Ряды числовые и функциональные ряды: Кафедра математики Физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

Содержание

Функциональные ряды Функциональный ряд и его область сходимости

Пусть , ,…, ,… – последовательность функций, определенных на некотором множестве .

Определение Ряд вида

членами которого являются функции, называется функциональным.

Придавая различные числовые значения из множества , будем получать различные числовые ряды. В частности, при функциональный ряд становится числовым рядом . Этот числовой ряд может быть сходящимся или расходящимся. Если он сходится, то называется точкой сходимости функционального ряда.

Множество всех точек сходимости функционального ряда называют его областью сходимости и обозначают ее через . Очевидно, . В частных случаях множество может совпадать или не совпадать с множеством или же может быть и пустым множеством. В последнем случае функциональный ряд расходится в каждой точке множества .

Вид области для произвольного функционального ряда может быть различным: вся числовая ось, интервал, объединение интервалов и полуинтервалов и т.д. В простейших случаях при исследовании функциональных рядов на сходимость можно применить рассмотренные выше признаки сходимости числовых рядов, если под x понимать фиксированное число.

Определения. Сумма первых членов функционального ряда называется ой частичной суммой, а функция , определенная в области ,– суммой функционального ряда. Функция , определенная в области , называется остатком ряда. Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся на множестве , если в каждой точке сходится ряд .

Степенные ряды

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Определение Степенным рядом называется функциональный ряд

члены которого являются произведениями постоянных , , . .., ,… на степенные функции от разности с целыми неотрицательными показателями степеней, точка x₀называется центром степенного ряда.

Пример 19. Ряд – степенной ряд с центром в точке .

Ряд – степенной ряд с центром в точке .

Ряд – функциональный ряд.

Исследование степенного ряда на сходимость, а именно нахождение области сходимости степенного ряда, является одним из главных вопросов. Решение этого вопроса связано с теоремой Абеля.

Теорема (Абеля)

Если степенной ряд сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, для всех , удовлетворяющих неравенству

Если степенной ряд расходится при , то он расходится для всех , удовлетворяющих неравенству

Геометрическая интерпретация теоремы Абеля

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и во всех точках, расположенных ближе к центру степенного ряда , чем . Если же ряд расходится при , то он расходится и во всех более удаленных от центра ряда точках.

Опираясь на теорему Абеля можно доказать, что существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , ряд сходится абсолютно и расходится при всех , для которых .

Число называется радиусом сходимости ряда , а интервал –

интервалом сходимости.

В частном случае интервал сходимости степенного ряда может совпадать со всей числовой осью (в этом случае ) или может превращаться в точку (в этом случае ). Заметим, что интервал сходимости всегда симметричен относительно центра степенного ряда.

Если для степенного ряда существует , то радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле

Рассмотрим способы определения области сходимости степенного ряда на примерах.

Пример 20. Найти интервал сходимости степенного ряда .

Первый способ решения

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: . Применим признак Даламбера:

Если , то ряд сходится. Итак, , – интервал сходимости данного ряда. Поведение данного ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках и , исследуется отдельно.

При из данного ряда получаем ряд , который условно сходится.

При получаем гармонический ряд , который расходится.

Таким образом, данный ряд сходится в области, для которой .

Второй способ решения

В нашем случае и , поэтому .

Так как – центр степенного ряда, то – интервал сходимости данного ряда.

Сходимость ряда на концах интервала сходимости исследована выше.

Итак, данный ряд сходится абсолютно при и условно при .

Ряды (Математический анализ)

Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Ряды. Математический анализ. Учебное пособие для студентов-заочников III курса физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1982. — 160 с.

ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОГО РЯДА
2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды.
§ 2. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
1. Необходимый признак сходимости ряда. Остаток ряда.
§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ
§ 4.

а, где |x| 7. Разложение других элементарных функций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ГЛАВА II. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 6. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
2. Признаки сходимости Даламбера и Коши.
3. Интегральный признак сходимости Коши.
4. Примеры исследования рядов на сходимость.
§ 7. СВОЙСТВА РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членами.
2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами.
§ 8. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
2. Абсолютно сходящиеся ряды.
3. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
4. Свойства условно сходящихся рядов.
§ 9. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
ГЛАВА III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§ 10. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
§ 11. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
2. Чебышевское расстояние между функциями.
3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности.
4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса.
5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости.

§ 12. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
1. Почленное интегрирование функциональных рядов.
2. Почленное дифференцирование функциональных рядов.
§ 13. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
1. Функции комплексного переменного.
2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области.
ГЛАВА IV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 14. КРУГ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА
2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости.
3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда.
§ 15. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области.
2. Почленное дифференцирование рядов в комплексной области.
3. Единственность разложения функции в степенной ряд.
§ 16. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
1.

Показательная функция в комплексной области.
2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера.
§ 17. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ
1. Вычисление значений функций и интегралов.
2. Вычисление пределов.
3. Метод последовательных приближений.
ГЛАВА V. РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 18. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
2. Скалярное произведение функций.
3. Ортонормированные системы функций.
§ 19. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. РЯД ФУРЬЕ
2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций.
§ 20. ЛЕММА РИМАНА
1. Кусочно гладкие функции.
2. Лемма Римана.
§ 21. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
1. Формула для частичных сумм ряда Фурье.

2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье.
3. Разложение функций, заданных на конечных промежутках, в ряд Фурье.
4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье.
5. Примеры разложения функций в ряды Фурье.
Ответы к упражнениям

Исчисление II — серии и последовательности

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

В этой главе мы рассмотрим последовательности и (бесконечные) серии. На самом деле в этой главе речь пойдет почти исключительно о сериях. Однако нам также необходимо понимать некоторые основы последовательностей, чтобы правильно работать с сериями. Поэтому мы потратим немного времени и на последовательности. 9Серия 0003

— одна из тех тем, которые многие студенты не считают полезными. Честно говоря, многие студенты никогда не увидят сериалы за пределами своего класса математического анализа. Однако ряды действительно играют важную роль в области обыкновенных дифференциальных уравнений, и без рядов большие части области уравнений в частных производных были бы невозможны.

Другими словами, сериалы — важная тема, даже если вы никогда не увидите ни одного приложения. Большинство приложений выходят за рамки большинства курсов исчисления и, как правило, встречаются на занятиях, которые многие студенты не посещают. Так что, изучая этот материал, имейте в виду, что у них есть приложения, даже если мы не будем рассматривать многие из них в этом классе.

Вот список тем этой главы.

Последовательности. В этом разделе мы определим, что мы подразумеваем под последовательностью в математическом классе, и дадим основные обозначения, которые мы будем использовать с ними. В этом разделе мы сосредоточимся на основной терминологии, пределах последовательностей и сходимости последовательностей. Мы также приведем многие из основных фактов и свойств, которые нам понадобятся при работе с последовательностями.

Подробнее о последовательностях. В этом разделе мы продолжим изучение последовательностей. Мы определим, является ли последовательность возрастающей или убывающей последовательностью и, следовательно, является ли она монотонной последовательностью. Мы также определим, что последовательность ограничена снизу, ограничена сверху и/или ограничена.

Серия – Основы – В этом разделе мы формально определим бесконечную серию. Мы также приведем многие из основных фактов, свойств и способов, которые мы можем использовать для манипулирования рядом. Мы также кратко обсудим, как определить, будет ли бесконечный ряд сходиться или расходиться (более подробное обсуждение этой темы произойдет в следующем разделе).

Сходимость/расхождение рядов. В этом разделе мы более подробно обсудим сходимость и расхождение бесконечных рядов. Мы проиллюстрируем, как частичные суммы используются для определения того, сходится или расходится бесконечный ряд. В этом разделе мы также дадим тест на дивергенцию для рядов.

Специальная серия. В этом разделе мы рассмотрим три серии, которые либо появляются регулярно, либо имеют некоторые интересные свойства, которые мы хотим обсудить. Мы рассмотрим геометрические ряды, телескопические ряды и гармонические ряды.

Интегральный тест. В этом разделе мы обсудим использование интегрального теста, чтобы определить, сходится или расходится бесконечный ряд. Интегральный тест можно использовать для бесконечного ряда при условии, что члены ряда положительны и убывают. Также дается доказательство интегрального теста.

Сравнительный тест/Предельный сравнительный тест. В этом разделе мы обсудим использование Сравнительного теста и Предельного сравнительного теста, чтобы определить, сходится или расходится бесконечный ряд. Чтобы использовать любой тест, члены бесконечного ряда должны быть положительными. Доказательства для обоих тестов также приведены.

Тест чередующихся рядов. В этом разделе мы обсудим использование теста чередующихся рядов, чтобы определить, сходится или расходится бесконечный ряд. Тест чередующихся рядов можно использовать только в том случае, если члены ряда чередуются по знаку. Также дается доказательство теста чередующихся серий.

Абсолютная сходимость. В этом разделе мы кратко обсудим абсолютную сходимость и условно сходимость, а также то, как они связаны со сходимостью бесконечных рядов.

Тест на отношения. В этом разделе мы обсудим использование теста на отношения, чтобы определить, сходится ли бесконечный ряд абсолютно или расходится. Тест отношений можно использовать для любого ряда, но, к сожалению, он не всегда дает окончательный ответ на вопрос, будет ли ряд полностью сходиться или расходиться. Также дается доказательство теста отношения.

Корневой тест. В этом разделе мы обсудим использование корневого теста для определения того, сходится ли бесконечный ряд абсолютно или расходится. Корневой тест можно использовать для любого ряда, но, к сожалению, он не всегда дает окончательный ответ на вопрос, будет ли ряд полностью сходиться или расходиться. Также дается доказательство корневого теста.

Стратегия для рядов. В этом разделе мы даем общий набор рекомендаций для определения того, какой тест использовать для определения того, будет ли бесконечный ряд сходиться или расходиться. Также обратите внимание, что на самом деле не существует единого набора рекомендаций, который будет работать всегда, поэтому вам всегда нужно быть гибким в следовании этому набору рекомендаций. Краткое изложение всех различных тестов, а также условия, которые необходимо выполнить для их использования, которые мы обсуждали в этой главе, также приведены в этом разделе.

Оценка значения ряда. В этом разделе мы обсудим, как интегральный тест, сравнительный тест, тест чередующихся рядов и тест отношений можно иногда использовать для оценки значения бесконечного ряда.

Степенной ряд – В этом разделе мы дадим определение степенного ряда, а также определение радиуса сходимости и интервала сходимости для степенного ряда. Мы также покажем, как тест отношения и тест корня можно использовать для определения радиуса и интервала сходимости степенного ряда.

Степенные ряды и функции. В этом разделе мы обсудим, как можно использовать формулу сходящегося геометрического ряда для представления некоторых функций в виде степенных рядов. {n}\), когда \(n\ ) является целым числом. Кроме того, когда \(n\) не является целым числом, можно использовать расширение биномиальной теоремы, чтобы дать представление терма в виде степенного ряда.

Исчисление II — Серия — Основы

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. \infty \) (обратите внимание, что \(n = 1\) для удобства, это может быть ничего) и определить следующее, 9\infty\). Также помните, что \(\Sigma\) используется для представления этой суммы и называется множеством имен. Наиболее распространенными именами являются: нотация серии , нотация суммирования и сигма нотация .

Вы должны были хотя бы мельком увидеть это обозначение, когда видели определение определенного интеграла в Исчислении I. Если вам нужно быстро освежить в памяти обозначения суммирования, см. обзор обозначений суммирования в Примечаниях к Исчислению I.

9\infty {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots + {a_n} + \cdots \]

Однако с этим нужно быть осторожным. Это означает, что бесконечный ряд — это просто бесконечная сумма членов, и, как мы увидим в следующем разделе, это не совсем верно для многих рядов.

В следующем разделе мы собираемся более подробно обсудить значение бесконечного ряда, если оно, конечно, есть, а также идеи сходимости и расхождения.

Этот раздел будет посвящен в основном проблемам с обозначениями, а также проверке того, что мы можем выполнять некоторые основные манипуляции с бесконечными рядами, чтобы мы были готовы к ним, когда нам понадобится иметь возможность иметь дело с ними в последующих разделах.

Во-первых, следует отметить, что в большей части этой главы мы будем называть бесконечные ряды просто рядами. Если нам когда-нибудь понадобится работать как с бесконечными, так и с конечными рядами, мы будем более осторожны с терминологией, но в большинстве разделов мы будем иметь дело исключительно с бесконечными рядами, поэтому будем называть их просто рядами. 92} + 1}}} \,\,\,\,\,\,и т.д.\]

Важно еще раз отметить, что индекс будет начинаться с любого значения, с которого начинается последовательность членов ряда, и это может быть буквально что угодно. До сих пор мы использовали \(n = 0\) и \(n = 1\), но индекс мог начинаться где угодно. На самом деле мы обычно будем использовать \(\sum {{a_n}} \) для представления бесконечного ряда, в котором начальная точка для индекса не важна. Когда мы удаляем начальное значение индекса, мы также удаляем бесконечность сверху, поэтому не забывайте, что технически она все еще существует.

Мы будем отбрасывать начальное значение индекса во многих фактах и теоремах, с которыми мы встретимся в этой главе. В этих фактах/теоремах начальная точка ряда не повлияет на результат, поэтому для упрощения обозначений и во избежание создания впечатления, что начальная точка важна, мы опускаем индекс из обозначений. Не забывайте, однако, что есть отправная точка и что это будет бесконечный ряд.

Обратите внимание, однако, что если мы поместим начальное значение индекса в ряд в факте/теореме, оно будет там, потому что оно действительно должно быть там.

Теперь, когда некоторые проблемы с обозначениями устранены, нам нужно начать думать о различных способах манипулирования рядами.

Мы начнем с базовой арифметики с бесконечными рядами, так как нам нужно уметь делать это время от времени. У нас есть следующие свойства.

Свойства

Если \(\sum {{a_n}} \) и \(\sum {{b_n}} \) являются сходящимися рядами, то

\(\displaystyle \sum {c{a_n}} \), где \(с\) — любое число, также сходится и \[\сумма {c{a_n}} = c\сумма {{a_n}} \] 9\infty {\left({{a_n} \pm {b_n}} \right)} \]

Первое свойство просто говорит нам, что мы всегда можем вынести мультипликативную константу из бесконечного ряда и снова вспомнить, что если мы не введем начальное значение индекса, ряд может начаться с любого значения. Также напомним, что в этих случаях мы тоже не будем ставить бесконечность вверху.

Второе свойство говорит, что если мы добавляем/вычитаем ряды, все, что нам действительно нужно сделать, это добавить/вычесть члены ряда. Также обратите внимание, что для добавления/вычитания ряда нам нужно убедиться, что оба имеют одинаковое начальное значение индекса, и новый ряд также будет начинаться с этого значения. 93}\]

Да, это было просто умножение двух многочленов. Каждое из них является конечной суммой, и поэтому оно имеет значение. При выполнении умножения мы не просто умножали постоянные члены, затем члены \(x\), и т. д. . Вместо этого нам пришлось распределить 2 через второй многочлен, затем распределить \(x\) через второй многочлен и, наконец, объединить одинаковые члены.

Умножение бесконечных рядов (хотя мы сказали, что не можем думать о бесконечных рядах как о бесконечной сумме) нужно делать таким же образом. При умножении мы действительно просим нас сделать следующее: 9\infty {{b_n}} } \right) = \left( {{a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots } \right)\left( {{b_0} + {b_1} + {b_2} + {b_3} + \cdots } \right)\]

Чтобы сделать это умножение, мы должны распределить \({a_0}\) через второй член, распределить \({a_1}\) через, и т. д. , а затем объединить подобные члены. Это практически невозможно, поскольку оба ряда содержат бесконечное множество членов, однако для определения произведения двух рядов можно использовать следующую формулу. 9n {{a_i}{b_{n — i}}} \)

Мы также не можем много сказать о сходимости продукта. Даже если оба исходных ряда сходятся, произведение может быть расходящимся. Реальность такова, что умножение рядов — довольно сложный процесс, и его обычно по возможности избегают. Мы кратко рассмотрим его ближе к концу главы, когда у нас будет больше работы за плечами, и мы столкнемся с ситуацией, когда это действительно может быть тем, что мы хотим сделать. До тех пор не беспокойтесь о умножении серий.

Следующая тема, которую нам нужно обсудить в этом разделе, это смена индекса . Честно говоря, это не та тема, которую мы будем часто видеть в этом курсе. На самом деле, мы будем использовать его один раз в следующем разделе, а затем, по всей вероятности, не будем использовать его снова. Несмотря на то, что мы не будем часто использовать его в этом курсе, это не означает, однако, что он не будет часто использоваться в других классах, где вы можете столкнуться с сериями. Итак, мы кратко расскажем об этом здесь, чтобы вы могли сказать, что видели это. 9п}}}} \]

Предположим, что по какой-то причине мы хотели начать этот ряд с \(n = 0\), но не хотели менять значение ряда. Это означает, что мы не можем просто изменить \(n = 2\) на \(n = 0\), так как это добавит два новых члена к ряду и, таким образом, изменит его значение.

Сдвиг индекса — довольно простой процесс. Мы начнем с определения нового индекса, скажем, \(i\), следующим образом:

\[я = п — 2\]

Теперь, когда \(n = 2\), мы получим \(i = 0\). Обратите также внимание, что если \(n = \infty \), то \(i = \infty — 2 = \infty \), поэтому здесь изменится только нижний предел. Далее мы можем решить это для \(n\), чтобы получить

\[п = я + 2\]

Теперь мы можем полностью переписать ряд в терминах индекса \(i\) вместо индекса \(n\), просто подставив наше уравнение для \(n\) в терминах \(i\). {i + 2}}}}} \] 95}}} + \cdots \end{align*}\]

Таким образом, обе серии имеют абсолютно одинаковые термины.

На самом деле есть более простой способ сделать сдвиг индекса. Приведенный выше метод является технически правильным способом выполнения сдвига индекса. Однако обратите внимание, что в приведенном выше примере мы уменьшили начальное значение индекса на 2, и все \(n\) в членах ряда также увеличились на 2.

Так будет всегда. Если мы уменьшим начальное значение индекса на заданную величину, то все остальные \(n\) в члене ряда увеличатся на ту же величину. Точно так же, если мы увеличим начальное значение индекса на заданную величину, то все \(n\) в члене ряда уменьшится на ту же величину. 9{п — 1}}}}} \]

Последняя тема в этом разделе снова является темой, которую мы не будем часто видеть в этом классе, хотя мы будем видеть ее чаще, чем сдвиги индекса. Эта последняя тема больше посвящена альтернативным способам написания сериалов, когда этого требует ситуация.