Советы и лайфхаки

Определение основание системы счисления – . .

Системы счисления Основные определения

Системой счисления
называется совокупность приемов
наименования и записи чисел.

Каждое число
изображается в виде последовательности
цифр, а для изображения каждой цифры
используется какой-либо физический
элемент, который может находиться в
одном из нескольких устойчивых состояний.

Для проведения
расчетов в повседневной жизни общепринятой
является десятичная система счисления.
В этой системе для записи любых чисел
используются только десять различных
знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры
введены для обозначения десяти
последовательных целых чисел от 0 до 9.
Обозначая число «ДЕСЯТЬ», мы используем
уже имеющиеся цифры «10». При этом значение
каждой из цифр поставлено в зависимость
от того места (позиции), где она стоит в
изображении числа. Такая система
счисления называется позиционной.
При этом десять единиц каждого разряда
объединяются в одну единицу соседнего,
более старшего разряда.

Так, число 252,2 можно
записать в виде выражения

.

Аналогично
десятичная запись произвольного числа
x
в виде последовательности цифр

основана на
представлении этого числа в виде полинома

,

где
.
При этом запятая, отделяющая целую часть
от дробной и является, по существу,
началом отсчета.

Число P
единиц какого-либо разряда, объединяемых
в единицу более старшего разряда,
называется основанием
системы счисления, а сама система
счисления называется P-ичной.
Так, в десятичной системе счисления
основанием системы является число 10.
Для записи произвольного числа в P-ичной
системе счисления достаточно иметь P
различных цифр. Цифры, служащие для
обозначения чисел в заданной системе
счисления называются базисными.

Запись произвольного
числа x
в позиционной системе счисления с
основанием P
в виде полинома

.

Каждый коэффициент
данной записи может быть одним из
базисных чисел и изображается одной
цифрой. Числа вP-ичной
системе счисления записываются в виде
перечисления всех коэффициентов полинома
с указанием положения запятой:

В качестве базисных
чисел обычно берутся числа от 0 до P-1
включительно. Для указания того, в какой
системе счисления записано число,
основание системы указывается в виде
нижнего индекса в десятичной записи,
например

12,438.

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Двоичная система
счисления

Для представления
чисел в микропроцессоре используется
двоичная система счисления. Это
обусловлено тем, что любой цифровой
сигнал может иметь два устойчивых
состояния: «высокий уровень» и «низкий
уровень». В двоичной системе счисления
для изображения любого числа используются
две цифры соответственно: 0 и 1. Тогда
произвольное число x
запишется в виде

или .

Ниже представлена
таблица чисел в двоичной системе
счисления

110

12

910

10012

210

102

1010

10102

310

112

1110

10112

410

1002

1210

11002

510

1012

1310

11012

610

1102

1410

11102

710

1112

1510

11112

810

10002

1610

100002

Шестнадцатеричная
система счисления

В шестнадцатеричной
системе счисления базисными числами
являются числа от нуля до пятнадцати
включительно. Поэтому для обозначения
базисных чисел одним символом кроме
арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной
системе счисления используются буквы
латинского алфавита:

1010
= A16 1210
= C16 1410
= E16

1110
= B16 1310
= D16 1510
= F16.

Например, число
17510
в шестнадцатеричной системе счисления
запишется как AF16.
Действительно,

.

studfiles.net

Лекция 3 Системы счисления

 3.1.
Основные понятия систем счисления

 3.2.
Виды систем счисления

 3.3.
Правила перевода чисел из одной системы
счисления в другую

 3.4.
Иллюстрированный вспомогательный
материал

 3.5.
Тестирование

 3.6.
Контрольные вопросы

Разные народы в разные
времена использовали разные системы
счисления. Следы древних систем счета
встречаются и сегодня в культуре многих
народов. К древнему Вавилону восходит
деление часа на 60 минут и угла на 360
градусов. К Древнему Риму — традиция
записывать в римской записи числа I, II,
III и т. д. К англосаксам — счет дюжинами:
в году 12 месяцев, в футе 12 дюймов, сутки
делятся на 2 периода по 12 часов.

По современным данным,
развитые системы нумерации впервые
появились в древнем Египте. Для записи
чисел египтяне применяли иероглифы
один, десять, сто, тысяча и т.д. Все
остальные числа записывались с помощью
этих иероглифов и операции сложения.
Недостатки этой системы — невозможность
записи больших чисел и громоздкость.

В конце концов, самой
популярной системой счисления оказалась
десятичная система. Десятичная система
счисления пришла из Индии, где она
появилась не позднее VI в. н. э. В ней всего
10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 но информацию
несет не только цифра, но также и место
позиция, на которой она стоит. В числе
444 три одинаковых цифры обозначают
количество и единиц, и десятков, и сотен.
А вот в числе 400 первая цифра обозначает
число сотен, два 0 сами по себе вклад в
число не дают, а нужны лишь для указания
позиции цифры 4.

3.1. Основные понятия систем счисления

Система счисления
— это совокупность правил и приемов
записи чисел с помощью набора цифровых
знаков. Количество цифр, необходимых
для записи числа в системе, называют
основанием системы
счисления
. Основание
системы записывается в справа числа в
нижнем индексе:
;;и
т. д.

Различают два типа систем счисления:

позиционные, когда значение каждой
цифры числа определяется ее позицией
в записи числа;

непозиционные, когда значение цифры
в числе не зависит от ее места в записи
числа.

Примером непозиционной системы счисления
является римская: числа IX, IV, XV и т.д.

Примером позиционной
системы счисления является десятичная
система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе
можно записать в форме многочлена:

где S
основание системы счисления;


цифры числа, записанного в данной системе
счисления;

n — количество разрядов числа.

Пример. Число
запишется
в форме многочлена следующим образом:

3.2. Виды систем счисления

Римская система счисленияявляется
непозиционной системой. В ней для записи
чисел используются буквы латинского
алфавита. При этом буква I всегда означает
единицу, буква — V пять, X — десять, L —
пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысячу
и т.д. Например, число 264 записывается в
виде CCLXIV. При записи чисел в римской
системе счисления значением числа
является алгебраическая сумма цифр, в
него входящих. При этом цифры в записи
числа следуют, как правило, в порядке
убывания их значений, и не разрешается
записывать рядом более трех одинаковых
цифр. В том случае, когда за цифрой с
большим значением следует цифра с
меньшим, ее вклад в значение числа в
целом является отрицательным. Типичные
примеры, иллюстрирующие общие правила
записи чисел в римской система счисления,
приведены в таблице.

Таблица 2.
Запись чисел в римской
системе счисления

1

2

3

4

5

I

II

III

IV

V

6

7

8

9

10

VI

VII

VIII

IX

X

11

13

18

19

22

XI

XIII

XVIII

XIX

XXII

34

39

40

60

99

XXXIV

XXXIX

XL

LX

XCIX

200

438

649

999

1207

CC

CDXXXVIII

DCXLIX

CMXCIX

MCCVII

2045

3555

3678

3900

3999

MMXLV

MMMDLV

MMMDCLXXVIII

MMMCM

MMMCMXCIX

 

Недостатком римской системы
является отсутствие формальных правил
записи чисел и, соответственно,
арифметических действий с многозначными
числами. По причине неудобства и большой
сложности в настоящее время римская
система счисления используется там,
где это действительно удобно: в литературе
(нумерация глав), в оформлении документов
(серия паспорта, ценных бумаг и др.), в
декоративных целях на циферблате часов
и в ряде других случаев.

Десятичня система счисления– в
настоящее время наиболее известная и
используемая. Изобретение десятичной
системы счисления относится к главным
достижениям человеческой мысли. Без
нее вряд ли могла существовать, а тем
более возникнуть современная техника.
Причина, по которой десятичная система
счисления стала общепринятой, вовсе не
математическая. Люди привыкли считать
в десятичной системе счисления, потому
что у них по 10 пальцев на руках.

Древнее изображение
десятичных цифр (рис. 1) не случайно:
каждая цифра обозначает число по
количеству углов в ней. Например, 0 —
углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д.
Написание десятичных цифр претерпело
существенные изменения. Форма, которой
мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Десятичная система впервые
появилась в Индии примерно в VI веке
новой эры. Индийская нумерация использовала
девять числовых символов и нуль для
обозначения пустой позиции. В ранних
индийских рукописях, дошедших до нас,
числа записывались в обратном порядке
— наиболее значимая цифра ставилась
справа. Но вскоре стало правилом
располагать такую цифру с левой стороны.
Особое значение придавалось нулевому
символу, который вводился для позиционной
системы обозначений. Индийская нумерация,
включая нуль, дошла и до нашего времени.
В Европе индусские приёмы десятичной
арифметики получили распространение
в начале ХIII в. благодаря работам
итальянского математика Леонардо
Пизанского (Фибоначчи). Европейцы
заимствовали индийскую систему счисления
у арабов, назвав ее арабской. Это
исторически неправильное название
удерживается и поныне.

Десятичная система использует
десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также
символы “+” и “–” для обозначения
знака числа и запятую или точку для
разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах
используется двоичная
система счисления
,
её основание — число 2. Для записи чисел
в этой системе используют только две
цифры — 0 и 1. Вопреки распространенному
заблуждению, двоичная система счисления
была придумана не инженерами-конструкторами
ЭВМ, а математиками и философами задолго
до появления компьютеров, еще в ХVII — ХIХ
веках. Первое опубликованное обсуждение
двоичной системы счисления принадлежит
испанскому священнику Хуану Карамюэлю
Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к
этой системе привлекла статья немецкого
математика Готфрида Вильгельма Лейбница,
опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись
двоичные операции сложения, вычитания,
умножения и деления. Лейбниц не
рекомендовал использовать эту систему
для практических вычислений, но
подчёркивал её важность для теоретических
исследований. Со временем двоичная
система счисления становится хорошо
известной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для применения
в вычислительной технике объясняется
тем, что электронные элементы — триггеры,
из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут
находиться только в двух рабочих
состояниях.

С помощью двоичной системы кодирования
можно зафиксировать любые данные и
знания. Это легко понять, если вспомнить
принцип кодирования и передачи информации
с помощью азбуки Морзе. Телеграфист,
используя только два символа этой азбуки
— точки и тире, может передать практически
любой текст.

Двоичная система удобна
для компьютера, но неудобна для человека:
числа получаются длинными и их трудно
записывать и запоминать. Конечно, можно
перевести число в десятичную систему
и записывать в таком виде, а потом, когда
понадобится перевести обратно, но все
эти переводы трудоёмки. Поэтому
применяются системы счисления, родственные
двоичной — восьмеричная
и шестнадцатеричная
.
Для записи чисел в этих системах требуется
соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной
первые 10 цифр общие, а дальше используют
заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная
цифра A соответствует десятеричному
числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному
числу 11 и т. д. Использование этих систем
объясняется тем, что переход к записи
числа в любой из этих систем от его
двоичной записи очень прост. Ниже
приведена таблица соответствия чисел,
записанных в разных системах.

Таблица 3. Соответствие чисел, записанных
в различных системах счисления

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

1

001

1

1

2

010

2

2

3

011

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

studfiles.net

Информатика online: Системы счисления: основные определения

Тема «Системы счисления» рассматривается в школе в 6 классе для тех, кто занимается по УМК Босовой, рассчитанному на 5-7 класс; возвраты к ней осуществляются в старшей школе, и для тех, у кого информатика началась в 7 классе, 10 класс становится первой встречей с этой темой — в пределах курса информатики.
Отмечу, что меняется не принцип заданий, но их сложность. Одним из самых сложных моментов понимания не сложной в принципе темы является необходимость вспоминать начальную школу: арифметические действия в столбик, дошедшие до автоматизма и утерявшие осознанность.

Итак,
Основные определения

Система счисления (СС) — способ записи числа с помощью письменных знаков (цифр).
Обращаю ваше внимание на то, что понятие цифр включает, помимо привычных нам арабских, любые знаки, используемые для записи числа: в римской и шестнадцатеричной системах в роли цифр выступают различные буквы латинского алфавита, в славянской буквенной — отмеченные определённым символом знаки кириллицы etc.

СС имеет даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных).

СС даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление).

Основание системы счисления — количество цифр, используемых для записи числа.
Основание СС указывает на количество единиц младшего разряда, образующих одну единицу старшего.

Так, десятичная СС состоит из 10 цифр: 0 … 9.
Возьмём наименьшую из цифр — это нуль — и будем последовательно прибавлять по единице:
0+1=1; 1+1=2; 2+1=3; … 8+1=9; 9+1=109 — последняя из цифр, при очередном сложении мы получаем 0, и 1 переходит в старший разряд.

Для восьмеричной системы, состоящей из 8 цифр: 0 … 7.

Вес цифры — количественное значение, которое вносит цифра в число.
Разряд — позиция цифры в записи числа.

Пример: число 6437 имеет 7 в первом разряде, 3 во втором, 4 в третьем, 6 в четвёртом.

Если в СС вес цифры зависит от разряда, то такую СС называют позиционной, если не зависит, то такая СС называется непозиционной.

Пример: привычная нам десятичная система является позиционной; римская — непозиционной.

inf-95.blogspot.com

Задания на определение значений в различных системах счисления и их оснований

Задание 1. Для кодирования символов @, $, &, % используются двухразрядные последовательные двоичные числа. Первому символу соответствует число 00. С помощью данных символов была закодирована такая последовательность: $%&&@$. Декодируйте данную последовательность и переведите результат в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение.

1. Сопоставим двоичные числа кодируемым ими символам:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %

2. Декодируем заданную последовательность:
$%&&@$ = 01 11 10 10 00 01

3. Переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления:
0111 1010 0001 = 7A1

Ответ. 7A116.


Задание 2. В саду 100x фруктовых деревьев, из которых 33x – яблони, 22x – груши, 16x – сливы, 17x — вишни. Чему равно основание системы счисления (x).

Решение.

1. Заметим, что все слагаемые – двузначные числа. В любой системе счисления их можно представить так:
a * x1 + b * x0 = ax + b, где a и b – это цифры соответствующих разрядов числа.
Для трехзначного числа будет так:
a * x2 + b * x1 + c * x0 = ax2 + bx + c

2. Условие задачи таково:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Подставим числа в формулы:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. Решим квадратное уравнение:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 72 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Квадратный корень из D равен 11.
Корни квадратного уравнения:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 — 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Отрицательное число не может быть основанием системы счисления. Поэтому x может быть равен только 9.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 9.


Задание 3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается как 110. Найдите это основание.

Решение.

Сначала распишем число 110 через формулу записи чисел в позиционных системах счисления для нахождения значения в десятичной системе счисления, а затем найдем основание методом перебора.

110 = 1 * x2 + 1 * x1 + 0 * x0 = x2 + x

Нам надо получить 12. Пробуем 2: 22 + 2 = 6. Пробуем 3: 32 + 3 = 12.

Значит основание системы счисления равно 3.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 3.

inf1.info

Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение – как решать

Формулировка задания: Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение.

Задание входит в ЕГЭ по информатике для 11 класса под номером 16 (Кодирование чисел. Системы счисления).

Рассмотрим, как решаются подобные задания на примере.

Пример задания:

Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201.

Решение 1:

Для удобства запишем сложение в столбик:

Стоит отметить, что система счисления не может быть меньше или равна 4, иначе цифры 4 в ней не будет. Значит, нужно начинать перебор с 5.

При сложении разряда единиц в результате получается меньшее число. Значит, было переполнение разряда:

4 + 4 = 11x

810 = 11x = 1 ⋅ x + 1

x + 1 = 8

x = 7

Можно предположить, что основание системы счисления равно 7. Убедимся в этом:

4 + 4 = 117 => 1

4 + 2 + 1 = 107 => 0

1 + 0 + 1 = 27 => 2

Решение 2:

Возьмем основание системы счисления за x и переведем каждое число в десятичную систему:

144x = x2 + 4x + 4

24x = 2x + 4

201x = 2x2 + 1

Подставим числа в равенство и найдем, чему равен x:

x2 + 4x + 4 + 2x + 4 = 2x2 + 1

x2 – 6x – 7 = 0

a = 1, b = -6, c = -7

D = (-6)² — 4 ⋅ 1 ⋅ (-7) = 36 + 28 = 64

D > 0 => имеется 2 различных корня

x1 = (6 + 8) / 2 = 7

x2 = (6 – 8) / 2 = -1

В качестве основания системы счисления подойдет только 7, так как второй корень отрицательный. Таким образом, основание системы счисления равно 7.

Ответ: 7

Поделитесь статьей с одноклассниками «Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение – как решать».

При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.

worksbase.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о