Разложение по степеням функции: Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение в ряд Маклорена на примерах

«Найти разложение в ряд Маклорена функци f(x)» — именно так звучит задание по высшей математике, которое одним студентам по силам, а другие не могут справиться с примерами. Есть несколько способов разложения ряда по степенях, здесь будет дана методика разложения функций в ряд Маклорена. При развитии функции в ряд нужно хорошо уметь вычислять производные.

Пример 4.7 Разложить функцию в ряд по степеням x

Вычисления: Выполняем разложение функции согласно формуле Маклорена. Сначала разложим в ряд знаменатель функции

напоследок умножим разложение на числитель.
Первое слагаемое — значение функции в нуле f (0) = 1/3.
Найдем производные функции первого и высших порядков f (x) и значение этих производных в точке x=0




Далее с закономерности изменения значения производных в 0 записываем формулу для n-й производной

Итак, знаменатель представим в виде разложения в ряд Маклорена

Умножаем на числитель и получаем искомое разложение функции в ряд по степеням х

Как видите ничего сложного здесь нет. 2)
Вычисления: В подобного рода примерах необходимо дробь разложить через сумму простейших дробей.
Как это делать мы сейчас не будем показывать, но с помощью неопределенных коэффициентов придем к сумме дох дробей.
Далее записываем знаменатели в показательной форме

Осталось разложить слагаемые с помощью формулы Маклорена. Подытоживая слагаемые при одинаковых степенях «икс» составляем формулу общего члена разложения функции в ряд



Последнюю часть перехода к ряду в начале трудно реализовать, поскольку сложно объединить формулы для парных и непарных индексов (степеней), но с практикой у Вас это будет получаться все лучше.

Пример 4.18 Найти разложение в ряд Маклорена функции

Вычисления: Найдем производную этой функции:

Разложим функцию в ряд, воспользовавшись одной из формул Макларена:

Ряды почленно суммируем на основе того, что оба абсолютно совпадающие. Проинтегрировав почленно весь ряд получим разложение функции в ряд по степеням x

Между последними двумя строками разложения имеется переход который в начале у Вас будет забирать много времени. Обобщение формулы ряда не всем дается легко, поэтому не переживайте по поводу того что не можете достать красивой и компактной формулы.

Пример 4.28 Найти разложение в ряд Маклорена функции:

Запишем логарифм следующим образом

По формуле Маклорена раскладываем в ряд по степеням x логарифм функцию

Конечное свертывания на первый взгляд сложное, однако при чередовании знаков Вы всегда получите нечто подобное. Входной урок по теме расписания функций в ряд завершено. Другие не менее интересные схемы разложения будут подробно рассмотрены в следующих материалах.

• Назад
• Вперёд

Сообщество Экспонента

• Публикация
• 28.11.2022

Автоматизация испытаний

Смотрите вебинар тут. А еще: если вы пропустили трансляцию любого вебинара, то посмотреть в записи можно тут.

Многие спрашивали о записи вебинара о предсказании отказов в промышленности, – отвечаем: запись есть!

• вопрос
• 26. 11.2022

Математика и статистика, Другое

Здравствуйте! Посмотрите пожалуйста код, почему не могу посчитать неизвестные a и b? очень срочно надо посчитать!! диплом горит(((

Здравствуйте! Посмотрите пожалуйста код, почему не могу посчитать неизвестные a и b? очень срочно надо посчитать!! диплом горит(((

2 Ответа

• Maple
• математика
• Программирование

26.11.2022

• вопрос
• 23.11.2022

Изображения и видео, Встраиваемые системы, Математика и статистика, Другое

Подскажите,может кто разбирался в методу главных компонент. Занимаюсь комплексированием 2-ух изображений методом главных компонент. По порядку использую функции cov, затем получаю собственные значения…

Подскажите,может кто разбирался в методу главных компонент. Занимаюсь комплексированием 2-ух изображений методом главных компонент. По порядку использую функции cov, затем получаю собственные значения…

• комплексирование
• матрица
• статистика

23.11.2022

• вопрос
• 23.11.2022

Системы связи, Цифровая обработка сигналов, Робототехника и беспилотники

Как запустить модели примеров с кнопкой ПОПРОБОВАТЬ В матлаб???

Как запустить модели примеров с кнопкой ПОПРОБОВАТЬ В матлаб???

21 Ответ

• вопрос
• 23.11.2022

Системы связи, Цифровая обработка сигналов, Другое

Какая создать модель в виде кода визуализируя спектральную эффективность в полном дуплексе?  

Какая создать модель в виде кода визуализируя спектральную эффективность в полном дуплексе?  

3 Ответа

• вопрос
• 22.11.2022

Другое, Математика и статистика

Уважаемые форумчане,  У кого есть опыт работы с функцией mesh? Написан код, посвященный решению задачи теплопроводности: рассматривается нагрев воды лазерным импульсом, решается задача теплопрово. ..

Уважаемые форумчане,  У кого есть опыт работы с функцией mesh? Написан код, посвященный решению задачи теплопроводности: рассматривается нагрев воды лазерным импульсом, решается задача теплопрово…

6 Ответов

• pde
• mesh

22.11.2022

• Публикация
• 21.11.2022

Электропривод и силовая электроника

Какие опыты будут показаны? • Испытание устройств РЗиА в режиме жесткого реального времени с помощью КПМ РИТМ• Проверка протоколов цифровой подстанции (МЭК61850, С37.118, PRP, PTPv2) на киберустойчивость• Эксперименты с трансформатором и его циф…

Встретимся на форуме «ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СЕТИ» (МФЭС) 22-25 ноября в Москве

Что будет представлено?

На стенде команда электроэнергетики представит отечественный программно-аппаратный комплекс реального времени на базе КПМ РИТМ.

• Электропривод
• цифровая обработка сигналов
• РИТМ

21.

11.2022

• вопрос
• 20.11.2022

Другое, Изображения и видео

Translator         Подскажите как вычислить полигон ConvexHull, описывающий область на изображении используя функцию regionprops в Matlab

Translator         Подскажите как вычислить полигон ConvexHull, описывающий область на изображении используя функцию regionprops в Matlab

2 Ответа

• MATLAB для студентов

20.11.2022

• Публикация
• 17.11.2022

Встраиваемые системы, ПЛИС и СнК

На вебинаре вы узнаете, как сократить временные и финансовые издержки при испытании встраиваемых систем управления с помощью технологии моделирования в реальном времени. В ходе вебинара будут затронуты следующие вопросы: Что такое тестирование в реальном врем…

Приглашаем вас на вебинар «Российские комплексы РИТМ для полунатурного моделирования и прототипирования встраиваемых систем

», который пройдёт 29 ноября 2022 г. в 10:00 по московскому времени.

• MATLAB
• встраиваемые системы
• Simulink
• ПЛИС
• МОП
• Модельно ориентированное проектирование

17.11.2022

• Публикация
• 17.11.2022

Системы управления, Электропривод и силовая электроника

  Интересно узнать еще больше об этом кейсе? Подробнее – тут.

Рассказываем, как инновационный центр «КАМАЗ» с помощью наших инженеров освоил современный рабочий процесс на базе модельно-ориентированного проектирования, который позволил небольшой команде разработчиков создать систему управления электрооборудования электробуса верхнего уровня в кратчайшие сроки.

 

• MATLAB
• системы управления
• САУ
• МОП
• Модельно ориентированное проектирование

17.11.2022

taylor extension — Расширение одной функции в силе другой

спросил 8 лет, 10 месяцев назад

Изменено 8 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Здесь видно, что можно разложить $f(x) = 2x^3 + 7x^2 + x — 6$ по степеням $x — 2$, разложив по Тейлору $f(x) = f(x — 2 + 2) = f(2 + h)$ около $2$, и эта идея может быть использована при выводе вида разложения на неполные дроби, знаменатель которого содержит степени линейных множителей, например здесь. 2$. 9k}{g(x)}|_{x=a}&=a_{k+1}\end{align}$$

Обратите внимание, что члены можно найти последовательно, начиная с первого уравнения.

В случае, когда $f$ и $g$ являются полиномами, можно использовать алгоритм Руффинита-Хорнера для вычисления левых частей. Руффини-Хорнера — это метод вычисления многочленов в виде числа, но в качестве побочного продукта он дает вам значение многочлена в левой части следующего уравнения.

Если вам это нужно для разложения на неполные дроби, то вам не нужно рассматривать разложение по степеням квадратичных полиномов. Вы можете получить разложение частичной дроби по комплексным числам, полностью разложив весь знаменатель на линейные множители, что всегда возможно для комплексных чисел. После получения разложения на частичную дробь по комплексу вы можете добавить суммы, которые являются комплексно сопряженными друг с другом, и это даст вам разложение на частичную дробь по вещественным числам.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.