Разное

Построение графиков онлайн неявных функций: График неявной функции · онлайн

Содержание

График неявно заданной функции онлайн. Построение графиков функций в Excel. Сервисы для построения графиков функций онлайн

«Натуральный логарифм» — 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенная функция 9 класс» — У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).

«Квадратичная функция» — 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а

«Квадратичная функция и её график» — Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.

«8 класс квадратичная функция» — 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т.

В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.

К сожалению, не все студенты и школьники знают и любят алгебру, но готовить домашние задания, решать контрольные и сдавать экзамены приходится каждому. Особенно трудно многим даются задачи на построение графиков функций: если где-то что-то не понял, не доучил, упустил — ошибки неизбежны. Но кому же хочется получать плохие оценки?

Не желаете пополнить когорту хвостистов и двоечников? Для этого у вас есть 2 пути: засесть за учебники и восполнить пробелы знаний либо воспользоваться виртуальным помощником — сервисом автоматического построения графиков функций по заданным условиям. С решением или без. Сегодня мы познакомим вас с несколькими из них.

Лучшее, что есть в Desmos.com, это гибко настраиваемый интерфейс, интерактивность, возможность разносить результаты по таблицам и бесплатно хранить свои работы в базе ресурса без ограничений по времени. А недостаток — в том, что сервис не полностью переведен на русский язык.

Grafikus.ru

Grafikus.ru — еще один достойный внимания русскоязычный калькулятор для построения графиков. Причем он строит их не только в двухмерном, но и в трехмерном пространстве.

Вот неполный перечень заданий, с которыми этот сервис успешно справляется:

  • Черчение 2D-графиков простых функций: прямых, парабол, гипербол, тригонометрических, логарифмических и т. д.
  • Черчение 2D-графиков параметрических функций: окружностей, спиралей, фигур Лиссажу и прочих.
  • Черчение 2D-графиков в полярных координатах.
  • Построение 3D-поверхностей простых функций.
  • Построение 3D-поверхностей параметрических функций.

Готовый результат открывается в отдельном окне. Пользователю доступны опции скачивания, печати и копирования ссылки на него. Для последнего придется авторизоваться на сервисе через кнопки соцсетей.

Координатная плоскость Grafikus.ru поддерживает изменение границ осей, подписей к ним, шага сетки, а также — ширины и высоты самой плоскости и размера шрифта.

Самая сильная сторона Grafikus.ru — возможность построения 3D-графиков. В остальном он работает не хуже и не лучше, чем ресурсы-аналоги.

Onlinecharts.ru

Онлайн-помощник Onlinecharts.ru строит не графики, а диаграммы практически всех существующих видов. В том числе:

  • Линейные.
  • Столбчатые.
  • Круговые.
  • С областями.
  • Радиальные.
  • XY-графики.
  • Пузырьковые.
  • Точечные.
  • Полярные бульки.
  • Пирамиды.
  • Спидометры.
  • Столбчато-линейные.

Пользоваться ресурсом очень просто. Внешний вид диаграммы (цвет фона, сетки, линий, указателей, форма углов, шрифты, прозрачность, спецэффекты и т. д.) полностью определяется пользователем. Данные для построения можно ввести как вручную, так и импортировать из таблицы CSV-файла, хранимого на компьютере. Готовый результат доступен для скачивания на ПК в виде картинки, PDF-, CSV- или SVG-файлов, а также для сохранения онлайн на фотохостинге ImageShack.

Us или в личном кабинете Onlinecharts.ru. Первый вариант могут использовать все, второй — только зарегистрированные.

В золотой век информационных технологий мало кто будет покупать миллиметровку и тратить часы для рисования функции или произвольного набора данных, да и зачем заниматься столь муторной работой, когда можно построить график функции онлайн. Кроме того, подсчитать миллионы значений выражения для правильного отображения практически нереально и сложно, да и несмотря на все усилия получится ломаная линия, а не кривая. Потому компьютер в данном случае – незаменимый помощник.

Что такое график функций

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, например, выражение y = 2x + 1 устанавливает связь между множествами всех значений x и всех значений y, следовательно, это функция. Соответственно, графиком функции будет называться множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному выражению.


На рисунке мы видим график функции y = x . Это прямая и у каждой ее точки есть свои координаты на оси X и на оси Y . Исходя из определения, если мы подставим координату X некоторой точки в данное уравнение, то получим координату этой точки на оси Y .

Сервисы для построения графиков функций онлайн

Рассмотрим несколько популярных и лучших по сервисов, позволяющих быстро начертить график функции.


Открывает список самый обычный сервис, позволяющий построить график функции по уравнению онлайн. Umath содержит только необходимые инструменты, такие как масштабирование, передвижение по координатной плоскости и просмотр координаты точки на которую указывает мышь.

Инструкция:

  1. Введите ваше уравнение в поле после знака «=».
  2. Нажмите кнопку «Построить график» .

Как видите все предельно просто и доступно, синтаксис написания сложных математических функций: с модулем, тригонометрических, показательных — приведен прямо под графиком. Также при необходимости можно задать уравнение параметрическим методом или строить графики в полярной системе координат.


В Yotx есть все функции предыдущего сервиса, но при этом он содержит такие интересные нововведения как создание интервала отображения функции, возможность строить график по табличным данным, а также выводить таблицу с целыми решениями.

Инструкция:

  1. Выберите необходимый способ задания графика.
  2. Введите уравнение.
  3. Задайте интервал.
  4. Нажмите кнопку «Построить» .


Для тех, кому лень разбираться, как записать те или иные функции, на этой позиции представлен сервис с возможностью выбирать из списка нужную одним кликом мыши.

Инструкция:

  1. Найдите в списке необходимую вам функцию.
  2. Щелкните на нее левой кнопкой мыши
  3. При необходимости введите коэффициенты в поле «Функция:» .
  4. Нажмите кнопку «Построить» .

В плане визуализации есть возможность менять цвет графика, а также скрывать его или вовсе удалять.


Desmos безусловно – самый навороченный сервис для построения уравнений онлайн. Передвигая курсор с зажатой левой клавишей мыши по графику можно подробно посмотреть все решения уравнения с точностью до 0,001. Встроенная клавиатура позволяет быстро писать степени и дроби. Самым важным плюсом является возможность записывать уравнение в любом состоянии, не приводя к виду: y = f(x).

Инструкция:

  1. В левом столбце кликните правой кнопкой мыши по свободной строке.
  2. В нижнем левом углу нажмите на значок клавиатуры.
  3. На появившейся панели наберите нужное уравнение (для написания названий функций перейдите в раздел «A B C»).
  4. График строится в реальном времени.

Визуализация просто идеальная, адаптивная, видно, что над приложением работали дизайнеры. Из плюсов можно отметить огромное обилие возможностей, для освоения которых можно посмотреть примеры в меню в верхнем левом углу.

Сайтов для построения графиков функций великое множество, однако каждый волен выбирать для себя исходя из требуемого функционала и личных предпочтений.

Список лучших был сформирован так, чтобы удовлетворить требования любого математика от мала до велика. Успехов вам в постижении «царицы наук»!

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат — значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 — 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости).

В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 — 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 — 2х принимает положительные значения при х и при х > 2 , отрицательные — при 0 у = х 2 — 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений — скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,…, х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:


Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:


Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) — заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 — 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 — 2x. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 — 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx .

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

Построение графиков онлайн весьма полезный способ графически отобразить то, что не в силах передать словами.

Информация – это будущее электронного маркетинга, при этом правильно преподнесенные зрительные образы являются мощным инструментом для привлечения целевой аудитории.

Тут на помощь приходит инфографика, позволяющая в простой и выразительной форме преподносить различного рода информацию.

Однако построение инфографических изображений требует определенного аналитического мышления и богатства фантазии.

Спешим вас обрадовать – в интернете достаточно ресурсов, предоставляющих построение графиков онлайн.

Yotx.ru

Замечательный русскоязычный сервис, осуществляющий построение графиков онлайн по точкам (по значениям) и графиков функций (обычных и параметрических).

Этот сайт обладает интуитивно понятным интерфейсом и легок в использовании. Не требует регистрации, что существенно экономит время пользователя.

Позволяет быстро сохранять готовые графики на компьютере, а также генерирует код для размещения на блоге или сайте.

На Yotx.ru есть учебник и примеры графиков, которые были созданы пользователями.

Возможно, для людей, углубленно изучающих математику или физику, этого сервиса будет мало (например, нельзя построить график в полярных координатах, так как на сервисе нет логарифмической шкалы), но для выполнения самых простых лабораторных работ вполне достаточно.

Преимуществом сервиса является то, что он не заставляет как многие другие программы, искать полученный результат по всей двумерной плоскости.

Размер графика и интервалы по осям координат автоматически генерируются так, чтобы график оказался удобным для просматривания.

Одновременно на одной плоскости есть возможность построить несколько графиков.

Дополнительно на сайте можно использовать калькулятор матриц, с помощью которого легко производить различные действия и преобразования.

ChartGo

Англоязычный сервис для разработки многофункциональных и разноцветных гистограмм, линейных графиков, круговых диаграмм.

Для обучения пользователям представляется подробное руководство и деморолики.

ChartGo будет полезен для тех, кто нуждается в регулярно. Среди подобных ресурсов отличается простотой «Create a graph online quickly».

Построение графиков онлайн осуществляется по таблице.

В начале работы необходимо выбрать одну из разновидностей диаграмм.

Приложение обеспечивает пользователям ряд простых вариантов настройки построения графиков различных функций в двумерных и трехмерных координатах.

Можно выбрать одну из разновидностей диаграмм и переключаться между 2D и 3D.

Настройки размера обеспечивают максимальный контроль между вертикальной и горизонтальной ориентацией.

Пользователи могут настраивать свои диаграммы с уникальным названием, а также присваивать названия для X и Y элементов.

Для построения графиков онлайн xyz в разделе «Example» доступно множество макетов, которые можно изменять на свое усмотрение.

Обратите внимание! В ChartGo в одной прямоугольной системе может быть построено множество графиков. При этом каждый график составлен с помощью точек и линий. Функции действительного переменного (аналитические) задаются пользователем в параметрическом виде.

Разработан и дополнительный функционал, который включает мониторинг и вывод координат на плоскости или в трехмерной системе, импорт и экспорт числовых данных в определенных форматах.

Программа имеет гибко настраиваемый интерфейс.

После создания диаграммы, пользователь может воспользоваться функцией печати результата и сохранения графика в виде статичного рисунка.

OnlineCharts.ru

Еще одно отличное приложение для эффектного представления информации вы можете найти на сайте OnlineCharts.ru, где можно построить график функции онлайн бесплатно.

Сервис способен работать с множеством видов диаграмм, включая линейные, пузырьковые, круговые, столбчатые и радиальные.

Система обладает очень простым и наглядным интерфейсом. Все доступные функции разделены вкладками в виде горизонтального меню.

Чтобы начать работу необходимо выбрать тип диаграммы, которую вы хотите построить.

После этого можно настроить некоторые дополнительные параметры внешнего вида, в зависимости от выбранного типа графика.

Во вкладке «Добавить данные» пользователю предлагается задать количество строк и если необходимо количество групп.

Также можно определить цвет.

Обратите внимание! Вкладка «Подписи и шрифты» предлагает задать свойства подписей (нужно ли их выводить вообще, если да, то каким цветом и размером шрифта). Также предоставляется возможность выбора типа шрифта и его размера для основного текста диаграммы.

Все предельно просто.

Aiportal.ru

Самый простой и наименее функциональный из всех, представленных здесь онлайн-сервисов. Создать трехмерный график онлайн на этом сайте не удастся.

Он предназначен для построения графиков сложных функций в системе координат на определенном интервале значений.

Для удобства пользователей сервис предоставляет справочные данные по синтаксису различных математических операций , а также по перечню поддерживаемых функций и константных значений.

Все необходимые для составления графика данные вводятся в окно «Функции». Одновременно на одной плоскости пользователь может построить несколько графиков.

Поэтому разрешается вносить подряд несколько функций, но после каждой функции необходимо вставлять точку с запятой. Также задается и область построения.

Предусмотрена возможность построения графиков онлайн по таблице или без нее. Поддерживается цветовая легенда.

Несмотря на небогатый функционал, все же это онлайн-сервис, поэтому вам не придется долго искать, скачивать и устанавливать какое-либо программное обеспечение.

Для построения графика достаточно лишь иметь с любого имеющегося устройства: ПК, ноутбука, планшета или смартфона.

Построение графика функции онлайн

ТОП-4 лучших сервиса для построения графиков онлайн

Построение графика функции онлайн | umath.ru

  • Обязательно писать все знаки умножения
  • Десятичные дроби нужно разделять точкой
  • Список функций и констант смотрите ниже

Как пользоваться программой:

  • Можно строить графики сразу нескольких функций. Для этого просто разделяйте функции точкой с запятой (;).
  • Масштаб изменяется с помощью кнопок «+» и «−». Кнопка «100%» меняет масштаб на стандартный.
  • Положение экрана можно менять, перетаскивая его мышью, а можно стрелками на панели слева.
  • Кнопка «·» в центре джойстика переносит начало координат в центр экрана.
  • Кнопка «↺» изменяет масштаб на стандартный и переносит начало координат в центр.
  • В форме под графиком можно выбрать точку, которую нужно расположить в центре экрана.

Режимы

Обычный. В этом режиме можно строить графики функций, заданных уравнением

Параметрический. Этот режим предназначен для построения графиков кривых, заданных параметрически, то есть в виде

Полярные координаты. Режим позволяет построить график кривой, заданной в полярной системе координат, то есть уравнением где — радиальная координата, а — полярная координата.

Список констант

Константа Описание
pi Число =3,14159.3 дают x в третьей степени
sqrt() Квадратный корень
sin() Синус
cos() Косинус
tg() Тангенс
ctg() Котангенс
arcsin() Арксинус
arccos() Арккосинус
arctg() Арктангенс
arcctg() Арккотангенс
ln() Натуральный логарифм числа
lg() Десятичный логарифм числа
log(a, b) Логарифм числа b по основанию a
exp() Степень числа e
sh() Гиперболический синус
ch() Гиперболический косинус
th() Гиперболический тангенс
cth() Гиперболический котангенс

График функции

Графиком функции называется множество точек плоскости таких, что абсциссы и ординаты этих точек удовлетворяют уравнению .

Программа создана для школьников и студентов и позволяет строить графики функций онлайн. Во многих браузерах (например, Google Chrome) картинку с графиком функции можно сохранить на компьютер.

Пожалуйста, все предложения и замечания по работе программы пишите в комментариях.

Кроме того мы планируем создать библиотеку функций с интересными и забавными графиками. Если вы открыли функцию с таким графиком, то обязательно напишите об этом в комментариях! Ваше открытие будет опубликовано и станет носить ваше имя ;).

ТОП-4 лучших сервиса для построения графиков онлайн

Построение графиков онлайн весьма полезный способ графически отобразить то, что не в силах передать словами.

Информация – это будущее электронного маркетинга, при этом правильно преподнесенные зрительные образы являются мощным инструментом для привлечения целевой аудитории.

Тут на помощь приходит инфографика, позволяющая в простой и выразительной форме преподносить различного рода информацию.

Содержание:

Однако построение инфографических изображений требует определенного аналитического мышления и богатства фантазии.

Спешим вас обрадовать – в интернете достаточно ресурсов, предоставляющих построение графиков онлайн.

Yotx.ru

Замечательный русскоязычный сервис, осуществляющий построение графиков онлайн по точкам (по значениям) и графиков функций (обычных и параметрических).

Этот сайт обладает интуитивно понятным интерфейсом и легок в использовании. Не требует регистрации, что существенно экономит время пользователя.

Позволяет быстро сохранять готовые графики на компьютере, а также генерирует код для размещения на блоге или сайте.

На Yotx.ru есть учебник и примеры графиков, которые были созданы пользователями.

Возможно, для людей, углубленно изучающих математику или физику, этого сервиса будет мало (например, нельзя построить график в полярных координатах, так как на сервисе нет логарифмической шкалы), но для выполнения самых простых лабораторных работ вполне достаточно.

Преимуществом сервиса является то, что он не заставляет как многие другие программы, искать полученный результат по всей двумерной плоскости.

Размер графика и интервалы по осям координат автоматически генерируются так, чтобы график оказался удобным для просматривания.

Одновременно на одной плоскости есть возможность построить несколько графиков.

Дополнительно на сайте можно использовать калькулятор матриц, с помощью которого легко производить различные действия и преобразования.

к содержанию ↑

ChartGo

Англоязычный сервис для разработки многофункциональных и разноцветных гистограмм, линейных графиков, круговых диаграмм.

Для обучения пользователям представляется подробное руководство и деморолики.

ChartGo будет полезен для тех, кто нуждается в создании диаграмм регулярно. Среди подобных ресурсов отличается простотой «Create a graph online quickly».

Построение графиков онлайн осуществляется по таблице.

В начале работы необходимо выбрать одну из разновидностей диаграмм.

Приложение обеспечивает пользователям ряд простых вариантов настройки построения графиков различных функций в двумерных и трехмерных координатах.

Можно выбрать одну из разновидностей диаграмм и переключаться между 2D и 3D.

Настройки размера обеспечивают максимальный контроль между вертикальной и горизонтальной ориентацией.

Пользователи могут настраивать свои диаграммы с уникальным названием, а также присваивать названия для X и Y элементов.

Для построения графиков онлайн xyz в разделе «Example» доступно множество макетов, которые можно изменять на свое усмотрение.

Обратите внимание! В ChartGo в одной прямоугольной системе может быть построено множество графиков. При этом каждый график составлен с помощью точек и линий. Функции действительного переменного (аналитические) задаются пользователем в параметрическом виде.

Разработан и дополнительный функционал, который включает мониторинг и вывод координат на плоскости или в трехмерной системе, импорт и экспорт числовых данных в определенных форматах.

Программа имеет гибко настраиваемый интерфейс.

После создания диаграммы, пользователь может воспользоваться функцией печати результата и сохранения графика в виде статичного рисунка.

к содержанию ↑

OnlineCharts.ru

Еще одно отличное приложение для эффектного представления информации вы можете найти на сайте OnlineCharts.ru, где можно построить график функции онлайн бесплатно.

Сервис способен работать с множеством видов диаграмм, включая линейные, пузырьковые, круговые, столбчатые и радиальные.

Система обладает очень простым и наглядным интерфейсом. Все доступные функции разделены вкладками в виде горизонтального меню.

Чтобы начать работу необходимо выбрать тип диаграммы, которую вы хотите построить.

После этого можно настроить некоторые дополнительные параметры внешнего вида, в зависимости от выбранного типа графика.

Во вкладке «Добавить данные» пользователю предлагается задать количество строк и если необходимо количество групп.

Также можно определить цвет.

Обратите внимание! Вкладка «Подписи и шрифты» предлагает задать свойства подписей (нужно ли их выводить вообще, если да, то каким цветом и размером шрифта). Также предоставляется возможность выбора типа шрифта и его размера для основного текста диаграммы.

Нажимаем далее и попадаем во вкладку «Просмотр», где получаем возможность созерцать плоды своего труда.

На вкладке «Сохранить и поделиться диаграммой» есть возможность отправить ссылку на созданный график друзьям или поделиться своей работой через социальные сети.

Все предельно просто.

к содержанию ↑

Aiportal.ru

Самый простой и наименее функциональный из всех, представленных здесь онлайн-сервисов. Создать трехмерный график онлайн на этом сайте не удастся.

Он предназначен для построения графиков сложных функций в системе координат на определенном интервале значений.

Для удобства пользователей сервис предоставляет справочные данные по синтаксису различных математических операций, а также по перечню поддерживаемых функций и константных значений.

Все необходимые для составления графика данные вводятся в окно «Функции». Одновременно на одной плоскости пользователь может построить несколько графиков.

Поэтому разрешается вносить подряд несколько функций, но после каждой функции необходимо вставлять точку с запятой. Также задается и область построения.

Предусмотрена возможность построения графиков онлайн по таблице или без нее. Поддерживается цветовая легенда.

Несмотря на небогатый функционал, все же это онлайн-сервис, поэтому вам не придется долго искать, скачивать и устанавливать какое-либо программное обеспечение.

Для построения графика достаточно лишь иметь выход в сеть с любого имеющегося устройства: ПК, ноутбука, планшета или смартфона.

ТОП 5 как построить график онлайн

[wpsm_box type=»green» float=»none» text_align=»left»]
В данной статье я рассмотрю 5 сервисов для построения графиков онлайн, что пригодится вам при создании презентации, доклада или отчета.
[/wpsm_box]

Интернет предоставляет пользователям огромные возможности. Просмотр фильмов, прослушивание музыки, разнообразные способы общения и множество других ресурсов. Но Всемирная паутина, кроме развлечений, способствует развитию профессиональной деятельности, помогает учиться. Сегодня экономят много времени занимаясь разнообразными расчетами – существуют платформы, созданные именно для этих целей — решение задач, уравнений или построение графиков. Именно про последние расскажем подробнее.

Построение графиков стало неотъемлемой частью современных профессий. Будь то преподаватель высшего учебного заведения, студенты, маркетологи или социальные службы. Раньше, для подсчета, приходилось вручную суммировать результаты, а затем вычислять среднеарифметический показатель. Теперь доступно просто ввести данные на соответствующем сайте — через мгновение система выдаст готовый наглядный ответ в виде годографов или анимированных диаграмм. Полученный результат легко скопировать и вставить в свой доклад, диплом или презентацию. Ниже представлен ТОП 5 сервисов по построению графиков онлайн.

СодержаниеПоказать

Aiportal.ru

Это бесплатный сервис для построения сложных функций, графиков в квадратичной системе координат. Сам по себе Aiportal специализируется на обзоре систем искусственного интеллекта и автоматизации процессов разных отраслей. Возможность построить график лишь демонстрация экспертных концепций. Поэтому функциональность сервиса не очень разнообразна. Система позволяет пользователю построить график в заданных пределах. Это отлично подойдет для учебы или научной деятельности, связанной с физикой/математикой. Единственное разнообразие – возможность получить сразу несколько графиков.

Если говорить начистоту, то Aiportal это всего лишь калькулятор графиков, где нет возможности присваивать отдельные названия и значения. Здесь только практическая часть без всего лишнего. Но этим сервис и прекрасен. Для того, кто занимается только наукой, нет нужды тратить время для поиска нужной категории или математической функции. Все что необходимо представлено на одной странице сайта — всегда под рукой.

Нужные для построения данные вводят в окно под надписью «Функция». Затем указывают область построения по оси X и Y (или оставляют значения по умолчанию, если в задачи они не указаны конкретно). Следом нужно нажать «Построить график». На этом все. Для помощи пользователя на странице приведен синтаксис математических операторов, которые необходимы для корректного построения графиков.

Onlinecharts.ru

Ресурс, строят диаграммы любого вида, цвета, назначения. Такое разнообразие функций поможет визуализировать информацию – сделать ее более наглядной. Сервис предоставляет следующие виды диаграмм:

  • XY-график.
  • Пирамида.
  • Линейная.
  • Линейная/столбчатая.
  • С областями.
  • Спидометр.
  • Круговая.
  • Пузырьковая.
  • Радиальная.
  • Точечная.

Построение диаграмм на Onlinecharts не требует каких-либо дополнительных навыков или знаний. Все доступно и внятно. Для начала работы нужно зайти на главную страницу сайта, потом нажать кнопку «Создайте Вашу диаграмму». После чего пользователь переходит на страницу, где нужно выбрать вид построения. Сервис отличается тем, что позволяет настроить вид диаграммы до мельчайших подробностей. Человек сам выбирает параметры:

  • Цвет фона.
  • Внешний вид – 2D или 3D (полезная функция, если нужно наглядно продемонстрировать результаты вычислений в презентации).
  • Параметры сетки (цвет, ширина, градиент)

Доступно вносить надписи, комментарии, где размер шрифта, его цвет подбирается индивидуально — полный контроль над внешним видом диаграммы, ограниченный воображением человека. А система только производит требуемые расчеты.

ChartGo.com

Англоязычный сервис, где строят множество приятных глазу графиков и диаграмм. Состоят они из бар, кругов, линий, других доступных на сайте элементов. Результат выводится в 2D или 3D моделях – на выбор пользователя. Конечный график можно изменять, добавляя свой стиль – цвет фона, толщина линий, надписи и их ориентация.

При работе используют до 5 групп данных по оси X, где каждое значение наглядно демонстрируется в отдельной строке, без перечисления через запятую. Когда все готово, доступно переключаться с одного вида диаграммы на другой, чтобы выбрать наиболее подходящий.

Сервис не только позволяет сохранить работу в виде обычного изображения, но и генерирует ссылку, давая тем самым возможность поделиться результатами на странице блога или форума.

Yotx.ru

Мощная вычислительная машина, направленная на построение графиков вида y = f(x) по точкам, в заданной системе. При работе в Yotx пользователю не нужно утруждать себя поиском результата по всей координатной оси – система автоматически подбирает нужный масштаб, чтобы данные выглядели нагляднее.

Доступно выполнить построение нескольких графиков на одной плоскости, что способствует решению сложных математических задач. Как и предыдущий сервис Yotx генерирует ссылку, которой можно поделиться в социальных сетях. Дополнительно создают виджет с графиком для форума или блога. Еще, есть вариант отправить результат сразу на печать со страницы сайта.

Yotx позиционирует себя как сервис для помощи студентам и школьникам. Но пользоваться им могут и для более серьезных целей. Сама платформа проста в обращении. Достаточно ввести уравнение и нажать кнопку «Построить», как график будет готов. Для неопытных пользователей есть специальный справочный материал. Существует раздел примеров, где можно найти подходящую функцию и просто вставить свои значения.

Онлайн-программа не обладает изощренными настройками внешнего вида. Все что доступно – выбрать цвет линий, их толщину. Но скудную графическую составляющую сполна восполняют вычислительные возможности, которые позволяют преобразовывать самые сложные функции.

Matematikam.ru

Название сервиса говорит само за себя – платформа предназначена для построения графиков основанных на математической функции. Вводить данные доступно с клавиатуры или с помощью всплывающей панели. Преимущества сервиса следующие:

  • Визуализация вводимых функций.
  • Возможность построит сложный график.
  • Построения, основанные на неявных функциях (таких как эллиптические уравнения).
  • Генерация общедоступной ссылки на результат.
  • Возможность управлять цветом линий и общим масштабом.
  • Доступно использовать при построении константы.
  • Можно строить несколько графиков одновременно.
  • Работа в полярной системе координат.

Результат вычислений появляется мгновенно. С этим сервисом легко построить самый сложный график онлайн. Панель инструментов наглядна и интуитивно понятна. Пользователю доступны примеры построения где, аналогично предыдущему сервису, доступно подставить свои значения. Отличительная черта Matematikam – он адаптирован для мобильных устройств. Дизайн сайта подстраивается под разрешение смартфона, не теряя ни одной функциональной возможности.

Как построить график онлайн — ТОП 5 сервисов

5 (100%) 1 голос.

Использование excel для построения графиков функций заданных в параметрическом виде или в полярных координатах и графиков объемных функций цели урока

Бут Людмила Александровна

учитель информатики лицея №14 г.Жуковский

Использование Excel для построения графиков функций, заданных в параметрическом виде или в полярных координатах и графиков объемных функций.

Цели урока:

Образовательная:

  • Научить учащихся применять современное программное обеспечение в решении нестандартных задач;

  • Сформировать представление учащихся о способах построения объемных изображений средствами Excel.

Развивающая:

  • Продолжить развивать умения учащихся применять компьютер для решения конкретных задач из конкретной предметной области;

  • Развитие у школьников теоретического, творческого мышления, а также формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений.

Воспитательная:

Задачи урока:

  • Воспитательная. Развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры.

  • Учебная. Изучить и закрепить основные навыки работы с электронными таблицами.

  • Развивающая. Развитие логического мышления, расширение кругозора.

Тип урока: Комбинированный — урок формирования и закрепления умений и навыков практического использования MS Excel.

План урока.

  1. Организационная часть.

  2. Повторение пройденного материала.

  3. Обобщение и систематизация понятий для выполнения самостоятельной работы.

  4. Самостоятельная работа.

  5. Подведение итогов.

  6. Домашнее задание.

Ход урока.

Вопросы для повторения:

  1. Что такое относительная и абсолютная адресация?

  2. Как протабулировать функцию, заданную в виде y=f(x)?

  3. Как построить график функции, используя Мастер диаграмм?

На уроке мы рассмотрим особенности построения двух наиболее часто употребляемых в инженерной практике типов диаграмм – точечных (графиков) и поверхностных (или объемных).

Построение графиков функций, заданных в параметрическом виде или в полярной системе координат.

Параметрическое представление кривой на плоскости – это две функции, явно выражающие обе координаты x и y через значение некоторого производящего параметра:

Параметрические линии по форме могут быть более разнообразными, чем линии, описываемые одним уравнением. На них не распространяется ограничение по многозначности, поэтому линии могут быть самопересекающимися.

Для примера рассмотрим уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R.

.

Координаты точек окружности вычисляются по формулам:

.

Здесь центральный угол t является генерирующим параметром.

Для построения полной окружности радиуса R=100 составим таблицу, в которой значение параметра t меняется с шагом 0,1 от 0 до 2π.

Для построения графика выделим столбцы x и y таблицы и выберем тип диаграммы Точечная. Точечная диаграмма отображает взаимосвязь между числовыми значениями в нескольких рядах и представляет две группы чисел в виде одного ряда точек в координатах XY.

Получим диаграмму:

Полярные координаты и точки М на плоскости – это расстояние =ОМ от фиксированной точки О (полюса) до точки М и угол между лучами ОМ и ОР (полярная ось).

Полярные координаты являются наиболее употребительными после декартовых. Это нелинейные координаты. При построении кривых, заданных в полярных координатах, полярные координаты переводят в декартовы. Если полюс имеет координаты (x0, y0), то формулы преобразования таковы:

Для функций, заданных в полярных координатах формула имеет вид

, где – полярный угол.

Таблица должна содержать данные для построения кривой в полярной системе координат. Затем надо перевести данные из полярных координат в декартовы. Данные для построения точечного графика должны быть представлены в декартовой системе координат.

Рассмотрим Архимедову спираль, ее уравнение в полярных координатах:

ρ = aφ, где а — постоянная.

Составим таблицу для a=2, значение полярного угла меняется с шагом 0,1 от 0 до 6π. Такой диапазон выбран для того, чтобы увидеть несколько витков спирали.

Для построения графика выделим столбцы x и y таблицы и выберем тип диаграммы Точечная.

Получим диаграмму:

Задания для самостоятельной работы:

Построить графики замечательных кривых:

Астроида

Кардиоида

X=acost(1+cost)

Y=asint(1+cost)

или

ρ=a (1+cosφ)

n- лепестковая роза

ρ= a sin mφ

или

ρ = a cos mφ

Лемниската Бернулли

ρ2-a2cos(2φ)=0

Элементы диаграммы можно видоизменять при помощи контекстного меню, вызываемого правой кнопкой мыши. Видоизменение, как правило, состоит в определении другого цвета для какого-то элемента, нового типа линии или маркера. Внести изменения можно, выбрав в контекстном меню первый пункт – Формат соответствующего объекта и определив нужные параметры.

Построение графика объемной функции.

Поверхности составляют широкое многообразие объектов трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с конструированием, расчетом и, изготовлением различных поверхностей.

Поверхность будем рассматривать как непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0.

Рассмотрим зависимость, которая описывает сферу радиуса R.

X2 +Y2+Z2=R2

Выразим z:

Поскольку z(x, y) является функцией двух переменных, то ее график будет объемным, т. к. по двум осям (x, y) будут откладываться значения аргументов, а по третьей (z) – вычисленные значения функции.

Сначала нужно создать таблицу значений функции в заданных диапазонах аргументов.

Если бы мы попытались сделать это известными способами, то нам потребовалось бы ввести большое множество значений аргументов, т. к. для каждого значения x пришлось бы ввести все значения диапазона y. При этом таблица имела бы очень большие размеры в длину или ширину. Однако можно построить таблицу по другому – в виде массива(матрицы): по строке отложить значения переменной x, а по столбцу – переменной y, а вычисленные значения функции – в ячейках на пересечении соответствующих значений аргументов. Это компактный способ представления данных.

Рассмотрим пример такой таблицы для R=3.

Значение квадрата радиуса вводится в ячейку B1.

В ячейки A3:A15 введите числа от -3 до 3 с шагом 0,5.2). Для того, чтобы все значения x брались из строки 2, а все значения y из столбца A нужно использовать абсолютную адресацию. Замена относительных адресов в формуле на абсолютные производится с помощью клавиши F4, которая при выборе очередной ячейки при вводе формулы нажимается несколько раз до появления нужного вида адреса. Распространяя формулы на диапазон B3:O19, получим следующую таблицу( в ней удалены сообщения об ошибке в ячейках, где происходило извлечение квадратного корня из отрицательного числа).

Будем использовать стандартную объемную поверхностную диаграмму.

Поверхностные диаграммы отображают два или несколько рядов данных в виде поверхности.

В отличие от остальных диаграмм, в этом случае Excel применяет различные цвета для выделения значений, а не рядов данных.

Для построения графика выделим всю таблицу и выберем тип диаграммы Поверхность. Так как в таблице вычислены только положительные значения z , то на диаграмме будет изображена полусфера.

Получим объемный график.

Для видоизменения поверхностных диаграмм предоставляется больше возможностей. Вызвав через меню Диаграмма – Объемный вид диалоговое окно Формат трехмерной проекции, мы можем задать повороты в разных направлениях, перспективу, изменить высоту графика (задается в процентах от нормальной высоты), а также некоторые другие параметры.

Задания для самостоятельной работы:

Построить объемную диаграмму поверхностей второго порядка.

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

Вещественный конус

Однополостной гиперболоид

Двуполостной гиперболоид

Требования к выполнению заданий.

Каждое задание выполняется на отдельном листе книги. Таблицы и диаграммы должны быть полностью оформлены. Файл сохранить в Личной папке.

Производная неявной функции онлайн

Неявная функция — это функция, например y(x), заданная в виде уравнения:

F(x,y(x))=0

Как правило, вместо уравнения F(x,y(x))=0 пишут просто F(x,y)=0 подразумевая, что y есть функция от x.

В качестве примера неявного задания функции, можно привести уравнение окружности:

x2+y2=a2,

уравнение декартового листа:

x3+y3=3∙a∙x∙y (a=const≠0),

и т.д. Все эти примеры можно записать в виде уравнения F(x,y)=0: уравнение окружности: F(x,y)=x2+y2−a2=0, уравнение декартового листа: F(x,y)= x3+y3−3∙a∙x∙y =0.

В связи с тем, что для исследования любой функции (в том числе и заданной неявно) необходимо вычислять производную, задача нахождения производной функции заданной неявно возникает довольно часто. Так, как же найти производную неявной функции? Исчерпывающий ответ на этот вопрос вы получите, воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.
Для того, чтобы решить вашу задачу, для начала перепишите свою функцию в виде уравнения F(x,y)=0. Как это сделать, подробно описано выше (нужно просто перенести все слагаемые в левую часть уравнения, оставив справа 0). Далее вам необходимо определиться, как у вас обозначается переменная и как обозначается функция, которая зависит от этой переменной. В приведенных выше примерах, x — переменная, y — функция, зависящая от x.
Затем, вам необходимо ввести свое уравнение F(x,y) в наш онлайн калькулятор и получить решение вашей задачи.

Г.И. Запорожец. Руководство к решению задач по математическому анализу

Г.И. Запорожец. Руководство к решению задач по математическому анализу

На главную страницу | Математический анализ

Титул

Оглавление

Предисловие

Глава I. Введение в анализ

§ 1. Переменные величины и функции, их обозначение

§ 2. Область определения (существования) функции

§ 3. Построение графика функции по точкам

§ 4. Построение графика функции путем сдвига и деформации известного графика другой функции

§ 5. Переменная как упорядоченное числовое множество. Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции

§ 6. Теоремы о бесконечно малых и о пределах

§ 7. Вычисление пределов

§ 8. Смешанные задачи на нахождение пределов

§ 9. Сравнение бесконечно малых

§ 10. Непрерывность и точки разрыва функции

Глава II. Производная и дифференциал функции

§ 1. Производная функции и её геометрическое значение. Непосредственное нахождение производной

§ 2. Производные простейших алгебраических и тригонометрических функций

§ 3. Производная сложной функции

§ 4. Производные показательных и логарифмических функций

§ 5. Производные обратных тригонометрических функций

§ 6. Смешанные задачи на дифференцирование

§ 7. Логарифмическое дифференцирование

§ 8. Производные высших порядков

§ 9. Производные неявной функции

§ 10. Производные от функции, заданной параметрически

§ 11. Касательная и нормаль к плоской кривой. Угол между двумя кривыми

§ 12. Скорость изменения переменной величины. Скорость и ускорение прямолинейного движения

§ 13. Дифференциал функции

§ 14. Вектор-функция скалярного аргумента и ее дифференцирование. Касательная к пространственной кривой

§ 15. Скорость и ускорение криволинейного движения

Глава III. Исследование функций и построение их графиков

§ 1. Теорема (формула) Тейлора

§ 2. Правило Лопиталя и применение его к нахождению предела функции

§ 3. Возрастание и убывание функции

§ 4. Максимум и минимум (экстремум) функции

§ 5. Наибольшее и наименьшее значения функции

§ 6. Задачи о наибольших или наименьших значениях величин

§ 7. Направление выпуклости кривой и точки перегиба

§ 8. Асимптоты

§ 9. Общая схема исследования функций и построения их графиков

§ 10. Приближенное решение уравнений

§ 11. Кривизна плоской кривой

Глава IV. Неопределенный интеграл

§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования

§ 2. Интегрирование посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые

§ 3. Интегрирование посредством замены переменной

§ 4. Интегрирование по частям

§ 5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен

§ 6. Интегрирование тригонометрических функций

§ 7. Интегрирование рациональных функций

§ 8. Интегрирование некоторых иррациональных функций

§ 9. Интегрирование некоторых трансцендентных (неалгебраических) функций

§ 10. Смешанные задачи на интегрирование

Глава V. Определенный интеграл

§ 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его свойства и связь с неопределенным интегралом

§ 2. Замена переменной в определенном интеграле

§ 3. Схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин. Площадь плоской фигуры

§ 4. Объем тела по площадям его параллельных сечений

§ 5. Объем тела вращения

§ 6. Длина дуги плоской кривой

§ 7. Площадь поверхности вращения

§ 8. Физические задачи

§ 9. Координаты центра тяжести

§ 10. Несобственные интегралы

§11. Приближенное вычисление определенных интегралов

Глава VI. Функции многих переменных

§ 1. Функции многих переменных, их обозначение и область определения

§ 2. Предел функции многих переменных. Непрерывность

§ 3. Частные производные функции многих переменных

§ 4. Дифференциалы функции многих переменных

§ 5. Дифференцирование сложных функций

§ 6. Дифференцирование неявных функций

§ 7. Частные производные высших порядков

§ 8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

§ 9. Экстремум функции многих переменных

§ 10. Наибольшее и наименьшее значения функции

Глава VII. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

§ 1. Двойной интеграл, его вычисление двукратным интегрированием

§ 2. Двойной интеграл в полярных координатах

§ 3. Вычисление площади посредством двойного интеграла

§ 4. Вычисление объема тела

§ 5. Масса, центр тяжести и моменты инерции

§ 6. Тройной интеграл, его вычисление трехкратным интегрированием

§ 7. Вычисление величин посредством тройного интеграла

§ 8. Криволинейные интегралы, их вычисление и условие независимости от линии интегрирования

§ 9. Вычисление величин посредством криволинейных интегралов

§ 10. Нахождение функции по ее полному дифференциалу

§ 11. Интегралы по поверхности, их вычисление сведением к двойным интегралам

§ 12. Вычисление величин посредством поверхностных интегралов

Глава VIII. Элементы теории поля

§ 1. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент

§ 2. Векторное поле. Поток и дивергенция поля

§ 3. Циркуляция и вихрь векторного поля

Глава IX. Ряды

§ 1. Числовые ряды сходящиеся и расходящиеся. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

§ 2. Абсолютная и неабсолютная сходимость знакопеременного ряда. Признак сходимости знакочередующегося ряда

§ 3. Функциональные ряды

§ 4. Ряды Тейлора

§ 5. Действия со степенными рядами. Применение рядов к приближенным вычислениям

§ 6. Числовые и степенные ряды с комплексными членами

§ 7. Ряды Фурье

§ 8. Интеграл Фурье

Глава X. Дифференциальные уравнения

§ 1. Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы

§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными

§ 3. Однородные уравнения первого порядка

§ 4. Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли

§ 5. Уравнения в полных дифференциалах

§ 6. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

§ 7. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

§ 8. Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

§ 9. Смешанные задачи на интегрирование уравнений разных типов

§ 10. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

§ 11. Метод Эйлера приближенного интегрирования уравнений первого порядка

§ 12. Интегрирование уравнений при помощи рядов

§ 13. Системы линейных дифференциальных уравнений

§ 14. Уравнения математической физики

Ответы

 

На главную страницу | Математический анализ

Используются технологии uCoz

Построить неявную функцию — MATLAB fimplicit

Цвет заливки маркера, заданный как 'auto' , триплет RGB, шестнадцатеричный цвет код, название цвета или короткое название. 'auto' значение использует то же color как свойство MarkerEdgeColor .

Для пользовательского цвета укажите триплет RGB или шестнадцатеричный цветовой код.

  • Триплет RGB — это трехэлементный вектор-строка, элементы которого укажите интенсивность красного, зеленого и синего компоненты цвета.Интенсивности должны быть в диапазон [0,1] ; например, [0,4 0,6 0,7] .

  • Шестнадцатеричный цветовой код — это вектор символов или строка скаляр, который начинается с хеш-символа ( # ) за которыми следуют три или шесть шестнадцатеричных цифр, которые могут варьироваться с 0 до F .В значения не чувствительны к регистру. Таким образом, цветовые коды '# FF8800' , '# ff8800' , '# F80' и '# f80' эквивалентны.

Вы также можете указать некоторые общие цвета по имени. В этой таблице перечислены названные цвета параметры, эквивалентные триплеты RGB и шестнадцатеричные цветовые коды.

'w'
Название цвета Краткое название Триплет RGB Шестнадцатеричный код цвета Внешний вид
'красный' 'r' [1 0 0] '# FF0000'

'зеленый' 'g' [0 1 0] '# 00FF00'

'синий' 'b' [0 0 1] '# 0000FF'

'голубой 'c' [0 1 1] '# 00FFFF'

'пурпурный' 'm' [1 0 1] '# FF00FF'

'желтый' 'y' [1 1 0] '# FFFF0066
'черный' 'k' [0 0 0] '# 000000'

'белый66 [1 1 1] '#FFFFFF'

'none' Неприменимо Неприменимо Неприменимо N o цвет

Вот триплеты RGB и шестнадцатеричные цветовые коды для цветов по умолчанию, которые MATLAB использует во многих типах графиков.

4940 0,1840 0,5560]
Триплет RGB Шестнадцатеричный цветовой код Внешний вид
[0 0,4470 0,7410] '# 0072BD' 2

0 [0,8500 0,3250 0,0980]

'# D95319'

[0,9290 0,6940 0,1250] '# EDB120'

'# 7E2F8E'

[0,4660 0,6740 0,1880] '# 77AC30'

1

'# 4DBEEE'

[0,6350 0,0780 0,1840] '# A2142F'

Пример: [0.3 0,2 0,1]

Пример: «зеленый»

Пример: '# D2F9A7'

Построение неявных функций в 3D

Отправлено: 25 сентября 2014 г. Доктор Саид Нуриан

Сюжет неявные уравнения стали невероятно простыми в новой версии Graphing. Калькулятор 3D. Вы можете построить уравнения любой сложности без ограничение запуска их с z = или y =.2 = 0

вы можете ввести левую часть уравнение, как показано здесь:

Сюжет произвольные неявные уравнения

Для максимальной гибкости выберите «Неявный» в раскрывающемся списке «График», как показано справа. Это действие преобразует текстовое поле уравнения в форму, которая позволяет вводить произвольные неявные уравнения.

Обратите внимание, что вам нужно иметь знак равенства (=) где-нибудь в вашем уравнения.2 вы должны ввести это точно как есть.

Неявное построение полярных, цилиндрических и сферических изображений уравнения

Построение неявных уравнений в полярных координатах точно следует те же шаги, что описаны выше. За исключением того, что вместо x, y и z ваши уравнение будет содержать θ φ z и r. Пример показан ниже.

Примечание: чтобы ввести θ, φ и r, используйте Ctrl + 1 Ctrl + 2 и Ctrl + 3 соответственно в режиме сферических координат. Эти короткие клавиши вставит любую переменную, применимую к текущим координатам.

Загрузить Implicit Grapher

Можно скачайте неявный графер и попробуйте в нем приведенные выше примеры.

Онлайн-калькулятор неявной производной

Неявно вызываемая функция у (х), задается уравнением:

F (х, у (х)) = 0

Как правило, вместо уравнения F (х, у (х)) = 0 использовать обозначение F (х, у) = 0 предполагая, что y — функция от x.

В качестве примера неявно определенной функции можно указать уравнение круга:

x 2 + y 2 = a 2 ,

декартово уравнение фолия:

x 3 + y 3 = 3 ∙ a ∙ x ∙ y (a = const ≠ 0),

и т. д. Все эти примеры имеют уравнение общего вида F (x, y) = 0: уравнение круга: F (x, y) = x 2 + y 2 −a 2 = 0, декартово уравнение фолия: F (х, у) = x 3 + y 3 −3 ∙ a ∙ x ∙ y = 0.

Обычная задача вычислить производную неявной функции , особенно в функциональном анализе. Возникает вопрос: «Как вычислить производную неявной функции»? Исчерпывающий ответ на этот вопрос дает наш онлайн-калькулятор.
Первое, что вам нужно сделать для решения вашей задачи, — это переписать вашу функцию в виде уравнения F (х, у) = 0. Для этого посмотрите подробное описание выше (вам просто нужно перенести все члены в левую часть уравнения, оставив 0 с правой стороны).Затем вам нужно выбрать переменную дифференцирования и обозначения неявной функции. В приведенных выше примерах Икс — переменная дифференцирования, у — неявная функция, зависящая от Икс.
Затем вам нужно ввести свое уравнение F (х, у) в наш онлайн-калькулятор и нажмите кнопку «Рассчитать».

Как найти производные от неявных функций — стенограмма видео и урока

Производные неявной функции

Нахождение простого числа y в примере с дядей Джо

Хорошо, найдите dy / dx для ( x ) ( y ) = x + y .Первое, что я хочу сделать, это установить y = f (x) … э-э, я не могу этого сделать; Я не могу разделить x и y на разные стороны этого конкретного уравнения. Это сделает фермера Джо очень несчастным. Ну может есть еще способ найти dy / dx . Я помню, что чтобы найти dy / dx из f (x) , я написал y = f (x) и дифференцировал обе стороны. Получил dy / dx = d / dx f (x) .Почему бы мне не попробовать это здесь?

d / dx ( xy ) = d / dx ( x + y ). Для d / dx ( xy ) это похоже на то, что мне нужно использовать правило продукта: d / dx ( x ) y + d / dx ( y ) х . Первый член равен 1 * y или y , плюс dy / dx ( x ). Я могу записать dy / dx как y` , тогда вся левая часть моего уравнения станет y + xy` .Правая часть моего уравнения: d / dx ( x + y ). Я могу разделить это и написать d / dx ( x ) + d / dx ( y ). Это просто 1 + dy / dx = 1 + y` . Все мое уравнение — когда я дифференцирую ( x ) ( y ) = x + y — это y + xy` = 1 + y` . Хорошо, но я пытаюсь найти dy / dx или y` .

Итак, давайте решим это для y` . Сначала соберем все члены, переместим все члены y` в левую часть, xy` — y` = 1 — y . Давайте вычленим y` , так что у меня y` ( x — 1) = 1- y . x

Мы только что сделали пример неявного дифференцирования . х + х .

Резюме урока

Неявное дифференцирование — это то, что вы используете, когда у вас есть x и y с обеих сторон уравнения, и вы ищете dy / dx . Мы сделали это в случае земли фермера Джо, когда он дал нам уравнение ( x ) ( y ) = x + y .

Для неявной дифференциации мы:

  1. Различаем обе стороны.
  2. Соберите y` члена в одну часть уравнения.
  3. Выключите эти условия за множитель y` .
  4. Решить относительно y` .

Мы получаем y` как некоторую функцию от x и y .

Справка в Интернете — Справка Origin

Фитинг — неявный

Инструмент

Origin NLFit поддерживает неявную подгонку с использованием алгоритма ортогональной дистанционной регрессии (ODR), включая подгонку с данными ошибок X и / или Y.

Чтобы подогнать данные с помощью функций неявной подгонки, вы можете использовать встроенные функции нелинейной подгонки неявной кривой или создать свои собственные функции неявной подгонки.

Совместимость с неявными функциями

Чтобы соответствовать неявной функции,

  1. Выберите в верхнем меню Анализ: Подгонка: Подгонка нелинейной неявной кривой , чтобы открыть диалоговое окно.
  2. Выберите функцию в категории Неявный .
Примечания: Функции неявной подгонки используют ортогональную регрессию расстояния .

Мини-руководство: подходит для Ellipse

  1. Импортируйте эллипс.dat как один ASCII, который можно найти в \ Samples \ Curve Fitting
  2. Выделите столбцы A и B, выберите «Анализ : подбор: нелинейная неявная подгонка кривой », чтобы открыть диалоговое окно NLFit
  3. Выберите « Эллипс » в качестве типа функции
  4. Перейдите в «Выбор данных», убедитесь, что для веса
    5. выбрано «Использовать настройку каждого диапазона».
  5. В «Выбор данных» разверните ветвь «Вход», а затем — «Диапазон 1».
  6. В ветви «x» выберите «Произвольный набор данных» для веса и выберите столбец C (Вес X) в качестве набора данных.
  7. Сделайте то же самое для «y», на этот раз выберите столбец D (Вес Y) в качестве набора данных
  8. Нажмите «Подогнать», чтобы подогнать под данные и создать лист отчета

Неявная подгонка с более чем двумя переменными

Обратите внимание на следующее, когда вы выполняете неявную подгонку с более чем 2 независимыми переменными:

  • Требуется иметь данные рабочего листа в качестве входных данных, т.е.е. в этом случае вы не можете выполнить подгонку по графику данных.
  • Для всех переменных поддерживается только тип данных Fitted Point для входных данных . Чтобы изменить этот параметр в диалоговом окне NLFit , перейдите на вкладку Settings и выберите Fitted Curves . Разверните график аппроксимированных кривых . Набор ответвлений Тип данных переменной так, чтобы он соответствовал точке для входных данных .
  • Не поддерживается автоматическое создание подобранной кривой, однако вы можете получить данные для подобранной кривой в листе отчета.

Создание пользовательской неявной функции для фитинга

Чтобы создать свою собственную функцию неявной подгонки, вам необходимо сначала открыть конструктор функций подгонки одним из следующих способов:

  1. Выберите Анализ: Подгонка: Подгонка нелинейной неявной кривой , чтобы открыть диалоговое окно NLFit .
  2. Выберите <Создать ...> в раскрывающемся меню Функция .

или

Выберите Инструменты: Fitting Function Builder или нажмите F8 .

Когда открыт Конструктор функций фитинга ,

  1. Выберите радиокнопку Создать новую функцию и нажмите Далее .
  2. Выберите переключатель Неявный для функциональной модели .


или

  1. Выберите инструменты : Органайзер функций фитинга или нажмите F9 , чтобы открыть органайзер функций фитинга
  2. Создайте новую функцию в категории Неявный .

Обратите внимание, что вы можете выполнять неявную подгонку только с функциями из категории Implicit , поэтому вам нужно переместить все созданные неявные функции в категорию Implicit в Организаторе функций подгонки .

См. Файл справки Origin, чтобы узнать, как определить пользовательскую функцию подгонки.

Это короткое руководство, показывающее, как создать определяемую пользователем неявную функцию подгонки и подгонять данные с ней.

  1. Выберите Инструменты : Органайзер функций фитинга или нажмите F9 , чтобы открыть Организатор функций фитинга .
  2. Выберите категорию Неявный и нажмите кнопку Новая функция .
  3. Введите Гиперболический как Имя функции , задайте для модели функции неявный и Функциональная форма как Уравнения .
  4. Введите x, y в поле Variables , a, b, c, d, e в поле Parameters .2 + d * x + e * y-1; Обратите внимание, что значение f оценивается как 0.
  5. Нажмите Сохранить , чтобы сохранить функцию, и нажмите ОК, , чтобы закрыть диалоговое окно.
  6. Подготовьте тестовые данные по гиперболическому тренду и импортируйте их в Origin. Вы можете использовать кнопку Simulate в Организаторе функций подгонки для создания данных с добавленным шумом.
  7. Установить столбец A как x и столбец B как y.
  8. Выберите столбцы A и B и выберите Анализ: Подгонка: Нелинейная неявная подгонка , чтобы открыть диалоговое окно NLFit .
  9. В раскрывающемся меню Функция выберите Гиперболический (пользовательский) и щелкните Подогнать .
Примечание: Установка любой пользовательской функции требует инициализации параметров. Значение 1 для каждого параметра должно быть достаточным для гиперболической функции.

Исчисление I — неявное дифференцирование

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-10: Неявная дифференциация

К этому моменту мы сделали довольно много производных, но все они были производными функций вида \ (y = f \ left (x \ right) \).К сожалению, не все функции, которые мы собираемся рассмотреть, попадут в эту форму.

Давайте взглянем на пример такой функции.

Пример 1 Найдите \ (y ‘\) для \ (xy = 1 \). Показать решение

На самом деле есть два метода решения этой проблемы.

Решение 1:

Это простой способ решить проблему. Просто решите для \ (y \), чтобы получить функцию в форме, с которой мы привыкли иметь дело, а затем дифференцируйте.2}}} \]

Итак, это сделать достаточно просто. Однако есть некоторые функции, для которых это невозможно. Вот где в игру вступает второй метод решения.

Решение 2:

В этом случае мы оставим функцию в той форме, которую нам дали, и будем работать с ней в этой форме. Однако давайте вспомним из первой части этого решения, что если бы мы могли решить для \ (y \), то мы получили бы \ (y \) как функцию от \ (x \).Другими словами, если бы мы могли решить для \ (y \) (как мы могли бы в этом случае, но не всегда сможем это сделать), мы получим \ (y = y \ left (x \ right) \). Давайте перепишем уравнение, чтобы это отметить.

\ [xy = x \, y \ left (x \ right) = 1 \]

Будьте осторожны и заметьте, что когда мы пишем \ (y \ left (x \ right) \), мы не имеем в виду \ (y \) раз \ (x \). Здесь мы отмечаем, что \ (y \) является некоторой (возможно, неизвестной) функцией от \ (x \). Об этом важно помнить при выполнении этой техники решения проблем.

Следующим шагом в этом решении является дифференцирование обеих сторон относительно \ (x \) следующим образом:

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left ({x \, y \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {d} {{dx}} \ left (1 \ right) \ ]

Правая сторона легкая. Это просто производная от константы. Левая сторона также проста, но мы должны признать, что у нас действительно есть продукт, \ (x \) и \ (y \ left (x \ right) \). Итак, чтобы произвести производную от левой части, нам нужно выполнить правило продукта.Это дает

\ [\ left (1 \ right) y \ left (x \ right) + x \ frac {d} {{dx}} \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) = 0 \]

Теперь напомним, что у нас есть следующий способ записи производной.

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {{dy}} {{dx}} = y ‘\]

Используя это, мы получаем следующее:

\ [у + ху ‘= 0 \]

Обратите внимание, что мы уронили \ (\ left (x \ right) \) на \ (y \), поскольку он был там только для того, чтобы напомнить нам, что \ (y \) был функцией \ (x \), и теперь что мы взяли производную, она больше не нужна.Мы просто хотели, чтобы в уравнении распознавалось правило продукта, когда мы берем производную.

Итак, давайте теперь вспомним, что нам было нужно. Мы искали производную \ (y ‘\) и заметили, что теперь в уравнении есть \ (y’ \). Итак, чтобы получить производную, все, что нам нужно сделать, это решить уравнение для \ (y ‘\).

\ [y ‘= — \ frac {y} {x} \]

Вот оно. Это наш ответ, используя второй метод решения.{2}}} \]

, что мы и получили от первого решения. Независимо от используемой техники решения, мы должны получить одну и ту же производную.

Процесс, который мы использовали во втором решении предыдущего примера, называется неявным дифференцированием и является предметом этого раздела. В предыдущем примере мы смогли просто решить для \ (y \) и избежать неявного дифференцирования. Однако в оставшихся примерах в этом разделе мы либо не сможем решить для \ (y \), либо, как мы увидим в одном из примеров ниже, ответ не будет в той форме, в которой мы могу разобраться.

Во втором решении выше мы заменили \ (y \) на \ (y \ left (x \ right) \), а затем сделали производную. Напомним, мы сделали это, чтобы напомнить нам, что \ (y \) на самом деле является функцией \ (x \). Мы будем делать это довольно часто в этих задачах, хотя на самом деле мы редко пишем \ (y \ left (x \ right) \). Итак, прежде чем мы фактически займемся проблемами неявного дифференцирования, давайте сделаем быстрый набор «простых» производных, которые, надеюсь, помогут нам в создании производных функций, которые также содержат \ (y \ left (x \ right) \).{у \ влево (х \ вправо)}} \) Показать все решения Скрыть все решения

Они написаны немного иначе, чем мы привыкли здесь видеть. Это потому, что мы хотим сопоставить эти проблемы с тем, что мы будем делать в этом разделе. Кроме того, каждая из этих частей имеет несколько функций, которые нужно различать, начиная с конкретной функции, за которой следует общая функция. Это опять же, чтобы помочь нам с некоторыми конкретными частями процесса неявной дифференциации, который мы будем делать.2} — 7} \ right) \]

и это всего лишь цепное правило. Мы дифференцировали внешнюю функцию (показатель степени 5), а затем умножили это на производную внутренней функции (материал внутри скобок).

Для второй функции мы сделаем в основном то же самое. Нам нужно будет использовать цепное правило. Внешняя функция по-прежнему имеет показатель степени 5, а внутренняя функция на этот раз просто \ (f \ left (x \ right) \). У нас нет здесь конкретной функции, но это не значит, что мы не можем, по крайней мере, записать цепное правило для этой функции.4} е ‘\ влево (х \ вправо) \]

На самом деле мы не знаем, что такое \ (f \ left (x \ right) \), поэтому, когда мы делаем производную внутренней функции, все, что мы можем сделать, это записать обозначение для производной, , т.е. \ (f ‘ \ влево (х \ вправо) \).

В последней функции мы просто заменили \ (f \) во второй функции на \ (y \), поскольку большая часть нашей работы в этом разделе будет включать \ (y \) вместо \ (f \). с. В остальном эта функция идентична второй.4} у ‘\ влево (х \ вправо) \]
b \ (\ sin \ left ({3 — 6x} \ right) \), \ (\ sin \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) \) Показать решение

Первая функция, которую нужно дифференцировать, — это снова проблема с правилом быстрой цепочки, так что вот ее производная,

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left [{\ sin \ left ({3 — 6x} \ right)} \ right] = — 6 \ cos \ left ({3 — 6x} \ right) \ ]

Для второй функции на этот раз мы не стали использовать \ (f \ left (x \ right) \) и просто перешли прямо к \ (y \ left (x \ right) \) для общей версии.Это пока всего лишь общая версия того, что мы сделали для первой функции. Внешняя функция по-прежнему является синусом, а внутренняя задается как \ (y \ left (x \ right) \), и хотя у нас нет формулы для \ (y \ left (x \ right) \), поэтому мы на самом деле не может взять его производную, у нас есть обозначение для ее производной. Вот производная для этой функции,

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left [{\ sin \ left ({y \ left (x \ right)} \ right)} \ right] = y ‘\ left (x \ right) \ cos \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) \]
c \ ({{\ bf {e}} ^ {{x ^ 2} — 9x}} \), \ ({{\ bf {e}} ^ {y \ left (x \ right)}} \) Показать решение

В этой части мы просто дадим ответы по каждому из них и опустим объяснение, которое у нас было в первых двух частях.{у \ влево (х \ вправо)}} \]

Итак, в этом наборе примеров мы просто решали некоторые задачи с цепными правилами, где внутренняя функция была \ (y \ left (x \ right) \) вместо конкретной функции. Такая производная постоянно проявляется при неявном дифференцировании, поэтому нам нужно убедиться, что мы можем их выполнять. Также обратите внимание, что мы сделали это только для трех типов функций, но есть еще много видов функций, которые мы могли бы использовать здесь.

Итак, пришло время решить нашу первую задачу, где требуется неявное дифференцирование, в отличие от первого примера, где мы могли бы фактически избежать неявного дифференцирования, решая для \ (y \).2}} \]

Перед тем, как приступить к этой задаче, мы заявили, что здесь нам нужно выполнить неявное дифференцирование, потому что мы не можем просто решить для \ (y \), и тем не менее это то, что мы только что сделали. Итак, почему мы не можем использовать здесь «нормальную» дифференциацию? Проблема в «\ (\ pm \)». Имея это в «решении» для \ (y \), мы видим, что \ (y \) на самом деле две разные функции. Что мы должны использовать? Стоит ли использовать и то, и другое? Нам нужна только одна функция для производной, и в лучшем случае у нас есть две функции.1} y ‘\ left (x \ right) = 0 \]

На этом этапе мы можем отбросить часть \ (\ left (x \ right) \), поскольку это было только в задаче, чтобы помочь с процессом дифференцирования. Последний шаг — просто решить полученное уравнение для \ (y ‘\).

\ [\ begin {align *} 2x + 2yy ‘& = 0 \\ y’ & = — \ frac {x} {y} \ end {align *} \]

В отличие от первого примера, мы не можем просто подключить \ (y \), так как мы не знаем, какую из двух функций использовать.2} = 9 \]

в точке \ (\ left ({2, \, \, \ sqrt 5} \ right) \).

Показать решение

Во-первых, обратите внимание, что в отличие от всех других задач касательной, которые мы решали в предыдущих разделах, нам нужно задавать значения как \ (x \), так и \ (y \) точки. Также обратите внимание, что эта точка действительно лежит на графике круга (вы можете проверить, подставив точки в уравнение), и поэтому можно говорить о касательной в этой точке.

Напомним, что для записи касательной все, что нам нужно, — это наклон касательной, и это не что иное, как производная, вычисленная в данной точке.У нас есть производная от предыдущего примера, поэтому все, что нам нужно сделать, это подключить данную точку.

\ [m = {\ left. {y ‘} \ right | _ {x = 2, \, y = \ sqrt 5}} = — \ frac {2} {{\ sqrt 5}} \]

Тогда касательная прямая.

\ [y = \ sqrt 5 — \ frac {2} {{\ sqrt 5}} \ left ({x — 2} \ right) \]

А теперь давайте поработаем еще несколько примеров. В остальных примерах мы больше не будем писать \ (y \ left (x \ right) \) вместо \ (y \).Это просто то, что мы делали, чтобы напомнить себе, что \ (y \) на самом деле является функцией \ (x \), чтобы помочь с производными. Увидев \ (y \ left (x \ right) \), мы напомнили нам, что нам нужно применить цепное правило для этой части проблемы. С этого момента мы оставим \ (y \) записанными как \ (y \), и в нашей голове нам нужно будет помнить, что они на самом деле \ (y \ left (x \ right) \ ) и что нам нужно выполнить цепное правило.

Есть простой способ запомнить, как применять цепное правило в этих задачах.Цепное правило действительно говорит нам дифференцировать функцию, как обычно, за исключением того, что нам нужно добавить производную внутренней функции. При неявном дифференцировании это означает, что каждый раз, когда мы дифференцируем терм с \ (y \) в нем, внутренняя функция — это \ (y \), и нам нужно будет добавить \ (y ‘\) к члену, поскольку это будет — производная внутренней функции.

Давайте посмотрим на пару примеров.

Пример 5 Найдите \ (y ‘\) для каждого из следующих значений.3} + 1 \) Показать решение

Сначала дифференцируйте обе стороны относительно \ (x \) и помните, что каждый \ (y \) на самом деле \ (y \ left (x \ right) \), мы просто больше не собираемся писать его таким образом. Это означает, что первый член слева будет правилом продукта.

Мы разграничили эти виды функций, включающих \ (y \) ’, в степень с помощью цепного правила в Примере 2 выше. Также вспомните обсуждение этой проблемы до начала. При решении такой задачи цепного правила все, что нам нужно сделать, это дифференцировать \ (y \) как нормальные, а затем добавить \ (y ‘\), который является не чем иным, как производной от «внутренней функции ».2} г ‘\]

Теперь все, что нам нужно сделать, это найти производную \ (y ‘\). Это просто базовая решающая алгебра, которую вы можете делать. Основная проблема в том, что это может быть более беспорядочно, чем то, к чему вы привыкли. Все, что нам нужно сделать, это получить все члены с \ (y ‘\) в них с одной стороны и все термины без \ (y’ \) с другой. Затем вычлените \ (y ‘\) из всех членов, содержащих его, и разделите обе части на «коэффициент» \ (y’ \). Вот решение для этого,

\ [\ begin {align *} 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3 & = 24 {y ^ 2} y ‘- 5 {x ^ 3} {y ^ 4} y’ \\ 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3 & = \ left ({24 {y ^ 2} — 5 {x ^ 3} {y ^ 4}} \ right) y ‘\\ y’ & = \ frac {{ 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3}} {{24 {y ^ 2} — 5 {x ^ 3} {y ^ 4}}} \ end {align *} \]

Алгебра в этих задачах может быть довольно запутанной, так что будьте осторожны.3}} \ right) \) Показать решение

Нам нужно быть осторожными с этой проблемой. У нас есть пара правил цепочки, с которыми нам придется иметь дело здесь, которые немного отличаются от тех, с которыми мы имели дело до этой проблемы.

И в экспоненте, и в логарифме у нас есть «стандартное» цепное правило, заключающееся в том, что внутри экспоненты и логарифма есть нечто иное, чем просто \ (x \) или \ (y \). Итак, это означает, что здесь мы будем применять правило цепочки, как обычно, а затем, когда мы будем выполнять производную внутренней функции для каждого члена, нам придется иметь дело с дифференцированием \ (y \) ‘s.{- 1}}}} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что для того, чтобы производная хоть немного выглядела лучше, мы преобразовали все дроби в отрицательные показатели.

Хорошо, мы видели одно применение неявного дифференцирования в приведенном выше примере касательной. Однако есть еще одно приложение, которое мы увидим в каждой проблеме в следующем разделе.

В некоторых случаях у нас будет две (или более) функции, каждая из которых является функциями третьей переменной.Итак, у нас могут быть \ (x \ left (t \ right) \) и \ (y \ left (t \ right) \), например, и в этих случаях мы будем дифференцировать по \ (t \) . Это просто неявное дифференцирование, как мы делали в предыдущих примерах, но есть разница.

В предыдущих примерах у нас есть функции, включающие \ (x \) ’s и \ (y \)’ s, и считающие \ (y \) как \ (y \ left (x \ right) \). В этих задачах мы производили дифференцирование по отношению к \ (x \), и поэтому, столкнувшись с \ (x \) в функции, которую мы дифференцировали как нормальную, и когда мы столкнулись с \ (y \), мы дифференцировались как нормальные, за исключением того, что тогда добавили \ (y ‘\) к этому термину, потому что мы действительно применяли цепное правило.

В новом примере, который мы хотим рассмотреть, мы предполагаем, что \ (x = x \ left (t \ right) \) и что \ (y = y \ left (t \ right) \) и дифференцируем по \ (т \). Это означает, что каждый раз, когда мы сталкиваемся с \ (x \) или \ (y \), мы будем выполнять цепное правило. Это, в свою очередь, означает, что когда мы дифференцируем \ (x \), нам нужно будет добавить \ (x ‘\), и всякий раз, когда мы дифференцируем \ (y \), мы будем добавлять \ (y’ \).

Эти новые типы проблем на самом деле аналогичны задачам, которые мы обсуждали в этом разделе.{1 — x}} + 5y ‘\ sin \ left ({5y} \ right) = 2yy’ \]

В этой проблеме действительно не так уж и много. Поскольку в задаче есть две производные, мы не будем пытаться решить одну из них. Когда мы решаем такую ​​задачу в следующем разделе, проблема будет подразумевать, какую из них нам нужно решить.

На данный момент, похоже, нет реальной причины для решения такого рода задач, но, как мы увидим в следующем разделе, каждая задача, которую мы будем там решать, будет включать в себя такого рода неявную дифференциацию.

python — Построение неявных уравнений в 3D

Обновление : я наконец нашел простой способ визуализировать неявную трехмерную поверхность с matplotlib и scikit-image , см. Мой другой ответ. Я оставил того, кто интересуется построением параметрических 3D поверхностей.

Мотивация

Поздний ответ, мне просто нужно было сделать то же самое, и я нашел другой способ сделать это в некоторой степени. Так что я разделяю эту другую точку зрения.

Это сообщение не отвечает: (1) Как построить любую неявную функцию F (x, y, z) = 0 ? Но отвечает ли: (2) Как построить параметрические поверхности (не все неявные функции, но некоторые из них) с использованием сетки с matplotlib ?

@ Метод Пола имеет то преимущество, что он непараметрический, поэтому мы можем построить практически все, что захотим, используя контурный метод на каждой оси, он полностью обращается к (1). Но matplotlib не может легко построить сетку с помощью этого метода, поэтому мы не можем напрямую получить из него поверхность, вместо этого мы получаем плоские кривые во всех направлениях.Это то, что мотивировало мой ответ, я хотел обратиться (2).

Сетка рендеринга

Если мы можем параметризовать (это может быть сложно или невозможно), используя не более двух параметров, поверхность, которую мы хотим построить, мы можем построить ее с помощью метода matplotlib.plot_trisurf .

То есть из неявного уравнения F (x, y, z) = 0 , если мы можем получить параметрическую систему S = {x = f (u, v), y = g (u, v ), z = h (u, v)} , то мы можем легко построить график с помощью matplotlib , не прибегая к контуру .

Тогда рендеринг такой 3D-поверхности сводится к:

  # Визуализация:
ax = plt.axes (проекция = '3d')
ax.plot_trisurf (x, y, z, triangles = tri.triangles, cmap = 'jet', antialiased = True)

Где (x, y, z) — векторы (а не meshgrid , см. ravel ), функционально вычисленные из параметров (u, v) треугольников и Параметр — это триангуляция, полученная из (u, v ) параметров для выступа конструкции сетки.

Импорт

Требуемый импорт:

  импортировать numpy как np
импортировать matplotlib.pyplot как plt
из mpl_toolkits импортировать mplot3d
из matplotlib.tri import Triangulation

Некоторые поверхности

Давайте параметризуем некоторые поверхности …

Сфера
  # Параметры:
тета = np.linspace (0, 2 * np.pi, 20)
phi = np.linspace (0, np.pi, 20)
тета, фи = np.meshgrid (тета, фи)
rho = 1

# Параметризация:
x = np.ravel (rho * np.cos (тета) * np.sin (фи))
y = np.равл (rho * np.sin (тета) * np.sin (phi))
z = np.ravel (rho * np.cos (фи))

# Триангуляция:
tri = Триангуляция (np.ravel (theta), np.ravel (phi))

Конус
  тета = np.linspace (0, 2 * np.pi, 20)
rho = np.linspace (-2, 2, 20)
тета, ро = np.meshgrid (тета, ро)

x = np.ravel (rho * np.cos (тета))
y = np.ravel (rho * np.sin (тета))
z = np.ravel (rho)

tri = Триангуляция (np.ravel (theta), np.ravel (rho))

Тор
  а, с = 1, 4
u = np.linspace (0, 2 * np.пи, 20)
v = u.copy ()
u, v = np.meshgrid (u, v)

х = np.ravel ((c + a * np.cos (v)) * np.cos (u))
y = np.ravel ((c + a * np.cos (v)) * np.sin (u))
z = np.ravel (a * np.sin (v))

tri = Триангуляция (np.ravel (u), np.ravel (v))

Лента Мебиуса
  u = np.linspace (0, 2 * np.pi, 20)
v = np.linspace (-1, 1, 20)
u, v = np.meshgrid (u, v)

x = np.ravel ((2 + (v / 2) * np.cos (u / 2)) * np.cos (u))
y = np.ravel ((2 + (v / 2) * np.cos (u / 2)) * np.sin (u))
z = np.ravel (v / 2 * np.sin (u / 2))

tri = Триангуляция (np.ravel (u), np.равл (v))

Ограничение

В большинстве случаев требуется Triangulation , чтобы координировать построение сетки методом plot_trisurf , и этот объект принимает только два параметра, поэтому мы ограничены 2D параметрическими поверхностями. Маловероятно, что мы могли бы представить клубок Гурса с помощью этого метода.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *