Проецирование плоских углов. Теорема о проецировании прямого угла — Студопедия
Теорема о проецировании прямого угла:
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения.
Если на чертеже есть изображение прямого угла, то одна из его сторон обязательно натуральная величина
8. Плоскость. Способы задания плоскости на чертежах. Следы плоскости. Принадлежность прямой и плоскости, точки и плоскости.
На комплексном чертеже плоскость S можно задать: 1) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; 2) проекциями прямой и точки, взятой вне этой прямой; 3) проекциями двух пересекающихся прямых; 4) проекциями двух параллельных прямых;
5) проекциями плоской фигурой; 6) следами плоскости. Все способы позволяют выделить из множества точек пространства точки, принадлежащие данной плоскости. Способ задания плоскости указывают в круглых скобках
След плоскости – это линия ее пересечения с соответствующей плоскостью проекций.
Принадлежность прямой плоскости
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит:
1) через две точки этой плоскости;
2) через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости
Принадлежность точки плоскости
Точка будет лежать в плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости. Воспользуемся этим положением:
1) при чтении чертежа;
2) при построении точки, лежащей в данной плоскости
Если плоскость занимает проецирующее положение, то соответствующие проекции всех точек и прямых данной плоскости совпадают с ее следом.
Это собирательное свойство проецирующих плоскостей
9. Плоскости общего и частного положения. Свойства проекций проецирующих плоскостей. Плоскости уровня и свойства их проекций. Главные линии в плоскостях общего и частного положения.
Положение плоскости относительно плоскостей проекций
Плоскость общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций
Плоскость частного положения перпендикулярна или параллельна одной из плоскостей проекций
Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей плоскостью:
Горизонтально проецирующая плоскость ^ П1
Фронтально проецирующая плоскость ^ П2 Профильно-проецирующая плоскость ^ П3
Плоскость, параллельная плоскости проекций, называется плоскостью уровня (дважды проецирующей):
Горизонтальная плоскость êê П1
Фронтальная плоскость êê П2
Профильная плоскость êêП3
Главные линии плоскости
Горизонталей плоскости бесчисленной множество,
все они параллельны между собой
Горизонтальный след – это горизонталь нулевого уровня
Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси x. Положение горизонтали в плоскости определяют две точки (например, В и 1 )
Фронталей плоскости бесчисленное множество, все они параллельны между собой.
Фронтальный след – это фронталь нулевого уровня.
Фронталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.
Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x. Положение фронтали в плоскости определяют две точки (например, В и 2 )
10.Определение натуральной величины плоскости и углов наклона ее к плоскостям проекций способом перемены плоскостей проекций.
11 Взаимное положение прямой и плоскости: прямая, параллельная плоскости.
Прямая параллельна плоскости: общих точек нет
Признак параллельности:
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости
Если прямая а параллельна плоскости общего положения, то в плоскости строят вспомогательную прямую n и выполняют условие параллельности одноименных проекций прямых а и n. Если плоскость проецирующая, то одна из проекций искомой прямой m параллельна следу плоскости
Взаимное положение прямой и плоскости: прямая, пересекающая плоскость. Алгоритм определения точки пересечения прямой и плоскости частного и общего положения. Определение видимости прямой с помощью конкурирующих точек.
Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения:
Алгоритм:
- Через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость Q .
- Находят линию пересечения 1-2 плоскостей: заданной S и вспомогательной Q . 3. На полученной линии пресечения 1-2 находят общую точку К с заданной прямой m . 4. Определяют видимость прямой m
Проецирование прямого угла на плоскость проекций
⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 10Следующая ⇒Теорема о частном проецировании прямого угла
Если плоскость прямого угла не перпендикулярна и не параллельна плоскости проекций и хотя бы одна сторона его параллельна этой плоскости, то прямой угол проецируется на нее без искажения.
Отсюда следует, что угол BKN – прямой. Согласно теореме о трех перпендикулярах, угол bKN – прямой, следовательно, угол Kbc = 90°.
Рис. 65. Пространственная модель проецирования прямого угла
Примечание. Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратные теоремы (доказательства не приводятся).
1. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций.
2. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет прямой угол, то проецируемый угол также прямой.
На основании этих теорем можно установить, что углы, изображенные на рис. 66, в пространстве – прямые.
Рис. 66. Проецирование прямого угла на эпюре Монжа:
а – одна из сторон угла – горизонталь; б – одна из сторон угла – фронталь
Рассмотрим угол В (рис. 66а).
В пространстве угол В прямой, т. к. на эпюре видно, что прямая АВ является горизонталью (h′ || X) и ∠a = 90° (согласно первой обратной теореме).
Рассмотрим угол В (рис. 66б).
В пространстве угол В прямой, т. к. одна его сторона является фронталью (АВ || V; ab || X) и фронтальная проекция ∠
Из этой теоремы следует простой вывод – к прямой можно провести перпендикуляр там, где прямая проецируется в натуральную величину.
При решении позиционных и метрических задач начертательной геометрии, опираясь на эти теоремы, можно строить две взаимно перпендикулярные прямые, что, в конечном итоге, позволяет определять расстояния, строить взаимно перпендикулярные плоскости.
Рассмотрим несколько задач по теме данного материала.
Задача 1. Через точку А провести прямую, перпендикулярную прямой М (рис. 67).
Анализируя графическое условие задачи, отмечаем, что m || X, а это значит, что прямая М является фронталью (М || V).
Следовательно, построение искомой прямой надо начинать с фронтальной проекции, проводя ее перпендикулярно проекции m׳, т. к. на фронтальной плоскости проекций прямая М проецируется без искажения и на фронтальную плоскость проекций V прямой угол между данной и вновь построенной прямыми будет проецироваться без искажения.
Порядок выполнения графической части задачи:
1. Строим фронтальную проекцию искомого отрезка a′b′ ⊥ m′.
2. Определяем положение точки b׳ на проекции m׳ и по проекционной связи определяем горизонтальную проекцию b на проекции m.
3. Строим горизонтальную проекцию искомого отрезка ab.
Рис. 67. Построение перпендикуляра к прямой М Рис. 68. Построение высоты в ∆АВС
Задача 2. Через вершину С провести высоту треугольника АВС (рис. 68).
Решение. Анализируем эпюр и отмечаем, что сторона треугольника АВ || H, при этом ее горизонтальная проекция отображается в натуральную величину.
Следовательно, построение высоты надо начинать с горизонтальной проекции.
Порядок выполнения графической части задачи:
1. Из точки с проводим отрезок перпендикулярно стороне ab.
2. Точка d –основание высоты, cd – горизонтальная проекция высоты.
3. Проецируем точку d на фронтальную проекцию стороны a′b′ и получаем фронтальную проекцию точки d′ и строим фронтальную проекцию высоты c′d′.
Задача 3. Определить расстояние от точки К до прямой N (рис. 69).
Решение. Следует отметить, что при решении задач на определение расстояний, необходимо строить не только проекции расстояния, но определять его натуральную величину.
Кратчайшим расстоянием от точки до прямой является величина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Анализируя эпюр, отмечаем, что прямая N является фронталью и отображается на фронтальной проекции без искажения.
Следовательно, построение проекции перпендикуляра необходимо начинать с его фронтальной проекции.
Порядок выполнения графической части задачи:
1. Из точки k′ опускаем перпендикуляр на проекцию прямой n′, получаем точку e′. Фронтальная проекция перпендикуляра – k′e′.
2. Проецируем полученную точку на горизонтальную проекцию прямой n, получаем точку e и горизонтальную проекцию перпендикуляра ke.
3. Судя по проекциям, прямая КЕ общего положения. Методом прямоугольного треугольника определяем ее натуральную величину |KE|.
Расстояние от точки К до прямой N равно длине отрезка – Кое′.
KE, N = Koe′ = 30 мм.
3.5. Особые линии плоскости
Прямые, занимающим особое положение в плоскости:
1. Линии уровня плоскости.
2. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций.
Линии уровня плоскости
Линии уровня плоскости– прямые, лежащие в заданной плоскости и параллельные плоскостям проекций: горизонтали, фронтали, профильные прямые.
Горизонталь плоскости – прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная плоскости проекций Н. Следует запомнить, что все горизонтали одной и той же плоскости параллельны между собой.
Горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости, горизонтальный след плоскости является нулевой горизонталью плоскости. Чтобы построить горизонталь в плоскости Р,заданной следами, надо на фронтальной проекции РVотметить точку d’ – фронтальную проекцию следа горизонтали (рис. 67 а). Через нее проводим фронтальную проекцию горизонтали параллельно оси х. На оси х находим горизонтальную проекцию d. Прямая, проведенная из точки d параллельно следу РНплоскости, представляет горизонтальную проекцию горизонтали.
На рис. 70б проекции горизонтали проведены через проекции точки D и точки 1 прямой ЕС плоскости, заданной треугольником СDE. Построение горизонтали всегда начинают с фронтальной проекции d’1′, которая параллельна оси Х. По свойству принадлежности находят горизонтальную проекцию точки 1 и проводят горизонтальную проекцию горизонтали.
Рис. 70. Горизонталь плоскости:
а – в плоскости Р, заданной следами; б – в плоскости, заданной ∆СDE
Фронталь плоскости – прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости проекций
Построение фронтали и профильных прямых выполняется аналогично построению горизонтали, опираясь на известные свойства проекций линий уровня и свойство принадлежности, и начинают его с той проекции, которая параллельна соответствующей проекционной оси.Все фронтали одной и той же плоскости параллельны между собой. То же самое можно сказать и о профильных прямых уровня плоскости.
Профильная прямая уровня плоскости – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (рис. 72).
Рис. 71. Фронталь плоскости:
а – в плоскости Р, заданной следами; б – в плоскости, заданной ∆СDE
Рис. 72. Профильная прямая уровня ВЕ плоскости ∆АВС
Читайте также:
Теорема о проекциях прямого угла — КиберПедия
Любой линейный угол (острый, тупой, прямой) проецируется на плоскость проекций в истинную величину, если его стороны параллельны этой плоскости. При этом вторая проекция угла вырождается в прямую линию, перпендикулярную линиям связи.
Кроме того, прямой угол проецируется в истинную величину еще и тогда, когда только одна из его сторон параллельна плоскости проекций.
Теорема:
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая является прямой общего положения, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения, т. е. в прямой же угол.
10. Преобразование комплексного чертежа. Способ замены плоскостей проекций.
Преобразование комплексного чертежа— переводит прямые и плоские фигуры из общего положения относительно плоскостей проекций в частное.
Такие преобразования комплексного чертежа можгут быть осуществлены следующими двумя основными способами:
1. Способом замены плоскостей проекций, при котором оставляют неизменным положение оригинала в пространстве, а заменяют одну или обе плоскости проекций так, чтобы интересующие нас прямые и плоскости оказались бы в частном положении по отношению к новой системе плоскостей проекций.
2. Способом вращения, при котором оставляют неизменной систему плоскостей проекций, а изменяют положение оригинала в пространстве путем его вращения вокруг одной или последовательно вокруг двух подходящим образом выбранных осей так, чтобы интересующие нас прямые или плоскости оказались бы в частном положении по отношению к данной системе плоскостей проекций.
11. Четыре основных задачи преобразования чертежа.
Задача №1. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы прямая общего положения АВ оказалась параллельной одной из плоскостей проекций т.е. прямой уровня(горизонталь или фронталь) новой системы.
Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П1, или П2 новой плоскостью проекций П4, параллельной прямой АВ и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Для того чтобы прямая АВ в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, нужно заменить фронтальную плоскость проекций П2 новой плоскостью П4 П1 и параллельной прямой АВ.
3адача №2.Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы линия общего положения АВ стала проецирующей.
Для решения задачи заменить плоскость П2 исходной системы П2/П1 плоскостью П4 // А1В1, при этом плоскость П4 будет перпендикулярной П1 так как АВ // П4 и образует с ней новую систему плоскостей проекций П1/П4.
Задача №3. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей.
Для решения задачи необходимо заменить плоскость П1 или П2 исходной системы П2/П1 новой плоскостью П4, перпендикулярной плоскости (АВС). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости , преобразовать в проецирующую, то плоскость в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей.
Задача №4. Преобразовать комплексный чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня (параллельной одной из плоскостей проекций) новой системы.
Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций.
Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия
Проекция прямой на плоскость
Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.
Рис.1
Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.
Замечание 1. Рассматриваемый в данном разделе случай ортогонального проектирования точки на плоскость α представляет собой частный случай более общего понятия проектирования точки на плоскость параллельно некоторой прямой, необязательно перпендикулярной к плоскости. Такое проектирование используется в нашем справочнике при определении понятия «призма».
Замечание 2. Если это не приводит к разночтениям, для упрощения формулировок термин «ортогональная проекция на плоскость» часто сокращают до термина «проекция на плоскость».
Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a’, образованную проекциями всех точек фигуры a на плоскость α.
Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).
Рис.2
Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице
| Фигура | Рисунок | Свойство проекции |
| Наклонная к плоскости α | Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α. | |
| Прямая, параллельная плоскости | На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α. Если прямая a параллельна плоскости α, то проекцией прямой a является прямая a’, лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO. | |
| Прямая, лежащая на плоскости | Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a’, совпадает с прямой a . | |
| Прямая, перпендикулярная к плоскости | Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O, то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α. |
| Наклонная к плоскости α |
Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α. |
| Прямая, параллельная плоскости |
На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α. Если прямая a параллельна плоскости α, то проекцией прямой a является прямая a’, лежащая в плоскости α, параллельная прямой a и проходящая через основание O перпендикуляра PO. |
| Прямая, лежащая на плоскости |
Если прямая a лежит в плоскости, то ее проекция a’, совпадает с прямой a . |
| Прямая, перпендикулярная к плоскости |
Если прямая перпендикулярна плоскости α и пересекает плоскость α в точке O, то точка O и является проекцией этой прямой на плоскость α. |
Угол между прямой и плоскостью
Все возможные случаи, возникающие при определении понятия угла между прямой и плоскостью, представлены в следующей таблице.
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема о трех перпендикулярах. Если наклонная a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и проекция наклонной a’ на плоскость α перпендикулярна к прямой b.
Доказательство. Рассмотрим следующий рисунок 3.
Рис.3
На рисунке 3 буквой O обозначена точка пересечения наклонной a с плоскостью α. Точка P – произвольная точка на прямой a, а точка P’ – это проекция точки P на плоскость α. Проведем через точку O прямую b’, параллельную прямой параллельную прямой b. Если прямая b проходит через точку O, то прямая b’, совпадет с прямой b.
Поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α, то прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’. Прямая a перпендикулярна к прямой b’ по условию. Таким образом, прямая b’ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым PO и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’, откуда вытекает, что прямая b’ перпендикулярна и к прямой a’, лежащей на плоскости POP’.
Теорема доказана.
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Если проекция a’ наклонной a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и сама наклонная a перпендикулярна к прямой b.
Доказательство. Как и для доказательства прямой теоремы о трех перпендикулярах, воспользуемся рисунком 3.
Рис.3
Прямая a’ перпендикулярна к прямой b по условию обратной теоремы. Прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’, поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α. Таким образом, прямая b’, перпендикулярна к двум пересекающимся прямым P’O и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’. Тогда, в частности, прямая b’ перпендикулярна к прямой a, лежащей на плоскости POP’.
Теорема доказана.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
1.4 Ортогональное проецирование
Как уже было сказано выше ортогональное проецирование — это частный случай параллельного проецирования. При ортогональном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.
Аппарат такого проецирования состоит из одной плоскости проекций.
Чтобы получить ортогональную проекцию точки А, через неё надо провести проецирующий луч перпендикулярно к П1. Точка А1 называется ортогональной или прямоугольной проекцией точки А.
Чтобы получить ортогональную проекцию А1В1 отрезка АВ, на плоскость П1, необходимо через точки А и В провести проецирующие прямые, перпендикулярные П1. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся ортогональные проекции А1 и В1 точек А и В. Соединив ортогональные проекции А1 и В1 получим ортогональную проекцию А1В1 отрезка АВ.
Все свойства параллельного проецирования выполнимы и для ортогонального проецирования. Однако ортогональные проекции обладают ещё некоторыми свойствами.
Свойства ортогонального проецирования:
1. Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций.
Возьмём прямую АВ и построим её ортогональную проекцию А1В1 на плоскость П1. Если провести прямую АС || А1В1, то из треугольника АВС следует, что |АС| : |АВ| = cos a или |АВ| = |А1В1| : cos a, т. к. |А1В1| = |АС|.
2. Кроме того, для ортогонального проецирования будет справедлива теорема о проецировании прямого угла:
Теорема: Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.
Доказательство:
Дан прямой угол АВС, у которого по условию прямая ВС АВ и ВС || плоскости проекций П1. По построению прямая ВС к проецирующему лучу ВВ1. Следовательно, прямая ВС к плоскости b (АВхВВ1), т. к. она к двум пересекающимся прямым , лежащим в этой плоскости. По условию прямая В1С1 || ВС, поэтому тоже к плоскости b, т. е. и прямой А1В1 этой плоскости. Следовательно, угол между прямыми А1В1 и В1С1 равен 90°, что и требовалось доказать.
Ортогональное проецирование обеспечивает простоту геометрических построений при определении ортогональных проекций точек, а так же возможность сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства обеспечили ортогональному проецированию широкое применение в техническом черчении.
Рассмотренные методы проецирования позволяют решить прямую задачу начертательной геометрии, т. е. по оригиналу построить плоский чертёж. Полученные таким образом проекции на одну плоскость дают неполное представление о предмете, его форме и положении в пространстве, т. е. такой чертёж не обладает свойством обратимости.
Чтобы получить обратимый чертеж, т.е. чертеж дающий полное представление о форме, размерах и положении оригинала в пространстве, однокартинный чертеж дополняют. В зависимости от дополнения существуют различные виды чертежей.
- Эпюр Монжа или ортогональные проекции.Суть метода ортогональные (прямоугольных) проекций состоит в том, что оригинал ортогонально проецируют на 2 или 3 взаимно-ортогональные плоскости проекций, а затем совмещают их с плоскостью чертежа.
- Аксонометрический чертеж.Суть аксонометрического чертежа в том, что сначала оригинал жестко связывают с декартовой системой координат OXYZ, ортогонально проецируют его на одну из плоскостей проекций OXY, или OXZ. Затем параллельным проецированием находят параллельную проекцию полученной конструкции: осей координат OX, OY, OZ, вторичной проекции и оригинала.
- Перспективный чертеж.При построении перспективного чертежа сначала строят одну ортогональную проекцию, а затем на картинной плоскости находят центральную проекцию построенной ранее ортогональной проекции и самого оригинала.
- Проекции с числовыми отметками и др.Чтобы получить проекции с числовыми отметками ортогонально проецируют оригинал на плоскость нулевого уровня и указывают расстояние от точек оригинала до этой плоскости.
Более подробно остановимся на изучении прямоугольных проекций и аксонометрическом чертеже.
Иллюстрированный самоучитель по созданию чертежей › Изображение объектов трехмерного пространства › Ортогональные проекции. Аксонометрические проекции. Проекции с числовыми отметками. [страница — 38] | Самоучители по инженерным программам
Ортогональные проекции. Аксонометрические проекции. Проекции с числовыми отметками.
Ортогональное (прямоугольное) проецирование есть частный случай проецирования параллельного, когда все проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. Ортогональным проекциям присущи все свойства параллельных проекций, но при прямоугольном проецировании проекция отрезка, если он не параллелен плоскости проекций, всегда меньше самого отрезка (рис. 58). Это объясняется тем, что сам отрезок в пространстве является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его проекция – катетом: А’В’ = ABcos a.
При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется в натуральную величину, когда обе стороны его параллельны плоскости проекций, и тогда, когда лишь одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости проекций.
Теорема о проецировании прямого угла.
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то при ортогональном проецировании прямой угол проецируется на эту плоскость в прямой же угол.
Рис. 58
Рис. 59
Пусть дан прямой угол ABC, у которого сторона АВ параллельна плоскости п’ (рис. 59). Проецирующая плоскость перпендикулярна плоскости п’. Значит, АВ _|_S, так как АВ _|_ ВС и АВ _|_ ВВ, отсюда АВ _|_ В’С’. Но так какАВ || А’В’ _|_ В’С’, т. е. на плоскости п’ угол между А’В’ и В’С равен 90°.
Обратимость чертежа.
Проецирование на одну плоскость проекций дает изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция А (см. рис. 53) не определяет положение самой точки в пространстве, так как не известно, на какое расстояние она удалена от плоскости проекций п’. Любая точка проецирующего луча, проходящего через точку А, будет иметь своей проекцией точку А’. Наличие одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях говорят о необратимости чертежа, так как по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал. Для исключения неопределенности изображение дополняют необходимыми данными. В практике применяют различные способы дополнения однопроекционного чертежа. В данном курсе будут рассмотрены чертежи, получаемые ортогональным проецированием на две или более взаимно перпендикулярные плоскости проекций (комплексные чертежи) и путем перепроецирования вспомогательной проекции предмета на основную аксонометрическую плоскость проекций (аксонометрические чертежи).
Аксонометрические проекции
В ряде случаев для пояснения прямоугольных проекций сложных деталей, машин и механизмов применяют аксонометрические проекции. С их помощью получают наглядное изображение предметов. Сущность аксонометрического проектирования заключается в том, что фигуру, связанную с пространственной системой координатных осей, вместе с этими осями координат проецируют на одну плоскость, называемую плоскостью аксонометрических проекций. Подробно аксонометрические проекции рассмотрены в гл. 12.
Проекции с числовыми отметками
Сущность метода проекций с числовыми отметками заключается в том, что любая точка пространства проецируется ортогонально на одну горизонтальную плоскость, называемую плоскостью нулевого уровня. Положение точки по отношению к этой плоскости определяется числовой отметкой, проставляемой у буквенного обозначения проекции точки и представляющую собой число единиц расстояния от точки до плоскости проекций.
Угловые свойства, постулаты и теоремы
Для изучения геометрии логически важно понимать ключевые математические свойства и уметь применять полезные постулаты и теоремы. Постулат — это утверждение, истинность которого не была доказана, но считается верной на основании для математических рассуждений. Теоремы , с другой стороны, являются утверждениями, которые были доказаны с использованием других теорем или утверждений.В то время как некоторые постулаты и теоремы были введены в предыдущих разделах, другие новы в нашем изучении геометрии. Мы применим эти свойства, постулаты и теоремы, которые помогают проводить наши математические доказательства очень логичным и разумным образом.
Прежде чем мы начнем, мы должны ввести понятие конгруэнтности. Углы конгруэнтные если их меры в градусах равны. Примечание : «конгруэнтно» не означает «равный». Хотя они кажутся очень похожими, конгруэнтные углы не обязательно должны указывать в том же направлении. Единственный способ получить равные углы — сложить два угла. равной меры друг над другом.
Недвижимость
Мы будем использовать следующие свойства, чтобы помочь нам рассуждать через несколько геометрических доказательства.
Рефлексивное свойство
Количество равно самому себе.
Симметричное свойство
Если A = B , то B = A .
Переходное свойство
Если A = B и B = C , то A = C .
Дополнительное свойство равенства
Если A = B , то A + C = B + C .
Угловые постулаты
Постулат сложения углов
Если точка лежит внутри угла, этот угол представляет собой сумму двух меньших углы с ножками, проходящими через данную точку.
Рассмотрим рисунок ниже, на котором точка T находится внутри ? QRS . Согласно этому постулату, мы имеем ? QRS =? QRT +? TRS . Мы действительно применили этот постулат, когда практиковались в поиске дополнений и дополнения углов в предыдущем разделе.
Постулат соответствующих углов
Если трансверсаль пересекает две параллельных прямых, пары соответствующих углы совпадают.
Converse также верно : Если трансверсаль пересекает две прямые и соответствующие если углы совпадают, то прямые параллельны.
На рисунке выше показаны четыре пары соответствующих углов.
Постулат параллели
Для данной линии и точки не на этой линии существует уникальная линия, проходящая через точка параллельна данной линии.
Постулат параллельности — это то, что отличает евклидову геометрию от неевклидовой геометрии.
Есть бесконечное количество линий, которые проходят через точку E , но только красная линия проходит параллельно линии CD . Любая другая линия до E будет в итоге пересечь линию CD .
Угловые теоремы
Теорема
об альтернативных внешних углахЕсли трансверсаль пересекает две параллельных прямых, то альтернативная внешняя углы совпадают.
Converse также верен : Если трансверсаль пересекает две прямые и альтернативную внешние углы совпадают, тогда прямые параллельны.
Альтернативные внешние углы имеют одинаковые градусы, потому что линии параллельно друг другу.
Теорема
об альтернативных внутренних углахЕсли трансверсаль пересекает две параллельных прямых, то альтернативный внутренний углы совпадают.
Converse также верен : Если трансверсаль пересекает две прямые и альтернативную внутренние углы совпадают, тогда прямые параллельны.
Альтернативные внутренние углы имеют одинаковые градусы, потому что линии параллельно друг другу.
Теорема о конгруэнтных дополнениях
Если два угла являются дополнениями одного и того же угла (или равных углов), то два угла конгруэнтны.
Теорема о конгруэнтных дополнениях
Если два угла являются дополнениями одного и того же угла (или равных углов), то два угла конгруэнтны.
Теорема о прямых углах
Все прямые углы совпадают.
Теорема
об односторонних внутренних углахЕсли трансверсаль пересекает две параллельных прямых, то внутренние углы с той же стороны поперечины — дополнительные.
Converse также верно : Если трансверсаль пересекает две линии и внутреннюю часть углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными, тогда линии параллельно.
Сумма градусов внутренних углов одной и той же стороны составляет 180 °.
Теорема
о вертикальных углахЕсли два угла — это вертикальные углы, то они имеют равные меры.
Вертикальные углы имеют одинаковые градусы. Есть две пары вертикальных углов.
Упражнения
(1) Дано: м? DGH = 131
Найдите: m? GHK
Во-первых, мы должны полагаться на информацию, которую нам дают, чтобы начать наше доказательство.В этом В упражнении отметим, что размер ? DGH равен 131 ° .
Из представленной иллюстрации мы также видим, что строки DJ и EK параллельны друг другу. Следовательно, мы можем использовать некоторые угловые теоремы выше, чтобы найти меру ? GHK .
Мы понимаем, что существует связь между ? DGH и ? EHI : это соответствующие углы.Таким образом, мы можем использовать Постулат соответствующих углов чтобы определить, что ? DGH ?? EHI .
Прямо напротив ? EHI находится ? GHK . Поскольку они вертикальных углов, мы можем использовать теорему о вертикальных углах , чтобы увидеть, что ? EHI ?? GHK .
Теперь, по транзитивности , мы имеем ? DGH? GHK .
Конгруэнтные углы имеют равные градусы, поэтому размер ? DGH равен размеру ? GHK .
Наконец, мы используем замену , чтобы сделать вывод, что мера ? GHK это 131 ° . Этот аргумент организован в виде доказательства в две колонки ниже.
(2) Дано: m? 1 = m? 3
Доказательство: м? PTR = m? STQ
Начнем наше доказательство с того, что меры ? 1 и ? 3 равны.
На втором этапе мы используем Reflexive Property , чтобы показать, что ? 2 равен себе.
Хотя предыдущий шаг был тривиальным, он был необходим, потому что он настраивал нас на использование Добавление свойства равенства , показав, что добавление меры ? 2 к двум равным углам сохраняет равенство.
Затем с помощью постулата сложения углов мы видим, что ? PTR является сумма ? 1 и ? 2 , тогда как ? STQ является Сумма ? 3 и ? 2 .
В конечном итоге, через замену ясно, что меры ? PTR и ? STQ равны. Доказательство этого упражнения из двух столбцов показано. ниже.
(3) Дано: м? DCJ = 71 , м? GFJ = 46
Prove: м? AJH = 117
Нам дается размер ? DCJ и ? GFJ , чтобы начать упражнение.Также обратите внимание, что три горизонтальные линии на рисунке параллельны друг другу. Диаграмма также показывает нам, что последние шаги нашего Для доказательства может потребоваться сложить два угла, составляющих ? AJH .
Мы обнаруживаем, что существует связь между ? DCJ и ? AJI : это альтернативные внутренние углы. Таким образом, мы можем использовать Alternate Internal Angles. Теорема утверждает, что они конгруэнтны друг другу.
По определению сравнения их углы имеют одинаковую величину, поэтому они равны.
Теперь мы заменяем мерой ? DCJ на 71 . поскольку нам дали это количество. Это говорит нам, что ? AJI также 71 ° .
Поскольку ? GFJ и ? HJI также являются альтернативными внутренними углами, мы утверждаем, что они совпадают по теореме об альтернативных внутренних углах .
Определение конгруэнтных углов еще раз доказывает, что углы равны меры. Поскольку мы знали размер ? GFJ , мы просто заменяем чтобы показать, что 46 является мерой степени ? HJI .
Как предсказывалось выше, мы можем использовать постулат сложения углов , чтобы получить сумму из ? AJI и ? HJI , поскольку они составляют ? AJH .В конечном итоге мы видим, что сумма этих двух углов дает нам 117 ° . Доказательство из двух столбцов для этого упражнения показано ниже.
(4) Дано: m? 1 = 4x + 9 , m? 2 = 7 (x + 4)
Найти: м? 3
В этом упражнении нам не даются конкретные градусные меры для показанных углов.Скорее, мы должны использовать некоторую алгебру чтобы помочь нам определить размер ? 3 . Как всегда, начинаем с информация приведенная в задаче. В этом случае нам даны уравнения для мер из ? 1 и ? 2 . Также отметим, что существует две пары параллельных линий на схеме.
По теореме о внутренних углах одинаковой стороны , мы знаем, что сумма ? 1 и ? 2 равно 180 , поскольку они являются дополнительными.
После замены этих углов на данные нам меры и упрощения, имеем 11x + 37 = 180 . Чтобы найти x , мы сначала вычтите обе части уравнения на 37 , а затем разделите обе стороны на 11 .
После того, как мы определили, что значение x равно 13 , мы снова подключаем его к уравнению для измерения из ? 2 с намерением в конечном итоге использовать соответствующих углов Постулат .Подключение 13 к x дает нам меру 119 для ? 2 .
В итоге делаем вывод, что ? 3 должны иметь эту степень, так как ? 2 и ? 3 совпадают с . Доказательство из двух столбцов, показывающее этот аргумент, показано ниже.
Решение прямоугольных треугольников. Темы по тригонометрии.
Темы | Дом
6
Это тема традиционной тригонометрии. Это не входит в расчет.
РЕШИТЬ ТРЕУГОЛЬНИК — значит знать все три стороны и все три угла. Когда мы знаем соотношение сторон, мы используем метод подобных фигур. Это метод, который следует использовать при решении равнобедренного прямоугольного треугольника или треугольника 30 ° -60 ° -90 °.Когда мы не знаем чисел отношения, тогда мы должны использовать Таблицу отношений. В следующем примере показано, как.
Общая методика
Пример 1. Дан острый угол и одна сторона. Решите прямоугольный треугольник ABC, если угол A равен 36 °, а сторона c равна 10 см.
Решение. Поскольку угол A равен 36 °, тогда угол B равен 90 ° — 36 ° = 54 °.
Чтобы найти неизвестную сторону, скажем a , действуйте следующим образом:
| 1. | Сделайте неизвестную сторону числителем дроби, а известную сторону — знаменателем. |
| Неизвестно Известно | = | а 10 |
| 2. | Назовите эту функцию угла. |
| Неизвестно Известно | = | а 10 | = грех 36 ° |
| 3. | Используйте тригонометрическую таблицу, чтобы оценить эту функцию. |
| Неизвестно Известно | = | а 10 | = грех 36 ° = 0,588 |
| 4. | Решите неизвестную сторону. |
a = 10 × . 588 см = 5 . 88 см
(Урок 4 арифметики.)
Задача 1. Решите треугольник для стороны b .
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Для просмотра таблицы щелкните здесь.
| Неизвестно Известно | = | б 10 | = cos 36 ° = .809 |
| б | = 10 ×.809 = 8,09 см | ||
Задача 2. Измерить ширину реки. Два дерева стоят друг напротив друга, в точках A и B, на противоположных берегах реки.
Расстояние AC вдоль одного берега перпендикулярно BA и составляет 100 футов. Измеренный угол ACB составляет 79 °. Как далеко друг от друга деревья; то есть какая ширина w река?
| Неизвестно Известно | = | Вт 100 | = | загар 79 °. |
| Вт | = | 100 загар 79 ° | ||
| = | 100 × 5,145 = 514,5 футов, | |||
из таблицы.
(Чтобы измерить высоту флагштока и значение угла возвышения, см. Пример в теме 3.)
Пример 2.Найдите расстояние между лодкой и маяком, если высота маяка 100 метров, а угол наклона — 6 °.
Решение . Угол депрессии — это угол под прямым углом, горизонтальный, на который должен смотреть обервер, чтобы увидеть что-то под наблюдателем. Таким образом, чтобы увидеть лодку, смотритель маяка должен смотреть вниз на 6 °.
Итак, треугольник, образованный маяком и находящийся на расстоянии d лодки от маяка, является прямоугольным.А поскольку угол депрессии равен 6 °, то альтернативный угол также равен 6 °. (Евклид, I. 29.)
Если d — расстояние лодки от маяка, то
| d 100 | = | детская кроватка 6 ° | = 9 . 514, из табл. |
Следовательно,
d = 951 . 4 метра.
Пример 3. Даны две стороны прямоугольного треугольника. Решите прямоугольный треугольник ABC, учитывая, что сторона c = 25 см, а сторона b = 24 см.
Решение. Чтобы найти оставшуюся сторону a , используйте теорему Пифагора:
| a 2 + 24 2 | = | 25 2 |
| a 2 | = | 625–576 = 49 |
| а | = | = 7. |
Далее, чтобы найти угол A, мы имеем
| cos A | = | 24 25 | = | 96 100 | , |
| о умножении каждого члена на 4; | |||||
| = | . 96 | ||||
(См. «Арифметика: дроби на десятичные».)
Теперь мы должны осмотреть таблицу, чтобы найти угол, косинус которого ближе всего к . 96, или, поскольку это трехместная таблица, . 960.
Находим
cos 16 ° = . 961
Следовательно,
Угол A 16 °.
Наконец,
Угол B = 90 ° — 16 ° = 74 °.
Мы решили треугольник.
Задача 3. Решите прямоугольный треугольник ABC, учитывая, что c = 10 см и b = 8 см.
Чтобы найти оставшуюся сторону a , используйте теорему Пифагора:
| a 2 + 8 2 | = 10 2 |
| a 2 | = 100 — 64 = 36 |
| а | = = 6 см. |
Чтобы найти угол A, имеем
| cos A = | 8 10 | = . 8. |
Теперь осмотрите таблицу, чтобы найти угол, косинус которого наиболее близок к . 8, или, поскольку это трехместная таблица, . 800.
Найдите cos 37 ° = . 799.
Следовательно, Угол A37 °.Угол B = 90 ° — 37 ° = 53 °.
Следующая тема: Закон косинусов
Темы | Дом
Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.
Авторские права © 2020 Лоуренс Спектор
Вопросы или комментарии?
Эл. Почта: [email protected]
Теорема Пифагора — определение математического слова
Теорема Пифагора — определение математического слова — Math Open Reference| c 2 = a 2 + b 2 |
Хотя к этой теореме добавлено имя Пифагора, на самом деле он был известен вавилонянам за много веков до него. Есть много доказательств этой теоремы, некоторые графические по своей природе, а другие с использованием алгебры. См. Графическое доказательство теоремы Пифагора для одного такого доказательства.
На веб-сайте «Разрубить узел» автор собирает доказательства теоремы Пифагора, а по состоянию на в этом сочинении перечислено более 70, но на самом деле известны сотни.
Решение прямоугольного треугольника
Термин «решение треугольника» означает, что если мы начнем с прямоугольного треугольника и знаем любые две стороны, мы сможем найти или «решить для» неизвестную сторону. Это включает в себя простую перестановку формулы теоремы Пифагора, чтобы поместить неизвестное в левую часть уравнения.Найдите гипотенузу
Если мы знаем два катета прямоугольного треугольника, мы можем найти гипотенузу по формуле: где a и b — длины двух катетов треугольника, аh — гипотенуза.
Найдите ногу
Если мы знаем гипотенузу и один катет, мы можем найти другой катет, используя формулу: где a — отрезок, который мы хотим найтиb — известный отрезок
h — гипотенуза.
Обращение теоремы Пифагора
Верно и обратное утверждение этой теоремы. То есть, если треугольник удовлетворяет теореме Пифагора, то это прямоугольный треугольник. Другими словами, только прямоугольных треугольников удовлетворяют теореме.Что попробовать
- На рисунке выше нажмите «Сброс».
- Установите один из флажков «скрыть».
- Отрегулируйте треугольник, перетащив оранжевую точку.
- Используйте теорему Пифагора, чтобы найти недостающую сторону.
- Снимите флажок «скрыть», чтобы проверить свой ответ.
Прочие треугольники
Общие
Периметр / Площадь
Типы треугольников
Центры треугольника
Соответствие и сходство
Решение треугольников
Треугольник викторины и упражнения
(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.
Геометрия — Сводка — Углы
Определения
Интерактивная демонстрация некоторых определений углов.Переместите ползунок, чтобы увидеть варианты соответствующих углов и альтернативных углов.
- Угол одного оборота составляет 360 °.
- Два угла с общим лучом называются смежными .
- Два соседних угла, лежащих на одной линии, называются дополнительными. углы .
- Если два дополнительных угла равны, они равны прямым углам .
- Угол меньше одного прямого угла — это острый угол .
- Угол, который больше одного прямого и меньше двух прямых углов, равен тупому углу .
- Линия, пересекающая две другие линии, называется поперечной . Углы равны , соответствующие углы .
- Углы , альтернативные углы .
- Углы , вертикальные углы .
- Угол равен , внешний угол к треугольнику.
Примечание: Номер 1 был добавлен в список, хотя градусы не упоминаются Евклидом в Элементах.
задач GeoGebra
Проведите линию a через точки A и B , и линия b через точки C и D . Войти точка пересечения E и угол α .Место точка F на линии b .
Задача 1
Сделайте угол β в точке F равным α , и таким образом, что β становится альтернативным углом когда рисуется новая линия. Что вы можете сказать о линейке a и новая линия?
Задача 2
Сделайте угол β в точке F равным α , и таким образом, что β становится , соответствующим углу когда рисуется новая линия.Что вы можете сказать о линейке a и новая линия?
Теоремы
Теорема 1 Вертикальные углы равны.
Теорема 2 В любом треугольнике сумма двух внутренних углов меньше двух прямых углов.
Теорема 3 Если две прямые пересекаются трансверсалью и если чередующиеся углы равны, то две линии параллельны.
Теорема 4 Если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то альтернативные углы равны.
Теорема 5 Если две прямые пересекаются трансверсалью и если соответствующие углы равны, то две линии параллельны.
Теорема 6 Если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то соответствующие углы равны.
Теорема 7 — Теорема о внешнем угле Внешний угол треугольник равен сумме двух удаленных внутренних углов.
Теорема 8 Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам.
Теорема 9 Обращение теоремы о равнобедренном треугольнике Если два угла в треугольнике равны, то треугольник равнобедренный.
Упражнения
Теоремы, которые вы должны знать, прежде чем делать это: случаи сравнения SAS, SSS, ASA и теорема об углах в равнобедренном треугольнике.
Упражнение 1
Докажите теорему 1
Упражнение 2
В демонстрации ниже D — это средняя точка сегмента AC , а также средняя точка. сегмента BE .Пока вершины треугольника имеют против часовой стрелки A , B , C ; сумма α и γ меньше двух прямых углов. Показать что γ = β . Затем докажите теорему 2. Вам разрешается использовать только теоремы, в которых уже есть доказано.
Демонстрация суммы двух углов в треугольнике.Упражнение 3
Докажите теорему 3. Попробуйте провести доказательство. от противного, т.е. предположим, что ваше предложение неверно; тогда покажи что это предположение приводит к противоречию.Затем используйте теорему 3 для доказательства теоремы 4, доказательство от противного работает в и в этом случае.
Упражнение 4
Используйте некоторые из уже доказанных теорем для доказательства теорем 5 и 6.
Упражнение 5
Докажите теорему 7 — теорему о внешнем угле. Используйте картинку ниже. Линия l параллельна AC .
Упражнение 6
Докажите теорему 8.