$$
то есть частичные суммы ряда \eqref{ref15} ограничены сверху и по критерию сходимости ряда с неотрицательными членами ряд \eqref{ref15} сходится.
Докажем, что
$$
\tau = S\sigma,\label{ref16}
$$
где \(\tau\), \(S\), и \(\sigma\) — суммы рядов \eqref{ref14}, \eqref{ref1} и \eqref{ref13} соответственно. Заметим, что все члены ряда \eqref{ref14} содержатся в следующей таблице:
Занумеруем элементы этой таблицы, присваивая им номера, указанные в таблице (такой метод перечисления называют “методом квадратов”). В этом случае получается ряд
$$
a_{1}b_{1} + (a_{2}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{1}b_{2}) + (a_{3}b_{1} + a_{3}b_{2} + a_{3}b_{3} + a_{2}b_{3} + a_{1}b_{3}) +\\
+ (a_{4}b_{1} + a_{4}b_{2} + a_{4}b_{3} + a_{4}b_{4} + a_{3}b_{4} + a_{2}b_{4} + a_{1}b_{4}) + \ldots,\label{ref17}
$$
образованный из всевозможных попарных произведений членов рядов \eqref{ref1} и (13), то есть ряд вида \eqref{ref14}.
Сходимость ряда онлайн
Проверить сходимость ряда можно несколькими способами. Во-первых можно просто найти сумму ряда. Если в результате мы получим конечное число, то такой ряд сходится. Например, поскольку
то данный ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.
Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:
здесь
и
соответственно
и
члены ряда, а сходимость определяется значением
.
В качестве примера, исследуем сходимость ряда ∞n0n4n с помощью признака Даламбера. Сначала запишем выражения для ann4n и an1n14n1 . Теперь найдем соответствующий предел:
limn∞an1anlimn∞n14n4n1nlimn∞n14n14limn∞11n14
Поскольку 141 , в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.
Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является
limn∞nanD
здесь
an
n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением D:
Если D < 1 — ряд сходится, если D > 1 — расходится.
При D = 1 — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.
В качестве примера, исследуем сходимость ряда ∞n05n12n56n2 с помощью радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для an5n12n56n2 . Теперь найдем соответствующий предел:
limn∞nanlimn∞n5n12n56n2limn∞5n12n56n2nlimn∞5n12n562nlimn∞5n1n2n5n62nlimn∞51n25n62nlimn∞51n25n6limn∞51n25n2n5261562564
Поскольку 1562564>1 , в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.
Стоит отметить, что наряду с перечисленными, существуют и другие признаки сходимости рядов, такие как интегральный признак Коши, признак Раабе и др.
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет протестировать сходимость ряда.
При этом, если калькулятор в качестве суммы ряда выдает конкретное число, то ряд сходится. В противном случае, необходимо обращать внимание на пункт «Тест сходимости ряда». Если там присутствует словосочетание «series converges», то ряд сходится. Если присутствует словосочетание «series diverges», то ряд расходится.
Ниже представлен перевод всех возможных значений пункта «Тест сходимости ряда»:
| Текст на английском языке | Текст на русском языке |
|---|---|
| By the harmonic series test, the series diverges. | При сравнении исследуемого ряда с гармоническим рядом ∞n01n , исходный ряд расходится. |
| The ratio test is inconclusive. | Признак Даламбера не может дать ответа о сходимости ряда. |
| The root test is inconclusive. | Радикальный признак Коши не может дать ответа о сходимости ряда. |
| By the comparison test, the series converges. | По признаку сравнения, ряд сходится |
| By the ratio test, the series converges. | По признаку Даламбера, ряд сходится |
| By the limit test, the series diverges. | На основнии того, что limn∞an0 , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. |
1. Числовые ряды. Сходимость и сумма рядов. Необходимый признак сходимости.
Свойства сходящихся рядов
Определение.
Выражение вида
или, подробнее,(1)
называется числовым рядом, а числа называются егочленами.
Для определенности будем считать первым членом ряда, хотя ряд может начинаться и с любого другого члена. Сумма первыхслагаемых ряда (1) называется его
.
Определение.Если существует конечный предел частичных сумм ряда (1) при , то это число называетсясуммой ряда , а ряд в этом случае называется сходящимся: . Если предел частичных сумм не существует (например, равен),то ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда сумма не определена.
Рассмотрим теперь простейшие свойства рядов.
1) Пусть числовые ряды и сходятся, и имеют суммы соответственнои,
тогда рядтакже сходится и его сумма равна.
2) Если ряд (1) сходится, число , то ряд(1/
) также сходится и его сумма равна . Если ряд(1) расходится и , то расходится и ряд(1/).3) Если в ряде(1) изменить, добавить или отбросить конечное число членов, то сходимость этого ряда не изменится, т.е. если ряд (1) сходился, то новый ряд также сходится, а если ряд (1) расходился, то новый ряд расходится.
Изменив конечное число членов сходящегося ряда, можно изменить его сумму, но сходимость ряда при этом не нарушится.
Теорема 1.(Необходимый признак сходимости). Если рядсходится, то предел его членов приравен:. Условиеявляетсянеобходимым условиемсходимости ряда. Об этом свидетельствует примергармонического ряда . Этот ряд является расходящимся, хотя у него
.
Следствие(Достаточное условие
расходимости).
2. Достаточные признаки сходимости для рядов с положительными членами
Пусть имеются два ряда (1) и(2) с положительными членами, удовлетворяющими неравенствудля всех, за исключением, быть может, конечного числа членов рядов.
Теорема 2(Первый признак сравнения). Если ряд (2) сходится, то ряд (1)также сходится, если же ряд (1) расходится, то ряд (2) также расходится.
Пример. Исследуем сходимость ряда.
Для сравнения используем расходящийся гармонический ряд . Прии, поэтому, согласно первому признаку сравнения, исследуемый ряд расходится.
Для сравнения обычно используют такие известные ряды как геометрическая прогрессия или ряд Дирихле.
Рядом Дирихле называется числовой ряд вида.
Ряд Дирихле при
сходится, а прирасходится.
Теорема 3 (Предельный признак сравнения). Пусть ряды (1) и (2) с положительными членами таковы, что существует конечный ненулевой предел,. Тогда ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
Теорема 4 (Признак Даламбера). Пусть у ряда, гдесуществует предел отношений, тогда: а) если, то этот ряд сходится, в) еслиилиэтот ряд расходится. Приданный признак не применим.
Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда выражения для членов содержат факториалы и показательные, относительно, функции.
Теорема 5 (Радикальный признак Коши). Пусть в ряде , где, существует предел. Тогда:а) если , то этот ряд сходится,в) если или,то этот ряд расходится.При, признак Коши не применим.
Теорема 6 (Интегральный признак Коши).
Пусть имеется ряд (1)и несобственный интеграл ,
(3)такие, что выполняются следующие
условия: а) для целых:;
б) функция
непрерывна, неотрицательна и не возрастает
на промежутке.
{\infty }a_{n}}
Здесь a1,a2,a3…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\dots } — последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.
Чтобы присвоить числовому ряду значение суммы, рассмотрим последовательность «частичных сумм», которые получаются, если оборвать бесконечную сумму на каком-то члене:
- S1=a1{\displaystyle S_{1}=a_{1}}
- S2=a1+a2{\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2}}
- S3=a1+a2+a3{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}}
- ⋯{\displaystyle \cdots }
- Sn=a1+a2+a3+⋯+an{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n}}
- ⋯{\displaystyle \cdots }
Если последовательность частичных сумм имеет предел S{\displaystyle S} (конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна S.{\displaystyle S.} При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится[1].
Для выяснения ключевого в анализе вопроса, сходится или нет заданный ряд, предложены многочисленные признаки сходимости.
{k}} (красная линия) к её сумме 11−q{\displaystyle {1 \over 1-q}} (синяя линия) при |q|<1{\displaystyle |q|<1}.
Простейшим примером сходящегося ряда является сумма членов бесконечной геометрической
Сходимость числового ряда. Сумма ряда — КиберПедия
Глава 8. Числовые ряды
Основные понятия
Определение числового ряда
Множество чисел перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров называется числовой последовательностью
.
Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности
.
Ряд считается заданным, если известен закон образования n-го (общего) члена ряда в зависимости от его номера. Обычно общий член ряда задается как функция или .
Например: 1) если , то ;
2) если , то ;
3) если , , то
.
Обычно, при исследовании числовых рядов возникает необходимость нахождения вида общего члена ряда как функции от номера этого члена.
Для этого нужно перенумеровать члены ряда и, учитывая четность, периодичность и другие особенности его членов записать функцию .
Например: 1)
Числитель каждого следующего члена этого ряда на 2 больше, а знаменатель на 3 больше, поэтому в n-ом члене ряда нужно записать в числителе 2n , а в знаменателе 3n.Кроме того, в числителе нужно к 2n прибавить 1, а в знаменателе к 3n прибавить 2, чтобы при n = 1 . Тогда .
2)
Числители являются степенями числа 3, а в знаменателях находится факториалы номеров членов n, .
Сходимость числового ряда. Сумма ряда
В прикладных задачах, как правило, требуется найти сумму ряда. Ряд представляет собой бесконечную сумму, поэтому найти точное значение суммы ряда, обычно, не представляется возможным. Однако сумму ряда можно найти приближенно, если есть уверенность, что она существует. Дело в том, что сумма ряда даже с очень малыми членами может быть бесконечно большой или вообще не существовать.
Поэтому основная трудность при нахождении суммы ряда заключается в том, чтобы доказать, что она существует.
Числовой ряд разделяют на две части
.
Сумма первых n членов ряданазывается n-ой частичной суммой ряда
.
Сумма всех членов ряда, начиная с(n+1)-го, называется n-ым остатком ряда
.
Ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности n-ых частичных сумм ряда
.
Если предел частичных сумм не существует, ряд называетсярасходящимся.
Если ряд сходится, то предел частичных сумм ряда называется суммой ряда, т. е. .
Пример 8.1. Исследовать сходимость ряда, являющегося геометрической прогрессией
,
где b — первый член прогрессии, q — знаменатель прогрессии.
Известно, что n -я частичная сумма этого ряда равняется
.
В зависимости от величины знаменателя прогрессии q возможны 4 случая.
1. Если , то
является конечной величиной и, следовательно, ряд сходится.
2. Если , то
является бесконечно большой величиной и, следовательно, ряд расходится.
3. Если , то
является бесконечно большой величиной и, следовательно, ряд расходится.
4. Если , то
Следовательно, предел не существует и ряд расходится.
Свойства сходящихся рядов
1. Сходимость числового ряда не нарушится, если все его члены умножить на некоторое отличное от нуля число l; причем
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем определение суммы ряда и свойства пределов, получаем
.
2. При сложении соответствующих членов двух сходящихся рядов и получится сходящийся ряд; причем
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем определение суммы ряда и свойства пределов, получаем
.
3. Сходимость ряда не нарушится, если отбросить конечное число его членов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сумма ряда . Не нарушая общности можно считать, что отбрасываются k первых его членов, сумма которых . Так как ряд сходящийся, то являются конечными величинами, поэтому так же является конечной величиной и, следовательно, ряд сходится.
Отсюда также следует, что если в расходящемся ряде отбросить конечное число членов, то ряд останется расходящимся.
Числовых рядов
Признаки сравнения рядов
Теорема 8.2(Первый признак сравнения рядов).
1. Если члены знакоположительного ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда , т. е. , то он сходится.
2. Если члены знакоположительного ряда не меньше соответствующих членов расходящегося ряда , т. е. , то он расходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое утверждение теоремы.
Пусть ряд сходится и его сумма равна .
Ряд знакоположительный, поэтому последовательность его n-ых частичных сумм монотонно возрастает при увеличении n.
Члены ряда
Онлайн-калькулятор сумм серииЧтобы рассчитать Сумма серии , нужно просто произвести суммирование по всем элементам ряда. Например:
5i1i21222324252149162555
В приведенном выше примере процедура суммирования была очень простой, поскольку она проводилась конечное число раз. Но что делать, если верхняя граница суммирования бесконечна? Например, нам нужно найти сумму следующего ряда:
∞i013i
Как и в предыдущем примере, эту сумму можно записать так:
Но что нам делать дальше ?! На этом этапе необходимо ввести понятие суммы частичного ряда.Так что сумма частичного ряда (обозначает S n )
называется суммой первых n
сроки серии.
Т.е. в нашем случае:
Sn130131132 … 13n
Зная это, мы можем вычислить сумму исходного ряда как предел от суммы частичного ряда:
S∞i013ilimn∞Snlimn∞130131132 … 13n
Следовательно, чтобы вычислить сумму ряда , нужно как-то найти выражение суммы частичного ряда (S № ).В нашем случае серия — убывающая геометрическая прогрессия с соотношением 1/3. Известно, что сумма первых п элементы геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
Snb1qn1q1
где б 1 — — первый элемент геометрического ряда (в нашем случае он равен 1) и д — — коэффициент геометрического ряда (в нашем случае 1/3).Следовательно, частичная сумма S н для нашей серии равно:
Sn111312332
Тогда сумма нашего ряда (S) в соответствии с определением, данным выше, равно:
S∞i013ilimn∞Snlimn∞3232
Приведенные выше примеры очень просты.
Обычно для вычисления суммы ряда требуется гораздо больше усилий, и основная сложность состоит в том, чтобы найти сумму частичного ряда.Приведенный ниже онлайн-калькулятор был создан на основе Wolfram Alpha и может находить суммы очень сложных рядов. Кроме того, когда калькулятор не может найти сумму ряда, это явный признак того, что этот ряд расходится (калькулятор выводит сообщение типа «сумма расходится»), поэтому наш калькулятор также косвенно помогает получить информацию о сходимости ряда.
Чтобы найти сумму вашего ряда, вам нужно выбрать переменную ряда, нижнюю и верхнюю границы, а также ввести выражение для n-й член серии.
ОбзорAP Calculus BC: конвергенция серий — Magoosh Blog
Серия — это сумма бесконечного числа членов. Но как можно сложить бесконечных вещей? Что ж, оказывается, иногда у нас получается именно это! Но сначала нам нужно понять концепции сходимости и расхождения рядов.
Бесконечная сходимость рядов может сначала показаться загадочной, но это , а не дело рук инопланетян…насколько я знаю.
Работа с серией
Как правило, ряд выражается либо записью нескольких терминов, чтобы установить образец, либо использованием сигма-нотации .
Здесь a n — это общий термин для серии.
Ознакомьтесь со следующей статьей для получения дополнительных объяснений, а также примеров: AP Calculus BC Review: Series Fundamentals.
Частичные суммы
Каждый раз, когда речь идет о бесконечности, мы должны быть особенно осторожны с нашими определениями.Так как же сложить бесконечное количество предметов? По одному элементу за раз! Это задание на частичных сумм .
Частичная сумма — это что-то вроде нарастающей суммы для ряда.
Пусть
будет рядом.Неполная сумма серии k th составляет:
Другими словами, k -я частичная сумма является суммой первых k членов ряда.
Первые четыре частичные суммы ряда:
Полезная особенность частичных сумм состоит в том, что они образуют последовательность ,
А затем мы определяем сходимость ряда в терминах сходимости этой последовательности частичных сумм.
Сходимость и расхождение серии— Определения
Серия Σ a n сходится к к сумме S тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм сходится к S . То есть ряд сходится, если существует следующий предел:
В противном случае, если предел с k (как k → ∞) бесконечен или не существует, то серия расходится на .
Пути, по которым серия может расходиться
Серия может расходиться по трем разным причинам:
- Ряд расходится до бесконечности (∞), если частичные суммы неограниченно увеличиваются.То есть с k → ∞.
- Ряд расходится до отрицательной бесконечности (-∞), если частичные суммы неограниченно уменьшаются. То есть с k → -∞.
- Если предел частичных сумм не существует и не равен ∞ или -∞, то мы просто говорим, что ряд расходится. Этот случай возникает всякий раз, когда последовательность частичных сумм колеблется между несколькими значениями или скачками случайным образом.
Проверка предела дивергенции
Существует быстрый и простой тест, который можно использовать, чтобы показать, что ряд расходится.(Однако его нельзя использовать для демонстрации сходимости ряда.)
Тест предельного расхождения: Если предел общего члена ряда не равен 0, то ряд расходится.
То есть, если
, то ряд Σ a n расходится. К сожалению, если предел все-таки окажется нулевым, то тест безрезультатно . Затем вам придется использовать дополнительные тесты сходимости, чтобы определить сходимость или расхождение рядов.
Давайте взглянем на несколько примеров.
Использование теста предельной дивергенции
Какие из следующих серий должны расходиться согласно тесту на расхождение?
Решения
Помните, что для этого вопроса нам разрешено использовать только тест на расхождение.
(a) При n → ∞ значения 2 n также приближаются к ∞. Суть в том, что предел 2 n определенно не равен 0.
Следовательно, ряд (а) расходится.
(б)
Здесь ответ непонятен. Предел 0 автоматически не означает, что ряды не расходятся. Таким образом, сам по себе тест на предельное расхождение ничего не может сказать здесь о сходимости или расхождении рядов.
Фактически, мы докажем, что этот ряд действительно сходится другими методами.
(c) Опять же, тест дивергенции неубедителен, потому что 1/ n → 0 при n → ∞.
Сейчас эта серия фактически расходится с .
Он называется Harmonic Series , и представляет собой просто сумму всех обратных натуральных чисел.
Нам понадобится другой метод, чтобы точно определить, расходятся ли гармонические ряды. Это далеко не очевидно!
(г)
При ненулевом пределе тест дивергенции окончательно утверждает, что этот ряд должен расходиться.
Геометрическая серия
Давайте подробнее рассмотрим примеры (а) и (б). Оба они относятся к серии геометрической серии .
Геометрический ряд — это сумма степеней постоянного основания.
Существует простой тест, позволяющий определить, сходится или расходится какой-либо геометрический ряд.
- Если | r | <1, то ряд сходится.
- Если | r | ≥ 1, то ряд расходится.
Кроме того, когда ряды сходятся, существует простая формула для нахождения его суммы:
Возвращаясь к Примеру (а), Σ 2 n представляет собой геометрический ряд с основанием r = 2.
Потому что | r | = 2 ≥ 1, этот ряд расходится. (Конечно, мы знали это уже из теста предельной дивергенции, но приятно видеть подтверждение из других источников.)
Ряд в Примере (b) также является геометрическим, но вы должны записать его в эквивалентной форме, чтобы понять, почему.
Здесь база равна 1/2, а поскольку | r | = 1/2 <1, теперь мы знаем, что этот ряд действительно сходится. Мы даже можем узнать стоимость суммы!
Другой способ сформулировать этот результат — сказать, что:
Итак, все дробные части, 1/2, 1/4, / 18 и т. Д.может уместиться бок о бок в единый интервал числовой прямой!
Линейка, показывающая, что сумма 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…. = 1.
Прочтите следующий пост, чтобы узнать больше о геометрической серии: AP Calculus BC Review: Geometric Series.
Интегральный тест
Наконец, давайте поговорим о тесте конвергенции, который может помочь в определенных особых ситуациях.
Интегральный тест: Предположим, что у нас есть серия Σ a n .
Если все следующее верно,
- общий член a n положителен для каждых n ,
- общие условия уменьшаются при увеличении n ,
- и формула a n = f ( n ) непрерывна,
, то ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл
. Здесь мы обычно принимаем нижний предел и равным нижнему пределу суммы.Что действительно хорошо в интегральном тесте, так это то, что он может проверять как сходимость , так и расхождение .
Давайте посмотрим, как это работает на Harmonic Series.
Общий член, a n = 1/ n , является положительным, убывающим и непрерывным (для положительных n , в любом случае).
Затем настройте интеграл. Не забудьте заменить n на x в формуле для общего термина.
Поскольку интеграл расходится (до ∞), расходится и ряд.
О Шоне Олте
Шон получил докторскую степень по математике в Университете штата Огайо в 2008 году (Go Bucks !!). Он получил степень бакалавра математики и информатику в Оберлинском колледже в 2002 году. Кроме того, Шон получил степень бакалавра искусств. из Консерватории Оберлина в том же году по специальности «музыкальная композиция». Шон по-прежнему любит музыку — почти так же, как математику! — и он (думает, что) может играть на пианино, гитаре и басу.Шон учил и обучал студентов математике около десяти лет и надеется, что его опыт поможет вам добиться успеха!
Политика в отношении комментариев в блоге Magoosh: Чтобы обеспечить максимальное удобство для наших читателей, мы будем одобрять и отвечать на комментарии, относящиеся к статье, достаточно общие, чтобы быть полезными для других студентов, краткие и хорошо написанные! 🙂 Если ваш комментарий не был одобрен, вероятно, он не соответствовал этим правилам.
Если вы студент Premium Magoosh и хотите более персонализированное обслуживание, вы можете использовать вкладку «Справка» на панели управления Magoosh.Благодаря!
ВВЕДЕНИЕ В СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
1 ВВЕДЕНИЕ В СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ БЕККИ-ЛАЙТЛ Аннотация. В этой статье мы обсуждаем основные идеи, связанные с последовательностями и сходимостью. Мы начнем с определения последовательностей, а затем объясним сходимость и расходимость, ограниченные последовательности, непрерывность и подпоследовательности.Будут даны соответствующие теоремы, такие как теорема Больцано-Вейерштрасса, и мы применим каждую концепцию к различным упражнениям. Содержание. Введение в последовательности 2. Предел последовательности 2.
Дивергенция и ограниченные последовательности 4 4. Непрерывность 5 5. Подпоследовательности и теорема Больцано-Вейерштрасса 5 Ссылки 7. Введение в определение последовательностей. Последовательность — это функция, область определения которой равна N и чья codomain — R. Для функции f: NR, f (n) является n-м членом в последовательности. Пример 2. Первый пример последовательности — x n = n.В этом случае наша функция f определяется как f (n) = n. В виде перечисленной последовательности чисел это будет выглядеть следующим образом: (.) (, 2 ,, 4, 5, 6, 7 …) Другой пример последовательности — xn = 5 n, которая будет выглядеть следующим образом : (.4) (5, 25, 25,) Мы знаем, что обе они являются допустимыми примерами последовательностей, потому что они представляют собой бесконечные списки действительных чисел и, следовательно, могут рассматриваться как функции с областью определения N. Пример 5. Следующее не будет примерами последовательностей: (.6) (, 2,) (.7) (500, 200, 550, 0000) Дата: 2 июля 205 г.
2 2 BECKY LYTLE Мы знаем, что это не примеры последовательностей, потому что это конечные списки действительных чисел. 2. Предел последовательности Предел описывает, как последовательность x n ведет себя в конечном итоге, когда n становится очень большим, в том смысле, который мы явным образом разъясняем ниже. Определение 2. Последовательность действительных чисел сходится к действительному числу a, если для каждого положительного числа ɛ существует N N такое, что для всех n N, a n — a <ɛ. Мы называем такое a пределом последовательности и пишем lim n a n = a.Предложение. Последовательность n сходится к нулю. Доказательство. Пусть ɛ> 0. Выберем N N так, чтобы N> ɛ. Такой выбор всегда возможен благодаря свойству Архимеда. Чтобы проверить, что этот выбор N является подходящим, пусть n N удовлетворяет n N. Тогда из n N следует n> ɛ, что равно n = n 0 <ɛ, доказывая, что n сходится к нулю по определению сходимости. Предложение 2. Примером последовательности, которая не сходится, является следующий: (2.
2) (,,,, …) Если последовательность не сходится, то говорят, что она расходится, что мы объясним позже в статье, вместе с объяснением, почему приведенная выше последовательность не сходится.Предложение. Если x n y n z n для всех n N и lim n x n = lim n z n = l, то lim n y n = l тоже. Доказательство. Пусть ɛ> 0. Мы хотим показать, что существует N такое, что для всех n> N, y n l <ɛ. Мы знаем, что x n l. Следовательно, существует такое N, что для всех n> N x n l <ɛ. Также мы знаем, что z n l. Следовательно, существует N 2 такое, что для всех n> N 2 z n l <ɛ. Пусть N = max (n, N 2) и n> N. Тогда n> N, поэтому x n l <ɛ. Кроме того, n> N 2, поэтому z n l <ɛ. Мы хотим показать, что y n l <ɛ.Это эквивалентно показу того, что и y n l <ɛ, и l y n <ɛ. Мы знаем, что y n z n, поэтому y n l z n l <. Кроме того, мы знаем, что y n x n, поэтому l y n l x n <ɛ. Теорема 2. (Алгебраическая предельная теорема). Пусть lim n a n = a и lim n b n = b. Тогда (i) lim n ca n = ca для всех c R (ii) lim n (an + bn) = a + b (iii) lim n (anbn) = ab (iv) lim n (an / bn) = a / b при условии b 0 Пример 2.
4. Если (x n) 2, то ((2x n -) /). Доказательство. Во-первых, мы начнем с информации, приведенной в примере: x n 2.Далее мы просто используем тот факт, что (4) (2) = 2. (2.5) xn () () 4 2
3 ВВЕДЕНИЕ В СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Теперь пусть an = xn, и пусть a = (4) (2), и пусть c = (2). Из алгебраической предельной теоремы мы знаем, что ca n ca. Тогда (2) (x n) (2) (4) (2), что равно следующему: 2x n (2.6) 4 Следующий шаг следует из того, что 4 = +. 2x n (2.7) + Пусть 2xn = a n, пусть (+) = a, пусть b n = (,, …), и пусть b =. Тогда по алгебраической предельной теореме мы знаем, что a n + b n a + b.Следовательно, мы знаем, что 2xn + (+) +, что равно следующему: 2x n (2.8) Этот последний шаг следует, потому что 2xn — = 2xn. 2x n (2.9) Следовательно, используя алгебраическую предельную теорему, мы показали, что если (x n) 2, то ((2x n -) /). Пример 2.0. Следующая последовательность сходится к предложенному пределу (2.) lim () 2n + = 2 5n n Доказательство. Пусть 5n + 4 будет n, пусть 5n + 4 будет b n, и пусть 2n + 5n + 4 будет c n, а c n = a n + b n.
По теореме 2. мы знаем, что lim (c n) = lim (a n + b n) = lim (a n) + lim (b n). Следовательно, мы должны определить, что такое lim (a n) и lim (b n).Сначала мы покажем, что lim (5n + 4) = 0. Пусть ɛ> 0. По принципу Архимеда существует N N такое, что N> / ɛ. Тогда для n> N 5n + 4 <5N + 4 0. Согласно принципу Архимеда, существует такое N, что / ɛ
4 4 BECKY LYTLE Мы должны проверить следующее: ( 2.4) 8 5 (5n + 4) <ɛ (2.5) Мы знаем, что неравенство 8 5 (5n + 4) <ɛ 8 5 (5n + 4) <ɛ верно для любого значения n, потому что n> N> / ɛ и ɛ. Поэтому нам нужно только показать, что выполняется неравенство 8 5 (5n + 4) <. Используя тот факт, что N> / ɛ, мы можем сказать следующее: (2.
6) Тогда 8 5 (5n + 4) <8 5 (5 (/ ɛ) + 4) = 8ɛ ɛ 8ɛ 25 + 20ɛ <8ɛ 25 < ɛ.Следовательно, 8 5 (5n + 4) <ɛ. Пример 2.7. Пусть x n 0. Если (x n) 0, то (x n) 0. Доказательство. Сначала нам нужно доказать, что lim (x n) существует. Мы знаем, что x n уменьшается, но больше или равно 0 для всех значений n. Квадратный корень из положительного числа также положительный. Следовательно, x n 0. Также обратите внимание, что если 0 
Напомним предложение 2, в котором говорится, что следующая последовательность не сходится: (.) (,,, …) Далее в этой статье мы дадим краткое доказательство этого факта. Сравните это со следующей последовательностью, которую мы видели (.4) (, 2 ,, 4, 5, 6, 7 …) Это сходится к нулю, как мы доказали ранее в этой статье. Однако в этих последовательностях есть нечто общее. Оба они ограничены. Определение 5. Последовательность (x n) ограничена, если существует число M> 0 такое, что x n M для всех n N. Геометрически это означает, что мы можем найти интервал [M, M], который содержит каждый член в последовательности (x n).
5 ВВЕДЕНИЕ В СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 5 Пример.6. Дана последовательность x n = (, 2 ,, 2 ,, 2…), мы видим, что интервал [, 2] содержит каждый член в x n. Следовательно, эта последовательность является ограниченной последовательностью. Пример 7. Учитывая последовательность x n = (0, 00, 000, 0000, …), мы можем видеть, что не существует действительного числа, которое служит верхней границей, потому что lim (x n) — бесконечность.
Следовательно, не существует интервала, содержащего каждый член последовательности x n, и x n не является ограниченной последовательностью. Теорема 8. Каждая сходящаяся последовательность ограничена. Пример 9. Иллюстрируемая теорема: Пусть x n = n + n, что является следующей последовательностью: (2 (.0), 2, 4, 5) 4 … Мы знаем, что это сходится, и можем проверить это, используя ту же логику, которая использовалась в доказательстве при определении сходимости, показывающем, что n сходится к нулю. Следовательно, когда n становится очень большим, x n приближается, но никогда не становится равным. По приведенной выше теореме мы знаем, что эта последовательность ограничена, поскольку она сходится. Мы можем видеть, что x n — убывающая последовательность, поэтому x — это наибольшее значение последовательности и верхняя граница. Предел последовательности ,, — это нижняя граница. Интервал, который содержит каждый член в последовательности x n, равен (, 2].4. Теорема о непрерывности 4. Если f: R R непрерывно, из x n x следует f (x n) f (x).
Пример 4.2. Применяемая теорема: пусть f (x) = x. Эта функция является непрерывной. Пусть lim (x n) = 5. По порядку, x n 5. По теореме выше это означает, что f (x n) f (5). Это равно x n () (5), которое также равно x n 5. Следовательно, мы можем увидеть, каков предел f (x n), используя эту теорему. Пример 4 .. Теорема неверна, когда функция не является непрерывной: Пусть f (x) будет x, прерывистой функцией. Мы знаем, что это не непрерывно, потому что в x = 0 существует асимптота.Пусть x n равно n. Мы знаем, что это сходится к нулю на основании предыдущего доказательства. Посмотрим, не верна ли теорема о непрерывности для прерывной функции f. Теорема утверждает, что f (x n) сходится к f (x), если x n x. Мы знаем, что x n 0, поэтому, если теорема работает, то f (x n) f (0). Но f (0) = 0, которого не существует. Следовательно, f (x n) не может сходиться к / 0, и теорема неверна для этой прерывистой функции. 5. Подпоследовательности и теорема Больцано-Вейерштрасса. Определение 5 .. Пусть (a n) — последовательность действительных чисел, и пусть n 
.. быть возрастающей последовательностью натуральных чисел. Тогда последовательность (a n, a n2, a n, a n4 …) называется подпоследовательностью (a n) и обозначается (a nk), где k N индексирует подпоследовательность.
6 6 BECKY LYTLE Пример 5.2. Пусть x n = n = (, 2 ,, 4 подпоследовательности: …). Ниже приведены два примера верных (5.) (, 6, 9, 2 …) (5.4) (20, 200,) Теорема 5.5. Теорема Больцано-Вейерштрасса: каждая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. Пример 5.6. Дана последовательность x n = (, 2,, 4,, 2,, 4…) можно найти сходящуюся подпоследовательность. Доказательство. Мы знаем, что эта последовательность ограничена интервалом [, 4]. По теореме Больцано-Вейерштрасса мы можем сказать, что действительно существует сходящаяся подпоследовательность x n. Просто взглянув на эту последовательность, мы можем увидеть четыре сходящиеся подпоследовательности: (,, …), (2,2,2 …), (,, …) и (4,4,4 .. .). Эти подпоследовательности сходятся к, 2 ,, и 4 соответственно.
Пример 5.7. Для неограниченной последовательности x n подпоследовательности x n не существует = (, 2,, 4,5 …), сходящееся Доказательство.Сходящаяся подпоследовательность не обязательно существует, потому что эта последовательность не удовлетворяет теореме Больцано-Вейерштрасса. Напомним, что любая подпоследовательность последовательности не повторяется и находится в порядке исходных записей x n. Обратите внимание, что x n увеличивается для всех значений n и расходится, учитывая, что последовательность продолжается до бесконечности. Следовательно, для любой подпоследовательности a n значения также будут увеличиваться в сторону бесконечности, и подпоследовательность также будет расходящейся. Теорема 5.8. Подпоследовательности сходящейся последовательности сходятся к тому же пределу, что и исходная последовательность.Пример 5.9. Вернемся к примеру расходящейся последовательности, который был дан под определением дивергенции. Напомним, что эта последовательность x n была (, — ,, — ,, -..
.). Одна подпоследовательность x n — это (,,, …). Эта подпоследовательность сходится к. Другая подпоследовательность x n — это (-, -, -, …). Эта подпоследовательность сходится к -. Теперь докажем, что x n расходится от противного. Предположим, что x n сходится. Тогда по указанной выше теореме все его подпоследовательности сходятся к lim (x n), что означает, что все его подпоследовательности сходятся к одному и тому же значению.Две указанные выше подпоследовательности x n сходятся к разным значениям. Следовательно, это противоречит нашей исходной гипотезе о том, что x n сходится. Затем мы можем сделать вывод, что x n расходится. Благодарности. Я хотел бы поблагодарить двух моих наставников, Шона Хоу и Эбби Уорд, за то, что они встречались со мной каждую неделю во время моего пребывания в программе. Большое вам спасибо за то, что вы предложили эту тему, объяснили мне все, что меня смущало, отредактировали и помогли с моей статьей, и успокоили меня, когда я был перегружен.Я также хотел бы поблагодарить Питера Мэя за организацию этого замечательного REU и за предоставленную мне возможность участвовать.