Советы и лайфхаки

Основание числа – Иллюстрированный самоучитель по цифровой графике › Системы счисления › Основания и степени в системе счисления [страница — 43] | Самоучители по графическим программам

Содержание

Основание систем счисления

Система счисления (англ. numeral system или system of numeration) — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков

 

 

 

 

Определение: Основанием системы счисления называется количество разных знаков либо символов, которые
используются для изображения цифр в этой системе.
Основанием принимают всякое натуральное число — 2, 3, 4, 16 и т.д. То есть, существует безграничное
множество позиционных систем. Например для десятичной системы основание равно 10.

Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.

База системы — это последовательность цифр, используемых для записи числа. Ни в одной системе нет цифры, равной основанию системы.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.

Десятичная система счисления

Мы все привыкли при счете использовать цифры и числа, знакомые нам с детства. Один, два, три, четыре и т.д. В нашей повседневной системе счисления всего десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), из которых мы составляем любые числа. Дойдя до десятка, мы добавляем единицу к разряду левее и снова начинаем в самом правом разряде отсчитывать с нуля. Такая система счисления называется десятичной.

Не трудно догадаться, что выбрали её наши предки потому что количество палецев на обеих руках равно десяти. Но какие еще бывают системы счисления? Всегда ли использовали десятичную систему счисления или были и другие?

История возникновения систем счисления

До изобретения нуля для записи чисел применялись специальные знаки. У каждого народа они были своими. В Древнем Риме, например, господствовала непозиционная система счисления.

Систему счисления называют непозиционной, если значение цифры не зависит от занимаемого ею места. Наиболее совершенными системами счисления считались системы счисления, которые использовались на Руси и в Древней Греции.

В них большие числа обозначали буквами, но с добавлением дополнительных значков (1 – a, 100 –i и т.д.). Другой непозиционной системой счисления являлась система, которая использовалась в Древнем Вавилоне. В своей системе жители Вавилона использовали запись в «два этажа» и всего три знака: Единица в вавилонской системе счисления — для единицы, Десяток в вавилонской системе счисления — для десятка и Нуль в вавилонской системе счисления — для нуля.

Позиционные системы счисления

Шагом вперед стали позиционные системы. Сейчас повсеместно победила десятичная, но есть и другие системы, часто используемые в прикладных науках. Примером такой системы счисления может служить двоичная система счисления.
Двоичная система счисления

Именно на ней общаются компьютеры и вся электроника у вас дома. В этой системе счисления используются всего две цифры: 0 и 1. Вы спросите, почему было не научить компьютер считать до десяти, как человека? Ответ кроется на поверхности.

Научить машину различать два символа легко: включено – значит, 1, выключено – значит 0; есть ток – 1, нет тока – 0. Были попытки сделать машины, которые могли бы различать большее количество цифр. Но все они оказались ненадежными, компьютеры все время путали: то ли 1 к ним пришло, то ли 2.

Нас окружает множество различных систем счисления. Каждая из них полезна в своей области. И ответ на вопрос, какую и когда использовать, остается за нами.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

df-dt.com

Системы счисления

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра Экономической Информатики

Лабораторный практикум

Для студентов всех специальностей дневной формы обучения

Новосибирск 2007

Введение

Лабораторный практикум по теме «Системы счисления» предназначен для проведения практических занятий с целью получения основных понятий о том, как происходят вычислительные операции в ЭВМ.

В лабораторном практикуме содержатся основные определения о системах счисления, их видах и назначениях. Разбирается, как образуются целые числа в позиционных системах счисления. Приведены таблицы соответствия между числами в различных позиционных системах счисления. Даны правила перевода между системами счисления. Показано, как происходят операции сложения, вычитания, умножения и деления в позиционных системах счисления.

После разбора каждой темы студентам предлагается выполнить самостоятельную работу по вариантам (вариант соответствует номеру компьютера).

Защита лабораторной работы выполняется в виде индивидуального задания и ответа на контрольные вопросы.

Для ответов на контрольные вопросы необходимо прочитать соответствующую литературу.

Самостоятельные и индивидуальные работы выполняются аналогично разобранным примерам, т.е. содержат схемы перевода, вычислений и проверку1.

Индивидуальные задания оформляются средствами текстового процессора Word и содержат титульный лист, текст задания и решение.

Система счисления–это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам, с помощью символов некоторого алфавита.

Символы алфавита, который используется для записи чисел, называются цифрами.

Системы счисления разделяются на две большие группы:

  1. Непозиционные системы счисления

Самой распространенной из непозиционных систем счислении является

римская. Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для нумерации страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д.

В этой системе в качестве цифр используются некоторые буквы. В настоящее время римские цифры выглядят так:

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе XXX цифра X встречается трижды, и в каждом случае обозначает 10. Само число XXX означает 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность чисел.

Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется.

Например, 1998 = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1 + 1 = M CM XC V I I I

Подряд одна и та же цифра ставится не более 3-х раз. Например, если число 80 = LXXX, то 90 записывается как XC, а не LXXXX.

  1. Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления используются для счета.

В позиционных системах счисления величина числа зависит от позиции цифры в числе. Например, в десятичной системе счисления числа 58 и 85 не равны, хотя содержат одни и те же цифры.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, которые используются для изображения цифр в данной системе счисления.

Основание системы счисления

10

2

8

16

Цифры, используемые в системе счисления

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F

В принципе основанием системы счисления может быть любое натуральное число – два, три, четыре. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Закономерность построения позиционных чисел имеет математическое представление.

Введем обозначения:

q – основание системы счисления;

ai – любая цифра из множества цифр, принятых в данной системе счисления;

i – индекс, который обозначает номер разряда, занимаемого цифрой в числе,

где ai удовлетворяет неравенству

и принимает в этом диапазоне только целые значения.

Позицию для целых чисел обозначим номерами 1,2,…, n, а позиции в правильных дробях – номерами -1, -2,…, -m.

Тогда любое число А в произвольной позиционной системе счисления с основанием q можно записать следующим образом:

An = an-1q n-1 + an-2 q n-2 + … + a1q 1 + a0q 0 + a -1q -1 + … + a

– mq -m , (1)

где qi называется позиционным значением или весом i – го разряда.

Для десятичной системы счисления понятие веса разряда соответствует названиям позиций – единицы, десятки, сотни, десятые доли, сотые доли и т.д.

ПРИМЕР:

Для десятичной системы счисления

Разряды 3 2 1 0

Число 2 1 2 410 = 2 х 103 + 1 х 102 + 2 х 101 + 4 х 100

Для двоичной системы счисления

Разряды 3 2 1 0 -1

Число 1 0 0 1, 1 2 = 1 х 23 + 0 х 22 + 0 х 21 + 1 х 2 0 + 1 х 2-1

Для восьмеричной системы счисления

Разряды 3 2 1 0 -1 -2

Число 3 0 5 2, 4 1 8 = 3 х 83 + 0 х 82 + 5 х 81 + 2 х 8

0 + 4 х 8-1 +1 х 8-2

studfiles.net

Основание позиционной системы счисления - это... Что такое Основание позиционной системы счисления?


Основание позиционной системы счисления
Основание позиционной системы счисления
Основание позиционной системы счисления - в широком смысле - конечный набор знаков (цифр), для представления чисел.
Основание позиционной системы счисления - в узком смысле - количество знаков, используемых для записи чисел в той или иной позиционной системе счисления. Основание показывает, во сколько раз вес каждой цифры в записи числа меньше веса цифры, стоящей в старшем соседнем разряде.

См. также:  Позиционные системы счисления  

Финансовый словарь Финам.

.

  • Основа выборки
  • Основание совершения записи по счету депо

Смотреть что такое "Основание позиционной системы счисления" в других словарях:

  • основание (позиционной системы счисления) — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN base radix …   Справочник технического переводчика

  • ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ — Интуитивное представление о числе, по видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения… …   Энциклопедия Кольера

  • Нега-позиционные системы счисления — Нега позиционная система счисления это позиционная система счисления с отрицательным основанием. Особенностью таких систем является отсутствие знака перед отрицательными числами и, следовательно, отсутствие правил знаков. Всякое число любой из… …   Википедия

  • Позиционные системы счисления — Позиционная система счисления система счисления, в которой один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на… …   Википедия

  • Позиционная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… …   Википедия

  • Комбинированная система счисления — В комбинированных системах счисления для записи чисел используются две или более систем счисления с разными основаниями. В общем случае возможно бесконечное множество комбинированных систем счисления. В спаренных (сдвоенных, двойных) системах… …   Википедия

  • Нега-позиционная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… …   Википедия

  • Троичная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… …   Википедия

  • Система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… …   Википедия

  • Десятичная система счисления — Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… …   Википедия

dic.academic.ru

основание, примеры и перевод в другие системы счисления

С того момента, как человек впервые осознал себя автономным объектом в мире, огляделся вокруг, прервав замкнутый круг бездумного выживания, он начал изучать. Смотрел, сравнивал, считал, делал выводы. Именно на этих, казалось бы, элементарных действиях, которые сейчас под силу и ребенку, начали основываться современные науки.

С чем работать будем?

Для начала необходимо определиться с тем, что вообще представляет собой система счисления. Это условный принцип записи чисел, их наглядное представление, которое упрощает процесс познания. Сами по себе числа не существуют (да простит нас Пифагор, который считал число основой мироздания). Это просто абстрактный объект, что имеет физическое обоснование лишь при вычислениях, своеобразное мерило. Цифры - объекты, из которых число составляется.

Начало

Первый осознанный счет носил самый примитивный характер. Теперь его принято называть непозиционной системой счисления. На практике она представляет собой число, в которых позиция составляющих его элементов неважна. Взять, к примеру, обыкновенные черточки, каждая из которых соответствует определенному объекту: три человека эквивалентны |||. Как ни крути, три черточки - это все те же три черточки. Если брать более близкие примеры, то древние новгородцы пользовались при счете славянским алфавитом. При необходимости выделения именно числа над буквой просто проставляли знак ~. Также буквенная система счисления была в почете у древних римлян, где числа – это опять же буквы, но принадлежащие уже латинскому алфавиту.

В силу обособленности древних держав, каждая из них развивала науку самостоятельно, кто во что горазд. Примечателен тот факт, что альтернативная десятичная система счисления была выведена еще египтянами. Однако "родственницей" привычного нам понятия считать ее нельзя, так как принцип счета отличался: жители Египта использовали число десять как основание, оперируя степенями.

С развитием и усложнением процесса познания мира появилась потребность выделения разрядов. Представим, что нужно как-то зафиксировать численность армии государства, которая измеряется тысячами (в лучшем случае). Что ж теперь, бесконечно выписывать палочки? Из-за этого шумерские ученые тех лет выделили систему счисления, в которой месторасположение символа было обусловлено его разрядом. Опять же, пример: числа 789 и 987 имеют один и тот же "состав", но, в силу смены расположения цифр, второе существенно больше.

Что это такое - десятичная система счисления? Обоснование

Конечно, позиционность и закономерность были не едиными для всех методов подсчета. Например, в Вавилоне базой выступало число 60, в Греции - алфавитная система (число составляли буквы). Примечательно то, что метод подсчета жителей Вавилона жив и по сей день - он нашел свое место в астрономии.

Однако прижилась и распространилась та, у которой основание системы счисления - десятка, так как прослеживается откровенная параллель с пальцами человеческих рук. Посудите сами - поочередно сгибая пальцы, можно досчитаться чуть ли не до бесконечного множества.

Начало этой системе было положено в Индии, причем она появилась сразу на базе «10». Формирование названий чисел было двояким – например, 18 можно было прописать словом и как «восемнадцать», и как «без двух двадцать». Также именно индийские ученые вывели такое понятие, как «ноль», официально его появление зафиксировано в IX веке. Именно этот шаг стал основополагающим в формировании классических позиционных систем счисления, потому что ноль, несмотря на то, что символизирует пустоту, ничто, способен поддержать разрядность числа, дабы оно не потеряло свой смысл. Например: 100000 и 1. Первое число включает в себя 6 цифр, первая из которых – единица, а пять последних обозначают пустоту, отсутствие, а второе число – просто единица. По логике, они должны быть равны, но на практике это далеко не так. Нули в 100000 обозначают присутствие тех разрядов, которых во втором числе нет. Вот вам и «ничто».

Современность

Десятичная система счисления состоит из цифр от нуля до девяти. Числа, составленные в её рамках, строятся по следующему принципу:

крайняя справа цифра обозначает единицы, сместитесь на один шаг влево – получите десятки, еще шаг влево – сотни и так далее. Сложно? Ничего подобного! На самом деле, десятичная система примеры может предоставить весьма наглядные, взять хотя бы число 666. Состоит из трех цифр 6, каждая из которых обозначает свой разряд. Причем эта форма записи является свернутой. Если вы хотите подчеркнуть, о каком именно числе идет речь, то его можно развернуть, придав письменную форму тому, что «проговаривает» ваш внутренний голос каждый раз, когда вы видите число – «шестьсот шестьдесят шесть». Само написание включает в себя все те же единицы, десятки и сотни, то есть каждая цифра позиции умножается на определенную степень числа 10. Развернутая форма представляет собой следующее выражение:

66610 = 6х102 + 6*101 + 6*100 = 600 + 60 + 6.

Актуальные альтернативы

Второй по популярности после десятичной системы счисления является достаточно молодая разновидность - двоичная (бинарная). Появилась она благодаря вездесущему Лейбницу, который считал, что в особо сложных случаях в исследовании теории чисел бинарность будет удобнее, нежели десятизначность. Свое повсеместное распространение она получила с развитием цифровых технологий, так как имеет в основании число 2, и элементы в ней составляются из цифр 1 и 2. Кодирование информации происходит в данной системе, так как 1 - наличие сигнала, 0 - его отсутствие. На основании этого принципа можно показать несколько наглядных примеров, демонстрирующих перевод в десятичную систему счисления.

С течением времени процессы, связанные с программированием, усложнялись, поэтому ввели способы записи чисел, у которых в основании лежат 8 и 16. Почему именно они? Во-первых, количество знаков больше, а значит, само число будет короче, во-вторых - в их основе лежит степень двойки. Восьмеричная система состоит из цифр 0-7, а шестнадцатеричная - из тех же цифр, что и десятичная, плюс буквы от A до F.

Принципы и методы перевода числа

Перевести в десятичную систему счисления просто, достаточно придерживаться следующего принципа: исходное число записывается как многочлен, который состоит из сумм произведений каждого числа на основу "2", возведенную в соответствующую разрядности степень.

Основная формула для вычисления:

x2 = yk2k-1 + yk-12k-2 + yk-22k-3 + ...+ y221 + y120.

Примеры перевода

Для закрепления рассмотрим несколько выражений:

1011112 = (1x25) + (0x24) + (1x23) + (1x22) + (1x21) + (1x20) = 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 4710.

Усложним задачу, ибо система включает в себя перевод и дробных чисел, для этого рассмотрим отдельно целую и отдельно дробную часть - 111110,112. Итак:

111110,112 = (1x25) + (1x24) + (1x23) + (1x22) + (1x21) + (0x20) = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 6210;

112 = 2-1x1 + 2-2x1 = 1/2 + 1/4 = 0,7510.

В итоге получаем, что 111110,112 = 62,7510.

Вывод

Несмотря на всю «древность», десятичная система счисления, примеры которой мы рассмотрели выше, все еще «на коне», и списывать ее со счетов не стоит. Именно она становится математической основой в школе, на ее примере познаются законы математической логики, выводится умение строить выверенные взаимосвязи. Да что уж там - практически весь мир пользуется именно этой системой, не смущаясь ее неактуальностью. Причина для этого одна: она удобная. В принципе, вывести основу счета можно любую, ею при необходимости станет даже яблоко, но зачем усложнять? Идеально выверенное количество цифр при необходимости и по пальцам пересчитать можно.

fb.ru

Задача №16. Разбор различных типов задач.


Автор - Лада Борисовна Есакова.

Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.

Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.

Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.

Например, . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = ).

Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.

Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:

Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.

Например, .

1. Поиск основания системы счисления

Пример 1.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда .Т.е. x = 9.

Ответ: 9

Пример 2.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.

Ответ: 3

Пример 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Решение:

Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,

Ответ: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение:

Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).

Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.

Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит

Ответ: 4, 68

2. Поиск чисел по условиям

Пример 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Решение:

Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.

. Т.е. нам нужно найти все числа, не больше , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа и . Переводим их в десятичную систему счисления:

Ответ: 5, 21

3. Решение уравнений

Пример 6

Решите уравнение:

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Решение:

Переведем все числа в десятичную систему счисления:

Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. (т.к. основание системы не может быть отрицательным). .

Ответ: 20

4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения

Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:

При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.

При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.

Пример 7

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: ?

Решение:

Представим все числа выражения, как степени двойки:

В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя и , получим число, содержащее 2 единицы:

Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.

Теперь прибавляем к получившемуся числу 1:

Видим, что у результата 2013+1+1=2015 единиц.

Ответ: 2015.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

система счисления. Виды систем счисления

В курсе информатики, вне зависимости, школьном или университетском, особое место уделяется такому понятию как системы счисления. Как правило, на него выделяют несколько уроков или практических занятий. Основная цель - не только усвоить основные понятия темы, изучить виды систем счисления, но и познакомиться с двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной арифметикой.

Что это значит?

Начнем с определения основного понятия. Как отмечает учебник "Информатика", система счисления - это система записи чисел, в которой используется специальный алфавит или определенный набор цифр.

В зависимости от того, меняется ли значение цифры от ее положения в числе, выделяют две: позиционную и непозиционную системы счисления.

В позиционных системах значение цифры меняется вместе с ее положением в числе. Так, если взять число 234, то цифра 4 в ней означает единицы, если же рассмотреть число 243, то тут она будет уже означать десятки, а не единицы.

В непозиционных системах значение цифры статично, вне зависимости от ее положения в числе. Наиболее яркий пример – палочковая система, где каждая единица обозначается с помощью черточки. Неважно, куда вы припишите палочку, значение числа измениться лишь на единицу.

Непозиционные системы

К непозиционным системам счисления относятся:

  1. Единичная система, которая считается одной из первых. В ней вместо цифр использовались палочки. Чем их было больше, тем больше было значение числа. Встретить пример чисел, записанных таким образом, можно в фильмах, где речь идет о потерянных в море людях, заключенных, которые отмечают каждый день с помощью зарубок на камне или дереве.
  2. Римская, в которой вместо цифр использовались латинские буквы. Используя их, можно записать любое число. При этом его значение определялось с помощью суммы и разницы цифр, из которых состояло число. Если слева от цифры находилось меньшее число, то левая цифра вычиталась из правой, а если справа цифра была меньше или равна цифре слева, то их значения суммировались. Например, число 11 записывалось как XI, а 9 – IX.
  3. Буквенные, в которых числа обозначались с помощью алфавита того или иного языка. Одной из них считается славянская система, в которой ряд букв имел не только фонетическое, но и числовое значение.
  4. Вавилонская система счисления, в которой использовалось всего два обозначения для записи – клинья и стрелочки.
  5. В Египте тоже использовались специальные символы для обозначения чисел. При записи числа каждый символ мог использоваться не более девяти раз.

Позиционные системы

Большое внимание уделяется в информатике позиционным системам счисления. К ним относятся следующие:

  • двоичная;
  • восьмеричная;
  • десятичная;
  • шестнадцатеричная;
  • шестидесятеричная, используемая при счете времени (к примеру, в минуте - 60 секунд, в часе - 60 минут).

Каждая из них обладает своим алфавитом для записи, правилами перевода и выполнения арифметических операций.

Десятичная система

Данная система является для нас наиболее привычной. В ней используются цифры от 0 до 9 для записи чисел. Они также носят название арабских. В зависимости от положения цифры в числе, она может обозначать разные разряды – единицы, десятки, сотни, тысячи или миллионы. Ее мы пользуемся повсеместно, знаем основные правила, по которым производятся арифметические операции над числами.

Двоичная система

Одна из основных систем счисления в информатике – двоичная. Ее простота позволяет компьютеру производить громоздкие вычисления в несколько раз быстрее, нежели в десятичной системе.

Для записи чисел используется лишь две цифры – 0 и 1. При этом, в зависимости от положения 0 или 1 в числе, его значение будет меняться.

Изначально именно с помощью двоичного кода компьютеры получали всю необходимую информацию. При этом, единица означала наличие сигнала, передаваемого с помощью напряжения, а ноль – его отсутствие.

Восьмеричная система

Еще одна известная компьютерная система счисления, в которой применяются цифры от 0 до 7. Применялась в основном в тех областях знаний, которые связаны с цифровыми устройствами. Но в последнее время она употребляется значительно реже, так как на смену ей пришла шестнадцатеричная система счисления.

Двоично-десятичная система

Представление больших чисел в двоичной системе для человека – процесс довольно сложный. Для его упрощения была разработана двоично-десятичная система счисления. Используется она обычно в электронных часах, калькуляторах. В данной системе из десятичной системы в двоичную преобразуется не все число, а каждая цифра переводится в соответствующий ей набор нулей и единиц в двоичной системе. Аналогично происходит и перевод из двоичной системы в десятичную. Каждая цифра, представленная в виде четырехзначного набора нулей и единиц, переводится в цифру десятичной системы счисления. В принципе, нет ничего сложного.

Для работы с числам в данном случае пригодится таблица систем счисления, в которой будет указано соответствие между цифрами и их двоичным кодом.

Шестнадцатеричная система

В последнее время все большую популярность приобретает в программировании и информатике система счисления шестнадцатеричная. В ней используются не только цифры от 0 до 9, но и ряд латинских букв – A, B, C, D, E, F.

При этом, каждая из букв имеет свое значение, так A=10, B=11, C=12 и так далее. Каждое число представляется в виде набора из четырех знаков: 001F.

Перевод чисел: из десятичной в двоичную

Перевод в системах счисления чисел происходит по определенным правилам. Наиболее часто встречается перевод из двоичной в десятичную систему и наоборот.

Для того, чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, необходимо последовательно делить его на основание системы счисления, то есть, число два. При этом, остаток от каждого деления необходимо фиксировать. Так будет происходить до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше или равен единице. Проводить вычисления лучше всего в столбик. Затем полученные остатки от деления записываются в строку в обратном порядке.

Например, переведем число 9 в двоичную систему:

Делим 9, так как число не делится нацело, то берем число 8, остаток будет 9 – 1 = 1.

После деления 8 на 2 получаем 4. Снова делим его, так как число делится нацело – получаем в остатке 4 – 4 = 0.

Проводим ту же операцию с 2. В остатке получаем 0.

В итоге деления у нас получается 1.

Далее записываем все полученные нами остатки в обратном порядке, начиная с итога деления: 1001.

Вне зависимости от итоговой системы счисления, перевод чисел из десятичной в любую другую будет происходить по принципу деления числа на основу позиционной системы.

Перевод чисел: из двоичной в десятичную

Довольно легко переводить числа и в десятичную систему счисления из двоичной. Для этого достаточно знать правила возведения чисел в степень. В данном случае, в степень двойки.

Алгоритм перевода следующий: каждую цифру из кода двоичного числа необходимо умножить на двойку, причем, первая двойка будет в степени m-1, вторая – m-2 и так далее, где m – количество цифр в коде. Затем сложить результаты сложения, получив целое число.

Для школьников этот алгоритм можно объяснить проще:

Для начала берем и записываем каждую цифру, умноженную на двойку, затем проставляем степень двойки с конца, начиная с нуля. Потом складываем полученное число.

Для примера разберем с вами полученное ранее число 1001, переведя его в десятичную систему, и заодно проверим правильность наших вычислений.

Выглядеть это будет следующим образом:

1*23 + 0*22+0*21+1*20= 8+0+0+1 =9.

При изучении данной темы удобно использовать таблицу со степенями двойки. Это существенно уменьшит количество времени, необходимое для проведения вычислений.

Другие варианты перевода

В некоторых случаях перевод может осуществляться между двоичной и восьмеричной системой счисления, двоичной и шестнадцатеричной. В таком случае можно пользоваться специальными таблицами или же запустить на компьютере приложение калькулятор, выбрав во вкладке вид вариант «Программист».

Арифметические операции

Вне зависимости от того, в каком виде представлено число, с ним можно проводить привычные для нас вычисления. Это может быть деление и умножение, вычитание и сложение в системе счисления, которую вы выбрали. Конечно, для каждой из них действуют свои правила.

Так для двоичной системы разработаны свои таблицы для каждой из операций. Такие же таблицы используются и в других позиционных системах.

Заучивать их необязательно – достаточно просто распечатать и иметь под рукой. Также можно воспользоваться калькулятором на ПК.

Одна из важнейших тем в информатике – система счисления. Знание этой темы, понимание алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую – залог того, что вы сможете разобраться в более сложных темах, таких как алгоритмизация и программирование и сможете самостоятельно написать свою первую программу.

fb.ru

1.3. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. - Основы информатики

1.3.1.ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Все фантастические возможности вычислительной техники (ВТ) реализуются путем создания разнообразных комбинаций сигналов высокого и низкого уровней, которые условились называть «единицами» и «нулями».

Система счисления(СС) - это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.CС называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе. Десятичная СС является позиционной: 999.Римская СС является непозиционной. Значение цифры Х в числе ХХІ остается неизменным при вариации ее положения в числе.Количество различных цифр, употребляемых в позиционной СС, называется основанием СС.

Развернутая форма числа - это запись, которая представляют собой сумму произведений цифр числа на значение позиций.

Например: 8527=8*103+5*102+2*101+7*100

Развернутая форма записи чисел произвольной системы счисления имеет вид

, где

X - число;
a - основа системыисчисления;
i - индекс;
m - количество разрядов числа дробной части;
n - количество разрядов числа целой части.

Например: 327.46 n=3, m=2, q=10

Если основание используемой СС больше десяти, то для цифр вводят условное обозначение со скобкой вверху или буквенное обозначение.

Например: если 10=А, а 11=В, то число 7А.5В12 можно расписать так:

7А.5В12 = В·12-2 + 5 ·2-1 +А ·120 + 7 ·121.

В шестнадцатеричной СС основа - это цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 с соответствующими обозначениями 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Примеры чисел: 17D.ECH, F12AH.

ДвоичнаяСС- это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2.

Двоичный код числа - запись этого числа в двоичной системе счисления. Например,

0=02
1=12
2=102
3=112
7=1112
120=11110002.

В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Для обозначения используемой СС число снабжают верхним или нижним индексом, в котором записывают основание СС. Другой способ – использование латинских букв после записи числа:

D – десятичная СС
В – двоичная СС
О – восьмеричная СС
Н – 16-ричная СС.

Несмотря на то, что 10-тичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных элементах, т.к. реализовать элементы с 10 четко различимыми состояниями сложно. Историческое развитие ВТ сложилось таким образом, что ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств: триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т.д.

16-ричная и 8-ричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов – команд, данных, адресов и операндов.

Задача перевода из одной СС в другую часто встречается при программировании, особенно, на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, Си, HTML требуют задания параметров в 16-ричной СС. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с 16-ричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ невозможно без представлений о двоичной СС.

В таблице приведены некоторые числа, представленные в различных СС.

Двоичные
числа

Восьмеричные
числа

Десятичные
числа

Шестнадцатеричные
числа

0

0

0

0

1

1

1

1

10

2

2

2

11

3

3

3

100

4

4

4

101

5

5

5

110

6

6

6

111

7

7

7

1000

10

8

8

1001

11

9

9

1010

12

10

A

1011

13

11

B

1100

14

12

C

1101

15

13

D

1110

16

14

E

1111

17

15

F

1.3.2. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СС В ДЕСЯТИЧНУЮ И ОБРАТНО.

Перевод чисел из произвольной системы в десятичную. Для перевода числа из любой позиционной СС в десятичную необходимо использовать развернутую форму числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения соответствующими цифрами. Например:

11012=1*23+1*22+0*21+1*20=1310

17D.ECH=12·16-2 + 14·16-1 +13·160 + 7·161 + 1·162=381.921875

Перевод чисел из десятичной СС в заданную.

1) Для преобразования целых чисел десятичной системы счисления в число любой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание СС, пока не получат нуль. Числа, которые возникают как остаток от деления на основание СС, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной СС от младшего разряда к старшему. Поэтому для записи самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Например:

Читая остатки от деления снизу вверх, получим 111011011.

Проверка:

1*28+1*27+1*26+0*25+1*24+1*23+0*2 2+1*21+1*20=1+2+8+16+64+128+256=47510.

2) Для преобразования десятичных дробей десятичной СС в число любой СС последовательно выполняют умножение на основание системы счисления , пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Полученные целые части являются разрядами числа в новой системе, и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления. Целые части в дальнейшем отбрасываются.

Например: перевести число 0.375 10 в двоичную СС.

Полученный результат - 0.0112.

Необходимо отметить, что не каждое число может быть точно выражено в новой системе счисления, поэтому иногда вычисляют только требуемое количество разрядов дробной части, округляя последний разряд.

1.3.3. ПЕРЕВОД МЕЖДУ ОСНОВАНИЯМИ, СОСТАВЛЯЮЩИМИ СТЕПЕНЬ 2.

Для того, чтобы из восьмеричной системы счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.

Например:

1234.7778 = 001 010 011 100.111 111 1112 = 1 010 011 100.111 111 1112

12345678 = 001 010 011 100 101 110 1112 = 1 010 011 100 101 110 1112

Обратный перевод: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой, при этом, если необходимо, число выравнивается путем дописывания нулей перед целой частью или после дробной.

Например:

11001112 = 001 100 1112 = 1478

11.10012 = 011.100 1002 = 3.448

110.01112 = 110.011 1002 = 6.348

При переводах между двоичной и шестнадцатеричной СС используются четверки цифр. При необходимости выравнивание выполняется до длины двоичного числа, кратной четырем.

Например:

1234.AB7716 = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 01112 =1 0010 0011 0100.1010 1011 0111 01112

CE456716 = 1100 1110 0100 0101 0110 01112

0.1234AA16 = 0.0001 0010 0011 0100 1010 10102

11001112 = 0110 01112 = 6716

11.10012 = 0011.10012 = 3.916

110.01110012 = 0110.0111 00102 = 65.7216

При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное счисление и обратно используется вспомогательный двоичный код числа.

Например:

12345678 = 001 010 011 100 101 110 1112 = 0101 0011 1001 0111 01112 = 5397716

0.120348 = 0.001 010 000 011 1002 = 0.0010 1000 0011 10002 = 0.283816

120.348 = 001 010 000. 011 1002 = 0101 0000.0111 00002 = 50.716

1234.AB7716 = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 01112 =

= 001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 1002 = 11064.5267348

CE456716 = 1100 1110 0100 0101 0110 01112 = 110 011 100 100 010 101 100 1112 = 634425478

0.1234AA16 =0.0001 0010 0011 0100 1010 10102 =0.000 100 100 011 010 010 101 0102 =0.044322528

computer-lectures.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о