Советы и лайфхаки

12 в шестнадцатеричной системе – Число 12 в шестнадцатиричной системе счисления соответствует числу в десятичной системе счисления?

Содержание

Перевод чисел из одной системы счисления в другую онлайн

 

 Результат уже получен!

Системы счисления

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

число6372
позиция3210

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·103+3·102+7·101+2·100.

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

число1287.923
позиция3210 -1-2-3

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·103 +2·102 +8·101+7·100+9·10-1+2·10-2+3·10-3.

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Цn·snn-1·sn-1+…+Ц1·s10·s0-1·s-1-2·s-2+…+Д-k·s-k

(1)

где Цn-целое число в позиции n, Д-k— дробное число в позиции (-k), s — система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления — из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.

В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
102816
0000
1111
21022
31133
410044
510155
611066
711177
81000108
91001119
10101012A
11101113B
12110014C
13110115D
14111016E
15111117F

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1·26+0·25+1·24+1·23+1·22 +0·21+1·20+0·2-1+0·2-2+1·2-3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3. Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B — на 11, C— на 12, F — на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления — последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС — на 2, для 8-ичной СС — на 8, для 16-ичной — на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4. Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

1592      
158792     
178392    
 138192   
  11892  
   1842 
    1422
     021
      0 

Рис. 1

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111. Следовательно можно записать:

15910=100111112.

Пример 5. Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

6158  
608768 
77298
 481
  1 

Рис. 2

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147(см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

61510=11478.

Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

1967316  
19664122916 
912167616
 13644
  12 

Рис. 3

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 — D. Следовательно наше шестнадцатеричное число — это 4CD9.

Далее рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в двоичную СС, в восьмеричную СС, в шестнадцатеричную СС и т.д.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

  0.214
 x2
0 0.428
 x2
0 0.856
 x2
1 0.712
 x2
1 0.424
 x2
0 0.848
 x2
1 0.696
 x2
1 0.392

Рис. 4

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011.

Следовательно можно записать:

0.21410=0.00110112.

Пример 8. Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

  0.125
 x2
0 0.25
 x2
0 0.5
 x2
1 0.0

Рис. 5

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

0.12510=0.0012.

Пример 9. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

  0.214
 x16
3 0.424
 x16
6 0.784
 x16
12 0.544
 x16
8 0.704
 x16
11 0.264
 x16
4 0.224

Рис. 6

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

0.21410=0.36C8B416.

Пример 10. Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

  0.512
 x8
4 0.096
 x8
0 0.768
 x8
6 0.144
 x8
1 0.152
 x8
1 0.216
 x8
1 0.728

Рис. 7

Получили:

0.51210=0.4061118.

Пример 11. Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

159.12510=10011111.0012.

Пример 12. Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим:

19673.21410=4CD9.36C8B416.

matworld.ru

Шестнадцатеричная система счисления — Программирование на C, C# и Java

Системы счисления – одна из самых главных основ информатики. Практически ни в одной школе и ни в одном университете не пропускают данную тему, но зачастую именно с переводом шестнадцатеричной системы у многих возникают проблемы, хотя это не такая уж сложная задача, и её перевод практически не отличается от других систем счисления.

Давайте рассмотрим эту систему поподробнее.

Для чего нужна шестнадцатеричная система

Итак, шестнадцатеричная система счисления, как следует из названия, имеет в своём основании число 16. Почему так? Дело в том, что единица информации в информатике – это бит. Восемь бит образуют байт. Также информационной среде существует такое понятие, как машинное слово – это минимальная единица данных, представляющая собой шестнадцать бит, то есть два байта. Считается, что машинное слово – это минимальная величина разрядности регистров процессора, при которой можно работать с ЭВМ.
Так вот, как мы знаем, компьютер работает на двоичном коде. Однако, если Вы когда-нибудь переводили чиста из двоичной системы в десятичную, то замечали, что в ней бывает довольно много разрядов, особенно при переводе больших чисел, например, перевод числа 5132 в двоичной системе будет записано так:

Как можно увидеть, при переводе в двоичную систему этого числа у нас получилось аж 13 разрядов (с 0 до 12). Довольно муторно, а главное, занимает много места на письме и отнимает много времени для перевода.
Именно для этого придумали восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, для этого придумали и байты. Эти системы помогают сократить затраты на перевод чисел и привести их к более приятному визуальному виду.
Если перевести то же число 5132 в восьмеричную систему счисления, то получится «более сокращённая версия» двоичного кода:

Как мы видим, количество символов сократилось, так как разрядность уменьшилась до 5 (с 0 до 4).
Как можно уже понять, шестнадцатеричная система ещё сильнее сокращает разрядность (с 0 до 3) и ещё сильнее сжимает на письме переведённое число:

Человеку такой вид записи в любом случае удобнее, чем бесконечные нули и единицы.

Таким образом, шестнадцатеричная система используется довольно широко в современных информационных системах. Например, при помощи неё указываются коды цветовых схем, данная система используется для записи кодов ошибок, а также для программирования на языках низкого уровня типа Ассемблера, шестнадцатеричную систему зачастую используют для предоставления данных и адресов в малоразрядных ЭВМ.

Как перевести из десятичной системы в шестнадцатеричную

Выше мы уже немного затронули процесс перевода чисел. Теперь мы рассмотрим его подробнее и на примерах.

Но прежде чем начать, надо узнать одну очень важную особенность шестнадцатеричной системы.

Так как система имеет своим основанием число 16, то, следовательно, всего в этой системе имеется 16 цифр, но если первые десять цифр (0-9) вполне привычные для нас, то остальные имеют вид не совсем цифровой, но, тем не менее, являются цифрами, а именно значения A, B, C, D, E, F, которые соответствуют нашим привычным числам с 10 до 15. Все цифры шестнадцатеричной системы и их «аналоги» в десятичной записаны в таблице ниже.

Итак, допустим, у нас есть число 40 563 в десятичной системе счисления. Переведём его в шестнадцатеричную.

  1. Сначала мы просто делим наше исходное число 40 563 на 16 в столбик. В частном у нас получилось 2 535, если умножить это число на 16, то получится 40 560, а в остатке 3. Эту тройку мы выделяем.
  1. Теперь мы делим 2 535, и тоже на 16, и тоже абсолютно таким же образом. Частное – 158, 16*158 = 2 528, а в остатке 7. Остаток так же, как и в тот раз, выделяем.
  1. Делим полученные частные до тех пор, пока они не станут меньше 16, тогда деление заканчивается. Делим 158 на 16, и находим остаток от этого деления.

Остаток от деления – 14, а частное, полученное при делении 158 на 16 равно 9. Так как 9 меньше 16, то процесс вычислений закончен, а 9 также выделяется.

  1. Процесс преобразования десятичного числа в шестнадцатеричное почти окончен. Для того, чтобы получить его, надо всего лишь выписать выделенные числа справа налево (т.е. в данном случае от девятки к тройке), НО, как мы писали выше, у шестнадцатеричной системы свой особый «алфавит» с 10 по 15. И как раз один из наших «остатков» (число 14) вписывается в этот диапазон, поэтому надо посмотреть в таблице, либо просто самостоятельно посчитать, что в шестнадцатеричной системе 14 будет буквой Е.

Итого весь процесс преобразования приведён на следующем изображении:

Таким образом мы научились переводить числа из десятичной системы в шестнадцатеричную. Теперь давайте попробуем сделать обратное преобразование, но уже с другим числом.

Как перевести из шестнадцатеричной системы в десятичную

Перевести шестнадцатеричное число в привычное нам десятичное также совсем не сложно, более того, мы уже делали это в самом начале статьи, когда сравнивали двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счислений, теперь же разберём этот процесс более подробно.
Давайте сразу приступим к примеру и переведём шестнадцатеричное число 1C3B3 в десятичную систему.
По сути, процесс перевода можно разделить на 2 этапа:

  1. Мы справа налево отделяем от числа все цифры и умножаем каждую из них на 16, и всё это складываем:

Также обязательно необходимо перевести буквенные обозначения шестнадцатеричной системы в числовые, чтобы можно было посчитать их в десятичном виде, то есть, для данного случая, перевести B в 11 и C в 12.

  1. После того, как мы сделали этот шаг, нам необходимо пронумеровать разряды чисел. Делается это просто – мы приписываем ко всем числам 16, на которые мы умножали наши исходные цифры, степени, начиная с нулевой:

Теперь нам остаётся только перемножить и сложить всё это:

Таким образом, мы превратили шестнадцатеричное число 1C3B3 в десятичное число 115 635.

Как видите, ничего сложного. Также у нас на сайте имеется статья, описывающая процесс перевода чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную.
Спасибо за прочтение!

 

Шестнадцатеричная система счисления

4.81 (96.19%) 21 votes


Поделиться в соц. сетях:

vscode.ru

Сложение в шестнадцатеричной системе



Обратная связь

ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение


Как определить диапазон голоса — ваш вокал


Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими


Целительная привычка


Как самому избавиться от обидчивости


Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам


Тренинг уверенности в себе


Вкуснейший «Салат из свеклы с чесноком»


Натюрморт и его изобразительные возможности


Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.


Как научиться брать на себя ответственность


Зачем нужны границы в отношениях с детьми?


Световозвращающие элементы на детской одежде


Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия


Как слышать голос Бога


Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)


Глава 3. Завет мужчины с женщиной


Оси и плоскости тела человека — Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.


Отёска стен и прирубка косяков — Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.


Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) — В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

 

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

 

Шестнадцатеричная: F16+616
 
Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 258 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 21, 1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

 

Шестнадцатеричная: F16+716+316
 
Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916.
Проверка: 110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25, 318 = 3*81 + 1*80 = 24 + 1 = 25, 1916 = 1*161 + 9*160 = 16+9 = 25.
 

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

 

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25

311,28 = 3*82 + 1•81 + 1*80 + 2*8-1 = 201,25

C9,416 = 12*161 + 9*160 + 4*16-1 = 201,25

 

 

Вычитание

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.

Пример 6.Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,2510 – 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2–1 = 141,5;

215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8–1 = 141,5;

8D,816 = 8*161 + D*160 + 8*16–1 = 141,5.

 

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5*6 = 3010 = 111102 = 368.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;

368 = 3•81 + 6•80 = 30.

Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115*51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;

133518 = 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80 = 5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 133518 :1638

Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51; 638 = 6*81 + 3*80 = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 438 : 168

Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5; 2,48 = 2*80 + 4*8-1 = 2,5.

 

Упражнения

2.1. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

(№ варианта соответствует № рабочего места)

 

вариант 1,2,3 а) 12510
вариант 4,5,6 б) 22910
вариант 7,8,9 в) 8810
вариант 10,11,12 г) 37,2510
вариант 13,14,15 д) 206,12510

 

2.2. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

(№ варианта соответствует № рабочего места)

 

вариант 1,2,3 а) 1001111110111,01112;
вариант 4,5,6 б) 1110101011,10111012;
вариант 7,8,9 в) 10111001,1011001112;
вариант 10,11 г) 1011110011100,112;
вариант 12, 13 д) 10111,11111011112;
вариант 14,15 е) 1100010101,110012.

 

2.3. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:

(№ варианта соответствует № рабочего места)

 

вариант 1,2,3 а) 2СE16
вариант 4,5,6 б) 9F4016
вариант 7,8,9 в) ABCDE16
вариант 10,11,12 г) 1010,10116
вариант 13,14,15 д) 1ABC,9D16

 

2.4. Выпишите целые числа:

а) от 1011012 до 1100002 в двоичной системе;

б) от 2023 до 10003 в троичной системе;

в) от 148 до 208 в восьмеричной системе;

г) от 2816 до 3016 в шестнадцатеричной системе.

 

2.5. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.

 

2.6. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.

 

2.7. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения: (№ варианта соответствует № рабочего места)

 

вариант 1,2,3,13 а) 10111012 и 11101112; д) 378 и 758; и) A16 и F16;
вариант 4,5,6,14 б) 1011,1012 и 101,0112; е) 1658 и 378; к) 1916 и C16;
вариант 7,8,9,15 в) 10112, 112 и 111,12; ж) 7,58 и 14,68; л) A,B16 и E,F16;
вариант 10,11,12 г) 10112 , 11,12 и 1112; з) 68, 178 и 78; м) E16, 916 и F16.

 

2.8. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:

 

2.9. Разделите 100101102 на 10102 и проверьте результат, умножая делитель на частное.

 

2.10. Разделите 100110101002 на 11002 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.

 


megapredmet.ru

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная
система счисления имеет алфавит,
состоящий из 16 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, b, c, d, e, f.

При записи числа
в шестнадцатеричной системе для записи
цифр обозначающих числа 10, 11, 12. 13, 14. 15
используются соответственно буквы А,
В, С, D, E, F.

Перевод чисел
из шестнадцатеричной системы в десятичную

Перевести любое
шестнадцатеричное число в десятичное
можно по уже известной формуле

Примеры.

  1. АЕ0716=10∙163+14∙162+0∙161+7∙160=4455110.

  2. 10016=1∙162+0∙161+0∙160=25610.

  3. 5816=5∙161+8∙160=.8810.

  4. 16=2∙161+10∙160=4210.

  5. D16
    = 1310.

Перевод числа из
десятичной системы в шестнадцатеричную
осуществляется также, как в двоичную.

Перевод чисел
из шестнадцатеричной системы в двоичную
и обратно

Перевести любое
шестнадцатеричное число в двоичное
можно следующим образом. Каждая цифра
шестнадцатеричной записи числа
записывается четырехзначным двоичным
числом — тетрадой.
После этого нули, стоящие слева, можно
отбросить.

016 = 00002

416 = 01002

816 = 10002

C16 = 11002

116 = 00012

516 = 01012

916 = 10012

D16 = 11012

216 = 00102

616 = 01102

A16 = 10102

E16 = 11102

316 = 00112

716 = 01112

B16 = 10112

F16 = 11112

1) D= 11012.

2) 2A= 0010 10102= 1010102.

3) 5816= 0101 10002= 10110002.

И наоборот, перевести
любое двоичное число в шестнадцатеричное
можно аналогичным образом. Каждые четыре
двоичные цифры, считая справа налево,
записываются одной шестнадцатеричной
цифрой. Эти цифры располагаются также
справа налево.

Примеры.

1. 11012=D.

2. 1010102= 10 10102= 2A.

3. 10110002= 101 10002= 5816.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная
система счисления имеет алфавит,
состоящий из 8 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Перевод числа из
десятичной системы в восьмеричную и
обратно осуществляется по аналогии с
переводом в двоичную / из двоичной.

Перевод чисел
из восьмеричной системы в двоичную и
обратно

Каждая цифра
восьмеричной записи числа записывается
трехзначным двоичным числом — триадой.

08 = 0002

48 = 1002

18 = 0012

58 = 1012

28 = 0102

68 = 1102

38 = 0112

78 = 1112

Примеры.

25638= 010 101 110 0112=101011100112.

10011012= 001 001 1012= 1158.

Методические материалы для лабораторного занятия №1

Тема лабораторного
занятия: Системы счисления. Измерение
информации.

Количество часов:
2.

Примеры с решениями

  1. Перевод из
    p-ичной
    системы в 10-ичную.

    Пусть надо перевести число в некоторой
    системе счисления в десятичную. Для
    этого надо представить его в виде

.

111001102 = 1∙27 + 1∙26 + 1∙25 + 0∙24 + 0∙23 + 1∙22 + 1∙21 + 0∙20 = 128 + 64 + 32 + 4 + 2 = 23010.

24015 = 2∙53 + 4∙52 + 0∙51 + 1∙50 = 250 + 100 + 0 + 1 = 351.

  1. Перевод из
    10-ичной системы в
    p-ичную.

2.1
9810 → Х2.

Делим число на 2.
Затем делим неполное частное на 2.
Продолжаем до тех пор, пока неполное
частное не станет меньше 2, т.е. равным
1.

  1. 98 : 2 = 49.
    Остаток — 0.

  2. 49 : 2 = 24.
    Остаток — 1.

  3. 24 : 2 = 12.
    Остаток — 0.

  4. 12 : 2 = 6.
    Остаток — 0.

  5. 6 : 2 = 3.
    Остаток — 0.

  6. 3 : 2 = 1.
    Остаток — 1.

Так как последнее
неполное частное равно 1, процесс окончен.
Записываем все остатки снизу вверх,
начиная с последнего неполного частного,
и получаем число 1100010. Итак 9810 = 11000102.

2.2
239110 → Х16.

Делим число на 16.
Затем делим неполное частное на 16.
Продолжаем до тех пор, пока неполное
частное не станет меньше 16.

  1. 2391 : 16 = 149.
    Остаток — 7.

  2. 149 : 16 = 9.
    Остаток — 5.

Так как последнее
неполное частное (9) меньше 16, процесс
окончен. Записываем, начиная с последнего
неполного частного, все остатки снизу
вверх и получаем число 957. Итак
239110 = 95716.

2.3
1216510 → Х2.

Если переводить
делением в двоичную систему, то получится
довольный громоздкий процесс. Можно
сначала перевести число в восьмеричную
систему, а затем заменять восьмеричные
цифры справа налево триадами.

1216510 = 276058 = 010 111 110 000 101 = 10111110000101.

  1. Определение
    основания системы счисления
    p.

Один мальчик так
написал о себе: «Пальцев у меня 24, на
каждой руке по 5, а на ногах 12». Как такое
может быть?

Решение. Надо
определить основание системы счисления
p.
Так как мы знаем, что пальцев на ногах
всего 1010,
то 12p=1∙p+2 = 1010.
Отсюда получаем уравнение p + 2 = 10  p = 8.
Значит, мальчик имел в виду числа в
восьмеричной системе. Действительно,
всего пальцев 248 = 2∙8+4 = 2010,
а на ногах — 128 = 1∙8+2 = 1010.

studfiles.net

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ

Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидит Фазан.
Запишите в шестнадцатеричной системе счисления все цвета,
встречающиеся в этом мнемоническом правиле. Слабо?

А. Алешин

После изучения предыдущего раздела переформулировать алгоритм перевода чисел из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления не составляет никакого труда. Помнить следует лишь о том, что для шестнадцатеричной системы счисления основанием является число 16, и правило перевода в данном случае может быть сформулировано в следующем виде:

 

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

 

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число F45ED23C в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов (помним, что разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

F45ED23C16 = (15·167)+(4·166)+(5·165)+(14·164)+(13·163)+(2·162)+(3·161)+(12·160) = 409985490810

 

Для вычислений «вручную» и решения примеров и контрольных заданий вам могут пригодиться таблицы степеней оснований изучаемых систем счисления (2, 8, 10, 16), приведенные в Приложении.

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ

Деление — самое интересное арифметическое действие с точки зрения психологии.

А. Алешин

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную используют так называемый «алгоритм замещения», состоящий из следующей последовательности действий:

  1. Делим десятичное число А на 2. Частное Q запоминаем для следующего шага, а остаток a записываем как младший бит двоичного числа.
  2. Если частное q не равно 0, принимаем его за новое делимое и повторяем процедуру, описанную в шаге 1. Каждый новый остаток (0 или 1) записывается в разряды двоичного числа в направлении от младшего бита к старшему.
  3. Алгоритм продолжается до тех пор, пока в результате выполнения шагов 1 и 2 не получится частное Q = 0 и остаток a = 1.

 

Например, требуется перевести десятичное число 247 в двоичное. В соответствии с приведенным алгоритмом получим:

 

24710 : 2 = 12310
24710 — 24610 = 1, остаток 1 записываем в МБ двоичного числа.
12310 : 2 = 6110
12310 — 12210 = 1, остаток 1 записываем в следующий после МБ разряд двоичного числа.
6110 : 2 = 3010
6110 — 6010 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.
3010 : 2 = 1510
3010 — 3010 = 0, остаток 0 записываем в старший разряд двоичного числа.
1510 : 2 = 710
1510 — 1410 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.
710 : 2 = 310
710 — 610 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.
310 : 2 = 110
310 — 210 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.
110 : 2 = 010, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

 

Таким образом, искомое двоичное число равно 111101112.

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ

Деление — самое интересное арифметическое действие с точки зрения психологии.

А. Алешин

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную используют тот же «алгоритм замещения», что и при переводе из десятичной системы счисления в двоичную, только в качестве делителя используют 8, основание восьмеричной системы счисления:

  1. Делим десятичное число А на 8. Частное Q запоминаем для следующего шага, а остаток a записываем как младший бит восьмеричного числа.
  2. Если частное q не равно 0, принимаем его за новое делимое и повторяем процедуру, описанную в шаге 1. Каждый новый остаток записывается в разряды восьмеричного числа в направлении от младшего бита к старшему.
  3. Алгоритм продолжается до тех пор, пока в результате выполнения шагов 1 и 2 не получится частное Q = 0 и остаток a меньше 8.

 

Например, требуется перевести десятичное число 3336 в восьмеричное. В соответствии с приведенным алгоритмом получим:

 

333610 : 8 = 41710
333610 — 333610 = 0, остаток 0 записываем в МБ восьмеричного числа.
41710 : 8 = 5210
41710 — 41610 = 1, остаток 1 записываем в следующий после МБ разряд восьмеричного числа.
5210 : 8 = 610
5210 — 4810 = 4, остаток 4 записываем в старший разряд восьмеричного числа.
610 : 8 = 010, остаток 0, записываем 6 в самый старший разряд восьмеричного числа.

 

Таким образом, искомое восьмеричное число равно 64108.

studopedya.ru

Двоичная восьмеричная шестнадцатеричная системы счисления

 

Двоичная система счисления

Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления.
При этом любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры, соответственно: 0 и 1. Произвольное число x=anan-1..a1a0,a-1a-2…a-m запишется в двоичной системе счисления как

x = an·2n+an-1·2n-1+…+a1·21+a0·20+a-1·2-1+a-2·2-2+…+a-m·2-m

где ai — двоичные цифры (0 или 1).

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 7. 8 единиц младшего разряда объединяются в единицу старшего.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 15 включительно. Для обозначения базисных цифр больше 9 одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:

1010 = A16      1210 = C16      1410 = E16
1110 = B16      1310 = D16      1510 = F16.

Например, число 17510 в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF16. Действительно,

10·161+15·160=160+15=175

В таблице представлены числа от 0 до 16 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

ДесятичнаяДвоичнаяВосьмеричнаяШестнадцатеричная
00 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10

Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования

Двоичная система счисления удобна для выполнения арифметических действий аппаратными средствами микропроцессора, но неудобна для восприятия человеком, поскольку требует большого количества разрядов. Поэтому в вычислительной технике помимо двоичной системы счисления широкое применение нашли восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления для более компактного представления чисел.

Три разряда восьмеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации восьмеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (000) до 7(111). Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 3 разряда (триады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от него тоже можно добавить незначащие нули до заполнения всех триад. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой.

 
Пример: Преобразовать число 1101110,012 в восьмеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в триады справа налево. Получаем

001 101 110,0102 = 156,28.

Чтобы перевести число из восьмеричной системы в двоичную, нужно каждую восьмеричную цифру записать ее двоичным кодом:

156,28 = 001 101 110,0102.

 
Четыре разряда шестнадцатеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации шестнадцатеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (0000) до F(1111). Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 4 разряда (тетрады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от нее тоже нужно добавить незначащие нули до заполнения всех тетрад. Затем каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.

Пример: Преобразовать число 1101110,112 в шестнадцатеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в тетрады справа налево. Получаем

0110 1110,11002 = 6E,C16.

Чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, нужно каждую шестнадцатеричную цифру записать ее двоичным кодом:

6E,C16 = 0110 1110,11002.

Назад: Представление данных и архитектура ЭВМ

prog-cpp.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о