Ротор дивергенция градиент для чайников: Товарищи помогите распутаться пожалуйста, объясните понятия градиента и дивергенции — @дневники: асоциальная сеть

Векторный анализ — Физическая энциклопедия

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ — раздел математики, в к-ром изучаются скалярные и векторные поля и разл. операции с ними. Скалярное поле сопоставляет каждой точке (3-мерного) пространства нек-рое (действительное) число , а векторное поле — нек-рый вектор Если точка задаётся своими декартовыми координатами, , а вектор — своими компонентами , то градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля выражаются ф-лами:

Градиент, дивергенцию и ротор удобно выражать с помощью символич. вектора (набла), компонентами к-рого являются операторы дифференцирования по координатам, . Действуя этим символич. вектором на скалярные и векторные поля по правилам векторной алгебры, получим:

Скалярный квадрат вектора представляет собой Лапласа оператор ,или лапласиан, к-рый обозначается :

Формальное применение правил векторной алгебры к вектору приводит к ряду соотношений между градиентом, дивергенцией и ротором, напр.

или

При такого рода формальных преобразованиях необходимо следить, чтобы дифференц. оператор в окончат. выражении стоял слева от той ф-ции, на к-рую он действует. Если оператор действует на произведение двух ф-ций, то по правилу Лейбница (правило дифференцирования произведения) можно записать результат в виде суммы двух членов:

или

Сочетая правило Лейбница с правилами векторной алгебры, можно получать соотношения такого типа:

или

В случае более сложных алгебраич. выкладок на промежуточных этапах следует отмечать стрелкой ту ф-цию, на к-рую действует оператор , не заботясь о порядке следования оператора и ф-ций, и лишь на последнем этапе возвращаться к обычному порядку:

или

T. о., получаем:

Все осн. дифференц. операции В. а. имеют определ. геом. смысл, поэтому значения выражений , не зависят от выбора системы координат. Все соотношения между дифференц. выражениями также носят инвариантный характер.

В приложениях часто встречаются поток вектора через заданную поверхность и интеграл от него вдоль заданной кривой:

Здесь -проекция вектора а на нормаль к поверхности в данной точке, -проекция его на единичный вектор, касательный к кривой, dS — элемент площади поверхности, dl — элемент длины кривой. Пусть

а — распределение скоростей движущейся жидкости, тогда первый интеграл равен объёму жидкости, пересекающей данную поверхность в единицу времени. Если а — силовое поле, то второй интеграл равен работе, совершаемой при перемещении пробного тела вдоль данной кривой. В случае замкнутой кривой такой интеграл наз. циркуляцией векторного поля.

Эти интегралы фигурируют в осн. теоремах В. а.- Гаусса — Остроградского формуле и Стокса формуле:

Здесь-поверхность, являющаяся границей области V, а — кривая, ограничивающая поверхность S. Кружки на значках интегралов означают, что интегрирование ведётся по замкнутой поверхности и замкнутой кривой. Положит. направление нормали к поверхности S должно быть ориентировано относительно направления обхода контура так же, как положит. направление оси

x₃ — относительно положит. направления вращения в плоскости х₁, x₂. Полагая в ф-ле Гаусса — Остроградского , получим важную теорему Грина

Её следствием является ф-ла

Др. интегральные теоремы можно получить как следствия уже сформулированных:

Понятия В. а., определённые выше для евклидова пространства, можно обобщить на риманово пространство и др. многообразия. Дифференц. операции приводят к понятию ковариантной производной, интегральные теоремы формулируются на языке дифференциальных форм

.

Лит. см. при ст. Векторная алгебра. M. Б. Менский.

      Предметный указатель      >>   

Главная

С ЮБИЛЕЕМ, Герберт Александрович!

СЕГОДНЯ, 15 МАРТА 2023 ГОДА – ПРАЗДНУЕТ СВОЙ ЮБИЛЕЙ – 90 ЛЕТ ГЕРБЕРТ АЛЕКСАНДРОВИЧ ЕФРЕМОВ – выдающийся создатель ОТЕЧЕСТВЕННОЙ РАКЕТНОЙ И КОСМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКИ.
Выпускник 1956 года Ленинградского военно-механического института («ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова) по специальности «Приборостроение».

Под его руководством разработаны ракетные комплексы стратегического назначения, а также космические аппараты «Полёт», автоматические станции «Алмаз» и «Протон», орбитальные станции «Салют». Он придумал и воплотил в жизнь «АВАНГАРД» С МАНЕВРИРУЮЩИМ ГИПЕРЗВУКОВЫМ БЛОКОМ – это фактически новый вид стратегического оружия. Его скорость в 27 раз превышает скорость звука.

ГЕРБЕРТ АЛЕКСАНДРОВИЧ ЕФРЕМОВ – Почетный Генеральный директор – Почетный Генеральный конструктор АО «ВПК «НПО машиностроения», советник Корпорации по науке.

ЗДОРОВЬЯ ВАМ И ВСЕГО САМОГО ДОБРОГО!

8 марта — Международный женский день!

Подробности

Опубликовано 07.03.2023 20:27 07 Март 2023

С Днём защитника Отечества!

Подробности

Опубликовано 22.02.2023 22:35 22 Февраль 2023

Защитникам нашим спасибо за мирное небо,
За солнце, за радугу и за полёты мечты!
За песни берёз и за запах дурманящий хлеба!
За смех детворы, за покой, за любовь, за цветы…
За всё, что даёт нам возможность без страха смеяться
И жить, просто так, без оглядки, мучений и слёз,
За то, что мы можем, в итоге, ЛЮДЬМИ оставаться
И верить в счастливое завтра всегда и всерьёз!
Виктория Дорошенко

А.

С. Пушкин — Клеветникам России

Подробности

Опубликовано 11.02.2023 11:49 11 Февраль 2023

О чем шумите вы, народные витии?
Зачем анафемой грозите вы России?
Что возмутило вас? волнения Литвы?
Оставьте: это спор славян между собою,
Домашний, старый спор, уж взвешенный судьбою,
Вопрос, которого не разрешите вы.

Уже давно между собою
Враждуют эти племена;
Не раз клонилась под грозою
То их, то наша сторона.
Кто устоит в неравном споре:
Кичливый лях, иль верный росс?
Славянские ль ручьи сольются в русском море?
Оно ль иссякнет? вот вопрос.

Оставьте нас: вы не читали
Сии кровавые скрижали;
Вам непонятна, вам чужда
Сия семейная вражда;
Для вас безмолвны Кремль и Прага;
Бессмысленно прельщает вас
Борьбы отчаянной отвага —
И ненавидите вы нас…

За что ж? ответствуйте: за то ли,
Что на развалинах пылающей Москвы
Мы не признали наглой воли
Того, под кем дрожали вы?

За то ль, что в бездну повалили
Мы тяготеющий над царствами кумир
И нашей кровью искупили
Европы вольность, честь и мир?. .

Вы грозны на словах — попробуйте на деле!
Иль старый богатырь, покойный на постеле,
Не в силах завинтить свой измаильский штык?
Иль русского царя уже бессильно слово?
Иль нам с Европой спорить ново?
Иль русский от побед отвык?
Иль мало нас? Или от Перми до Тавриды,
От финских хладных скал до пламенной Колхиды,
От потрясенного Кремля
До стен недвижного Китая,
Стальной щетиною сверкая,
Не встанет русская земля?..
Так высылайте ж к нам, витии,
Своих озлобленных сынов:
Есть место им в полях России,
Среди нечуждых им гробов.

1831 г.

8 февраля – день российской науки

Подробности

Опубликовано 08.02.2023 08:45 08 Февраль 2023

Этот праздник был установлен 7 июня 1999 года Указом Президента РФ № 717 «…учитывая выдающуюся роль отечественной науки в развитии государства и общества, следуя историческим традициям и в ознаменование 275-летия со дня основания в России Академии наук».
8 февраля 1724 года Указом правительствующего Сената по распоряжению Петра I в России была основана Академия наук. В 1925 году она была переименована в Академию наук СССР. В 1991 году – в Российскую Академию наук.

Исчисление III — Завиток и расхождение

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана (

т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 17.1: Изгиб и дивергенция

Перед тем, как мы приступим к поверхностным интегралам, нам нужно получить некоторый вводный материал. Это цель первых двух разделов этой главы.

В этом разделе мы познакомимся с понятиями завитка и дивергенции вектора.

Начнем с завитка. Учитывая векторное поле \(\vec F = P\,\vec i + Q\,\vec j + R\,\vec k\) ротор определяется как

\[{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F = \left( {{R_y} — {Q_z}} \right)\vec i + \left( {{P_z} — {R_x}} \right )\vec j + \left( {{Q_x} — {P_y}} \right)\vec k\]

Существует другое (потенциально) более простое определение ротора векторного поля. Чтобы использовать его, нам сначала нужно определить \(\nabla \) оператор . Это определяется как,

\[\nabla = \frac{\partial }{{\partial x}}\,\,\vec i + \frac{\partial }{{\partial y}}\,\,\vec j + \frac{ \ парциальное }{{\ парциальное z}} \, \, \ vec k \]

Мы используем это как функцию следующим образом.

\[\nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\,\,\vec i + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\,\, \vec j + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\,\,\vec k\]

Итак, любая функция, указанная после \(\nabla \), подставляется в частные производные. Обратите также внимание, что когда мы смотрим на это в этом свете, мы просто получаем вектор градиента.

Используя \(\nabla \) мы можем определить завиток как следующее перекрестное произведение,

\[{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F = \nabla \times \vec F = \left| {\ begin {массив} {* {20} {c}} {\ vec i} & {\ vec j} & {\ vec k} \\ {\ displaystyle \ frac {\ partial }{{\ partial x}} } &{\ displaystyle \ frac {\ partial }{{\ partial y}}} & {\ displaystyle \ frac {\ partial }{{\ partial z}}} \\ P&Q&R \ end {массив}} \right|\ ]

У нас есть пара интересных фактов, использующих ротор векторного поля.

Факты

1. Если \(f\left( {x,y,z} \right)\) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то \({\mathop{\rm curl}\nolimits} \left( {\ nabla f} \right) = \vec 0\). 2}} \right)\vec k\\ & \ne \vec 0\ конец {выравнивание *} \]

   Итак, завиток не является нулевым вектором, поэтому это векторное поле не является консервативным.

   Далее следует поговорить о физической интерпретации завитка. Предположим, что \(\vec F\) — поле скоростей текущей жидкости. Тогда \({\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\) представляет тенденцию частиц в точке \(\left({x,y,z} \right)\) вращаться вокруг оси, точки в направлении \({\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F\). Если \({\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F = \vec 0\), то жидкость называется безвихревой.

   Давайте теперь поговорим о второй новой концепции в этом разделе. Учитывая векторное поле \(\vec F = P\,\vec i + Q\,\vec j + R\,\vec k\), дивергенция определяется как

   \[{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec F = \frac{{\partial P}}{{\partial x}} + \frac{{\partial Q}}{{\partial y}} + \ гидроразрыв {{\ парциальное R}} {{\ парциальное г}} \]

   Существует также определение дивергенции в терминах оператора \(\nabla \). Расхождение можно определить с помощью следующего скалярного произведения. 92}} \справа) = 2z — 2z = 0\]

   У нас также есть физическая интерпретация дивергенции. Если мы снова подумаем о \(\vec F\) как о поле скорости текущей жидкости, то \({\mathop{\rm div}\nolimits} \vec F\) представляет собой чистую скорость изменения массы жидкость, вытекающая из точки \(\left( {x,y,z} \right)\) в единице объема. Это также можно рассматривать как тенденцию жидкости отклоняться от точки. Если \({\mathop{\rm div}\nolimits} \vec F = 0\), то \(\vec F\) называется несжимаемым. 92} = \набла \centerdot \набла \]

   Оператор Лапласа естественным образом возникает во многих областях, включая теплопередачу и поток жидкости.

   Последняя тема в этом разделе — дать две векторные формы теоремы Грина. Первая форма использует ротор векторного поля и равна

   . \[\oint_{C}{{\vec F\centerdot d\,\vec r}} = \iint\limits_{D}{{\left({{\mathop{\rm curl}\nolimits} \vec F } \right)\centerdot \vec k\,dA}}\]

   где \(\vec k\) — стандартный единичный вектор в положительном направлении \(z\).

   Вторая форма использует дивергенцию. В этом случае нам также понадобится внешняя единичная нормаль к кривой \(С\). Если кривая параметризована

   \[\vec r\left( t \right) = x\left( t \right)\vec i + y\left( t \right)\vec j\]

   , тогда нормаль к внешнему блоку определяется как

   \[\vec n = \frac{{y’\left( t \right)}}{{\left\| {\vec r’\left(t\right)} \right\|}}\vec i — \frac{{x’\left(t\right)}}{{\left\| {\ vec r ‘\ влево ( т \ вправо)} \ вправо \ |}} \ vec j \]

   Вот рисунок, иллюстрирующий внешнюю единичную нормаль для некоторой кривой \(C\) в различных точках.

   Векторная форма теоремы Грина, в которой используется дивергенция, имеет вид:

   \[\oint_{C}{{\vec F\centerdot \vec n\,ds}} = \iint\limits_{D}{{{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec F\,dA} }\]

   Дивергенция, градиент и завиток — многомерное исчисление

   • Войти
   • Биографии репетитора
   • Подготовка к тесту

     СРЕДНЯЯ ШКОЛА

     • ACT Репетиторство
     • SAT Репетиторство
     • Репетиторство PSAT
     • ASPIRE Репетиторство
     • ШСАТ Репетиторство
     • Репетиторство STAAR

     ВЫСШАЯ ШКОЛА

     • MCAT Репетиторство
     • Репетиторство GRE
     • Репетиторство по LSAT
     • Репетиторство по GMAT

     К-8

     • Репетиторство AIMS
     • Репетиторство по HSPT
     • Репетиторство ISEE
     • Репетиторство по ISAT
     • Репетиторство по SSAT
     • Репетиторство STAAR

     Поиск 50+ тестов

   • Академическое обучение

     репетиторство по математике

     • Алгебра
     • Исчисление
     • Элементарная математика
     • Геометрия
     • Предварительное исчисление
     • Статистика
     • Тригонометрия

     Репетиторство по естественным наукам

     • Анатомия
     • Биология
     • Химия
     • Физика
     • Физиология

     иностранные языки

     • французский
     • немецкий
     • Латинский
     • Китайский диалект
     • Испанский

     начальное обучение

     • Чтение
     • Акустика
     • Элементарная математика

     прочие

     • Бухгалтерский учет
     • Информатика
     • Экономика
     • Английский
     • Финансы
     • История
     • Письмо
     • Лето

     Поиск по 350+ темам

   • О
     • Обзор видео
     • Процесс выбора наставника
     • Онлайн-репетиторство
     • Мобильное обучение
     • Мгновенное обучение
     • Как мы работаем
     • Наша гарантия
     • Влияние репетиторства
     • Обзоры и отзывы
     • Освещение в СМИ
     • О преподавателях университета

   Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

   (888) 888-0446

   Все ресурсы для вычислений с несколькими переменными

   14 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

   Справка по многомерному исчислению » Тройная интеграция поверхности » Дивергенция, градиент и изгиб

   Вычислите изгиб для следующего векторного поля.

   Возможные ответы:

   Правильный ответ:

   Пояснение:

   Чтобы рассчитать завиток, нам нужно вспомнить формулу.

   где , и  соответствуют компонентам заданного векторного поля: 

    

   Теперь применим это к нашей ситуации.

    

    

    

   Таким образом, завиток равен

   Сообщить об ошибке

   ,4 где

   Возможные ответы:

   Правильный ответ:

   Объяснение:

   Все, что нам нужно сделать, это вычислить частные производные и сложить их вместе.

   Сообщить об ошибке

   Рассчитать завихрение для следующего векторного поля.

   Возможные ответы:

   Правильный ответ:

   Пояснение:

   Чтобы рассчитать завиток, нам нужно вспомнить формулу.

   , где , и  соответствуют компонентам заданного векторного поля: 

    

   Теперь давайте применим это к нашей ситуации.

    

    

    

   Таким образом, завиток равен

   Сообщить об ошибке

   ,4 где

   Возможные ответы:

   Правильный ответ:

   Пояснение:

   Все, что нам нужно сделать, это вычислить частные производные и сложить их вместе.

   Сообщить об ошибке

   Уведомление об авторских правах

   Посмотреть преподавателей исчисления с несколькими переменными

   Zabian
   Сертифицированный преподаватель

   Университет Мерсера, бакалавр наук, математики и компьютерных наук.