Возведение матрицы в степень — Онлайн Калькулятор
- Справочник
- Онлайн-калькуляторы
- Тесты с ответами
Калькулятор, вычисляющий степень матрицы, пригодится для решения математических примеров учащимся университетов и преподавателям. Чтобы возвести матрицу в степень онлайн, необходимо умножить ее саму на себя число раз, соответствующее искомой степени. Для получения точного ответа воспользуйтесь нашим сервисом.
В основе расчетов лежит формула, позволяющая быстро получить подробное решение без погрешностей. Обратите внимание на то, что возведение в степень доступно только для квадратных матриц (с равным количеством строк и столбцов).
Возведение матрицы в степень с помощью онлайн-калькулятора
Не нужно иметь под рукой ручку и бумагу, чтобы возвести матрицу в степень.
Помните, с помощью онлайн калькулятора в степень можно возводить только квадратные матрицы!
В данном случае мы взяли произвольную квадратную матрицу размерностью 2х2 и возводим ее во вторую степень (в квадрат).
- Задайте матрицу, сначала выбрав ее размерность (до 7х7), а затем заполнив поля для значений матрицы. Также введите в соответствующее поле значение степени, к которую следует возвести матрицу.
- Нажмите рассчитать, чтобы получить ответ с решением:
При необходимости, можно рассмотреть решение пошагово, развернув его с помощью кнопки «Показать подробное решение»: - Отметим, что матрицу можно возвести в любую степень. Для наглядности, возведем матрицу из предыдущего примера в степень 8:
Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:
- Матрицы (раздел)
- Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения
- Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы
- Равенство матриц: как доказать и проверить?
- Действия над матрицами.
Сложение и вычитание - Нахождение ранга матрицы
Ответ:
Решение
Ответ:
Похожие калькуляторы:
- Найти определитель матрицы
- Найти обратную матрицу
- Умножение матрицы на число
- Умножение матриц
- Транспонирование матрицы
- Сложение и вычитание матриц
- Ранг матрицы
Возведение матрицы в степень онлайн
Наша компания предоставляет услуги по использованию онлайн-калькуляторов бесплатно. Так мы помогаем повышать образовательный уровень школьникам и студентам. Благодаря автоматическим вычислениям возведения матрицы в степень онлайн-калькулятором вы сможете самостоятельно осуществлять подготовку домашних заданий.
Чтобы выполнить возведение матрицы в квадрат онлайн:
- Выберите необходимое количество строк и столбцов;
- Введите значения матрицы в пустые поля;
- Установите степень, в которую требуется возвести матрицу;
- Кликните на кнопку «Рассчитать».
Вы получаете решение матрицы в квадрате онлайн в виде перемножения матриц и готового ответа. При необходимости можно ознакомиться с подробным решением, где проводится расчет компонентов результирующей матрицы. С помощью приведенных вычислений учащийся вникает в суть задачи и применяет данный способ в аналогичных ситуациях. Обращение только к быстрому ответу происходят в случае необходимости свериться с собственным решением.
С помощью нашего сервиса вы сможете не только возвести матрицу в квадрат онлайн, но и вычислить результаты сложения, вычитания, возведения в степень и др.
Понравился калькулятор? Поделись с друзьями!
Разделы калькуляторов
- Решение матриц
- Точка, прямая, плоскость
- Конвертеры
- Объем фигур
- Калькуляторы площади фигур
- Решение уравнений
- Операции над векторами
- Периметр фигур
Поможем с любой работой
- Дипломные работы
- Курсовые работы
- Рефераты
- Контрольные работы
- Решение задач
- Отчеты по практике
Все наши услуги
Узнай бесплатно стоимость работыНе получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Калькулятор матриц с решением онлайн | Действия с матрицами
С помощью калькулятора матриц вы сможете выполнять различные преобразования матриц, решать СЛАУ, а также находить некоторые характеристики, как, например, определитель, след и ранг. Подробнее о функционале и использовании калькулятора смотрите после блока с самим калькулятором.
Матричный калькулятор
Матрица А3×3
1234567891011121314151617181920 × 1234567891011121314151617181920
Матрица B3×3
1234567891011121314151617181920 × 1234567891011121314151617181920
Матрица A Матрица B
ОпределительТранспонироватьРангСледВозвести в степеньУмножить на числоОбратнаяТреугольный видСтупенчатый видLU разложениеЭлементарные преобразованияВычислить выражение
Показатель степени:
Число:
Выражение:
Метод Гауса-Жордана
Метод союзной матрицы
Метод решения СЛАУ AX=B
Метод Гауса
Матричный метод
Метод Крамера
Элементарное преобразование
Переставить строкиУмножить строкуПрибавить к строкеПереставить столбцыУмножить столбецПрибавить к столбцу
и
Выводить числа в виде неправильных дробейправильных дробейдесятичных дробей с знаками после запятой
Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: aTij = aji
Выполнено действий:
Также может быть интересно:
- Калькулятор таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина
- Калькулятор комплексных чисел
Как пользоваться калькулятором матриц
- Выберите матрицу (или матрицы) с помощью переключателей ()
- Укажите размер с помощью выпадающих списков под матрицей (3 × 3)
- Заполните элементы ( нулевые элементы можно не заполнять.)
- Выберите в выпадающем списке требуемую функцию и, если требуется, введите дополнительные параметры.
- Нажмите кнопку .
- Если вывод чисел не устраивает, просто поменяйте его — доступны три варианта представления: правильные дроби (2), неправильные дроби () и десятичные дроби (2.4) с указанием числа знаков после запятой.
Ввод данных и функционал
- В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби (
1/2,29/7,-1/125), десятичные дроби (12,-0.01,3.14), а также числа в экспоненциальной форме (2., 5e31e-2). - Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
- Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
- Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок «Вставить в A» и «Вставить в B».
- Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
- Используйте стрелки (
←,↑,→,↓) для перемещения по элементам
Что умеет наш калькулятор матриц?
С одной матрицей (только Матрица A или Матрица B)
- Транспонировать;
- Вычислять определитель;
- Находить ранг и след;
- Возводить в степень;
- Умножать на число;
- Вычислять обратную матрицу;
- Приводить к треугольному и ступенчатому вид;
- Находить LU-разложение;
- Выполнять элементарные преобразования;
- Выполнять действия с выражениями, содержащими матрицы. -2
Что такое матрица?
Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. При необходимости размер записывается следующим образом: An×m.
Примеры матриц
Элементы матрицы
Элементы A обозначаются aij, где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.
Некоторые теоретические сведения
Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: aTij = aji
Главная диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Элементы главной диагонали — aii
Единичная матрица En×n — квадратная матрица из n столбцов и n строк с единицами на главной диагонали и нулями вне её.
Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначение: rank(A)
След — это сумма элементов, находящихся на её главной диагонали. Обозначение: tr(A) или track(A)
Умножение матрицы на число — матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.
Возведение в степень — умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу. Обозначение: An
Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице: A-1×A = A×A-1 = E
Треугольная матрица — квадратная матрица, у которой выше (верхнетреугольная матрица) или ниже (нижнетреугольная матрица) главной диагонали находятся нули.
LU-разложение — представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица. A = L·U
Сложение матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij+bij
Разность матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij-bij
Умножение матриц An×k и Bk×m — матрица Cn×m, у которой элемент (cij) равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B: cij = ai1·b1j + ai2·b2j + . .. + aik·bkj
Возведение матрицы в степень
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислить матрицу несоответствий—Справка | ArcGIS Desktop
- Краткая информация
- Использование
- Синтаксис
- Пример кода
- Параметры среды
- Информация о лицензиях
Краткая информация
Вычисляет матрицу несоответствий на основе ошибок пропуска и невыполнения, и получает значение Каппа. Оно является показателем согласованности между классифицированной картой и базовыми данными.
Этот инструмент использует выходные данные инструмента Создать точки оценки точности или Обновить точки оценки точности.
Использование
Этот инструмент вычисляет матрицу несоответствий, используя произвольные точки оценки точности. Точки оценки точности создаются инструментом Создать точки оценки точности и обновляются при помощи инструмента Обновить точки оценки точности. Эти инструменты гарантируют, что каждая точка имеет корректные значения класса в полях CLASSIFIED и GROUND_TRUTH. Инструмент вычисляет точность пользователя и точность построителя для каждого класса, а также общий индекс Kappa. Диапазон точности варьируется от 0 до 1, при этом 1 означает 100% точность. Ниже приведен пример матрицы несоответствий.
Пример матрицы несоответствийc_1
c_2
c_3
Всего
U_Accuracy
Kappa
c_1
49
4
4
57
0.
85940
c_2
2
40
2
44
0.9091
0
c_3
3
3
59
65
0.9077
0
Всего
54
47
65
166
0
0
P_Accuracy
0.
90740.8511
0.9077
0
0.8916
0
Kappa
0
0
0
0
0
0.8357
Точность пользователя дает ложноположительные результаты, если пикселы ошибочно классифицируются как некий известный класс, когда их следовало классифицировать как нечто другое. Примером может служить классифицированное изображение, где пиксел указан как непроницаемый, а базовые данные указывают, что это лес. Непроницаемый класс имеет дополнительные пикселы, которые он не должен иметь в соответствии с базовыми данными.
Точность пользователя называют также ошибками достоверности или ошибкой типа 1. Данные для расчета коэффициента ошибок считываются со строк таблицы.
Строка Всего показывает число точек, которые согласно базовым данным должны были определиться как заданный класс.
Точность построителя является ложноотрицательной, когда пикселы известного класса классифицируются как нечто иное, чем этот самый класс. Примером может служить классифицированное изображение, где пиксел указан как лес, а на самом деле он должен быть непроницаемым. В этом случае, непроницаемый класс – это отсутствующие пикселы в соответствии с базовыми данными.
Точность построителя также называют ошибками пропуска и невыполнения или ошибкой типа 2. Данные для расчета этого коэффициента ошибок считываются со столбцов таблицы.
Столбец Всего показывает число точек, которые согласно классифицированной карте определились как заданный класс.
Индекс Kappa дает общую оценку точности классификации.
Синтаксис
ComputeConfusionMatrix (in_accuracy_assessment_points, out_confusion_matrix)
| Параметр | Объяснение | Тип данных |
in_accuracy_assessment_points | Класс объектов точек оценок точности создается инструментом Создать точки оценки точности, он содержит поля CLASSIFIED и GROUND_TRUTH. | Feature Layer |
out_confusion_matrix | Имя выходного файла матрицы несоответствий в табличном формате. Формат таблицы определяется выходным местоположением и путем к ней. По умолчанию выходными данными будет таблица базы геоданных. Если путь не в базе геоданных, укажите расширение .dbf, чтобы он был в формате dBASE. | Table |
Пример кода
ComputeConfusionMatrix, пример 1 (автономный скрипт)
Пример вычисления матрицы несоответствий на основе точек оценки точности.
import arcpy
from arcpy.sa import *
arcpy.gp.ComputeConfusionMatrix("aapnt2.shp", "confm.dbf")
Параметры среды
- Автоподтверждение
- Текущая рабочая область
- Выходное ключевое слово конфигурации
- Временная рабочая область
Информация о лицензиях
- ArcGIS Desktop Basic: Требует Spatial Analyst
- ArcGIS Desktop Standard: Требует Spatial Analyst
- ArcGIS Desktop Advanced: Требует Spatial Analyst
Связанные разделы
Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами » Kupuk.net
В высшей математике существует понятие матрицы системы чисел. С комбинацией элементов, заключённых в таблице, выполняют различные операции. Прежде чем переходить к решению матриц сложными методами, следует ознакомиться с понятием этого выражения и простейшими логическими операциями над ним.
Понятие выражения
Определение гласит, что матрица — это прямоугольная таблица с заключёнными в ней числами. Её название обозначается латинскими прописными буквами (А, В). Таблицы бывают разной размерности — прямоугольной, квадратной, а также в виде строк и столбцов.
От количества строк и столбцов будет зависеть величина таблицы. Матрица размера m*n означает, что в таблице содержится m строк и n столбцов. Допустим, первая строка включает элементы а11, а12, а13, вторая — а21, а22, а23. Тогда элементы, где i = j (а11, а22) образовывают диагональ и называются диагональными.
Различают комплексные матрицы, у которых хотя бы один элемент равен комплексному числу, и действительные, когда все её элементы являются действительными числами. В математике комплексные числа представлены в виде a+b*i, где:
- a — действительная часть числа;
- b — мнимая часть;
- i — мнимая единица (квадратный корень из -1).
На приведенном примере показаны варианты.
Простейшие действия с матрицами могут быть разными. К их числу относятся:
- умножение;
- вычитание;
- умножение на число;
- перемножение между собой;
- транспортирование матриц.
Сложение и вычитание
Действия по сложению возможны только тогда, когда матрицы одинакового порядка равны между собой. В итоге получится новое матричное выражение такой же размерности. Сложение и вычитание выполняются по общей схеме — над соответствующими элементами таблиц проводят необходимые операции. Например, нужно сложить две матрицы А и В размерности 2*2.
Каждый элемент первой строки складывается по порядку с показателями верхней строчки второй матрицы. По аналогии производится вычитание, только вместо плюса ставится минус.
Умножение на число
Любую таблицу чисел можно умножить на число. Тогда каждый её элемент перемножается с этим показателем. К примеру, умножим матричное выражение на 2:
Операция перемножения
Матрицы подлежат перемножению одна на другую, когда количество столбцов первой таблицы равно числу строк второй. Каждый элемент Aij будет равняться сумме произведений элементов i-строки первой таблицы, перемноженных на числа в j-столбце второй. Способ произведения наглядно представлен на примере.
Возведение в степень
Формулу возведения в степень применяют только для квадратных матричных выражений. При этом степень должна быть натуральной. Формула возведения следующая:
Иначе, чтобы выполнить операцию возведения таблицы чисел в степень n, требуется умножить её на себя саму n раз. Для операции возведения в степень удобно применять свойство в соответствии с формулой:
Решение представлено на примере. 1 этап: необходимо возвести в степень, где n = 2.
2 этап: сначала возводят в степень n =2. Согласно формуле перемножают таблицу чисел саму на себя n = 2 раз.
3 этап: в итоге получаем:
Расчёт определителя
В линейной алгебре существует понятие определителя или детерминанта. Это число, которое ставят в соответствие каждой квадратной матрице, вычисленное из её элементов по специальной формуле. Определитель или модуль используется для решения большинства задач. Детерминант самой простой матрицы определяется с помощью вычитания перемноженных элементов из побочной диагонали и главной.
Определителем матрицы А n-энного порядка называется число, которое получают из алгебраической суммы n! слагаемых, попадающих под определённые критерии. Эти слагаемые являются произведением n-элементов, взятых единично из всех столбов и строк.
Произведения могут отличаться друг от друга составом элементов. Со знаком плюс будут включаться в сумму числа, если их индексы составляют чётную подстановку, в противоположном случае их значение меняется на минус. Определитель обозначается символом det A. Круглые скобки матричной таблицы, обрамляющие её элементы, заменяются на квадратные. Формула определителя:
Определитель первого порядка, состоящий из одного элемента, равен самому этому элементу. Детерминант матричной таблицы размером 2*2 второго порядка вычисляется путём перемножения её элементов, расположенных на главной диагонали, и вычитания из них произведения элементов, находящихся в побочной диагонали. Наглядный пример:
Для матрицы также можно найти дискриминант многочлена, отвечающий формуле:
Когда у многочлена имеются кратные корни, тогда дискриминант равен нулю.
Обратная матрица
Прежде чем переходить к понятию обратного выражения матрицы, следует рассмотреть алгоритм её транспонирования. Во время операции строки и столбцы переставляются местами. На рисунке представлен метод решения:
По аналогии обратная матрица сходна с обратными числами. Например, противоположной цифре 5 будет дробь 1/5 = 5 (-1) степени. Произведение этих чисел равно 1, выглядит оно так: 5*5 (-1) = 1. Умножение обычной матричной таблицы на обратную даст в итоге единичную: А* А (-1) = Е. Это аналог числовой единицы.
Но для начала нужно понять алгоритм вычисления обратной матрицы. Для этого находят её определитель. Разработано два метода решения: с помощью элементарных преобразований или алгебраических дополнений.
Более простой способ решения — путём алгебраических дополнений. Рассмотрим матричную таблицу А, обратная ей А (-1) степени находится по формуле:
Матрица обратного вида возможна только для квадратного размера таблиц 2*2, 3*3 и т. д. Обозначается она надстроенным индексом (-1). Задачу легче рассмотреть на более простом примере, когда размер таблицы равен 2*2. На первом этапе выполняют действия:
Обратного выражения матрицы не может быть, если определитель равен нулю. В рассматриваемом случае он равен -2, поэтому всё в порядке.
2 этап: рассчитывают матрицу миноров, которая имеет те же значения, что и первоначальная. Под минором k-того порядка понимается определитель квадратной матрицы порядка k*k, составленный из её элементов, которые располагаются в выбранных k- столбцах и k-строках.
При этом расположение элементов таблицы не меняется. Чтобы найти минор верхнего левого числа, вычёркивают строчку и столбец, в которых прописан этот элемент. Оставшееся число и будет являться минором. На выходе должна получиться таблица:
3 этап: находят алгебраические дополнения.
4 этап: определяют транспонированную матрицу.
Итогом будет:
Проверка решения: чтобы удостовериться, что обратная таблица чисел найдена верно, следует выполнить проверочную операцию.
В рассматриваемом примере получается единичная матрица, когда на главной диагонали находятся единицы, при этом другие элементы равняются нулю. Это говорит о том, что решение было найдено правильно.
Нахождение собственных векторов
Определение собственного вектора и значений матричного выражения легче понять на примере. Для этого задают матричную таблицу чисел и ненулевой вектор Х, называемый собственным для А. Пример выражения:
Согласно теореме собственными числами матричного выражения будут корни характеристического уравнения:
Из однородной системы уравнений можно определить координаты собственного вектора Х, который соответствует значению лямбда.
Метод Гаусса
Методом Гаусса называют способ преобразования системы уравнений линейного вида к упрощённой форме для дальнейшего облегчённого решения. Операции упрощения уравнений выполняют с помощью эквивалентных преобразований. К таким относят:
- действия, когда в системе переставляются местами два уравнения;
- произведение одного из уравнений в системе на действительное ненулевое число;
- сложение первого уравнения со вторым, при этом последнее умножено на произвольное число.
Чтобы понять механизм решения, следует рассмотреть линейную систему уравнений.
Следует переписать эту систему в матричный вид:
А будет являться таблицей коэффициентов системы, b — это правая часть ограничений, а Х — вектор переменных координат, который требуется найти. Для решения используют ранг матрицы. Под ним понимают наивысший порядок минора, который отличается от 0.
В этом примере rang (A) = p. Способ эквивалентных преобразований не изменяет ранг таблицы коэффициентов.
Метод Гаусса предназначен для приведения матричной таблицы коэффициентов А к ступенчатому или диагональному виду. Расширенная система выглядит так:
Допустим, а11 не равен 0. В противном случае, если это не так, то меняют эту строку с другой, где в первом столбце находится элемент, отличный от нуля. Когда подобные строчки отсутствуют, переходят к другому столбцу. Все нижние элементы столбца после а11 обнуляют. Для этих целей выполняют операции сложения строк 2,3…m с первой строчкой, умноженной на а21/а11, -а31/а11….- аm1/a11. В результате система примет вид:
На втором шаге повторяют все действия с элементами столбца 2, которые расположены ниже а22. Если показатель равен нулю, строку также меняют местами со строчкой, лежащей ниже с ненулевым элементом во втором столбце. Затем обнулению подлежат все показатели ниже а22. Для этого складывают строки 2,3 ..m, как описано выше. Выполняя процедуру со всеми элементами, приходят к матричной таблице ступенчатого или диагонального вида. Полученная расширенная таблица будет выглядеть:
Обращают внимание на последние строки.
В этом случае система уравнений имеет решение, но когда хотя бы одно из этих чисел отличается от нуля, она несовместима. Таким образом, система совместима, если ранг таблицы А равен расширенному рангу В (А|b).
Если rang А=rang (A|b), то существует множество решений, где n-p — многообразие. Из этого следует n-p неизвестных Хр+1,…Xn выбираются произвольно. Неизвестные X1, X2,…Xp вычисляют следующим образом: из последнего уравнения выражают Хр через остальные переменные, вставляя в предыдущие выражения. Затем из предпоследнего уравнения получают Хр-1 через прочие переменные и подставляют их в предыдущие выражения. Процедуру повторяют.
Найти быстро ответ и проверить себя позволяет онлайн-калькулятор. Решение матрицы методом Гаусса с помощью такого расчёта показывает подробные этапы операций. Для нахождения достаточно указать количество переменных и уравнений, отметить в полях значения чисел и нажать кнопку «Вычислить».
Способ Крамера
Метод Крамера используют для решения квадратной системы уравнений, представленной в линейном виде, где определитель основной матрицы не равен нулю. Считается, что система обладает единственным решением. Например, задана система линейных уравнений:
Её необходимо заменить равноценным матричным уравнением.
Второй столбец вычисляют, а первый уже задан. Есть предположение, что определитель матрицы отличен от нуля. Из этого можно сделать выводы, что существует обратная матрица. Перемножив эквивалентное матричное уравнение на обратного формата матрицу, получим выражение:
В итоге получают выражения:
Из представленных уравнений выделяют формулы Крамера:
Метод Крамера не представляет сложности. Он может быть описан следующим алгоритмом:
Проверить решение матрицы методом Крамера онлайн позволяет калькулятор автоматического расчёта. Для получения быстрого ответа в представленные поля подставляют переменные числа и их количество. Дополнительно может потребоваться указание вычислительного метода разложения по строке или столбу. Другой вариант заключается в приведении к треугольному виду.
Указывается также представление чисел в виде целого числа, обыкновенной или десятичной дроби. После введения всех предусмотренных параметров и нажатия кнопки «Вычислить» получают готовое решение.
Как решить уравнение 5х. Решение показательных уравнений по математике
Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения систем линейных уравнений матричным способом (см. пример решения подобных задач).
Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц.
где А, В, С — задаваемые матрицы, Х — искомая матрица. Матричные уравнения вида (1), (2) и (3) решаются через обратную матрицу A -1 . Если задано выражение A·X — B = C , то необходимо, сначала сложить матрицы C + B , и находить решение для выражения A·X = D , где D = C + B (). Если задано выражение A*X = B 2 , то предварительно матрицу B надо возвести в квадрат .
Рекомендуется также ознакомиться с основными действиями над матрицами .
Пример №1
. Задание . Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1
Обратная матрица A -1:
Найдем обратную матрицу B -1 .
Транспонированная матрица B T:
Обратная матрица B -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1
Ответ:
Пример №2
. Задание. Решить матричное уравнение
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.
Пример №3
. Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
Найдем обратную матрицу A -1 .
Транспонированная матрица A T:
Обратная матрица A -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1
Ответ: >
Предлагаемый вашему вниманию бесплатный калькулятор располагает богатым арсеналом возможностей для математических вычислений. Он позволяет использовать онлайн калькулятор в различных сферах деятельности: образовательной , профессиональной и коммерческой . Конечно, применение калькулятора онлайн особенно популярно у студентов и школьников , он значительно облегчает им выполнение самых разных расчётов.
Вместе с тем калькулятор может стать полезным инструментом в некоторых направлениях бизнеса и для людей разных профессий. Безусловно, необходимость применения калькулятора в бизнесе или трудовой деятельности определяется прежде всего видом самой деятельности. Если бизнес и профессия связаны с постоянными расчётами и вычислениями, то стоит опробовать электронный калькулятор и оценить степень его полезности для конкретного дела.
Данный онлайн калькулятор может
- Корректно выполнять стандартные математические функции, записанные одной строкой типа — 12*3-(7/2) и может обрабатывать числа больше, чемсчитаем огромные числа в онлайн калькулятореМы даже не знаем, как такое число назвать правильно (тут 34 знака и это совсем не предел ).
- Кроме тангенса , косинуса , синуса и других стандартных функций — калькулятор поддерживает операции по расчёту арктангенса , арккотангенса и прочих.
- Доступны в арсенале логарифмы , факториалы и другие интересные функции
- Данный онлайн калькулятор умеет строить графики !!!
Для построения графиков, сервис использует специальную кнопку (график серый нарисован) или буквенное представление этой функции (Plot). Чтобы построить график в онлайн калькуляторе, достаточно записать функцию: plot(tan(x)),x=-360..360 .
Мы взяли самый простой график для тангенса, и после запятой указали диапазон переменной X от -360 до 360.
Построить можно абсолютно любую функцию, с любым количеством переменных, например такую: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) или ещё более сложную, какую сможете придумать. Обращаем внимание на поведение переменной X — указан промежуток от и до с помощью двух точек.
Единственный минус (хотя трудно назвать это минусом) этого онлайн калькулятора это то, что он не умеет строить сферы и другие объёмные фигуры — только плоскость.
Как работать с Математическим калькулятором
1. Дисплей (экран калькулятора) отображает введенное выражение и результат его расчёта обычными символами, как мы пишем на бумаге. Это поле предназначено просто для просмотра текущей операции. Запись отображается на дисплее по мере набора математического выражения в строке ввода.
2. Поле ввода выражения предназначено для записи выражения, которое нужно вычислить. Здесь следует отметить, что математические символы, используемые в компьютерных программах, не всегда совпадают с теми, которые обычно мы применяем на бумаге. В обзоре каждой функции калькулятора вы найдёте правильное обозначение конкретной операции и примеры расчётов в калькуляторе. На этой странице ниже приводится перечень всех возможных операций в калькуляторе, также с указанием их правильного написания.
3. Панель инструментов — это кнопки калькулятора, которые заменяют ручной ввод математических символов, обозначающих соответствующую операцию. Некоторые кнопки калькулятора (дополнительные функции, конвертер величин, решение матриц и уравнений, графики) дополняют панель задач новыми полями, где вводятся данные для конкретного расчёта. Поле «History» содержит примеры написания математических выражений, а также ваши шесть последних записей.
Обратите внимание, при нажатии кнопок вызова дополнительных функций, конвертера величин, решения матриц и уравнений, построения графиков вся панель калькулятора смещается вверх, закрывая часть дисплея. Заполните необходимые поля и нажмите клавишу «I» (на рисунке выделена красным цветом), чтобы увидеть дисплей в полный размер.
4. Цифровая клавиатура содержит цифры и знаки арифметических действий. Кнопка «С» удаляет всю запись в поле ввода выражения. Чтобы удалять символы по одному, нужно использовать стрелочку справа от строки ввода.
Старайтесь всегда закрывать скобки в конце выражения. Для большинства операций это некритично, калькулятор online рассчитает всё верно. Однако, в некоторых случаях возможны ошибки. Например, при возведении в дробную степень незакрытые скобки приведут к тому, что знаменатель дроби в показателе степени уйдет в знаменатель основания. На дисплее закрывающая скобка обозначена бледно-серым цветом, её нужно закрыть, когда запись закончена.
| Клавиша | Символ | Операция |
|---|---|---|
| pi | pi | Постоянная pi |
| е | е | Число Эйлера |
| % | % | Процент |
| () | () | Открыть/Закрыть скобки |
| , | , | Запятая |
| sin | sin(?) | Синус угла |
| cos | cos(?) | Косинус |
| tan | tan(y) | Тангенс |
| sinh | sinh() | Гиперболический синус |
| cosh | cosh() | Гиперболический косинус |
| tanh | tanh() | Гиперболический тангенс |
| sin -1 | asin() | Обратный синус |
| cos -1 | acos() | Обратный косинус |
| tan -1 | atan() | Обратный тангенс |
| sinh -1 | asinh() | Обратный гиперболический синус |
| cosh -1 | acosh() | Обратный гиперболический косинус |
| tanh -1 | atanh() | Обратный гиперболический тангенс |
| x 2 | ^2 | Возведение в квадрат |
| х 3 | ^3 | Возведение в куб |
| x y | ^ | Возведение в степень |
| 10 x | 10^() | Возведение в степень по основанию 10 |
| e x | exp() | Возведение в степень числа Эйлера |
| vx | sqrt(x) | Квадратный корень |
| 3 vx | sqrt3(x) | Корень 3-ей степени |
| y vx | sqrt(x,y) | Извлечение корня |
| log 2 x | log2(x) | Двоичный логарифм |
| log | log(x) | Десятичный логарифм |
| ln | ln(x) | Натуральный логарифм |
| log y x | log(x,y) | Логарифм |
| I / II | Сворачивание/Вызов дополнительных функций | |
| Unit | Конвертер величин | |
| Matrix | Матрицы | |
| Solve | Уравнения и системы уравнений | |
| Построение графиков | ||
| Дополнительные функции (вызов клавишей II) | ||
| mod | mod | Деление с остатком |
| ! | ! | Факториал |
| i / j | i / j | Мнимая единица |
| Re | Re() | Выделение целой действительной части |
| Im | Im() | Исключение действительной части |
| |x| | abs() | Модуль числа |
| Arg | arg() | Аргумент функции |
| nCr | ncr() | Биноминальный коэффициент |
| gcd | gcd() | НОД |
| lcm | lcm() | НОК |
| sum | sum() | Суммарное значение всех решений |
| fac | factorize() | Разложение на простые множители |
| diff | diff() | Дифференцирование |
| Deg | Градусы | |
| Rad | Радианы | |
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. {nm}:\]
Прибавляем к исходному уравнению:
Вынесем за скобки \
Выразим \
Поскольку степени одинаковые, отбрасываем их:
Ответ: \
Где можно решить показательное уравнение онлайн решателем?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. 2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные. После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение. Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.
для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www. сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.
Свойства матрицы : онлайн-калькулятор
Используйте этот калькулятор, чтобы узнать, обладает ли матрица одним из следующих свойств: сингулярная, обратимая, положительно определенная, отрицательно определенная, ортогональная, нормальная, инволютивная, симметричная, эрмитова, квадратная, нильпотентная, диагонализируемая , унит.
Сингулярная матрица
Матрица сингулярна тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Другое эквивалентное определение состоит в том, что матрица является сингулярной, когда хотя бы один столбец (или строка) матрицы является линейной комбинацией других столбцов (или строк) этой матрицы. В этом случае мы говорим, что столбцы (или строки) матрицы коллинеарны.
Сингулярная матрица также называется вырожденной или необратимой .
Несингулярная матрица называется невырожденной или правильной или обратимой или невырожденной , т. е. матрицей, определитель которой отличен от нуля или, что то же самое, имеющей линейно независимые столбцы (и строки). Пример :
`М = [[1,2,5],[-8,6,0],[2,4,10]]`
Заметим, что 3-я строка может быть получена путем умножения 1-й строки на 2. Поскольку векторы-строки этой матрицы не являются линейно независимыми, эта матрица является сингулярной. Все эти утверждения эквивалентны и верны для квадратной матрицы M,
— Векторы-строки (или векторы-столбцы) коллинеарны
— Векторы-строки (или векторы-столбцы) линейно зависимы
— Векторы-строки (или векторы-столбцы) не являются линейно независимыми
— Определитель равен нулю
— Эта матрица вырожденная
— Эта матрица не является правильной
— Эта матрица необратима
— Эта матрица вырождена
Поэтому, чтобы доказать, что матрица является вырожденной, просто докажите, что столбец (или строка) является линейной комбинацией других столбцов (или строк). ряды). Если такую линейную комбинацию найти непросто, вычислить ее определитель. Если он равен нулю, то матрица вырожденная.
9(-1)`
На практике вот шаги, которые нужно выполнить, чтобы диагонализировать матрицу n на n.
Сначала вычислим его характеристический полином.
Затем вычисляем его собственные векторы, собственные значения и их кратности. В остатке собственные значения являются корнями матричного характеристического многочлена, а кратности собственных значений являются размерностями собственных пространств матрицы.
Если сумма размерностей собственных пространств равна n, то матрица M диагонализируема. В частности, когда M имеет n различных собственных значений, все собственные пространства имеют размерность 1, а матрица диагонализируема.
Положительно определенная матрица
Квадратная матрица M с вещественными элементами является положительно определенной , если она удовлетворяет всем этим условиям.
— M — симметричная матрица.
— М обратим.
— все собственные значения M действительны и положительны.
Отрицательно определенная матрица
Квадратная матрица с вещественными элементами является отрицательно определенной , если ее аддитивная обратная матрица (-1) * M положительно-отрицательна.
Ортогональная матрица
9n = 0`Если n — наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому равенству, то M нильпотентна индекса n.
Диагональная матрица
Диагональная матрица — это матрица, в которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
В пространстве размерности n можно записать как
\(D_n = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 и a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \\ \конец{pmatrix}\)
Пример для измерения 2 :
\(D_2 = \begin{pmatrix} 3 и 0 \\ 0 и 4 \\ \конец{pmatrix}\)
Пример для размера 3 :
\(D_3 = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 и 4 и 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \конец{pmatrix}\)
См.
также Операции с матрицами
Определитель матрицы
Сопряженное транспонирование
Обратная матрица
Характеристический многочлен
Собственные значения и собственные векторы
Калькулятор норм матрицы
Добро пожаловать в калькулятор норм матрицы . Мы рассмотрим теорию матричных норм и то, что они собой представляют, а также упрощенные выражения для хорошо известных норм, таких как 1-норма, 2-норма и норма Фробениуса матрицы. С помощью нашего калькулятора вы можете вычислить норму для любой матрицы размером до 3×33\times33×3. Итак, возьмите бутерброд с арахисовым маслом и начнем!
Что такое норма матрицы?
Начнем с отказ от ответственности : норма матрицы не представляет величину , как это делает норма вектора. Вместо этого норма 90 195 матрицы 90 196 AAA (иногда называемая 90 195 индуцированной матричной нормой 90 196 ) представляет собой максимальную величину, на которую единичный вектор x⃗\vec{x}x равен 90 195, растянутый на 90 196 при умножении на AAA. Мы можем обозначить это определение с матричной нормой ∥A∥\Vert A\Vert∥A∥ как:
∥A∥=max∥x⃗∥=1∥Ax⃗∥\Vert A\Vert=\max_{\Vert \vec{x}\Vert=1}\Vert A\vec{x}\Vert∥A∥=∥x
∥=1max∥Ax
∥
В этом определении AAA представляет собой матрицу размера m×nm\times nm×n, а x⃗\vec{x}x представляет собой единичный вектор размера n×1n\times1n×1. В соответствии с правилами умножения матриц мы получаем A⋅x⃗A\cdot\vec{x}A⋅x как вектор m×1m\times 1m×1. Следовательно, ∥A⋅x⃗∥\Vert A\cdot\vec{x}\Vert ∥A⋅x∥ является векторной нормой A⋅x⃗A\cdot\vec{x}A⋅x.
Как и в случае векторных норм, существует более одной матричной нормы . Какую норму матрицы мы вычисляем выше, зависит от того, какую векторную норму мы используем для A⋅x⃗A\cdot\vec{x}A⋅x.
Итак, в этом определении мы выбираем ∥⋅∥\Vert \cdot\Vert ∥⋅∥ в качестве одной конкретной векторной нормы. Например, если мы выберем ∥⋅∥\Vert \cdot\Vert ∥⋅∥ в качестве 2-нормы ∥⋅∥2\Vert \cdot\Vert _{2}∥⋅∥2, то мы будем вычислять 2-норма матрицы, ∥A∥2\Vert A\Vert _2∥A∥2. Вот почему мы называем многие матричные нормы «индуцированными матричными нормами» , поскольку они индуцируются при использовании сопровождающей их векторной нормы на A⋅x⃗A\cdot\vec{x}A⋅x.
Матричные нормы имеют много смежных применений. Его чаще всего используют при вычислении матрицы 9.0195 номер условия , который основан на том факте, что норм матрицы представляют величину растяжения вектора .
Как вычислить норму матрицы?
Математическое определение ценно в теории, но было бы трудно вычислить его напрямую . К счастью для нас, мы можем упростить формулу для различных матричных норм . Мы рассмотрим следующие нормы:
- 1-норма , ∥A∥1\Vert A\Vert _1∥A∥1;
- норма бесконечности , ∥A∥∞\Vert A\Vert _∞∥A∥∞;
- 2-норма , ∥A∥2\Vert A\Vert _2∥A∥2;
- Норма Фробениуса , ∥A∥F\Vert A\Vert _F∥A∥F; и
- Максимальная норма , ∥A∥max\Vert A\Vert _{\max}∥A∥max. m |a_{i,j}|∥A∥1=1≤j≤nmaxi=1∑m ∣ai,j∣ 9T\!\cdot\!A)}∥A∥F=trace(AT⋅A)
Наконец, максимальная норма AAA может быть получена путем простого взятия наибольшего значения в AAA:
∥A∥max=maxi,j∣ai,j∣\Vert A\Vert_{\max} = \max_{i,j} |a_{i,j}|∥A∥max=i,jmax ∣ai,j∣
Как пользоваться калькулятором нормы матрицы?
Вычисление матричных норм может быть утомительным выполнять снова и снова — вот почему мы сделали этот калькулятор матричных норм! Вот как им пользоваться :
- Выберите размерность вашей матрицы . Вы можете выбрать что угодно до 3×33\×33×3.
- Введите элементы вашей матрицы построчно.
- В самом низу найди норму своей матрицы ! Это 1-норма, бесконечная норма, 2-норма, норма Фробениуса и максимальная норма. Вы можете взглянуть выше на их формулы.
Как вычислить норму матрицы? – Пример
Воспользуемся этими формулами и посмотрим как рассчитать все эти нормы матрицы на практике.
Рассмотрим нашу матрицу 3×33\times33×3 AAA:A=[226139610]A = \begin{bmatrix} 2 и 2 и 6 \\ 1 и 3 и 9 \\ 6 и 1 и 0 \\ \end{bmatrix}A=⎣
⎡216231690⎦
⎤
Мы можем вычислить 1-норму матрицы по суммируя каждый столбец и суммируя максимальный столбец . Итак,
∥A∥1=max(2 + 1 + 6, 2 + 3 + 1, 6 + 9+ 0)=max(9, 6, 15)=15\begin{split} \Верт А\Верт_1 &= \max(2\!+\!1\!+\!6,\ 2\!+\!3\!+\!1,\ 6\!+\!9\!+\!0) \ \ &= \max(9,\ 6,\ 15) \\ &= 15 \end{split}∥A∥1=max(2+1+6, 2+3+1, 6+9+0)=max(9, 6, 15)=15
Точно так же мы можем вычислить норму бесконечности матрицы на , суммируя каждую строку и , выбирая максимальную сумму строки . Следовательно,
∥A∥∞=max(2 + 2 + 6, 1 + 3 + 9, 6 + 1 + 0)=max,1,0 7)=13\начать{разделить} \Верт А\Верт_\infty &= \max(2\!+\!2\!+\!6,\ 1\!+\!3\!+\!9Т\cточка А) \\ =&\41+14+117\ = &\ 172 \end{split}== trace(AT⋅A) 41+14+117 172
Наконец, максимальная норма — это просто наибольшее значение в AAA.
Следовательно, ∥A∥max=9\Vert A\Vert_{\max} = 9∥A∥max=9.Вот и все! Мы определили каждую норму для матрицы 3×33×33×3.
Часто задаваемые вопросы
Что такое норма Фробениуса единичной матрицы?
‖I n×n ‖ F = √n. Норма Фробениусаn×nединичная матрица равна√n, потому чтоI T = I, а затемI T · I = I. Поэтому мы можем сделать вывод, что‖i‖ F = √trace (I T · I)
‖I‖ F = √trace (I)
‖ = F. = F. = F. = F. = F. . √nкак
Iсостоит только из 1 по диагонали.Имеют ли прямоугольные матрицы нормы?
Все матрицы имеют нормы . Нормы, которые используют операции, исключительные для квадратных матриц, такие как собственные значения и трассы, выполняют их над квадратными матрицами, полученными из исходной матрицы.
Следовательно, квадратная матрица или нет, не имеет значения для матричных норм.Что означает «А» в матрицах?
‖A‖равно обозначению нормы матрицы . Точная норма обычно указывается в виде нижнего индекса нормы, например‖A‖ 2. Это означает, что мы использовали векторную 2-норму, чтобы найти максимальное растяжение. Не путайте обозначение матричной нормы 9.0399 ‖A‖ с обозначением определителя матрицы|A|.Может ли норма матрицы быть меньше 1?
Да. Если матрица сжимает векторное пространство , а не растягивает его, норма матрицы будет меньше 1 , чтобы отразить это сжатие. Матричная норма 0,5 означает, что векторное пространство сократилось до половины исходного размера. Матричная норма, равная 0, означает, что матрица сжала векторное пространство в точку и что все векторы в этом пространстве теперь являются нулевыми векторами.
Вычисление определителя матрицы Пошаговое решение математических задач
Введите матрицу и нажмите кнопку Определитель.
Справка
Матрица
5,3,7 2,4,9 3,6,4Мы знаем, что не каждая система линейных уравнений имеет единственное решение. Иногда система из n уравнений с n переменными не имеет решения или бесконечное множество решений. В этом разделе мы вводим определитель матрица. В следующем разделе мы увидим, что определитель можно использовать определить, имеет ли система уравнений единственное решение.
Каждой квадратной матрице A соответствует вещественное число, называемое определителем А, пишется |А|.
Определитель матрицы 2 x 2 A,
определяется как
ПРИМЕЧАНИЕ Обратите внимание, что матрицы заключены в квадратные скобки, а определители обозначаются вертикальными черточками. Кроме того, матрица представляет собой массив чисел, но ее определитель — одно число.
ОЦЕНКА A 2 X 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
Если, то
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ А МАТРИЦА 3 X 3
Определитель матрицы 3 x 3 A,
определяется как
Простой метод вычисления определителей 3 X 3 находится путем перестановки и факторизируя термины, данные выше, чтобы получить
Каждая из величин в скобках представляет определитель 2 X 2 матрица, которая является частью матрицы 3 x 3, остающейся, когда строка и столбец множитель исключается, как показано ниже.
Эти определители матриц 2 X 2 называются минорами элемента в матрица 3х3. Символ M ij представляет определитель матрица, которая получается при удалении строки i и столбца j. Следующий список дает некоторые миноры из матрицы выше.
В матрице 4 x 4 миноры являются определителями матриц 3 x 3, а n x Матрица n имеет миноры, которые являются определителями (n — 1) X (n — 1) матрицы.
Чтобы найти определитель матрицы 3 X 3 или больше, сначала выберите любую строку или столбец. Затем необходимо умножить минор каждого элемента в этой строке или столбце. на + l или — 1, в зависимости от того, является ли сумма номеров строк и столбцов числа четные или нечетные. Произведение минора на число + 1 или — l равно называется кофактором .КОФАКТОР Пусть M ij будет минором для элемента au в n x n матрице. Кофактор иж , написано A ij , это:
Наконец, определитель матрицы n x n находится следующим образом.ПОИСК ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МАТРИЦЫ
Умножьте каждый элемент в любой строке или столбце матрицы на его коэффициент. сумма этих произведений дает значение определителя. Процесс формирования эта сумма произведений называется расширением по данной строке или столбцу.НАЙТИ КОФАКТОР ЭЛЕМЕНТА
Для матрицынайдите кофактор каждого из следующих элементов.
(a) 6
Поскольку 6 находится в первой строке и первом столбце матрицы, i = 1 и j = 1.Кофактор равен (-1) 1+1 * (-6) = 1 * (-6) = -6.
(b) 3
Здесь i = 2 и j = 3.Кофактор равен (-1) 2+3 * 10 = (-1) * 10 = -10.
(c) 8
Имеем i = 2 и j = l.
Кофактор равен (-1) 2+1 * (-8) = (-1) * (-8) = 8.ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 3 X 3
Вычисление3
6 расширение по второму столбцу.
Чтобы найти этот определитель, сначала найдите миноры каждого элемента во втором столбец.
Теперь найдите кофактор каждого из этих миноров.Определитель находится путем умножения каждого кофактора на соответствующий ему элемент в матрице и нахождение суммы этих произведений.
ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ: Будьте очень внимательны и следите за всеми отрицательными знаками при оценивающие детерминанты. Работайте осторожно, записывая каждый шаг, как в Примеры. Пропуск шагов часто приводит к ошибкам в этих вычислениях.
Точно такой же ответ можно найти, используя любую строку или столбец матрицы. Одна из причин, по которой в примере 3 использовался столбец 2, заключается в том, что он содержит элемент 0, так что особо не надо было вычислять М 32 и А 32 выше. Быстро понимаешь, что нули могут быть очень полезны при работе с детерминанты.
Вместо вычисления (-1) i+j для заданного элемента выполняется следующее можно использовать шахматные доски для знаков:Знаки чередуются для каждой строки и столбца, начиная с + в первом строка, позиция первого столбца.
Таким образом, эти массивы знаков могут быть воспроизведены как
нужный. Если мы разложим матрицу 3 X 3, например, вокруг строки 3, первый второстепенный
будет иметь связанный с ним знак +, второй второстепенный знак — и третий
минор + знак. Таким образом, эти массивы знаков могут быть расширены для определителей матриц 5 X 5, 6 X 6 и более крупных матриц.ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 4 X 4
ВычислениеРазложение по младшим по четвертой строке дает
Каждый из четырех определителей в примере 4 должен быть оценен путем разложения три несовершеннолетних, требующих большой работы, чтобы получить окончательное значение. Всегда ищите строку или столбец с наибольшим количеством нулей, чтобы упростить работу. В следующем разделе мы ввести несколько свойств, облегчающих вычисление определителей. К счастью, определители больших матриц можно быстро вычислить. легко с помощью компьютера или некоторых калькуляторов.
Калькулятор разложения Lu + онлайн-решатель с бесплатными шагами
Калькулятор разложения Lu используется для разложения квадратной матрицы с тремя строками и тремя столбцами на две матрицы.
Он разлагает квадратную матрицу A на нижнюю треугольную матрицу L и верхнюю треугольную матрицу U .
Калькулятор принимает квадратную матрицу A с -м порядком 3 x 3 в качестве входных данных и выводит LU-разложение матрицы, которая является произведением матриц L и U. Таким образом, матрица A может быть записана как:
A = LU
Где L и U представляют собой нижнюю треугольную форму и верхнюю треугольную форму квадратной матрицы A соответственно. Обе они являются специальными типами квадратных матриц.
Нижняя треугольная матрица определяется наличием всех элементов, равных нулю, то есть выше главной диагонали. Точно так же в верхней треугольной матрице все элементы ниже ее главной диагонали равны нулю.
В LU-разложении элементы выше главной диагонали в нижней треугольной матрице и элементы ниже главной диагонали в верхней треугольной матрице не изменены .
Калькулятор только изменяет остальные записи в соответствии с матрицей A.
Пользователь может использовать этот калькулятор для решения системы три линейных уравнения с использованием LU-разложения . Коэффициенты в системе трех линейных уравнений могут быть записаны в матричной форме как:
AX = B
Где X — неизвестная матрица. При разложении LU матрица A заменяется произведением матриц LU следующим образом:
LUX = B
Матрицы L и U будут получены с помощью этого калькулятора. Если мы предположим, что UX=Y и подставим в приведенное выше уравнение, это даст:
LY = B
Первое решение для Y в приведенном выше уравнении, затем подстановка значений Y в UX = Y, а затем решение для X дает решение системы трех линейных уравнений с использованием LU разложение.
Что такое калькулятор разложения LU?
Lu Decomposition Calculator — это онлайн-инструмент, который используется для разложения квадратной матрицы 3 x 3 A на произведение верхней треугольной квадратной матрицы 3 x 3 U и нижней треугольной квадратной матрицы 3 x 3 L.
Как использовать калькулятор разложения Lu
Пользователь может использовать калькулятор разложения Lu, выполнив следующие действия:
Шаг 1
Сначала пользователь должен ввести первую строку квадратной матрицы 3 x 3 A в окне ввода калькулятора. Три элемента должны быть введены в фигурные скобки с разделителями-запятыми в блоке с надписью « Row 1 ».
Для примера по умолчанию элементами первой введенной строки являются { 3,1,6 }.
Шаг 2
Теперь пользователь должен ввести вторую строку матрицы A на вкладке ввода калькулятора.
Чтобы сформировать квадратную матрицу, пользователь должен ввести три элемента в блок с надписью « Строка 2 » в цветочных скобках с запятыми, разделяющими элементы.
Пользователь вводит вторую строку как {-6,0,-16} для примера по умолчанию .
Шаг 3
третья строка квадратной матрицы A должна быть введена в блок с названием « Ряд 3 » в окне ввода калькулятора. Для примера по умолчанию записи третьей строки равны {0,8,-17}.
Шаг 4
Теперь пользователь должен нажать кнопку « Отправить », чтобы калькулятор обработал входную матрицу 3 x 3, введенную пользователем.
Выходные данные
Калькулятор отображает выходные данные в следующих двух окнах путем вычисления LU-разложения входной матрицы.
Ввод
Калькулятор интерпретирует ввод и отображает три входные строки в форме квадратной матрицы 3 x 3 в этом окне вывода.
Для примера по умолчанию калькулятор показывает интерпретацию ввода следующим образом:
\[ LU \ decomposition = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 6 \\ -6 & 0 & -16 \\ 0 & 8 & -17 \\ \end{bmatrix} \]
Результат
Калькулятор вычисляет LU разложение квадратной матрицы A с помощью уравнения:
A = LU
Для примера по умолчанию калькулятор отображает A , L и U следующим образом = \begin:
[A bmatrix} 3 & 1 & 6 \\ -6 & 0 & -16 \\ 0 & 8 & -17 \\ \end{bmatrix} \]
\[ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ \-2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ \end{bmatrix} \]
\[ U = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 6 \\ 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \]
Решенный пример
Следующий пример решается с помощью калькулятора разложения Lu.
Пример 1
Для квадратной матрицы A задается как:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 3 \\ \ end{bmatrix} \]
Вычислить матрицы L и U методом LU разложения .
Решение
Пользователь должен ввести три строки как {1,1,1}, {4,3, -1} и {3,5,3} в трех входных блоках калькулятора.
После ввода трех входных строк калькулятор отображает квадратную матрицу 3 x 3 Input следующим образом:
\[ LU \ decomposition = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 3 \\ \end{bmatrix} \]
Калькулятор вычисляет LU разложение входной матрицы A и отображает три матрицы следующим образом:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 3 \\ \end{bmatrix} \]
\[ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ \end{bmatrix} \]
\[ U = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & — 1 & -5 \\ 0 & 0 & -10 \\ \end{bmatrix} \]
Список математических калькуляторов
Найти определитель матрицы
Скоро Эти математические инструменты уже в пути
Функции построения графиков
Рисование графиков математических функций.
Нарисовать формулу LaTeX
Создать изображение из выражения LaTeX.
Найти n-ю цифру
Вычислить n-ю цифру числа Эйлера.
Найти n-ю цифру золотого сечения
Вычислить n-ю цифру золотого сечения.
Найти n-ю цифру числа пи
Вычислить n-ю цифру числа пи.
Вычислить сумму e цифр
Найти сумму e цифр.
Вычислить сумму цифр золотого сечения
Найти сумму цифр золотого сечения.
Вычислить сумму пи цифр
Найти сумму пи цифр.
Генерация цифр Чамперноуна
Генерация цифр константы Чамперноуна.
Найти n-ю цифру Чамперноуна
Вычислить n-ю цифру константы Чамперноуна.
Декодирование последовательности «посмотри и скажи»
Выполните обратную операцию над последовательностью «посмотри и скажи».
Создание P-адических расширений
Вычислить p-адические разложения произвольных чисел.
Создать последовательность панцифровых чисел
Создать список панцифровых чисел.
Создать последовательность номеров Стэнли
Создать список номеров Стэнли.
Создать последовательность номеров звонков
Создать список номеров звонков.
Генерация последовательности номеров Кармайкла
Создание списка номеров Чармичел.
Создать последовательность каталонских номеров
Создать список каталонских номеров.
Создать последовательность треугольных чисел
Создать список треугольных чисел.
Создать последовательность составных чисел
Создать список составных чисел.
Создать последовательность секущих чисел
Создать список секущих чисел.
Создать последовательность чисел Голомба
Создать список чисел Голомба-Сильвермана.
Создать последовательность чисел Эйлера Тотиент
Создать список фи-чисел Эйлера.
Создать последовательность номеров жонглера
Создать список чисел жонглера.
Создать последовательность счастливых номеров
Создать список счастливых номеров.
Создать последовательность номеров Моцкина
Создать список номеров Моцкина.
Создать последовательность номеров Padovan
Создать список номеров Padovan.
Создать последовательность псевдосовершенных чисел
Создать список полусовершенных чисел.
Создать последовательность номеров Ulam
Создать список номеров Ulam.
Создать последовательность странных чисел
Создать список странных чисел.
Создать последовательность суперсовершенных чисел
Создать список суперсовершенных чисел.
Продолжить числовую последовательность
Найти закономерность в числовой последовательности и расширить ее.
Разбить число
Найти все разбиения данного целого числа.
Создать последовательность номеров разделов
Создать список номеров функций разделов.
Генерировать арифметическую прогрессию
Создать арифметическую последовательность чисел.
Создание геометрической прогрессии
Создание геометрической последовательности чисел.
Создание полиномиальной прогрессии
Создание полиномиальной последовательности чисел.
Создать последовательность натуральных чисел
Создать список натуральных чисел.
Генерация степеней двойки
Создать список чисел степеней двойки.
Создание степеней десяти
Создание списка чисел в степени десятка.
Создать плотную матрицу
Создать матрицу с очень небольшим количеством нулевых элементов.
Создать разреженную матрицу
Создать матрицу с очень небольшим количеством ненулевых элементов.
Умножение матрицы на скаляр
Умножение всех элементов матрицы на число.
Проверить, является ли матрица единственной.
Определить, является ли матрица вырожденной.
Найти матрицу кофакторов
Имея матрицу, найти ее матрицу кофакторов.
Найти матрицу сопряжения
По заданной матрице найти ее дополнение.
LU Factor a Matrix
Разложите матрицу на LU-факторы.
Найти собственные значения матрицы
Найти собственные значения матрицы.
Украсьте матрицу
Украсьте матрицу, аккуратно выровняв все ее столбцы.
Переформатировать матрицу
Преобразовать матрицу из одного формата в другой формат.
Рисование архимедовой спирали
Создание архимедовой спирали.
Рисование спирали Эйлера
Создать спиральную кривую Корню (полиномиальную спираль).
Нарисовать спираль Фибоначчи
Нарисовать спиральную кривую Фибоначчи.
Рисование спирали Теодора
Создание спирали квадратного корня.
Нарисуйте спираль Ферма
Создайте кривую в виде параболической спирали.
Рисование прямоугольников Фибоначчи
Создание рисунка прямоугольников Фибоначчи.
Нарисуйте головку семени Фибоначчи
Создайте головку цветка Фибоначчи.
Нарисовать фрактал Падована
Создать фрактал равнобуквенных треугольников Падована.
Нарисуйте аполлонову прокладку
Создайте фрактал аполлоновой прокладки.
Нарисовать фрактал Мандельброта
Сгенерировать фрактал Мандельброта.
Нарисовать фрактал Юлии
Создать фрактал Джулии.
Нарисовать фрактал Рози
Создать фрактал Рози.
Нарисовать кривую фрактала Бланманже
Создать фрактал Бланманже.
Нарисовать функцию Вейерштрасса
Создать фрактал Вейерштрасса.
Нарисовать кривую Минковского в виде вопросительного знака
Создать фрактал Минковского в виде вопросительного знака.
Нарисуйте функцию Тома
Создайте функцию Тома (также известную как функция попкорна или капли дождя).
Нарисовать функцию Дирихле
Нарисовать функцию Дирихле.
Нарисуйте рог Гавриила
Нарисуйте геометрическую фигуру с бесконечной площадью поверхности и конечным объемом.
Преобразование слов в числа
Преобразование чисел из английского текста в реальные цифры.
Преобразование чисел в слова
Преобразование чисел в текст на английском языке.
Преобразование десятичной записи в экспоненциальную запись
Преобразование чисел, записанных в десятичной форме, в экспоненциальную форму.
Преобразование научной записи в десятичную.
Преобразование чисел, записанных в научной форме, в десятичную форму.
Округление чисел вверх
Применение операции ceil к числам.
Округление чисел в меньшую сторону
Применить операцию пола к числам.
Анализ чисел
Подсчитайте, сколько раз встречается каждое число.
Преобразование числа в виде суммы
Создайте сумму, которая в сумме равна заданному числу.
Создать таблицу умножения
Нарисовать таблицу умножения n×m.
Нарисовать круговую диаграмму
Нарисовать круговую диаграмму и показать относительные размеры данных.
Визуализация процентов
Нарисуйте диаграмму, показывающую проценты.
Подбросьте монетку
Подбросьте монетку и выпадет орел или решка.
Бросьте кубик
Бросьте кубик и получите число на его стороне.
Создание случайных матриц — математические онлайн-инструменты
Скоро в продаже Эти математические инструменты находятся в пути
Функции построения графиков
Рисование графиков математических функций.
Нарисовать формулу LaTeX
Создать изображение из выражения LaTeX.
Найти n-ю цифру
Вычислить n-ю цифру числа Эйлера.
Найти n-ю цифру золотого сечения
Вычислить n-ю цифру золотого сечения.
Найти n-ю цифру числа пи
Вычислить n-ю цифру числа пи.
Вычислить сумму e цифр
Найти сумму e цифр.
Вычислить сумму цифр золотого сечения
Найти сумму цифр золотого сечения.
Вычислить сумму пи цифр
Найти сумму пи цифр.
Генерация цифр Чамперноуна
Генерация цифр константы Чамперноуна.
Найти n-ю цифру Чамперноуна
Вычислить n-ю цифру константы Чамперноуна.
Декодирование последовательности «посмотри и скажи»
Выполните обратную операцию над последовательностью «посмотри и скажи».
Генерация P-адических расширений
Вычисление p-адических расширений произвольных чисел.
Создать последовательность панцифровых чисел
Создать список панцифровых чисел.
Создать последовательность номеров Стэнли
Создать список номеров Стэнли.
Создать последовательность номеров звонков
Создать список номеров звонков.
Генерация последовательности номеров Кармайкла
Создание списка номеров Чармичел.
Создать последовательность каталонских номеров
Создать список каталонских номеров.
Создать последовательность треугольных чисел
Создать список треугольных чисел.
Создать последовательность составных чисел
Создать список составных чисел.
Генерация секущей числовой последовательности
Создать список секущих чисел.
Создать последовательность чисел Голомба
Создать список чисел Голомба-Сильвермана.
Создать последовательность чисел Эйлера Тотиент
Создать список фи-чисел Эйлера.
Создать последовательность номеров жонглеров
Создать список номеров жонглеров.
Создать последовательность счастливых номеров
Создать список счастливых номеров.
Создать последовательность номеров Моцкина
Создать список номеров Моцкина.
Создать последовательность номеров Padovan
Создать список номеров Padovan.
Создать последовательность псевдосовершенных чисел
Создать список полусовершенных чисел.
Создать последовательность номеров Ulam
Создать список номеров Ulam.
Создать последовательность странных чисел
Создать список странных чисел.
Создать последовательность суперсовершенных чисел
Создать список суперсовершенных чисел.
Продолжение последовательности цифр
Найти закономерность в числовой последовательности и расширить ее.
Разбить число
Найти все разбиения данного целого числа.
Создать последовательность номеров разделов
Создать список номеров функций разделов.
Создание арифметической прогрессии
Создание арифметической последовательности чисел.
Создание геометрической прогрессии
Создание геометрической последовательности чисел.
Создание полиномиальной прогрессии
Создать полиномиальную последовательность чисел.
Создать последовательность натуральных чисел
Создать список натуральных чисел.
Генерация степеней двойки
Создать список чисел степеней двойки.
Создание степеней десяти
Создание списка чисел в степени десятка.
Создание плотной матрицы
Создание матрицы с очень небольшим количеством нулевых элементов.
Создать разреженную матрицу
Создать матрицу с очень небольшим количеством ненулевых элементов.
Умножить матрицу на скаляр
Умножить все элементы матрицы на число.
Проверить, является ли матрица единственной.
Определить, является ли матрица вырожденной.
Найти матрицу кофакторов
Имея матрицу, найти ее матрицу кофакторов.
Найдите вспомогательную матрицу
По заданной матрице найдите ее дополнение.
LU Factor a Matrix
Разложите матрицу на LU-факторы.
Найти собственные значения матрицы
Найти собственные значения матрицы.
Украсить матрицу
Украсить матрицу, аккуратно выровняв все ее столбцы.
Переформатировать матрицу
Преобразовать матрицу из одного формата в другой формат.
Рисование архимедовой спирали
Создание архимедовой спирали.
Рисование спирали Эйлера
Создание кривой спирали Корню (полиномиальной спирали).
Нарисовать спираль Фибоначчи
Нарисовать спиральную кривую Фибоначчи.
Нарисуйте спираль Теодора
Создание спирали квадратного корня.
Нарисуйте спираль Ферма
Создайте кривую в виде параболической спирали.
Рисование прямоугольников Фибоначчи
Создание рисунка прямоугольников Фибоначчи.
Нарисуйте головку семени Фибоначчи
Создайте головку цветка Фибоначчи.
Нарисовать фрактал Падована
Создать фрактал равнобуквенных треугольников Падована.
Нарисуйте аполлонову прокладку
Создайте фрактал аполлоновой прокладки.
Нарисовать фрактал Мандельброта
Создать фрактал Мандельброта.
Нарисовать фрактал Юлии
Создать фрактал Джулии.
Нарисовать фрактал Рози
Создать фрактал Рози.
Нарисовать кривую фрактала Бланманже
Создать фрактал Бланманже.
Нарисовать функцию Вейерштрасса
Создать фрактал Вейерштрасса.
Нарисовать кривую Минковского в виде вопросительного знака
Создать фрактал Минковского в виде вопросительного знака.
Нарисуйте функцию Тома
Создайте функцию Тома (также известную как функция попкорна или капли дождя).
Нарисовать функцию Дирихле
Нарисовать функцию Дирихле.
Нарисуйте рог Гавриила
Нарисуйте геометрическую фигуру с бесконечной площадью поверхности и конечным объемом.
Преобразование слов в числа
Преобразование чисел из английского текста в реальные цифры.
Преобразование чисел в слова
Преобразование чисел в текст на английском языке.
Преобразование десятичной записи в экспоненциальную запись
Преобразование чисел, записанных в десятичной форме, в экспоненциальную форму.
Преобразование научной записи в десятичную.
Преобразование чисел, записанных в научной форме, в десятичную форму.
Округление чисел вверх
Применение операции ceil к числам.
Округление чисел в меньшую сторону
Применить операцию пола к числам.
Анализ чисел
Подсчитайте, сколько раз встречается каждое число.
Преобразование числа в виде суммы
Создайте сумму, которая в сумме равна заданному числу.