Основы линейной алгебры. Учебник./ 5-е изд. (Анатолий Мальцев)
1 053 ₽
+ до 157 баллов
Бонусная программа
Итоговая сумма бонусов может отличаться от указанной, если к заказу будут применены скидки.
Буду ждать
Цена на сайте может отличаться от цены в магазинах сети. Внешний вид книги может отличаться от изображения на сайте.
Нет в наличии в магазинах сети
Цена на сайте может отличаться от цены в магазинах сети. Внешний вид книги может отличаться от изображения на сайте.
Линейная алгебра — ветвь математики столь же старая, как и сама математика. В ней изучаются объекты трех родов: матрицы, пространства и алгебраические формы. Наиболее отчетливое понимание внутренних связей между различными задачами линейной алгебры достигается лишь при рассмотрении соответствующих линейных пространств.
. Для студентов математических, физических и технических специальностей.
Описание
Характеристики
Линейная алгебра — ветвь математики столь же старая, как и сама математика. В ней изучаются объекты трех родов: матрицы, пространства и алгебраические формы. Наиболее отчетливое понимание внутренних связей между различными задачами линейной алгебры достигается лишь при рассмотрении соответствующих линейных пространств. . Для студентов математических, физических и технических специальностей.
Лань
На товар пока нет отзывов
Поделитесь своим мнением раньше всех
Как получить бонусы за отзыв о товаре
1
Сделайте заказ в интернет-магазине
2
Напишите развёрнутый отзыв от 300 символов только на то, что вы купили
3
Дождитесь, пока отзыв опубликуют.
Если он окажется среди первых десяти, вы получите 30 бонусов на Карту Любимого Покупателя.
Можно писать
неограниченное количество отзывов к разным покупкам – мы начислим бонусы за каждый, опубликованный в
первой десятке.Правила начисления бонусов
Если он окажется среди первых десяти, вы получите 30 бонусов на Карту Любимого Покупателя. Можно писать неограниченное количество отзывов к разным покупкам – мы начислим бонусы за каждый, опубликованный в первой десятке.
Правила начисления бонусов
Книга «Основы линейной алгебры. Учебник./ 5-е изд.» есть в наличии в интернет-магазине «Читай-город» по привлекательной цене.
Если вы находитесь в Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде, Казани, Екатеринбурге, Ростове-на-Дону или любом
другом регионе России, вы можете оформить заказ на книгу
Анатолий Мальцев
«Основы линейной алгебры. Учебник./ 5-е изд.
ЭБ СПбПУ — Индивидуальные расчетные задания по теме «Основы линейной алгебры»: учебное пособие
|
Разрешенные действия: Прочитать Группа: Анонимные пользователи Сеть: Интернет |
Аннотация
Учебное пособие представляет собой сборник индивидуальных домашних расчетных заданий по работе с матрицами и определителями и по решению систем линейных алгебраических уравнений.
Пособие содержит 30 различных вариантов, в каждом из которых имеется 9 заданий. Предназначено для преподавателей и студентов первых двух курсов, изучающих общий курс высшей математики по подготовке бакалавров и специалистов всех общетехнических и экономических направлений очного и заочного обучения.
Права на использование объекта хранения
| Место доступа | Группа пользователей | Действие | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Локальная сеть ИБК СПбПУ | Все | |||||
| Интернет | Все |
Статистика использования
Linear Algebra 101 — Часть 1.
Я считаю, что понимание фундаментально… | Шо Накагоме | sho.jpЯ считаю, что понимание фундаментальных понятий имеет решающее значение, когда дело доходит до изучения чего-то продвинутого. Почему? Потому что основы — это основа, на которой вы строите свои передовые знания. Если вы поместите больше вещей поверх слабой основы, она может в конце концов развалиться, а это означает, что вы в конечном итоге не полностью поймете ни один из материалов, которые вы изучили. Затем вам, возможно, придется вернуться еще раз, чтобы изучить основы, прежде чем вернуться к изучению самых захватывающих продвинутых материалов, которые могут занять много времени.
Линейная алгебра — одна из фундаментальных тем, с которой вы должны хорошо разбираться. Меня особенно интересует интерфейс мозг-компьютер (BCI), и многие области, составляющие поле, используют линейную алгебру в качестве основы (например, цифровая обработка сигналов, оценка в пространстве состояний, машинное обучение, глубокое обучение и т.
д.).
В этой серии «На пути к пониманию линейной алгебры» я расскажу о темах, основанных на знаменитых и превосходных лекциях доктора Гилберта Стрэнга. Это очень хорошая лекция, и я настоятельно рекомендую вам посмотреть все видео. Моя цель здесь состоит в том, чтобы предоставить вам достаточно деталей для понимания ключевых концепций его лекций, чтобы вы могли извлечь из них максимальную пользу за минимальное количество времени.
Достаточно сказано, приступим! 👍
Начинаю цикл статей по линейной алгебре со следующими темами:
- Исключение матриц (гауссовское исключение)
- Эшелонная форма строк
- Сокращенная форма эшелона строк (rref)
- Векторное подпространство
- 4
Если вы знаете все вышеперечисленное, вы готовы к работе. У меня есть краткое изложение их внизу, чтобы вы могли быстро повторить эти ключевые концепции.
Введение в форму исключения строк и сокращенную эшелонированную форму строк
Вы помните, когда вы учились в начальной или средней школе, пытаясь решить что-то вроде приведенного ниже на уроке математики?
Бьюсь об заклад, чтобы решить эту проблему, вы делали что-то вроде этого:
Это было достаточно просто.
Попробуем решить это с помощью матриц. Это первый шаг в линейной алгебре. Делаем исключения.
Сначала нам нужно выразить исходные уравнения в матричной форме.
Вы можете решить это так же, как и в начале. Использование Исключение Гаусса .
Исключение Гаусса — Википедия
В линейной алгебре исключение Гаусса (также известное как редукция строк) — это алгоритм решения систем линейных…
en.wikipedia.org решить и вывести с помощью «|» а выполнение редукции строк часто называют «исключением по Гауссу».
Это очень похоже на то, что мы делали в квадратном уравнении, но вы видите, что мы оставили «1» в верхней строке и сделали 2-ю строку 1-м элементом «0»? Это называется « строка эшелон формы (исх.)». По определению, эшелонированная форма строк удовлетворяет следующим условиям (из Википедии):
- Все ненулевые строки (строки, содержащие хотя бы один ненулевой элемент) выше любых строк, состоящих из всех нулей (все нулевые строки, если они есть, принадлежат нижней части матрицы)
- Опорная точка (первое ненулевое число слева) ненулевой строки всегда находится строго справа от опорной строки над ней (в некоторых текстах добавлено условие, что старший коэффициент должен быть 1).
Эшелонная форма строк — Википедия
В линейной алгебре матрица имеет эшелонированную форму, если она имеет форму, полученную в результате исключения Гаусса. Эшелон рядов…
en.wikipedia.org
Тогда отсюда мы можем решить уравнения следующим образом:
Вы можете решить так, но люди обычно так не решают.По-видимому, это не лучший способ решения в линейной алгебре, потому что вы все еще выполняете некоторые вычисления после того, как вернетесь к квадратичной форме. Разве нет способа полностью решить эту проблему, просто исключив строку? Есть!
Обратите внимание, что вы можете разделить конкретную строку таким образом и попытаться сделать «повороты» = 1 во всех строках. Эта форма в левой части | это то, что называется « уменьшенной формой эшелона строки (rref)», и приведение объединенной матрицы (вашей исходной матрицы и выходных данных) к этой форме называется «исключением Гаусса-Джордана».
Давайте подытожим форму сокращенного эшелона строк (rref) по определению, потому что это одна из самых важных форм здесь:
- Он находится в форме эшелонированного ряда.
- Каждая опорная точка равна 1 и является единственной ненулевой записью в своем столбце.
Эшелонная форма строк — Википедия
В линейной алгебре матрица имеет эшелонированную форму, если она имеет форму, полученную в результате исключения Гаусса. Эшелон строк…
en.wikipedia.org
Введение в векторное пространство
Итак, теперь мы знаем, что можем решить знакомые квадратные уравнения с помощью линейной алгебры, но задумывались ли вы когда-нибудь о том, что ответы означают в геометрии? (х=2 и у=1)
Преобразуем исходное квадратное уравнение в другую форму.
Эта форма показывает, что у вас есть 2 столбца, каждый из которых умножается на «x» и «y», чтобы получить вектор-столбец (11, 6). Обратите внимание, что вы можете разложить любое матричное умножение следующим образом = суммирование векторов-столбцов с некоторыми коэффициентами.
Давайте посмотрим, как эти векторы-столбцы отображаются на графике.
Поскольку у нас есть x = 2 и y = 1 в качестве решения, мы умножаем 1-й вектор-столбец на 2 (удлиняем на 2).
А суммирование векторов означает перемещение одного результирующего вектора параллельно и соединение с другим вектором для проведения линии из начала координат. Это дает нам результат (11, 6). Если подумать, 2 * (3, 1) = (6, 2) и добавление этого к (5, 4) дает нам (11, 6).
Теперь вы действительно вступили в то, что называется «векторным пространством»! Векторное пространство — это пространство, представленное векторами (в нашем случае векторами-столбцами). Это не ограничивается 2D-примером, который я только что показал вам выше.
Векторное пространство — Википедия
Векторное пространство (также называемое линейным пространством) представляет собой набор объектов, называемых векторами, которые могут быть сложены вместе и…
en.m.wikipedia.org
удовлетворять сложению векторов (например, когда мы добавили два вектора, чтобы получить результат) и умножению на скаляр (например, когда мы умножили вектор 1-го столбца на скаляр 2) и остались в том же векторном пространстве.
- Первая операция, называемая сложением векторов или просто дополнение + : V × V → V , берет любые два вектора v и w и присваивает им третий вектор, который обычно записывается как v w + , и называется суммой этих двух векторов. (Обратите внимание, что результирующий вектор также является элементом множества V ).
- Вторая операция, называемая скалярным умножением · : F × В → В ， принимает любой скаляр a и любой вектор v и дает другой вектор a v . (Аналогично вектор a v является элементом множества V ).
Введение в подпространство
И есть еще одна важная концепция, называемая « подпространство », иногда называемая «линейным подпространством».
Подпространство немного хитрое. Это векторное пространство внутри векторного пространства. Я запутал вас? Извини за это. Позвольте мне объяснить более подробно.
В показанном выше примере у нас есть 2 вектора-столбца. Эти векторы-столбцы могут фактически представлять любые точки на двумерной плоскости. Допустим, вы хотите (0, 0), тогда мы просто устанавливаем x = 0 и y = 0. Давайте возьмем более сложный пример, скажем, вы хотите (1, 2). Без проблем. Если вы решите так, как мы только что сделали, мы получим x = -6/7 и y = 5/7. Таким образом, эти 2 вектора-столбца составляют это векторное пространство. Думайте об этом как о самолете, листе бумаги, закрывающем ось. Независимо от того, где вы рисуете точку на бумаге, есть способ представить это с помощью двух векторов-столбцов.
Подпространство — это пространство в векторном пространстве. Если рассматривать приведенный выше пример как подпространство, то это подпространство находится внутри некоторого другого (большего или большего) векторного пространства.
Вернитесь к примеру с листом бумаги. Если перед вами лист бумаги, коснитесь его, поднимите вверх, поверните. Да, лист бумаги — это двухмерное пространство, но место, где вы играете с этим листом бумаги, находится в трехмерном мире. В этом случае двумерное пространство на бумаге — это подпространство, а мир, в котором вы живете, — это большее векторное пространство.
Я использовал приведенный выше пример, чтобы просто дать вам представление, но есть определенные правила, которым должно соответствовать подпространство.
Вот определение: пусть K будет полем (например, вещественными числами), V будет векторным пространством над K , и пусть W будет подмножеством V . Тогда W является подпространством , если:
- Нулевой вектор 0 находится в W .
- Если и и и являются элементами числа W , то сумма u + v является элементом W .
- Если u является элементом W и c является скаляром из K , то скалярное произведение c u является элементом W 9 .
Если вы вернетесь к исходному примеру, который я дал вам выше, подумайте о W как о листе бумаги, на котором я нарисовал ось с двумя векторами-столбцами. Он должен иметь нулевой вектор (начало координат), как указано в 1-м определении. можно подумать u и v как два вектора-столбца, которые мы обсуждали. Становится ясно? Бьюсь об заклад, не с первой попытки 😔
Линейное подпространство — Википедия
В линейной алгебре и смежных областях математики линейное подпространство, также известное как векторное подпространство, или, в…
en.wikipedia.org
Не волнуйся. Иногда понимание определенной концепции требует времени. Мой совет — не просто сосредоточиться на одном материале и попытаться его понять, но вместо этого просмотреть как можно больше материала по той же теме, которую вы пытаетесь понять, чтобы получить разные точки зрения на одну и ту же тему.
Это поможет вам понять концепцию. Я публикую здесь видеолекцию из открытого курса MIT, но вы также можете попробовать погуглить «линейное подпространство», чтобы получить доступ к множеству материалов. Я предлагаю вам потратить некоторое время на эту тему, прежде чем идти дальше.
Хорошо. Это было векторное пространство и подпространство. В следующей статье я расскажу о нулевом пространстве и ранге.
- Исключение матрицы (исключение Гаусса)
Это способ выполнения сокращения для каждой строки, чтобы преобразовать матрицу в форму, которую вам легче использовать.
- Эшелонная форма строк
Эшелонная форма строк должна удовлетворять двум условиям: 1) Все ненулевые строки выше любых строк, состоящих из всех нулей. 2) Опорная точка ненулевой строки всегда находится строго справа от опорной строки над ней.
- Сокращенная ступенчатая форма строки (rref)
Сокращенная ступенчатая форма строки (rref) должна удовлетворять двум условиям: 1) Она имеет форму ступенчатого ряда.
2) Каждая опорная точка равна 1 и является единственной ненулевой записью в своем столбце.
- Векторное пространство
Это пространство, представленное линейной комбинацией векторов.
- Подпространство
Определение подпространства — это подмножество, которое само является векторным пространством.
Я надеюсь, что это поможет, и следите за обновлениями для более интересных тем о линейной алгебре!
На пути к пониманию линейной алгебры — часть 2
Прежде чем перейти к этой статье, обратите внимание, что эти истории представляют собой серию статей «На пути к пониманию линейной алгебры…» линейной алгебры имеют решающее значение для понимания теории машинного обучения, особенно для глубокого обучения. Они дают вам лучшее представление о том, как на самом деле работают алгоритмы, что позволяет вам принимать более обоснованные решения. Поэтому, если вы действительно хотите стать профессионалом в этой области, вам не избежать освоения некоторых ее концепций.
Этот пост познакомит вас с наиболее важными понятиями базовой линейной алгебры, которые используются в машинном обучении.СОДЕРЖАНИЕ:
- Введение
- Математические объекты
- Вычислительные правила
- Матриц. непрерывная форма математики и применяется в науке и технике, поскольку позволяет моделировать природные явления и эффективно их вычислять. Поскольку это форма непрерывной, а не дискретной математики, у многих ученых-компьютерщиков нет большого опыта работы с ней. Линейная алгебра также занимает центральное место почти во всех областях математики, таких как геометрия и функциональный анализ. Его концепции являются важной предпосылкой для понимания теории машинного обучения, особенно если вы работаете с алгоритмами глубокого обучения.
Что такое линейная алгебра?
Линейная алгебра — это раздел математики, в котором основное внимание уделяется линейным уравнениям. Он часто применяется в области науки и техники, особенно в области машинного обучения.
Линейная алгебра также занимает центральное место почти во всех областях математики, таких как геометрия и функциональный анализ.Вам не нужно разбираться в линейной алгебре, прежде чем приступить к машинному обучению, но в какой-то момент вы, возможно, захотите лучше понять, как на самом деле работают различные алгоритмы машинного обучения. Это поможет вам принимать более взвешенные решения при разработке системы машинного обучения. Поэтому, если вы действительно хотите стать профессионалом в этой области, вам придется освоить те части линейной алгебры, которые важны для машинного обучения.
Видео: TensorFlowВ линейной алгебре данные представляются линейными уравнениями, которые представлены в виде матриц и векторов. Следовательно, вы в основном имеете дело с матрицами и векторами, а не со скалярами (мы рассмотрим эти термины в следующем разделе).
Когда у вас есть подходящие библиотеки, такие как Numpy, вы можете очень легко вычислить сложное матричное умножение, написав всего несколько строк кода. (Примечание: в этом сообщении в блоге игнорируются концепции линейной алгебры, которые не важны для машинного обучения.)Математические объекты в линейной алгебре
Скаляр
Скаляр — это просто одно число. Например, 24.
Вектор
Вектор — это упорядоченный массив чисел, который может располагаться в строке или столбце. Вектор имеет только один индекс, который может указывать на конкретное значение внутри вектора. Например, V2 относится ко второму значению в векторе, которое равно -8 на графике выше.
Матрица
Матрица представляет собой упорядоченный двумерный массив чисел с двумя индексами. Первый указывает на строку, а второй на столбец. Например, M23 относится к значению во второй строке и третьем столбце, которое равно 8 на желтом графике выше. Матрица может иметь несколько строк и столбцов.
Обратите внимание, что вектор также является матрицей, но только с одной строкой или одним столбцом.Матрица в примере на желтом графике также представляет собой матрицу 2 на 3 измерения (строки x столбцы). Ниже вы можете увидеть еще один пример матрицы вместе с ее обозначениями:
Тензор
Вы можете думать о тензоре как о массиве чисел, расположенных на регулярной сетке, с переменным числом осей. Тензор имеет три индекса, где первый указывает на строку, второй на столбец и третий на ось. Например, T232 указывает на вторую строку, третий столбец и вторую ось. Это относится к значению 0 в правом тензоре на графике ниже:
Тензор является наиболее общим термином для всех этих понятий выше, потому что тензор представляет собой многомерный массив и может быть вектором и матрицей, в зависимости от количества индексов, которые он имеет. Например, тензор первого порядка будет вектором (1 индекс). Тензор второго порядка — это матрица (2 индекса), а тензоры третьего порядка (3 индекса) и выше называются тензорами высшего порядка (3 и более индекса).
Найм сейчасПросмотреть все вакансии в сфере удаленной обработки данных
Вычислительные правила линейной алгебры
1. Матрично-скалярные операции
Если вы умножаете, делите, вычитаете или добавляете скаляр к матрице, вы делаете это с каждым элементом матрицы. Изображение ниже прекрасно иллюстрирует это для умножения:
2. Умножение матрицы на вектор
Умножение матрицы на вектор можно рассматривать как умножение каждой строки матрицы на столбец вектора. На выходе будет вектор с тем же количеством строк, что и матрица. На изображении ниже показано, как это работает:
Чтобы лучше понять концепцию, пройдемся по расчету второго изображения. Чтобы получить первое значение результирующего вектора (16), мы берем числа вектора, которые мы хотим перемножить с матрицей (1 и 5), и умножаем их на числа первой строки матрицы (1 и 3 ). Это выглядит так:
1*1 + 3*5 = 16
То же самое делаем со значениями во второй строке матрицы:
4*1 + 0*5 = 4
И снова для третья строка матрицы:
2*1 + 1*5 = 7
Вот еще один пример:
А вот своего рода шпаргалка:
3.
Матричное сложение и вычитаниеМатричное сложение и вычитание довольно просто и прямолинейный. Требование состоит в том, чтобы матрицы имели одинаковые размеры, и в результате должна получиться матрица с одинаковыми размерами. Вы просто добавляете или вычитаете каждое значение первой матрицы с соответствующим значением во второй матрице. См. ниже:
4. Умножение матрицы на матрицу
Перемножить две матрицы вместе не так уж сложно, если вы знаете, как умножать матрицу на вектор. Обратите внимание, что вы можете перемножать матрицы только в том случае, если количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы. Результатом будет матрица с тем же количеством строк, что и у первой матрицы, и тем же количеством столбцов, что и у второй матрицы. Это работает следующим образом:
Вы просто разбиваете вторую матрицу на векторы-столбцы и умножаете первую матрицу отдельно на каждый из этих векторов. Затем вы помещаете результаты в новую матрицу ( без добавления !).
Изображение ниже объясняет это шаг за шагом:И вот снова своего рода шпаргалка:
Свойства умножения матриц
Умножение матриц имеет несколько свойств, которые позволяют нам объединить множество вычислений в одно умножение матриц . Мы обсудим их один за другим ниже. Мы начнем с объяснения этих концепций со скалярами, а затем с матрицами, потому что это поможет вам лучше понять процесс.
1. Некоммутативный
Скалярное умножение является коммутативным, а умножение матриц — нет. Это означает, что когда мы умножаем скаляры, 7*3 равно 3*7. Но когда мы умножаем матрицы друг на друга, A*B не совпадает с B*A.
2. Ассоциативный
Скалярное и матричное умножение являются ассоциативными. Это означает, что скалярное умножение 3(5*3) такое же, как (3*5)3, и что матричное умножение A(B*C) такое же, как (A*B)C.
3. Распределительный
Скалярное и матричное умножение также являются дистрибутивными. Это означает, что
3(5 + 3) совпадает с 3*5 + 3*3 и что A(B+C) совпадает с A*B + A*C.4. Матрица идентичности
Матрица идентичности — это особый вид матрицы, но сначала нам нужно определить, что такое идентичность. Число 1 — это тождество, потому что все, что вы умножаете на 1, равно самому себе. Следовательно, каждая матрица, умноженная на единичную матрицу, равна самой себе. Например, матрица A, умноженная на ее единичную матрицу, равна A.
Единичную матрицу можно отличить по тому факту, что она имеет единицы вдоль диагоналей, а все остальные значения равны нулю. Это также «квадратная матрица», что означает, что количество строк соответствует количеству столбцов.
Ранее мы обсуждали, что умножение матриц не является коммутативным, но есть одно исключение, а именно, если мы умножаем матрицу на единичную матрицу. Следовательно, справедливо следующее уравнение: A*I = I*A = A
Инверсия и транспонирование
Обратная матрица и транспонированная матрица — это два особых вида свойств матрицы. Опять же, мы начнем с обсуждения того, как эти свойства относятся к действительным числам, а затем как они относятся к матрицам.
1. Инверсия
Прежде всего, что такое инверсия? Число, умноженное на обратное, равно 1. Обратите внимание, что у каждого числа, кроме 0, есть обратное. Если вы умножаете матрицу на обратную, результатом будет ее единичная матрица. В приведенном ниже примере показано, как выглядит инверсия скаляров:
Но не каждая матрица имеет обратную. Вы можете вычислить обратную матрицу, если она является «квадратной матрицей» и если у нее есть обратная. К сожалению, обсуждение того, какие матрицы имеют обратную, выходит за рамки этого поста.
Зачем нужна инверсия? Потому что мы не можем делить матрицы. Не существует понятия деления на матрицу, но мы можем умножить матрицу на обратную, что, по сути, приводит к тому же результату.
На изображении ниже показано умножение матрицы на ее обратную, что дает единичную матрицу 2 на 2.
Вы можете легко вычислить обратную матрицу (если она есть) с помощью Numpy. Вот ссылка на документацию: https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.
14.0/reference/generated/numpy.linalg.inv.html.2. Транспонирование
И, наконец, мы обсудим свойство транспонирования матрицы. Это в основном зеркальное отражение матрицы вдоль оси 45 градусов. Довольно просто получить транспонирование матрицы. Его первый столбец — это первая строка транспонированной матрицы, а второй столбец — вторая строка транспонированной матрицы. Матрица m*n преобразуется в матрицу n*m. Кроме того, элемент Aij матрицы A равен элементу Aji(транспонированному). На изображении ниже показано, что:
Краткое изложение основ линейной алгебры
В этом посте вы узнали о математических объектах линейной алгебры, которые используются в машинном обучении. Вы научились умножать, делить, складывать и вычитать эти математические объекты. Кроме того, вы узнали о наиболее важных свойствах матриц и о том, почему они позволяют нам производить более эффективные вычисления. Кроме того, вы узнали, что такое обратные и транспонированные матрицы и что с ними можно делать.
Линейная алгебра также занимает центральное место почти во всех областях математики, таких как геометрия и функциональный анализ.
Когда у вас есть подходящие библиотеки, такие как Numpy, вы можете очень легко вычислить сложное матричное умножение, написав всего несколько строк кода. (Примечание: в этом сообщении в блоге игнорируются концепции линейной алгебры, которые не важны для машинного обучения.)
Обратите внимание, что вектор также является матрицей, но только с одной строкой или одним столбцом.
Матричное сложение и вычитание
Изображение ниже объясняет это шаг за шагом:
14.0/reference/generated/numpy.linalg.inv.html.