Системы счисления Основные определения
Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.
Каждое число изображается в виде последовательности цифр, а для изображения каждой цифры используется какой-либо физический элемент, который может находиться в одном из нескольких устойчивых состояний.
Для проведения расчетов в повседневной жизни общепринятой является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используются только десять различных знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры введены для обозначения десяти последовательных целых чисел от 0 до 9. Обозначая число «ДЕСЯТЬ», мы используем уже имеющиеся цифры «10». При этом значение каждой из цифр поставлено в зависимость от того места (позиции), где она стоит в изображении числа. Такая система счисления называется
Так, число 252,2 можно записать в виде выражения
.
Аналогично десятичная запись произвольного числа x в виде последовательности цифр
основана на представлении этого числа в виде полинома
,
где . При этом запятая, отделяющая целую часть от дробной и является, по существу, началом отсчета.
Число P единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называется основанием системы счисления, а сама система счисления называется P-ичной. Так, в десятичной системе счисления основанием системы является число 10. Для записи произвольного числа в P-ичной системе счисления достаточно иметь P различных цифр. Цифры, служащие для обозначения чисел в заданной системе счисления называются базисными.
Запись произвольного числа x в позиционной системе счисления с основанием P в виде полинома
.
Каждый коэффициент данной записи может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой. Числа вP-ичной системе счисления записываются в виде перечисления всех коэффициентов полинома с указанием положения запятой:
В качестве базисных чисел обычно берутся числа от 0 до P-1 включительно. Для указания того, в какой системе счисления записано число, основание системы указывается в виде нижнего индекса в десятичной записи, например
12,438.
Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Двоичная система счисления
Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления. Это обусловлено тем, что любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры соответственно: 0 и 1. Тогда произвольное число
или .
Ниже представлена таблица чисел в двоичной системе счисления
110 | 12 | 910 | 10012 | |
210 | 102 | 1010 | 10102 | |
310 | 112 | 1110 | 10112 | |
410 | 1002 | 1210 | 11002 | |
510 | 1012 | 1310 | 11012 | |
610 | 1102 | 1410 | 11102 | |
710 | 1112 | 1510 | 11112 | |
810 | 10002 | 1610 | 100002 |
Шестнадцатеричная система счисления
В шестнадцатеричной системе счисления базисными числами являются числа от нуля до пятнадцати включительно. Поэтому для обозначения базисных чисел одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:
1010 = A16 1210 = C16 1410 = E16
1110 = B16 1310 = D16 1510 = F16.
Например, число 17510 в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF16. Действительно,
.
studfiles.net
Лекция 3 Системы счисления
3.1.
Основные понятия систем счисления
3.2. Виды систем счисления
3.3. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую
3.4. Иллюстрированный вспомогательный материал
3.5. Тестирование
3.6. Контрольные вопросы
Разные народы в разные времена использовали разные системы счисления. Следы древних систем счета встречаются и сегодня в культуре многих народов. К древнему Вавилону восходит деление часа на 60 минут и угла на 360 градусов. К Древнему Риму — традиция записывать в римской записи числа I, II, III и т. д. К англосаксам — счет дюжинами: в году 12 месяцев, в футе 12 дюймов, сутки делятся на 2 периода по 12 часов.
По современным данным, развитые системы нумерации впервые появились в древнем Египте. Для записи чисел египтяне применяли иероглифы один, десять, сто, тысяча и т.д. Все остальные числа записывались с помощью этих иероглифов и операции сложения. Недостатки этой системы — невозможность записи больших чисел и громоздкость.
В конце концов, самой популярной системой счисления оказалась десятичная система. Десятичная система счисления пришла из Индии, где она появилась не позднее VI в. н. э. В ней всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 но информацию несет не только цифра, но также и место позиция, на которой она стоит. В числе 444 три одинаковых цифры обозначают количество и единиц, и десятков, и сотен. А вот в числе 400 первая цифра обозначает число сотен, два 0 сами по себе вклад в число не дают, а нужны лишь для указания позиции цифры 4.
3.1. Основные понятия систем счисления
Система счисления — это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ;;и т. д.
Различают два типа систем счисления:
позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;
непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.
Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д.
Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.
Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:
где S — основание системы счисления;
— цифры числа, записанного в данной системе счисления;
n — количество разрядов числа.
Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом:
3.2. Виды систем счисления
Римская система счисленияявляется непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква — V пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.
Таблица 2. Запись чисел в римской системе счисления
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
I | II | III | IV | V |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
VI | VII | VIII | IX | X |
11 | 13 | 18 | 19 | 22 |
XI | XIII | XVIII | XIX | XXII |
34 | 39 | 40 | 60 | 99 |
XXXIV | XXXIX | XL | LX | XCIX |
200 | 438 | 649 | 999 | 1207 |
CC | CDXXXVIII | DCXLIX | CMXCIX | MCCVII |
2045 | 3555 | 3678 | 3900 | 3999 |
MMXLV | MMMDLV | MMMDCLXXVIII | MMMCM | MMMCMXCIX |
Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.
Десятичня система счисления– в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.
Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.
Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке — наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.
Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.
В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII — ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.
Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы — триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.
С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки — точки и тире, может передать практически любой текст.
Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.
Таблица 3. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления
Десятичная | Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
1 | 001 | 1 | 1 |
2 | 010 | 2 | 2 |
3 | 011 | 3 | 3 |
4 | 100 | 4 | 4 |
5 | 101 | 5 | 5 |
6 | 110 | 6 | 6 |
7 | 111 | 7 | 7 |
8 | 1000 | 10 | 8 |
9 | 1001 | 11 | 9 |
10 | 1010 | 12 | A |
11 | 1011 | 13 | B |
12 | 1100 | 14 | C |
13 | 1101 | 15 | D |
14 | 1110 | 16 | E |
15 | 1111 | 17 | F |
16 | 10000 | 20 | 10 |
studfiles.net
Информатика online: Системы счисления: основные определения
Тема «Системы счисления» рассматривается в школе в 6 классе для тех, кто занимается по УМК Босовой, рассчитанному на 5-7 класс; возвраты к ней осуществляются в старшей школе, и для тех, у кого информатика началась в 7 классе, 10 класс становится первой встречей с этой темой — в пределах курса информатики.Отмечу, что меняется не принцип заданий, но их сложность. Одним из самых сложных моментов понимания не сложной в принципе темы является необходимость вспоминать начальную школу: арифметические действия в столбик, дошедшие до автоматизма и утерявшие осознанность.
Итак,
Основные определения
Система счисления (СС) — способ записи числа с помощью письменных знаков (цифр).
Обращаю ваше внимание на то, что понятие цифр включает, помимо привычных нам арабских, любые знаки, используемые для записи числа: в римской и шестнадцатеричной системах в роли цифр выступают различные буквы латинского алфавита, в славянской буквенной — отмеченные определённым символом знаки кириллицы etc.
СС имеет даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных).
СС даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление).
Основание системы счисления — количество цифр, используемых для записи числа.
Основание СС указывает на количество единиц младшего разряда, образующих одну единицу старшего.
Так, десятичная СС состоит из 10 цифр: 0 … 9.
Возьмём наименьшую из цифр — это нуль — и будем последовательно прибавлять по единице:
0+1=1; 1+1=2; 2+1=3; … 8+1=9; 9+1=10 — 9 — последняя из цифр, при очередном сложении мы получаем 0, и 1 переходит в старший разряд.
Для восьмеричной системы, состоящей из 8 цифр: 0 … 7.
Вес цифры — количественное значение, которое вносит цифра в число.
Разряд — позиция цифры в записи числа.
Пример: число 6437 имеет 7 в первом разряде, 3 во втором, 4 в третьем, 6 в четвёртом.
Если в СС вес цифры зависит от разряда, то такую СС называют позиционной, если не зависит, то такая СС называется непозиционной.
Пример: привычная нам десятичная система является позиционной; римская — непозиционной.
inf-95.blogspot.com
Задания на определение значений в различных системах счисления и их оснований
Задание 1. Для кодирования символов @, $, &, % используются двухразрядные последовательные двоичные числа. Первому символу соответствует число 00. С помощью данных символов была закодирована такая последовательность: $%&&@$. Декодируйте данную последовательность и переведите результат в шестнадцатеричную систему счисления.
Решение.
1. Сопоставим двоичные числа кодируемым ими символам:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %
2. Декодируем заданную последовательность:
$%&&@$ = 01 11 10 10 00 01
3. Переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления:
0111 1010 0001 = 7A1
Ответ. 7A116.
Задание 2. В саду 100x фруктовых деревьев, из которых 33x – яблони, 22x – груши, 16x – сливы, 17x — вишни. Чему равно основание системы счисления (x).
Решение.
1. Заметим, что все слагаемые – двузначные числа. В любой системе счисления их можно представить так:
a * x1 + b * x0 = ax + b, где a и b – это цифры соответствующих разрядов числа.
Для трехзначного числа будет так:
a * x2 + b * x1 + c * x0 = ax2 + bx + c
2. Условие задачи таково:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Подставим числа в формулы:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x2 + 0x + 0
7x + 18 = x2
3. Решим квадратное уравнение:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 72 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Квадратный корень из D равен 11.
Корни квадратного уравнения:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 — 11) / (2 * (-1)) = 9
4. Отрицательное число не может быть основанием системы счисления. Поэтому x может быть равен только 9.
Ответ. Искомое основание системы счисления равно 9.
Задание 3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается как 110. Найдите это основание.
Решение.
Сначала распишем число 110 через формулу записи чисел в позиционных системах счисления для нахождения значения в десятичной системе счисления, а затем найдем основание методом перебора.
110 = 1 * x2 + 1 * x1 + 0 * x0 = x2 + x
Нам надо получить 12. Пробуем 2: 22 + 2 = 6. Пробуем 3: 32 + 3 = 12.
Значит основание системы счисления равно 3.
Ответ. Искомое основание системы счисления равно 3.
inf1.info
Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение – как решать
Формулировка задания: Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение.
Задание входит в ЕГЭ по информатике для 11 класса под номером 16 (Кодирование чисел. Системы счисления).
Рассмотрим, как решаются подобные задания на примере.
Пример задания:
Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201.
Решение 1:
Для удобства запишем сложение в столбик:
Стоит отметить, что система счисления не может быть меньше или равна 4, иначе цифры 4 в ней не будет. Значит, нужно начинать перебор с 5.
При сложении разряда единиц в результате получается меньшее число. Значит, было переполнение разряда:
4 + 4 = 11x
810 = 11x = 1 ⋅ x + 1
x + 1 = 8
x = 7
Можно предположить, что основание системы счисления равно 7. Убедимся в этом:
4 + 4 = 117 => 1
4 + 2 + 1 = 107 => 0
1 + 0 + 1 = 27 => 2
Решение 2:
Возьмем основание системы счисления за x и переведем каждое число в десятичную систему:
144x = x2 + 4x + 4
24x = 2x + 4
201x = 2x2 + 1
Подставим числа в равенство и найдем, чему равен x:
x2 + 4x + 4 + 2x + 4 = 2x2 + 1
x2 – 6x – 7 = 0
a = 1, b = -6, c = -7
D = (-6)² — 4 ⋅ 1 ⋅ (-7) = 36 + 28 = 64
D > 0 => имеется 2 различных корня
x1 = (6 + 8) / 2 = 7
x2 = (6 – 8) / 2 = -1
В качестве основания системы счисления подойдет только 7, так как второй корень отрицательный. Таким образом, основание системы счисления равно 7.
Ответ: 7
Поделитесь статьей с одноклассниками «Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение – как решать».
При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.
worksbase.ru