Разное

Сферическая функция бесселя: Пионы и ядра

Пионы и ядра

Пионы и ядра
  

Эриксон Т., Вайзе В. Пионы и ядра: Пер. с англ./ Под ред. И.С. Шапиро. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 512с.

В рамках единого подхода проведено систематическое описание основных физических представлений о пионах как источнике ядерных сил и как важной составляющей ядерной многочастичной проблемы. Особое ударение сделано на взаимоотношении физических концепций и экспериментальных фактов. В доступной форме изложен аппарат, необходимый для исследовательской работы.

Для научных работников — физиков-экспериментаторов и теоретиков, а также для аспирантов и студентов старших курсов соответствующих специальностей.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Составляющие атомного ядра
1.2. Размер и структура пиона
1.3. Размер протона
ГЛАВА 2. ПИОН-НУКЛОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
2.2. Свободное пионное поле
2.3. Связь пиона и нуклона
2.4. Пион-нуклонное рассеяние
2.5. Феноменологическая модель р-волнового «пиN»-рассеяния
2.5.2. (1232)-изобарная модель
2.6. Низкоэнергетическое s-волновое пиN-рассеяние
2.6.2. Разложение s-волны у порога
2.6.3. Модель обмена p-мезоном
2.7. Резюме
ГЛАВА 3. ПИОНЫ И НУКЛОН-НУКЛОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
3.2. Статическое взаимодействие однопионного обмена (ОПО)
3.3. Свойства потенциала ОПО
3.4. Волновая функция дейтрона и наблюдаемые
3.5. Связанные уравнения для дейтрона и ОПО
3.6. Свойства дейтрона и ОПО
3.7. Детальное описание тензорных наблюдаемых дейтрона с помощью ОПО
3.8. Пионные борновские члены
3.9. Взаимодействия однобозонного обмена
3.10. Взаимодействие посредством двухпионного обмена
3.11. Мезонный обмен и дисперсионные соотношения для рассеяния вперед
3. 12. NN-потенциал, не сохраняющий четность
3.13. Резюме
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПИОНА С ДВУМЯ НУКЛОНАМИ
4.2. Полное пион-дейтронное сечение и амплитуда рассеяния вперед
4.3. Нарушение зарядовой симметрии в пиd-рассеянии
4.4. Длина пион-дейтронного рассеяния
4.5. Поглощение и рождение пиона
4.6. Элементарные модели процесса …
4.7. Реакции …
4.8. Трехтельный подход к системе пи NN
ГЛАВА 5. ФИЗИКА ПИОНА В ЯДЕРНОЙ СРЕДЕ
5.2. Классическое дипольное рассеяние в среде
5.3. Классическое s-волновое рассеяние в среде
5.4. Структура пион-ядерного потенциала
5.5. Пионная оптика: коэффициент преломления и средняя длина свободного пробега
5.6. Спектральные ветви пионной ядерной физики
5.7. Взаимодействие пионов с ядерным ферми-газом
5.8. Спин-изоспиновый звук в нейтронной материи: схематическая модель
5.9. Ядерные спин-изоспиновые корреляции
5.10. Диамезонная функция и пионный отклик
5.11. Статическая диамезонная функция и предкритические эффекты
5. 12. Пионная конденсация
5.13. Пионоподобные возбуждения в ядерной материи: резюме
ГЛАВА 6. ПИОННЫЕ АТОМЫ
6.2. Пион в кулоновском потенциале
6.3. Явления сильного взаимодействия
6.4. Пион-ядерный оптический потенциал у порога
6.5. Параметры потенциала у порога
6.6. Оптический потенциал и пион-ядерные связанные состояния
6.7. Итоги
ГЛАВА 7. ПИОН-ЯДЕРНОЕ РАССЕЯНИЕ И РЕАКЦИИ
7.2. Упругое рассеяние при низких энергиях
7.3. Феноменология упругого рассеяния в области резонанса А(1232)
7.3.2. Угловые распределения при упругом рассеянии
7.3.3. Парциальные амплитуды пион-ядерного рассеяния
7.3.4. Дисперсионные соотношения для пион-ядерного рассеяния вперед
7.4. «дельта»-дырочный метод
7.4.2. «дельта»-дырочная модель
7.4.3. Когерентное многократное рассеяние в «дельта»-дырочной модели
7.4.4. «дельта»-дырочные входные состояния
7.4.5. Резюме: А(1232) как квазичастица
7.5. Неупругое рассеяние
7.5.2. Квазисвободное рассеяние
7. 6. Реакции перезарядки
7.6.2. Реакции однократной перезарядки
7.6.3. Реакции двойной перезарядки
7.7. Поглощение пионов ядрами
7.8. Резюме
ГЛАВА 8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ПИОН-ЯДЕРНЫХ СИСТЕМ
8.2. Фоторождение пионов на нуклонах
8.2.2. Электрическая и магнитная дипольная амплитуды
8.2.3. Низкоэнергетический предел фоторождения пионов
8.2.4. Токи и эффективный гамильтониан системы
8.2.5. Борновские члены для фоторождения пионов
8.2.6. Возбуждение изобары А(1232)
8.3. Ядерные обменные токи
8.3.2. Ток однопионного обмена
8.3.3. Обменный ток, связанный с изобарой А(1232)
8.4. Теорема Зигерта
8.5. Магнитные явления, связанные с обменными токами
8.5.2. Эффекты мезонного обменного тока в процессе …
8.5.3. Обменные токи в электрорасщеплении дейтрона
8.5.4. Обменные токи и магнитные формфакторы
8.5.5. Перенормировка орбитального g-фактора
8.6. Обменные силы и фотоядерное правило сумм
8.6.2. Дейтронное дипольное правило сумм
8. 6.3. Усиление дипольного правила сумм в сложных ядрах
8.6.4. Соотношение между дипольным правилом сумм
8.7. Ядерные фотопионные реакции вблизи порога
8.7.2. Рождение нейтральных пионов
8.8. Фотоядерные взаимодействия в области резонанса А(1232)
8.8.2. Фотон-ядерное рассеяние в «дельта»-дырочной модели
8.8.3. Реакция … в области резонанса А(1232)
8.9. Заключение
ГЛАВА 9. КИРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ И МЯГКИЕ ПИОНЫ
9.2. Аксиальный ток и распад пиона
9.3. Киральная симметрия и квантовая хромодинамика
9.4. Мягкопионные аспекты нуклона
9.5. Киральные пороговые соотношения в ядрах
9.5.2. Ядерное фоторождение пионов на пороге
9.5.3. Поглощение и рождение s-волновых пионов
9.6. Аксиальные токи в ядрах
9.6.2. ЧСАТ и ядерный аксиальный ток
9.6.3. Аксиальный ток пионного обмена
9.6.4. Физическая интерпретация аксиального тока
9.7. Примеры эффектов аксиального обменного тока
9.8. Реакции с нейтрино высоких энергий
9.9. Заключение
ГЛАВА 10. СПИН-ИЗОСПИНОВЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ И ПИОНОПОДОБНЫЕ СОСТОЯНИЯ В ЯДРАХ
10.2. Основные спин-изоспиновые операторы и переходы
10.3. Спин-изоспиновая структура нуклон-нуклонного взаимодействия
10.4. Гамов-теллеровские состояния
10.4.2. Систематика распределений по интенсивностям гамов-теллеровских переходов
10.4.3. Схематическая модель гамов-теллеровского резонанса
10.5. «дельта»-изобарные возбуждения
10.6. Ядерная спин-изоспиновая функция отклика
10.6.2. Схематическая картина ядерного спин-изоспинового отклика
10.6.3. Приближение случайных фаз
10.7. Пример: пионоподобные 2-состояния в …
10.8. Перенормировка спин-изоспиновых операторов
10.9. Заключение
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ: ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ О МЕТРИКЕ
2. МАТРИЦЫ ПАУЛИ И ДИРАКА
3. ИЗОСПИН, ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ И С-ЧЕТНОСТЬ
4. СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ И ЛАГРАНЖИАНЫ
5. ПРОПАГАТОРЫ
6. ТЕНЗОРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
7. ФОРМФАКТОРЫ НУКЛОНА И ПИОНА
8. ПИОН-НУКЛОННАЯ S-МАТРИЦА И АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
9. АМПЛИТУДЫ ФОТОРОЖДЕНИЯ ПИОНА
10. НУКЛОН-НУКЛОННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ОДНОБОЗОННОГО ОБМЕНА
11. СООТНОШЕНИЯ КРОССИНГА
12. АЗБУКА ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ВПЕРЕД
13. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ N-ГАМИЛЬТОНИАН С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
14. СИГМА-МОДЕЛЬ
15. ФУНКЦИИ ЛИНХАРДА И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ВЕЛИЧИНЫ ФЕРМИ-ГАЗА
(б) Функция Линхарда
16. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ, НЕЙМАНА И ГАНКЕЛЯ
17. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА

Функция Бесселя | это… Что такое Функция Бесселя?

Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

где α — произвольное действительное число, называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя α, и − α порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по α).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Содержание

  • 1 Применения
  • 2 Определения
    • 2.1 Функции Бесселя первого рода
      • 2.1.1 Интегралы Бесселя
    • 2.2 Функции Бесселя второго рода
  • 3 Свойства
    • 3.1 Асимптотика
    • 3.2 Гипергеометрический ряд
    • 3.3 Производящая функция
  • 4 См. также
  • 5 Литература

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

  • электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
  • теплопроводность в цилиндрических объектах;
  • формы колебания тонкой круглой мембраны
  • скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Определения

Поскольку приведённое уравнение является уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми Jα(x), являются решения, конечные в точке x = 0 при целых или неотрицательных α. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых α):

Здесь Γ(z) — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики Jα(x) для α = 0,1,2:

Если α не является целым числом, функции Jα(x) и J − α(x) линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если α целое, то верно следующее соотношение:

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы Бесселя

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений α, используя интегральное представление:

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

Функции Бесселя второго рода

Функции Бесселя второго рода — решения Yα(x) уравнения Бесселя, бесконечные в точке x = 0.

Yα(x) также иногда называют функцией Неймана (Ньюмана) и обозначают как Nα(x). Эта функция связана с Jα(x) следующим соотношением:

где в случае целого α берётся предел по α, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.


Ниже приведён график Yα(x) для α = 0,1,2:

Свойства

Асимптотика

Для функций Бесселя известны асимптотические формулы. При маленьких аргументах и неотрицательных α они выглядят так:

,

где γ — постоянная Эйлера — Маскерони (0.5772…), а Γ — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов () формулы выглядят так:

Гипергеометрический ряд

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

Таким образом, при целых n функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

См.

также
  • Цилиндрические функции
  • Сферические функции

Литература

  • Ватсон Г., «Теория бесселевых функций» т. 1,2 М., ИЛ, 1949 г.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. «Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены». Справочная математическая библиотека М. Физматгиз 1966 г. 296 с.

DLMF: Глава 10 Функции Бесселя

Ф. У. Дж. Олвер Институт физических наук и технологий и факультет математики, Университет Мэриленда, Колледж-Парк, Мэриленд. Л. К. Максимон Центр ядерных исследований, Физический факультет Университета Джорджа Вашингтона, Вашингтон, округ Колумбия

  • Обозначение
    1. 10.1 Специальное обозначение
  • Функции Бесселя и Ганкеля
    1. 10.2 Определения
    2. 10.3 Графика
    3. 10.4 Формулы подключения
    4. 10.5 Вронскианы и перекрестные произведения
    5. 10.6 Рекуррентные соотношения и производные
    6. 10. 7 Ограничение форм
    7. 10.8 Серия Power
    8. 10.9 Интегральные представления
    9. 10.10 Непрерывные фракции
    10. 10.11 Аналитическое продолжение
    11. 10.12 Генерирующая функция и связанная серия
    12. 10.13 Другие дифференциальные уравнения
    13. 10.14 Неравенства; Монотонность
    14. 10.15 Производные инструменты по заказу
    15. 10.16 Связь с другими функциями
    16. 10.17 Асимптотические расширения для большого аргумента
    17. 10.18 Функции модуля и фазы
    18. 10.19 Асимптотические разложения для большого порядка
    19. 10.20 Равномерные асимптотические разложения для большого порядка
    20. 10.21 Нули
    21. 10.22 Интеграл
    22. 10,23 Сум
    23. 10.24 Функции мнимого порядка
  • Модифицированные функции Бесселя
    1. 10.25 Определения
    2. 10.26 Графика
    3. 10.27 Формулы соединения
    4. 10.28 Вронскианы и перекрестные произведения
    5. 10. 29 Рекуррентные соотношения и производные
    6. 10.30 Ограничение форм
    7. 10.31 Серия Power
    8. 10.32 Интегральные представления
    9. 10.33 Непрерывные фракции
    10. 10.34 Аналитическое продолжение
    11. 10.35 Генерирующая функция и связанная серия
    12. 10.36 Другие дифференциальные уравнения
    13. 10.37 Неравенства; Монотонность
    14. 10.38 Производные по заказу
    15. 10.39 Связь с другими функциями
    16. 10.40 Асимптотические расширения для большого аргумента
    17. 10.41 Асимптотические разложения для большого порядка
    18. 10,42 Нули
    19. 10.43 Интеграл
    20. 10,44 Сум
    21. 10.45 Функции мнимого порядка
    22. 10.46 Обобщенные и неполные функции Бесселя; Функция Миттаг-Леффлера
  • Сферические функции Бесселя
    1. 10.47 Определения и основные свойства
    2. 10.48 Графики
    3. 10.49 Явные формулы
    4. 10.50 Вронскианы и перекрестные произведения
    5. 10. 51 Рекуррентные соотношения и производные
    6. 10.52 Ограничение форм
    7. 10,53 Серия Power
    8. 10.54 Интегральные представления
    9. 10,55 Непрерывные фракции
    10. 10.56 Создание функций
    11. 10.57 Равномерные асимптотические разложения для большого порядка
    12. 10,58 Нулей
    13. 10,59 Интеграл
    14. 10.60 Сум
  • Функции Кельвина
    1. 10.61 Определения и основные свойства
    2. 10,62 Графики
    3. 10.63 Рекуррентные соотношения и производные
    4. 10.64 Интегральные представления
    5. 10,65 Серия Power
    6. 10.66 Разложения в ряды функций Бесселя
    7. 10.67 Асимптотические разложения для большого аргумента
    8. 10.68 Функции модуля и фазы
    9. 10.69 Равномерные асимптотические разложения для большого порядка
    10. 10,70 Нули
    11. 10,71 Интеграл
  • Приложения
    1. 10.72 Математические приложения
    2. 10. 73 Физические приложения
  • Вычисление
    1. 10.74 Методы расчета
    2. 10,75 Таблицы
    3. 10,76 Приблизительно
    4. 10.77 Программное обеспечение

§10.47 Определения и основные свойства ‣ Сферические функции Бесселя ‣ Глава 10 Функции Бесселя

Содержимое
  1. §10.47(i) Дифференциальные уравнения
  2. §10.47(ii) Стандартные решения
  3. §10.47(iii) Численно удовлетворительные пары решений
  4. §10.47(iv) Взаимосвязи
  5. §10.47(v) Формулы отражения

§10.47(i) Дифференциальные уравнения

10.47.1 z2⁢d2wdz2+2⁢z⁢dwdz+(z2−n⁢(n+1))⁢w=0,
10.47.2 z2⁢d2wdz2+2⁢z⁢dwdz−(z2+n⁢(n+1))⁢w=0.

Здесь и далее §§10. 47–10.60, n — целое неотрицательное число . (Это отличается от других трактовок сферических функций Бесселя, включая Abramowitz and Stegun (1964, глава 10) , в котором n может быть любым целое число. Тем не менее, есть выигрыш в симметрии без какой-либо потери общности. в приложениях при ограничении n≥0.)

Каждое из уравнений (10.47.1) и (10.47.2) имеет правильную особенность при z=0 с индексами n, −n−1 и неправильная особенность при z=∞ ранга 1; сравните §§2.7(i)–2.7(ii).

§10.47(ii) Стандартные решения

Уравнение (10.47.1)

10.47.3 𝗃n⁡(z)=12⁢π/z⁢Jn+12⁡(z)=(−1)n⁢12⁢π/z⁢Y−n−12⁡(z),
10.47.4 𝗒n⁡(z)=12⁢π/z⁢Yn+12⁡(z)=(−1)n+1⁢12⁢π/z⁢J−n−12⁡(z),
10. 47.5 𝗁n(1)⁡(z)=12⁢π/z⁢Hn+12(1)⁡(z)=(−1)n+1⁢i⁢12⁢π/z⁢H−n−12(1 )⁡(г),
10.47.6 𝗁n(2)⁡(z)=12⁢π/z⁢Hn+12(2)⁡(z)=(−1)n⁢i⁢12⁢π/z⁢H−n−12(2)⁡ (з).

𝗃n⁡(z) и 𝗒n⁡(z) — сферических Бесселя функции первого и второго рода соответственно; 𝗁n(1)⁡(z) и 𝗁n(2)⁡(z) — сферических функции Бесселя третий вид .

Уравнение (10.47.2)

10.47.7 𝗂n(1)⁡(z) =12⁢π/z⁢In+12⁡(z)
10.47.8 𝗂n(2)⁡(z) =12⁢π/z⁢I−n−12⁡(z)
10.47.9 𝗄n⁡(z)=12⁢π/z⁢Kn+12⁡(z)=12⁢π/z⁢K−n−12⁡(z).

𝗂n(1)⁡(z), 𝗂n(2)⁡(z) и 𝗄n⁡(z) являются модифицированными сферическими функциями Бесселя .

Многие свойства 𝗃n⁡(z), 𝗒n⁡(z), 𝗁n(1)⁡(z), 𝗁n(2)⁡(z), 𝗂n(1)⁡(z), 𝗂n(2)⁡(z) и 𝗄n⁡(z) следуют непосредственно из приведенных выше определений и результатов, приведенных в предыдущих разделах настоящего глава. Например, z−n⁢𝗃n⁡(z), zn+1⁢𝗒n⁡(z), zn+1⁢𝗁n(1)⁡(z), zn+1⁢𝗁n(2)⁡(z), z−n⁢𝗂n(1)⁡(z), zn+1⁢𝗂n(2)⁡(z) и zn+1⁢𝗄n⁡(z) — все целые функции от z.

§10.47(iii) Численно удовлетворительные пары решений

Для (10.47.1) численно удовлетворительные пары решений по таблице 10.2.1 с символами J, Y, H и ν заменены на 𝗃, 𝗒, 𝗁, и n соответственно.

Для (10.47.2) численно удовлетворительные пары решений 𝗂n(1)⁡(z) и 𝗄n⁡(z) в правой половине z-плоскости, а 𝗂n(1)⁡(z) и 𝗄n⁡(−z) в левом половина плоскости z.

§10.47(iv) Взаимосвязи

10.47.10 𝗁n(1)⁡(z) =𝗃n⁡(z)+i⁢𝗒n⁡(z),
𝗁n(2)⁡(z) =𝗃n⁡(z)−i⁢𝗒n⁡(z).
10.47.11 𝗄n⁡(z)=(−1)n+1⁢12⁢π⁢(𝗂n(1)⁡(z)−𝗂n(2)⁡(z)).
10.47.12 𝗂n(1)⁡(z) =i−n⁢𝗃n⁡(i⁢z),
𝗂n(2)⁡(z) =i−n−1⁢𝗒n⁡(i⁢z).
10.47.13 𝗄n⁡(z)=−12⁢π⁢in⁢𝗁n(1)⁡(i⁢z)=−12⁢π⁢i−n⁢𝗁n(2)⁡(−i⁢z).

§10.47(v) Формулы отражения

10.47.14 𝗃n⁡(−z) =(−1)n⁢𝗃n⁡(z), 𝗒n⁡(−z) =(−1)n+1⁢𝗒n⁡(z),
10.47.15 𝗁n(1)⁡(−z) =(−1)n⁢𝗁n(2)⁡(z), 𝗁n(2)⁡(−z) =(−1)n⁢𝗁n(1)⁡(z).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *