СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ | Энциклопедия Кругосвет
Содержание статьи- Позиционные и непозиционные системы счисления.
- Позиционные системы счисления.
- Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (нумерация) – совокупность способов обозначения натуральных чисел.
На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая бóльшее число предметов, объединялась в понятии «много». Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился знак ~ (титло).
Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:
I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.
О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если бóльшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед бóльшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бóльшей). Например, VI = 6, т.е. 5 + 1, IV = 4, т.
е. 5 – 1, XL = 40, т е. 50 – 10, LX = 60, т.е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).
Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.
Другие же числа записываются, например, как:
XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.
Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 в., а в других странах Западной Европы – до 16 в.
В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C – 200, Л – 30, А – 1).
Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.
Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной является десятичная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла в Европу. В десятичной системе счисления основанием является число 10.
Существовали системы исчисления и с другими основаниями. В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты – на 60 секунд.
Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда – числа 12 – «дюжина».
Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами, например, столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре. Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе – гросс – встречается теперь редко, но в торговой практике начала столетия оно еще бытовало. Например, в написанном в 1928 стихотворении Плюшкин В.В.Маяковский, высмеивая людей, скупающих все подряд, писал: «…укупил двенадцать гроссов дирижерских палочек». У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления. В Центральной Америке (у древних ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатеричная система. Все они также связаны со счетом на пальцах.
Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.
Позиционные и непозиционные системы счисления.
Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.
В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.
Однако наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр.
Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.
Различие между позиционой и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.
Позиционные системы счисления.
Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы – это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе.
Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x = an·pn +an – 1·pn–1 + a1·p1 + a0·p0, где an…a0 – цифры в представлении данного числа. Так, например,
103510=1·103 + 0·102 + 3·101 + 5·100;
10102 = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20 = 10.
Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.
Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной.
Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.
Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.
Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Наиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления? Есть различные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую на конкретных примерах.
Пусть нужно перевести число 567 из десятичной в двоичную систему. Сначала определяется максимальная степень двойки, такая, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу. В данном случае это 9, т.к. 29 =512, а 210 = 1024, что больше начального числа. Таким образом получается число разрядов результата, оно равно 9 + 1 = 10, поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х могут стоять любые двоичные цифры. Вторая цифра результата находится так – двойка возводится в степень 9 и вычитается из исходного числа: 567 – 29 = 55. Остаток сравнивается с числом 28 = 256. Так как 55 меньше 256, то девятый разряд – нуль, т.е. результат имеет вид 10
Рассмотрим восьмой разряд. Так как 27 = 128 > 55, то и он будет нулевым.Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх. 25 = 32 ххххх). Для остатка 55 – 32 = 23 справедливо неравенство 24 = 16
567 = 1·29 + 0·28 + 0·27 + 0·26 + 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 1·21 + 1·20
При другом способе перевода чисел используется операция деления в столбик. Если взять то же число 567 и разделить его на 2, получается частное 283 и остаток 1. Та же операция производится и с числом 283. Частное – 141, остаток – 1. Опять полученное частное делится на 2 и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, т.е. 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.
Результат, естественно, не изменился: 567 в двоичной системе счисления записывается как 1 000 110 111.
Эти два способа применимы при переводе числа из десятичной системы в систему с любым основанием. Например, при переводе числа 567 в систему счисления с основанием 16 число сначала разлагается по степеням основания. Искомое число состоит из трех цифр, т.к. 162 = 256 3 = 4096. Определяется цифра старшего разряда. 2·162 = 512 2 = 768, следовательно, искомое число имеет вид 2хх, где вместо х могут стоять любые шестнадцатеричные цифры. Остается распределить по следующим разрядам число 55 (567 – 512). 3·16 = 48
Второй способ состоит в последовательном делении в столбик, с единственным отличием в том, что делить надо не на 2, а на 16, и процесс деления заканчивается, когда частное становится строго меньше 16.
Конечно, для записи числа в шестнадцатеричной системе счисления, необходимо заменить 10 на A, 11 на B и так далее.
Операция перевода в десятичную систему выглядит гораздо проще, так как любое десятичное число можно представить в виде x = a0·pn + a1·pn–1 +… + an–1·p1 + an·p0, где a0 … an – это цифры данного числа в системе счисления с основанием p.
Например,так можно перевести число 4A3F в десятичную систему. По определению, 4A3F= 4·163 + A·162 + 3·16 + F. При замене A на 10, а F на 15, получается 4·16 3 + 10·162 + 3·16 + 15= 19007.
Проще всего переводить числа из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 и 16), и наоборот. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием 2n, нужно данное двоичное число разбить справа налево на группы по n-цифр в каждой; если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее нулями до нужного числа разрядов; рассмотреть каждую группу, как n-разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2n.
| Таблица 1. ДВОИЧНО-ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ ТАБЛИЦА | ||||||||
| 2-ная | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 |
| 16-ная | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2-ная | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 16-ная | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
| Таблица 2. ДВОИЧНО-ВОСЬМЕРИЧНАЯ ТАБЛИЦА | ||||||||
| 2-ная | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
| 8-ная | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Известный французский астроном, математик и физик Пьер Симон Лаплас (1749–1827) писал об историческом развитии систем счисления, что «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна.
Сравнение десятичной системы исчисления с иными позиционными системами позволило математикам и инженерам-конструкторам раскрыть удивительные возможности современных недесятичных систем счисления, обеспечившие развитие компьютерной техники.
Анна Чугайнова
Повторение
Принципы записи чисел в позиционных системах счисления
   
Наряду с понятиями алфавита и основания в позиционных системах счисления будем использовать понятие базиса.
    В привычной нам десятичной системе счисления базисом являются степени числа десять – 1, 10, 100, 1000, 1000… Это означает, что в записи числа каждая последующая цифра «весит» больше предыдущей в 10 раз. Более наглядно это проявляется в так называемой развернутой форме записи числа. 
    444=4*100+4+101+4*102; 658=8*100+5*101+6*102.     Натуральный ряд чисел в десятичной системе счисления: 1..9, 10..99, 100…     Кроме десятичной, мы будем рассматривать и другие позиционные системы счисления.
   
В восьмеричной системе счисления основание равно 8, алфавит составляют цифры от 0 до 7, базисом является последовательность 1, 8, 82, 83, 84…, т.е., каждая последующая цифра в 8 раз больше предыдущей. В развернутой форме восьмеричное число записывается так: 3458=5*80+4*81+3*82
   
Т.о., позиционная система счисления с основанием P характеризуется тем, что с помощью ограниченного набора цифр можно записать сколь угодно большое и сколь угодно малое число в виде суммы произведений цифр на положительные и отрицательные степени числа Р.
Правила перевода чисел в десятичную систему счисления    Запишем в развернутой форме числа:    14310=3*100+4*101+1*102;     143,7810=3*100+4*101+1*102+7*10-1+8*10-2;     56,318=6*80+5*81+3*8-1+1*8-2;     1011,012=1*20+1*21+0*22+1*23+0*2-1+1*2-2;     FC,1516=12*160+15*161+1*16-1+5*16-2;     Если мы вычислим суммы, записанные в каждой строчке, то это будет не что иное, как число в десятичной системе счисления.  Таким образом, получаем первый алгоритм (правило) перевода чисел в десятичную систему счисления.
   
Пусть число 341 записано цифрами девятеричной, восьмеричной, шестеричной и шестнадцатеричной систем счисления, найдем его десятичное значение. Перевод чисел из десятичной системы счисления    Целые числа
   
Для обратного перевода нужно разложить десятичное число на слагаемые, содержащие максимальную степень основания нужной системы счисления. К примеру, переведем десятичное число 15 в двоичную, троичную и восьмеричную системы счисления соответственно:
   
Получили, что для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием Р нужно разложить это число на слагаемые, содержащие максимальную степень числа Р и выписать коэффициенты (множители) при этих степенях. Вместо отсутствующей степени нужно записать 0.
Легко заметить, что множители при степенях Р не что иное, как остатки от последовательного деления десятичного числа на Р. Тогда запись Р-ичного числа превращается в последовательность остатков от деления на Р, записанных в обратном порядке.
   
Переведем правильную десятичную дробь 0,875 в двоичную систему счисления:
Процесс умножения закончен, т.к. получена нулевая дробная часть. Последовательность целых частей, выписанных в порядке получения, является дробной частью числа в двоичной системе счисления.
Задачи
|
Целая часть двоичной дроби равна нулю. Итак, 0,87510=0,1112. Убедитесь в этом, выполнив обратный перевод.
12 Умопомрачительные системы счисления из других языков
Сегодня большой день для любителей числа 12, и никто не любит 12 больше, чем члены Общества дюжины. Общество дюжины выступает за отказ от системы счисления с основанием 10, которую мы используем для подсчета, в пользу системы с основанием 12. Поскольку 12 точно делится на большее количество множителей, чем 10 (1, 2, 3, 4, 6 и 12 против 1, 2, 5 и 10), такая система упорядочила бы нашу математическую жизнь различными способами. Но дюжинальная система потребовала бы от нас изменить числовые слова так, чтобы, например, то, что мы знаем как 20, означало бы 24 (2×12), 30 означало бы 36 и так далее.
Это слишком сильно ударяет тебя по голове? Ну, есть много странных вещей, которые языки могут делать с числовыми словами. Вот 12 из них. 9та (мизинец с другой стороны).
2. Цоциль, счет частей тела с основанием 20
Цоциль, язык майя, на котором говорят в Мексике, имеет десятичную систему счета, или систему счета с основанием 20. Почему может возникнуть система с основанием 20? Пальцы и пальцы ног! Для чисел выше 20 вы обращаетесь к цифрам следующего полного человека (виника). Двадцать один — это джун ша’виник (первая цифра второго человека), 42 — чиб йоксвиник (вторая цифра третьего человека), а 70 — ладжунеб чанвиник (десятая цифра четвертого человека).
3. Йоруба, основание 20 с вычитанием
Йоруба, нигеро-конголезский язык, на котором говорят в Западной Африке, также имеет систему с основанием 20, но она усложняется тем фактом, что на каждые 10 цифр, которые вы продвигаете вперед, вы добавляете цифры 1-4 и вычесть цифры 5-9.
Четырнадцать (??rinlá) — это 10+4, а 17 (eétàdílógún) — это 20-3. Таким образом, объединение основания-20 и средства вычитания 77 дает m?tadil?g?rin, или (20×4)-3.
4. Традиционный валлийский, с основанием 20 и точкой разворота 15
Хотя современный валлийский использует числа с основанием 10, традиционная система была с основанием 20, с добавлением 15 в качестве точки отсчета. Как только вы продвинетесь на 15 (pymtheg), вы добавите единицы к этому числу. Итак, 16 — это un ar bymtheg (один на 15), 36 — un ar bymtheg ar Hugain (один на 15 на 20) и так далее.
5. Аламблак, числа, составленные из 1, 2, 5 и 20
В аламблак, языке Папуа-Новой Гвинеи, есть только слова для 1, 2, 5 и 20, а все остальные числа построены из тех. Итак, 14 — это (5×2)+2+2, или тир хосфи хосфихосф, а 59 — это (20×2)+(5x(2+1))+(2+2) или йима хосфи тир хосфирпати хосфихосф.
6.
Ндом, с основанием 6Ндом, еще один язык Папуа-Новой Гвинеи, имеет основание 6 или порядковую систему счисления. В нем есть основные слова для чисел 6, 18 и 36 (мер, тондор, ниф), и другие числа построены на их основе. Число 25 — это tondor abo mer abo sas (18+6+1), а 90 есть ни то, ни другое (36×2)+18).
7. Хули, 15-кратная система счисления
В языке хули Папуа-Новой Гвинеи используется 15-кратная система счисления. Числа, кратные 15, являются простыми словами. Там, где английское слово для 225 довольно длинное, слово хули — ngui ngui, или 15 15. Однако 80 в хули — это ngui dau, ngui waragane-gonaga duria ((15×5) + 5-й член 6-го 15).
8. Букиип, основание 3 и основание 4 вместе
В букиипе, другом языке Папуа-Новой Гвинеи, также известном как горный арапеш, есть две системы счета, и какую из них вы используете, зависит от того, что вы считаете.
Кокосы, дни и рыба учитываются по основанию-3. Орехи бетеля, бананы и щитовки считаются по основанию 4. Слово анауип означает 6 в системе счисления по основанию 3 и 24 в системе счисления по основанию 4!
9. Supyire, числа, составленные из 1, 5, 10, 20, 80 и 400
Supyire, нигеро-конголезский язык, на котором говорят в Мали, имеет основные числовые слова для 1, 5, 10, 20, 80 и 400, и строит остальные числа из них. Слово для 600 звучит как kàmpwòò ná ?kwuu shuuní ná bééshùùnnì, или 400+(80×2)+(20×2)
10. Датский язык, образует числа, кратные десяти, с дробями
Датский счет выглядит довольно знакомым, пока вы не дойдете до 50, и то с дробями все становится странно. Число 50 — это halvtreds, сокращение от halv tred sinds tyve («половина трети умножить на 20» или 2½x20). Число 70 равно 3½x20, а 90 это 4½x20.
11. Французский язык, смесь оснований 10 и 20.
Французский язык использует основание 10, считая до 70, после чего он переходит в смесь с основанием 20. Число 70 — это soixante-dix (60+10), 80 — это quatre-vingts (4×20), а 90 — это quatre-vingts-dix ((4×20)+10).
12. Нимбия, основание-12
Несмотря на то, что, как заявляют дюжиналисты, 12 является лучшим основанием с математической точки зрения, в языках мира встречается относительно немного систем с основанием 12. В нимбии, диалекте языка гвандара в Нигерии, числа, кратные 12, являются основными числовыми словами, вокруг которых строится все остальное. Число 29это гумэ би ни бияр ((12×2)+5), а 95 это гумэ бо’о ни квада ((12×7)+11).
Здесь вы можете увидеть больше систем счисления. Многие из более экзотических вымирают. В книге Дэвида К. Харрисона «, когда языки умирают, » объясняется, как мы теряем «важное окно в человеческое познание, решение проблем и адаптацию», когда эти системы счисления исчезают.
За пределами десятичной системы: три необычные системы счета
Серия: О ранней математике
За пределами десятичной системы: три необычные системы счетаby Ben Austin Это статья — для классов Pre-K, Kindergarten, 1st Class, 2nd Class, 3rd Class
Счет — это один из первых математических навыков, которые развивают дети. Хотя счет до десяти является важной вехой, он также является временным препятствием, потому что у детей заканчиваются пальцы, чтобы считать! Отсюда мы видим, что каждое десятилетие , или серия из десяти, является мини-вехой, которую должны преодолеть молодые студенты. Обратите внимание, как этот студент делает паузу и добавляет акцент каждый раз, когда переходит в новое десятилетие.
Понятно, что счет в наборах по десять , также называемый по основанию 10 или в десятичной системе счисления , является навыком, который мы развиваем и усваиваем в очень молодом возрасте.
Однако, как это ни удивительно, существуют десятки различных систем счета, многие из которых используются до сих пор. Понимание и изучение других систем счета может быть полезным для детей в будущем, когда они пытаются измерить объект, который не дает в сумме 10 единиц. Это также полезно, когда дети начинают браться за «ужасное слово на букву F» — дроби.
Счетная система пастуха
Учащимся старшего возраста может понравиться попытка разобраться в этой системе счета. Много лет назад пастухи в Шотландии, Англии и Уэльсе считали своих овец, используя этот набор правил, и некоторые из этих счетных слов до сих пор используются в разговорной речи в сельских районах. Существуют региональные вариации, но большинство из них имеют дело исключительно с числами до 20. Они часто имеют подбазу 5 между 10 и 20, поэтому это может быть возможностью для изучения базы-5 9.0008 система. Написанный известными нам арабскими цифрами, пример системы счета Шеперда может выглядеть и звучать так:
.
Эта диаграмма выглядит так, как будто она достигает 40 , но 20 — это фактическое достигнутое количество. Мы видим написанное число 40 , потому что при использовании разряда в системе с основанием 5 мы достигаем нового десятичного числа после каждого пятого числа.
Это забавный пример, но если вы не планируете отправиться в сельскую местность Шотландии, у вас не будет возможности использовать его очень часто. В классе дошкольного образования изучение этой другой системы счисления, возможно, даже с небольшой европейской историей и культурной составляющей урока, может быть полезным исследованием.
Двоичный (с основанием два)
Существует недесятичная система счисления, которую вы, скорее всего, используете каждый день и действительно используете прямо сейчас, читая эту статью. Компьютеры и электроника используют эту систему счисления для выполнения основной части своей обработки. Как это ни звучит, в нем используются только две разные цифры, 0 и 1.
. Выглядит это так:Год 2014 будет выглядеть так: 11111011110. Читать довольно сложно. Почему компьютеры используют только две цифры? Подумайте о другом электрическом устройстве, которое вы используете ежедневно: выключатель света. У вас есть два варианта: переверните его, чтобы включить; переверните его, чтобы выключить. Очень легко определить, горит свет или нет; ты либо сидишь в темноте, либо нет! Эта логика «включено или выключено» — это именно та логика, которую используют компьютеры, и поэтому мы сталкиваемся с двоичным кодом каждый день, осознаем мы это или нет. Это помогает компьютерам быстро и эффективно обрабатывать и хранить числа, буквы и более сложные функции.
Дюжина (по основанию двенадцать)
Эта система счета нигде не используется широко, но Американское общество дюжин приводит ряд математически убедительных аргументов о том, почему она должна быть, особенно по сравнению с системой счисления с основанием 10, к которой мы так неразрывно привязаны.
Выглядит так:Обратите внимание, что для получения полной декады нам нужно добавить две цифры. Они обычно записываются как перевернутые 2 и 3, называемые дек и эл, и представляют те же величины, что и 10 и 11.
Упрощение фундаментальных ранних математических понятий на самом деле является основной причиной их аргументации. Возможно, наиболее убедительным является их аргумент о дробях, концепции, вызывающей страх у многих молодых учащихся, которую можно было бы значительно упростить, внедрив систему дюжин. Как? Наиболее часто используемые нами дроби — половинки, трети и четверти — легко представляются с помощью этой системы, потому что 12 делится без остатка на 2, 3 и 4 (а также, конечно, на 6). Десять, с другой стороны, можно чисто разделить только на половины и пятые части. Из-за этого обучение студентов чему-то простому, например, тому, как справедливо разделить пиццу между тремя друзьями (1 : 3 = 0,3), вводит потенциально сбивающие с толку или отвлекающие идеи о бесконечности из-за повторяющихся десятичных знаков.
А как же пальцы, на которые дети так рано полагаются при счете? В идеале они не будут полагаться на счет пальцев слишком долго в своей математической карьере. Однако, если это поможет, они могут использовать суставы на внутренней стороне своих четырех пальцев в качестве инструментов для счета (см. изображение в начале этой статьи).
Выглядит это так:
Выглядит так:
Эти идеи кажутся вам диковинными? Учтите следующее: при указании времени вы одновременно используете упрощенные версии 12- и 60-кратной системы счисления (подумайте о том, что происходит через минуту после 12:59).). При измерении ткани вы используете идею систем счета с основанием 12 и 3 (2 ярда, 1 фут и 3 дюйма). Выпекание пирога? Вам, вероятно, понадобится шпаргалка, чтобы убедиться, что вы правильно измеряете! Размышление об этих необычных системах счета может быть забавной головоломкой для учащихся. Это также может помочь им увидеть числа и методы, которые они используют каждый день, в новом свете.
просмотров сообщений: 3001
Почему это важно?
Понимание и изучение других систем счета может быть полезным для детей в будущем, когда они пытаются измерить объект, который не дает в сумме 10 единиц.