сайт школы №127 — Системы счисления_1
Важно и полезно Информация Школа сегодня Общение Навигатор Детства Школьная группа ВК Большая перемена Засветись! Госуслуги Статистика | Системы счисления_1Системы счисления.Формы записи чисел в позиционных системах счисления Система счисления или нумерация — это способ записи (обозначения) чисел. Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.
Позиционные системы счисления Основные достоинства любой позиционной системы счисления:
Разряд — позиция цифры в числе. Развернутая запись числа a=±(an-1Pn-1+an-2Pn-2+. ..+a0P0+a-1P-1+a-2P-2+…+a-mP-m) Здесь: Свернутая запись числа — запись числа в виде а=an-1an-2…a0,a-1а-2…a-mP-m 10-я система счисленияОснование: 10 Пример: а10 = 2012 — свернутая форма записи 2-я система счисленияОснование: 2 Пример: а2 = 1011 — свернутая форма записи 8-я система счисленияОснование: 8 Пример: а8 = 3752 — свернутая форма записи 16-я система счисленияОснование: 16 Пример: а16 = 2A9E — свернутая форма записи
|
Простая информатика — Система счисления
Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков – цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления – это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. А во второй – I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.
В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:
11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1.
II – здесь обе единицы обозначают единицу.
345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50, а в третьем – 500.
XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.
Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.
В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.
Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.
Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.
Разряд — это позиция цифры в числе. Разрядность числа — количество цифр, из которых состоит число (например, 264 — трехразрядное число, 00010101 — восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка — третий).
Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления. (придумать схему)
Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.
Двоичная система счисления
В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)
Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.
В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.
Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.
Попробуем считать в двоичной системе:
0 – это ноль
1 – это один (и это предел разряда)
10 – это два
11 – это три (и это снова предел)
100 – это четыре
101 – пять
110 – шесть
111 – семь и т.д.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную
Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.
В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:
1476 = 1000 + 400 + 70 + 6
Можно пойти еще дальше и разложить так:
1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100
Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 — это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.
Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:
10001001 = 1*27 + 0*2
Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:
1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137
Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:
100010012 = 13710
Почему двоичная система счисления так распространена?
Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.
Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:
77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)
Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:
1001101 = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77
Восьмеричная система счисления
Итак, современное «железо понимает» лишь двоичную систему счисления.
В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствуют набор из трех цифр в двоичной системе счисления:
000 – 0
001 – 1
010 – 2
011 – 3
100 – 4
101 – 5
110 – 6
111 – 7
Для преобразования двоичного числа в восьмеричное достаточно разбить его на тройки и заменить их соответствующими им цифрами из восьмеричной системы счисления. Разбивать на тройки нужно начинать с конца, а недостающие цифры в начале заменить нулями. Например:
1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135
Т. е число 1011101 в двоичной системе счисления равно числу 135 в восьмеричной системе счисления. Или 10111012 = 1358.
Обратный перевод. Допустим, требуется перевести число 1008 (не заблуждайтесь! 100 в восьмеричной системе – это не 100 в десятичной) в двоичную систему счисления.
1008 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002
Перевод восьмеричного числа в десятичное можно осуществить по уже знакомой схеме:
6728 = 6 * 82 + 7 * 81 + 2 * 80 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 82 + 0 * 81 + 0 * 80 = 6410
Шестнадцатеричная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления, так же как и восьмеричная, широко используется в компьютерной науке из-за легкости перевода в нее двоичных чисел. При шестнадцатеричной записи числа получаются более компактными.
В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).
При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системе счисления:
Например:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5
Если потребуется, то число 4C5 можно перевести в десятичную систему счисления следующим образом (C следует заменить на соответствующее данному символу число в десятичной системе счисления – это 12):
4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221
Максимальное двухразрядное число, которое можно получить с помощью шестнадцатеричной записи — это FF.
FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255
255 – это максимальное значение одного байта, равного 8 битам: 1111 1111 = FF. Поэтому с помощью шестнадцатеричной системы счисления очень удобно кратко (с помощью двух цифр-знаков) записывать значения байтов. Внимание! Состояний у 8-ми битного байта может быть 256, однако максимальное значение – 255. Не забывайте про 0 – это как раз 256-е состояние
Разрядное значение — диаграммы с десятичными знаками
Разрядное значение в математике описывает значение каждой цифры в числе в зависимости от ее положения. Эти позиции начинаются с разряда единиц (единиц). Порядок разряда цифр в числе справа налево выражается единицами/единицами, десятками, сотнями, тысячами, десятками тысяч и так далее.
1. | Что такое разрядное значение? |
2. | 9Таблица стоимости места 0009|
3. | Таблица разрядов с десятичными знаками |
4. | Разрядная стоимость и номинальная стоимость |
5. | Часто задаваемые вопросы о стоимости места |
Что такое разрядное значение?
Разрядное значение — это значение каждой цифры в числе. Значение каждой цифры в числе зависит от ее положения. Число может иметь две одинаковые цифры, но разные значения, что определяется позицией, которую занимает цифра в числе.
Разрядное значение Значение
Разрядное значение — это значение цифры в соответствии с ее положением в числе, например единицы, десятки, сотни и т. д. Например, разрядное значение 5 в 3458 равно 5 десяткам или 50. Однако разрядное значение 5 в 5781 выражается как 5 тысяч или 5000. Важно понимать, что цифра может быть одной и той же, но ее значение зависит от ее положения в числе.
Пример: Запишите разрядность каждой цифры в числе 543.
Решение: Правильное значение разряда каждой цифры в числе может быть выражено следующим образом:
- 5 × 100 = 500 или 5 сотен
- 4 × 10 = 40 или 4 десятка
- 3 × 1 = 3 или 3 единицы
Таблица стоимости мест
Таблицы разрядов помогают нам убедиться, что цифры выровнены в правильных местах. Диаграмма разряда показывает правильное положение или место цифры в числе. Чтобы точно определить позиционные значения или ценность различных цифр в числе, мы сначала записываем данные цифры в диаграмму разрядности, чтобы проверить их положение. Чтобы упростить процесс, большие числа разбиты на точки, разделенные запятыми. Наиболее часто используются два типа диаграмм стоимости мест:
- Индийская таблица разрядности
- Таблица международных разрядов
Мы можем обратиться к международной или индийской диаграмме стоимости мест, основанной на системе счисления, которой следуют обе диаграммы. Индийская диаграмма стоимости места основана на индийской системе счисления, в то время как международная диаграмма стоимости места основана на международно принятой системе счисления. Основное различие между индийской и международной системами счисления заключается в размещении разделителей (запятых) и номенклатуре различных разрядных значений.
Индийская диаграмма разрядности
Индийская диаграмма разрядности представляет собой таблицу, которая используется для определения значения каждой цифры в числе в зависимости от ее положения в соответствии с индийской системой счисления. На этой диаграмме стоимости места 10-значное число сгруппировано в периоды единиц, тысяч, лакхов, крор и так далее. Эти числа разделяются запятыми по правилу 3:2:2. Это означает, что начиная справа первая запятая ставится после 3 цифр, затем следующие запятые ставятся после каждых 2 цифр. Например, обратите внимание на запятые в следующем числе: 5,43,13,62,283
Обратите внимание на приведенную ниже таблицу индийских разрядов, которая показывает разрядность цифр до десяти крор.
Международная таблица стоимостей мест
Международная система счисления используется во всем мире, в которой мы считаем в порядке единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов и так далее. В этой диаграмме разрядности числа сгруппированы в периоды единиц, тысяч, миллионов и т. д. и разделены запятой после каждых трех цифр, начиная справа. Например, обратите внимание на запятые в следующем числе: 135,912 332. Обратите внимание на приведенную ниже международную диаграмму разрядности, которая показывает разрядность цифр до сотен миллионов.
Пригодные для печати таблицы разрядной стоимости
Запоминание и решение задач по системам разрядной стоимости становится проще с помощью печатаемой таблицы разрядной стоимости. На этих диаграммах значения мест напечатаны в табличной форме через пробелы для каждой цифры в числе. Обращаясь к этим диаграммам для решения проблемы, мы можем напрямую поместить цифры в их соответствующие позиции в соответствии с цифрами в числе и соответственно оценить их позиционные значения.
Таблица разрядов с десятичными знаками
Таблица значений десятичных разрядов показывает разрядность цифр в десятичном числе. Десятичная система счисления используется для выражения целых чисел и дробей вместе с помощью десятичной точки. Эта десятичная точка находится между целой частью числа и дробной частью. В то время как целая числовая часть следует обычной таблице разрядов единиц, десятков, сотен и т. д., есть небольшая разница в разрядах чисел справа от десятичной точки. Если мы пойдем вправо после запятой, значения разрядов начнутся с десятых и продолжатся как сотые, тысячные и так далее. Первое место справа от запятой стоит на одной десятой (1/10 -й ), следующая 1/100 и так далее. Обратите внимание на следующую таблицу значений разрядов для десятичных чисел.
Разрядная стоимость и номинальная стоимость
Номинальная стоимость цифры в любом числе — это сама цифра. Независимо от того, является ли число однозначным, двузначным или любым числом, каждая цифра имеет свое номинальное значение. Давайте разберемся в этом на следующих примерах.
- Если задано число 4, то номинал 4 равен 4, а разряд 4 также равен 4 (4 единицы = 4 × 1 = 4).
- Для заданного числа 78 номинальная стоимость 7 равна 7, а разрядность равна 70 (7 десятков = 7 × 10 = 70).
- Для 52369 номинальная стоимость 3 равна 3, а разрядная стоимость равна 300 (3 сотни = 3 × 100 = 300).
Разница между разрядным значением и номиналом
Разрядное значение описывает позицию цифры в заданном числе. С другой стороны, номинал представляет собой само число. Возьмем в качестве примера число, скажем, 1437. Таблица, приведенная ниже, объясняет разницу между разрядным значением и номиналом цифр в этом числе.
Цифры в номере 1437 | Место Значение | Номинальная стоимость |
---|---|---|
1 | 1 тысяча (1 × 1000 = 1000) | 1 |
4 | 4 Сотни (4 × 100 = 400) | 4 |
3 | 3 Десятки (3 × 10 = 30) | 3 |
7 | 7 Единицы или единицы ( 7 × 1 = 7) | 7 |
Разрядное значение в числах
Разрядное значение в числах может быть выражено двумя различными способами. Например, разрядное значение 4 в числе 2458 может быть выражено как 4 сотни или 400. В другом примере разрядное значение 4 в числе 4681 выражается как 4 тысячи или 4000.
Проще говоря, если нам нужно выразить значение разряда в числовой форме, мы просто умножаем число на имя столбца, к которому оно относится. Например, если нам нужно найти значение разряда 5 в 67538, мы сначала поместим данное число под таблицу значений разряда так, чтобы каждая цифра была правильно размещена в соответствующем столбце. В этом случае мы видим, что 5 находится в столбце сотен. Итак, мы можем сказать, что разрядное значение числа 5 равно 5 × 100 = 500. Следовательно, разрядное значение числа 5 равно 500 в данном числе.
☛ Статьи по теме
- Калькулятор стоимости места
- Разница между разрядной стоимостью и номинальной стоимостью
Часто задаваемые вопросы о стоимости места
Что такое разрядное значение в математике?
Разрядное значение — это значение каждой цифры в числе. Значение каждой цифры в числе зависит от ее положения. Число может иметь две одинаковые цифры, но разные значения, что определяется позицией, которую занимает цифра в числе. Например, разрядное значение ‘9’ в числе 8934 будет 9 сотен или 900, потому что 9 стоит на разряде сотен.
Какое место занимает число 6 в 64?
Так как 6 стоит в разряде десятков, разрядное значение 6 в 64 равно 6 десяткам, т. е. 6 × 10 = 60.
Каков пример разрядного значения в числах?
Разрядное значение представляет ценность цифры в числе. Несколько примеров разрядных значений приведены ниже:
Каково разрядное значение числа 5 из 50?
Разрядное значение — это значение каждой цифры в числе. Порядковый номер цифры 5 в числе 50 равен 5 десяткам, т. е. 5 × 10 = 50,
Что такое разрядная стоимость и номинальная стоимость с примером?
Номинал цифры в любом числе — это сама цифра, а разрядность — это ее позиция в числе. Например, номинальная стоимость 7 в числе 2769 равна 7, а разрядная стоимость равна 7 сотням или 700.
Что такое таблица разрядов?
Таблица значений разрядов — это таблица, которая используется для определения значения каждой цифры в числе на основе ее положения в системе счисления. Чтобы точно определить ценность различных цифр в числе, мы помещаем данное число в таблицу разрядности так, чтобы было видно разрядность каждой цифры. Чтобы упростить процесс, большие числа разбиты на точки, разделенные запятыми. Наиболее часто используются два типа диаграмм места: индийская диаграмма места и международная диаграмма места.
Как составить таблицу стоимостей мест?
Чтобы составить диаграмму разрядности, мы можем использовать следующие шаги:
- Шаг 1: Нарисуйте столбцы, показывающие разные периоды в зависимости от типа системы счисления: единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д.
- Шаг 2: Под каждым периодом нарисуйте подстолбцы, чтобы показать различные значения места.
Вы можете обратиться к индийской диаграмме разрядной стоимости и международной таблице разрядной стоимости в приведенных выше разделах для разных периодов и разрядных значений цифр в числе в соответствии с типом системы счисления.
Почему значение разряда в числах важно?
Концепция разряда в числах важна, поскольку она дает значение каждой цифры в числе в соответствии с ее положением. Сущность чисел в целом можно понять только через знание разрядных значений.
Каково разрядное значение нуля?
Позиционное значение нуля всегда равно нулю. Например, в данном числе 4078 ноль стоит под разрядом сотен. Итак, это выражается как 0 сотен, то есть 0 × 100 = 0,9.0005
Как найти разрядное значение в десятичных числах?
В десятичных числах порядковый номер цифр после запятой выражается немного по-другому. Мы знаем, что десятичное число состоит из целого числа и дробной части, которая пишется после запятой. Целая числовая часть следует обычной таблице разрядов единиц, десятков, сотен. Теперь, если мы пойдем вправо после запятой, разрядные значения начинаются с десятых и продолжаются как сотые, тысячные и так далее. Например, запишем разрядное значение всех цифр в следующем десятичном числе: 578,43
- 5 находится в столбце сотен, следовательно, разрядное значение числа 5 равно 5 сотням, или 5 × 100 = 500 .
- 7 находится в столбце десятков, следовательно, разряд 7 равен 7 десяткам, или 7 × 10 = 70
- 8 находится в столбце единиц, следовательно, разрядное значение числа 8 равно 8 единицам, или 8 × 1 = 8 .
- 4 находится под столбцом десятых, поэтому разрядное значение 4 равно 4 десятым, или 4/10 = 0,4
- 3 находится под столбцом сотых, поэтому разрядное значение 3 равно 3 сотым, или 3/100 = 0,03
терминология — Какой правильный термин для обозначения положения цифры в числе?
Задавать вопрос
спросил
Изменено 5 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 1к раз
Я пишу документацию для базы кода и хочу, чтобы моя документация была максимально ясной и недвусмысленной. Я ищу правильный термин для обозначения положения цифры в числе.
Возьмите число 00100000, и я хочу сослаться на позицию 1. До сих пор я придумал бит «размещение»; однако неясно, в каком направлении увеличивается размещение бит, без дополнительных объяснений. Я знаю, что начальный бит называется «самым значащим битом», а самый правый — «младшим значащим битом»; следовательно, имеет ли смысл использовать термин «значение бита» или существует математический термин для его описания?
Пример того, как я планирую использовать этот термин: размещение 1 равно 5, или значение 1 равно 5. 6
В позиционной системе счисления вес каждой цифры определяется ее позицией в числе .
1
Это вопрос как по информатике, так и по английскому языку. Битовые позиции в числовом слове имеют запутанные аспекты. Мы читаем слева направо, но биты нумеруются справа налево. Кроме того, младший бит называется «бит 0», а не «бит 1». Таким образом, , а не изначально ясно для носителей английского языка в целом, является ли «пятый» бит 5-м справа или 5-м слева. Даже программисты могут запутаться, особенно новые «дети», которых часто учат языкам высокого уровня без базовых знаний об оборудовании или даже языке ассемблера.
Теперь к самому вопросу. Я бы подошел к этому одним из двух способов. Если бы я знал, что документацию следует читать от начала до конца, я бы включил в начало короткий раздел с рисунком числового слова и его битов и объяснил, что бит 0 находится справа, а бит 1 — рядом с ним. и т.д. На чертеже можно было бы все это показать. Затем в остальной части документа просто укажите «бит 7» или «бит 23», как если бы читатель понял, что вы имеете в виду. Другой распространенной технической формой является то, что «бит 0» — это 9.0311 1-битный , «бит 1» — это 2-битный , «бит 4» — это 16-битный и т.