Советы и лайфхаки

Как в маткаде упростить выражение – Урок 20. Преобразование выражений в Mathcad

Урок 20. Преобразование выражений в Mathcad

Преобразование выражений

Выражения в Mathcad часто имеют не тот вид, в котором Вы хотели бы их видеть. Поэтому в программе есть несколько инструментов, позволяющих преобразовывать выражения путем перестановки или замены.

Вырезать и вставить

Рассмотрим простой пример – разложение в ряд натурального логарифма в окрестности точки x=1:

Все слагаемые, кроме первых двух, кратны (x-1). По уравнению видно, что первые слагаемые тоже можно привести к такому виду. Самый простой путь сделать это – вырезать и вставить нужный фрагмент:

У такого способа есть недостаток – очень легко сделать ошибку: можно забыть скопировать знак «минус», или вставить не то выражение… Простой путь проверить, что ошибки нет – это присвоить переменной некоторое значение (лучше всего – неправильную дробь) и проверять значение выражения после каждого шага:

Если получен тот же результат, то можно быть уверенным, что ошибки нет. Однако, теперь Вы задали переменной x

значение. Если Вы хотите продолжить аналитические преобразования, нужно предварительно удалить присваивание, т.е. очистить переменную, с помощью функции clear:

Можно одним действием очистить сразу несколько переменных:

Ключевые слова для приведения к нужному виду

Mathcad может сделать кое-что сам для преобразования выражения с помощью ключевых слов:

  1. simplify”, “expand”, “factor” и “parfrac” – для преобразования самого выражения;
  2. float” – для преобразования результата вычисления;
  3. assume” (с модификаторами) – ограничивает диапазон возможных значений переменных.

Символьное вычисление

Начальная точка всех символьных вычислений – это операция аналитического преобразования. Эта операция приводит степени и множители, а также сокращает общие множители:

Эта операция также подставляет известные соотношения для переменных. Например, есть выражение:

Нужно заменить переменные выражениями:

Mathcad выдает сообщение, что переменные не определены, но для символьных операций это не имеет значения:

В результате получаем:

Для подстановки служит также ключевое слово “substitute”, но метод, описанный выше, более гибкий. Mathcad не может заменить выражение выражением, как в символьных математических пакетах, таких как Maple.

 

Упростить – “simplify”

С помощью ключевого слова simplify” можно упрощать тригонометрические выражения:

Также можно упрощать многие произведения:

(С помощью оператора аналитического преобразования так сделать нельзя.)

 

Раскрыть скобки – “expand”

Ключевое слово expand” раскладывает выражение путем перемножения элементов произведения и возведения их в степень:

Разложить на множители – “factor”

Это ключевое слово раскладывает на множители многочлены и дроби с многочленами:

factor” – обратное по отношению к “expand” действие. Однако результат этого действия не всегда полезен:

Разложение на дроби – “parfrac”

Это ключевое слово раскладывает выражение в сумму дробей:

Вычисление с плавающей запятой – “float”

Это ключевое слово выводит доступный числовой результат в десятичном формате. Количество отображаемых цифр – 20:

Такое количество может быть слишком большим, но его можно уменьшить с помощью дополнительного местозаполнителя с модификатром:

Предположить – “assume”

Ключевое слово assume” позволяет определить диапазон переменных. На простом примере показано символьное вычисление квадратного корня:

Вы можете сочетать “assume” с другими ключевыми словами, как мы это уже делали, когда искали действительные корни уравнения:

В этом примере важен порядок ключевых слов.

Другие ключевые слова

В меню Математика –> Символьные операции находится большое число ключевых слов и модификаторов. Одна группа, о которой следует упомянуть, – это прямые и обратные преобразования:

 


Резюме

В этом уроке мы познакомились со способами преобразования выражений для придания им более ясного, красивого и полезного вида.

  1. Первый способ подразумевает копирование (или помещение в буфер обмена) и вставку. Этот метод требует внимательности, поэтому лучше проверять промежуточные результаты с помощью проверочных значений.
  2. Оператор аналитического преобразования сам по себе может упрощать выражения. Если Вы определите некоторое выражение или константу для переменной до оператора, это определение будет использовано в преобразовании.
  3. Вы можете добавлять ключевые слова и модификаторы для символьных преобразований.
  4. Мы рассмотрели четыре ключевых слова для преобразования выражений:
  • simplify” – для упрощения тригонометрических выражений и выражений со степенями,
  • expand” – перемножает множители и возводит в степень,
  • factor” – раскладывает многочлен на множители,
  • parfrac” — раскладывает выражение в сумму дробей.
  1. Используйте float,3” для вывода численного результата с трем цифрами.
  2. Меняйте диапазон переменной для символьных вычислений с помощью ключевого слова assume и последующим модификатором, который содержит логическое выражение (можно использовать модификаторы “
    real
    ” и “integer”).

 

Другие интересные материалы

sapr-journal.ru

Символьные вычисления

Уравнение и системы уравнений в математическом пакете Mathcad  в символьном виде решаются с использованием специального оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например:

Аналогичные действия при решении уравнений в Mathcad можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню  Символика, Переменная, Разрешить. Например:

В случае, если необходимо упростить полученный результат, используется знак равенства [

=]. Например:

При решении некоторых уравнений, результат включает большое количество символов. Mathcad сохраняет его в буфере, а на дисплей выводитcя сообщение: “This array has more elements than can be displayed at one time. Try using the “submatrix” function” – “Этот массив содержит больше элементов, чем может быть отображено одновременно. Попытайтесь использовать функцию “submatrix””. В этом случае рекомендуется использовать численное решение. Или, в случае необходимости, символьное решение может быть выведено и отображено на дисплее.

Символьное решение может быть получено с использованием блока given … find. В этом случае при записи уравнения для связи его левой и правой части использует символ логического равенства “=” с панели инструментов Boolean, например:

Аналогичным способом решаются системы уравнений в символьном виде. Ниже приводятся примеры решения систем уравнений в символьном виде различными способами. При использовании оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства система уравнений должна быть задана в виде вектора, который вводится вместо левого маркера оператора

solve, а перечень переменных, относительно которых решается система, вместо правого маркера. Например:

Пример использования блока given…find для решения системы уравнений:

www.allmathcad.com

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по MathCAD. Символьные вычисления в документе Mathcad

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по MathCAD. Символьные вычисления в документе Mathcad

Этот сайт больше не обновляется. Подключите Javascript, чтобы увидеть новый адрес страницы или перейдите к статье

Символьные вычисления  в документе Mathcad

 

 

 

Команды, относящиеся к работе символьного процессора системы Mathcad, содержатся в меню “Символы”  (“Symbolics” - символьные вычисления).    

 Символьные вычисления можно осуществлять двумя способами:

q       с помощью команд пункта Символика строки меню;

 

q    с помощью оператора символьного  вывода  «→» и команд символьного процессора, которые вводятся с палитры инструментов “Символы”. По умолчанию символ  «→» выполняет функцию упрощения  (simplify), т.е. берет выражение с левой стороны и помещает его упрощенную версию с правой.

 

Оператор символьного вывода «→» вводится в документ после вычисляемого выражения  кнопкой с палитры инструментов Символы.

Для задания типа символьного вычисления (или символьного преобразования) используются специальные команды, кнопки которых также находятся на палитре.

Команды вводятся после вычисляемого выражения.

 

Символьное вычисление сумм, произведений, производных и     интегралов. Используя  рассмотренные выше операторы суммы, произведения, дифференцирования и интегрирования, можно получать результат в символьном виде.

На рисунке приведены примеры таких вычислений.

 

 

            Символьное вычисление пределов. Для этого используются три    кнопки  палитры инструментов Исчисления. Назначение этих кнопок понятно из их обозначения. Примеры вычисления пределов приведены на рисунке.

                   

           

Символьные алгебраические вычисления. Символьный процессор Mathcad может выполнять основные алгебраические преобразования, такие как упрощение выражения - simplify, разложение их на множители - series, вычисление коэффициентов полинома - coeffs и т.д. В качестве примеров рассмотрим некоторые из этих преобразований.

 

Внимание! Если перед вычисляемым алгебраическим выражением задать численные значения переменным, входящим в алгебраическое выражение, то символьный процессор будет «обрабатывать» уже соответствующие числовые.

 

Упрощение выражений (команда Simplify). Для этого необходимо ввести алгебраическое выражение, а затем выполнить команду Simplify палитры инструментов Символика.

 

Примеры:

 

 

 

 

Вычисление коэффициентов полинома (команда Сoeffs). Осуществляется преобразование выражения (являющегося полиномом относительно некоторой переменной) к виду  .

 

Внимание!!! В команде Сoeffs  обязательно указывается имя переменной, относительно которой строится полином.

 

Например, определим коэффициенты полинома относительно z:

 

 

Решение  уравнений

 

 

 

 

 

Решение неравенств

 

 

 

Символьное  дифференцирование при помощи символьного оператора вывода

 

 

Символьное  интегрирование при помощи символьного оператора вывода

 

 

 

 

 

Кроме символьных алгебраических вычислений символьный процессор Mathcad может выполнять: символьные матричные вычисления (транспонирование и обращение матрицы, вычисление определителя), разложение в ряды, решение уравнений, интегральные преобразования (преобразование Фурье, Лапласа, Z-преобразование).

 

 

Дополнительные сведения о символьных вычислениях доступны в этом документе: symbolics.zip (сжатый в архив ZIP документ MathCAD, 235 Кб)

 


pers.narod.ru

1.4. Вычисления в Mathcad

1.4.1. Имена переменных и функций

В Mathcad, как и в языках программирования, константы, переменные и функции могут иметь имя-идентификатор, которое может состоять из следующих элементов:

 прописных и строчных латинских и/или греческих букв;

 цифр от 0 до 9;

 символов подчеркивания (_), штриха (`), процента (%), бесконечности (∞).

В системе Mathcad имеется ряд ограничений на использование некоторых символов в начале имени, поэтому обычно имена начинаются с буквы. Все символы имени должны быть напечатаны одинаковым шрифтом.

При составлении имени следует учитывать, что в отличие от большинства других программ Mathcadразличает в формулах не только прописные и строчные буквы, но даже стиль их оформления. Например, переменныеN,N,n,nрассматриваются как различные и не взаимозаменяемы [2].

Примеры правильных имен-идентификаторов Mathcad:

S, ht_, x2, wmin, DORk%, рw, λ5, f .

Ввод имени переменной с нижним индексом, например, wmin, осуществляется следующим образом: вводится часть имени без индекса (w), затем на клавиатуре набирается десятичная точка (на экране она не отображается), после чего вводятся символы нижнего индекса (min). Не следует путать буквенный нижний индекс, являющийся частью имени переменной, с нижним индексом элемента массива данных. Выглядят они одинаково, но по смыслу различны. Нижний индекс массива осуществляет ссылку на элемент массива и вводится с помощью кнопкипалитры векторных и матричных операций.

Mathcad не делает различий между именами переменных и именами функций. Если вначале была определена функция f(x), а затем задана переменнаяf, то после этого использование определенияf(x)окажется невозможным.

1.4.2. Ввод математических выражений

Важным преимуществом Mathcadявляется то, что он отображает формулы практически в том же виде, как их обычно пишут на бумаге. Ввод символов, имеющихся на клавиатуре, можно производить непосредственно с клавиатуры или с помощью соответствующих кнопок палитр символов. В качестве разделителя между целой и дробной частями десятичных чисел используется точка. При вводе произведения знак умножения между сомножителями обязателен (при этом Mathcad преобразует оператор умножения «*» в традиционную точку). Общепринятый оператор деления «/» Mathcad интерпретирует как горизонтальную дробную черту стандартного вида.

При вводе составных операторов в области формулы автоматически появляются слόты – заполнители в виде черных прямоугольников, предназначенные для записи соответствующих операндов, например, для ввода корня произвольной степени они имеют вид: . Перемещение по слотам осуществляется щелчком левой кнопки мыши на них или клавишейTab.

Содержимое уголкового курсора становится первым операндом очередного вводимого оператора, т. е. каждое следующее действие при вводе формулы относится к данным, заключенным в уголковый курсор. Это свойство позволяет значительно упростить процесс ввода сложных формул, где порядок операций определяется скобками. Элементы формулы, которые в рамках операции должны рассматриваться как единое целое, нужно «охватить» уголковым курсором, а затем выполнить относящееся к ним действие. Управление уголковым курсором осуществляется следующим образом: нажатие на клавиатуре клавиши ↑ или пробела увеличивает объем содержимого уголкового курсора (т. е. объединяет операторы), нажатие клавиши ↓ – уменьшает.

При правильном вводе формулы Mathcadавтоматически заключает в скобки нужные ее фрагменты. При необходимости скобки можно удалять и вставлять по одной обычными способами редактирования. Чтобы заключить содержимое уголкового курсора в скобки, следует нажать клавишу ' (апостроф). Для удаления парных скобок нужно поместить в уголковый курсор фрагмент формулы, включая скобки, и нажать клавишиDeleteилиBackSpace. Того же результата можно добиться, поместив курсор ввода справа от левой скобки и нажавBackSpace.

Для ввода стандартных математических функций используется кнопка на панели инструментов. Наиболее часто употребляемые функции имеются и на арифметической палитре . Кроме того, имя функции можно вводить побуквенно непосредственно с клавиатуры. Аргумент функции всегда записывается в скобках (табл. 1). По умолчанию аргумент любой тригонометрической функции предполагается в радианах. При необходимости можно ввести единицы измерения конкретной переменной или константы. Чтобы это сделать, нужно просто умножить ее на соответствующую единицу, которая выбирается из списка в менюМатематика → Единицы → Вставить единицы, например,sin90° следует ввести какsin(90deg).

Степенное выражение вида sin2xвMathcadзаписывается как sin(x)2.

Ввод операторов суммирования (∑), произведения (∏), интегрирования (∫) и некоторых других осуществляется аналогично стандартным функциям с помощью соответствующих кнопок палитры операторов математического анализа .

Таблица 1

Примеры записи математических функций в Mathcad

Наименование функции

Математическая запись

Запись в Mathcad

Тангенс

tg x

tan(x)

Натуральный логарифм

lnx

ln(x)

Десятичный логарифм

lgx

log(x)

Арксинус

arcsinx

asin(x)

В Mathcadдля разных целей используются три разных знака равенства.

  1. Значения переменных и функций задаются при помощи оператора присваивания   := , для ввода которого можно нажать на клавиатуре клавишу двоеточия :или использовать кнопкупалитры простых операторов. Например:x:=1,y:=2·sin(x+5),М:=4.

  2. Знак булева равенства используется в логических операциях, в том числе при записи уравнений. Для его ввода на клавиатуре можно нажать CTRL+ = или использовать кнопкупалитры простых операторов. Например:x +y x.

  3. Обычный знак равенства используется для получения результата, например: x= или sin(2·+7) =. В ответ Mathcad выводит текущее значение записанной слева от знака равенства переменной или результат расчета по заданной формуле.

Рассмотрим основные правила построения математических выражений и выполнения расчетов в Mathcad на конкретном примере.

Пусть нужно вычислить приa= 0,8;x= 4,56.

В табл. 2 приведена последовательность действий для решения этой задачи, результат работы см. на рис. 4.

Пропущенные при вводе формулы символы можно вводить обычным образом, установив курсор в нужное место. Для вставки пропущенного операнда послеимеющегося операнда нужно поместить в уголковый курсор имеющийся операнд,сначалаввести знак математической операции, а затем набрать пропущенный операнд. Вставка пропущенного операндапередимеющимся операндом выполняется аналогично, за исключением того, что после заключения операнда в уголковый курсор нужно перейти в режим вставки символов, нажав клавишуInsert (при этом уголковый курсор изменит цвет с синего на красный, а срезанный угол будет слева).

Таблица 2

Пример ввода формулы и вычисления в Mathcad

Последовательность действий

Результат

Выводим на экран арифметическую палитру символов

см. рис. 2

Вводим исходные данные: a :10.8 ;x :14.56

Вводим y , затем – :1

Вводим 2 и знак умножения *1

На арифметической палитре выбираем (или из списка функций по кнопкевыбираем sin(z))

Вводим x

На арифметической палитре выбираем (или на клавиатуре нажимаем1^1)

Вводим степень 2, затем четыре раза нажимаем 1↑1для охвата всего числителя уголковым курсором

Вводим символ деления 1/1

На арифметической палитре выбираем символ

Вводим x + a, затем четыре раза нажимаем1↑1для охвата уголковым курсором всей дроби

Вводим с клавиатуры – и 51

На свободном месте листа для получения результата расчета набираем y =1

y = –4.196

(см. рис. 4)

studfiles.net

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о