Центральная (перспективная) проекция
Наиболее реалистично трехмерные объекты выглядят в центральной проекции из-за перспективных искажений сцены. Центральные проекции параллельных прямых, не параллельных плоскости проекции будут сходиться в точке схода. В зависимости от числа точек схода, т.е. от числа координатных осей, которые пересекает плоскость проекции, различаются одно, двух и трехточечные центральные проекции. Иллюстрация одно-, двух- и трехточечной центральных проекций куба приведена на рис.1.12.
Рис. 1.12: Одно-, двух- и трехточечная центральные проекции куба
Наиболее широко используется двухточечная центральная проекция.
Выведем
матрицу, определяющую центральное
проецирование для простого случая
одноточечной проекции (рис. 1.13), когда
плоскость проекции перпендикулярна
оси Z и расположена на расстоянии d от
начала координат. (Здесь используется
удобная для машинной графики левосторонняя
система координат).
Рис. 1.13: Центральная проекция точки P0 в плоскость Z = d
Начало отсчета находится в точке просмотра. Ясно, что изображения объектов, находящиеся между началом координат и плоскостью проекции увеличиваются, а изображения объектов, расположенных дальше от начала координат, чем плоскость проекции уменьшаются.
Из рис. 1.13 видно, что для координат (X1,Y1) точки P1, полученной проецированием точки P0(X,Y,Z) в плоскость Z = d (плоскость экрана) выполняются следующие соотношения:
X1 d | = | X Z | , | X1 d | = | X Z | , X1 = | X Z/d | , Y1 = | Y Z/d | . |
Такое преобразование может быть представлено матрицей 4×4
Для перехода к декартовым координатам делим все на z/d и получаем:
[ X/(Z/d) Y/(Z/d) d 1 ]. |
Если же точка просмотра расположена в плоскости проекции, тогда центр проекции расположен в точке ( 0, 0, -d ). Рассматривая подобные треугольники, аналогично вышеописанному, можем получить:
X1 = | X Z/d + 1 | ; Y1 = | Y Z/d + 1 | . |
Матрица преобразования в этом случае имеет вид:
Матрица M0 может быть представлена в виде:
M0 = T(0, 0, d) ·Mц ·T (0, 0, -d), |
т.
Специальные перспективные проекции — проекции на цилиндрические, конические, сферические и др. поверхности с последующим разворачиванием полученной проекции на плоскость.
Проекция на цилиндрическую поверхность позволяет показывать объекты с очень большими углами зрения — вплоть до круговой панорамы.
Трудности сферических проекций прежде всего в том, что сфера на плоскость без разрывов не развертывается. Если точки пространства проецируются на поверхность сферы лучами, проходящими через некоторую точку внутри сферы, то перепроецировать их отображения на плоскость можно множеством способов, например ортогональным проецированием параллельными лучами, способом развертки меридианов и др.
Среди
этих различных способов выделяется стереографический;
в нем со сферы на плоскость точки
перепроецируются прямолинейными лучами,
проходящими через полюс сферы, диаметрально
противоположный тому, в котором сфера
касается плоскости.
При этом способе
углы между пересекающимися линиями на
сфере и их отображениями на плоскости
равны.
Еще один вид специальных проекций — стереоскопические. Простейший вид стереоизображения образуется с помощью стереопары — двух перспективных проекций, построенных каждая для своего глаза. Принцип создания и расчета таких изображений показан на рисунке 1.14
.
Рис.1.14. Расчет стереопроекции
Математические основы машинной графики
Математические основы машинной графики
ОглавлениеПредисловие к русскому изданиюПредисловие Предисловие к первому изданию Благодарности Глава 1. Введение в машинную графику 1-1 ОБЗОР МАШИННОЙ ГРАФИКИ 1-2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ 1-3 ПОДГОТОВКА ИЗОБРАЖЕНИЙ ДЛЯ ВЫВОДА 1-4 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ПОДГОТОВЛЕННОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ 1-5 ОРГАНИЗАЦИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ИЗОБРАЖЕНИЕМ 1-6 ТИПЫ ГРАФИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ 1-7 ГРАФИЧЕСКИЕ ДИСПЛЕИ НА ЗАПОМИНАЮЩЕЙ ТРУБКЕ 1-8 ГРАФИЧЕСКИЕ ДИСПЛЕИ С РЕГЕНЕРАЦИЕЙ ИЗОБРАЖЕНИЯ 1-9 РАСТРОВЫЕ ГРАФИЧЕСКИЕ ДИСПЛЕИ С РЕГЕНЕРАЦИЕЙ ИЗОБРАЖЕНИЯ 1-10 УСТРОЙСТВО ЭЛЕКТРОННО-ЛУЧЕВОЙ ТРУБКИ 1-11 УСТРОЙСТВО ЦВЕТНОЙ РАСТРОВОЙ ЭЛТ 1-12 СИСТЕМЫ С ТЕЛЕВИЗИОННЫМ РАСТРОМ 1-13 ДИСПЛЕИ С ПЛОСКИМ ЭКРАНОМ 1-14 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ГРАФОПОСТРОИТЕЛИ 1-15 ЛАЗЕРНЫЕ ПЕЧАТАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА 1-16 МАТРИЧНЫЕ ГРАФОПОСТРОИТЕЛИ 1-17 УСТРОЙСТВО СТРУЙНОЙ ПЕЧАТИ 1-18 УСТРОЙСТВО ТЕРМОПЕЧАТИ 1-19 ПЕРЬЕВЫЕ ГРАФОПОСТРОИТЕЛИ 1-20 ЦВЕТНЫЕ ВИДЕОКАМЕРЫ 1-21 АКТИВНЫЕ И ПАССИВНЫЕ ГРАФИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА 1-22 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МАШИННОЙ ГРАФИКИ 1-23 ЛИТЕРАТУРА Глава 2.  Двумерные преобразования2-1 ВВЕДЕНИЕ 2-2 ИЗОБРАЖЕНИЕ ТОЧЕК 2-3 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МАТРИЦЫ 2-4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧЕК 2-5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ 2-6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СРЕДНЕЙ ТОЧКИ 2-7 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ 2-8 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ 2-9 ПОВОРОТ 2-10 ОТРАЖЕНИЕ 2-11 МАСШТАБИРОВАНИЕ 2-12 КОМБИНИРОВАННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 2-13 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЕДИНИЧНОГО КВАДРАТА 2-14 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЖЕСТКИХ КОНСТРУКЦИЙ 2-15 ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ 2-16 ПОВОРОТ ВОКРУГ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ 2-17 ОТРАЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРЯМОЙ 2-18 ПРОЕЦИРОВАНИЕ – ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОДНОРОДНЫХ КООРДИНАТ 2-19 ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ МАСШТАБИРОВАНИЕ 2-20 ТОЧКИ БЕСКОНЕЧНОСТИ 2-22 ЛИТЕРАТУРА Глава 3. Пространственные преобразования и проекции 3-1 ВВЕДЕНИЕ 3-2 ТРЕХМЕРНОЕ МАСШТАБИРОВАНИЕ 3-3 ТРЕХМЕРНЫЕ СДВИГИ 3-4 ТРЕХМЕРНОЕ ВРАЩЕНИЕ 3-5 ТРЕХМЕРНОЕ ОТРАЖЕНИЕ 3-6 ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПЕРЕНОС 3-7 КОМПОЗИЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 3-8 ПОВОРОТЫ ВОКРУГ ОСИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ КООРДИНАТНОЙ ОСИ 3-9 ПОВОРОТ ВОКРУГ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ В ПРОСТРАНСТВЕ 3-10 ОТРАЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ 3-11 АФФИННАЯ И ПЕРСПЕКТИВНАЯ (НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ) ГЕОМЕТРИЯ 3-12 ОРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ 3-13 АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ 3-14 КОСОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ 3-15 ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 3-16 МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ВИДОВ 3-17 ТОЧКИ СХОДА 3-18 ФОТОГРАФИЯ И ПЕРСПЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 3-19 СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ 3-20 СРАВНЕНИЕ ДВУХ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ ПРОЕКЦИЙ – С ФИКСИРОВАННЫМ ОБЪЕКТОМ И С ФИКСИРОВАННЫМ ЦЕНТРОМ ПРОЕКЦИИ 3-21 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ ПО ПРОЕКЦИЯМ 3-22 ЛИТЕРАТУРА Глава 4 Плоские кривые 4-1 ВВЕДЕНИЕ 4-2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КРИВЫХ 4-3 НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ 4-4 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ 4-5 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ 4-6 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА 4-7 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПАРАБОЛЫ 4-8 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ 4-9 ПРОЦЕДУРА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ 4-10 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ 4-11 ЛИТЕРАТУРА Глава5 Пространственные кривые 5-1 ВВЕДЕНИЕ 5-2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 5-3 КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ 5-4 НОРМАЛИЗОВАННЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ 5-5 ДРУГИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 5-6 ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 5-7 ОБОБЩЕННАЯ ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 5-8 КРИВЫЕ БЕЗЬЕ 5-9 В-СПЛАЙНЫ 5-10 КОНЕЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ В-СПЛАЙНОВ 5-11 ПОДГОНКА В-СПЛАЙНОВ 5-12 РАЗБИЕНИЕ В-СПЛАЙНОВ 5-13 РАЦИОНАЛЬНЫЕ В-СПЛАЙНЫ 5-14 ЛИТЕРАТУРА Глава 6 Поверхности 6-2 ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 6-3 ЗАМЕТАЮЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ 6-4 КВАДРАТИЧНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 6-5 КУСОЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 6-6 ОТОБРАЖЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 6-7 БИЛИНЕЙНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ 6-8 ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ 6-9 ЛИНЕЙНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ КУНСА 6-10 БИКУБИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ КУНСА 6-11 ПОВЕРХНОСТИ БЕЗЬЕ 6-12 В-СПЛАЙН ПОВЕРХНОСТИ 6-13 В-СПЛАЙН ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 6-14 РАЗБИЕНИЕ В-СПЛАЙН ПОВЕРХНОСТЕЙ 6-15 ГАУССОВА КРИВИЗНА И КАЧЕСТВО ПОВЕРХНОСТИ 6-16 РАЦИОНАЛЬНЫЕ В-СПЛАЙН ПОВЕРХНОСТИ 6-17 ЛИТЕРАТУРА |
). Книгу отличает глубина и фундаментальность материала, четкий и лаконичный стиль изложения, удачное сочетание строгости подхода с практической направленностью. От читателя требуется знакомство с математикой в объеме вузовской программы и знание одного из языков программирования.
Перспективная проекция — Ariel Dynamics
Перспективная проекция — это тип чертежа, который графически аппроксимирует
плоская (двухмерная) поверхность (например, бумага) изображения трехмерных
объекты так, чтобы приблизиться к реальному визуальному восприятию.
Это иногда также
называется вид в перспективе или рисунок в перспективе или просто перспектива .
Все перспективы на плоской поверхности имеют некоторую степень искажения, подобно искажение, создаваемое при изображении земной поверхности на плоской карте.
Линейная перспектива — это искусство представления трехмерных конструкций. на двумерной поверхности. Он предполагает фиксированную точку зрения и желание создать «объективную» запись своего зрительного опыта — два условия которые были наиболее доминирующими в западном искусстве прошлого полтысячелетия.
Как только наблюдатель принимает единую точку зрения, следуют несколько выводов
логически. Первый и самый важный: кажется, что объекты становятся меньше.
по мере увеличения их расстояния от наблюдателя. Что это не самоочевидно в
искусство становится очевидным даже при поверхностном знакомстве с искусством других культур и эпох.
— чаще всего объекты рисуются или раскрашиваются определенного размера по причинам,
не имеют ничего общего с их положением в пространстве.
В средневековом Страшном суде
картины, например, относительный масштаб различных фигур определяется
только их сакральным значением; самые важные – самые большие.
Как только вы заметите уменьшение масштаба с расстоянием, можно легко перейти к понимание того, почему расстояние между параллельными линиями также должно казаться уменьшающимся. Стена, удаляющаяся от наблюдателя, будет казаться все короче, и верхний и нижний края стены, таким образом, будут казаться сдвинутыми ближе вместе.
Это был огромный концептуальный скачок, когда художники пришли к выводу, что эти линии,
если бы они были продлены на неопределенный срок, казалось бы, они встречаются в одной точке на горизонте.
Эта идея, давно проверенная, скорее всего, возникла на основе теоретического анализа
процесс видения, а не прямого наблюдения. Ван Эйк, например,
не в состоянии создать последовательную структуру для сходящихся линий на картинах
как лондонский «Портрет Арнольфини», потому что он не знал о теоретической
прорыв, как раз тогда происходящий в Италии.
Ниже приведены описания трех основных разновидностей перспективной техники. Обратите внимание, что единственная разница между этими тремя разновидностями заключается в ориентации линейные объекты просматриваются относительно зрителя.
1. Одноточечная перспектива
Если точка обзора направлена прямо на линейный объект, такой как здание или дорога, можно было бы использовать одну точку схода, которая является основным фокусом. Все линии, перпендикулярные пластине для рисования, исчезли бы в крайний предел; точка схода.
Точнее, одноточечная перспектива существует, когда пластина для рисования (также
известная как картинная плоскость) параллельна «картезианской сцене» (см. также
декартова система координат) — сцена, полностью состоящая из линейных
элементы, пересекающиеся только под прямым углом. Следовательно, все элементы либо
параллельно окрасочной пластине (горизонтально или вертикально) или
перпендикулярно ему. Все элементы, расположенные параллельно покрасочной пластине,
нарисованы параллельными линиями.
Все элементы, перпендикулярные картине
пластины сходятся в одной точке на горизонте.
2. Двухточечная перспектива
Если линии имеют углы к рисунку, они исчезнут в другие точки схода. Есть много точки схода, гомологичные разные углы. Но все точки схода должны располагаться в одном горизонтальная линия с фокусом.
Другими словами, двухточечная перспектива является производной от одноточечной перспективы отклоняя линию обзора так, чтобы линия обзора находилась под острым углом угол от фокуса. Затем линии, которые раньше были горизонтальными и параллель теперь будет совпадать, пересекаясь на горизонте. интерпретируется согласно проективной геометрии, горизонтальные параллельные прямые одной точки перспективы на самом деле параллельны, пересекаются в точке в бесконечности [1:0:1]. При повороте головы на небольшой угол эти линии исчезают. пересекаются в идеальной точке, но в аффинной точке на горизонте, поэтому они уже не параллельно.
Точнее, двухточечная перспектива существует, когда пластина для рисования
параллельно «картезианской сцене» (сцене, полностью состоящей из линейных элементов
пересекающиеся только под прямым углом) по одной оси (обычно оси z), но не
параллельно двум другим осям.
Обратите внимание, что если просматриваемая сцена состоит
исключительно цилиндра, расположенного на горизонтальной плоскости, нет никакой разницы в
изображение цилиндра между одноточечной и двухточечной перспективой.
3. Трехточечная перспектива
Если линии идут под углом от пластины для рисования вверх или вниз, можно использовать другие точки схода. Эти точки схода должны быть расположены на одной вертикальной линии с фокусом. Глядя на объект сверху или внизу горизонтальная линия с фокусом и всеми остальными вторыми точками схода оставил бы горизонт вверх или вниз.
Трехточечная перспектива существует, когда плоскость изображения просматривает «Декартова сцена» (сцена, целиком состоящая из линейных элементов, пересекающихся в прямые углы) и не параллельна ни одной из трех осей сцены. Элементы, которые параллельны каждой из трех осей, будут сходиться к трем точкам схода соответственно.
Другие разновидности перспективы
Ключевым моментом, который следует отметить, является то, что перспектива с одной, двумя и тремя точками
зависят от структуры просматриваемой сцены.
Они существуют только для
строгие картезианские сцены.
Обратите внимание, что если вставить в декартову сцену набор параллельных линий, не параллельны ни одной из трех осей сцены, новый четкий исчезающий точка создана.
Таким образом, можно иметь бесконечную перспективу, если сцена просматриваемая сцена не является декартовой сценой, а состоит из бесконечных пар параллельные прямые, где каждая пара не параллельна никакой другой паре.
Из-за того, что точки схода существуют только тогда, когда параллельные линии присутствует в сцене, перспектива с нулевой точкой также возможна, если зритель наблюдаем нелинейную сцену. Одним из примеров является случайный (т. е. не выровненный в трехмерная декартова система координат) расположение сферических объектов. Другим может быть сцена, полностью состоящая из трехмерных криволинейных струны. Третьим примером может быть сцена, состоящая из строк, где нет двух одинаковых строк. параллельно друг другу.
See also
| 2D | Two-dimensional coordinate system |
| 3D | Three-dimensional coordinate system |
| Angle | Definition of an angle |
| Axis | Definition декартовой оси |
| Декартова геометрия | Что такое Декартова геометрия? |
| Система координат | Определение координат |
| Кривая | Определение кривой |
| Расстояние | Определение расстояния |
| Евклидова геометрия | Что такое Евклидова геометрия? |
| Геометрия | Определение геометрии |
| Длина | Определение длины |
| Строка | Определение | 910159999 гг. 0060 |
| Perspective projection | Definition of perspective projection |
| Planar homography | Definition of planar homography |
| Plane | Definition of a plane |
| Point | Definition of a point |
| Точка (кинематика) | Определение точки (кинематика) |
| Проективная геометрия | Что такое проективная геометрия? |
| Segment (kinematics) | Definition of a segment (kinematics) |
| Vanishing points | Definition of vanishing points and vanishing lines in perspective projection |
| Vector | Definition of a vector |
Статья о перспективе+проекция от The Free Dictionary
Перспектива+проекция | Статья о перспективе+проекции The Free DictionaryПерспектива+проекция | Статья о перспективе+проекции The Free Dictionary
Слово, не найденное в Словаре и Энциклопедии.