Определить точку пересечения прямой с плоскостью: Пересечение прямой и плоскости в начертательной геометрии

Содержание

Как найти точку пересечения плоскости и прямой

Альфашкола
Статьи
Как найти точку пересечения плоскости и прямой

1. Найти точку пересечения плоскости $x-2y+3z-8=0$ с прямой, заданной общими уравнениями:

Решение сводится к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными:

2. Найти точку пересечения плоскости $x+y+3z-1=0$ с прямой, заданной каноническими уравнениями:

Можно было бы перейти от канонических уравнений к общему виду и свести задачу к рассмотренной в предыдущем примере. Но можно рассуждать и по-другому. Точка пересечения должна принадлежать и прямой, и плоскости, то есть можно подставить выражения для x,y и z из канонического уравнения в уравнение плоскости и определить их.

1) Перейдем к параметрическим уравнениям прямой:

2) Подставим найденные выражения в уравнение плоскости:

$(t-1)+(t+2)+3*2t-1=0$, откуда t=0

3) Подставляем в выражения для x,y,z, находим ответ: x=-1, y=2, z=0.

Ответ: искомая точка M(-1;2;0).

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Татьяна Валентиновна Дмитриева

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Ивановский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Иван Николаевич Лукашин

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Тульский Государственный Университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Марине Альбертовна Симонян

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Ереванский госпединститут русского и иностранных языков им. В.Я.Брюсова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Предметы

Математика
Репетитор по физике
Репетитор по химии
Репетитор по русскому языку
Репетитор по английскому языку
Репетитор по обществознанию
Репетитор по истории России
Репетитор по биологии
Репетитор по географии

Репетитор по информатике

Специализации

Подготовка к ЕГЭ по математике (базовый уровень)
Репетитор для подготовки к ОГЭ по физике
Подготовка к олимпиадам по физике
Репетитор по английскому языку для подготовки к ЕГЭ
Английский язык для начинающих
Репетитор по грамматике английского языка
Репетитор по разговорному английскому
ВПР по физике
Репетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ

Репетитор по информатике для подготовки к ЕГЭ

Краткий курс высшей математики

Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1972. 640 с.

Данное учебное пособие предназначено для студентов вечерних факультетов втузов и заводов-втузов. Оно в основном охватывает весь материал, предусмотренный обязательной программой. Достаточное количество решенных примеров и задач способствует лучшему усвоению теоретического материала.

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ
2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой
3. Абсолютная величина действительного числа
4. Расстояние между двумя точками на прямой
§ 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
2. Расстояние между двумя точками на плоскости
3. Деление отрезка в данном отношении
4. Координаты точки в пространстве
5. Расстояние между двумя точками в пространстве
§ 3.

УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
2. Полярные координаты
3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
2. Понятие функции
3. График функции
4. Способы задания функций
5. Основные элементарные функции и их графики
6. Сложные функции. Элементарные функции
7. Целые и дробно-рациональные функции
8. Функции четные и нечетные. Периодические функции
§ 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам
§ 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
2. Поворот осей координат
ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. ПРЯМАЯ
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат
4. Общее уравнение прямой и его частные случаи
5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению
6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении
8.

Пучок прямых
9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
10. Расстояние от точки до прямой
§ 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Окружность
3. Эллипс
4. Гипербола
5. Парабола
6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена
8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат
9. График дробно-линейной функции
10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат
ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
2. Определитель третьего порядка
3. Понятие об определителях высших порядков
§ 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ 3.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
2. Линейные операции над векторами
4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси
5. Разложение вектора на составляющие по осям координат
6. Направляющие косинусы вектора
7. Условие коллинеарности двух векторов
8. Скалярное произведение
9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов
10. Косинус угла между двумя векторами
11. Векторное произведение
12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов
13. Смешанное произведение трех векторов
14. Геометрический смысл смешанного произведения
15. Условие компланарности трех векторов
§ 4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
2. Равенство матриц. Действия над матрицами
3. Обратная матрица
4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
2. Преобразование координат
3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка
ГЛАВА IV.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. ПЛОСКОСТЬ
2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи
4. Построение плоскости по ее уравнению
5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
6. Точка пересечения трех плоскостей
§ 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
2. Общие уравнения прямой
3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
4. Канонические уравнения прямой
5. Уравнения прямой, проходящей через две точки
6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
§ 3. Прямая и плоскость в пространстве
2. Точка пересечения прямой с плоскостью
3. Расстояние от точки до плоскости
4. Пучок плоскостей
§ 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Цилиндрические поверхности
3. Конические поверхности
4. Поверхность вращения
6. Гиперболоиды
7. Параболоиды
ГЛАВА V.

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
2. Предел функции при х -> -оо
3. Предел функции при х->х0
4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции
5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями
6. Основные теоремы о пределах
7. Предел функции при x -> 0
8. Последовательность. Число e
9. Натуральные логарифмы
10. Сравнение бесконечно малых функций
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций
3. Свойства функций, непрерывных на сегменте
4. Понятие об обратной функции
5. Обратные тригонометрические функции
6. Показательная и логарифмическая функции
7. Понятие о гиперболических функциях
ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Приращение аргумента и приращение функции
2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции
3. Задачи, приводящие к понятию производной
4.

Определение производной и ее механический смысл
5. Дифференцируемость функции
6. Геометрический смысл производной
7. Производные некоторых основных элементарных функций
8. Основные правила дифференцирования
9. Производная обратной функции
10. Производные обратных тригонометрических функций
11. Производная сложной функции
§ 12. Производные гиперболических функций
13. Производная степенной функции с любым показателем
14. Сводная таблица формул дифференцирования
15. Неявные функции и их дифференцирование
16. Уравнения касательной а нормали к кривой
17. Графическое дифференцирование
§ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. Нахождение производных высших порядков
2. Механический смысл второй производной
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
2. Производная как отношение дифференциалов
3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций
4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала
5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
6.

Дифференциалы высших порядков
§ 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
2. Дифференцирование функций, заданных параметрически
§ 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная
3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой
4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента
§ 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
2. Теорема Ролля
3. Теорема Лагранжа
4. Правило Лопиталя
§ 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
2. Максимум и минимум функции
3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной
4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции
5. Применение теории максимума и минимума к решению задач
6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
7. Асимптоты графика функции
8. Общая схема исследования функции и построение ее графика
§ 8.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных
§ 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
2. Геометрический смысл неопределенного интеграла
3. Таблица основных интегралов
4. Основные свойства неопределенного интеграла
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
2. Интегрирование методом замены переменной
3. Интегрирование по частям
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби
3. Интегрирование простейших рациональных дробей
4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби
5. Метод неопределенных коэффициентов
6. Интегрирование рациональных дробей
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
2. Рациональные функции двух переменных
3. Интегралы вида
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2. Интеграл вида
3.

Интегралы видов
4. Интегралы вида
§ 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ
2. Задача о работе переменной силы
§ 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2. Свойства определенного интеграла
3. Производная интеграла по переменной верхней границе
4. Формула Ньютона—Лейбница
5. Замена переменной в определенном интеграле
6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
2. Вычисление площади в полярных координатах
3. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям
4. Объем тела вращения
5. Длина дуги кривой
6. Дифференциал дуги
7. Площадь поверхности вращения
8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм
§ 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
2.

Вычисление кривизны
3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны
4. Эволюта и эвольвента
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2. Интегралы от разрывных функций
3. Признаки сходимости несобственных интегралов
§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
2. Метод трапеций
3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона)
ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. График функции двух переменных
3. Функции трех и большего числа переменных
§ 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва
2. Непрерывность функции нескольких переменных
3. Понятие области
4. Точки разрыва
5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
§ 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
3. Частные производные высших порядков
§ 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2.

Полный дифференциал функции
3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям
§ 5. Дифференцирование сложных и неявных функций
2. Инвариантность формы полного дифференциала
3. Дифференцирование неявных функций
§ 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
2. Производная по направлению
3. Градиент
4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности
5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
§ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
2. Двойной интеграл. Теорема существования
3. Свойства двойного интеграла
4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
6. Приложения двойного интеграла
§ 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
2. Тройной интеграл и его свойства
3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
5.

Приложения тройного интеграла
§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
2. Задача о работе. Криволинейный интеграл
3. Вычисление криволинейного интеграла
4. Формула Остроградского — Грина
5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу
7. Криволинейный интеграл по длине дуги
ГЛАВА XI. РЯДЫ
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
2. Геометрическая прогрессия
3. Простейшие свойства числовых рядов
4. Необходимый признак сходимости ряда
5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
6. Знакопеременные ряды
7. Остаток ряда и его оценка
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
2. Свойства степенных рядов
3. Ряды по степеням разности х-а
4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора
5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
2.

Приближенное вычисление интегралов
§ 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
2. Числовые ряды с комплексными членами
3. Степенные ряды в комплексной области
§ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ
2. Ряд Фурье
3. Сходимость ряда Фурье
4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l
ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
3. Уравнения с разделяющимися переменными
4. Однородные уравнения
5. Линейные уравнения
6. Уравнение в полных дифференциалах
7. Особые решения
8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
4. Метод вариации произвольных постоянных
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
§ 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Объяснение урока: Пересечение плоскостей

В этом объяснителе мы научимся находить точки и линии пересечения прямых и плоскостей в пространстве.

Определение: общая форма уравнения плоскости

Плоскость в трехмерном пространстве, ℝ, может быть описана многими различными способами. Например, общее уравнение плоскости имеет вид 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0.

Эта плоскость имеет вектор нормали ⃑𝑛=(𝑎,𝑏,𝑐), который определяет ориентацию плоскости в трехмерном пространстве. Этот нормальный вектор не уникален. Любой другой ненулевой скаляр, кратный этому вектору, 𝜆⃑𝑛, также нормальен к плоскости.

Дополнительная константа 𝑑 не влияет на ориентацию плоскости, но переводит плоскость на 𝑑 единиц в направлении вектора нормали ⃑𝑛.

Например, для плоскости, описываемой уравнением 𝑥+2𝑦+3𝑧+10=0, 1𝑥+2𝑦+3𝑧+10=0, вектор нормали ⃑𝑛 к плоскости равен (1,2,3). Любой ненулевой скаляр, кратный этому вектору, также является вектором нормали к плоскости, например, (−1,−2,−3) или (5,10,15).

Определение: пересечение плоскостей

Любые две плоскости в ℝ с непараллельными векторами нормалей будут пересекаться по прямая .

Эта строка представляет собой набор решений одновременных уравнений плоскостей: 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑 = 0, 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑 = 0.

Эта система Два уравнения имеет три Неизвестные: 𝑥, 𝑦 и 𝑧. Следовательно, система будет иметь либо бесконечно много решений, либо вообще не будет иметь решений. Первый описывает случай, когда две плоскости пересекаются, а второй описывает случай, когда две плоскости параллельны и никогда не пересекаются.

Как найти общее уравнение линии пересечения двух плоскостей

Исключите одну из трех переменных (неважно, какую, но выберите, например, 𝑧) из двух уравнений и выразите одну из них. две оставшиеся переменные явно через другую, например, 𝑥=𝑓(𝑦).
Удалите зависимую переменную 𝑦 из исходных двух уравнений и выразите независимую переменную 𝑥 через оставшуюся переменную 𝑧, так что 𝑥=𝑔(𝑧).
Тогда общее уравнение линии пересечения задается как 𝑥=𝑓(𝑦)=𝑔(𝑧).

Рассмотрим пример нахождения линии пересечения двух плоскостей:

𝑥−4𝑦+3𝑧−4=0,2𝑥+2𝑦−9𝑧+7=0.

(1)(2)

Сначала нам нужно исключить одну из трех переменных. Мы можем исключить 𝑧, умножив уравнение (1) на 3 и добавив его к уравнению (2), что дает 3𝑥−12𝑦+9𝑧−12=0+2𝑥+2𝑦−9𝑧+7=05𝑥−10𝑦−5=0.

Мы можем преобразовать 𝑥, добавив 10𝑦+5 к обеим сторонам и разделив на 5, что дает

𝑥=2𝑦+1.

(3)

Теперь нам нужно исключить зависимую переменную 𝑦 из исходных двух уравнений, чтобы найти выражение для 𝑥 через 𝑧. Мы можем умножить второе уравнение на 2 и добавить его к первому, что дает 𝑥−4𝑦+3𝑧−4=0+4𝑥+4𝑦−18𝑧+14=05𝑥−15𝑧+10=0.

Мы можем переставить 𝑥, добавив (15𝑧−10) к обеим частям и разделив на 5, что дает 𝑥=3𝑧−2.

Вместе с уравнением (3) теперь у нас есть два выражения для 𝑥, одно через 𝑦 и одно через 𝑧: 𝑥=2𝑦+1,𝑥=3𝑧−2.

Эти два уравнения можно переписать как одно уравнение с двумя равенствами: 𝑥=2𝑦+1=3𝑧−2.

Это общее уравнение линии в трехмерном пространстве.

Мы не можем свести систему уравнений дальше этого или найти значения для 𝑥, 𝑦 и 𝑧, которые однозначно решают уравнения, потому что у нас на одно неизвестное больше, чем число уравнений. Однако мы вольны выбирать любое значение для одна переменная , которая имеет соответствующие значения для двух других переменных, решающих уравнения.

Например, установка 𝑥=1 в приведенном выше уравнении дает 1=2𝑦+1=3𝑧−2.

Из первой части уравнения мы можем преобразовать, чтобы получить 𝑦=0, и из второй части мы можем переставить, чтобы дать 𝑧=1.

Следовательно, из установки 𝑥=1 имеем 𝑦=0 и 𝑧=1, что дает одну точку пересечения двух плоскостей: (1,0,1).

Точно так же мы могли бы установить 𝑥=2, из чего мы получили бы 𝑦=12 и 𝑧=43, дав другую точку пересечения между двумя плоскостями 2,12,43.

Нам, конечно, не нужно выбирать 𝑥 для переменной, которую нужно установить в качестве параметра. Мы могли бы так же свободно выбирать 𝑦 или 𝑧. Например, выбор 𝑦=1 в основном уравнении выше дает 𝑥=2(1)+1=3𝑧−2, что, в свою очередь, можно переставить, чтобы получить 𝑥=3 и 𝑧=53, поэтому 3,1,53 — это еще одна точка на линии пересечения двух плоскостей.

Это лишь некоторые из бесконечно много решений системы уравнений, образующих линию пересечения двух плоскостей.

Общая форма — не единственный способ описания линии пересечения двух плоскостей. Другой способ — набор из параметрических уравнений — с использованием внешнего параметра, определяющего три переменные 𝑥, 𝑦 и 𝑧 по отдельности.

Определение: Параметрическая форма уравнения линии в трехмерном пространстве

Линия в трехмерном пространстве может быть определена с помощью общего набора параметрических уравнений 𝑥=𝑓(𝑡)=𝑥+𝑎𝑡,𝑦=𝑔(𝑡)=𝑦+𝑏𝑡,𝑧=ℎ(𝑡)=𝑧+𝑐𝑡, где 𝑡 — параметр; 𝑥, 𝑦, 𝑧 — координаты точки, лежащей на прямой; а 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — компоненты вектора направления прямой или параллельной прямой.

Поскольку точек на прямой бесконечно много, существует бесконечно много вариантов (𝑥,𝑦,𝑧) для параметрического уравнения прямой.

Как найти параметрическое уравнение линии пересечения двух плоскостей

Выразите одну из трех переменных в уравнениях двух плоскостей как линейную функцию параметра, 𝑡, например, 𝑥=𝑥+ 𝑎𝑡.
Подставьте это выражение в исходные уравнения плоскостей и решите систему уравнений, чтобы выразить две другие переменные через параметр 𝑡.

Рассмотрим пример построения системы параметрических уравнений для линии пересечения по общим уравнениям двух плоскостей.

Пример 1. Нахождение параметрического уравнения линии пересечения двух плоскостей

Найдите параметрические уравнения линии пересечения двух плоскостей 𝑥+𝑧=3 и 2𝑥-𝑦-𝑧=-2.

𝑥=3+𝑡,𝑦=4+3𝑡,𝑧=−𝑡и
𝑥=3+𝑡,𝑦=8−3𝑡,𝑧=-𝑡и
+3𝑥=8,+𝑦 ,𝑧=−𝑡и
𝑥=1+𝑡,𝑦=3+3𝑡,𝑧=2−𝑡и
𝑥=3+𝑡,𝑦=4−3𝑡,𝑧=−𝑡и

Ответ

Одним из подходов к решению этого вопроса является выбор параметрического уравнения для представления одной из наших переменных. Мы можем сделать это, поскольку у нас фактически есть «свободная переменная». С точки зрения того, как мы выбираем параметрическое уравнение для переменной, мы можем сделать это несколькими различными способами. Мы можем либо выбрать общую параметризацию, например, 𝑥=𝑥+𝑎𝑡, а затем зафиксировать значения 𝑥 и 𝑎 на удобном этапе расчета, либо зафиксировать параметризацию в начале нашего расчета, например, 𝑧=𝑡, и при необходимости измените наш ответ в конце. Мы продемонстрируем оба метода здесь.

Метод 1: прямое исправление параметризации

Если мы обратимся к параметрам, представленным в вопросе, может показаться разумным установить 𝑧=−𝑡, так как вполне вероятно, что мы получим правильный ответ. Однако мы установим 𝑧=𝑡, а затем продемонстрируем, что это на самом деле даст нам эквивалентную линию пересечения, которую мы затем можем «настроить», чтобы определить правильный ответ из предоставленных вариантов.

Если мы подставим выбранный нами параметр для 𝑧 в уравнение для первой плоскости, мы получим 𝑥+𝑡=3, что дает 𝑥=3−𝑡. Если мы теперь подставим 𝑥 и 𝑧 в уравнение для нашей второй плоскости, мы получим 2(3−𝑡)−𝑦−𝑡=−2.

Если распределить по скобкам и упростить, то получим 6−2𝑡−𝑡+2=𝑦, что упрощается до 𝑦=8−3𝑡. Следовательно, параметрические уравнения для 𝑥, 𝑦 и 𝑧 имеют вид 𝑥=3−𝑡,𝑦=8−3𝑡,𝑧=𝑡.и

Как видно из вопроса, на самом деле это не один из наших вариантов, но он должен быть эквивалентен одному из вариантов. Мы описали прямую, проходящую через точку (3,8,0) с вектором направления (−1,−3,1), и нам нужно определить, какой из вариантов эквивалентен этой форме линии. Для этого мы можем сначала сравнить векторы направления каждой из прямых, а затем определить, какая из описанных точек также лежит на нашей прямой.

В данном конкретном случае сделать это не так уж и сложно. Мы можем быстро сбросить со счетов варианты B и E из-за несовместимых знаков 3𝑡 и 𝑡 по сравнению с вектором направления нашей линии. Остальные варианты имеют вектор направления, который кратен -1 нашей линии и, следовательно, эквивалентен.

Затем мы можем исключить вариант А, так как он проходит через ту же 𝑥-координату, но через другую 𝑦-координату, которая оставляет варианты C и D. Вариант C описывается одной и той же точкой (3,8,0), поэтому он должен быть решением.

Наконец, нам нужно проверить, является ли вариант D решением. Мы можем сделать это, проверив, является ли (3,8,0) точкой на этой конкретной прямой: подстановка значения 𝑡=2 в каждое из параметрических уравнений приводит нас к точке (3,9,0). Следовательно, это неверное уравнение для линии пересечения.

Следовательно, ответ — вариант C.

Метод 2: Использование общей параметризации

Напомним, что общая форма набора параметрических уравнений для линии в трехмерном пространстве задается формулой 𝑥=𝑓(𝑡)=𝑥+𝑎𝑡,𝑦=𝑔(𝑡)=𝑦+𝑏𝑡,𝑧=ℎ(𝑡)=𝑧+𝑐𝑡, где 𝑡 — параметр; 𝑥, 𝑦, 𝑧 — координаты точки, лежащей на прямой; а 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — компоненты вектора направления прямой или параллельной прямой.

Чтобы найти набор параметрических уравнений для линии пересечения, задаем выражение для одной переменной через параметр, подставляем это выражение в уравнения плоскостей, а затем перестраиваем полученные уравнения, чтобы найти выражения для другого две переменные по параметру.

Пусть 𝑥=𝑥+𝑎𝑡.

Подстановка этого выражения в уравнения плоскостей дает

𝑥+𝑎𝑡+𝑧=3,2(𝑥+𝑎𝑡)−𝑦−𝑧=−2.

(4)(5)

Теперь у нас есть два одновременных уравнения для 𝑦 и 𝑧, которые можно «решить», чтобы получить выражения для 𝑦 и 𝑧 через 𝑡.

Из уравнения (4) мы можем преобразовать, чтобы получить выражение для 𝑧 через 𝑡: 𝑧=3−𝑥−𝑎𝑡.

Подстановка этого выражения для 𝑧 в уравнение (5) дает 2(𝑥+𝑎𝑡)−𝑦−(3−𝑥−𝑎𝑡)=−2.

Распределение по скобкам и перестановка для 𝑦 дает выражение для 𝑦 через 𝑡: 𝑦=3(𝑥+𝑎𝑡)−1.

Теперь мы можем выбрать значения для 𝑥 и 𝑎 по своему усмотрению, чтобы максимально упростить уравнения.

Мы не можем выбрать 𝑎=0, потому что тогда параметр будет постоянным и не будет однозначно определять каждую точку на линии, но мы можем выбрать любое значение 𝑥, которое нам нравится.

Из списка возможных ответов четыре из них имеют параметрическое уравнение для 𝑥 как 𝑥=3+𝑡, так что давайте попробуем этот. Это означает, что у нас есть 𝑥=3, 𝑎=1.

Подстановка этих значений 𝑥 и 𝑎 в выражения для 𝑦 и 𝑧 дает 𝑦=3(3+𝑡)−1=8+3𝑡.

А 𝑦=3−3−𝑡=−𝑡.

Тогда у нас есть один возможный набор параметрических уравнений для 𝑥, 𝑦 и 𝑧: 𝑥=3+𝑡,𝑦=8+3𝑡,𝑧=−𝑡 и что соответствует ответу C.

Это подтверждает ответ, который мы нашли в первом методе, вариант C.

Последний способ описания линии пересечения двух плоскостей — векторное уравнение .

Определение: векторная форма уравнения линии в трехмерном пространстве

Линия в трехмерном пространстве может быть определена в векторной форме с помощью общего уравнения ⃑𝑟=⃑𝑟+𝑡⃑𝑑, где ⃑𝑟=(𝑥,𝑦,𝑧) — вектор положения известной точки на прямой, ⃑𝑑 — ненулевой вектор, параллельный прямой, а 𝑡 — скаляр.

Как найти векторное уравнение линии пересечения двух плоскостей

Найдите вектор положения ⃑𝑟 одной точки, лежащей в обеих плоскостях. Это можно сделать, установив значение одной переменной, например, 𝑥=𝑥, и решив уравнения двух плоскостей, чтобы найти соответствующие значения двух других переменных, 𝑦=𝑦 и 𝑧=𝑧.
Определите векторы нормали к каждой плоскости, ⃑𝑛 и ⃑𝑛, считав коэффициенты из их уравнений.
Возьмите векторное произведение векторов нормалей ⃑𝑑=⃑𝑛×⃑𝑛, чтобы получить вектор ⃑𝑑, параллельный линии пересечения плоскостей.
Векторное уравнение линии пересечения задается формулой ⃑𝑟=⃑𝑟+𝑡⃑𝑑, где 𝑡 — скаляр.

Давайте рассмотрим пример использования перекрестного произведения, чтобы найти вектор направления линии пересечения двух плоскостей, а затем векторное уравнение этой линии.

Пример 2. Нахождение векторного уравнения линии пересечения двух плоскостей

Найдите векторное уравнение линии пересечения двух плоскостей 𝑥+3𝑦+2𝑧−6=0 и 2𝑥−𝑦+𝑧+2=0.

⃑𝑟=(0,2,−12)+𝑡(5,3,−7)
⃑𝑟=(0,14,12)+𝑡(2,−3,2)
⃑𝑟=(0 ,2,0)+𝑡(2,−3,2)
⃑𝑟=(0,2,0)+𝑡(5,3,−7)
⃑𝑟=(0,14,12)+𝑡( 5,3,−7)

Ответ

Чтобы найти векторное уравнение линии пересечения двух плоскостей, нам нужно найти вектор положения ⃑𝑟 точки, лежащей в обеих плоскостях, а затем найти ненулевой вектор направления ⃑𝑑, параллельный линии пересечения. Тогда векторное уравнение линии задается выражением ⃑𝑟=⃑𝑟+𝑡⃑𝑑, где 𝑡 — скаляр.

Начнем с нахождения вектора положения ⃑𝑟 точки, лежащей в обеих плоскостях. Мы начинаем с выбора одной переменной в качестве параметра и установки для нее значения по нашему выбору.

Поскольку все возможные ответы имеют постоянный вектор с 𝑥-компонентой, равной нулю, имеет смысл установить 𝑥=0.

Пусть 𝑥=0.

В уравнениях двух плоскостей это дает 3𝑦+2𝑧−6=0,−𝑦+𝑧+2=0.

Если мы не дали возможных ответов, возможно, наш выбор значения для переменной будет недействительным. Например, если строка пересечение лежит параллельно 𝑦𝑧-плоскости, значение 𝑥 будет постоянная по строке и скорее всего нет равно выбранному значению. Однако если это так, то будет очевидным при замене выбранного нами значения в уравнениях двух плоскостях, так как не будет решений для точки в обеих плоскостях со значением, лежащим на линии пересечения.

Здесь это не так, поэтому теперь у нас есть два уравнения для 𝑦 и 𝑧, которые можно решать одновременно. Из уравнения второй плоскости 𝑦=𝑧+2.

Подстановка этого выражения для 𝑦 в уравнение для первой плоскости дает 3(𝑧+2)+2𝑧−6=0.

Распределение по скобкам и перестановка для 𝑧 дает 𝑧=0.

Из приведенного выше уравнения 𝑦=𝑧+2, поэтому мы имеем 𝑦=2.

Итак, вектор положения одной точки на линии пересечения плоскостей равен ⃑𝑟=(0,2,0).

Теперь нам нужно найти вектор направления, параллельный линии пересечения двух плоскостей. Мы можем сделать это, взяв перекрестное произведение (или перекрестное произведение) векторов нормалей каждой плоскости.

Мы можем найти векторы нормали к двум плоскостям, просто считывая коэффициенты переменных в их уравнениях 1𝑥+3𝑦+2𝑧−6=0,2𝑥−1𝑦+1𝑧+2=0.

Следовательно, два вектора нормали к плоскостям равны ⃑𝑛=(1,3,2) и ⃑𝑛=(2,−1,1) соответственно.

Теперь мы можем вычислить векторное произведение ⃑𝑛×⃑𝑛, взяв определитель матрицы: ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘1322−11.

Оценка определителя, ||||⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘1322−11||||=⃑𝑖||32−11||−⃑𝑗||1221||+⃑𝑘||132−1||=⃑𝑖(3⋅1−2⋅(−1)) −⃑𝑗(1⋅1−2⋅2)+⃑𝑘(1⋅(−1)−3⋅2)=⃑𝑖(3+2)−⃑𝑗(1−4)+⃑𝑘(−1−6)=5⃑𝑖+ 3⃑𝑗−7⃑𝑘=(5,3,−7).

Таким образом, у нас есть вектор направления для линии пересечения двух плоскостей: ⃑𝑑=(5,3,−7).

Следовательно, векторное уравнение линии пересечения двух плоскостей имеет вид ⃑𝑟=⃑𝑟+𝑡⃑𝑑=(0,2,0)+𝑡(5,3,−7).

Это вариант D.

Определение: точка пересечения прямой и плоскости

непараллельная плоскость будет пересекаться в единственной точке .

Эта точка уникальное решение уравнения прямой и уравнения плоскости.

Уравнение плоскости, 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0, это одно уравнение, а уравнение прямой, 𝑎𝑥+𝑥=𝑏𝑦+𝑦=𝑐𝑧+𝑧, можно переписать как два различных уравнения : 𝑎𝑥+𝑥=𝑏𝑦+𝑦,𝑎𝑥+𝑥=𝑐𝑧+𝑧. 

Это система из трех различных уравнений для7 либо нет трех s, поэтому будет три

решения (если прямая и плоскость параллельны и не пересекаются), одно единственное решение (если прямая и плоскость не компланарны и пересекаются), или бесконечно много решений (если прямая и плоскость компланарны).
Как и в любой системе 𝑛 уравнений для 𝑛 неизвестных, существует несколько методов решения.
Пример 3. Нахождение пересечения прямой и плоскости по их общим уравнениям .
Ответ
Точка пересечения (𝑥,𝑦,𝑧) прямой и плоскости будет задана единственным решением системы уравнений прямой и плоскости. Есть несколько способов решения. Для этого примера мы будем решать уравнения алгебраически.
Начнем с того, что перепишем уравнение прямой в виде двух отдельных уравнений, оба из которых включают 𝑧: −3𝑥=𝑧+1,4𝑦−2=𝑧+1.
Преобразование этих двух уравнений дает 𝑥 и 𝑦 явно через 𝑧: 𝑥=−13(𝑧+1),𝑦=14(𝑧+3).
Подстановка этих выражений для 𝑥 и 𝑦 в уравнение для плоскости дает уравнение только в 𝑧, которое мы можем решить для 𝑧: −3−13(𝑧+1)+14(𝑧+3)+𝑧=13.
Распределение по скобкам и упрощение дает 𝑧+1+𝑧4+34+𝑧=139𝑧4=454𝑧=5.
Подставляя это значение для 𝑧 в уравнения для 𝑥 и 𝑦, 𝑥=−13(5+1)=−2.𝑦=14(5+3)=2.
Следовательно, точка пересечения прямой и плоскости равна (−2,2,5).
Точка пересечения прямой и плоскости также может быть найдена с помощью их векторных уравнений.
Определение: векторная форма уравнения плоскости
Плоскость может быть определена векторным уравнением вида ⃑𝑛⋅⃑𝑟=𝑐, где ⃑𝑟 — вектор положения общей точки на плоскости, ⃑𝑛 — постоянный вектор, нормальный к плоскости, а 𝑐 — постоянный скаляр.
Напомним также, что векторное уравнение прямой в ℝ задается формулой ⃑𝑟=⃑𝑟+𝑡⃑𝑑, где ⃑𝑟 — вектор положения точки на прямой, ⃑𝑑 — любой ненулевой вектор, параллельный прямой, а 𝑡 — скаляр.
Значение скалярного параметра 𝑡 однозначно определяет каждую точку на прямой, поэтому точка пересечения прямой и плоскости будет задаваться уникальным значением 𝑡. Это значение 𝑡 можно найти, установив вектор общего положения ⃑𝑟 в уравнении плоскости равным вектору общего положения ⃑𝑟=⃑𝑟+𝑡⃑𝑑 в уравнении прямой, поскольку в точке пересечения (если она существует) векторы положения будут одинаковыми.
Следовательно, нам нужно найти значение 𝑡, которое решает уравнение: ⃑𝑛⋅⃑𝑟+𝑡⃑𝑑=𝑐.
Давайте рассмотрим пример использования этого метода для поиска точки пересечения линии и плоскости в трехмерном пространстве с учетом их векторных уравнений.
Пример 4. Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости
Найти координаты точки пересечения прямой ⃑𝑟=(8,2,−5)+𝑡(−7,− 9,13) с плоскостью (9,4,−5)⋅⃑𝑟=−59.
Ответ
Если прямая и плоскость пересекаются, должно быть уникальное значение 𝑡, для которого вектор ⃑𝑟 равен как в уравнении прямой, так и в плоскости.
Начнем с того, что перепишем векторное уравнение прямой в терминах одного вектора: ⃑𝑟=(8−7𝑡,2−9𝑡,−5+13𝑡).
В точке пересечения вектор положения ⃑𝑟 будет одинаковым в обоих уравнениях, поэтому мы можем подставить вектор ⃑𝑟 из уравнения прямой в уравнение плоскости. Это дает (9,4,−5)⋅(8−7𝑡,2−9𝑡,−5+13𝑡)=−59.
Расширение скалярного произведения, 9(8−7𝑡)+4(2−9𝑡)−5(−5+13𝑡)=−59.
Упрощение и решение для 𝑡, 72−63𝑡+8−36𝑡+25−65𝑡=−59−164𝑡=−164𝑡=1.
Это значение 𝑡 в точке пересечения прямой и плоскости. Подставляя это в уравнение прямой, ⃑𝑟=(8−7,2−9,−5+13)=(1,−7,8).
Следовательно, точка пересечения прямой и плоскости равна (1,−7,8).
Для трех различных плоскостей в трехмерном пространстве диапазон возможных сценариев гораздо шире.
Если все три плоскости параллельны, ни одна из них не пересекается.
Если две плоскости параллельны друг другу, а третья нет, то эта третья плоскость будет пересекать две другие плоскости по двум отдельным линиям пересечения.
Если все три плоскости непараллельны друг другу, они могут пересекаться в одной точке.
Также, если все плоскости непараллельны, они могут пересекаться по прямой.
Если все три плоскости непараллельны, третья плоскость также может пересекаться с двумя другими плоскостями по отдельности, что дает три линии пересечения, параллельные друг другу.
Давайте рассмотрим пример поиска единственной точки пересечения трех плоскостей в сценарии 𝑐 выше.
Пример 5. Нахождение точки пересечения трех плоскостей
Нахождение точки пересечения плоскостей 3𝑧+11=0.
Ответ
В этом примере дано, что существует единственная точка пересечения трех плоскостей. Поскольку точка пересечения удовлетворяет уравнениям всех трех плоскостей, существует уникальное решение системы трех уравнений.
Как и любая система линейных уравнений, существует несколько методов решения.
Метод 1: Геометрический подход
Один из способов найти точку пересечения трех плоскостей состоит в том, чтобы сначала найти линию пересечения между первыми двумя плоскостями, а затем найти точку пересечения этой линии с третьей плоскостью. .
Мы можем сделать это, найдя параметрическое уравнение для линии пересечения первых двух плоскостей, выражая 𝑥, 𝑦 и 𝑧 через параметр 𝑡. Затем мы можем подставить эти выражения для 𝑥, 𝑦 и 𝑧 в уравнение для третьей плоскости и решить полученное уравнение, чтобы получить значение 𝑡. Подстановка этого значения 𝑡 в параметрическое уравнение для линии даст 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-координаты точки пересечения всех трех плоскостей.
Рассмотрим общие уравнения для первых двух плоскостей: −5𝑥−2𝑦+6𝑧−1=0, −7𝑥+8𝑦+𝑧−6=0.
Мы можем найти параметрическое уравнение для линии пересечения этих двух плоскостей, установив одну переменную равной параметру 𝑡, а затем решив полученные уравнения, чтобы получить выражения для двух других переменных через 𝑡.
Пусть 𝑧=𝑡.
Подстановка этого выражения для 𝑧 в уравнения двух плоскостей дает
−5𝑥−2𝑦+6𝑡−1=0,−7𝑥+8𝑦+𝑡−6=0. (6)(7)
Теперь нам нужно исключить одну переменную из уравнений. Умножение уравнения (6) на 4 и добавление его к уравнению (7) дает −27𝑥+25𝑡−10=0.
Решение для 𝑥, 𝑥=25𝑡−1027.
Теперь мы можем подставить это выражение для 𝑥 в уравнение (6) и найти 𝑦: −525𝑡−1027−2𝑦+6𝑡−1=0𝑦=−5+6𝑡−12𝑦=37𝑡+2354.
Итак, у нас есть набор 𝑦, 𝑦 , и значения 𝑧, которые лежат на линии пересечения первых двух плоскостей, выраженных через параметр 𝑡. Если теперь мы подставим эти выражения для 𝑥, 𝑦 и 𝑧 в уравнение третьей плоскости, мы сможем найти 𝑡, дав значение 𝑡 в точке пересечения всех трех плоскостей.
Уравнение третьей плоскости имеет вид 𝑥−3𝑦+3𝑧+11=0.
Подставляя параметрические выражения для 𝑥, 𝑦 и 𝑧, 25𝑡−1027−337𝑡+2354+3𝑡+11=0.
Теперь, находя 𝑡, 50𝑡−2054−111𝑡+6954+162𝑡54+59454=050𝑡−20−(111𝑡+69)+162𝑡+594=0101𝑡+505=0𝑡=−5.
Подстановка этого значения 𝑡 в параметрические уравнения для 𝑥, 𝑦 и 𝑧 дает 𝑥=25𝑡−1027=−125−1027=−5,𝑦=37𝑡+2354=−185+2354=−3,𝑧=𝑡=−5.
Следовательно, точка пересечения всех трех плоскостей равна (−5,−3,−5).
Метод 2: Правило Крамера
Начнем с того, что перепишем систему уравнений в виде матричного уравнения вида 𝐴𝑋=𝐵: −5𝑥−2𝑦+6𝑧−1=0,−7𝑥+8𝑦+𝑧−6=0,𝑥−3𝑦+3𝑧+11=0.
Взяв константы −1, −6 и 11 в правую часть и переписав левую часть как произведение матрицы 𝐴 и матрицы решения, 𝑋=𝑥𝑦𝑧, тогда у нас есть −5−26−7811−33𝑥𝑦𝑧=16−11.
Правило Крамера говорит нам, что 𝑥=ΔΔ,𝑦=ΔΔ,𝑧=ΔΔ является единственным решением этой системы уравнений, где Δ — определитель матрицы коэффициентов, 𝐴 и Δ — определитель матрицы, образованной заменой столбца 𝐴, связанного с 𝑥 (первый столбец), на матрицу 𝐵.
Здесь стоит отметить, что три плоскости пересекутся в одной точке тогда и только тогда, когда определитель матрицы Δ отличен от нуля . Это эквивалентно существованию уникальных решений системы уравнений.
Поскольку Δ, определитель неизменной матрицы 𝐴, является общим для всех трех уравнений, давайте сначала оценим это: Δ=||||−5−26−7811−33||||=−5||81−33||+2||−7113||+6||−781−3||=−5( 24−(−3))+2(−21−1)+6(21−8)=−135−44+78=−101.
Хотя это было дано в вопросе, теперь мы подтвердили, что три плоскости должны пересекаться в одной точке, так как определитель Δ отличен от нуля.
Теперь, чтобы найти Δ, найдем определитель матрицы, образованной заменой столбца 𝐴, связанного с 𝑥, матрицей 𝐵 в правой части: Δ=||||1−26681−11−33||||=1||81−33||+2||61−113||+6||68−11−3||=(8⋅ 3−1⋅(−3))+2(6⋅3−1⋅(−11))+6(6⋅(−3)−8⋅(−11))=27+58+420=505.
Подставляя это значение Δ в правило Крамера, 𝑥=ΔΔ=505−101=−5,
Мы можем выполнить ту же процедуру для 𝑦 и 𝑧: Δ=||||−516−7611−113||||=−5||61−113||−1||−7113||+6||−761−11||=−5(6⋅ 3−1⋅(−11))−(−7⋅3−1⋅1)+6(−7⋅(−11)−6⋅1)=−145+22+426=303.
Подставляя это значение Δ в правило Крамера, 𝑦=ΔΔ=303−101=−3.
И, наконец, для 𝑧 Δ=||||−5−21−7861−3−11||||=−5||86−3−11||+2||−761−11||+1||−781−3 ||=−5(8⋅(−11)−6⋅(−3))+2(−7⋅(−11)−6⋅1)+(−7⋅(−3)−8⋅1)= 350+142+13=505.
Подставляя это значение Δ в правило Крамера, 𝑧=ΔΔ=505−101=−5,
Итак, имеем 𝑥=−5, 𝑦=−3 и 𝑧=−5. Это уникальное решение уравнений трех плоскостей. Следовательно, точка пересечения трех плоскостей равна (−5,−3,−5).
Мы завершим обсуждение точек и линий пересечения прямых и плоскостей в ℝ, отметив некоторые ключевые моменты.
Ключевые точки
Две непараллельные плоскости в ℝ будут пересекаться по прямой , которая представляет собой одномерно параметризованное множество решений уравнений обеих плоскостей.
Вектор направления ⃑𝑑 линии пересечения двух плоскостей может быть задан перекрестным произведением векторов нормалей к плоскостям ⃑𝑛×⃑𝑛.
Прямая и непараллельная плоскость в ℝ пересекутся в единственной точке , которая является уникальным решением уравнения прямой и уравнения плоскости.
Три непараллельные плоскости пересекутся в одной точке тогда и только тогда, когда существует единственное решение системы уравнений трех плоскостей. При записи в виде матричного уравнения это означает, что определитель матрицы коэффициентов является обратимым, то есть Δ ≠ 0. Если определитель матрицы коэффициентов равен нулю, то плоскости не пересекаются в единственной точке, если вообще пересекаются. 93$ векторное перекрестное произведение дает вектор, который перпендикулярен обоим векторным членам. То есть дано $$\vec{\ell} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 \tag{2}\label{G2}$$ вектор $\vec{\ell}$ перпендикулярен как $\vec{n}_1$, так и $\vec{n}_2$ (или нулевому вектору). Итак, если $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$ представляют нормали двух плоскостей, то $\vec{\ell}$ параллелен обеим плоскостям (или нулевой вектор, если $\ vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2$) и, следовательно, параллелен линии пересечения плоскостей.
Следовательно, мы можем описать линию пересечения плоскостей (когда две плоскости пересекаются, т.е. не параллельны друг другу) как точки $\vec{p}$, $$\vec{p} = \vec{\ell}_0 + \lambda \vec{\ell} = \vec{\ell}_0 + \lambda \left(\vec{n}_1 \times \vec{n }_2 \справа) \tag{3}\label{G3}$$ где $\lambda$ — свободный параметр ($\lambda \in \mathbb{R}$), а $\vec{\ell}_0$ — точка на линии пересечения двух плоскостей.
Направление косинусов этой линии определяется выражением $$\шляпа{\ell} = \frac{\vec{\ell}}{\left\lVert\vec{\ell}\right\rVert} \tag{4}\label{G4}$$ но поскольку его величина изменяет только масштаб $\lambda$, а $\lambda$ покрывает все действительные значения, нет особой необходимости нормализовать вектор направления; вместо этого вы можете рассматривать (ненормализованный) $\vec{\ell}$ как коэффициенты направления : подобные направляющим косинусам, но масштабированные некоторым произвольным ненулевым вещественным числом (величина $\vec{\ell}$, т.е. $ \lVert\vec{\ell}\rVert$).
Точно так же $\vec{\ell}_0$ может быть где угодно на линии, так как фиксирует только точку, где $\lambda = 0$; но его тоже можно выбирать свободно, никак не влияя на реальную линию.
Чтобы найти точку на пересечении двух плоскостей с $\vec{\ell} = (\ell_x, \ell_y, \ell_z)$, мы сразу знаем, что:
Если $\ell_x \ne 0 $ прямая пересечет $x = \chi$ (где $\chi$ — любая вещественная константа, $\chi \in \mathbb{R}$).
Если $\ell_x = 0$, то в строке есть константа $x$.
Если $\ell_y \ne 0$, то прямая пересекает $y = \gamma$ (где $\gamma$ — любая вещественная константа, $\gamma \in \mathbb{R}$).
Если $\ell_y = 0$, то в строке есть константа $y$.
Если $\ell_z \ne 0$, то прямая пересекает $z = \zeta$ (где $\zeta$ — любая вещественная константа, $\zeta \in \mathbb{R}$).
Если $\ell_z = 0$, то в строке есть константа $z$.
Когда $\vec{\ell} = \vec{0}$ (т. е. $\ell_x = \ell_y = \ell_z = 0$), две плоскости параллельны и не пересекаются. Следовательно, не более две компоненты $\vec{\ell}$ могут быть равны нулю, чтобы две плоскости пересекались (и чтобы линия существовала).
Другими словами, невырожденная прямая (с $\vec{\ell} \ne \vec{0}$) всегда будет иметь хотя бы одну ненулевую компоненту.
Посмотрим, как будет выглядеть алгоритм вычисления пересечения плоскостей $\vec{n}_1$, $d_1$ и $\vec{n}_2$, $d_2$. Мы изначально знаем только $$\vec{n}_1 = \left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix} \right] ,\quad \vec{n}_2 = \left[ \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \\ z_1 \end{matrix} \right]$$ и что $x_1, y_1, z_1, d_1 \in \mathbb{R}$, $x_2, y_2, z_2, d_2 \in \mathbb{R}$.
Сначала находим вектор направления (используя $\eqref{G2}$): $$\vec{\ell} = \left[\begin{matrix}\ell_x \\ \ell_y \\ \ell_z \end{matrix} \right] = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \left[ \begin{matrix} y_1 z_2 — z_1 y_2 \\ z_1 x_2 — x_1 z_2 \\ x_1 y_2 — y_1 x_2 \end{matrix} \right]$$
Если $\ell_x = \ell_y = \ell_z = 0$, две плоскости параллельны и не пересекаются.
В противном случае, если $\ell_x \ne 0$, мы можем найти точку $\vec{\ell}_0 = \left[\begin{matrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{matrix}\right] $ на линии пересечения, используя $x_0 = 0$ в двух плоских уравнениях $\eqref{G1}$: $$\left\lbrace\begin{выровнено} х_0 &= 0 \\ x_0 x_1 + y_0 y_1 + z_0 z_1 — d_1 &= 0 \\ x_0 x_2 + y_0 y_2 + z_0 z_2 — d_2 &= 0 \\ \end{выровнено}\right. $$ который имеет ровно одно решение; и аналогично для двух других декартовых осей координат:
Если $\ell_x \ne 0$, то $\left\lbrace\begin{aligned} х_0 &= 0 \\ y_0 &= \displaystyle \frac{d_1 z_2 — d_2 z_1}{y_1 z_2 — y_2 z_1} \\ z_0 &= \displaystyle \frac{y_1 d_2 — d_1 y_2}{y_1 z_2 — y_2 z_1} \\ \end{выровнено}\right.$
В противном случае
Если $\ell_y \ne 0$, то $\left\lbrace\begin{aligned} x_0 &= \displaystyle \frac{d_1 z_2 — d_2 z_1}{x_1 z_2 — x_2 z_1} \\ у_0 &= 0 \\ z_0 &= \displaystyle \frac{x_1 d_2 — x_2 d_1}{x_1 z_2 — x_2 z_1} \\ \end{выровнено}\right.$
В противном случае
$\ell_z \ne 0$ и $\left\lbrace\begin{aligned} x_0 &= \displaystyle \frac{d_1 y_2 — d_2 y_1}{x_1 y_2 — x_2 y_1} \\ y_0 &= \displaystyle \frac{x_1 d_2 — x_2 d_1}{x_1 y_2 — x_2 y_1} \\ z_0 &= 0 \\ \end{выровнено}\right.$
Обратите внимание, что три приведенных выше решения для $\vec{\ell}_0 = \left[\begin{matrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{matrix}\right]$ составляют различных точек (если только линия пересекается с началом координат, и в этом случае все три дают одно и то же решение с точкой в начале координат).