Разное

Взаимное расположение прямой и точки: 49. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости

Содержание

4.5. Взаимное положение точки и прямой линии

1. Если точка принадлежит прямой линии, то её проекции принадлежат одноимённым проекциям этой прямой линии: ClÞC1l1, C2l2 (рис. 4.16).

2. Если точка не принадлежит прямой линии, то по крайней мере, одна из её проекций не принадлежит одноимённой проекции прямой: А, В и D не принадлежат прямой l, причем точка D расположена над прямой, а точка В – перед прямой.

а

б

Рис. 4.16. Взаимное положение прямой линии и точек: а – наглядное изображение; б – комплексный чертёж

Выводы по теме

1. Для получения комплексного чертежа прямой линии, достаточно построить проекции точек и соединить их одноимённые проекции прямыми линиями.

2. Прямая линия относительно плоскостей проекций занимает общее положение и частное.

3. Прямые частного положения – это прямые, которые параллельны, либо перпендикулярны одной из плоскостей проекций.

4. Прямые уровня – прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Различают три основные линии уровня: горизонтальную, фронтальную и профильную прямые.

5. Проецирующие прямые – это прямые, перпендикулярные плоскости проекций. Различают три основные проецирующие линии: горизонтально проецирующую, фронтально проецирующую и профильно проецирующую прямые.

6. Прямые линии в пространстве могут быть параллельны, пересекаться и скрещиваться.

7. Точка принадлежит прямой линии, если её проекции принадлежат одноименным проекциям прямой.

Ключевые слова

  • Прямая линия

  • Прямая линия общего положения

  • Прямые уровня (горизонталь, фронталь, профильная прямая)

  • Проецирующие прямые

  • Параллельные прямые

  • Пересекающиеся прямые

  • Скрещивающиеся прямые

Способы деятельности, необходимые для решения задач

– построение проекций отрезка прямой линии на комплексном чертеже в системе двух, трех плоскостей проекций;

– определение натуральной величины отрезка прямой линии методом прямоугольного треугольника;

– построение прямых, параллельных плоскостям проекций.

Вопросы для самопроверки

1. По каким свойствам проекций на эпюре определяется положение прямых линий в пространстве:

– прямых линий общего положения;

– прямых линий уровня;

– проецирующих прямых линий?

2. Как определить углы наклона прямой линии общего положения к плоскостям проекций П1и П2?

3. Как по эпюру прямых линий определить характер взаимного положения двух прямых?

4. Как располагаются проекции точки С относительно проекций прямой АВ, если: САВ; С выше АВ; С ближе АВ?

5. Как на прямой линии определить точку, равноудалённую от плоскостей П1и П2?

Задания для самостоятельного решения

1. Дана прямая общего положения m(m1,m2) и точка К (К1, К2) вне её. Через точку К провести:

– прямую nпараллельноm,mlln;

– прямую h, пересекающуюm. Построить все возможные варианты;

– прямую общего положения a, пересекающую прямуюm.

2. Построить чертеж отрезка АВ, если он находится в первой четверти пространства, параллельно П2.

3. Определить, лежат ли точки В и С на прямой AD(рис. 4.17,а), а точка К – на прямойMN(рис. 4.17,б).

а

б

Рис. 4.17. Условия к заданию 3

Пример решения типовых задач

Задача 2 а. Даны точки с координатами – А(70; 30; 15), В(10; 30; 65).

1. По заданным координатам построить проекции отрезка в системе плоскостей П1П2.

2. Определить натуральную величину отрезка прямой линии и углы наклона к плоскостям проекций способом прямоугольного треугольника.

Алгоритм решения.

1. По данным координатам определить положение прямой линии относительно плоскостей проекций: координаты Y у точек А и В равны, YA=YB=30, следовательно, точки А и В равноудалены от фронтальной плоскости проекций П2, отрезок прямой линии АВ параллелен фронтальной плоскости проекций П2, ABIIП2. Таким образом, отрезок прямой линии АВ является фронтальной прямой.

2. Выделить свойства проекций прямых, параллельных плоскостям проекций: так как отрезок прямой линии АВ параллелен фронтальной плоскости П2, ABIIП2, то согласно свойству проецирования14фронтальная проекция отрезка прямой линии А

2равна натуральной величине АВ, lАВl = А2В2 .

3. Построить проекции отрезка прямой линии ABпо координатам двух её точек (табл. 4.2).

4. Применить метод прямоугольного треугольника для определения натуральной величины отрезка прямой линии АВ на плоскости П1 (табл. 4.2).

Таблица 4.2

4.1. Взаимное расположение двух точек

Положение точки на чертеже определяется координатами. Точка расположена выше другой, если у нее больше координата Z. Точка находится ближе к наблюдателю, если у нее большая координатаY. От профильной плоскости проекции дальше удалена та точка, у которой больше координата Х.

Практический интерес вызывают точки, расположенные на одном перпендикуляре к плоскости проекций (рис. 4.1). Такие точки на чертеже называются конкурирующими.По ним определяется видимость элементов на чертеже. Из двух конкурирующих точек видимой считается та, у которой больше координата на другой плоскости проекций.

В данном случае видимой на фронтальной плоскости проекций будет точка b, так как у нее больше координатаY.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

4.2. Взаимное расположение прямой и точки

Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат одноименным проекциям прямой (рис. 4.2).

4.3. Взаимное расположение двух прямых

Прямые относительно друг друга могут быть параллельными (рис. 4.3, а), пересекающимися (б), скрещивающимися (в).

а б в

Рис. 4.3

4.4. Взаимное расположение точки и плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

П р и м е р. Плоскость задана следами (h0f 0). Требуется построить точку А, принадлежащую этой плоскости (рис. 4.4).

Р е ш е н и е. Так как в плоскости можно построить бесчисленное множество точек, принадлежащих этой плоскости, то на одной из плоскостей проекций произвольно ставим одну проекцию точки (например, А

2), но вторую проекцию А1находим из условия принадлежности точки плоскости. Для этого через А проводим прямую, т. е. через А2проводимh2до пересечения сf 0, определяем горизонтальную проекцию точки 1 и из 11параллельно горизонтальному следу проводимh1, на которой и отмечаем А1.

4.5. Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если имеет две общие точки или одну общую точку и параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости. Пусть плоскость на чертеже задана двумя пересекающимися прямыми. В данной плоскости требуется построить две прямыеmиnв соответствии с этими условиями(Г(аb))(рис. 4.5).

Ре ш е н и е. 1. Произвольно проводимm2, так как прямая принадлежит плоскости, отмечаем проекции точек пересечения ее с прямымиаиbи определяем их горизонтальные проекции, через 1

1и 21проводимm1.

2. Через точку К плоскости проводим n2║m2иn1║m1.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости.

Пересечение прямой и плоскости.Возможны три случая расположения прямой и плоскости относительно плоскостей проекций. В зависимости от этого определяется точка пересечения прямой и плоскости.

Первый случай– прямая и плоскость – проецирующего положения. В этом случае точка пересечения на чертеже имеется (обе ее проекции), ее нужно только обозначить.

П р и м е р. На чертеже задана плоскость следами Σ (h0f 0)– горизонтально проецирующего положения – и прямаяl– фронтально проецирующего положения. Определить точку их пересечения (рис. 4.6).

Точка пересечения на чертеже уже есть – К(К1К2).

Второй случай – или прямая, или плоскость – проецирующего положения. В этом случае на одной из плоскостей проекций проекция точки пересечения уже имеется, ее нужно обозначить, а на второй плоскости проекций – найти по принадлежности.

а б

Рис. 4.7

Пр и м е р ы. На рис. 4.7, а изображена плоскость следами фронтально проецирующего положения и прямаяl– общего положения. Проекция точки пересечения К2на чертеже уже имеется, а проекцию К1необходимо найти по принадлежности точки К прямойl. На рис. 4.7, б плоскость общего положения, а прямаяm– фронтально проецирующего, тогда К2уже есть (совпадает сm2), а К1нужно найти из условия принадлежности точки К плоскости. Для этого через К проводят прямую (h– горизонталь), лежащую в плоскости.

Третий случай– и прямая, и плоскость – общего положения. В этом случае для определения точки пересечения прямой и плоскости необходимо воспользоваться так называемым посредником – плоскостью проецирующей. Для этого через прямую проводят вспомогательную секущую плоскость. Эта плоскость пересекает заданную плоскость по линии. Если эта линия пересекает заданную прямую, то есть точка пересечения прямой и плоскости.

П р и м е р ы. На рис. 4.8 представлены плоскость треугольником АВС – общего положения – и прямая l– общего положения. Чтобы определить точку пересечения К, необходимо черезlпровести фронтально проецирующую плоскость Σ, построить в треугольнике линию пересечения Δ и Σ (на чертеже это отрезок 1,2), определить К1и по принадлежности – К2. Затем определяется видимость прямойlпо отношению к треугольнику по конкурирующим точкам. На П1конкурирующими точками взяты точки 3 и 4. Видима на П1проекция точки 4, так как у нее координата Z больше, чем у точки 3, следовательно, проекцияl1от этой точки до К1будет невидима.

На П2конкурирующими точками взяты точка 1, принадлежащая АВ, и точка 5, принадлежащаяl. Видимой будет точка 1, так как у нее координатаYбольше, чем у точки 5, и следовательно, проекция прямойl2 до К2невидима.

На рис. 4.9 изображены плоскость общего положения (задана следами) и прямая mтакже общего положения. Чтобы определить точку пересеченияmи плоскости, надо черезm

2провести Σ2– фронтально проецирующую плоскость, построить линию пересечения двух плоскостей (отрезок 1,2), отметить К1и по принадлежности этой точки прямойlопределить К2.

Взаимное положение прямой и точки

Взаимное положение прямой и точки  [c.12]

При определении взаимного положения прямой и плоскости, когда прямая или плоскость являются проецирующими, следует воспользоваться вырождением их соответствующих проекций в точку или прямую.  [c.55]

Если на чертеже непосредственно нельзя установить взаимного положения прямой и плоскости, то прибегают к не-. которым вспомогательным построениям, в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении данной прямой и некого-, рой вспомогательной прямой. Для этого (рис. 158) проводят через данную прямую А В некоторую вспомогательную плоскость 5 и рассматривают взаимное положение прямой МЫ пересечения плоскостей Р и 5 и прямой АВ.  [c.84]


Е ли одна из прямых (или обе) является профильной, то для определения взаимного положения прямых необходимо построить профильные проекции этих прямых. Например, рассматривая две проекции прямых 1, 2 и 3, 4 на плоскости проекций П и И" (рис. 51), можно ошибочно заключить, что эти прямые параллельны. После построения их профильных проекций видно, что они скрещиваются. Аналогично, можно заключить, что прямые 5, 6 и 7, 5 (рис. 51) пересекаются, если рассматривать только их проекции на П и П-. После построения профильных проекций этих прямых видно, что они скрещиваются, так как точки А и В не совпадают а являются конкурирующими относительно фронтальной плоскости проекций.  [c.61]

Из чертежа взаимное положение прямой линии и кривой поверхности очевидно только в некоторых частных случаях. Например, на черт. 248 заданы поверхность шара и прямая т. Так как горизонтальная проекция прямой не имеет общих точек с областью, заключенной внутри окружности k прямая не пересекает поверхность шара.  [c.71]

Чертежи точек, расположенных в различных углах координатных плоскостей проекций. Чертежи отрезков прямых линий. Деление отрезка прямой в заданном отношении. Следы прямой линии. Определение длины отрезка прямой и углов его наклона к плоскостям проекций. Взаимное положение прямых линий. Задание плоскости. Прямые линии и точки плоскости. Проекции плоских фигур.  [c.5]

Через точки А и В проводят две взаимно параллельные прямые и откладывают на них от точек С и D произвольное число отрезков, соответственно равных АС и D, так, как это показано на рис. 5 (например, пять отрезков). Соединив прямой конечные точки 5 и 5, определяют более точно положение точки О пересечения заданных отрезков прямых.  [c.6]

Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее. Для более определенного суждения через прямую АВ (рис. 103) проводят вспомогательную плоскость Q и устанавливают относительное положение двух прямых АВ и ММ, последняя из которых является линией пересечения вспомогательной плоскости Q и данной Р. Каждому из трех возможных случаев относительного расположения этих прямых будет соответствовать аналогичный случай взаимного расположения прямой и плоскости.  [c.55]

Следуя методике, изложенной в предыдущем параграфе, оценим взаимное положение прямой АВ и плоскости, представленных на рис. 98 и 99, на первом из которых плоскость задана тремя точками С, О, Е, а во втором — следами Ру и Р .  [c.55]


КОМПЛЕКСНЫЕ ЧЕРТЕЖИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ  [c.73]

Если одна из прямых является профильной, то взаимное положение такой линии с любой другой линией можно установить по их профильным проекциям (рис. 45). Прямые линии ef, e f и d, d являются скрещивающимися.  [c.40]

Длина отрезка MN EiN t EiM равна сумме полуосей эллипса. Она постоянна для любого положения точек Е и Е. Поэтому, если взять отрезок определенной длины и передвигать его двумя закрепленными точками М и N по. двум взаимно перпендикулярным прямым, то любая точка Ei этого отрезка опишет эллипс.  [c.150]

На плоскость проекций, параллельную осям вращения поверхностей, эти окружности будут проецироваться в прямые, а на другие плоскости проекций — или без искажения, или в эллипсы, в зависимости от взаимного положения оси вращения поверхности и плоскости проекций (если они взаимно перпендикулярны, то без искажения, как на рис. 64 65).  [c.73]

Задачи на определение взаимного положения точек, прямых и плоскостей  [c.35]

Глава IV ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И плоскости, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ  [c.22]

Для определения взаимного положения точки и профильной прямой приходится пользоваться прямой преломления ломаных линий связи, соединяющих разноименные проекции точек профильной прямой, или прибегнуть к построению профильной проекции.  [c.46]

На рис. 46, б показано определение взаимного положения профильных прямых р и р при помощи построения их профильных проекций. Так как проекции pз и рз пересекаются в точке К , то данные прямые р и р также пересекаются в точке К (Кь К2, Кз)-  [c.49]

Для определения взаимного положения точки и плоскости общего положения следует провести на данной плоскости какую-нибудь вспомогательную прямую, конкурирующую с данной точкой, и определить взаимное положение данной точки и вспомогательной прямой.  [c.50]

О на угол 90° в направлении меньшего из двух углов, образованных полудиаметрами. Новое положение этого полудиаметра — ОЛ1. Через-точки Ai и В проводим прямую отрезок AiB точкой С делим пополам радиусом СО из точки С, ак из центра, описываем дугу до пересечения ее с прямой Л,В в точках 1 и 2. Взаимно перпендикулярные прямые 01 и 02 определяют направления, соответственно большой и малой  [c.8]

Построение фигур, аффинно-соответственных искомой, можно выполнить, исходя из следующих соображений из теории параллельного проецирования известно, что любая пара треугольников, а также и любая пара параллелограммов инвариантны, так как две плоскости, в каждой из которых произвольно расположены три точки, не лежащие на одной прямой, можно привести в такое взаимное положение, при котором три точки одной плоскости будут параллельными проекциями любых трех точек другой плоскости. На этом основании всегда можно по горизонтальной проекции любой фигуры построить бесчисленное множество фигур, аффинно-соответствующих тем, фронтальные проекции которых требуется построить.  [c.27]

По чертежу видно, что Ях и Яг расположены на одной прямой, и так как они равны и направлены в противоположные стороны, то, следовательно, взаимно уравновешиваются. Оставшиеся силы Р и Рз переносим в точки С и О. Учитывая, что Рх=Рд=Р, а СО=р, можно сделать вывод силы Рх и Рд представляют собой данную пару сил, перемещенную в требуемое (произвольное) положение.  [c.44]

Если два винта пересекаются, то /г = О и, как показывает соотношение (2), эти винты могут быть взаимными только в том случае, когда их оси пересекаются под прямым углом или когда й и ш равны и обратны по знаку. Это последнее положение включает и тот случай, когда винты параллельны они в таком случае могут быть взаимными только при условии, если сумма их параметров равна нулю. Два винта, оси которых расположены под прямым углом, но не пересекаются, будут взаимными, если сумма параметров бесконечна.  [c.51]

Необходимо отметить, что, используя описанные в третьей главе преобразования чертежа, общий случай взаимного расположения прямой / и плоскости Ф можно привести к одному из частных вариантов. Это достигается преобразованием пл1Ккости Ф или прямой /общего положения в проецирующую. Однако такое решение, как правило, графически сложнее решения этой задачи по о(нцему алгоритму. Целесообразно применять то или иное преобразование чертежа, построенного в системе плоскостей проекций П,, П2, если прямая ИМ, /V) является профильной прямой уровня (рис. 4.. 71.  [c.105]


Когда говорят об onp vi jieHHH расстояния между д умя скрещивающимися прямыми, имеют в виду построение кратчайшего расстояния между ближайшими точками данных прямых, г,с, между основаниями их общего перпендикуляра. Распространенной задачей является определение точки (точек) какой-либо поверхности Ф, наиболее близко расположенной к данной точке М или расположенных на данном рао.тоянии от данной точки М. Когда рассматривают взаимное положение линии и поверхности или двух поверхностей, которые не пересекаются в действительных точках или по действительным линиям, возникает задача определения их минимального расстояния, под которым понимается расстояние между их ближайшими  [c.162]

Взаимное положение отрезка прямой и точки. Точка принадлежит прямой, если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой. В этом можно убедиться на следующем примере. Возьмем плоскость Н и три отрезка прямых (рис. 179,а) ВС — общего положения, ОЕ — горизонтальный и РК — горизонтально-проеиирующий На каждом отрезке зададим точку А. Построив горизонтальные проекции отрезков и точек А, увидим, что во всех  [c.90]

Если прямые являются профильными, то для определения взаимного положения прямых необходимо построить профильные проекции этих прямых. Например, рассматривая двухкартинный комплексный чертёж (на Я и Я/) прямых АВ и СО (рисунок 2.6), можно ошибочно сделать заключение, что они параллельны. В действительности прямые скрещиваются, что очевидно после построения профильной проекции. В случае, когда только одна из прямых занимает профильное положение, для определения взаимного положения прямых кроме построения профильной проекции можно использовать метод пропорционального деления отрезка если прямые пересекаются, то точка пересечения делит обе проекции профильного отрезка в одном и том же соотношении.  [c.22]

На рис. 155, д эта же задача выполнена с помощью способа вращения в той его форме, которую называют способом параллельного перемещения. Сначала прямую ВС и точку А, сохраняя неизменным их взаимное положение, поворачиваем вокруг некоторой (не обозначенной на чертеже) прямой, перпендикулярной к пл. Н, так, чтобы прямая ВС расположилась параллельно пл. V. Это равносильно перемещению точек А, В, С в плоскостях, параллельных пл. Н. При этом горизонт, проекция заданной системы (ЯС+/4) не изменяется ни по величине, ни по конфигурации, лишь изменяется ее положение относительно оси х. Располагаем горизонт, проекцию прямой ВС параллельно оси х (положение Ь с ) и определяем проекцию Oj, откладывая i i = с—1 и —1, причем ai/i l i/,.VnpOBefiH прямые aVj, с j параллельно оси j , находим на них фронт, проекции ь, а , с . Далее, перемещаем точки Bj, iU А в плоскостях, параллельных пл. V (также не изменяя их взаимного расположения), так, чтобы получить B. j Д пл. Я. При этом фронту проекция прямой расположится перпендикулярно к оси х, с = с , а для построения проекции надо взять Ь ь 2, провести 2j я отложить а 2 2. Теперь, проведя и ajOj х, получим проекции и Oj и искомое расстояние I от точки А до прямой ВС. Определить расстояние от А до ВС можно, повернув плоскость, определяемую точкой А и прямой ВС, вокруг горизонтали этой плоскости до положения Т пл. Н (рис. 155, е).  [c.111]

Решение. Отличие этой задачи от задачи 287 в том, что точка задана внутри поверхности вращения. Здесь также вопрос выбора положения осей решается при рассмотрении взаимного положения гочки А и окружности радиуса R (параллели) на поверхности вращения (рис. 272, б) Очевидно, что горизонт, проекция оси вращения (какая-либо точка О) должна быть расположена так, чтобы радиус Оа был не меньше расстояния точки О до ближайшей точки на окружности радиуса Предельные положения точки О (например. О,, Oj и др.) расположатся как точки эллипса с фокусами в точках а и с, с большой осью OjO на прямой /—3. Точка делит пополам отрезок а—/, а точка 0 —отрезок а—3. Если взять точки внутри этого эллипса и принять их за горизонт, проекции осей вращения, то вращением вокруг таких осей нельзя данную точку совместить с поверхностью вращения. Горизонт, проекции осей надо брать или на эллипсе, или вне его.  [c.226]

При частном расположении одной или двух прямых линий судить об их взаимном положении можно не по всем изображениям. На черт. 51 данные горизонтальная и фронтальная nptjeKUHH не 1тозволяют утверждать, что прямые а и р (М — N) пересекаются, так как трудно определить на глаз, принадлежит ли точка / одновременно прямым аир. Расположение профильных проекций позволяет точно ответить на поставленный вопрос прямые аир с срещиваются.  [c.16]

Чертеж позволяет судить о взаимном положении изображенных на нем прямой 1НИИИ и плоскости только в том случае, если он определяет характер их общей К1ЧКИ (или совпадение их точек). При частном расположении прямой -линии или плоскости, как на черт. 106—112, о взаимном положении их можно судить непосредственно. Чтобы сделать это в общем случае, необходимо, как правило, определить их общую точку. Эта задача, т. е. построение тдчки пересечения прямой линии с плоскостью, будет рассмотрена в гл. V.  [c.27]

Если же прямые одной из пар конкурирующих прямых параллельны, т. е. Р пР (см. рис. 56, б и в), то для выяснения взаимного положения следует другую пару рюнкурирующих прямых провести так, чтобы прямые этой пары не были параллельны соответствующим прямым первой пары. Тогда, если и прямые этой пары параллельны, т. е. Р т , то плоскости 0 и А — параллельны (см. рис. 56, б). Если же прямые Р и пересекаются в некоторой точке К, то плоскости пересекаются и прямая пересечения этих  [c.58]

Для выяснения вопроса о перпендикулярности данны.х прямых необходимо построить вспомогательную плоскость, перпендикулярную одной из данных прямых, и установить относительное положение второй прямой и вспомогательной плоскости. Если вторая прямая будет принадлежать вспомогательной плоскости или будет ей параллельна, то данные прямые взаимно пёрпендикулярныЕ Через произвольную точку А проведем горизонталь А и фронталь /, перпен-  [c.82]

Описание движения тела должно дать возможность определить движение любой его точки. Часто можно определить положение любой точки тела, если известно положение ограниченного числа отдельных его точек. Это имеет место в случае, когда взаимное расположение отдельных точек тела при движении практически не изменяется, т. е. тело при движении почти не деформируется. Если деформации тела малы и не играют принципиальной роли в рассматриваемом движении, то ими можно пренебречь и рассматривать тело как недеформируемое (абсолютно жесткое). Тогда для определения положения тела достаточно задать положения любых трех точек этого тела, не лежащих на одной прямой, иначе говоря, задать положение произвольного недес )ормнрующегося треугольника, жестко связанного с телом.  [c.49]


Действительно, ясно, что члены SZ, Sm, Sn, являющиеся общими для всех точек тела, представляют собою малые пути, пробегаемые телом по направлениям координат X, у, z при наличии какого-либо поступательного движения из формул пункта 8 того же отдела можно также увидеть, что члены z ЬМ—у S7V, xbN — zbL, у 8L — х8М представляют собою малые пути, проходимые по тем же направлениям каждой точкой тела вследствие вращательных движений SL, 8М, 87V вокруг трех осей х, у, z эти величины SL, SM, S7V соответствуют величинам с ф, rfw, d( упомя-. нутого выше пункта. Таким образом приведенные выше выражения можно было бы получить и непосредственно, исходя только из рассмотрения этих движений, что, правда, было бы проще, но представляло бы собою менее прямой путь. Изложенный же выше анализ приводит естественно к этим выражениям и этим доказывает более прямым путем и в более общем виде, чем это было сделано в пункте 10 отдела III, что, когда различные точки системы постоянно сохраняют неизменным свое взаимное положение, система в любое мгновение может иметь только поступательное движение в пространстве и вращательное движение вокруг трех взаимно перпендикулярных осей [1 ].  [c.233]

Статика твердого тела. Определение момента. В статике силу, действующую на твердое тело, определяют заданием 1) некоторой прямой, вдоль которой сила действует, 2) величины силы и 3) направления действия в ту или другую сторону этой прямой, но указание на прямой точки, к которой приложена сила, не обязательно, так как ее положение на прямой безразлично. Далее предполагается, что две силы вдоль пересекающихся. прямых эквивалентны одной силе, которая получается по правилу сложения векторов. Также предполагается, что равные и обратно направленные, действующие вдОль одной и той же прямой силы, взаимно уравновешиватот друг друга. Вместо перечисления всех этих свойств можно просто сказать, что сила имеет свойства скользящего вектора . На основании указанной в 6 аналогии существует полное соответствие между учением о системах сил и кинематической теорией бесконечно малых перемещений твердого тела. На основании этой аналогии можно формулировать ряд теорем статики без каких-либо доказательств, но рместе с тем поучительно рассмотреть эти теоремы с новой точки зрения, тем более что в историческом порядке статические теоремы предшествовали.  [c.37]

И остается таким образом постоянной. Скорости точек тела, лежащих вдоль ОК, направлены перпендикулярно к 0Z, и точки эти вращаются с указанной постоянной угловой скоростью. Эту угловую скорость, разумеется, следует отличать от той переменной скорости, с которою геометрическая плоскость ZOI вращается вокруг оси 0Z. Так как неизменяемая прямая 0Z всегда перпендикулярна ко всем последовательным положениям ОК в теле, то геометрическое место прямых ОК в теле есть конус, взаимный инвариантному конусу. Поэтому его урав-  [c.117]

Уточнение 2. Строго говоря, многообразие положений в задаче о круговом маятнике является окружностью S. Поэтому надо учесть, что точки q- -2nn, р) отвечают одному и тому же состоянию (это условно обозначается записью mod 2я). Чтобы получить взаимно-однозначное соответствие между состояниями маятника и точками фазового портрета, надо отождествить точки плоскости R (p, q), у которых координата отличается на2я/г. При этом полосы 2я прямое произведение S XR окружности S на прямую R. Как итог отождествлений он обозначается так R XS = R2/2nZ (цилиндр есть результат факторизации плоскости R2=R XR по группе сдвигов на 2пп в одном из сомножителей).  [c.232]


Прямая на плоскости – необходимые сведения

Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости – понятие

Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.

Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой».  Таким образом, получим представление о точке на плоскости.

Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.

Взаимное расположение прямой и точки

Имеем аксиому:

Определение 1

На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.

Точки обозначают как большими, так и маленькими латинскими буквами. Например, А и D или a и d.

Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.

Чтобы обозначить, принадлежит точка плоскости или точка прямой, используют знак «∈». Если в условии дано, что точка A лежит на прямой a, тогда это имеет такую форму записи A∈a. В случае, когда точка А не принадлежит, тогда  другая запись A∉a.

Справедливо суждение:

Определение 2

Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.

Данное высказывание считается акисомой, поэтому не требует доказательств. Если рассмотреть это самостоятельно, видно, что при существующих двух точках имеется только один вариант их соединения. Если имеем две заданные точки А и В, то прямую, проходящую через них можно назвать  данными буквами, например, прямая АВ. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:

Определение 3

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости. 

Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.

Если дано, что точки А и Р – концы отрезка, значит, его обозначение примет вид РА или АР.  Так как обозначения отрезка и прямой совпадают, рекомендовано дописывать или договаривать слова «отрезок», «прямая».

Краткая запись принадлежности включает в себя использование знаков ∈ и ∉. Для того, чтобы зафиксировать расположение отрезка относительно заданной прямой, применяют ⊂. Если в условии дано, что отрезок АР принадлежит прямой b, значит, и запись будет выглядеть следующим образом: АР⊂b.

Случай принадлежности одновременно трех точек одной прямой имеет место быть. Это верно, когда одна точка лежит между двумя другими. Данное утверждение принято считать аксиомой. Если даны точки А, В, С, которые принадлежат одной прямой, а точка В лежит между А и С, следует, что все заданные точки лежат на одной прямой, так как лежат по обе стороны относительно точки B .

Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:

Определение 4

Любая точка O, находящаяся на прямой, делит ее на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону луча относительно точки O, а другие – по другую сторону луча.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.

Определение 5

Две прямые на плоскости могут совпадать.

Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.

Определение 6

Две прямые на плоскости могут пересекаться.

Данный случай показывает, что имеется одна общая точка, которую называют пересечением прямых. Вводится обозначение пересечение знаком ∩. Если имеется форма записи a∩b=M, то отсюда следует, что заданные прямые a и b пересекаются в точке M.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

При пересечении прямых имеем дело образовавшимся углом. Отдельному рассмотрению подвергается раздел пересечения прямых на плоскости с образованием угла в 90 градусов, то есть прямого угла. Тогда прямые называют перпендикулярными. Форма записи двух перпендикулярных прямых такая: a⊥b, а это значит, что прямая a перпендикулярна прямой b.

Определение 7

Две прямые на плоскости могут быть параллельны.

Только в том случае, если две заданные прямые не имеют общих пересечений, а, значит, и точек, они параллельны. Используется обозначение, которое можно записать при заданной параллельности прямых a и b: a∥b.

Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.

Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.

Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.

Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:

  • если две прямые параллельны третьей, тогда они все параллельны;
  • если две прямые перпендикулярны третьей, тогда эти две прямые параллельны;
  • если на плоскости прямая пересекла одну параллельную прямую, тогда пересечет и другую.

Рассмотрим это на рисунках.

Способы задания прямой на плоскости

Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.

Определение 8

Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.

Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки.

Определение 9

Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.

Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.

Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.

Определение 10

Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.

Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.

Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:

Определение 11

Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.

 

И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.

Выясните взаимное расположение прямой и окружности

Ответ

Центр окружности расположен в точке <0; 0>и ее радиус равен 2.

Перепишем уравнение прямой в виде y = -x +2

Угол ее наклона равен -45° к оси OX и она сдвинута на 2 вверх от центра координат.

Следовательно она пересекает окружность в точках <0; 2>и

Расстояние от центра координат (центра окружности) до прямой равно длине высоты опущенной из вершины прямого угла равностороннего прямоугольного треугольника с катетом равным 2.

Описание разработки

Взаимное расположение прямой и окружности

Окружность с центром в точке О радиуса r

Прямая, которая не проходит через центр О

Расстояние от центра окружности до прямой обозначим буквой s

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки .

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку .

Содержимое разработки

Взаимное расположение прямой и окружности

УЧЕНИК 9 КЛАССА

УЧИТЕЛЬ: ЛАТА С. В.

Взаимное расположение прямой и окружности

  • Окружность с центром в точке О радиуса r
  • Прямая, которая не проходит через центр О
  • Расстояние от центра окружности до прямой обозначим буквой s

  • Если расстояние от центра окружности до прямойменьшерадиуса окружности, то прямая и окружность имеютдве общие точки.

Прямая АВ называется секущей по отношению к окружности.

  • Если расстояние от центра окружности до прямойравнорадиусу окружности, то прямая и окружность имеюттолько одну общую точку.

Касательная к окружности

Определение: П рямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Выясните взаимное расположение прямой и окружности, если:

  • прямая – секущая
  • прямая – секущая
  • общих точек нет
  • прямая – секущая
  • прямая – касательная
  • r = 15 см, s = 11 см
  • r = 6 см, s = 5 ,2 см
  • r = 3,2 м, s = 4 ,7 м
  • r = 7 см, s = 0,5 дм
  • r = 4 см, s = 4 0 мм

  • OABC- квадрат
  • AB = 6 см
  • Окружность с центром O радиуса 5 см

секущие из прямых OA , AB , BC , АС

С войство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

m – касательная к окружности с центром О

М – точка касания

Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является к асательной.

окружность с центром О

m – прямая, которая проходит через точку М

Свойство касательных, проходящих через одну точку:

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Мы приступаем к изучению новой темы и будем изучать окружность. На данном уроке мы рассмотрим все случаи взаимного расположения прямой и окружности и узнаем, что общих точек у них может быть две, одна или ни одной.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Основные определения

Напомним важное определение – определение окружности]

Определение:

Окружностью с центром в точке О и радиусом R называют множество всех точек плоскости, удаленных от точки О на расстояние R.

Обратим внимание на то, что окружностью называют именно множество всех точек, удовлетворяющих описанному условию. Рассмотрим пример:

Точки A, B, C, D квадрата равноудалены от точки Е, но они не являются окружностью (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

В данном случае фигура является окружностью, так как это все множество точек, равноудаленных от центра.

Если соединить любые две точки окружности – получаем хорду. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

MB – хорда; АВ – диаметр; MnB – дуга, она стягивается хордой МВ;

Угол называется центральным.

Точка О – центр окружности.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Таким образом, мы вспомнили, что такое окружность и основные ее элементы. Теперь перейдем к рассмотрению взаимного расположения окружности и прямой.

Задана окружность с центром О и радиусом r. Прямая Р, расстояние от центра до прямой, то есть перпендикуляр ОМ, равна d.

Считаем, что точка О не лежит на прямой Р.

Взаимное расположение прямой и окружности, случай с двумя общими точками

По заданным окружности и прямой нам необходимо найти число общих точек.

Случай 1 – расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности:

В первом случае, когда расстояние d меньше радиуса окружности r, точка М лежит внутри окружности. От этой точки мы отложим два отрезка – МА и МВ, длинна которых будет

Читайте также:  Инстаграм вылетает при запуске

Рис. 3. Иллюстрация к случаю 1

Расстояние от центра до двух точек равно радиусу окружности, таким образом, мы доказали, что точки А и В принадлежат окружности.

Итак, точки А и В принадлежат прямой по построению, принадлежат окружности по доказанному – окружность и прямая имеют две общих точки. Докажем, что других точек нет (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Для этого возьмем на прямой произвольную точку С и предположим, что она лежит на окружности – расстояние ОС=r. В таком случае треугольник равнобедренный и его медиана ON, которая не совпадает с отрезком ОМ, является высотой. Мы получили противоречие: из точки О опущено два перпендикуляра на прямую.

Таким образом, на прямой Р нет других общих точек с окружностью. Мы доказали, что в случае, когда расстояние d меньше радиуса окружности r, прямая и окружность имеют только две общие точки.

Взаимное расположение прямой и окружности, случай с одной общей точкой

Случай второй – расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (рис. 5):

Рис. 5. Иллюстрация к случаю 2

Напомним, что расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, в данном случае ОН – перпендикуляр. Так как, по условию, длина ОН равна радиусу окружности, то точка Н принадлежит окружности, таким образом, точка Н общая для прямой и окружности.

Докажем что других общих точек нет. От противного: предположим, что точка С на прямой принадлежит окружности. В таком случае, расстояние ОС равно r, и тогда ОС равно ОН. Но в прямоугольном треугольнике гипотенуза ОС больше катета ОН. Получили противоречие. Таким образом, предположение неверно и нет никакой точки кроме Н, общей для прямой и окружности. Мы доказали, что в данном случае общая точка единственная.

Взаимное расположение прямой и окружности, случай, когда нет общих точек

Случай 3 – расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра. Проводим из точки О перпендикуляр к прямой Р, получаем точку Н, которая не лежит на окружности, так как ОН по условию больше радиуса окружности. Докажем, что любая другая точка прямой не лежит на окружности. Это хорошо видно из прямоугольного треугольника , гипотенуза ОМ которого больше катета ОН, а значит, больше радиуса окружности, таким образом, точка М не принадлежит окружности, как и любая другая точка на прямой. Мы доказали, что в данном случае окружность и прямая не имеют общих точек (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к случаю 3

Теоремы о диаметре и хорде

Рассмотрим теорему. Предположим, что прямая АВ имеет две общих точки с окружностью (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Имеем хорду АВ. Точка Н, по условию, – середина хорды АВ и лежит на диаметре СD.

Требуется доказать, что в таком случае диметр перпендикулярен хорде.

Рассмотрим равнобедренный треугольник Точка Н, по условию, – середина хорды, значит середина медианы АВ равнобедренного треугольника. Мы знаем, что медиана равнобедренного треугольника перпендикулярна его основанию, значит, является высотой:

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим равнобедренный треугольник Выводы по уроку

Итак, мы рассмотрели все случаи взаимного расположения прямой и окружности. На следующем уроке мы рассмотрим касательную к окружности.

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Задание 1. Найти длины двух отрезков хорды, на которые разделяет ее диаметр окружности, если длина хорды – 16 см, а диаметр ей перпендикулярен.

Задание 2. Указать количество общих точек прямой и окружности, если:

а) расстояние от прямой до центра окружности – 6 см, а радиус окружности – 6,05 см;

б) расстояние от прямой до центра окружности – 6,05 см, а радиус окружности – 6 см;

в) расстояние от прямой до центра окружности – 8 см, а радиус окружности – 16 см.

Задание 3. Найти длину хорды, если диаметр ей перпендикулярен, а один из отрезков, отсекаемых диаметром от нее, равен 2 см.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Взаимное расположение прямой и окружности

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Окружность
  5. Взаимное расположение прямой и окружности

Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках - концах диаметра, лежащего на на этой прямой. На рисунке 1 прямая проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.

      

Если прямая не проходит через центр О окружности радиуса , то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием от центра окружности до прямой .

1 случай

. На прямой от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны . Точки А и В по построению лежат на одной прямой (Рис.2).

Проверим, лежат ли точки А и В на окружности.

АНО и ВНО - прямоугольные (т.к. расстояние от точки О до прямой - это перпендикуляр) , следовательно, по теореме Пифагора: и , учитывая то, что ОН = , НА = НВ = , получим:

Поэтому точки А и В лежат на окружности и, значит, являются общими точками прямой и данной окружности,.

Докажем, что прямая и данная окружность не имеют других общих точек. Предположим, что они имеют еще одну общую точку С, значит, ОС = (Рис.3).

Тогда медиана ОD равнобедренного ОАС (ОА = ОС = ), проведенная к основанию АС, является высотой этого треугольникам (по свойству равнобедренного треугольника), поэтому OD . Отрезки ОD  и ОН не совпадают, т.к. середина D отрезка АС не совпадает с точкой Н - серединой отрезка АВ. Мы получили, что из точки О проведены два перпендикуляра (отрезки ОН и ОD) к прямой , что невозможно (т.к. из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один). Следовательно, наше предположение неверно, т.е. точка С не является общей точкой прямой и данной окружности.

Вывод:

В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности (на рисунке 2  прямая - секущая).

2 случай

= . В этом случае ОН = , т.е. точка Н лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности (Рис.4).

Прямая и окружность не имеют других общих точек, т.к. для любой точки М прямой , отличной от точки Н, ОМОН = (наклонная ОМ всегда больше перпендикуляра ОН), и, следовательно, точка М не лежит на окружности.

Вывод:

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ( = ), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности (на рисунке 4 прямая - касательная).

3 случай

. В этом случае, ОН , поэтому для любой точки М прямой ОМОН (Рис. 5). Следовательно, точка М не лежит на окружности.

Вывод:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Касательная к окружности

Градусная мера дуги окружности

Теорема о вписанном угле

Свойство биссектрисы угла

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Теорема о пересечении высот треугольника

Вписанная окружность

Описанная окружность

Окружность

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 631, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 632, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 647, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 660, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 661, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 670, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 671, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 724, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 877, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Взаимное расположение прямой и окружности

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс

по учебнику Л.А.Атанасяна

Как вы думаете, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность?

О

Сначала вспомним как задаётся окружность

B

D

Окружность (О, r )

О

A

r

r – радиус

С

АВ – хорда

CD - диаметр

Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в первом случае:

Н

А

В

d

d

r

О

две общие точки

АВ – секущая

d – расстояние от центра окружности до прямой

Второй случай:

d = r

одна общая точка

Н

d

r

О

d – расстояние от центра окружности до прямой

r d r не имеют общих точек О d – расстояние от центра окружности до прямой"

Третий случай:

H

d r

d

r

не имеют общих точек

О

d – расстояние от центра окружности до прямой

r , то прямая и окружность не имеют общих точек"

d

r

r

r

а

а

а

d

d

О

О

О

Если d = r ,

то прямая и окружность имеют одну общую точку

прямая а – касательной к окружности

Если d r ,

то прямая и окружность имеют две общих точки

прямая а - секущая

Если d r ,

то прямая и окружность не имеют общих точек

Касательная к окружности

Определение: П рямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

M

m

s = r

O

Выясните взаимное расположение прямой и окружности, если:

  • прямая – секущая
  • прямая – секущая
  • общих точек нет
  • прямая – секущая
  • прямая - касательная
  • r = 15 см, s = 11 см
  • r = 6 см, s = 5 ,2 см
  • r = 3,2 м, s = 4 ,7 м
  • r = 7 см, s = 0,5 дм
  • r = 4 см, s = 4 0 мм

Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

M

m – касательная к окружности с центром О

М – точка касания

OM - радиус

m

O

Свойство касательных, проходящих через одну точку:

Отрезки касательных к

окружности, проведенные

из одной точки, равны и

составляют равные углы

с прямой, проходящей через

эту точку и центр окружности.

▼ По свойству касательной

∆ АВО, ∆ АСО–прямоугольные

∆ АВО= ∆ АСО–по гипотенузе и катету:

ОА – общая,

ОВ=ОС – радиусы

АВ=АС и

В

1

А

О

3

4

2

С

Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является к асательной.

M

m

окружность с центром О

радиуса OM

m – прямая, которая проходит через точку М

и

m – касательная

O

Решите № 633.

Дано:

  • OABC- квадрат
  • AB = 6 см
  • Окружность с центром O радиуса 5 см

Найти:

секущие из прямых OA , AB , BC , АС

А

О

О

С

В

Решите № 638, 640.

д/з: выучить конспект, № 631, 635

Прямая линия - положение точки относительно линии

Здравствуйте. Этот урок будет посвящен относительно простой концепции по сравнению с недавно рассмотренным параметрическим уравнением, что позволит вам немного расслабиться.

Основное внимание будет уделено определению относительного положения двух (или более) точек относительно данной линии. То есть, лежат ли две заданные точки по одну сторону от заданной линии или напротив.

Пусть L будет заданной линией, уравнение которой: ax + by + c = 0 и P (x 1 , y 1 ) и Q (x 2 , y 2 ) - два балла.Как мы узнаем, что P и Q лежат на одной или противоположных сторонах L ? Чтобы ответить на этот вопрос, мы воспользуемся формулой сечения.

Пусть PQ взаимодействует с L в R (x, y) . У нас может быть одна из следующих ситуаций (но мы не знаем, какая из них).

И предположим, что эта точка R делит PQ в соотношении m: n .Теперь, используя формулу сечения, координаты R будут

.

\ ((\ frac {mx_2 + nx_1} {m + n}, \ frac {my_2 + ny_1} {m + n}) \)

Поскольку R также лежит на линии ax + by + c = 0 , его координаты будут удовлетворять уравнению. Следовательно, имеем

a (mx 2 + nx 1 ) + b (my 2 + ny 1 ) + c (m + n) = 0

\ (\ Rightarrow \ frac {m} {n} = - \ frac {ax_1 + by_1 + c} {ax_2 + by_2 + c} \) … I

Теперь вот как мы определим относительное положение двух точек.

Если ax 1 + на 1 + c и ax 2 + на 2 + c имеют противоположный знак (т.е. один положительный и другой отрицательный), то RHS из [I] будет положительным, что делает m / n положительным, что означает, что R делит PQ в соотношении m: n внутри .

И это может произойти только тогда, когда R лежит между P и Q , что означает, что P и Q лежат на противоположных сторонах данной линии.

С другой стороны, если ax 1 + на 1 + c и ax 2 + на 2 + c имеют одинаковый знак (т.е. оба положительные или оба отрицательные), тогда правая часть [I] будет отрицательной, что составляет m / n отрицательным, что означает, что R делит PQ в соотношении m: n внешне .

И это может произойти только в том случае, если R лежит за пределами линейного сегмента PQ , что означает, что P и Q лежат на той же стороне данной линии.

Вот и все!

Резюме урока

  1. Две заданные точки P (x 1 , y 1 ) и Q (x 2 , y 2 ) будут лежать на той же стороне линии ax + by + c = 0 , если ax 1 + на 1 + c и ax 2 + на 2 + c будет иметь одинаковых знаков .
  2. С другой стороны, P (x 1 , y 1 ) и Q (x 2 , y 2 ) будут лежать на , противоположных сторонам линии ax + by + c = 0 , если ax 1 + by 1 + c и ax 2 + by 2 + c будет иметь напротив знаков.

PS: Возможен случай, когда PQ не пересекает линию L . Это произойдет, когда PQ параллельна данной линии, что означает, что P и Q лежат на одной стороне линии. Об этом деле отдельно можно не беспокоиться.

Увидимся на следующем уроке с несколькими примерами.

Прямая линия - положение точки относительно линии: примеры

В этом уроке будет рассмотрено несколько простых примеров, связанных с тем, что я недавно рассмотрел.

Пример 1 Покажите, что точки (1, 2) и (3, 4) лежат на противоположных сторонах прямой x + y - 4 = 0.

Решение Easy! Все, что вам нужно сделать, это ввести значения координат в данное уравнение и проверить знаки.

Для первой точки 1 + 2 - 4 = - 1 <0, а для второй 3 + 4 - 4 = 3> 0. Противоположные знаки!

Следовательно, две точки лежат на противоположных сторонах линии. Вот как все выглядит ..

Далее..

Пример 2 Покажите, что начало координат лежит внутри треугольника со сторонами x + y = 4, y - 2x = 4 и x - 4y = 4.

Решение Хм .. это требует немного больше размышлений. Сначала я покажу вам цифру.

А теперь уловка. Обратите внимание, что начало координат (или любая другая точка внутри треугольника) имеет следующее свойство: оно будет на той же стороне по отношению к любой заданной стороне, что и вершина, противоположная этой стороне.

Другими словами, O и A будут на одной стороне BC, O и B будут лежать на одной стороне CA, а O и C будут лежать на одной стороне AB.

Если хотя бы одно из этих трех условий не выполняется, то точка O будет лежать вне треугольника. Попытайтесь понять это сами, должно быть легко.

Теперь все, что нам нужно сделать, это проверить эти три условия. Я сделаю небольшую таблицу, чтобы показать это. Обратите внимание, что перед проверкой знаков мы должны преобразовать уравнения в форму ax + на + c = 0.

Сторона Знак напротив вершины Знак w.r.t O
AB: x + y - 4 = 0 (-60/7) -ve (-4) -ve
до н.э .: x - 4y - 4 = 0 (-20) -вэ (-4) -ve
CA: -2x + y - 4 = 0 (-12) -ve (-4) -ve

И все, мы получили то, что нам было нужно!

O и A лежат на одной стороне BC, O и B лежат на одной стороне CA, а O и C лежат на одной стороне AB.

Следовательно, точка O лежит внутри треугольника.

Этого достаточно для этой темы. В следующем уроке я расскажу о семействе линий. Встретимся там !

Относительные положения между прямыми

Две прямые на плоскости могут быть секущими, параллельными или совпадающими.

На следующем рисунке показаны 3 возможные ситуации:

Давайте посмотрим, как различать эти три случая. Необходимо отметить, что существует несколько способов сделать это, в зависимости от уравнения прямой, которое у нас есть.

Очевидно, что все они будут эквивалентны, и если мы знаем, как перейти от одного уравнения прямой к другому, любой из следующих методов будет работать.

Давайте посмотрим на геометрический и алгебраический способы решения задачи:

С геометрической точки зрения, если мы рассматриваем две совпадающие прямые как частный случай параллелизма, у нас есть две прямые в плоскости, которые могут быть только параллельными или секущими.

Когда две прямые параллельны?

Когда их векторы директора параллельны.

Когда два вектора параллельны?

Когда одно пропорционально другому. То есть, если у нас есть векторы $$ \ overrightarrow {u} $$ и $$ \ overrightarrow {v} $$, они должны быть такими, что $$ \ overrightarrow {u} = k \ cdot \ overrightarrow {v} $ $, где $$ k $$ может быть любым действительным числом.

В координатах, если $$ \ overrightarrow {u} = (u_1, u_2) $$ и $$ \ overrightarrow {v} = (v_1, v_2) $$, векторы пропорциональны и, следовательно, параллельны тогда и только тогда, когда $$$ \ dfrac {u_1} {v_1} = \ dfrac {u_2} {v_2} $$$

Таким образом, у нас уже есть геометрический способ определения относительного положения двух прямых линий - путем проверки, параллельны ли их векторы директора или нет:

  • Директора параллельных векторов:
    • Если прямые линии имеют общую точку, они совпадают и совпадают.
    • Если прямые не имеют общей точки, они параллельны.
  • Непараллельные векторы директора: прямые линии секущие.

Важно отметить, что, как правило, две параллельные прямые имеют векторы директора с пропорциональными компонентами и равными наклонами.

Рассмотрим прямые $$ r $$ и $$ s $$, уравнения которых равны соответственно $$ y = 2x-7 $$ и $$ \ dfrac {x-1} {3} = \ dfrac {y-2 } {5} $$ и найдите относительное положение между ними и, если они были секущими, точкой пересечения.

Сначала ищем управляющие векторы обеих прямых.

Для $$ y = 2x-7 $$ получаем, что наклон равен $$ m = 2 $$. Следовательно, $$ \ overrightarrow {u} = (1, 2) $$ - вектор-директор прямой $$ r $$.

Для $$ \ dfrac {x-1} {3} = \ dfrac {y-2} {5} $$ у нас есть $$ \ overrightarrow {v} = (3, 5) $$, который является векторным директором прямая $$ s $$.

Следовательно, если разделить компонент на компонент, мы получим: $$$ \ dfrac {u_1} {v_1} = \ dfrac {1} {3} \ neq \ dfrac {2} {5} = \ dfrac {u_2} {v_2} $$$ поэтому векторы директора не параллельны, а прямые - секущие.

Решаем систему уравнений, образованную уравнениями обеих прямых, чтобы найти точку пересечения:

$$$ \ left \ {\ begin {array} {c} y = 2x-7 \\ \ dfrac {x-1} {3} = \ dfrac {y-2} {5} \ end {array} \ верно. \ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {array} {c} y = 2x-7 \\ \ dfrac {x-1} {3} = \ dfrac {2x-7-2} {5} \ end {array} \ верно. \ Leftrightarrow $$$ $$$ \ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {array} {c} y = 2x-7 \\ 5x-5 = 6x-27 \ end {array} \ right. \ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {array} {c} y = 2x-7 \\ x = 22 \ end {array} \ right.\ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {array} {c} y = 37 \\ x = 22 \ end {array} \ right. $$$

Следовательно, точка пересечения двух прямых есть $$ P = (22, 37) $$

С более алгебраической точки зрения, мы можем проанализировать взаимное положение двух прямых линий $$ r $$ и $$ s $$, основываясь на количестве решений системы двух уравнений, которые образуют выражения прямой строки $$ r $$ и $$ s $$.

Например, если мы рассмотрим две прямые $$ r $$ и $$ s $$ и их соответствующие неявные уравнения:

$$ \ left \ {\ begin {array} {l} r: \ ax + by + c = 0 \\ s: \ a'x + b'y + c '= 0 \ end {array} \ right.

$

Имеем систему уравнений:

$$ \ left \ {\ begin {array} {l} ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + c '= 0 \ end {array} \ right. $$

, где точки пересечения рассматриваются как решение между прямыми $$ r $$ и $$ s $$. Следовательно,

  • Если у системы нет решения, прямые параллельны.

  • Если система имеет бесконечное количество решений, прямые линии совпадают.

  • Если система имеет 1 решение, прямые линии секущие.

Рассмотрим следующие пары прямых линий и определим их относительное положение.

a) $$ \ left \ {\ begin {array} {c} -x + y = -1 \\ 2x + 3y + 3 = 0 \ end {array} \ right. $$

Решаем систему уравнений: $$$ \ left \ {\ begin {array} {c} -x + y = -1 \\ 2x + 3y + 3 = 0 \ end {array} \ right. \ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {array} {c} -2x + 2y = -2 \\ 2x + 3y = -3 \ end {array} \ right. \ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {eqnarray} & & -2x + 2y = -2 \\ & + & \ underline {\ \ \ 2x + 3y = -3} \\ & & \ \ \ 0 \ \ + 5y = -5 \ end {eqnarray} \ right.$$$

И решение системы: $$ x = 0, \ y = -1 $$. Тот факт, что решение является только одним, указывает нам, что прямые являются секущими, а точка пересечения является решением системы.

b) $$ \ left \ {\ begin {array} {c} x + 2y = 2 \\ 2x + 4y + 1 = 0 \ end {array} \ right. $$

Решаем систему уравнений: $$$ \ left \ {\ begin {array} {c} x + 2y = 2 \\ 2x + 4y + 1 = 0 \ end {array} \ right. \ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {array} {c} -2x-4y = -4 \\ 2x + 4y = -1 \ end {array} \ right. \ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {eqnarray} & & -2x-4y = -4 \\ & + & \ underline {\ \ \ 2x + 4y = -1} \\ & & \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ = -5 \ end {eqnarray} \ right.$$$

И поскольку система не имеет решения, мы можем сделать вывод, что эти две прямые параллельны.

c) $$ \ left \ {\ begin {array} {c} -x + y = 1 \\ 2x-2y = -2 \ end {array} \ right. $$

Решаем систему уравнений: $$$ \ left \ {\ begin {array} {c} -x + y = 1 \\ 2x-2y = -2 \ end {array} \ right. \ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {array} {c} -2x + 2y = 2 \\ 2x-2y = -2 \ end {array} \ right. \ Leftrightarrow \ left \ {\ begin {eqnarray} & & -2x + 2y = 2 \\ & + & \ underline {\ \ \ 2x-2y = -2} \\ & & \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ = 0 \ end {eqnarray} \ right.$$$

И поскольку система имеет бесконечное количество решений, эти две прямые должны совпадать.

Относительные положения прямой и плоскости

Чтобы определить относительное положение прямой $$ r (A '; \ overrightarrow {v}) $$ и плоскости $$ \ pi (P; \ overrightarrow {u}, \ overrightarrow {v}) $$, мы выражаем прямую линию с помощью ее неявных уравнений, а плоскость - с помощью ее общего уравнения:

$$$ r: \ left \ {\ begin {array} {rcl} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 & = & 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 & = & 0 \ end {array} \ right.\\ \ pi: Ax + By + Cz + D = 0 $$$

Далее мы рассматриваем систему, образованную тремя уравнениями, и записываем матрицу $$ M $$ и расширенную матрицу $$ M '$$, связанную с этой системой:

$$$ M = \ begin {pmatrix} A & B & C \\ A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \ end {pmatrix} $$$

$$$ M '= \ begin {pmatrix} A & B & C & -D \\ A_1 & B_1 & C_1 & -D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 & -D_2 \ end {pmatrix} $$$

По совместимости системы определим их взаимное расположение:

Совместимая система

Определено

$$ ранг (M) = ранг (M ') = 3 $$

Определенная совместимая система.Прямая и плоскость секущие.

Неопределенный

$$ ранг (M) = ранг (M ') = 2 $$

Неопределенная совместимая система. Решения зависят от параметра. Прямая проходит в плоскости.

Несовместимая система

$$ ранг (M) = 2 \ neq ранг (M ') = 3 $$

Несовместимая система. Прямая и плоскость параллельны.

Определите относительное положение прямой $$ r: (x, y, z) = (2, -1, 0) + k \ cdot (1, 2, 1) $$ и плоскости $$ \ pi: (х, у, z) = (5, 0, 0) + l \ cdot (3, 0, 1) + m \ cdot (4, -1, 1) $$

Мы начинаем с рассмотрения матрицы, столбцы которой являются компонентами трех векторов директора (2 плоскости и 1 прямой), и находим ее ранг:

$$$ | M | = \ left | \ begin {matrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \ end {matrix} \ right | = 0 $$$

Следовательно, $$ rank (M) = 2 $$, и прямая линия будет ограничена или будет параллельна плоскости.

Чтобы увидеть, с каким случаем мы столкнулись, мы можем взять точку прямой линии $$ P $$ и посмотреть, принадлежит ли она плоскости $$ \ pi $$.

$$$ P = (2, -1,0) $$$

Подставляем в $$ \ pi $$:

$$$ \ begin {array} {rcl} 2 & = & 5 + 3 \ cdot l +4 \ cdot m \\ -1 & = & -m \\ 0 & = & l + m \ end {array} $$$

Следовательно, $$ m = 1, l = -1 $$, и мы видим, что точка не принадлежит плоскости.

Таким образом, прямая и плоскость параллельны.

Положение двух точек относительно данной линии - Учебный материал для IIT JEE

Пусть линия будет ax + by + c = 0 и P (x 1 , y 1 ), Q (x 2 , y 2 ) будут двумя точками.

Корпус 1:

Если P (x 1 , y 1 ) и Q (x 2 , y 2 ) находятся на противоположных сторонах линии
ax + by + c = 0, то точка R на прямой ax + by + c = 0 делит линию PQ внутри в соотношении m 1 : m 2 , где m 1 / m 2 должен быть положительным.

Координаты R

ар (м 1 x 2 + м 2 x 1 / м 1 + м 2 , м 1 y 2 + м 2 y 1 / м 1 + м 2 ).

Точка R лежит на прямой ax + by + c = 0.

⇒ m 1 / m 2 = ax 1 + by 1 + c / ax 2 + by 2 + c> 0

Таким образом, ax 1 + на 1 + c и ax 2 + by 2 + c должны иметь противоположные знаки.

Дело 2:

Если ax 1 + by 1 + c и ax 2 + by 2 + c имеют одинаковые знаки, то m 1 / m 2 = –ve, так что точка R на line ax + by + c = 0 разделит линию PQ внешне в соотношении m 1 : m 2 и точки P (x 1 , y 1 ) и Q (x 2 , y 2 ) находятся по одну сторону от прямой ax + by + c = 0.

Иллюстрация:

Найдите диапазон θ в интервале (0, π), такой, что точки (3, 5) и (sinθ, cosθ) лежат по одну сторону от прямой x + y - 1 = 0.

Решение:

3 + 5-1 = 7> 0 ⇒ sinθ + cosθ - 1> 0

⇒ грех (π / 4 + θ)> 1 / √2

⇒ π / 4 <π / 4 + θ <3π / 4

⇒ 0 <θ <π / 2.

Иллюстрация:

Найдите a, если (α, α 2 ) лежит внутри треугольника со сторонами вдоль прямых

2x + 3y = 1, x + 2y - 3 = 0, 6y = 5x - 1.

Решение:

Пусть A, B, C - вершины треугольника.

A ≡ (–7, 5), B ≡ (5/4, 7/8),

C ≡ (1/3, 1/9).

Знак A w.r.t. BC - это –ve.

Если p лежит внутри ¦ABC, то знак P будет таким же, как знак w.r.t. линия ВС

⇒ 5α - 6α 2 - 1 <0. …… (1)

Аналогично 2α + 3α 2 - 1> 0. …… (2)

А, α + 2α 2 - 3 <0. …… (3)

Решая (1), (2) и (3) относительно α с последующим пересечением,

Получаем α? (1/2, 1) ∪ (–3/2, –1).

Иллюстрация:

Уравнения серединных перпендикуляров сторон AB и AC треугольника ABC равны x - y + 5 = 0 и x + 2y = 0. Если координаты A равны (1, –2), найти уравнение BC.

Решение:

На рисунке

E ≡ (x 1 +1/2, y 1 –2/2),

F ≡ (x 2 +1/2, y 2 –2/2).

Альтернативный текст: Уравнения серединных перпендикуляров сторон треугольника

Поскольку E и F лежат на OE и OF соответственно,

x 1 - y 1 + 13 = 0… (1)

и x 2 + 2y 2 - 3 = 0… (2)

Кроме того, наклон AB = –1 и наклон AC равен 2, так что

x 1 + y 1 + 1 = 0.… (3)

И 2x 2 - y 2 - 4 = 0… (4)

Решая эти уравнения, мы получаем координаты B и C как

B (–7, 6) и C ≡ (11/5, 2/5)

⇒ Уравнение BC: 14x + 23y - 40 = 0.

Иллюстрация:

Две фиксированные точки A и B взяты на осях координат, так что OA = a и OB = b. Две переменные точки A ’и B’ взяты на одних и тех же осях, так что OA ’+ OB’ = OA + OB.Найдите геометрическое место точки пересечения AB ’и A’B.

Решение:

Пусть A ≡ (a, 0), B (0, b), A ’≡ (a’, 0), B ’≡ (0, b’).

Уравнение A’B: x / a '+ y / b' = 1.…. (1)

и уравнение AB ’: x / a + y / b '= 1.…. (2)

Вычитая (1) из (2), получаем x (1 / a - 1 / a ') + y (1 / b' - 1 / b) = 0.

⇒ x (a'– a) / aa '+ y (b – b') / bb '= 0. [Используя a ’- a = b - b’]

⇒ x / a (b – b '+ a) + y / bb', 0 ⇒ b ’= a (a + b) y / ay – bx.… .. (3)

Из (2) b’x + ay = (4) получаем x + y = a + b

, который является требуемым локусом.

Чтобы узнать больше, купите учебные материалы по Straight Lines , включающие учебные заметки, заметки о пересмотре, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т.д. здесь .

(PDF) Динамическая визуализация относительного положения прямых линий на плоскости с помощью Mathematica

Динамическая визуализация относительного положения прямых

линий на плоскости с помощью Mathematica

Higinio Ramos

Applied Mathematics Dpt./ Научно-вычислительная группа

Политехническая школа Заморы

Университет Саламанки

+34 980 545000

[email protected]

Susana Nieto

Кафедра прикладной математики / инст. наук об образовании

Политехническая школа Заморы

Университет Саламанки

Телефон +34 980 545000

[email protected]

РЕЗЮМЕ

В этой статье представлено предложение, основанное на графических возможностях

в качестве языка программирования система Mathematica

с целью улучшения математических знаний и навыков визуализации

студентов первого курса инженерных специальностей.Посредством динамического содержимого

команды Manipulate эта инициатива пытается улучшить понимание некоторого алгебраического содержимого, связанного

с евклидовой геометрией, точнее, относительного положения

двух или трех прямых линий на самолете. Для достижения цели

была разработана специальная процедура, разделенная на две части

. Первый из них позволяет студентам фиксировать параметры

прямой линии на плоскости и динамически изменять (на

с помощью курсора) параметры второй прямой между

некоторыми заранее заданными значениями, которые также могут может быть изменен пользователем

.Обе линии представлены одновременно в окне

, которое предлагает немедленную информацию об относительном положении,

и которое также дает значение расстояния между линиями, если

они параллельны, или координаты их общей точки, если они

крест. На втором этапе процедура была расширена для фиксации двух прямых линий

, а также для визуализации и динамического анализа поведения

третьей линии и ее относительного положения по отношению к предыдущим двум линиям

.Это предложение направлено на то, чтобы помочь учителям математики

помочь своим ученикам лучше понять

этих алгебраических концепций: оно позволяет визуализировать последствия

вариаций любого из параметров прямой, а

получается динамически и сразу взаимное расположение двух прямых линий

или более.

CCS Concepts

Визуализация Методы визуализации Графические рисунки.

Математическое программное обеспечение➝Производительность математического программного обеспечения.

Ключевые слова

Системы и инструменты визуализации; Взаимное положение плоских линий;

Активные методики; Улучшение обучения.

1. ВВЕДЕНИЕ

Навыки двух- и трехмерной визуализации являются одной из базовых основ

для формирования многих студентов инженерных специальностей,

, особенно тех, кто связан со строительством, архитектурой, дизайном

или манипулированием механизмами и т. Д. по [1]. Часть этих навыков

связана с представлением в трехмерном пространстве

различных многомерных функций и, в частности, с вращением

трехмерных объектов [2], но также может рассматриваться как двумерная

навыков визуализации, связанных с с графическим оформлением, описательной

геометрией, проекциями трехмерных объектов и т. д.

По нашему опыту, графические возможности студентов первого курса

инженерных специальностей в Испании довольно слабые [3-4]. Для примера

, когда их просят представить график простой скалярной функции

, высокий процент t hem не способен

нарисовать график хорошо известных функций, таких как синус, экспоненциальная функция

. или логарифм (подробнее см. [3-4]). Эти результаты

согласуются с многочисленными исследованиями, показывающими недостаточную подготовку

базовых навыков для студентов, получающих инженерное образование,

не только в Испании, но и в различных европейских странах, таких как

Германия, Ирландия, Португалия и т. Д. [ 3-6].

Целью данного предложения является использование широких возможностей системы Mathematica

(www.wolfram.com) для визуализации двух и

трехмерных математических объектов в зависимости от одного или более

параметров. Эти возможности были улучшены по сравнению с

версии 8.0 с помощью команды Manipulate, которая обеспечивает

динамических взаимодействий между пользователем и ядром Mathematica

. Эта команда показывает последствия изменения одного или нескольких параметров

в результатах системы Mathematica, и наша конкретная цель

- адаптировать и расширить возможности этой команды

Manipulate с помощью возможностей программирования

, предоставляемых Mathematica.В частности, основная цель

нашего предложения состоит в том, чтобы создать новый «модуль», способный

отображать две или более прямые линии на плоскости, динамически изменять их положения

и предлагать количественную оценку их

взаимное расположение прямых. Эта количественная оценка будет

, достигнутая путем определения расстояния между ними (если они параллельны)

или точки пересечения (если они пересекаются). Эта программа также должна учитывать возможность совпадения двух прямых линий

и должна быть способна представлять все виды прямых линий

, включая горизонтальную и вертикальную.

В следующих параграфах мы опишем нашу инициативу по достижению этих целей

. Сначала мы опишем основные

команд Mathematica для отображения прямых линий на плоскости.

Затем мы более глубоко проанализируем основные характеристики команды

Manipulate и то, как мы изменили и расширили возможности

для достижения наших целей. Результатом будет

, показанное с помощью некоторых примеров для случая двух прямых

линий, показывающих различные случаи относительных позиций и количественное определение этих позиций

, данное нашей программой.Наконец,

мы покажем случай трех прямых на плоскости с помощью

средств нового набора примеров возможных относительных положений.

ОБРАЗЕЦ: Разрешение на изготовление цифровых или бумажных копий всей или части этого произведения

для личного или классного использования предоставляется бесплатно при условии, что

копий не производятся и не распространяются с целью получения прибыли или коммерческой выгоды

и это уведомление и полная цитата на первой странице.Чтобы

копировать иным образом или переиздавать, размещать на серверах или распространять в списках,

требует предварительного специального разрешения и / или платы.

Конференция’10, 1-2 месяца, 2010, Город, Штат, Страна.

Авторские права 2010 ACM 1-58113-000-0 / 00/0010… 15,00 $.

DOI: http://dx.doi.org/10.1145/12345.67890

3.1 Положение, смещение и средняя скорость

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определите положение, смещение и пройденное расстояние.
  • Рассчитайте общее смещение с учетом положения как функцию времени.
  • Определите общее пройденное расстояние.
  • Рассчитайте среднюю скорость с учетом смещения и затраченного времени.

Когда вы находитесь в движении, вам нужно задать следующие основные вопросы: где вы? Куда ты собираешься? Как быстро ты туда добираешься? Ответы на эти вопросы требуют, чтобы вы указали свое положение, смещение и среднюю скорость - термины, которые мы определяем в этом разделе.

Позиция

Чтобы описать движение объекта, вы должны сначала уметь описать его положение ( x ): , где он находится в любой конкретный момент времени . Точнее, нам нужно указать его положение относительно удобной системы отсчета. Система отсчета - это произвольный набор осей, по которым описывается положение и движение объекта. Земля часто используется в качестве системы отсчета, и мы часто описываем положение объекта по отношению к стационарным объектам на Земле.Например, запуск ракеты можно описать с точки зрения положения ракеты по отношению к Земле в целом, тогда как положение велосипедиста можно описать с точки зрения ее положения по отношению к зданиям, мимо которых он проезжает (рисунок). В других случаях мы используем системы отсчета, которые не являются стационарными, но движутся относительно Земли. Например, чтобы описать положение человека в самолете, мы используем самолет, а не Землю в качестве системы отсчета. Чтобы описать положение объекта, совершающего одномерное движение, мы часто используем переменную x .Позже в этой главе, при обсуждении свободного падения, мы будем использовать переменную y .

Рис. 3.2 Этих велосипедистов во Вьетнаме можно описать по их положению относительно зданий или канала. Их движение можно описать изменением положения или перемещением в системе отсчета. (кредит: Сьюзан Блэк)

Рабочий объем

Если объект перемещается относительно системы отсчета - например, если профессор перемещается вправо относительно доски (рисунок), - положение объекта изменяется.Это изменение положения называется смещением . Слово смещение означает, что объект переместился или был перемещен. Хотя позиция - это числовое значение x вдоль прямой линии, на которой может быть расположен объект, смещение дает изменение на в позиции вдоль этой линии. Поскольку смещение указывает направление, оно является вектором и может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от выбора положительного направления. Кроме того, в анализ движения может быть встроено множество смещений.Если right положительно и объект перемещается на 2 м вправо, затем на 4 м влево, отдельные смещения равны 2 м и [латекс] -4 [/ латекс] м соответственно.

Рисунок 3.3 Профессор ходит влево и вправо во время лекции. Ее положение относительно Земли обозначено x. Смещение профессора на +2,0 м относительно Земли показано стрелкой, указывающей вправо.

Рабочий объем

Displacement [latex] \ text {Δ} x [/ latex] - это изменение положения объекта:

[латекс] \ text {Δ} x = {x} _ {\ text {f}} - {x} _ {0}, [/ latex]

где [latex] \ text {Δ} x [/ latex] - это смещение, [latex] {x} _ {\ text {f}} [/ latex] - это конечное положение, а [latex] {x} _ { 0} [/ latex] - начальная позиция.

Мы используем прописную греческую букву дельта (Δ) для обозначения «изменения» любой величины, следующей за ней; таким образом, [latex] \ text {Δ} x [/ latex] означает изменение на позиции (конечная позиция минус исходная позиция). Мы всегда вычисляем смещение, вычитая начальную позицию [latex] {x} _ {0} [/ latex] из конечной позиции [latex] {x} _ {\ text {f}} [/ latex]. Обратите внимание, что единицей СИ для смещения является метр, но иногда мы используем километры или другие единицы длины. Имейте в виду, что когда в задаче используются единицы, отличные от метров, вам может потребоваться преобразовать их в метры, чтобы завершить расчет (см. Коэффициенты преобразования).

Движущиеся объекты также могут иметь серию перемещений. В предыдущем примере профессора кардиостимуляции отдельные смещения равны 2 м и [латекс] -4 [/ латекс] м, что дает общее смещение -2 м. Мы определяем полное смещение [латекс] \ text {Δ} {x} _ {\ text {Total}} [/ latex], как сумму отдельных смещений , и выражаем это математически уравнением

[латекс] \ text {Δ} {x} _ {\ text {Total}} = \ sum \ text {Δ} {x} _ {\ text {i}}, [/ latex]

где [латекс] \ text {Δ} {x} _ {i} [/ latex] - индивидуальные смещения.В предыдущем примере

[латекс] \ text {Δ} {x} _ {1} = {x} _ {1} - {x} _ {0} = 2-0 = 2 \, \ text {m.} [/ Latex]

Аналогично

[латекс] \ text {Δ} {x} _ {2} = {x} _ {2} - {x} _ {1} = - 2- (2) = - 4 \, \ text {m.} [/ латекс]

Таким образом,

[латекс] \ text {Δ} {x} _ {\ text {Total}} = \ text {Δ} {x} _ {1} + \ text {Δ} {x} _ {2} = 2-4 = -2 \, \ text {m} \ text {.} [/ Latex]

Полное смещение составляет 2–4 = −2 м влево или в отрицательном направлении. Также полезно рассчитать величину смещения или его размер.Величина смещения всегда положительная. Это абсолютное значение смещения, потому что смещение является вектором и не может иметь отрицательного значения величины. В нашем примере величина полного смещения составляет 2 м, тогда как величина отдельных смещений составляет 2 м и 4 м.

Величину общего смещения не следует путать с пройденным расстоянием. Пройденное расстояние [latex] {x} _ {\ text {Total}} [/ latex], это общая длина пути, пройденного между двумя позициями.В предыдущей задаче пройденное расстояние является суммой величин отдельных смещений:

[латекс] {x} _ {\ text {Total}} = | \ text {Δ} {x} _ {1} | + | \ text {Δ} {x} _ {2} | = 2 + 4 = 6 \, \ text {m} \ text {.} [/ Latex]

Средняя скорость

Чтобы вычислить другие физические величины в кинематике, мы должны ввести переменную времени. Переменная времени позволяет нам не только указывать, где находится объект (его положение) во время его движения, но и насколько быстро он движется.Скорость движения объекта определяется скоростью изменения его положения со временем.

Для каждой позиции [latex] {x} _ {\ text {i}} [/ latex] мы назначаем определенное время [latex] {t} _ {\ text {i}} [/ latex]. Если детали движения в каждый момент не важны, скорость обычно выражается как средняя скорость [латекс] \ overset {\ text {-}} {v} [/ latex]. Эта векторная величина представляет собой просто общее смещение между двумя точками, деленное на время, необходимое для путешествия между ними.Время, затрачиваемое на путешествие между двумя точками, называется прошедшим временем [латекс] \ text {Δ} t [/ latex].

Средняя скорость

Если [латекс] {x} _ {1} [/ latex] и [latex] {x} _ {2} [/ latex] - это позиции объекта, временами [латекс] {t} _ {1} [ / latex] и [latex] {t} _ {2} [/ latex] соответственно, то

[латекс] \ begin {array} {cc} \ text {Средняя скорость} = \ overset {\ text {-}} {v} = \ frac {\ text {Смещение между двумя точками}} {\ text {Затраченное время между двумя точками}} \\ \ overset {\ text {-}} {v} = \ frac {\ text {Δ} x} {\ text {Δ} t} = \ frac {{x} _ {2} - {x} _ {1}} {{t} _ {2} - {t} _ {1}}.\ end {array} [/ latex]

Важно отметить, что средняя скорость является вектором и может быть отрицательной в зависимости от положений [латекс] {x} _ {1} [/ latex] и [latex] {x} _ {2} [/ latex] .

Пример

Доставка листовок

Джилл отправляется из своего дома, чтобы доставить листовки о распродаже во дворе, двигаясь на восток по своей улице, усеянной домами. На [latex] 0,5 [/ latex] км и через 9 минут у нее заканчиваются листовки, и ей приходится возвращаться домой, чтобы получить больше.Это займет еще 9 минут. Собрав еще листовки, она снова отправляется по тому же пути, продолжая с того места, где остановилась, и заканчивается в 1,0 км от своего дома. Этот третий этап ее путешествия занимает [латекс] 15 [/ латекс] минут. В этот момент она поворачивает обратно к своему дому, направляясь на запад. Через [латекс] 1,75 [/ латекс] км и [латекс] 25 [/ латекс] минут она останавливается, чтобы отдохнуть.

  1. Каково полное перемещение Джилл до точки, в которой она останавливается, чтобы отдохнуть?
  2. Какова величина окончательного смещения?
  3. Какая средняя скорость во время всего путешествия?
  4. Какое общее расстояние пройдено?
  5. Постройте график зависимости положения от времени.

Набросок движений Джилл показан на (Рисунок).

Рис. 3.4 График перемещений Джилл.

Стратегия

Задача содержит данные о различных этапах путешествия Джилл, поэтому было бы полезно составить таблицу физических величин. Нам дается позиция и время в формулировке задачи, чтобы мы могли рассчитать смещения и затраченное время. Мы принимаем восток как положительное направление. Из этой информации мы можем найти полное смещение и среднюю скорость.Дом Джилл - отправная точка [латекс] {x} _ {0} [/ latex]. В следующей таблице указаны время и положение Джилл в первых двух столбцах, а смещения рассчитываются в третьем столбце.

Время т i (мин) Позиция [латекс] {x} _ {i} [/ latex] (км) Водоизмещение [латекс] \ text {Δ} {x} _ {\ text {i}} [/ latex] (км)
[латекс] {t} _ {0} = 0 [/ латекс] [латекс] {x} _ {0} = 0 [/ латекс] [латекс] \ text {Δ} {x} _ {0} = 0 [/ латекс]
[латекс] {t} _ {1} = 9 [/ латекс] [латекс] {x} _ {1} = 0.5 [/ латекс] [латекс] \ text {Δ} {x} _ {1} = {x} _ {1} - {x} _ {0} = 0,5 [/ латекс]
[латекс] {t} _ {2} = 18 [/ латекс] [латекс] {x} _ {2} = 0 [/ латекс] [латекс] \ text {Δ} {x} _ {2} = {x} _ {2} - {x} _ {1} = - 0,5 [/ латекс]
[латекс] {t} _ {3} = 33 [/ латекс] [латекс] {x} _ {3} = 1.0 [/ латекс] [латекс] \ text {Δ} {x} _ {3} = {x} _ {3} - {x} _ {2} = 1.0 [/ latex]
[латекс] {t} _ {4} = 58 [/ латекс] [латекс] {x} _ {4} = - 0,75 [/ латекс] [латекс] \ text {Δ} {x} _ {4} = {x} _ {4} - {x} _ {3} = - 1.75 [/ латекс]
Решение
  1. Покажи ответ

    Из приведенной выше таблицы полное смещение составляет [латекс] \ sum \ text {Δ} {x} _ {\ text {i}} = 0,5-0,5 + 1,0-1,75 \, \ text {km} = - 0,75 \ , \ text {km} \ text {.} [/ latex]

  2. Покажи ответ

    Величина полного смещения равна [latex] | -0.75 | \, \ text {km} = 0.75 \, \ text {km} [/ latex].

  3. Покажи ответ

    [латекс] \ text {Средняя скорость} = \ frac {\ text {Total} \, \ text {displacement}} {\ text {Elapsed} \, \ text {time}} = \ overset {\ text {-} } {v} = \ frac {-0.75 \, \ text {км}} {58 \, \ text {min}} = - 0,013 \, \ text {км / мин} [/ latex]

  4. Покажи ответ

    Общее пройденное расстояние (сумма величин отдельных смещений) составляет [латекс] {x} _ {\ text {Total}} = \ sum | \ text {Δ} {x} _ {\ text {i}} | = 0,5 + 0,5 + 1,0 + 1,75 \, \ text {km} = 3,75 \, \ text {km} [/ latex].

  5. Покажи ответ Мы можем построить график зависимости положения Джилл от времени, чтобы помочь увидеть движение; график показан на (рисунок).

    Рис. 3.5 На этом графике показано положение Джилл в зависимости от времени.Средняя скорость - это наклон линии, соединяющей начальную и конечную точки.

Значение

Полное перемещение Джилл составляет -0,75 км, что означает, что в конце поездки она оказывается [латексной] 0,75 \, \ text {км} [/ латексной] к западу от своего дома. Средняя скорость означает, что если кто-то будет идти прямо на запад со скоростью [латекс] 0,013 [/ латекс] км / мин, начиная с того же времени, когда Джилл вышла из дома, они оба достигнут конечной точки остановки одновременно. Обратите внимание, что если бы Джилл завершила поездку в своем доме, ее полное смещение было бы равно нулю, как и ее средняя скорость.Общее расстояние, пройденное за 58 минут времени ее поездки, составляет 3,75 км.

Проверьте свое понимание

Велосипедист едет на 3 км на запад, затем разворачивается и едет на 2 км на восток. а) Каково его смещение? б) Какое расстояние пройдено? в) Какова величина его перемещения?

Покажи ответ

(a) Перемещение всадника [латекс] \ text {Δ} x = {x} _ {\ text {f}} - {x} _ {0} = - 1 \, \ text {km} [/ latex ]. (Смещение отрицательное, потому что мы считаем восток положительным, а запад - отрицательным.) (b) Пройденное расстояние составляет 3 км + 2 км = 5 км. (c) Величина смещения составляет 1 км.

Концептуальные вопросы

Приведите пример, в котором есть четкие различия между пройденным расстоянием, смещением и величиной смещения. Определите каждое количество в вашем примере отдельно.

Показать решение

Вы едете на машине в город и возвращаетесь, чтобы проехать мимо своего дома к дому друга.

При каких обстоятельствах пройденное расстояние равно величине смещения? В каком единственном случае величина смещения и смещения абсолютно одинаковы?

Бактерии перемещаются вперед и назад, используя свои жгутики (структуры, похожие на маленькие хвосты).Наблюдались скорости до 50 мкм / с (50 × 10 −6 м / с). Общее расстояние, которое проходит бактерия, велико для ее размера, тогда как перемещение невелико. Почему это?

Показать решение

Если бактерии перемещаются вперед и назад, то смещения компенсируют друг друга, и окончательное смещение невелико.

Приведите пример устройства, используемого для измерения времени, и определите, какое изменение в этом устройстве указывает на изменение времени.

Измеряет ли одометр автомобиля пройденное расстояние или перемещение?

В течение заданного промежутка времени средняя скорость объекта равна нулю.Какие выводы можно сказать о его перемещении за промежуток времени?

Проблемы

Рассмотрим систему координат, в которой положительная ось x направлена ​​вверх вертикально. Каково положение частицы (а) на 5,0 м непосредственно над началом координат и (б) на 2,0 м ниже начала координат?

Автомобиль находится в 2,0 км к западу от светофора при t = 0 и 5,0 км к востоку от светофора при t = 6,0 мин. Предположим, что начало системы координат - это свет, а положительное направление x - на восток.(а) Каковы векторы положения автомобиля в эти два момента времени? (б) Какой рабочий объем автомобиля составляет от 0 до 6,0 мин?

Показать решение

а. [латекс] {\ overset {\ to} {x}} _ {1} = (- 2.0 \, \ text {m}) \ hat {i} [/ latex], [латекс] {\ overset {\ to} {x}} _ {2} = (5.0 \, \ text {m}) \ hat {i} [/ latex]; б. 7,0 м на восток

Шанхайский поезд на магнитной подвеске соединяет Лунъян-роуд с международным аэропортом Пудун, расстояние до которого составляет 30 км. В среднем дорога занимает 8 минут. Какова средняя скорость поезда на магнитной подвеске?

Положение частицы, движущейся по оси x , определяется как [latex] x (t) = 4.0-2.0т [/ латекс] м. а) В какое время частица пересекает начало координат? (b) Каково смещение частицы между [latex] \ text {t} = 3.0 \, \ text {s} [/ latex] и [latex] \ text {t} = 6.0 \, \ text {s} ? [/ латекс]

Показать решение

а. [латекс] т = 2,0 [/ латекс] с; б. [латекс] x (6.0) -x (3.0) = - 8.0 - (- 2.0) = - 6.0 \, \ text {m} [/ latex]

Велосипедист проезжает 8,0 км на восток в течение 20 минут, затем поворачивает и направляется на запад 8 минут и 3,2 км. Наконец, он едет на восток 16 км, что занимает 40 минут.а) Каково окончательное перемещение велосипедиста? б) Какова его средняя скорость?

15 февраля 2013 г. суперболидный метеор (ярче Солнца) вошел в атмосферу Земли над Челябинском, Россия, и взорвался на высоте 23,5 км. Очевидцы могли почувствовать сильный жар от огненного шара, а взрывная волна от взрыва выбила окна в зданиях. Взрывная волна достигла уровня земли примерно за 2 минуты 30 секунд. а) Какова была средняя скорость взрывной волны? б) Сравните это со скоростью звука, которая составляет 343 м / с на уровне моря.

Показать решение

а. 150,0 с, [латекс] \ overset {\ text {-}} {v} = 156,7 \, \ text {м / с} [/ latex]; б. 45,7% скорости звука на уровне моря

Глоссарий

средняя скорость
смещение, деленное на время, за которое смещение происходит
рабочий объем
изменение положения объекта
пройденное расстояние
общая длина пути, пройденного между двумя позициями
прошедшее время
разница между временем окончания и временем начала
кинематика
описание движения с помощью таких свойств, как положение, время, скорость и ускорение
позиция
местоположение объекта в конкретный момент времени
полный рабочий объем
сумма отдельных перемещений за заданный период времени
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *