Выбор признака сходимости числовых рядов.
Высшая математика » Числовые ряды » Выбор признака сходимости числовых рядов.
В данной теме рассмотрим некие критерии, с помощью которых можно сделать выбор между необходимым признаком сходимости ряда, признаками Д’Аламбера и Коши, а также признаками сравнения. Напомню, что признаки сравнения, а также интегральный и радикальный признаки Коши применяются лишь для положительных числовых рядов (т.е. рядов, общий член которых не меньше нуля, $u_n≥ 0$). Признак Д’Аламбера применяется для строго положительных рядов ($u_n > 0$).
Выбор признака, с помощью которого можно проверить сходимость числового ряда, – в общем случае задача непростая. Однако для тех рядов, которые используются в стандартных типовых расчётах и контрольных работах, можно дать некие общие рекомендации. Эти рекомендации я запишу в таблицу.
Пару слов насчёт самой таблицы. Второй столбец описывает сферу применения того или иного признака сходимости в большинстве стандартных контрольных работ.
Вернуться к списку тем
Задать вопрос на форуме
Записаться на занятия
Онлайн-занятия по высшей математике
Сходимость рядов. Признак Даламбера
Сходимость рядов. Признак Даламбера
Сходимость рядов. Признак Даламбера
Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.
Числовой ряд часто записывают в виде .
Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится,
то его -й
член стремится к нулю при неограниченном возрастании .
Следствие. Если -й
член ряда не стремится к нулю при ,
то ряд расходится.
Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами
отношение -го
члена ряда к -му
при
имеет конечный предел ,
т.
— ряд сходится в случае ,
— ряд расходится в случае .
В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование.
Примеры решения задач
Пример 1. Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Применим признак сходимости
Даламбера. Сначала запишем формулы для -го
и -го
членов ряда:
Затем найдем предел отношения -го
члена ряда к -му
при :
И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела
с 1. Поскольку ,
то данный ряд расходится.
Ответ: ряд
расходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Применим признак сходимости
Даламбера.
Запишем формулы для -го
и -го
членов ряда:
Найдем предел отношения -го
члена ряда к -му
при :
Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку ,
то данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Используем признак сходимости Даламбера, а также определение функции факториал. Поскольку для каждого целого положительного числа функция (читается «n факториал»), по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до , т.е. , то .
Теперь запишем формулы для -го
и -го
членов ряда:
С учетом вышесказанного найдем предел отношения -го
члена ряда к -му
при :
Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 ,
устанавливаем, что данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Используем признак сходимости Даламбера. Запишем формулы для -го и -го членов ряда:
С учетом того, что ,
найдем предел отношения -го
члена ряда к -му
при :
Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 ,
устанавливаем, что данный ряд расходится.
Ответ: ряд
расходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.
Решение.
Запишем формулы для -го и -го членов ряда:
.
Далее найдем предел отношения -го
члена ряда к -му
при :
Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 ,
устанавливаем, что данный ряд расходится.
Ответ: ряд
расходится.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда ,
пользуясь признаком сходимости Даламбера.
Решение.
Запишем формулы для -го и -го членов ряда:
Далее найдем предел отношения -го
члена ряда к -му
при :
И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела
с 1. Поскольку ,
то данный ряд сходится.
Ответ: ряд
сходится.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.
Решение.
Сначала запишем формулы для -го и -го членов ряда:
Затем найдем предел отношения -го
члена ряда к -му
при :
Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку ,
то данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 8.
Исследовать сходимость ряда ,
пользуясь признаком сходимости Даламбера.
Решение.
Предварительно вспомним, что для каждого целого положительного числа функция , по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до , т.е. .
Тогда для
и
получим: ,
.
Теперь запишем формулы для -го
и -го
членов ряда:
Далее найдем предел отношения -го
члена ряда к -му
при :
Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 ,
устанавливаем, что данный ряд сходится.
Ответ: ряд
сходится.
Задания для самостоятельной работы
Исследовать сходимость
ряда, пользуясь признаком сходимости Даламбера:
1. . Ответ: ,
ряд расходится.
2. . Ответ: ,
ряд сходится.
3. . Ответ: , ряд расходится.
4. . Ответ:
, ряд сходится.5. . Ответ: , ряд расходится.
6. . Ответ: , ряд расходится.
7. . Ответ: , ряд сходится.
8. . Ответ: , ряд сходится.
9. . Ответ: , ряд сходится.
10. . Ответ: , ряд сходится.
11. . Ответ: , ряд сходится.
12. . Ответ: , ряд сходится.
13. . Ответ: , ряд расходится.
14. . Ответ: , ряд сходится.
15. . Ответ: ,
ряд расходится.