Разложение в ряд Тейлора. Разложение в ряд Маклорена элементарных функций. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн
Краткая теория
Если функция допускает в некоторой окрестности точки разложение в степенной ряд по степеням , то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид
При ряд Тейлора называют также рядом Маклорена. Последнее равенство справедливо, если при остаточный член ряда Тейлора
при
Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой (форма Лагранжа)
Разложение основных функций в степенной ряд Маклорена
Пользуясь основными разложениями, а также формулой для
геометрической прогрессии, можно во многих случаях просто получать разложение
данной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования
остаточного члена.
Иногда при разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интегрирование. При
разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать эти
функции на простейшие дроби.
I. Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем .
II. Разложение экспоненты в ряд Маклорена
III. Разложение синуса в ряд Маклорена
IV. Разложение косинуса в ряд Маклорена
V. Биномиальный ряд
VI. Разложение в ряд Макклорена функции ln(1+x)
VII. Разложение арктангенса в ряд Маклорена
Пример решения задачи
Задача
Разложить функцию в ряд по степеням .
Решение
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Находим производные данной функции:
….
Вообще , если – четное, и , если – нечетное
Полагая получаем:
….
Вообще , если – четное, и , если – нечетное
На основании формулы разложения в ряд Тейлора имеем:
Для определения интервала сходимости ряда применим признак Даламбера.
при любом . Следовательно, ряд сходится в интервале . Остаточный член имеет вид:
Так как , то
Поэтому:
Ряд с общим членом сходится при любом (в этом можно убедиться с помощью признака Даламбера), поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости:
а следовательно, при любом
.
Это значит, что сумма ряда для любого действительно равна .
2.5.2. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора
Естественные науки / Специальные главы высшей математики / 2.5.2. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора
Используя интегральную формулу Коши, покажем, что всякую аналитическую функцию в круге сходимости можно представить в виде суммы степенного ряда.
Теорема. Пусть функция – аналитическая в области D. Если и R – расстояние z0до границы области D, то в круге
она разлагается в ряд Тейлора.Пусть ; рассмотрим круг (рис. 2.27).
Если Кr1– граница круга, то
. (2.98)
Разложим в ряд по степеням z-z0:
,
тогда
. (2.99)
При фиксированном z ряд (2.99) равномерно сходится относительно , так как
,
а мажорантный ряд также сходится. Следовательно, ряд (2.99) можно интегрировать почленно:
. (2.100)
Из (2.100) видно, что коэффициенты ряда
(2.101)
и не зависят от контура интегрирования. Поэтому интеграл в (2.101) берут по контуру Кr.
Вывод: показали, что f(z) является суммой степенного ряда (Тейлора) в круге
с коэффициентами:
. (2.102)
Методическое руководство
1) Если известны особые точки , то радиус сходимости ряда Тейлора можно найти так. Особые точки функции являются граничными для области ее аналитичности. Согласно теореме радиус сходимости ряда Тейлора не меньше, чем расстояние от точки z0 до ближайшей особой точки функции.
2) Имеет место свойство единственности разложения функции в ряд Тейлора. Это значит, что каким бы методом мы ни разлагали функцию в ряд Тейлора он единственный. Поэтому коэффициенты не обязательно находить по формуле (2.102).
Пример 1
Найти первые три члена разложения функции по степеням z + i и определить радиус сходимости ряда.
Решение. По условию должны записать ряд (z0 = – i):
Найдем последовательно
;
.
Тогда
.
Найдем особые точки данной функции, для чего знаменатель приравняем нулю (cos z = 0).
Отсюда – особые точки.
Для нахождения радиуса сходимости определим расстояние от точки —i до ближайшей особой точки (их две) (рис. 2.28). По теореме Пифагора:
– радиус сходимости ряда.
Пример 2
Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки z=0, не находя коэффициентов с помощью производных и применения формул (2.102)
Решение. Согласно свойства единственности, разложим cos z в ряд Маклорена и, проведя указанные действия, получим:
Задачи для упражнений
1) Найти три первых не равных нулю члена разложения функции по степеням
Ответ:
2) Найти несколько первых членов разложения по степеням z функции и определить радиус сходимости ряда.
Ответ:
3) Разложить в ряд Тейлора по степеням функцию .
Ответ: .
4) Разложить в ряд Тейлора по отношениям z функцию .
Ответ: .
5) Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки z0 = 0 (N = 1, 2,…) для N = 3.
Ответ: .
2\) действительно одно и то же! Мы просто должны быть осторожны, отслеживая термины вплоть до порядка в \( x \), с которым мы хотим работать.(Боас с большим энтузиазмом относится к этому трюку, так что вы можете посмотреть ее главу 1.13 для получения дополнительных примеров. Будет ли это полезно, зависит от задачи и от вашего собственного вкуса — лично мне никогда не нравилось полиномиальное деление в длину, поэтому я бы не использовал это для деления двух функций!)
Расширение вокруг точки и некоторые общие ряды Тейлора
Обычной ситуацией для нас при применении этого к задачам физики будет то, что мы знаем полное решение для некоторой системы в упрощенном случае, а затем мы хотим включить небольшой новый параметр и посмотреть, что произойдет. Мы можем думать об этом как об использовании ряда Тейлора для аппроксимации \(f(x_0 +\epsilon)\), когда мы знаем, что \(\epsilon\) мало. Это делает разложение чистым полиномом от \( \epsilon \), если мы снова подставим:
\[
\begin{выровнено}
f(x_0 + \epsilon) = f(x_0) + f'(x_0) \epsilon + \frac{1}{2} f»(x_0) \epsilon^2 + \frac{1}{6} f’ »(x_0) \эпсилон^3 + . 2 + …
\end{выровнено}
\] 9n\) — но мы не будем вдаваться в это.
В основном я позволял вам изучать Mathematica, заставляя вас использовать ее в домашних заданиях, но поиск расширений рядов настолько полезен, что я быстро расскажу, как вы можете попросить Mathematica сделать это. Функция Mathematica Series[] будет вычислять разложение ряда Тейлора в любом нужном вам порядке. Вот пример:
Пройдемся по синтаксису: первый аргумент — это функция, которую вы хотите расширить. Второй аргумент состоит из трех вещей, собранных в список из {} : имя переменной, точка расширения и максимальный порядок, который вы хотите.
Упражнение: другой полезный ряд Тейлора
Найдите разложение \(\ln(1+x)\) в ряд Тейлора до третьего порядка относительно \( x=0 \).
Попробуйте сами, прежде чем продолжить чтение! Это ключевой элемент, который нам понадобится, чтобы вернуться и закончить наши снаряды с расчетом сопротивления воздуха.
Следуя \( \эпсилон \) версии приведенной выше формулы, мы можем сразу записать это как ряд Тейлора по \( x \), если мы расширим около \( 1 \). Если мы определим \( f(u) = \ln(u) \) (заменив переменные, чтобы избежать путаницы), то расширение относительно \( u_0 = 1 \) даст 93}{3} + … \справа) \end{выровнено} \]
Назад к линейному сопротивлению воздуха
На этом наш важный и долгий математический экскурс закончен: давайте, наконец, вернемся назад и закончим обсуждение движения снаряда с линейным сопротивлением воздуха. Нашей точкой остановки была формула траектории
\[ \begin{выровнено} y(x) = v_{\rm ter} \tau \ln \left( 1 — \frac{x}{\tau v_{x,0}} \right) + \frac{v_{y,0} + v_ {\rm тер}}{v_{x,0}} х \end{выровнено} \]
где \( v_{\rm ter} = mg/b \) и \( \tau = m/b \). Мы хотели бы понять, что происходит, когда \( b \) становится очень маленьким, где мы должны видеть этот подход обычным «вакуумным» результатом параболического движения. Одним из вариантов было бы вставить явную \( b \)-зависимость обратно и расширить ряд, но это будет беспорядочно по двум причинам: \( b \) есть в нескольких местах, и \( b \) ) это размерная величина (единицы силы/скорости = \( N \cdot s / m \), помните. 3} + … \right] + \frac{v_{y,0} + v_{\ rm тер}}{v_{x,0}} x
\end{выровнено}
\] 93} + … \вправо]
\end{выровнено}
\]
Поскольку \( b \rightarrow 0 \), мы знаем, что \( v_{\rm ter} \) становится очень большим. Это может заставить вас беспокоиться о том, что \( v_{\rm ter} \tau \) появляется вне квадратных скобок, но помните, что \( \tau \) тоже становится большим, и у нас есть некоторые \(\tau \) множители в знаменателе. Фактически, мы можем вернуться к определениям и заметить, что
\[ \begin{выровнено} \ frac {v _ {\ rm ter}} {\ tau} = \ frac {mg / b} {m / b} = g \end{выровнено} \]
, который мы можем использовать для дальнейшего упрощения: 92}. \end{выровнено} \]
На самом деле это именно та формула, которую вы найдете в своем учебнике по физике для первокурсников для расчета движения снаряда без сопротивления воздуха. Лимит успешно проверен!
Более того, теперь у нас есть хорошая приблизительная формула, которую мы можем использовать в случаях, когда сопротивление воздуха относительно невелико. 2} R \right) \\
\Rightarrow R_{\rm vac} = \frac{2 v_{x,0} v_{y,0}}{g}.
\end{выровнено}
\]
В следующий раз мы закончим поиск дальности с линейным сопротивлением!
Формула серии Тейлора — Что такое формула серии Тейлора?
Ряд Тейлора функции – это бесконечная сумма членов, которая выражается через производные функции в любой точке, где каждый следующий член имеет больший показатель, например x, x 2 , x 3 и т. д. Таким образом, формула ряда Тейлора помогает в математическом представлении ряда Тейлора. Давайте изучим формулу ряда Тейлора, используя несколько решенных примеров в конце страницы. 9n \)
Здесь
- f(x) = действительная или комплекснозначная функция, которая бесконечно дифференцируема при действительном или комплексном числе «a» — это степенной ряд
- n = общее количество терминов в ряду
Доказательство формулы ряда Тейлора
Утверждение теоремы ряда Тейлора:
Предположим, что если \(f(x)\) – действительная или составная функция, которая является дифференцируемой функцией числа окрестности, которая также является вещественной или составной. Тогда ряд Тейлора описывает следующий степенной ряд: 9{3}+\ldots\)
Следовательно, ряд Тейлора доказан.
Рассмотрим применение формулы ряда Тейлора в следующем разделе.
Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок
Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.
Забронировать бесплатный пробный урок
Пример 1: Найти расширение для функции, f(x) = 2x — 2x 2 с центром в точке a = -3 с использованием формулы ряда Тейлора.
Решение:
Найти: Ряд Тейлора для заданной функции
Дано:
Функция, f(x) = 2x — 2x 2
\ Центр в точке a = -3 9007_n3 )(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f′′(a)/2! × (x − a) 2 + f′′′(a)/3! × (x − a) 3 + f (4) (a)/4! × (x − a) 4 + . .. + f (n) (a)/n! × (х — а) n
Функция и ее производные.
f(x) = 2x − 2x 2
f′(x) = 2− 4x
f′′(x) = −4
f′′′(x) = 0
Поскольку a = −3 и n = 3, требуемое разложение:
f(x) = f(−3) + f′(−3)(x − (−3)) + f′′(−3)/ 2! × (x − (−3)) 2 + f′′′(−3)/3! × (x − (−3)) 3
f(x) = f(−3) + f′(−3)(x + 3) + f′′(−3)/2! × (x + 3) 2 + f′′′(−3)/3! × (x + 3) 3
Вычислим функцию и ее производные при x = a = −3:
f(−3) = 2(−3) − 2(−3) 2 = -24
f′(−3) = 2 — 4(-3) = 14
f′′ (−3) = −4
f′′′(−3) = 0, и все производные отсюда и далее равны нулю.
Разложение в ряд Тейлора для данной функции:
\(P_3\)(x) = -24 + 14(x + 3) — 4/2! (х + 3) 2 — 0/3! (x + 3) 3
\(P_3\)(x) = -24 + 14(x + 3) — 2(x + 3) 2
Ответ: Разложение в ряд Тейлора вокруг a = −3 для функции f(x) = 2x − 2x 2 равно -24 + 14(x + 3) — 2(x + 3) 2 .
Пример 2: Найти разложение в ряд Тейлора для функции f(x) = cos x с центром в точке x = 0. , f(x) = Cos x
Используя формулу ряда Тейлора,
f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f′′(a)/2! × (x − a) 2 + f′′′(a)/3! × (x − a) 3 + f (4) (a)/4! × (х — а) 4 + … + f (н) (а)/н! × (x − a) n
Вычислим функцию и ее производные:
f(x) = cos(x)
f'(x) = −sin(x)
f»(x ) = −cos(x)
f»'(x) = sin(x)
Таким образом,
cos(x) = cos(a) − sin(a)/1! (x — a) − cos(a)/2! (x — a) 2 + sin(a)/3! (x — a) 3 + …
Теперь положим a = 0,
cos(x) = 1 − 0/1! (x — 0) − 1/2! (x — 0) 2 + 0/3! (х — 0) 3 + 1/4! (x — 0) 4 + . ..
cos(x) = 1 − x 2 /2! + х 4 /4! − …
Ответ: Разложение в ряд Тейлора для данной функции, cos(x) = 1 − x 2 /2! + х 4 /4! − …
Пример 3. Найдите ряд Тейлора для f(x) = x 3 — 10x 2 + 6 при x=3.
Решение: Сначала найдем производные данной функции.
f(x) = x 3 9{3}
\end{aligned}\)
Ответ: Разложение в ряд Тейлора для данной функции: = − 57 − 33(x−3) − (x−3) 2 + (x−3) 3
Часто задаваемые вопросы о формуле серии Тейлора
Для чего используется формула серии Тейлора?
Ряд Тейлора полезен в информатике, исчислении, химии, физике и т. д. Ряд Тейлора используется для оценки того, как выглядит функция.
Что такое формула ряда Тейлора?
Формула ряда Тейлора помогает расширить функцию вокруг значения переменной, используя производные функции.