Иногда удобнее использовать слова вместо чисел.
 

Мнимое преимущество позиционной системы счисления (

это такая система счисления, в которой значение каждого символа в записи числа зависит от его позиции/разряда) – это то, что в ней проще производить вычисления. Но давайте задумаемся о том, сколько сил уходит на перемножение двух чисел. Во-первых, нам необходимо запоминать дополнительные математические данные. К тому же мы обязаны помнить таблицу умножения. Во-вторых, мы проделываем многоуровневую процедуру: сортируем числа по разрядам, умножаем по соответствующему правилу, получаем промежуточные данные, складываем.

Да, десятичные числа легче перемножать, чем их римские аналоги, однако это по-прежнему утомительно. Возникает вопрос, есть ли способ записывать числа, который бы облегчал вычисления. Мы выяснили, что да, есть, но для этого придется пожертвовать наглядностью.
 

Единичная система счисления

Простейший способ записи чисел – единичная система счисления: мы просто записываем столько же символов (будем использовать цифру 1), сколько единиц в интересующем нас числе. Например, число 3 окажется трехзначным: 111. Сложение и умножение становятся исключительно простыми. Чтобы сложить 3 и 5, мы просто запишем два числа, 111 и 11111, друг за другом (без пробела) – и вот он, ответ: 11111111. Умножать тоже просто. Мы запишем одно число вертикально, а другое горизонтально и получим следующую таблицу:


Затем мы заполним таблицу, поставив единичку в каждом столбце и в каждой колонке:


Наконец, мы выпишем все единички в ряд и получим ответ: 111111111111111. Складывать и перемножать числа в единичной системе счисления существенно проще, чем десятичные или римские числа. Разумеется, такая простота вычислений дается ценой титанических затрат внимания и времени. Никому не захочется прибегать к этому методу, чтобы перемножить 47 и 924.

Компромисс


Числа, записанные в двоичной системе счисления (система счисления с основанием 2), не так привычны нам, как десятичные или римские, но с ними проще делать вычисления. Вот почему в компьютерах используется именно двоичная система. Чтобы разобраться, как она устроена, нам нужно припомнить особенности десятичной системы.

Для записи чисел в десятичной системе счисления используют десять символов, располагаемых в разных комбинациях в ряд по горизонтали. Значение символа зависит от его места в ряду. 29 и 92 означают разные числа, потому что 2 и 9 занимают разные позиции. 29 означает «два десятка и девять единиц». 5804 означает «пять тысяч, восемь сотен, ни одного десятка и четыре единицы». Позиция цифры в десятичном числе означает, на какую степень десяти мы ее умножаем. Напомним, что показатель степени означает, сколько раз мы перемножаем основание: например, 10³ = 10 × 10 × 10. Естественно, 101 = 10. По договоренности, 100 = 1. Это логично, так как каждая следующая степень десяти в десять раз больше предыдущей. Разряды растут справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч и т. д. Иными словами, запись 5804 означает:

 

5 × 10³ + 8 × 10² + 0 × 101 + 4 × 100
 

Чем больше символов в десятичном числе, тем труднее его прочесть. Обычно каждый четвертый разряд отделяют пробелом или запятой. В англоязычных странах в качестве разделителя разрядов используется запятая, в России – неразрывный пробел, который ставится только в числах с пятью и более разрядами. Двоичная система устроена схожим образом, просто позиция в записи означает, на какую степень двух (а не десяти) мы должны умножить эту конкретную цифру. В двоичной системе счисления используются всего два символа: 0 и 1. Разряды здесь тоже растут справа налево, обозначая количество единиц, двоек, четверок, восьмерок и т. д. Например, в двоичной записи 10110 означает:

1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 21 + 0 × 20 = 16 + 4 + 2 = 22
 

Проверьте, насколько вы ориентируетесь в новой теме: чему равно число 42 в двоичной системе и чему равно число 110112 в десятичной? (чтобы отличить запись в двоичной системе от записи в десятичной, мы будем ставить нижний индекс: 11012 или 110110).

Двоичные числа труднее для чтения, чем десятичные. Двоичная запись 1011001 кажется менее привычной, чем десятичная запись того же числа: 89. Преимущество двоичных чисел в том, что их использование облегчает вычисления. Вместо огромного количества математических данных нам необходимы всего две таблицы:

 


 

Заметьте, что в таблице умножения 10 означает число два. Сложение двоичных чисел устроено так же, как в десятичной системе. Например, нам нужно найти сумму 101002 и 11102. Расположим эти числа друг над другом:

 

 

Дальше нужно двигаться справа налево, складывая цифры в каждом столбце и при необходимости перемещая единицу на столбец влево. В нашем случае мы сложим два нуля и получим ноль:


Дальше идет столбец двоек. Мы складываем 1 и 0 (переносить ничего не требуется):


Дальше – столбец четверок. Мы складываем 1 и 1, получаем 10, пишем 0, держим 1 в уме и переносим на столбец влево:


Следующий столбец – восьмерки. Складываем 1 и 0 и 1, получаем 10, пишем 0 и держим 1 в уме:

Заканчиваем на столбце, означающем, сколько раз в числе встречается 16. Сложение дает 10, мы пишем 0 в текущем столбце и 1 в столбце с разрядом 32:


Мы обнаружили, что 10100 + 1110 = 100010.
 

Переведем это на язык десятичных чисел:
 

101002 = 20, 11102 = 14, 1000102 = 34.
 

Разумеется, 20 + 14 = 34.
 

Умножение в двоичной системе проще, чем в десятичной. Достаточно усвоить два принципа: сложение двоичных чисел (мы в нем только что разобрались) и умножение на степени двойки.

Умножение числа на 10 в десятичной системе не представляет сложности: мы просто добавляем цифру 0 справа: 23 × 10 = 230. Точно так же выглядит умножение на 2 в двоичной системе: 1101 × 10 = 11010. В случае десятичных чисел это очевидно, в случае двоичных 1101 означает:

1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1.
 

Умножение на 2:
 

1 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1
 

Лишний ноль на конце дает 11010.
 

Умножение на 4, 8 и другие степени двойки тоже просто: например, умножение на 810 (10002) равнозначно приращению трех нулей с правой стороны числа. Итак, умножение превращается в игру «перемести-и-добавь-цифры». Проиллюстрируем это на примере умножения 11010 на 1011. Для начала запишем второе число так:


1011 = 1000 + 10 + 1.

Умножение на 11010 можно представить так:
 

11010 × 1011 = 11010 × (1000 + 10 + 1) = 11010 × 1000 + 11010 × 10 + 11010 × 1 = 11010000 + 110100 + 11010.
 

Удобнее умножать в столбик:


А вот и ответ:


Давайте переведем числа в десятичные, чтобы удостовериться, что все правильно:
 

110102 = 16 + 8 + 2 = 26;

10112 = 8 + 2 + 1 = 11;

1000111102 = 256 + 16 + 8 + 4 + 2 = 286.
 

Мы не ошиблись: 26 × 11 = 286.


В десятичной системе мы можем записывать не только целые числа. Если поставить в конце запятую, мы получим новые места для цифр: по мере движения вправо степени десяти будут все меньше. Например, 34,27 – это компактный способ записи такого выражения:

Двоичная система тоже позволяет записывать дробные значения. Каждую следующую цифру после запятой (в случае с двоичной системой неправильно говорить «десятичная запятая», лучше называть ее двоичной запятой, или запятой в позиционном представлении числа) мы умножаем на предыдущую степень двойки. Например, 101,0112 означает:


Непривычный способ записать одну вторую: 0,12! Есть и другие системы счисления, помимо десятичной, единичной и двоичной. Программисты нередко пользуются шестнадцатеричной системой счисления. В десятичной системе 10 цифр (от 0 до 9), в шестнадцатеричной нам нужно 16 разных символов, поэтому числа от 10 до 15 обозначают с помощью букв от A до F. В третичной системе мы пользуемся цифрами 0, 1 и 2, здесь все строится на степенях тройки. Скажем, 11023 означает:

 

1 × 27 + 1 × 9 + 0 × 3 + 2 × 1 = 38
 

В дробях первая позиция справа от запятой означает умножение на одну третью, вторая позиция – на одну девятую и т. д.:

 


Ответ на задачу 

Если представить 42 в виде суммы степеней двойки, мы увидим, что это 1010102. А число 110112 можно представить как 16 + 8 + 2 + 1 = 27.

Двоичное число • ru.knowledgr.com

В математике и цифровой электронике, двоичное число - число, выраженное в системе двоичной цифры, или базируйте 2 системы цифры, которые представляют числовые значения, используя два различных символа: как правило, 0 (ноль) и 1 (один). Двоичная система счисления - позиционное примечание с корнем 2. Из-за ее прямого внедрения в цифровой электронной схеме, используя логические ворота, двоичная система счисления используется внутренне почти всеми современными компьютерами и компьютерными устройствами. Каждая цифра упоминается как немного.

История

Современная система двоичного числа была обнаружена Готтфридом Лейбницем в 1679 и появляется в его статье Explication de l'Arithmétique Binaire. Полное название переведено на английский язык как «Объяснение Двоичной арифметики», которая использует только знаки 1 и 0 с некоторыми замечаниями по ее полноценности, и по свету это бросает на древние китайские фигуры Фу Си. (1703). Система Лейбница использует 0 и 1, как современная система двоичной цифры. Как Sinophile, Лейбниц знал о Yijing (или Ай-Чинг) и отметил с восхищением, как его hexagrams соответствуют двоичным числам от 0 до 111111 и пришли к заключению, что это отображение было доказательствами основных китайских выполнений в виде философской математики, которой он восхитился.

Лейбниц был сначала представлен мне Чинг через его контакт с французским Иезуитом Джоакимом Буветом, который посетил Китай в 1685 как миссионер. Лейбниц видел меня Чинг hexagrams как подтверждение универсальности его собственных религиозных верований как христианин. Двоичные цифры были главными в богословии Лейбница. Он полагал, что двоичные числа были символическими относительно христианской идеи creatio исключая nihilo или созданием ни из чего.

Двоичные системы счисления, предшествующие Лейбницу также, существовали в древнем мире. Вышеупомянутое я Чинг, что Лейбниц столкнулся с датами с 9-го века до н.э в Китае. Двоичная система счисления меня Чинг, текст для предсказания, основана на дуальности иня и яна. Лейбниц интерпретировал hexagrams как доказательства двойного исчисления. Он сказал, что «эта арифметика 0 и 1, как находят, содержит тайну линий древнего Короля и философа по имени Фукси, который, как полагают, жил больше чем 4 000 лет назад, и кого китайское отношение как основатель их империи и их наук». Текст содержит ряд восьми trigrams (Bagua) и ряда 64 hexagrams («шестьдесят четыре» gua), аналогичный трехбитным и шестибитным двоичным цифрам, использовались, по крайней мере, уже в династии Чжоу древнего Китая. Пример системы двоичной цифры Лейбница следующие:

: 0 0 0 1 численное значение 2

: 0 0 1 0 численных значений 2

: 0 1 0 0 численных значений 2

: 1 0 0 0 численных значений 2

До 1450 жители острова Мангарева во Французской Полинезии использовали гибридную двойную десятичную систему счисления. Барабаны разреза с двойными тонами используются, чтобы закодировать сообщения через Африку и Азию. Индийский ученый Пингала (вокруг 5-го – 2-е века до н.э) развил двоичную систему счисления для описания просодии. Он использовал двоичные числа в форме коротких и длинных слогов (последний, равный в длине к двум коротким слогам), делая его подобным Азбуке Морзе. Индуистский классик Пингалы назвал, Chandaḥśāstra (8.23) описывает формирование матрицы, чтобы дать уникальную стоимость каждому метру. Двойные представления в системе Пингалы увеличиваются вправо, и не налево как в двоичных числах современного, Западного позиционного примечания.

В 11-м веке ученый и философ Шао Ён развили метод для подготовки hexagrams, который переписывается, хотя неумышленно, к последовательности от 0 до 63, столь же представленный в наборе из двух предметов, с инем как 0, ян как 1 и наименее значительный бит на вершине. Заказ - также лексикографический порядок на sextuples элементов, выбранных из набора с двумя элементами.

Подобные наборы двойных комбинаций также использовались в традиционных африканских системах предсказания, таких как Ifá, а также в средневековом Западном geomancy. Двоичная система счисления, используемая в geomancy, долго широко применялась в Африке района Сахары.

В 1605 Фрэнсис Бэкон обсудил систему, посредством чего буквы алфавита могли быть уменьшены до последовательностей двоичных цифр, которые могли тогда быть закодированы как едва видимые изменения в шрифте в любом случайном тексте. Значительно для общей теории двойного кодирования, он добавил, что этот метод мог использоваться с любыми объектами вообще: «если те объекты быть способным к двойному различию только; как Колоколами, Трубами, Огнями и Факелами, согласно сообщению о Мушкетах и любым инструментам подобной природы». (См. шифр Бэкона.)

В 1854 британский математик Джордж Буль опубликовал знаменательную работу, детализирующую алгебраическую систему логики, которая станет известной как Булева алгебра. Его логическое исчисление должно было стать способствующим дизайну цифровой электронной схемы.

В 1937 Клод Шеннон произвел свою магистерскую диссертацию в MIT, который осуществил Булеву алгебру и двоичную арифметику, используя электронные реле и выключатели впервые в истории. Названный Символический Анализ Реле и Переключающих схем, тезис Шеннона по существу основал практическое цифровое проектирование схем.

В ноябре 1937 Джордж Штибиц, затем работающий в Bell Labs, закончил основанный на реле компьютер, который он назвал «Моделью K» (для «Кухни», где он собрал его), который вычислил сложение в двоичной системе использования. Bell Labs таким образом разрешила полную программу исследования в конце 1938 со Штибицем у руля. Их Компьютер Комплексного числа, законченный 8 января 1940, смог вычислить комплексные числа. В демонстрации к американской Математической Общественной конференции в Дартмутском колледже 11 сентября 1940, Штибиц смог послать Калькулятору Комплексного числа отдаленные команды по телефонным линиям телетайпом. Это был первый компьютер, когда-либо используемый удаленно по телефонной линии. Некоторыми участниками конференции, которые засвидетельствовали демонстрацию, был Джон фон Нейман, Джон Мочли и Норберт Винер, который написал об этом в его мемуарах.

Представление

Любое число может быть представлено любой последовательностью битов (двоичные цифры), которые в свою очередь могут быть представлены любым механизмом, способным к тому, чтобы быть в двух взаимоисключающих государствах. Любой из следующих рядов символов может интерпретироваться как двойное числовое значение 667:

Числовое значение, представленное в каждом случае, зависит от стоимости, назначенной на каждый символ. В компьютере числовые значения могут быть представлены двумя различными напряжениями; на магнитном диске могут использоваться магнитные полярности. «Положительное», «да», или «на» государстве не обязательно эквивалентны численному значению одного; это зависит от архитектуры в использовании.

В соответствии с обычным представлением цифр, используя арабские цифры, двоичные числа обычно пишутся, используя символы 0 и 1. Когда написано, двоичные цифры часто подподготовлены, предварительно фиксированы или suffixed, чтобы указать на их основу или корень. Следующие примечания эквивалентны:

:100101 набор из двух предметов (явное заявление формата)

:100101b (суффикс, указывающий на двоичный формат)

:100101B (суффикс, указывающий на двоичный формат)

:bin 100101 (префикс, указывающий на двоичный формат)

:100101 (указание приписки базируют 2 (двойных) примечания)

,

: %100101 (префикс, указывающий на двоичный формат)

:0b100101 (префикс, указывающий на двоичный формат, распространенный в языках программирования)

:6b100101 (число указания префикса битов в двоичном формате, распространенном в языках программирования)

Когда говорится, двоичные цифры - обычно читаемая цифра цифрой, чтобы отличить их от десятичных цифр. Например, двоичная цифра 100 объявлена одним нулевым нолем, а не сто, чтобы сделать его двойной характер явным, и в целях правильности. Так как двоичная цифра 100 представляет стоимость четыре, это было бы запутывающим, чтобы именовать цифру как сто (слово, которое представляет абсолютно различную стоимость или сумму). Альтернативно, двоичная цифра 100 может читаться вслух как «четыре» (правильное значение), но это не делает его двойной характер явным.

Подсчет в наборе из двух предметов

Подсчет в наборе из двух предметов подобен подсчету в любой другой системе числа. Начало с единственной цифры, подсчет доходов через каждый символ, в увеличивающемся заказе. Прежде, чем исследовать двойной подсчет, полезно кратко обсудить более знакомую десятичную систему подсчета как систему взглядов.

Десятичный подсчет

Десятичный подсчет использует эти десять символов 0 до 9. Подсчет начинается с возрастающей замены наименее значительной цифры (самая правая цифра), который часто называют первой цифрой. Когда доступные символы для этого положения исчерпаны, наименее значительная цифра перезагружена к 0, и следующая цифра более высокого значения (одно положение налево) увеличена (переполняются), и возрастающая замена резюме цифры младшего разряда. Этот метод сброса и переполнения повторен для каждой цифры значения. Подсчет прогресса следующим образом:

:000, 001, 002... 007, 008, 009, (самая правая цифра перезагружена к нолю, и цифра с ее левой стороны от него увеличена)

,

:010, 011, 012...

:...

:090, 091, 092... 097, 098, 099, (самые правые две цифры перезагружены к нолям, и следующая цифра увеличена)

,

:100, 101, 102...

Двойной подсчет

Двойной подсчет выполняет ту же самую процедуру, за исключением того, что только эти два символа 0 и 1 доступны. Таким образом, после того, как цифра достигает 1 в наборе из двух предметов, приращение перезагружает его к 0, но также и вызывает приращение следующей цифры налево:

:0000,

:0001, (самые правые запуски цифры и следующая цифра увеличен)

,

:0010, 0011, (самые правые два начала цифр и следующая цифра увеличены)

,

:0100, 0101, 0110, 0111, (самые правые три начала цифр и следующая цифра увеличены)

,

:1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111...

В двоичной системе счисления каждая цифра представляет увеличивающуюся власть 2, с самой правой цифрой, представляющей 2, следующее представление 2, тогда 2, и так далее. Эквивалентное десятичное представление двоичного числа - сумма полномочий 2, который представляет каждая цифра. Например, двоичное число 100101 преобразовано в десятичную форму следующим образом:

:100101 = [(1) × 2] + [(0) × 2] + [(0) × 2] + [(1) × 2] + [(0) × 2] + [(1) × 2]

:100101 = [1 × 32] + [0 × 16] + [0 × 8] + [1 × 4] + [0 × 2] + [1 × 1]

:100101 = 37

Части

Части в наборе из двух предметов только заканчиваются, если знаменатель имеет 2 как единственный главный фактор. В результате у 1/10 нет конечного двойного представления, и это заставляет 10 × 0.1 не быть точно равными 1 в арифметике с плавающей запятой. Как пример, чтобы интерпретировать двойное выражение для 1/3 =.010101..., это означает: 1/3 = 0 × 2 + 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2 +... = 0.3125 +... Точная стоимость не может быть найдена с суммой конечного числа обратных полномочий два, ноли и в двойном представлении замены 1/3 навсегда.

Двоичная арифметика

Арифметика в наборе из двух предметов во многом как арифметика в других системах цифры. Дополнение, вычитание, умножение и разделение могут быть выполнены на двоичных цифрах.

Дополнение

Самая простая арифметическая операция в наборе из двух предметов - дополнение. Добавление двух двоичных чисел единственной цифры относительно просто, используя форму переноса:

:0 + 0 → 0

:0 + 1 → 1

:1 + 0 → 1

:1 + 1 → 0, несите 1 (так как 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2))

Добавляя два «1» цифры производят цифру «0», в то время как 1 должен будет быть добавлен к следующей колонке. Это подобно тому, что происходит в десятичном числе, когда определенные числа единственной цифры добавлены вместе; если результат равняется или превышает ценность корня (10), цифра налево увеличена:

:5 + 5 → 0, несите 1 (так как 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10))

:7 + 9 → 6, несите 1 (так как 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10))

Это известно как перенос. Когда результат дополнения превышает ценность цифры, процедура должна «нести» избыточную сумму, разделенную на корень (то есть, 10/10) налево, добавляя его к следующим данным позиционирования. Это правильно, так как у следующего положения есть вес, который выше фактором, равным корню. Перенос работает тот же самый путь в наборе из двух предметов:

0 1 1 0 1

+ 1 0 1 1 1

------------

= 1 0 0 1 0 0 = 36

В этом примере две цифры добавляются вместе: 01101 (13) и 10111 (23). Верхний ряд показывает нести используемые биты. Старт в самой правой колонке, 1 + 1 = 10. Этот 1 несут налево, и этот 0 написан у основания самой правой колонки. Вторая колонка от права добавлена: 1 + 0 + 1 = 10 снова; этот 1 несут, и 0 написан в основании. Третья колонка: 1 + 1 + 1 = 11. На сей раз 1 несут, и 1 написан в нижнем ряду. Переход как это дает окончательный ответ 100100 (36 десятичных чисел).

Когда компьютеры должны добавить два числа, правило что:

x xor y = (x + y) модник 2

для любых двух битов x и y допускает очень быстрое вычисление, также.

Долго несите метод

Упрощение для многих проблем сложения в двоичной системе - Длинное, Несут Метод или Метод Brookhouse Сложения в двоичной системе. Этот метод вообще полезен в любом сложении в двоичной системе, где одно из чисел содержит длинный «ряд». Это основано на простой предпосылке что под двоичной системой счисления, когда дали «ряд» цифр, составленных полностью из (где: любая длина целого числа), добавление 1 приведет к номеру 1, сопровождаемому рядом нолей. То понятие следует, логически, так же, как в десятичной системе счисления, где добавление 1 к последовательности 9 с приведет к номеру 1, сопровождаемому рядом 0s:

Двойное десятичное число

1 1 1 1 1 аналогично 9 9 9 9 9

+ 1 + 1

--------------------

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Такие длинные последовательности довольно распространены в двоичной системе счисления. От того находит, что большие двоичные числа могут быть добавлены, используя два простых шага, без чрезмерного несут операции. В следующем примере две цифры добавляются вместе: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 (958) и 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 (691), используя традиционное несут метод слева, и длинные несут метод справа:

Традиционный метод Карри метод Лонга Карри

против

несите 1, пока это не будет одна цифра мимо «последовательности» ниже

1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 вычеркивают «последовательность»,

+ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 0 1 1 0 0 1 и вычеркивают цифру, которая была добавлена к нему

---------------------------------------------

= 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

Верхний ряд показывает нести используемые биты. Вместо стандарта несут от одной колонки до следующего, заказанный самым низким образом «1» с «1» в соответствующей стоимости места ниже его может быть добавлен, и «1» может нестись к одной цифре мимо конца ряда. «Используемые» числа должны быть вычеркнуты, так как они уже добавлены. Другие длинные последовательности могут аналогично быть отменены, используя ту же самую технику. Затем просто добавляйте вместе любые остающиеся цифры обычно. Переход этим способом дает окончательный ответ 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 (1649). В нашем простом примере, используя небольшие числа, традиционные несут метод, требуемый восемь, несут операции, все же длинные несут метод, требуемый только два, представляя существенное сокращение усилия.

Дополнительный стол

Стол сложения в двоичной системе подобен, но не то же самое как таблица истинности логической операции по дизъюнкции. Различие - это, в то время как.

Вычитание

Вычитание работает почти таким же способом:

:0 − 0 → 0

:0 − 1 → 1, одолжите 1

:1 − 0 → 1

:1 − 1  0

Вычитая «1» цифра от «0» цифра производит цифру «1», в то время как 1 должен будет быть вычтен из следующей колонки. Это известно как заимствование. Принцип совпадает с для переноса. Когда результат вычитания - меньше чем 0, наименее возможная ценность цифры, процедура должна «одолжить» дефицит, разделенный на корень (то есть, 10/10) слева, вычтя его из следующих данных позиционирования.

* * * * (играл главную роль, колонки одолжены от)

,

1 1 0 1 1 1 0

− 1 0 1 1 1

---------------

= 1 0 1 0 1 1 1

* (играл главную роль, колонки одолжены от)

,

1 0 1 1 1 1 1

- 1 0 1 0 1 1

---------------

= 1 0 1 0 0

Вычитание положительного числа эквивалентно добавлению отрицательного числа равной абсолютной величины. Компьютеры используют подписанные представления числа, чтобы обращаться с отрицательными числами — обычно дополнительное примечание two. Такие представления избавляют от необходимости отдельное, «вычитают» операцию. Используя дополнительное примечание two вычитание может быть получено в итоге следующей формулой:

− B = + не B + 1

Умножение

Умножение в наборе из двух предметов подобно его десятичному коллеге. Два числа и могут быть умножены на частичные продукты: для каждой цифры в продукт той цифры в вычислен и написан на новой линии, перемещенной влево так, чтобы ее самая правая цифра выстроилась в линию с цифрой в этом, использовался. Сумма всех этих частичных продуктов дает конечный результат.

С тех пор есть только две цифры в наборе из двух предметов, есть только два возможных исхода каждого частичного умножения:

  • Если цифра в 0, частичный продукт - также 0
  • Если цифра в равняется 1, частичный продукт равен

Например, двоичные числа 1011 и 1010 умножены следующим образом:

1 0 1 1

× 1 0 1 0

--------

0 0 0 0 ← Соответствует самому правому 'нолю' в

+ 1 0 1 1 ← Соответствует следующему в

+ 0 0 0 0

+ 1 0 1 1

--------------

= 1 1 0 1 1 1 0

Двоичные числа могут также быть умножены с битами после запятой в двоичном числе:

1 0 1. 1 0 1 (5.625 в десятичном числе)

× 1 1 0. 0 1 (6.25 в десятичном числе)

------------------

1. 0 1 1 0 1 ← Соответствует 'тому' в

+ 0 0. 0 0 0 0 ← Соответствует 'нолю' в

+ 0 0 0. 0 0 0

+ 1 0 1 1. 0 1

+ 1 0 1 1 0. 1

--------------------------

= 1 0 0 0 1 1. 0 0 1 0 1 (35.15625 в десятичном числе)

См. также алгоритм умножения Бута.

Таблица умножения

Стол умножения в двоичной системе совпадает с таблицей истинности логической операции по соединению.

Подразделение

:

Двоичное деление снова подобно своему десятичному коллеге:

Здесь, делитель равняется 101 или 5 десятичным числам, в то время как дивиденд 11011, или 27 десятичных чисел. Процедура совпадает с процедурой десятичного длинного подразделения; здесь, делитель 101 входит в первые три цифры 110 из дивиденда одно время, таким образом, «1» написан на главной линии. Этот результат умножен на делитель и вычтен из первых трех цифр дивиденда; следующая цифра («1») включена, чтобы получить новую последовательность с тремя цифрами:

1

___________

1 0 1) 1 1 0 1 1

− 1 0 1

----

0 1 1

Процедура тогда повторена с новой последовательностью, продолжившись, пока цифры в дивиденде не были исчерпаны:

1 0 1

___________

1 0 1) 1 1 0 1 1

− 1 0 1

----

0 1 1

− 0 0 0

----

1 1 1

− 1 0 1

----

1 0

Таким образом фактор 11 011 разделенных 101 равняется 101, как показано на главной линии, в то время как остаток, показанный на итоге, равняется 10. В десятичном числе 27 разделенных 5 равняются 5 с остатком от 2.

Квадратный корень

Процесс взятия двойной цифры квадратного корня цифрой совпадает с для десятичного квадратного корня и объяснен здесь. Пример:

1 0 0 1

--------

√ 1 010 001

1

--------

101 01

0

-------

1001 100

0

-------

10001 10 001

10 001

------

0

Битовые операции

Хотя не непосредственно связанный с числовой интерпретацией двойных символов, последовательностями битов можно управлять, используя Булевых логических операторов. Когда рядом двойных символов управляют таким образом, это называют битовой операцией; логические операторы И, ИЛИ, и XOR могут быть выполнены на соответствующих битах в двух двоичных цифрах, обеспеченных, как введено. Логическое НЕ операция может быть выполнено на отдельных битах в единственной двоичной цифре, обеспеченной, как введено. Иногда, такие операции могут использоваться в качестве арифметических коротких путей и могут обладать другими вычислительными преимуществами также. Например, арифметическое изменение, оставленное двоичного числа, является эквивалентом умножения (положительный, составной) власть 2.

Преобразование в и от других систем цифры

Десятичное число

Чтобы преобразовать из основы 10 цифр целого числа к ее основе 2 (двойных) эквивалента, число разделено на два, и остаток - наименьшее количество - значительный бит. (Целое число) результат снова разделен на два, его остаток - следующий наименее значительный бит. Этот процесс повторения до фактора становится нолем.

Преобразование от основы 2, чтобы базировать 10 доходов, применяя предыдущий алгоритм, если можно так выразиться, наоборот. Части двоичного числа используются один за другим, начинающийся с самого значительного (крайнего левого) бита. Начиная со стоимости 0, неоднократно удвойте предшествующую стоимость и добавьте следующий бит, чтобы произвести следующую стоимость. Это может быть организовано в многостолбцовом столе. Например, преобразовать 10010101101 в десятичное число:

:

Результат - 1197. Обратите внимание на то, что первая Предшествующая Ценность 0 является просто начальным десятичным значением. Этот метод - применение схемы Хорнера.

Фракционные части числа преобразованы с подобными методами. Они снова основаны на эквивалентности перемены с удвоением или сокращением вдвое.

Во фракционном двоичном числе такой как 0,11010110101, первая цифра, второе, и т.д. Таким образом, если есть 1 во-первых после десятичного числа, то число, по крайней мере, и наоборот. Дважды то число - по крайней мере 1. Это предлагает алгоритм: Неоднократно удваивайте число, которое будет преобразовано, отчет, если результат - по крайней мере 1, и затем выбрасывает часть целого числа.

Например, в наборе из двух предметов:

:

Таким образом повторяющаяся десятичная дробь 0.6-2) & = & 1100010101 \\

x& = & 1100010101/111110 \\

x& = & (789/62) _ {10 }\

\end {выравнивают }\

Другой способ преобразовать от набора из двух предметов до десятичного числа, часто более быстрого для человека, знакомого с шестнадцатеричным, состоит в том, чтобы сделать так косвенно — сначала преобразовывающий (в наборе из двух предметов) в (в шестнадцатеричном) и затем преобразовывающий (в шестнадцатеричном) в (в десятичном числе).

Для очень больших количеств эти простые методы неэффективны, потому что они выполняют большое количество умножения или подразделений, где один операнд очень большой. Простой алгоритм делить-и-побеждать более эффективный асимптотически: учитывая двоичное число, это разделено на 10, где k выбран так, чтобы фактор примерно равнялся остатку; тогда каждая из этих частей преобразована в десятичное число, и эти два связаны. Учитывая десятичное число, это может быть разделено на две части приблизительно того же самого размера, каждая из которых преобразована в набор из двух предметов, после чего первая переделанная часть умножена на 10 и добавлена к второй переделанной части, где k - число десятичных цифр во втором, наименьшем количестве - значительная часть перед преобразованием.

Шестнадцатеричный

Набор из двух предметов может быть преобразован в и от шестнадцатеричного несколько более легко. Это вызвано тем, что корень шестнадцатеричной системы (16) является властью корня двоичной системы счисления (2). Более определенно, 16 = 2, таким образом, требуется четыре цифры набора из двух предметов, чтобы представлять одну цифру шестнадцатеричных, как показано в столе вправо.

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в его двоичный эквивалент, просто замените соответствующими двоичными цифрами:

:3A = 0011 1 010

:E7 = 1110 0111

Чтобы преобразовать двоичное число в его шестнадцатеричный эквивалент, разделите его на группы четырех битов. Если число битов не кратное число четыре, просто вставьте дополнительные 0 битов слева (названный дополнением). Например:

:1010010 = 0101 0010 сгруппированных с дополнением = 52

:11011101 = 1101 1101 сгруппировался = DD

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в его десятичный эквивалент, умножьте десятичный эквивалент каждой шестнадцатеричной цифры соответствующей властью 16 и добавьте получающиеся ценности:

:C0E7 = (12 × 16) + (0 × 16) + (14 × 16) + (7 × 16) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 × 1) = 49 383

Октальный

Набор из двух предметов также легко преобразован в октальную систему цифры, начиная с октального использования корень 8, который является властью два (а именно, 2, таким образом, требуется точно три двоичных цифры, чтобы представлять октальную цифру). Корреспонденция между октальными и двоичными цифрами совпадает с для первых восьми цифр шестнадцатеричных в столе выше. Двойные 000 эквивалентны октальной цифре 0, двойные 111 эквивалентно октальным 7, и т.д.

:

Преобразование от октального до двойных доходов тем же самым способом, как это делает для шестнадцатеричного:

:65 = 110 101

:17 = 001 111

И от набора из двух предметов до октального:

:101100 = 101 100 сгруппированный = 54

:10011 = 010 011 сгруппированных с дополнением = 23

И от октального до десятичного числа:

:65 = (6 × 8) + (5 × 8) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53

:127 = (1 × 8) + (2 × 8) + (7 × 8) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87

Представление действительных чисел

Нецелые числа могут быть представлены при помощи отрицательных полномочий, которые выделены от других цифр посредством десятичной запятой (названный десятичной запятой в десятичной системе счисления). Например, двоичное число 11.01 таким образом средства:

:

Для в общей сложности 3,25 десятичных чисел.

У

всех двухэлементных рациональных чисел есть заканчивающаяся двоичная цифра — у двойного представления есть конечное число условий после десятичной запятой. У других рациональных чисел есть двойное представление, но вместо завершения, они повторяются с конечной последовательностью цифр, повторяющихся неопределенно. Например

,

: = = 0,01010101 …

: = = 0.10110100 10110100...

Явление, которое двойное представление любого рационального или заканчивает или повторяется также, происходит в других основанных на корне системах цифры. Посмотрите, например, объяснение в десятичном числе. Другое подобие - существование альтернативных представлений для любого представления завершения, полагаясь на факт, что 0,111111 … - сумма геометрического ряда 2 + 2 + 2 +..., который равняется 1.

Двоичные цифры, которые не заканчиваются и не повторяются, представляют иррациональные числа. Например,

У
  • 0,10100100010000100000100 … действительно есть образец, но это не фиксированная длина повторяющийся образец, таким образом, число - иррациональный
  • 1,0110101000001001111001100110011111110 … - двойное представление, квадратный корень 2, другое иррациональное число. У этого нет заметного образца. Посмотрите иррациональное число.

См. также

  • Двоично-десятичное число
  • Набор из двух предметов пальца
  • Линейный сдвиговый регистр обратной связи
  • Набор из двух предметов погашения
  • Сокращение summands
  • Избыточное двойное представление
  • Повторение десятичного числа
  • Дополнение Туо

Примечания

Внешние ссылки

  • Краткий обзор Лейбница и связи с двоичными числами
wikiHow
  • Изучение осуществления для детей в
CircuitDesign.info
  • Двоичный счетчик с детьми
  • «Волшебные» карточные фокусы
  • Быстрая ссылка на Практическом руководстве прочитала набор из двух предметов
  • Двойной конвертер ВЕДЬМЕ/ДЕКАБРЮ/ОКТЯБРЮ с прямым доступом вдребезги
  • От одного до другой системы числа статья имела отношение к созданию компьютерной программы для преобразования числа от одного до другой системы числа с исходным кодом, написанным в
C# C#

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления

Бармин И.И. 1

1МБОУ Барвихинская СОШ

Толстов Д.А. 1

1МБОУ Барвихинская СОШ

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Двоичная система счисления имеет прямое отношение к математической теории чисел. Необходимость изучения данной темы связана с тем, что в нашей современной жизни трудно обойтись без компьютера, а все числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления. Данная тема вносит вклад в фундаментальное математическое школьное образование. Различные системы счисления используются тогда, когда появляется потребность в числовых расчетах, начиная с вычислений в начальной школе на бумаге и заканчивая вычислениями на суперкомпьютерах.

В данной работе изложена и описана одна из наиболее популярных систем счисления – двоичная, а также области ее применения. Данная тема является значимой, потому что наша жизнь связана с электронной вычислительной техникой (ЭВМ). Двоичная система счисления появилась задолго до изобретения вычислительной и компьютерной техники, но без нее невозможно использование любой электронно-вычислительной техники, а также мобильных телефонов и всевозможных гаджетов.

Цель проекта – рассмотрение применения двоичной системы счисления в нашей жизни.

Поставленные задачи проекта:

1) Рассмотреть понятия систем счисления и их виды;

2) Изучить двоичную систему счисления;

3) Изучить математические действия в двоичной системе счисления;

5) Показать применение двоичной системы счисления в современной жизни человека и в компьютерной технике;

6) Оформление результатов работы с возможностью их дальнейшего использования в форме брошюры, презентации и устного доклада.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

Нашу жизнь нельзя представить без цифр. Температура воздуха, цены на продукты, номера телефонов, время и прочее. Везде мы используем цифры даже не замечая этого.

Число – это одно из фундаментальных и самых древних понятий математики. Первые числа появились вместе с речью. В древние времена счет считался математической деятельностью. Одним из первых существенных открытий являются представления о самом числе и изобретение основных четырех действий: сложение, вычитание, умножение и деление. Возникновение и развитие математики проходило благодаря египтянам и вавилонянам, примерно 3000 лет до нашей эры.

Счет был необходим для занятия торговлей и даже скотоводством, чтобы следить за количеством животных. Вначале для счета использовали части тела, например, пальцы рук. Число появилось сначала в связи со счетом отдельных предметов, а затем стало обозначать количественную меру. Это привело к идее о бесконечности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4… и т.д. Для обычных обывателей такого определения достаточно, но математиками были разработаны и другие числа. В 19 веке была разработана теория действительных чисел. Новый импульс эта теория получила в связи с развитием компьютерных технологий.

Числовая ось бесконечна, потому что к каждому числу можно прибавить еще одну единицу и получить следующее число, с которым можно поступить так же. При этом придумывать какие-либо специальные обозначения (цифры) для любого элемента (числа) бесконечной числовой оси нереально. Поэтому для записи произвольного числа бесконечной числовой оси прибегают к помощи одной или нескольким систем счисления.

Понятие системы счисления и их виды

Система счисления – это способ представления любых чисел с помощью определенного количества знаков (цифр) по позиционному принципу. Количество знаков, которые обычно именуют «цифрами», всегда ограничено. И с помощью такого, ограниченного количества цифр (мы используем десять цифр) удается записывать произвольные числа, например, 23 456 или 1 000 123 456 789. Чтобы преодолеть это ограничение, используется особый способ записи, который называется «позиционным».

Позиционная система счисления состоит в использовании ограниченного числа цифр, при этом позиция каждой цифры в числе обеспечивает значимость (вес) этой цифры. Позиция цифры на математическом языке называется разрядом. Значение цифры «переменчиво» и зависит от ее позиции в числе. Например, в числе «11» две единицы имеют разное значение, это относится и к другим сочетаниям «единиц» - «111», «1111», «11 111» и далее. Не всякие числовые системы используют именно такой позиционный способ записи.

Выбор количества цифр диктуется какими-либо потребностями реальной жизни, науки или удобствами обработки. Исторически этот выбор определялся привычками или традициями конкретного народа.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления значение числа определяется как сумма или разность цифр в числе. Считать в такой системе трудно. Например, у многих народов использовалась система, алфавит, который состоял из одного символа – палочки. Чтобы изобразить число пять нужно записать пять палочек. Египтяне применяли для записи чисел иероглифы. Самым распространенным примером непозиционной системы счисления является римская система счисления.

Позиционной системой счисления называется та система, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Это двоичная, троичная, пятеричная, восьмеричная, десятеричная, шестнадцатеричная системы. Достоинства любой позиционной системы счисления - это простота выполнения арифметических действий и ограниченное количество символов, необходимых для записи любого числа.

Системы счисления делятся на различные группы:

Анатомического происхождения:

Пятеричная система была распространена у некоторых африканских

племен.

Десятичная система оказалась общепринятой по причине того, что десять пальцев рук - это самый первый аппарат для счета, которым человек пользовался с доисторических времен. По пальцам удобно считать от 1 до 10. Сосчитав до 10, естественно принять само число 10 за новую, более крупную единицу – единицу следующего разряда и т.д. Именно счет по пальцам рук положил начало той системе, которая кажется нам самой привычной.

Десятичная система счисления представляет собой систему, в которой, каждое целое положительное число представляется в виде суммы различных степеней числа 10 с коэффициентами, которые могут принимать значения от 0 до 9 включительно. Например, запись числа 3 756 означает, что рассматриваемое число содержит 6 единиц, 5 десятков, 7 сотен и 3 тысячи.

Десятичная система счисления не сразу заняла господствующее положение. В разные исторические периоды разные народы мира пользовались другими система счисления.

Двенадцатеричная система.

Широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Ее происхождение тоже связано со счетом пальцев рук. Так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют 12 фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счет от 1 до 12. Потом 12 принимается за единицу следующего разряда и т.д. Остатки двенадцатеричной системы сохранились до наших дней: вместо «двенадцать» говорят «дюжина». Многие предметы часто считают именно дюжинами (вилки, тарелки, ножи, носовые платки). А также число месяцев в году - 12. Остатки двенадцатеричной системы счисления имеются у англичан, например, в системе мер 1 фут = 12 дюймам или в денежной системе 1 шиллинг = 12 пенсам.

С математической точки зрения, двенадцатеричная система имела некоторые преимущества перед десятичной, потому что число 12 делится на 2, 3, 4, 6 и 12, а число 10 только на 2, 5 и 10. А больший запас делителей у числа, служащего основанием системы счисления создает удобства в ее использовании.

Двадцатеричная система.

У ацтеков и майя - народов, населявших в течении многих столетий обширные области американского континента и создавших там высокую культуру – была принята двадцатеричная система. Она же была принята у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Следы двадцатеричной системы кельтов сохранились и в современном французском языке, например, «восемьдесят» по-французски будет как «четырежды двадцать». Число 20 встречалось и во французской денежной системе: франк делится на 20 су.

Шестидесятеричная система.

В древнем Вавилоне существовала сложная шестидесятеричная система. Мнения историков по поводу происхождения данной системы расходятся. Но не смотря на недоказанность гипотез возникновения шестидесятеричной системы, сам факт её существования и широкого распространения в древнем Вавилоне установлен. Эта система сохранилась до наших дней, например, в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд или в системе измерения углов: градус = 60 минутам, минута = 60 секундам.

Алфавитные:

Древнеармянская, древнегрузинская, древнегреческая, славянская.

Машинные:

Двоичная система – это позиционная система с основанием 2.

Двоичная система встречалась у некоторых племен Австралии и Полинезии.

Восьмеричная система  - это позиционная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.

Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно. Широко использовалась в программировании и компьютерной документации, однако позднее была почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Шестнадцатеричная система  - это позиционная система счисления по основанию 16. В качестве цифр этой системы счисления обычно используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 1010, 1110, 1210, 1310, 1410, 1510 соответственно.

Шестнадцатеричная система широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной адресуемой единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами.

Прочие:

Римская система

Способ записи чисел с помощью римских цифр такой: если цифра расположена справа, то ее значение прибавляется к предыдущей, например, число «XI» означает «одиннадцать», а если слева, то значение вычитается, например, число «IX», состоящее из тех же цифр, уже означает «девять». Кроме того, в римской системе счисления в числе вес цифры X в любой позиции равен десяти, например, число XXXII (тридцать два). Римская система счисления не прижилась, потому что римские числа трудно складывать или умножать, не говоря уже о более сложных функциях.

Вавилонская, Египетская, Китайская и другие.

Неколичественная система счета (качество выступает в роли количества: «много», «мало») была у эскимосов.

Из всех вышеперечисленных систем счисления меня очень заинтересовала двоичная система счисления.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание равно двум. В этой системе счисления используются всего два знака, две цифры – «0» и «1».

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами от 0 до 9. Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела, т.е. единицы, появляется новый разряд, а старый обнуляется1.

Таблица 1. Соответствие десятичных и двоичных чисел

Десятичное число

Двоичное число

Десятичное число

Двоичное число

0

0

11

1011

1

1

12

1100

2

10

13

1101

3

11

14

1110

4

100

15

1111

5

101

16

10000

6

110

17

10001

7

111

18

10010

8

1000

19

10011

9

1001

20

10100

10

1010

   

Таблица 2. Таблица степеней основания 2

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1024

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

В двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Необходимо уметь переводить двоичные числа в десятичные2.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д.

пример:

1365 = 1000 + 300 + 60 + 5 или

1365 = 1 * 103 + 3 * 102 + 6 * 101 + 5 * 100

Если посмотреть на эту запись внимательно мы увидим здесь цифры 1, 3, 6 и 5 - это набор цифр из которых состоит число 1365. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число, только основание здесь будет 2.

пример:

10110001 = 1*27 + 0*26 + 1*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20

Посчитав сумму составляющих, мы получим десятичное число, соответствующее 10110001

пример:

10110001 = 1*27 + 0*26 + 1*25 + 1*2+ 0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 =

= 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 177

Т.е. число 10110001 по основанию 2 равно числу 177 по основанию 10.

Перевод десятичного числа в двоичное

Для того чтобы перевести десятичное число в двоичное используют несколько способов.

Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков.

пример: необходимо получить из числа 731 его двоичную запись

731 / 2 = 365 (1 остаток)

365 / 2 = 182 (1 остаток)
182 / 2 = 91 (0 остаток)
91 / 2 = 45 (1 остаток)
45 / 2 = 22 (1 остаток)
22 / 2 = 11 (0 остаток)
11 / 2 = 5 (1 остаток)

5 / 2 = 2 (1 остаток)

2 / 2 = 1 (0 остаток)

1 / 2 = 0 (1 остаток)

пример: другое представление записи

731

2

               

1

365

2

             
 

1

182

2

           
   

0

91

2

         
     

1

45

2

       
       

1

22

2

     
         

0

11

2

   
           

1

5

2

 
             

1

2

2

               

0

1

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1011011011. Это и есть число 731 в двоичном представлении.

пример: проверяем

1011011011 = 1*29 + 0*28 + 1*27 + 1*26 + 0*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + + 1*20 или 1011011011 = 1*512 + 0*256 + 1*128 + 1*64 + 0*32 + 1 *16 + 1*8 + + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 512 + 0 + 128 + 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 731

Т.е. число 731 по основанию 10 равно числу 1011011011 по основанию 2.

Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает большой размер. Собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить очень сложно3.

Для больших чисел используют второй способ перевода чисел из десятичной системы в двоичную, который выглядит так:

пример: рассмотрим тоже число 731. Нам нужно разложить это число

на слагаемые, равные степени двойки. Ищем наибольшее число из таблицы степеней основания 2 которое меньше чем 731.

Это 29 = 512

731 > = 512? Да, поэтому 512 = 1, далее 731 - 512 = 219

219 > = 256? Нет, поэтому 256 = 0, далее

219 > = 128? Да, поэтому 128 = 1, далее 219 - 128 = 91

91 > = 64? Да, поэтому 64 = 1, далее 91 - 64 = 27

27 > = 32? Нет, поэтому 32 = 0, далее

27 > = 16? Да, поэтому 16 = 1, далее 27 – 16 = 11

11 > = 8? Да, поэтому 8 = 1, далее 11 – 8 = 3

3 > = 4? Нет, поэтому 4 = 0, далее

3 > = 2? Да, поэтому 2 = 1, далее 3 - 2 = 1

1 > = 1? Да, поэтому 1 = 1, далее 1 - 1 = 0.

Таблица 3. Таблица наглядности полученных вычислений

 

29

28

27

26

25

24

23

22

21

20

Двоичный символ

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

* Значение символа

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

= Результат

512

0

128

64

0

16

8

0

2

1

пример: 512 + 0 + 128 + 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 731

Далее есть два способа, можно использовать любой из них. Легко увидеть, что в любой системе счисления её основание всегда 10. Квадрат основания всегда будет 100, а куб 1000. То есть степень основания системы счисления – это 1 (единица), и за ней столько нулей, какова степень.

Способ 1: Расставим 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 7, 6, 4, 3, 1, 0. В остальных местах будут стоять нули. Единицы стоят на 9-м, 7-м, 6-м, 4-м, 3-м, 1-м и 0-м местах.

Способ 2: Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.

Таблица 4. Таблица слагаемых степени 2

 

Степень

 

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

 

29

=

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(1 и девять нулей)

27

=

 

 

1

0

0

0

0

0

0

0

(1 и семь нулей)

26

=

 

 

 

1

0

0

0

0

0

0

(1 и шесть нулей)

24

=

 

 

 

 

 

1

0

0

0

0

(1 и четыре нуля)

23

=

 

 

 

 

 

 

1

0

0

0

(1 и три нуля)

21

=

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

(1 и один ноль)

20

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(1)

Итого:

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

 

Параллельно можно легко посчитать сколько единиц в двоичной записи числа 731. Их столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У числа 731 их 7.

Сложение в двоичной системе счисления

При сложении чисел в двоичной системе важно помнить, что она имеет всего два символа - 0 и 1. Никаких других символов в ней быть не может! Поэтому сложение двух единиц 1 + 1 дает не 2, как в десятичной системе, а 10, так как 10 – это следующее за единицей число в двоичной системе.

Таблица 5. Правила сложения в двоичной системе

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10

Эти правила необходимы, чтобы складывать числа в двоичной системе в столбик. В случае прибавления единицы к единице, единица идет в следующий разряд. Прибавление нуля к любому двоичному числу не изменит это число. Большие двоичные числа удобно складывать в столбик. Правила в двоичной системе аналогичны сложению правилам сложения в столбик в десятичной системе.

пример: сложить числа 10111 и 10101

 

 

1

0

1

1

1

+

 

1

0

1

0

1

=

1

0

1

1

0

0

Вычитание в двоичной системе счисления

Вычитать двоичные числа несколько сложнее, чем складывать, для этой цели есть два метода: вычитание с использованием дополнительного кода числа и вычитание в столбик.

Метод вычитания с использованием дополнительного кода приводит поставленную задачу к операции сложения путем преобразований над вычитаемым числом. Это преобразование называется дополнительным кодом (ДК). Определить его можно по следующему алгоритму: сначала значения всех позиций вычитаемого числа меняются на противоположные: нули на единицы, а единицы на нули. Потом к получившемуся промежуточному результату прибавляется двоичная единица, т.е. число, которое увеличивает его младший разряд на 14.

пример: найти разность чисел: 11001 – 1101

а) меняем значения всех позиций вычитаемого числа на

противоположные:

1 1 0 1 на

0 0 1 0

б) к получившемуся промежуточному результату прибавляем

двоичную единицу:

0 0 1 0

+ 0 0 0 1

= 0 0 1 1

в) складываем уменьшаемое число и число, полученное из 2-го

действия:

1 1 0 0 1

+ 0 0 1 1

= 1 1 1 0 0

г) завершающий этап данного метода – необходимо отбросить единицу,

стоящую в старшей позиции, т.е. 1 1 1 0 0 = 1 1 0 0.

Таблица 6. Наглядное вычисление разности в двоичной системе

 

 

1

1

0

0

1

 

-

 

1

1

0

1

Промежуточный расчет

ДК

 

0

0

1

0

+

 

0

0

0

1

= +

 0

 0

 0

1

1

 

=

1

1

1

0

0

Второй метод в столбик - это обычное поразрядное вычитание, аналогичное действию над десятичными числами. Если для получения разности не хватает единицы, то она занимается в старшем разряде и превращается в 2, ведь именно столько составляет один разряд двоичного числа5.

пример: найти разность чисел: 10101 – 1011

 

1

0

1

0

1

-

 

1

0

1

1

=

 

1

0

1

0

Умножение в двоичной системе счисления

Умножение в двоичной системе счисления требует знания таблицы умножения двоичных чисел.

Таблица 7. Таблица умножения двоичных чисел

1

*

1

=

1

1

*

0

=

0

0

*

1

=

0

Умножая двоичные числа, мы используем таблицу умножения двоичных чисел. Принцип такой же, как и при умножении десятичных чисел. Умножать будем столбиком.

пример: умножить 1001 на 111

 

 

 

1

0

0

1

*

 

 

 

1

1

1

 

 

 

1

0

0

1

+

 

1

0

0

1

 

+

1

0

0

1

 

 

=

1

1

1

1

1

1

Деление в двоичной системе счисления

Деление в двоичной системе – это процесс последовательного вычитания одного числа из другого.

пример: разделить 101101 на 101

 

1

0

1

1

0

1

1

0

1

 

-

1

0

1

 

 

 

1

0

0

1

=

0

0

0

1

   

 

     

-

 

1

0

1

 

 

 

     

=

 

0

0

0

0

 

 

     

-

 

 

 

1

0

1

 

     

=

     

0

0

0

 

     

Рассмотрев все математические действия в двоичной системе счисления можно выделить преимущества и недостатки этой системы.

Преимущества:

- простота математических действий;

- возможность производить автоматическую обработку информации, использу

Двоичный преобразователь в десятичный

Из Двоичный Десятичный Шестнадцатеричный

Чтобы Двоичный Десятичный Шестнадцатеричный

Десятичное число от дополнения до 2 со знаком

Шаги десятичного расчета

Преобразователь десятичной системы в двоичную ►

Как преобразовать двоичное в десятичное

Для двоичного числа с n цифрами:

d n-1 ... d 3 d 2 d 1 d 0

Десятичное число равно сумме двоичных цифр (d n ), умноженной на их степень двойки (2 n ):

в десятичной системе = d 0 × 2 0 + d 1 × 2 1 + d 2 × 2 2 +...

Пример

Найдите десятичное значение 111001 2 :

двоичное число: 1 1 1 0 0 1
степень 2: 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0

111001 2 = 1⋅2 5 + 1⋅2 4 + 1⋅2 3 + 0⋅2 2 + 0⋅2 1 + 1⋅2 0 = 57 10

Таблица преобразования двоичного числа в десятичное

Двоичный
Число
Десятичное число
Число
Hex
Число
0 0 0
1 1 1
10 2 2
11 3 3
100 4 4
101 5 5
110 6 6
111 7 7
1000 8 8
1001 9 9
1010 10 A
1011 11 B
1100 12 С
1101 13 D
1110 14 E
1111 15 F
10000 16 10
10001 17 11
10010 18 12
10011 19 13
10100 20 14
10101 21 15
10110 22 16
10111 23 17
11000 24 18
11001 25 19
11010 26 1A
11011 27
11100 28
11101 29 1D
11110 30 1E
11111 31 1 этаж
100000 32 20
1000000 64 40
10000000 128 80
100000000 256 100


См. Также

Преобразователь двоичного кода в текст

| Двоичный переводчик

Введите двоичные числа с любым префиксом / постфиксом / разделителем и нажмите кнопку Преобразовать
(E.г: 01000101 01111000 01100001 01101101 01110000 01101100 01100101):

folder_open Открыть файл folder_open Открыть двоичный файл поиск

Вставьте двоичные числа или перетащите файл:

Кодировка символов (необязательно) ASCIIUnicodeASCII / UTF-8UTF-16UTF-16 little endianUTF-16 big endian Windows-1252Big5 (китайский) CP866 (русский) EUC-JP (японский) EUC-KR (корейский) GB 18030 (китайский) GB 2312 (китайский) ISO-2022- CN (китайский) ISO-2022-JP (японский) ISO-8859-1 (Latin1 / Западноевропейский) ISO-8859-2 (Latin2 / Восточноевропейский) ISO-8859-3 (Latin3 / Южноевропейский) ISO-8859-4 (Latin4 / Северо-Европейский) ISO-8859-5 (Латинский / Кириллица) ISO-8859-6 (Латинский / Арабский) ISO-8859-7 (Латинский / Греческий) ISO-8859-8 (Латинский / Иврит) ISO-8859- 8-I (Latin / Hebrew) ISO-8859-10 (Latin6 / Nordic) ISO-8859-13 (Latin7 / Baltic Rim) ISO-8859-14 (Latin8 / Celtic) ISO-8859-15 (Latin9 / Western European) ISO-8859-16 (Latin10 / Юго-Восточная Европа) KOI8-R (русский) KOI8-U (украинский) Macintosh (x-mac-roman) Mac OS Кириллица (x-mac-кириллица) Shift JIS (японский) Windows- 874 (тайский) Windows-1250 (восточноевропейский) Windows-1251 (кириллица) Windows-1252 (западноевропейский) Windows-1253 (греческий) Windows-1254 (турецкий) Windows-1255 (иврит) Windows-1256 (арабский) Windows- 1257 (Балтийский) Windows-1258 (Вьетнамский) X-User- Определен

autorenew Конвертировать очистить Сброс swap_vert Своп

content_copy Копировать save_alt Сохранить

Конвертер текста в двоичный ►

Кодировка текста

ASCII использует фиксированный 1 байт для каждого символа.

Кодировка текста

UTF-8 использует переменное количество байтов для каждого символа. Для этого требуется разделитель между каждым двоичным числом.

Как преобразовать двоичный файл в текст

Преобразовать двоичный код ASCII в текст:

  1. Получить двоичный байт
  2. Преобразовать двоичный байт в десятичный
  3. Получить символ кода ASCII из таблицы ASCII
  4. Перейти к следующему байту
Пример

Преобразовать двоичный код ASCII "01010000 01101100 01100001 01101110 01110100 00100000 01110100 01110010 01100101 01100101 01110011" в текст:

Решение:

Используйте таблицу ASCII для получения символа из кода ASCII.

01010000 2 = 2 6 +2 4 = 64 + 16 = 80 => «P»

01101100 2 = 2 6 +2 5 +2 3 +2 2 = 64 + 32 + 8 + 4 = 108 => «l»

01100001 2 = 2 6 +2 5 +2 0 = 64 + 32 + 1 = 97 => «а»

Для всех двоичных байтов вы должны получить текст:

«Сажать деревья»

Как преобразовать двоичный формат в текст?

  1. Получить двоичный байт-код
  2. Преобразовать двоичный байт в десятичный
  3. Получить символ десятичного кода ASCII из таблицы ASCII

Двоичное число - Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

Двоичная система счисления - это способ записывать числа, используя только две цифры: 0 и 1.Они используются в компьютерах как серия переключателей «выключено» и «включено». В двоичном формате значение разряда каждой цифры вдвое больше, чем у следующей цифры справа (поскольку каждая цифра содержит два значения). В десятичной системе, которую обычно используют люди, каждая цифра содержит десять значений, а разрядное значение увеличивается в десять раз (единицы, десятки, сотни и т. Д.). В любом случае разряд самой правой цифры равен 1.

0 0000 0 + 0 + 0 + 0
1 0001 0 + 0 + 0 + 1
2 0010 0 + 0 + 2 + 0
3 0011 0 + 0 + 2 + 1
4 00100 0 + 0 + 4 + 0 + 0
5 00101 0 + 0 + 4 + 0 + 1
6 00110 0 + 0 + 4 + 2 + 0
7 00111 0 + 0 + 4 + 2 + 1
8 01000 0 + 8 + 0 + 0 + 0
9 01001 0 + 8 + 0 + 0 + 1
10 01010 0 + 8 + 0 + 2 + 0
11 01011 0 + 8 + 0 + 2 + 1
12 01100 0 + 8 + 4 + 0 + 0
13 01101 0 + 8 + 4 + 0 + 1
14 01110 0 + 8 + 4 + 2 + 0
15 01111 0 + 8 + 4 + 2 + 1
16 10000 16 + 0 + 0 + 0 + 0
17 10001 16 + 0 + 0 + 0 + 1
18 10010 16 + 0 + 0 + 2 + 0
19 10011 16 + 0 + 0 + 2 + 1
20 10100 16 + 0 + 4 + 0 + 0
21 10101 16 + 0 + 4 + 0 + 1
22 10110 16 + 0 + 4 + 2 + 0
23 10111 16 + 0 + 4 + 2 + 1
24 11000 16 + 8 + 0 + 0 + 0
25 11001 16 + 8 + 0 + 0 + 1
26 11010 16 + 8 + 0 + 2 + 0
27 11011 16 + 8 + 0 + 2 + 1
28 11100 16 + 8 + 4 + 0 + 0
29 11101 16 + 8 + 4 + 0 + 1
30 11110 16 + 8 + 4 + 2 + 0
31 11111 16 + 8 + 4 + 2 + 1

Пример: 10110011

  • Значение последней единицы (крайняя правая позиция) равно 1.
  • Разрядная 1 перед ней равна 2.
  • Разрядный знак 0 перед ним равен 4.
  • Разрядный знак 0 перед ним равен 8.
  • Разрядная цифра перед ним равна 16.
  • Разрядная цифра перед ним равна 32.
  • Разрядный знак 0 перед ним равен 64.
  • Разрядное значение 1 перед этим равно 128.

Если сложить вместе все разрядные значения с 1, получится 1 + 2 + 16 + 32 + 128 = 179.Для удобства двоичные цифры (для краткости биты) обычно группируются в две группы по 4 бита. Это 8 бит, или байт, и записывается в шестнадцатеричной системе счисления. Это будет показано как 1011 0011 = B3.

Арифметика - это способ сложения двух или более двоичных чисел. В двоичной арифметике есть четыре правила. Они есть:

0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (2)
1 + 1 + 1 = 11 (3)

Это потому, что в двоичном формате всего две цифры; 0 и 1.Из-за этого числа два и три нужно представлять как-то иначе. Вот как рассчитывается двоичное значение для трех:

Колонна Десятичное значение двоичный
1 2 1
2 1 1

Это показывает, что двоичное значение будет 11 .

Страница из «Explication de l’Arithmétique Binaire» , Лейбница, 1703 г.

Binary - это система счисления, которая представляет собой последовательность единиц и нулей, означающих (для компьютеров) включение и выключение.Это основание 2, а наша система счисления (десятичная) - 10, где используются 10 цифр, а не 2.

В 1817 году Джон Лесли (шотландский математик) предположил, что первобытные общества, возможно, развили счет с помощью предметов (например, гальки), прежде чем у них были даже слова, чтобы описать общее количество задействованных объектов. Следующим шагом в эволюции подсчета было бы открытие того, что эту груду объектов можно сократить до двух стопок равных размеров (оставив либо 0 объектов, либо только остаток от 1).Затем этот остаток (нечетное = 1 или четное = 0) будет записан, и одна из стопок будет удалена, в то время как вторая стопка будет затем разделена на две дополнительные стопки. Если вы запишите остаток, оставшийся после того, как исходная стопка была разделена на две части, и продолжите повторять этот процесс; разделив одну из оставшихся стопок пополам, а затем удалив одну из этих стопок и продолжив разделение оставшейся стопки на две стопки, вы в конечном итоге останетесь только с 2 или 3 объектами. Если вы запишете оставшийся остаток (нечетное = 1 или четное = 0) в конце каждого сокращения, у вас в конечном итоге останется итоговая запись из 1 и 0, которая будет двоичным представлением вашей исходной кучи объектов.Поэтому вместо того, чтобы представлять исходную кучу объектов повторяющимся числом, метками или маркерами (которые для больших чисел могут быть довольно длинными), вы уменьшили кучу объектов до более компактного двоичного числа. Если вам нужно восстановить исходное количество объектов из этого суммированного двоичного числа, это достаточно просто сделать; просто начав с первой метки подсчета, а затем удвоив ее и добавив единицу, если следующее двоичное число содержит 1, и затем продолжая процесс до тех пор, пока не будет достигнут конец двоичного числа.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *