Советы и лайфхаки

Тейлора разложения – Формула Тейлора и различные формы её остаточного члена. Основные разложения элементарных функций по формуле Тейлора.

Содержание

Ряды Тейлора, Бином, Степенные ряды

Ряд Тейлора функции одной переменной

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)(x-a)^2}{2!}+\cdots$$+\frac{f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n-1}}{(n-1)!}+R_n$ где $R_n$, остаточный член после n слагаемых, может быть записан в одной из следующих форм:

Форма Лагранжа $R_n=\frac{f^{(n)}(x-a)^n}{n!}$

Форма Коши $R_n=\frac{f^{(n)}(\xi)(x-\xi)^{n-1}(x-a)}{(n-1)!}$

Величина $\xi$, которая может отличаться для двух форм, лежит в промежутке между $a$ и $x$. Результат справедлив, если $f(x)$ имеет непрерывные производные до порядка $n$ как минимум.

Если $\lim_{n\rightarrow\infty} R_n=0$, полученный бесконечный ряд называется рядом Тейлора функции $f(x)$ в окрестности $x = a$. Если $a = 0$, такое разложение часто называют рядом Маклорена. Эти ряды, часто называемые степенными рядами, обычно сходятся для всех значений $x$ из некоторого интервала, который называется интервалом сходимости, и расходятся для всех $x$ вне этого интервала.

Возведение в степень двучленов

$(a+x)^n=a^n+na^{n-1}x+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}x^2+$$\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}a^{n-3}x^3+\cdots=$
$= a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}x+\binom{n}{2}a^{n-2}x^2+$$\binom{n}{3}a^{n-3}x^3+\cdots$

Особо стоит выделить следующие разложения

$(a+x)^2=a^2+2ax+x^2$

$(a+x)^3=a^3+3a^2x+3ax^2+x^3$

$(a+x)^4=a^4+4a^3x+6a^2x^2+4ax^3+x^4$

$(1+x)^{-1}=$$1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots,$     $-1

$(1+x)^{-2}=$$1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-\cdots,$     $-1

$(1+x)^{-3}=$$1-3x+6x^2-10x^3+15x^4-\cdots$     $-1

$(1+x)^{-\frac{1}{2}}=$$1-\frac{1}{2}x+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}x^2-\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}x^3+\cdots$     $-1

$(1+x)^{\frac{1}{2}}=$$1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2\cdot4}x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6}x^3-\cdots$     $-1

$(1+x)^{-\frac{1}{3}}=$$1-\frac{1}{3}x+\frac{1\cdot4}{3\cdot6}x^2-\frac{1\cdot4\cdot7}{3\cdot6\cdot9}x^3+\cdots$     $-1

$(1+x)^{\frac{1}{3}}=$$1+\frac{1}{3}x+\frac{2}{3\cdot6}x^2-\frac{2\cdot5}{3\cdot6\cdot9}x^3-\cdots$     $-1

Разложение в ряд показательной и логарифмической функций

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$     $-\infty

$a^x=e^{x\ln x}=$$1+x\ln a+\frac{(x\ln a)^2}{2!}+\frac{(x\ln a)^3}{3!}+\cdots$     $ -\infty

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$    $-1

$\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=$$x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots$    $-1

$\ln x=2\left\{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3+\frac{1}{5}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^5+\cdots\right\}$     $x>0$

$\ln x=\left(\frac{x-1}{x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x-1}{x}\right)^2+$$\frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x}\right)^3+\cdots$     $x\geq\frac{1}{2}$

Разложение в ряд тригонометрических функций

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$     $-\infty

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$     $-\infty

$tg x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots$$+\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!}+\cdots$     $|x|

$\text{ctg} x=\frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\frac{2x^5}{945}-\cdots-$$\frac{2^{2n}B_nx^{2n-1}}{(2n)!}-\cdots$     $0

$\sec x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\cdots$$+\frac{E_nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots$     $|x|

$\csc x=\frac{1}{x}+\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}+\frac{31x^5}{15,120}+\cdots$$+\frac{2(2^{2n-1}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!}+\cdots$     $0

$\sin^{-1}x=x+\frac{1}{2}\frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\frac{x^5}{5}+$$\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\frac{x^7}{7}+\cdots$     $|x|

$\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}x=$$\frac{\pi}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\frac{x^5}{5}+\cdots\right)$     $|x|

$\text{tg}^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$, когда $|x| $\text{tg}^{-1}x=\pm\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^3}-\frac{1}{5x^5}+\cdots$     $[+\ \text{если}\ x\geq1, -\ \text{если}\ x\leq-1]$

$\text{ctg}^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\text{tg}^{-1}x =$$\frac{\pi}{2}-\left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots\right)$, когда $|x| $\text{ctg}^{-1}x=\frac{\pi}{2}-\text{tg}^{-1}x =$$p\pi+\frac{1}{x}-\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}-\cdots$, когда [p=0 если x>1, p=1 если x

$\sec^{-1}x=\cos^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=$$\frac{\pi}{2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2\cdot3x^3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot5x^5}+\cdots\right)$     $|x|>1$

$\csc^{-1}x=\sin^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=$$\frac{1}{x}+\frac{1}{2\cdot3x^3}+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot5x^5}+\cdots$     $|x|>1$

Разложение в ряд гиперболических функций

$\text{sh} x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots$     $-\infty

$\text{ch} x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$     $-\infty

$\text{th} x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots$$+\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!}+\cdots$     $|x|

$\text{cth} x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\cdots$$+\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}B_nx^{2n-1}}{(2n)!}+\cdots$     $0

$\sec\text{h}x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}-\frac{61x^6}{720}+\cdots$$+\frac{(-1)^

www.math10.com

Ряд Тейлора - это... Что такое Ряд Тейлора?

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Определение

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции в точке .

Связанные определения

  • В случае, если , этот ряд также называется рядом Макло́рена.

Свойства

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке равны нулю.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:


Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В интегральной форме:

Ослабим предположения:

 — остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

Ряды Маклорена некоторых функций

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция имеет полные производные вплоть до -го порядка включительно в некоторой окрестности точки . Введём дифференциальный оператор

.

Тогда разложением в ряд Тейлора функции по степеням и в окрестности точки будет

где  — остаточный член в форме Лагранжа:

В случае функции одной переменной , поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе .

См. также

Литература

  • Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
  • Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
  • Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10-24.
  • Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.: АЙРИС-пресс, 2002.

dic.academic.ru

Лекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора

Лекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.

19.1. Формула Тейлора1.

Рассмотрим произвольный многочлен степени n:

.

Пусть

– любое фиксированное число. Полагая, получим:

. (19.1)

Запишем также в виде

, (19.2)

где – числа, зависящие оти– коэффициенты разложенияпо степеням. Например,.

Из (19.1) не видно, что отна самом деле не зависит. Найдём производные:

. (19.3)

Следующие производные равны нулю.

Полагая в формулах (19.2) и (19.3) , получаем:

,,,,,

то есть

. (19.4)

Таким образом,

. (19.2*)

Это формула Тейлора для многочлена по степеням.

Отметим, что правая часть (19.2*) фактически не зависит от .

Пример 19.1.Пусть,.

,

,,

после чего получаем формулу бинома Ньютона

.

19.2. Остаточный член формулы Тейлора.

Рассмотрим любую функцию , которая имеет непрерывные производные до-го порядка в некоторой окрестности точки

. Составим многочлен Тейлораn-й степени по степеням:

. (19.5)

совпадает с функцией в точке, но для всехxон не равен . Кроме того,

,,.

Положим

. (19.6)

Здесь остаточный член формулы Тейлора.Он показывает, какую погрешность мы допускаем при замене на многочлен Тейлора (19.5).

Если функция имеет в окрестности точки непрерывную производную

, то дляиз этой окрестности найдётся точка такая, что

(остаточный член в форме Лагранжа).

Функцию можно записать в виде:

. (19.6*)

Если , то формулу (19.6*) называютформулой Маклорена1.

Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора.

Остаточный член в форме Коши:, где .

Формула Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано2:

.

Эта формула приспособлена для изучения функции в окрестности точки

.

19.3. Ряд Тейлора.

Определение 19.1.Выражение вида

, (19.7)

или

, (19.7*)

где – числа, зависящие от индекса k, называется рядом (числовым рядом).

Определение 19.2.Конечные суммы называются частичными суммами ряда(19.7).

Определение 19.3.Если существует конечный предел

, (19.8)

то говорят, что ряд(19.7)сходится к числу S и называют S суммой ряда:

.

Определение 19.4.Если предел частичных сумм

Sn ряда(19.7)не существует или равен , то ряд(19.7)называется расходящимся рядом.

Если функция имеет производные любого порядка в окрестности точки, то можно функцию представить в виде суммы

.

Такое разложение называется рядом Тейлора функции по степеням. Если, то это будетряд Маклорена.

Особый интерес представляет тот случай, когда ряд Тейлора функции по степеням

сходится в некоторой окрестности точкии при том к самой функции . Если это имеет место, то

,, (19.9)

то есть функция есть сумма её ряда Тейлора в некоторой окрестности точки. В этом случае говорят, чтофункция разлагается в ряд Тейлора по степеням , сходящийся к ней.

Теорема 19.1. Пусть функция на отрезке имеет производные любого порядка и остаток её формулы Тейлора стремится к нулю при на этом отрезке:

.(19.10)

Тогда функция

разлагается в ряд Тейлора на этом отрезке.

Доказательство.Пусть функция имеет на отрезке производные любого порядка. Тогда эти производные непрерывны на , потому что если имеет производную на , то производная непрерывна на .

Поэтому для нашей функции имеет смысл формула Тейлора:

,.

В силу (19.10)

.

То есть в этом случае многочлен Тейлора функции по степенямстремится при к самой функции:

,. (19.11)

А это означает, что ряд Тейлора функции

сходится на и имеет своей суммой :

,.

Теорема 19.2 (достаточный критерий сходимости остатка формулы Тейлора к нулю). Если функция имеет на отрезке производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом ,, то остаток её формулы Тейлора на этом отрезке стремится при к нулю:

.(19.12)

Доказательство.Воспользуемся формой Лагранжа остаточного члена:

. (19.13)

Так как правая часть (19.13) стремится к нулю при , то имеет место (19.12).

19.4. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций.

1) .Эта функция бесконечно дифференцируема на :

,,,.

Формула Тейлора с и остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

,,.

На отрезке

,

где при . То есть нафункция разлагается в ряд Маклорена по степенямx:

.

Пример 19.2.Вычислимeс точностью до 0,001:

, где,.

Надо подобрать nнастолько большим, чтобы. Так как, решим неравенство. Оно начинает выполняться при. Следовательно,

.

2) . Данная функция имеет производную любого порядка и

.

Надо учесть, что

Функция разлагается в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степенямx:

.

Формула Тейлора функции по степенямxимеет вид:

,

где

,.

Отсюда следует, что и

.

Пример 19.3.Вычислим .

Ряд Тейлора для синуса . Поэтому

,

то есть .

На самом деле остаток имеет вид , но для наших целей достаточно . Надо иметь в виду, что если некоторая функция отxесть , то она есть также (но вообще не наоборот).

3) . Аналогично можно получить, что

.

Пример 19.4.(с точностью до).

Пример 19.5.Вычислим .

По аналогии с примером 19.3 получим

,

то есть .

4)Функцияопределена и сколько угодно раз дифференцируема для . Для при запишем формулу Тейлора. Так как,, то формула Тейлора имеет вид:

.

При , поэтому

.

Например, .

5)Функция. Производные,. Формула Тейлора по степенямxимеет вид:

.

Для при , поэтому

.

Если , то функцияесть многочлен. В этом случаедляи ряд представляет собой конечную сумму – многочлен Тейлора.

1Тейлор Брук (1685-1731) – английский математик.

1Маклорен Колин (1698-1746) – шотландский математик.

2Пеано Джузеппе (1858-1932) – итальянский математик.

91

studfiles.net

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.

Задача разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки решается в следующем порядке:

  1. Находятся последовательно .

  2. Записываются (1).

  3. Находим интервал сходимости ряда (1): .

  4. Записываем остаточный член в каком-то виде.

  5. Находим те точки , для которых.

После выполнения этих пунктов в (1) вместо можно поставить равенство.

Функция .

Пусть задана функция , она бесконечно дифференцируемая и , где.

Найдем коэффициенты разложения , тогда

-это ряд Маклорена для функции , который сходится к этой функции на всей числовой прямой.

Функция .

Найдем ее производные

Вычислим коэффициенты в формуле Тейлора:

. Пусть , тогда , если , то так как , то по теореме 2, можно утверждать, что ряд Тейлора сходится к функции.

.

Функция . Можно провести аналогично разложение, а можно разложить другим способом. Мы знаем, что степенной ряд можно дифференцировать в интервале его сходимости. Тогда .

Ряд Маклорена для функции.

Так как функция и ее производные не определены в точке, поэтому будем рассматривать функцию , которая определена , вместе с производными. Продифференцируем:

- как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (имеет сумму при).

Проинтегрируем этот ряд почленно по любому отрезку от до, где . Получим он сходится при. Проверим сходится ли ряд на границах интервала:

при ряд вообще суммы не имеет, приполучается знакочередующийся рядпо теореме Лейбница он сходится, покажем, что он сходится к, то есть. Воспользуемся теоремой (достаточным условием разложимости в ряд Тейлора). Для этого оценим остаточный член в формуле Лагранжа.при

Тогда .

Таким образом, , то есть ряд сходится при.

При ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости ряда, так как.

Разложение степенной функции в ряд Тейлора.

Рассмотрим функцию . (5).

Область сходимости ряда . на границе интервала надо проверять отдельно для каждого конкретного ряда

Отметим наиболее часто встречающиеся частные случаи биномиального ряда:

  1. , тогда - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сходится при .

  2. , тогда

  3. , тогда

Используя свойство степенных рядов о почленном интегрировании и дифференцировании внутри области сходимости можно получить следующие разложения:

Пример 1: сходится при . Проинтегрируем внутри отрезка сходимости:Пример 2:

Сходится при . Проинтегрировав понаполучим: .

Дробно-рациональная функция.

- многочлены. Чтобы разложить в ряд Тейлора, вначале приводим к правильной дроби, далее полученную дробь разбиваем на сумму более простых методом неопределенных коэффициентов. Эти более простые дроби раскладываем в ряд Тейлора, используя разложение в геометрическую прогрессию.

.

.

Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.

Теорема: Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале , то есть, может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора.

, если в этом интервале выполняется условие , где- остаточный член формулы Тейлора,. Приполучается ряд Маклорена:. Если в некотором интервале, содержащем точку, при любом выполняется неравенство , где- положительная постоянная, тои функцияразложима в ряд Тейлора.

studfiles.net

Ряд Тейлора | Математика | FANDOM powered by Wikia

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора.

Пусть функция $ f(x) $ бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки $ {a} $, тогда ряд

$ f(x) = f(a)+\sum_{k=1}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k $

называется рядом Тейлора функции $ f $ в точке $ a $.

В случае, если $ a=0 $, этот ряд иногда называется рядом Маклорена.

Если $ f $ есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке $ a $ области определения $ f $ сходится к $ f $ в некоторой окрестности $ a $.

    Формула Тейлора Править

    Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

    Теорема:

    • Пусть функция $ f(x) $ имеет $ n+1 $ производную в некоторой окрестности точки $ a $, $ U(a, \epsilon) $
    • Пусть $ x\in U(a, \epsilon) $
    • <I>Пусть $ p $ — произвольное положительное число,

    тогда: $ \exists $ точка $ \xi\in (x,a) $ при $ x < a $ или $ \xi\in (a,x) $ при $ x > a $:

    $ f(x) = f(a) + \sum_{k=1}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi) $

    Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форме Шлемильха — Роша).

    Различные формы остаточного члена Править

    В форме Лагранжа:

    $ R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1 $

    В форме Коши:

    $ R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1 $

    Ослабим предположения:

    • Пусть функция $ f(x) $ имеет $ n-1 $ производную в некоторой окрестности точки $ a $
    • И $ n $ производную в самой точке $ a $, тогда:
    $ R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ] $ — остаточный член в асимптотической форме (форме Пеано)

    Ряды Тейлора некоторых функций Править

    • Экспонента: $ \mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} $ для всех $ x $
    • натуральный логарифм: $ \ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1} $ для $ \left| x \right| < 1 $
    • $ \frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n $ для $ \left| x \right| < 1 $
    • Биномиальное разложение: $ (1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n $ для всех $ \left| x \right| < 1\quad\mbox{ and all complex } \alpha $
    • Тригонометрические функции:
      • $ \sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} $ для всех $ x $
      • $ \cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} $ для всех $ x $
      • $ \operatorname{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} $ для $ \left| x \right| < \frac{\pi}{2} $
      • $ \sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} $ для $ \left| x \right| < \frac{\pi}{2} $
      • $ \arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} $ для $ \left| x \right| < 1 $
      • $ \operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} $ для $ \left| x \right| < 1 $
    • Гиперболические функции:
      • $ \operatorname{sh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} $ для всех $ x $
      • $ \operatorname{ch} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n} $ для всех $ x $
      • $ \operatorname{th}\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} $ для $ \left|x\right| < \frac{\pi}{2} $
      • $ \operatorname{areash} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} $ для $ \left| x \right| < 1 $
      • $ \operatorname{areath} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} $ для $ \left| x \right| < 1 $

    Интересные факты

    Несмотря на то, что фамилия Тейлор правильно произносится с ударением на первом слоге, некоторые преподаватели старой закалки любят говорить Тейлóр и таким образом проверять кто же из студентов ходил на лекции, а кто нет. В некоторых случаях подобный трюк проделывают с фамилией <a data-rte-meta="%7B%22type%22%3A%22internal%22%2C%22text%22%3A%22%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%5Cu0430%22%2C%22link%22%3A%22%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%22%2C%22wasblank%22%3Afalse%2C%22noforce%22%3Atrue%2C%22wikitext%22%3A%22%5B%5B%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%7C%5Cu0411%5Cu0430%5Cu043d%5Cu0430%5Cu0445%5Cu0430%5D%5D%22%7D" data-rte-instance="2561-7752124154f252a814fc05" href="/index.php?title=%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85&amp;amp;action=edit&amp;amp;redlink=1" title="Банах (такой страницы не существует)">Банаха</a>.

    hu:Taylor-sornl:Taylorreeks pl:Szereg Taylorasl:Taylorjeva vrsta sv:Taylorserie

    ru.math.wikia.com

    Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

    Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

    Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

    При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

    Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

    1), где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

    2)

    k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой

    3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

    при a=0

    члены ряда определяются по формуле

    Условия применения рядов Тейлора.

    1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

    2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

    Свойства рядов Тейлора.

    1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.
    2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

    Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от  linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

    Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

    tehtab.ru

    69. Формула Тейлора. Разложение функции по формуле Тейлора.

    Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0  (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

    Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде

    (1)

    В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .

    Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

    Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочленаPn(x) исходя из условия равенства производных.

    Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.

    Подставим в (1) x = x0 и найдем , но с другой стороны. Поэтому

    Далее найдем производную и вычислимСледовательно,.

    Учитывая третье условие и то, что

    ,

    получим , т.е..

    Далее . Значит,, т.е..

    Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула 

    Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:

    Обозначим и назовем эту разностьn-ым остаточным членом функции f(x) в точке x0. Отсюда и, следовательно,если остаточный член будет мал.

    Оказывается, что если x0  (ab) при всех x  (ab) существует производная f (n+1)(x), то для произвольной точки x  (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что остаток можно представить в виде:

    Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

    Формула

     где x  (x0x) называется формулой Тейлора.

    Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде

    где x  ( x0x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

    .

    РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

    1. Рассмотрим функцию f(x)=ex. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

    Таким образом, получаем

    Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение ex.

    Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

     причем остаток 

    Отметим, что для любого x  R остаточный член 

    Действительно, так как ξ  (0; x), то величина eξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 eξ < ex. Докажем, что при фиксированном x 

    Имеем

    Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|<N.

    Обозначим Заметив, что 0<q<1, приn>N можем написать

    Но , не зависящая отn, а так как q<1. ПоэтомуСледовательно,

    Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить ex с любой степенью точности.

    1. Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

    Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

    Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

    Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

    .

    Так как , то аналогично разложениюex можно показать, что для всехx.

    Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:

    Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

    Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

    1. f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

    Здесь также для всехx. Докажите формулу самостоятельно.

    1. f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).

    Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

    Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

    Можно доказать, что если x  (–1;1],то , т.е. выведенная формула справедлива приx  ( –1;1].

    1. f(x) = (1+x)m, где m  R, m≠0.

    При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

    И следовательно,

     Можно показать, что при |x|<1 

    studfiles.net

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о