Построить график неявной функции онлайн: График неявной функции · онлайн

Калькулятор Интегралов • По шагам!

Поддержка

Вам помог мой калькулятор? Расскажите своим друзьям об этом Калькуляторе и Вы тоже сможете мне помочь!

Наверху страницы введите функцию, которую Вы хотите проинтегрировать. Переменная интегрирования, пределы интегрирования и другие параметры могут быть изменены в разделе «Настройки«. Нажмите «=» чтобы запустить интегрирование/нахождение первообразной функции. Результат будет показан ниже на этой странице.

Как работает Калькулятор Интегралов

Для тех кому интересны технические подробности, в этой части рассказывается как устроен и работает Калькулятор Интегралов.

Сначала синтаксический анализатор (па́рсер) анализирует исходное математическое выражение. Он преобразует его в форму более удобную для компьютера, а именно в форму дерева (см. картинку ниже). В процессе такого преобразования, Интегральный Калькулятор должен соблюдать порядок операций с учетом их приоритета. Так же, как и то, что в математических выражениях знак умножения часто опускается, например, мы обычно пишем «5x» вместо «5*x». Калькулятор Интегралов должен уметь понимать такие случаи и сам добавлять знак умножения.

Па́рсер написан на JavaScript, и основывается на алгоритме сортировочной станции, поэтому может исполняться прямо в браузере. Это дает возможность генерировать удобочитаемое выражение на ходу, преобразуя получающееся дерево в код для LaTeX (Ла́тех). С помощью MathJax происходит генерация картинки и ее отображение в браузере.

По нажатию кнопки «=», Калькулятор Интегралов отправляет математическое выражение вместе с параметрами (переменной интегрирования и пределами интегрирования) на сервер, где оно анализируется еще раз. В этот раз выражение преобразуется в форму которая будет понятна системе компьютерной алгебры Maxima (Ма́ксима).

Ма́ксима вычисляет интеграл математической функции. Результат Ма́ксимы снова преобразуется в Ла́тех а затем показывается пользователю. Первообразная вычисляется с помощью алгоритма Ри́ша, который достаточно замысловат для понимания человеком. Именно поэтому задача показывать промежуточные шаги решения интегралов является такой сложной.

Для того чтобы всё-таки показать пошаговое решение, Калькулятор Интегралов использует такие же методы, которыми бы воспользовался человек. Алгоритм, который это осуществляет, разрабатывался в течении нескольких лет и был написан на собственном языке программирования Ма́ксимы. Программа содержит более чем 17000 строк кода. Если интегрируемое выражение совпадает по форме с уже известным, алгоритм применяет заранее определённые правила для решения интеграла (например, метод неопределённых коэффициентов для рациональных функций, тригонометрическую подстановку в интегралах с квадратным корнем из квадратичной функции или интегрирование по частям для продуктов определенных функций). Если же оно не совпадает с уже известным, тогда алгоритм пробует разные подстановки и преобразования пока интеграл не будет решен или пока не закончится отведённое для этого время или же пока не кончатся все возможные варианты. С одной стороны, у Калькулятора нет математической интуиции, которая бы очень помогла в поисках первообразной, но зато, с другой стороны, Калькулятор в состоянии перепробовать большое количество разных вариантов за очень короткое время. Такое пошаговое вычисление первообразной по правилам, зачастую, более компактно и элегантно чем вычисленное Ма́ксимой.

Еще один режим работы «Проверка  решения» должен решить сложную задачу по определению являются ли два математических выражения равными друг другу. Разница между выражениями вычисляется и упрощается с помощью Ма́ксимы настолько, насколько это возможно. К примеру, это может быть переписывание тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальные формы. Если удается упростить разницу до нуля — задача выполнена. В противном случае, применяется вероятностный алгоритм, который вычисляет и сравнивает оба выражения в случайно выбранных местах. В случае с первообразной, вся процедура повторяется для каждой производной, т.к. первообразная может отличаться константой.

Интерактивные графики функций вычисляются в браузере и отрисовываются на Сanvas («Холст») из HTML5. Для каждой математической функции, которая должна быть отрисована, Калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется с шагом, необходимым для правильного отображения графика. Все сингулярности (например  полюса) функции обнаруживаются в процессе отрисовки и обрабатываются отдельно. Управление жестами для мобильных устройств сделано на основе hammer.js.

Если у Вас есть вопросы или пожелания, а так же идеи как улучшить Калькулятор Интегралов, пожалуйста пишите мне на e-mail.

2.5. Производная неявной функции и параметрически заданной функции.

Для нахождения производной функции y, заданной неявно, т.е. уравнением , нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая y как функцию от x, а затем из полученного уравнения найти .

 Пример 2.10. Найти и найти её значение в точке , если .

Решение.

Дифференцируем уравнение: . 

В параметрически заданной функции зависимость y от x выражена через параметр t: , . Производная такой функции находится по правилу:

.

Производная второго порядка может быть найдена по формуле: .

Но можно найти вторую производную и так: . Подобным образом можно получить формулы для производных по x порядка через производные от

x и y по t : и т.д.

 Пример 2.11. Найти для

Решение.

Найдем , затем .

=. 

-Пуаро,- сказал я. – Я только что думал…

— Очаровательное занятие, мой друг. Не

гнушайтесь им и впредь.

А.Кристи. Загадка Эндхауза.

☼ Упражнения 2.8. Найти производные первого и второго порядков для функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) . ☼

3. Исследование функций и построение графиков.

0. Основные положения исследования функции.

С помощью производной 1-го порядка можно находить промежутки монотонности функции и точки ее экстремумов. Если , то функция возрастает на . Если , то функция убывает на (рис.1).

Рис. 1.

Если функция непрерывна в точке и производная при переходе через точку слева направо меняет знак с «+» на с «-» (с «-» на с «+»), то является точкой максимума (минимума), а значение — максимумом (минимумом) функции (рис.2). В обоих случаях точка называется точкой экстремума, а значение —

экстремумом функции (рис.2)

Рис.2.

С помощью производной второго порядка находятся промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции. Если (<0) , то возрастает (убывает) на , угловой коэффициент к графику функции увеличивается (уменьшается)и график является вогнутым (выпуклым) на (рис.3). Точка, в которой вторая производная меняет знак, называется точкой перегиба функции .

Рис.3.

Для построения графика функции полезно найти асимптоты. Прямая является вертикальной асимптотой графика непрерывной функции , если хотя бы один из односторонних пределов в точке a равен бесконечности: или . Асимптота называется горизонтальной, если . Прямая является

наклонной асимптотой непрерывной кривой , , .

0. Схема построения графика функции.

Чтобы не попасть в капкан,

чтобы в темноте не заблудиться,

чтобы никогда в пути не сбиться,

чтобы в нужном месте приземлиться,

приводниться,-

начерти на карте план.

Если даже есть талант-

чтобы не нарушить, не расстроить

чтобы не разрушить, а построить,

чтобы увеличиться, удвоиться, утроиться

нужен очень точный план.

В. Высоцкий. Песня Алисы о планах.

1. Найти область D значений x, где функция определена.

2. Найти точки , , , где или производная не существует,

в частности равна . Вычислить значения в этих точках: , , , если они существуют, и определить, не являются ли они точками максимума или минимума. Если не определена в какой-либо из точек , то важно знать пределы , , а также , , если они имеют смысл.

3. Область D разделяется точками на интервалы , на каждом из которых . Среди них могут быть бесконечные интервалы вида или . Будем считать, что производная непрерывна на каждом таком интервале . Тогда на сохраняет знак. Выясним, какой это знак. Тогда будет известно, возрастает или убывает функция на .

4. Важно отметить на каждом интервале точки , , , где , и определить соответствующие значения функции , , . В этих точках могут быть точки перегиба кривой . Эти точки делят на интервалы, на которых вторая производная , если она существует, сохраняет знак. Выяснение знака даёт возможность узнать направление выпуклости кривой.

5. По возможности решить уравнение и выяснить интервалы, на которых сохраняет знак (,).

6. Выяснить вопрос о существовании асимптот, то есть найти пределы , .

7. На основе сведений построить график функции .

 Пример 3.1. Исследовать функцию и построить её график.

1. .

2. Функция общего вида.

3. , , поэтому вертикальных асимптот нет.

4. Так как функция не определена при и , понятие горизонтальной или наклонной асимптоты для неё не имеет смысла.

Экстремумы и интервалы монотонности: , при , .

6. Точки перегиба и интервалы выпуклости:

,

, поэтому и функция выпукла вверх на отрезке . Точек перегиба нет.

График функции представлен на рис. 4. 

Рис. 4.	Рис. 5.

 Пример 3.2. Исследовать функцию и построить её график.

1. .

2. Функция общего вида.

3. Вертикальных асимптот нет.

4. , поэтому горизонтальных асимптот нет.

Есть ли наклонные асимптоты? ,

– наклонная асимптота.

Экстремумы и интервалы монотонности: , при , не существует при , при .

– точка локального максимума, ; – точка локального минимума, .

6. Точки перегиба и интервалы выпуклости:

,

при , не существует при . – точка перегиба.

7. при и .

График функции представлен на рис. 5.



— Задай еще вопрос. Какое же наслаждение

наблюдать за работой собственной головы,

решающей мировые проблемы!

Р. Бах. Иллюзии

☼ Упражнения 3.1. Построить графики функций:

1) ; 2); 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10)

11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) ; 21) ;

22) ; 23) ; 24) ; 25) ;

26) ; 27) . ☼

Я просил его присутствовать, ибо сегодня он

услышит ответы на свои вопросы.

Дж.Р.Р. Толкин. «Властелин Колец».

Ответы, указания.

Equation Grapher — Граф неявных функций

Этот бесплатный онлайн-график уравнений предназначен для построения графиков общих уравнений G(x,y) = F(x,y) , где переменные x и y могут появляться обе части уравнения. С помощью графического редактора уравнений вы также можете построить графики неявных функций , стандартных и общих форм из конических сечений и кривых уровня .

Ан график уравнений — это графический калькулятор , который рисует график любого уравнения формы G(x,y) = F(x,y) , где каждая сторона представляет собой выражение, которое может содержать x и y.

Устройство для построения графиков уравнений является более общим графическим инструментом, чем средство построения графиков функций , которое только рисует график уравнений в форме y = f(x) , где правая часть представляет собой выражение в x только.

Графический калькулятор уравнений также можно использовать для построения графика неявно определенных функций .

Для графических уравнений знак равенства должен использоваться для ввода обеих частей уравнения. Это позволяет отображать, например, уравнения линий в точках-наклонах форм, уравнения конических сечений ( окружностей , парабол , гипербол и эллипсов ) и 30 кривых уровня4 как неявные функции .

Советы: по мере ввода:

• пи заменяется на π .

МышьМатикс! Вы можете использовать мышь для поворота оси, перемещения и изменения масштаба

В дополнение к вводу данных — сначала нажав кнопку шестеренки — вы можете использовать мышь для выполнения некоторых функций, уникальных для этого интерактивного полярного графографа как изложены ниже.

• Щелкните по оси (или рядом с ней) и переместите мышь. Это будет вращать ось . графики перерисованы в обобщенной полярной системе координат . Нажмите еще раз, чтобы освободить ось.
• Перетащите мышь на , переместите систему координат вместе с графиками.
• Дважды щелкните на холсте, чтобы переместить исходную точку туда, где был сделан щелчок.
• Удерживая клавишу Alt, щелкните по оси до изменить масштаб (увеличение в одном направлении) ; в точка, по которой был сделан щелчок, будет помечена как «1» (или «-1») и станет новой единицей измерения для этой оси.

Анимация вращения оси: Икс у ► ⬛

сообщение

 

f(x) =

?

f( ) =

 

⌨

4 Десятичные разряды

Graph FinenessBest (медленно)+2+1Normal-1-2Fast (низко)

Label Axes ось x: ось y: Повернуть оси Ось x°: Ось Y°:

⚙

РезультатыСкрыть 92 грех (ху) = потому что (ху)

РАД Полярный

🔍+ 1 🔍−

время построения графика (с)

Калькулятор загружается.
Пожалуйста, подождите….

Сделайте это прозрачным

Толщина графика Угловой режим РАД градус ГРД График по мере ввода (взаимодействие) Скрыть оси Скрыть сетки Показать интерфейс анимации осей

. ..

Медленный Быстрый

Показать угловые оси Сделанный

подпись Отключить программную клавиатуру

Чтобы скопировать или сохранить графики, щелкните правой кнопкой мыши изображение сохраненного графика ниже и выберите «Копировать изображение» или «Сохранить изображение» во всплывающем меню.

Легко использовать график уравнений ; введите уравнение , например, 3x -2 y = x + 4y в любом поле выражения . Графический редактор уравнений отображает графики при вводе (по умолчанию).

• Для графика двух или более уравнений в одной системе координат нажмите » для отображения мультиграфической панели . Панель с несколькими графиками состоит из панелей выражений , которые можно добавить или удалить по желанию, нажав + или × на каждой панели соответственно. Установка или снятие флажка для любого выражения отображает или скрывает соответствующий график.
• Вы можете установить точность графиков, выбрав нужный параметр из раскрывающегося списка Graph Fineness . Как правило, чем выше точность, тем больше времени требуется графическому редактору уравнений для построения графиков уравнений.
• Чтобы скопировать или сохранить графики, сначала нажмите кнопку Кнопка Копировать/Сохранить график . Изображение графиков появится под графиком уравнений . Затем вы можете использовать возможности вашего браузера, чтобы сохранить его или скопировать его в ваши документы.

Интересные кривые : Нарисуйте любое выражение из раздела Интересные графики , нажав на него. Для достижения наилучших результатов вам может потребоваться выбрать Graph Fineness как «+1» или выше.

При построении графика уравнения в виде y = f(x) ( функция ) рекомендуется использовать калькулятор построения графиков функций, который более точно рисует уравнения этого типа.

Вы можете установить следующие параметры, нажав кнопку ⚙ (шестеренка) в правом верхнем углу графического холста.

• Измените толщину графиков с помощью предоставленного ползунка.
• Выберите режим угла ( радиан – по умолчанию , градусов или градусов ).
• Если вы отмените выбор График при вводе параметра , вам придется нажать График выбранных выражений , который затем появится в нижней части калькулятора, чтобы обновлять графики всякий раз, когда вы вносите какие-либо изменения в выражения или координаты. плоскость (т. е. переместить начало координат, повернуть оси и т. д.).
• Опционально отображать элементы управления в верхней части график уравнений , который позволяет запускать/приостанавливать и останавливать вращение любой или всех осей.
• Графический редактор уравнений запоминает введенные вами выражения уравнений и извлекает их между посещениями.