Нахождение основания системы счисления: Поиск основания системы счисления по окончанию числа

Калькулятор систем счисления с решением

Исходное число

Система счисления исходного числа 23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

Система счисления для перевода 23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

Количество знаков после запятой (для чисел с дробной частью) 123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Что такое система счисления

Система счисления – это набор правил записи чисел, при помощи цифр и букв.

Системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления, в которой вместо цифр используют буквы латинского алфавита.

В позиционной системе счисления, напротив позиция числа имеет большое значение и определяет количественное значение числа. Примерами позиционной системы счисления выступает нам всем знакомая десятичная система счисления, а также двоичная, троичная и др.

Данный калькулятор перевода чисел из одной системы счисления в другую предназначен именно для позиционных систем счисления и дает наглядное понимание как перевести число из одной системы счисления в другую.

У каждой системы счисления есть основание, которое определяется количеством используемых цифр. Основание системы счисления определяет мощность алфавита – набору цифр, используемых в системе счисления. Самое маленькое основание в двоичной позиционной системе счисления, там для записи числа используют только две цифры – 0 и 1.

Рассмотрим две самые популярные системы счисления – двоичную и десятичную. Десятичная система счисления является самой распространенной, в ней используется десять арабских цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Основание равно 10.

В десятичной системе счисления значение цифры в записи числа зависит от позиции цифры, например, число 444 можно записать как:

444₁₀ = 4 ⋅ 10² + 4 ⋅ 10¹ + 4 ⋅ 10⁰ = 400 + 40 + 4.

Такая запись числа называется развернутой. Можно заметить, что, двигаясь справа на лево значение каждой цифры увеличивается в 10 раз.

В двоичной системе счисления развернутая запись числа строиться аналогичным образом, рассмотрим число 110111100₂:

110111100₂ = 1 ⋅ 2

Записав число 110111100₂ в развернутом виде мы тем самым перевели его в десятичную систему счисления.

Рассмотрим пример, переведем число 10011₂ из двоичной системы в десятичную систему счисления

Переведем число 10011₂ в десятичную систему счисления, для этого сначала запишем позицию каждой цифры в числе с права налево, начиная с нуля

Каждая позиция цифры будет степенью числа 2, так как система счисления 2-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число 10011

10011₂ = 1 ⋅ 2⁴ + 0 ⋅ 2³ + 0 ⋅ 2² + 1 ⋅ 2¹ + 1 ⋅ 2⁰ = 19₁₀

Теперь давайте посмотрим, как перевести число из десятичной системы счисления в двоичную.

Переведем число 12₁₀ из десятичной в двоичную систему счисления

Переведем число 12₁₀ в 2-ичную систему счисления, при помощи последовательного деления на 2, до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.

12₁₀ = 1100₂

Как переводить десятичные дроби в двоичную систему счисления

Переведем число 12.3₁₀ из десятичной в двоичную систему счисления

При переводе десятичной дроби в двоичную систему счисления, необходимо сначала перевести целую часть в двоичную систему, а затем дробную часть. Причем для целой части мы будем последовательно делить на 2, а для дробной умножать на 2.

Переведем целую часть 12 числа 12.3₁₀ в 2-ичную систему счисления, при помощи последовательного деления на 2, до тех пор, пока неполное частное не будет равно нулю. В результате будет получено число из остатков деления записанное справа налево.

12₁₀ = 1100₂

Переведем дробную часть 0.3 числа 12.3₁₀ в 2-ичную систему счисления, при помощи последовательного умножения на 2, до тех пор, пока в дробной части произведения не получиться ноль или не будет достигнуто необходимое количество знаков после запятой. Если в результате умножения целая часть не равна нулю, тогда необходимо заменить значение целой части на ноль. В результате будет получено число из целых частей произведений, записанное слева направо.

0.3	·	2	=	0.6
0.6	·	2	=	1.2
0.2	·	2	=	0.4
0.4	·	2	=	0.8
0.8	·	2	=	1.6
0.6	·	2	=	1.2
0.2	·	2	=	0.4
0.4	·	2	=	0.8
0.8	·	2	=	1.6
0.6	·	2	=	1.2
0.2	·	2	=	0.4
0.4	·	2	=	0.8
0. 8	·	2	=	1.6
0.6	·	2	=	1.2
0.2	·	2	=	0.4
0.4	·	2	=	0.8
0.8	·	2	=	1.6
0.6	·	2	=	1.2
0.2	·	2	=	0.4
0.4	·	2	=	0.8
0.8	·	2	=	1.6
0.6	·	2	=	1.2
0.2	·	2	=	0.4
0.4	·	2	=	0.8
0.8	·	2	=	1.6
0.6	·	2	=	1.2
0.2	·	2	=	0.4
0.4	·	2	=	0. 8
0.8	·	2	=	1.6
0.6	·	2	=	1.2

12₁₀ = 1100₂ 0.3₁₀ = 0.010011001100110011001100110011₂

Обратите внимание, что в результате умножения на 2 получается бесконечная двоичная дробь, поэтому в данном случае можно и дальше продолжать умножение, но в дробной части произведения ноль так и не получится. В таких случаях необходимо определить сколько чисел после запятой необходимо оставить. Из данного примера можно сделать вывод, что не всегда конечная десятичная дробь будет конечной в двоичной системе счисления и наоборот.

Теперь необходимо соединить получившиеся целую и дробную части.

12.3₁₀ = 1100.010011001100110011001100110011

Как перевести двоичную дробь в десятичную систему счисления

Переведем число 11. 101₂ из двоичной системы в десятичную систему счисления

Алгоритм перевода такой же, как и для целых чисел, только из двоичной дроби необходимо будет убрать точку, и как и в предыдущих примерах записать позицию цифр.

Переведем число 11.101₂ в десятичную систему счисления, для этого сначала запишем позицию каждой цифры в числе

Каждая позиция цифры будет степенью числа 2, так как система счисления 2-ичная. Необходимо последовательно умножить каждое число 11.101₂ на 2 в степени соответствующей позиции числа и затем сложить с последующим произведением следующего числа в степени соответствующей его позиции.

11.101₂ = 1 ⋅ 2¹ + 1 ⋅ 2⁰ + 1 ⋅ 2^-1 + 0 ⋅ 2^-2 + 1 ⋅ 2^-3 = 3. 625₁₀

Примеры решения задач повышенной сложности для расширенной подготовки учащихся профильного информационно-технологического класса

Профильное предметное обучение учащихся предполагает углубленный уровень решения задач. В данной работе предлагается набор задач, которые могут быть использованы в классе с профильным изучением информатики с целью дополнительной, расширенной подготовки. Задачи представляют три основные направления, ставшие уже классическими: арифметическое, логическое и алгоритмическое. Начнем, как обычно, с арифметики.

1. Арифметические операции над числами в недесятичных системах счисления

Учащийся  должен хорошо понимать, что такое число, уметь работать с числами в позиционных системах счисления с недесятичным основанием. Просто переводить числа из одной системы счисления в другую уже не достаточно для сдачи ЕГЭ по информатике. Интерес представляют задачи специального вида. Некоторые разновидности таких задач представлены в этом наборе.

ЗАДАЧА 1. Даны два действительных числа в системах счисления с различными основаниями. Сравнить между собой значения данных чисел (если числа не равны, то определить, какое из них больше).

M = 0,10(110)₍₂₎

Основная  трудность решения заключается в том, что первое число представляет собой бесконечную периодическую двоичную дробь. Прежде чем сравнивать числа между собой, требуется записать это число в форме обыкновенной дроби. Для устранения бесконечной периодической части можно использовать очевидные арифметические преобразования.

Обозначим исходное число как М. Тогда:

100 M = 10,(110)

100000 M = 10110,(110)

Вычитая меньшее число из большего, получим:

10110,(110) – 10,(110) = 10100

100000 M – 100 M = 11100 M

Таким образом:

11100 M = 10100

Отсюда можно найти значение М в форме обыкновенной дроби и перевести его в десятичную систему счисления.

Теперь достаточно перевести второе число в десятичную систему счисления и сравнить числа между собой. Для сравнения обыкновенных дробей достаточно определить значение разности между ними.

M — N < 0

Разность между первым и вторым числами меньше нуля, следовательно первое число меньше второго.

Ответ: M < N

ЗАДАЧА 2. Вычислить значение числового выражения. Результат записать в четверичной системе счисления. Число под знаком корня является пятой степенью целого положительного числа.

Решение этой задачи, как и всех задач вычислительного типа, сводится к арифметическим операциям над недесятичными числами, целыми и дробными. В случае большого размера выражения вычисления удобнее выполнять по частям.

Для левой части выражения вычисления можно выполнить в десятичной системе счисления.

Мы получили десятичное число 88. В шестнадцатиричной системе счисления это число имеет запись 58=5×16+8. Вычитая шестнадцатиричную дробь из полученного числа, получим:

Теперь необходимо найти значение корня пятой степени из шестнадцатиричного числа.

Известно, что значение корня является целым положительным числом и это упрощает необходимые рассуждения. Сначала попробуем определить границы для искомого значения, чтобы максимально сократить область поиска.

( 10₍₁₆₎ )⁵ = 100000₍₁₆₎ < M

( 10₍₁₆₎) )⁵ = 10000000000₍₁₆₎ > M

Мы видим, что пятая степень наименьшего двухразрядного шестнадцатиричного числа меньше М. С другой стороны, пятая степень наименьшего трехразрядного шестнадцатиричного числа больше М. Таким образом, искомое значение может быть только двухразрядным числом.

N = XY₍₁₆₎ = 16X + Y

Попробуем определить значение первой цифры (X). Возведем в пятую степень шестнадцатиричное число 20 и сравним полученное значение с М. Для чисел, заканчивающихся нулем сделать это не сложно.

20 × 20=400

400 × 20=8000

8000 × 20=100000

100000 × 20=2000000 > M

Полученное значение больше М. Это значит, что значение первой цифры N уже определено: она равна 1. Таким образом, искомое число начинается с единицы и имеет следующий вид:

N = 1Y₍₁₆₎ = 16 + Y

Теперь надо найти значение цифры Y. Очевидно, что при умножении четных цифровых разрядов могут получаться только четные значения. В последнем разряде числа М расположена нечетная цифра D. Следовательно, значение младшей цифры в числе N может быть только нечетным. Значение 1 можно исключить сразу, т.к. единица при умножении дает в последнем разряде только саму себя.

Y = 2n + 1; Y ǂ 1; Y ϵ { 3, 5, 7, 9, B, D, F }

Посмотрим, как ведут себя нечетные цифры при возведении числа в степень. Нас интересуют только последние цифровые разряды, поэтому выполнять умножение в полном объеме не обязательно. Для цифры 3 покажем результаты полностью, для остальных укажем только цифры в последних разрядах произведений.

Вторая степень:              3 × 3 = 9

Третья степень:               9 × 3 = *B

Четвертая степень:         1B × 3 = *1

Пятая степень:                51 × 3 = *3

Начиная с шестой степени цифры в последних разрядах образуют периодическую последовательность вида: ( 9, B, 1, 3, … ). Похожие результаты получаются для всех нечетных цифр от 3 до F.

5: 9, D, 1, 5, …

7: 1, 7, …

9: 1, 9, …

B: 9, 3, 1, B, …

D: 9, 5, 1, D, …

F: 1, F, …

Таким образом, только две цифры дают значение D в последних разрядах своих степеней, при этом только для цифры D это значение образуется именно для пятой степени. Это значит, что последняя цифра числа найдена: Y = D.

Итак, число N найдено.

Теперь мы можем выполнить последнюю операцию вычитания и перевод результата в четверичную систему счисления.

1D(16) – 0,2(16) = 1C,E₍₁₆₎

1C,E(16) = 11100,111₍₂₎

11100,111(2) = 130,32₍₄₎

Ответ: 130,32₍₄₎

ЗАДАЧА 3. Дана запись операции умножения двух целых чисел в системе счисления с основанием четыре. При этом все цифровые разряды чисел, кроме нулевых, не известны и обозначены буквами латинского алфавита X,Y,Z. Определить значения данных чисел (цифровые разряды).

Для четверичного основания найти решение задачи не очень сложно. Цифра 0 исключается. Следовательно, для неизвестных значений цифровых разрядов остаются только три допустимых значения: 1, 2, 3. Таким образом, общее количество возможных вариантов равно 6 = 3! (факториал 3). При этом нет необходимости рассматривать все варианты умножения в полном объеме. Две младшие цифры в первом частичном произведении являются равными. Если это не так, то вариант можно отбрасывать.

Из представленной таблицы видно, что необходимый результат дает только один вариант: X=1, Y=2, Z=3. Для полной уверенности подставим эти значения в текст примера и убедимся в правильности решения.

Ответ: X=1; Y=2; Z=3; Первое число 1232; Второе число 23.

ЗАДАЧА 4. Определить основания систем счисления X и Y, для которых выполняются все следующие условия:

1)  234_(X) < 165_(Y)

2)  543_(X)) + 22_(X) = 565_(X)

3)  345_(Y) × 44_(Y) = 16522_(Y)

В подобных задачах самое главное, это как можно больше ограничить область допустимых значений для неизвестных величин. В данном случае к данным условиям можно сразу добавить еще три:

X > 6; Y > 6; Y > X;

Основания не могут быть меньше 7, потому что в записи чисел наибольшей цифрой является шесть. Третье неравенство является прямым следствием первого условия: трехзначное число, начинающееся с 1, может быть больше другого трехзначного числа, начинающегося с двойки, только в том случае, когда оно задано в системе счисления с большим основанием.

Дальше можно рассуждать следующим образом. Уравнение для X не дает нам однозначного решения: оно образует тождество для множества значений X:

543₍₇₎ + 22₍₇₎ = 565₍₇₎

543₍₈₎ + 22₍₈₎ = 565₍₈₎

543₍₉₎ + 22₍₉₎ = 565₍₉₎

543₍₁₀₎ + 22₍₁₀₎ = 565₍₁₀₎

…

Следовательно, надо перейти к анализу условий, заданных для Y.

Произведение 5 на 4 равно 20. Если при умножении в системе с основанием Y получено число 20, которое в этой системе счисления имеет запись вида N2, то полученный результат можно записать следующим образом:

NY + 2 = 20

NY= 18

Число 18 делится без остатка только на 1, 3, 6, 9, 18. Если учесть при этом, что Y>6, то возможными решениями остаются только 9 и 18. Но решение Y=18 не подходит, потому что в этом случае следующее умножение 4 на 4 с учетом единицы переноса дает значение 17 и следующий по порядку разряд произведения не может быть равен двум. Напротив, умножение по основанию 9 дает требуемый результат:

Следовательно, решение для Y найдено: Y = 9.

Теперь надо найти решение для X. Для X остаются возможными два значения: X=7; X=8; Чтобы выбрать единственное, остается рассмотреть данное нам неравенство.

Запишем числа в виде алгебраических функций от X и Y.

2X² + 3X + 4 < Y² + 6Y + 5

После подстановки значения Y=9 и несложных преобразований получим:

2X² + 3X + 4 < 9² + 6 × 9 + 5

2X² + 3X < 81 + 54 + 5 — 4

2X² + 3X < 136

X(2X+3) < 136

Допустимых значений для X всего два, поэтому решение неравенства можно найти с помощью простой подстановки:

7(14+3) = 119 < 136

8(16+3) = 152 > 136

Значение X=8 нарушает неравенство. Следовательно, единственным допустимым значением для X является X=7. Задача решена.

Ответ:  X=7; Y=9.

ЗАДАЧА 5. При сложении трех неизвестных чисел в двенадцатиричной системе счисления выполняется следующее равенство:

XYZ + ZY + Z = ZXY

Число X возвели в степень N=YZ и результат записали в шестнадцатиричной системе счисления. Определить значение последней цифры в записи полученного шестнадцатиричного числа.

Первое, что требуется для решения задачи, это найти неизвестные значения цифровых разрядов. Начнем с исследования суммы последних разрядов.

При сложении трех цифр образуется число, которое заканчивается на цифру Y.  Если первый разряд этого числа равен 1, то можно составить уравнение и получить возможное значение для Z.

Z + Y + Z = 1Y

2Z + Y = 12 + Y

2Z = 12

Z = 6;

Никаких других решений для Z нет. Если предположить, что старший разряд суммы равен 2, то мы получим следующее:

Z + Y + Z = 2Y

2Z + Y = 24 + Y

2Z = 24

Отсюда Z=12, что невозможно в c/c с основанием 12;

Таким же образом, путем анализа ситуации при сложении средних разрядов, получим решение для Y и X. Не забудем, что здесь необходимо учесть единицу переноса из младшего разряда суммы. На основе анализа сложения в средних разрядах получим:

Y + 6 + 1 = 1X

Y + 7 = 12 + X

Y = X + 5

При этом в старшем разряде суммы разряд Z=6 может образоваться только при сложении цифры X и единицы переноса.

X + 1 = 6

X = 5

Соответственно для цифры Y имеем следующее:

Y = 5 + 5 = A

Проверим значения разрядов путем подстановки.

Теперь можно приступить ко второй части задания. Показатель степени, в которую возвели число X равен:

N = Y^Z = A⁶ = 10⁶  = 1000000₍₁₀₎

Чтобы ответить на вопрос, какая цифра будет в последнем разряде шестнадцатиричной степени, надо понять, как ведет себя число 5 при возведении в степень в шестнадцатиричной системе счисления. При этом нас интересуют только те значения цифр, которые образуются в последних разрядах.

Первая степень:             5

Вторая степень:              5 × 5= 19

Третья степень:              5 × 5 × 5 = *D

Четвертая степень:         5 × 5 × 5 × 5 = *1

Дальше образуется период с длиной 4:

( 5; 9; D; 1 )

Одинаковые цифры образуются в последнем разряде степени для всех показателей степени, которые имеют одинаковые остатки при делении на длину периода, т. е. на четыре. Например, на цифру 1 заканчиваются все степени с показателями, которые кратны четырем: 4, 8, 12, 16, и т.д. Один миллион делится на четыре без остатка. Следовательно, последняя цифра в миллионной степени шестнадцатиричного числа равна 1.

Ответ: Последняя цифра в записи полученного шестнадцатиричного числа равна 1.

ЗАДАЧА 6. Дана периодическая дробь в троичной системе счисления (M). Записать число в системе счисления с основанием шестнадцать. Определить значение цифры, которая находится в полученном шестнадцатиричном числе в позиции с троичным номером N=201211221(3) после запятой.

M = 201201,(201)(3)

Переведем данное число в шестнадцатиричную систему счисления. Сначала выполним перевод из троичной системы в десятичную, потом – из десятичной в шестнадцатиричную. Для целой части числа используем обычные алгоритмы преобразования, для дробной части воспользуемся методом, который мы уже применяли для устранения периодической части дроби (см. решение задачи №1).
Переводим целую часть числа в десятичную систему счисления.

201201₍₃₎ = 2 × 35 + 0 + 1 × 33 + 2 × 32 + 0 + 1 = 2 × 243 + 27 + 18 + 1 = 486 + 27 + 18 + 1 = 532₍₁₀₎

Переводим дробную часть числа в десятичную систему счисления.

X = 0,(201)₍₃₎

1000X = 201,(201)₍₃₎

201,(201) ₍₃₎ — 0,(201)₍₃₎ = 201

1000X — X = 222X

Теперь выполним перевод целой и дробной частей числа в шестнадцатиричную систему счисления.

532 : 16 = 33;       остаток = 4;

33 : 16 = 2;           остаток = 1;

2 : 16 = 0;             остаток = 2;

532₍₁₀₎ = 214₍₁₆₎

19 : 16 = 1;           остаток = 3;

1 : 16 = 0;             остаток = 1;

19₍₁₀₎ = 13₍₁₆₎

26 : 16 = 1;           остаток = A;

1 : 16 = 0;             остаток = 1;

26₍₁₀₎ = 1A₍₁₆₎

Мы получили число в форме обыкновенной шестнадцатиричной дроби. Для того, чтобы получить запись числа с шестнадцатиричной запятой, надо разделить числитель обыкновенной дроби на ее знаменатель.

Мы получили бесконечную периодическую дробь в шестнадцатиричной системе счисления.

M = 214,B(B13)₍₁₆₎

Первая цифра после запятой не входит в состав периода. Поэтому удобнее нумеровать цифры, начиная со второй цифры после запятой. Другими словами, нам надо найти значение цифры с номером S=N-1 от начала периодической части числа.

S = N-1 = 201211221₍₃₎ — 1 = 201211220₍₃₎

Значения цифр в периодической части числа повторяются через каждые три разряда. Это значит, что остаток от деления номера цифры на три позволяет нам определить значение цифры с любым номером. Если число в троичной системе счисления заканчивается на цифру 0, то это значит, что данное число делится на 3 без остатка.

Но если номер цифры делится на три без остатка, то эта цифра занимает третье место в составе периода. Третья цифра в периоде дроби это цифра три.

Ответ: Цифра с троичным номером 201211221 после запятой в шестнадцатиричной записи троичного числа 201201,(201) равна 3.

2. Решение логических задач с использованием аппарата алгебры логики

Системы счисления. Основные приёмы — презентация онлайн

Похожие презентации:

Пиксельная картинка

Информационная безопасность. Методы защиты информации

Электронная цифровая подпись (ЭЦП)

Этапы доказательной медицины в работе с Pico. Первый этап

История развития компьютерной техники

От печатной книги до интернет-книги

Краткая инструкция по CIS – 10 шагов

Информационные технологии в медицине

Информационные войны

Моя будущая профессия. Программист

1. Определения

2. Перевод в десятичную систему

3. Перевод в десятичную систему

4. Поиск основания системы

5. Поиск основания системы

6. Поиск основания системы

7. Метод таблицы

8. Метод деления уголком

9. Метод деления уголком

10. Метод деления уголком

11. Сложение в двоичной системе

12. Вычитание в двоичной системе

13. Сложение в восьмеричной системе

14. Вычитание в восьмеричной системе

15. Шестнадцатеричная система

16. Сложение в шестнадцатеричной системе

17. Вычитание в шестнадцатеричной системе

18. Связь с двоичной системой

19. Перевод из двоичной в восьмеричную

English     Русский Правила

Сложение двоичных чисел онлайн

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Также решают

Число №1

Число №2

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Перевод чисел в двоичную, шестнадцатеричную, десятичную, восьмеричную системы счисления

Умножение двоичных чисел

Формат представления чисел с плавающей запятой

Пример №1. Представить число 133,54 в форме числа с плавающей точкой.
Решение. Представим число 133.54 в нормализованном экспоненциальном виде:
1.3354*10² = 1.3354*exp₁₀²
Число 1.3354*exp₁₀² состоит из двух частей: мантиссы M=1.3354 и экспоненты exp₁₀=2
Если мантисса находится в диапазоне 1 ≤ M Представление числа в денормализованном экспоненциальном виде.
Если мантисса находится в диапазоне 0,1 ≤ M Представим число в денормализованном экспоненциальном виде: 0.13354*exp₁₀³

Пример №2. Представить двоичное число 101.10₂ в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.
Таблица истинности

Вычисление пределов

Арифметика в двоичной системе счисления

1. При сложении в двоичной системе системе счисления двух единиц в данном разряде будет 0 и появится перенос единицы в старший разряд.
2. При вычитании из нуля единицы производится заём единицы из старшего разряда, где есть 1. Единица, занятая в этом разряде, даёт две единицы в разряде, где вычисляется действие, а также по единице, во всех промежуточных разрядах.

Сложение чисел с учетом их знаков на машине представляет собой последовательность следующих действий:

• преобразование исходных чисел в указанный код;
• поразрядное сложение кодов;
• анализ полученного результата.

Пример №1.
Дано: х=0,110001; y= -0,001001, сложить в обратном модифицированном коде.

Дано: х=0,101001; y= -0,001101, сложить в дополнительном модифицированном коде.

Пример №2. Решить примеры на вычитание двоичных чисел, используя метод дополнения до 1 и циклического переноса.
а) 11 — 10.
Решение.
Представим числа 11₂ и -10₂ в обратном коде.
Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.
Двоичное число 0000011 имеет обратный код 0,0000011
Двоичное число 0000010 имеет обратный код 1,1111101
Сложим числа 00000011 и 11111101
В 0-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 1-й разряд.

б) 111-010 Представим числа 111₂ и -010₂ в обратном коде.
Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.
Двоичное число 0000111 имеет обратный код 0,0000111
Двоичное число 0000010 имеет обратный код 1,1111101
Сложим числа 00000111 и 11111101
В 0-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 1-й разряд.

Сложение двоичных вещественных чисел с плавающей запятой

При сложении чисел с плавающей точкой выравнивание порядков выполняют в сторону большего порядка:

Алгоритм сложения чисел с плавающей точкой:

1. Выравнивание порядков;
2. Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
3. Нормализация результата.

Пример №4.
A=0,1011*2¹⁰, B=0,0001*2¹¹
1. Выравнивание порядков;
A=0,01011*2¹¹, B=0,0001*2¹¹
2. Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
MA_{доп.мод.}=00,01011
MB_{доп.мод.}=00,0001
   00,01011
+ 00,00010
=
   00,01101
A+B=0,01101*2¹¹
3. Нормализация результата.
A+B=0,1101*2¹⁰

Пример №3. Записать десятичное число в двоично-десятичной системе счисления и сложить два числа в двоичной системе счисления.

Оптимальная система счисления: sevabashirov — LiveJournal

Как математически определить удобство использования той или иной системы счисления? Во-первых можно рассмотреть, как в них записываются числа. Чем больше основание n, тем меньше разрядов требует одно и то же число, но при этом растет «алфавит» — количество цифр, что влечет за собой и размеры таблиц сложения и умножения, и все такое прочее. Результирующим будет произведение-комбинация этих факторов: lg(n) * (1/n). Логарифм (все равно какой, взял десятичный) основания системы отражает компактность записи чисел, обратное число — компактность алфавита. 5 — вчетверо меньше… А можно просто 60 разных цифр и один разряд, как вавилоняне — вот и будут лишь числа от 0 до 59.

Так вот, эти выкладки — давно уже не секрет, кто их только не делал. В непрерывном случае максимум приходится на число e=2,718…, так что основание 3 выглядит лучше всех, 2 и 4 — одинаково чуть похуже: http://phg.su/basis2/X51.HTM — наглядно.
___

Но этого явно мало. При таком подходе учтено удобство записи чисел, но есть же еще и вычисления, операции над ними. Частично это уже учтено (см. выше фразу про таблицы сложения-умножения). И здесь приходится к месту аргумент, который — если кто в курсе — был основным доводом у сторонников двенадцатеричной системы: 12 делится нацело на 1, 2, 3, 4, 6 и собственно 12 против 1, 2, 5 и 10 у десятки. Это еще Перельман описывал в «Занимательной арифметике». И действительно, чем больше круглых чисел в произведениях и чем меньше периодических дробей в частных — очевидно, тем удобнее и быстрее подсчеты. Таким образом, домножаем нашу комбинацию двух факторов на третий — количество делителей числа d(n).

Итоговая формула: коэффициент эргомичности системы счисления q(n) = lg(n) / n * d(n) * 2,5 — домножил для приведения коэффициента десятичной системы к единице. Мы вправе это делать, поскольку основание логарифма все равно взято произвольно, у абсолютных значений q(n) нет смыслового наполнения. Ниже — таблица 25 лидеров:

Само собой, прикидка крайне грубая и многих вещей не учитывает. Но тут, как говорится, выделяйте гранты на дальнейшие исследования.

Тема поста интересна в первую очередь френдам aaamibor, doncunita, lrlay777, sly2m, spamsink, vmenshov и другим.

ПРОДОЛЖЕНИЕ ПОСТА С УТОЧНЕНИЕМ ФОРМУЛЫ: https://sevabashirov. livejournal.com/270269.html

Основные понятия информатики Лекция 3 План 1. Информационная

Основные понятия информатики Лекция 3

План 1. Информационная модель 2. Алгоритм 3. Системы счисления 4. Классификация компьютеров 5. Основные области применения вычислительной техники

П.1 Информационная модель Моделью называется материальный или идеальный образ некоторой совокупности реальных объектов или явлений, полученный отбрасыванием всех несущественных и концентрацией внимания только на некоторых важнейших с точки зрения решаемой задачи атрибутах рассматриваемых предметов или явлений.

При решении задач в различных областях деятельности приходится строить различные модели. В информатике рассматриваются в основном информационные и математические модели.

Примеры: Информационная модель личности. Личный листок по учету кадров. В этом документе отражаются такие атрибуты сотрудников, как фамилия, имя и отчество, дата рождения, пол, образование, домашний адрес и т. д. А такие атрибуты, как цвет глаз, рост, вес, в личном листке никак не отражаются. Можно считать, что этот документ представляет собой информационную модель личности сотрудника учреждения.

Информационная модель печатного издания. В библиотеке на каждое печатное издание заводится библиографическая карточка. В ней отражаются инвентарный и каталожные номера, название, фамилия автора или авторов, год и место издания, том, номер и т. д.

Понятие математической модели очень близко к понятию информационной модели, и многие специалисты рассматривают математическую модель как специфический, частный случай информационной модели. Характерной чертой математической модели является необходимость привлечения математических соотношений, уравнений, ограничений для адекватного описания рассматриваемых явлений или связей между объектами.

Пример: Необходимо определить виновника аварии. В некоторых случаях может помочь измерение длины тормозного пути, по которому, с учетом состояния дорожного покрытия, погодных условий и некоторых других факторов, можно с помощью специальных математических соотношений определить скорости машин, участвовавших в происшествии. Строится математическая модель ситуации, включающая в себя такие атрибуты, как длина тормозного пути, вес и габариты машин, состояние дорожного покрытия, специальные коэффициенты, учитывающие погодные условия, и математические соотношения, связывающие между собой все рассматриваемые величины. Выполнив необходимые математические расчеты, можно решить поставленную задачу и с большой долей уверенности определить виновника аварии.

Отвлечение от несущественных деталей, о котором шла речь выше, принято называть абстрагированием. Таким образом, абстрагирование является одним из важнейших инструментов при построении модели какой-либо предметной области. Естественно, что при абстрагировании осуществляется определенное огрубление реальной действительности.

П. 2 Алгоритм Последовательность действий, которую необходимо выполнить над исходными данными, чтобы достичь поставленной цели, принято называть алгоритмом. Алгоритм – это конечная последовательность указаний на языке понятном исполнителю, задающая процесс решения задач определенного типа и ведущая к получению результата, однозначно определяемого допустимыми исходными данными.

Слово «алгоритм» происходит от имени ученого IX века Муххамеда бен Аль-Хорезми («аль-хорезми» -> «алгоритм»), который описал правила выполнения арифметических действий в десятичной системе счисления. Словом «алгоритм» потом и стали обозначать эти правила вычислений. Однако с течением времени понятие алгоритма видоизменялось и в XX веке под ним стали понимать какую-либо последовательность действий, приводящую к решению поставленной задачи.

Свойства алгоритма Дискретность (в данном случае, разделенность на части) и упорядоченность. Алгоритм должен состоять из отдельных действий, которые выполняются последовательно друг за другом. Детерминированность (однозначная определенность). Многократное применение одного алгоритма к одному и тому же набору исходных данных всегда дает один и тот же результат. Формальность. Алгоритм не должен допускать неоднозначности толкования действий для исполнителя. Результативность и конечность. Работа алгоритма должна завершаться за определенное число шагов, при этом задача должна быть решена. Массовость. Определенный алгоритм должен быть применим ко всем однотипным задачам.

Исполнитель и разработчик алгоритма Разработчик алгоритма в конечном итоге должен описать алгоритм в допустимых командах определенного исполнителя (той машины, которой будет поручено выполнение алгоритма). Совокупность команд, которые данный исполнитель может выполнять, называется системой команд исполнителя. Объекты (данные), над которыми исполнитель может выполнять действия, формируют среду исполнителя.

Язык блок-схем Алгоритм можно описать разными способами: словами, на языке программирования, а также с помощью блок-схем. На языке блок-схем каждый шаг алгоритма описывается с помощью соответствующей фигуры, а последовательность выполнения шагов определяется линиями-связями. Блок схемы читаются сверху вниз и слева направо.

Прямоугольник – выполнение действия (например, c = a + b) Ромб – проверка условия (например, a > b). Если условие выполняется, то алгоритм идет по линии «да», если не выполняется – то по линии «нет». Скругленный прямоугольник – начало и конец алгоритма Скошенный прямоугольник – ввод-вывод данных (например, получение значения переменной, вывод результата на экран монитора).

Алгоритмические структуры (типы алгоритмов) Следование. Предполагает последовательное выполнение команд сверху вниз. Если алгоритм состоит только из структур следования, то он является линейным. Ветвление. Выполнение программы идет по одной из двух, нескольких или множества ветвей. Выбор ветви зависит от условия на входе ветвления и поступивших сюда данных. Цикл. Предполагает возможность многократного повторения определенных действий. Количество повторений зависит от условия цикла. Функция (подпрограмма). Команды, отделенные от основной программы, выполняются лишь в случае их вызова из основной программы (из любого ее места). Одна и та же функция может вызываться из основной программы сколь угодно раз.

Описание различных алгоритмических структур на языке блок-схем Ветвление if Это самый простой тип ветвления. Если результат вычисления выражения-условия возвращает true (правда), то выполнение алгоритма идет по ветке «Да», в которую включены дополнительные выражения-действия. Если условие возвращает false (ложь), то выполнение алгоритма идет по ветке «нет», т.е продолжает выполняться основная ветка программы.

Ветвление if-else Если выражение-условие возвращает true (правда), то выполнение алгоритма идет по ветке «Да», если условие не выполняется (false), то выполнение идет по ветке «Нет». При любом результате выражения-условия нельзя вернуться в основную ветку программы, минуя дополнительные действия.

Ветвление if-elif-else Количество условий может быть различно. Если выполняется первое, то после выполнения действий, программа переходит к основной ветке, не проверяя дальнейшие условия. Если первое условие возвращает ложь, то проверяется второе условие. Если второе условие возвращает правду, то выполняются действия, включенные в вторую ветку конструкции. Последнее условие проверяется лишь в том случае, если ни одно до него не дало в результате true. Данную алгоритмическую конструкцию (if – elif – else) не следует путать с алгоритмической конструкцией «Выбор».

Цикл while Пока условие выполняется (результат логического выражения дает true), будут выполняться действия тела цикла. После очередного выполнения вложенных действий условие снова проверяется. Для того чтобы выполнение алгоритма не зациклилось, в теле цикла (помимо прочих действий) должно быть выражение, в результате выполнения которого будет изменяться переменная, используемая в условии. Тело цикла может ни разу не выполнится, если условие с самого начала давало false.

Цикл do В этом цикле первый раз условие проверяется лишь после выполнения действий тела цикла. Если условие возвращает true, то выражения-действия повторяются снова. Каким бы ни было условие, тело данного цикла хотя бы раз, но выполнится.

Цикл for Данный цикл также называют циклом «Для» (for). В его заголовке указывается три параметра: начальное значение переменной (от), конечно значение (до) и ее изменение с помощью арифметической операции на каждом «обороте» цикла (шаг).

Алгоритм Евклида (нахождение наибольшего общего делителя) Алгоритм Евклида – это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) пары целых чисел. Наибольший общий делитель (НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Проще говоря, это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД.

Описание алгоритма нахождения НОД делением Большее число делим на меньшее. Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла). Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления. Переходим к пункту 1.

Найти НОД для 30 и 18. 30/18 = 1 (остаток 12) 18/12 = 1 (остаток 6) 12/6 = 2 (остаток 0). Конец: НОД – это делитель. НОД (30, 18) = 6

Системы счисления. Позиционная и непозиционная системы счисления Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков – цифр . Арабская СС : используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. Римская СС– I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например: 11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1. II – здесь обе единицы обозначают единицу.

345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50, а в третьем – 500. XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел).

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная. Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр. Разряд — это позиция цифры в числе. Разрядность числа — количество цифр, из которых состоит число(например, 264 — трехразрядное число, 00010101 — восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка — третий).

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления.

Двоичная система счисления В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Восьмеричная система счисления Восьмери́чная систе́ма счисле́ния — позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7. Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Шестнадцатеричная система счисления Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа) — позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 1010до 1510, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

П.4 Классификация компьютеров Рассмотрим две наиболее распространенные в настоящее время схемы — классификация по поколениям, соответствующая историческому процессу развития вычислительной техники, и классификация по применениям.

Классификация по поколениям К настоящему времени принято выделять пять поколений вычислительной техники.

Первое поколение К первому поколению относят машины, построенные на электронных лампах накаливания. В эту группу входят машины, созданные в период, начинающийся с электронной вычислительной машины «EDSAC» и заканчивающийся примерно в конце пятидесятых годов. Если судить с современной точки зрения, то можно сказать, что эти машины стоили очень дорого, занимали огромные площади, были не совсем надежны в работе, имели маленькую скорость обработки информации и могли хранить очень мало данных. Создавались они в единичных экземплярах и использовались в основном для военных и научных целей. Типичная скорость обработки данных для машин первого поколения составляла 5-30 тысяч операций в секунду.

Второе поколение Ко второму поколению относят машины, построенные на транзисторных элементах в период с конца пятидесятых и до середины шестидесятых годов. У этих машин значительно уменьшились стоимость и габариты, выросли надежность, скорость работы и объем хранимой информации. С появлением специальных алгоритмических языков существенно упростилось применение машин для решения практических задач в различных областях. Машины стали использовать для стандартных инженерных расчетов, в экономической деятельности для оптимизации работы отдельных предприятий и даже отраслей, и во многих других областях. Типичные представители машин второго поколения — IBM-7090 (США), ATLAS (Великобритания), БЭСМ-4, М-220, Минск-32, БЭСМ-6 (СССР). Скорость обработки данных у машин второго поколения возросла до 1 миллиона операций в секунду.

Третье поколение Машины третьего поколения выполнены на так называемых интегральных схемах, которые сокращенно обозначают ИС. Интегральная схема представляет собой электрическую цепь определенного функционального назначения, которая с помощью специальной технологии размещается на очень маленькой кремниевой (или какой-либо другой подходящей по свойствам) пластинке — «основе».

Площадь такой схемы — порядка одного квадратного сантиметра, но по своим функциональным возможностям интегральная схема эквивалентна сотням и тысячам транзисторных элементов. Из-за очень маленьких размеров и толщины интегральную схему иногда называют микросхемой, а также чипом (chip — тонкий кусочек). Переход от транзисторов к интегральным схемам вызвал соответствующие изменения в стоимости, размерах, надежности, скорости и емкости машин.

Начиная с третьего поколения, вычислительные машины становятся повсеместно доступными и широко используются для решения самых различных задач. Характерным для этого времени является коллективное использование машин, так как они все еще достаточно дороги, занимают большие залы и требуют сложного и дорогостоящего обслуживания. Правда, доступ к возможностям машины уже организуется и с индивидуально используемых устройств — терминалов (terminal -конечный пункт), которые находятся на некотором удалении от основного оборудования машины, иногда даже на рабочих местах пользователей.

В состав терминала, как правило, входят клавиатура, используемая для набора данных и выполнения простейших операций по управлению работой компьютера, и дисплей, служащий для отображения текущей ситуации и полученных результатов вычислений. Носителями первичной информации все еще являются перфокарты и перфоленты, хотя уже значительный объем информации сосредоточивается на магнитных носителях — дисках и лентах. Скорость обработки информации у машин третьего поколения достигла нескольких миллионов операций в секунду.

Четвертое поколение ЭВМ В первой половине семидесятых годов происходит переход от обычных интегральных схем к схемам с большей плотностью монтажа — большим интегральным схемам (БИС). Если обычные интегральные схемы эквивалентны тысячам транзисторных элементов, то большие интегральные схемы заменяют уже десятки тысяч.

Отличительная черта четвертого поколения — наличие в одной машине нескольких (обычно 2-6, иногда до нескольких сотен и даже тысяч) центральных, главных устройств обработки информации — процессоров (от слова process — обработка), которые могут дублировать друг друга или независимым образом выполнять вычисления. Такая структура позволяет резко повысить надежность машин и скорость вычислений. Другая важная особенность — появление мощных средств, обеспечивающих работу компьютерных сетей. Это позволило впоследствии создавать и развивать на их основе глобальные, всемирные компьютерные сети.

Пятое поколение ЭВМ О проекте создания машин этого поколения, рассчитанном на десять лет, объявили в начале восьмидесятых годов японские разработчики. За ними в эту стратегическую гонку втянулись ученые США, СССР и ряда стран Западной Европы. Было заявлено, что к началу 90-х годов будет создано принципиально иное по стилю обработки информации и взаимодействия с пользователем поколение машин. Если ранее человек тщательно и подробно формулировал машине последовательность действий по обработке информации, то теперь машина по поставленной перед ней цели должна самостоятельно составить план действий и выполнить их.

Такой способ решения задач принято называть логическим программированием. Кроме того, планировалось ввести общение с машиной на уровне естественного языка. Однако решить полностью весь комплекс задач проекта не удалось и до сих пор. Хотя имеются впечатляющие достижения по каждому из направлений проекта, возникли определенные финансовые и технические трудности. Кроме того, усилия значительной части разработчиков были переключены на микропроцессорную технику и развитие сетевых технологий.

Классификация по применениям ЭВМ Персональный компьютер — это настольная электронно-вычислительная машина индивидуального использования. В 1999 году был введен в действие международный стандарт «спецификации РС99», который определяет классификацию, а также требования к аппаратным и программным средствам персональных компьютеров. Термин «спецификация» означает формализованное описание свойств, характеристик и функций некоторого объекта. Таким образом, «спецификации РС99» представляют собой описание характеристик персональных компьютеров (PC — сокращение английского словосочетания personal computer), сформулированное в 1999 году. Сразу же отметим, что классификация персональных компьютеров, предложенная в стандарте РС99, сохранилась и в стандартах, принятых в последующие годы.

Согласно указанным стандартам вводится пять категорий персональных компьютеров (в скобках указаны соответствующие официальные термины): пользовательский, потребительский, массовый компьютер (Consumer PC), предназначенный для работы, в основном, в домашних условиях; офисный, деловой компьютер (Office PC) предназначен для выполнения канцелярской работы в составе компьютерных сетей предприятия, организации и т. д.; мобильный, переносной, портативный компьютер (Mobile PC) предназначен для специалистов, которые используют компьютерные технологии в поездках, во время деловых встреч и т. д., когда использование стационарных машин затруднено или вообще невозможно; рабочая станция (Workstation PC) используется в качестве сервера в компьютерных сетях, а также как рабочий инструмент разработчиками программных средств, конструкторами, то есть там, где предъявляются повышенные требования к ресурсам компьютера; игровые или развлекательные компьютеры (Entertainment PC) используются для игр, а также для высококачественной работы со звуком и видеозаписями.

Мини-ЭВМ — состоит из машин, используемых для работы в условиях реального производства, для управления поточной линией, цехом, для обеспечения работы научной лаборатории или относительно небольшого учреждения. Как правило, мини-ЭВМ выполнена в виде нескольких напольных стоек, содержащих все ее устройства. В настоящее время мини-ЭВМ практически полностью вытеснены из употребления более мощными и дешевыми персональными компьютерами.

Группа универсальных ЭВМ характеризуется возможностью решать подавляющее большинство задач обработки информации и практически неограниченными возможностями ее хранения. Универсальные машины (соответствующий англоязычный термин mainframe — главный каркас, центральное строение) применяются как центральное звено в системах управления производственным циклом, для обеспечения работы крупных НИИ, организаций и учреждений. В последнее время часто используются как ведущий элемент глобальных и локальных сетей, который предоставляет свои вычислительные ресурсы подключенным к сети персональным компьютерам. Как и группа мини-ЭВМ, эта группа машин постепенно вытесняется мощными персональными компьютерами.

СуперЭВМ используются для решения задач так называемых предельных классов, для которых требуется колоссальное сосредоточение вычислительных мощностей. Это задачи метеопрогноза в планетарных масштабах, задачи расчета и проектирования современных самолетов и космических кораблей, задачи из области ядерной физики и космогонических исследований, задачи управления системами противоракетной и космической обороны, задачи обеспечения работы глобальных сетей общемирового значения и т. Д. Во всем мире насчитывается не так много машин класса суперЭВМ в силу их чрезвычайно высокой сложности и стоимости.

П.5. Основные области применения вычислительной техники Сферы применения вычислительной техники: Военное дело, например системы противоракетной обороны, космические системы. Моделирование физических явлений и исследование моделей с помощью ЭВМ. Например, задачи термоядерного синтеза, космогонические модели. Моделирование чаще всего применяется в тех случаях, когда проведение прямого физического эксперимента либо слишком дорого, либо в принципе невозможно. Обработка конкретных экспериментальных данных при проведении математических, физических, химических, биологических, социологических, исторических, археологических и т. д. исследований. Решение задач метеопрогноза.

Автоматизированные рабочие места (АРМ) специалиста, например АРМ бухгалтера, руководителя, врача и т. д. Системы автоматического проектирования, обеспечивающие поддержку работы инженера-конструктора, существенно повышающие производительность его труда и сокращающие сроки разработок. Широко применяются при проектировании таких изделий, как космические челноки «Буран», «Шаттл», современные сверхзвуковые самолеты и т. д. Управление работой отдельных станков (станки с числовым программным управлением), роботы (роботы на ликвидации Чернобыльской аварии, роботы, ухаживающие за больными, роботы-художники), робототехнические линии, цеха и заводы-автоматы. Автоматизированные системы планирования и управления производством, начиная с отдельных предприятий и кончая управлением целыми отраслями (железнодорожный транспорт, авиация и т. д.).

Получение изображений внутренних частей непрозрачных тел, в том числе в медицине — компьютерная томография и на производстве — контроль качества, не разрушающий изделия. Системы массового обслуживания и информационно-справочные системы. Например, системы резервирования и продажи авиа- и железнодорожных билетов. Обслуживание крупных спортивных мероприятий — мировых и европейских чемпионатов, Олимпийских игр. Базы данных правовой информации (быстрый доступ к нормативным актам, указам и постановлениям правительства, статьям Уголовного и других кодексов), криминалистические базы данных, хранящие сведения о преступниках и т. д. Банковские и биржевые компьютерные системы. Библиографические компьютерные системы. Подготовка различных документов, отчетов и других печатных материалов, рекламное дело. Компьютерная верстка и подготовка к изданию газет, журналов, книг. Аранжировка музыкальных произведений, цветомузыка. Скульптура и архитектура.

Компьютерный дизайн разрабатываемых устройств, помещений. Компьютерный подбор прически, модели одежды. Компьютерная мультипликация и анимация («оживление» изображений — воспроизведение последовательности изображений, создающее впечатление движения). Машинный перевод с различных естественных языков. Например, еще в 1985 году демонстрировалась система машинного перевода, работавшая с 4 языками и словарным запасом в 260 000 слов (человек в среднем активно использует 3000-5000 слов). Лингвистика, расшифровка неизвестных языков. Криптография — шифровка и расшифровка документов, доступ к которым должен быть ограничен. Компьютерная геодезия и картография. Обучающие, тестирующие и контролирующие программы. Цифровая аудио- и видеозапись. Бытовые применения, игровые программы. Новые средства связи, базирующиеся на локальных и глобальных сетях.

Гипертекст При работе с различного рода словарями и справочниками достаточно часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда в определении или переводе какого-либо слова, термина встречается ссылка «смотри . ..», отсылающая читателя за получением дополнительной информации в какое-то другое место. Например, в словаре иностранных слов дано следующее определение термина «информация»: «Информация [

Гипертекст представляет собой текст со ссылками, читаемый с помощью специальной программы, которая автоматически находит в компьютере связанную с выбранной ссылкой дополнительную информацию и выводит ее на экран дисплея. Ссылки в гипертексте принято называть полями. Полями могут быть встречающиеся в тексте символы, понятия, словосочетания, изображения. Как правило, поля отличаются от остального текста более ярким или интенсивным цветом. Выбор любого поля в гипертексте приводит к выполнению какого-либо действия, например, автоматическому поиску определения выделенного в поле термина. Это определение может в свою очередь содержать произвольное количество новых гипертекстовых ссылок — полей. С полем может быть связано выполнение какой-либо дополнительной программы, проигрывание фрагмента аудио- или видеозаписи. После выполнения связанных с полем действий можно вернуться в исходное место или перейти дальше по новой ссылке, встретившейся в вызванном фрагменте гипертекста. Гипертексты широко используются в различного рода справочных системах, обучающих программах, электронных учебниках.

Мультимедиа Мультимедиа представляет собой совокупность аппаратных и программных средств, обеспечивающих создание звуковых и визуальных эффектов, а также влияние человека на ход выполнения программы, предусматривающей их создание.

Сети Сетью ЭВМ называется объединение двух и более вычислительных машин с помощью специальных электрических или оптоволоконных кабелей, обычных телефонных линий, радиосвязи, спутниковой или иных средств связи. По этим линиям связи можно осуществлять обмен информацией между любыми включенными в сеть компьютерами.

Электронная почта Электронное письмо — текстовое сообщение, которое по каналам связи передается от компьютера отправителя к компьютеру адресата, где письмо и будет ожидать, пока его не прочитают.

Средства общения (социальные сети, микроблоги) Facebook Вконтакте Мой мир Одноклассники Твиттер New Space Google+ Instagram

Numbers in Different Bases

• About
• Statistics
• Number Theory
• Java
• Data Structures
• Cornerstones
• Calculus

Changing to base 10 from another база

Когда мы пишем обычное число (с основанием 10), например 5763, мы имеем в виду значение:

или, выражаясь в более откровенной форме: 90$$

Обратите внимание, «цифры» нашего числа соответствуют коэффициентам при степенях десяти, которые складываются вместе, чтобы получить значение нашего числа.

Аналогичным образом мы можем указать числа в других «основаниях» (помимо 10), используя разные цифры, соответствующие коэффициентам при степенях (данного основания), которые нужно сложить, чтобы получить значение нашего числа.

Например, число «основание 8» (или « восьмеричное число «) (как указано в нижнем индексе) 90$$

Чтобы каждое число имело представление по основанию b, но ни одно число не имеет более одного такого представления, мы должны использовать только цифры от 0 до (b-1) в любом данном числе по основанию b.

Это согласуется с числами с основанием 10, где мы используем цифры 0-9.

Для меньших баз мы используем подмножество этих цифр. Например, в базе 5 мы используем только цифры 0-4; в базе 2 (которую также называют двоичной ) мы используем только цифры 0 и 1.

Для больших оснований нам нужно иметь однозначные числа для значений после 9.0 = 23288$$

( Примечание. Как показано выше, нижний индекс, указывающий на используемую базу, часто опускается в случае шестнадцатеричных и/или двоичных чисел. В этих случаях контекст их использования обычно делает основу ясной. )

Переход с базы 10 на другую базу

Один (прямой, но неэффективный) способ преобразования базы 10 в другую:

1. Определите наибольшую степень основания, которое входит в число ненулевое число раз.
2. Определите, сколько раз эту степень можно вычесть из числа, чтобы результат не был отрицательным (т. е. разделить число на степень). Запишите эту цифру.
3. Переопределите число, чтобы оно было наименьшим положительным остатком от деления на рассматриваемую степень
4. Переопределите мощность как мощность, деленную на основание.
5. Вернитесь к шагу 2, если сила теперь не меньше единицы — в этом случае все готово.

Например, чтобы преобразовать 1073 в основание 5, мы вспоминаем, что:

 5  0  = 1
5  1  = 5
5  2  = 25
5  3  = 125
5  4  = 625
5  5  = 3125
 

Затем мы замечаем, что 5 ⁴ = 625 — это наивысшая степень числа 5 меньше 1073.

 1073 =  1  * 625 + 448
 448 =  3  * 125 + 73
  73 =  2  * 25 + 23
  23 =  4  * 5 + 3
   3 =  3  * 1 + 0
 

Красные цифры 13243 показывают представление числа 1073 по основанию 5.

Этот процесс, однако, неэффективен, поскольку необходимо знать и использовать различные способности желаемого основания.

Есть более простой способ!

Рассмотрим остатки при делении следующих чисел на 5:

 1073 = 214 * 5 +  3 
 214 = 42 * 5 +  4 
  42 = 8 * 5 +  2 
   8 = 1 * 5 +  3 
   1 = 0 * 5 +  1 
 

Примечание: представление по основанию 5 происходит от считывания остатков (выделено красным) снизу вверх! На каждом шаге выше мы просто делим на 5 и смотрим как на частное, так и на остаток — никаких знаний о высших степенях числа 5 не требуется!

Удивительно, но эта техника работает на любой базе. ( Можете ли вы объяснить почему? )

Так, например, если мы хотим найти двоичное (с основанием 2) представление числа 1000, мы просто вычисляем следующее:

 1000 = 500 * 2 +  0 
 500 = 250 * 2 +  0 
 250 = 125 * 2 +  0 
 125 = 62 * 2 +  1 
  62 = 31 * 2 +  0 
  31 = 15 * 2 +  1 
  15 = 7 * 2 +  1 
   7 = 3 * 2 +  1 
   3 = 1 * 2 +  1 
   1 = 0 * 2 +  1 
 

Таким образом, 1000 в двоичном формате равно 1111101000 .

Подсчет в другой базе

Счет по другим основаниям не слишком отличается от счета по основанию 10. Чтобы увидеть сходство, давайте посчитаем до 41 по основанию 10 и 3 (как показано в таблице ниже).

Обратите особое внимание на то, что «2» в системе счисления 3 играет ту же роль, что и «9» в базе 10. Она представляет собой последнюю цифру, которую вы можете использовать перед увеличением цифры слева.

Добавление в другую базу

Вы можете добавить другое основание (без преобразования в основание 10), если вы помните, что вы «переносите», когда у вас есть сумма, которая больше или равна вашей базе (вместо больше или равна 10), и что то, что вы «несете», — это количество раз, которое вы можете вытащить из своей суммы.

Лучше всего это иллюстрируется примером. Предположим, вы хотите добавить шестнадцатеричные числа 4EF5A и 6ACF7:

 1111 <---- Это "несущие" цифры
  4EF5A
 +6ACF7
 ------
  B9C51
 

Давайте рассмотрим пример. Заметь

 А + 7 =  11  (шестнадцатеричные вычисления)
10 + 7 = 17 =  1  * 16 +  1  (десятичные вычисления)
 

Итак, мы записываем 1 в столбце «единицы» и переносим 1. Затем

 1 + 5 + F =  15  (шестнадцатеричные вычисления)
1 + 5 + 15 = 21 =  1  * 16 +  5  (десятичные вычисления)
 

Итак, мы записываем 5 в колонке «десятки/шестнадцать» и переносим 1. Затем

 1 + F + C =  1C  (шестнадцатеричные вычисления)
1 + 15 + 12 = 28 =  1  * 16 +  12  (десятичные вычисления)
 

Итак, мы записываем C в следующем столбце и переносим 1. Затем

 1 + E + A =  19  (шестнадцатеричные вычисления)
1 + 14 + 10 = 25 =  1  * 16 +  9  (десятичные вычисления)
 

Итак, мы записываем 9 в следующем столбце и переносим 1. Затем

 1 + 4 + 6 =  B  (шестнадцатеричные вычисления)
1 + 4 + 6 =  11  (десятичные вычисления)
 

Итак, мы пишем букву B в следующем столбце, и все готово.

Ярлык для переключения между основанием 2 и основанием 16

Рассмотрим следующее преобразование из двоичного в шестнадцатеричное:

 100100010101111 (двоичный) = 0100 1000 1010 1111
                             4 8 10 15
                         = 4 8 А F
Следовательно, 10010001010111 (двоичный) = 48AF (шестнадцатеричный)
 

Удивительно, но всегда можно разбить двоичное число на группы из 4 цифр (начиная справа и добавив начальные нули, если цифры заканчиваются), а затем интерпретировать эти группы из 4 цифр как шестнадцатеричные значения и получить шестнадцатеричное представление для исходное двоичное число. ( Можете ли вы понять, почему? )

Обратный процесс так же прост.

Предположим, мы хотим преобразовать FC7 (hex) в двоичную форму. Обратите внимание, что

 F (шестнадцатеричный) = 15 = 1111 (двоичный)
C (шестнадцатеричный) = 12 = 1100 (двоичный)
7 (шестнадцатеричный) = 7 = 0111 (двоичный)
Следовательно, FC7 (шестнадцатеричный) = 111111000111 (двоичный)
 

числовая база | Brilliant Math & Science Wiki

Гаутам Шарма, Нихил Амминабхави, Алоизиус Нг, а также

способствовал

Содержимое

• Целочисленные базы чисел
• Числовая база — преобразование в другие базы
• Преобразование в десятичную систему
• От десятичной системы к другим основаниям
• От одной базы к другой
• Числовая база — решение проблем

Поскольку чаще всего используется десятичная система счисления, мы разделим переводы на три части:

• из любой системы счисления в десятичную систему счисления
• от десятичной до любой системы счисления
• с любой базы на любую другую базу.

А пока мы изучим преобразование целых чисел и преобразование десятичных чисел с плавающей запятой. 9{-1})=1,5. \ _ \ квадрат (1 × 80) + (4 × 8−1) = 1,5. □​

Для целых чисел:

Для перевода из десятичной системы в другую выполните следующие действия:

• Разделите десятичное число, которое необходимо преобразовать, на новую систему счисления и запишите остаток.
• Разделите частное, полученное при предыдущем делении, на новое основание и запишите остаток.
• Повторяйте шаг 2, пока частное не станет равным 0.
• Теперь, после того как частное станет равным 0, запишите полученные остатки справа налево в том порядке, в котором они были получены; если вы получили 1 в качестве остатка от первого деления, 3 от второго деления и 6 от третьего деления, то запишите это как 631.

Преобразование 271027_{10}2710​ в основание 8.

---

Используя описанные выше шаги, мы имеем следующее:

• делим 27 на 8, получаем остаток 3 и частное 3,
• деля 3 на 8, получаем остаток 3 и частное 0.

Следовательно, его эквивалентное восьмеричное представление равно 33833_8338​. □_\квадрат□​

Для плавающих десятичных чисел:

Предположим, что у нас есть натуральное число cncn−1⋯c3c2c1c0.c−1c−2⋯c−m‾\overline{c_nc_{n-1}\cdots c_3c_2c_1c_0.c_{- 1}c_{-2}\cdots c_{-m}}cn​cn−1​⋯c3​c2​c1​c0​.c−1​c−2​⋯c−m​​ в десятичной системе счисления с nnn цифры до запятой и цифры ммм после. Затем целая часть и дробная часть могут быть преобразованы отдельно, а затем добавлены.

Целую часть можно преобразовать, как в приведенном выше примере, поэтому теперь нам нужно преобразовать дробную часть. То есть 0.c−1c−2⋯c−m0.c_{-1}c_{-2}\cdots c_{-m}0.c−1​c−2​⋯c−m​ в десятичной системе счисления должен быть преобразован в базовый bbb. Это можно сделать, выполнив следующие действия:

• Умножьте десятичную дробную часть на bbb.
• Запишите целую часть полученного числа.
• Теперь снова возьмите дробную часть предыдущего результирующего числа в качестве новой дробной части. Если он равен нулю, то мы закончили. Если нет, то повторим вышеописанные шаги.
• Все отмеченные целые части записываются слева направо в порядке их получения, с предшествующей десятичной точкой.

Наглядно можно понять на примере:

Преобразование 987,11111111111…987,11111111111\ldots 987,11111111111… в восьмеричную систему счисления.

---

Во-первых, целая часть 987987987 будет равна 173317331733 в восьмеричном основании по приведенной выше теории.

Теперь возьмем дробную часть 0,111111111111…0,111111111111\ldots0,111111111111….

• Умножая на 8, получаем 0,888888888888888888…0,888888888888888888\ldots0,888888888888888888….
• Теперь целая часть равна нулю, а новая дробная часть равна 0,888888888888…0,8888888888888\ldots0,888888888888….
• Снова умножая эту новую дробную часть на 8, мы получаем 7,1111111111111…7,1111111111111\ldots7,1111111111111….
• Теперь целая часть равна 7, а новая дробная часть равна 0,111111111…0,111111111\ldots0,111111111….
• Здесь мы видим, что у нас снова 0,111111111…0,111111111\ldots0,111111111…, поэтому цифры будут повторяться.

Следовательно, восьмеричное представление 0,11111111111…0,11111111111\ldots0,11111111111… равно 0,070707070707…0,070707070707\ldots0,070707070707….

Таким образом, новый номер будет 1733.07070707…1733.07070707\ldots1733.07070707… в восьмеричной системе счисления. □_\квадрат□​

Это можно легко сделать, сначала преобразовав исходное число в десятичную систему счисления, а затем в требуемую базу.

Преобразование 10210_2102​ в основание 8.

---

Мы можем легко преобразовать его в десятичное число, то есть 2.
Затем мы можем преобразовать это число в восьмеричное, что также равно 2.
Следовательно, 102=2810_2=2_8102​=28​. □_\квадрат□​

Примечание: Этот пример дает нам еще одно представление о том, что если начальное значение меньше основания, в которое оно должно быть преобразовано, то число остается прежним. Например, 78=710=716=71007_8=7_{10}=7_{16}=7_{100} 78​=710​=716​=7100​ и т. д.

Если 128=x212_8=x_2128​=x2​, найдите сумму цифр xxx.

Обратите внимание, что aba_bab – это число aaa в базе bbb. 92, \ldots50,51,52,…, где каждую степень числа 5 можно использовать не более трех раз?

Пусть fff — многочлен с целыми неотрицательными коэффициентами. Если f(1)=7f(1)=7f(1)=7 и f(7)=7597f(7)=7597f(7)=7597, чему равно f(10)?f(10)?f(10 )?

Да №

(11221133112211)12\large (11221133112211)_{12}(11221133112211)12​

Делится ли указанное выше число на (143)10?(143)_{10}?(143)10​? (Калькуляторы не нужны!)

Уточнение: Нижний индекс 12 означает, что мы работаем в базе 12.

Попробуйте задать больше вопросов по базам.

0 1 2 3 4 5 6 7

(102030405060504030201)7\large (102030405060504030201)_7(102030405060504030201)7 на (8)10(8)_{10}(8)10​?

Уточнение:

• Пожалуйста, без калькуляторов!
• Нижний индекс 7 указывает на то, что мы работаем в базе 7.

Попробуйте больше вопросов по базам.

По основанию 10 можно определить делимость на 3 или 9просто сложив все цифры в номере; если результаты делятся на 3 или 9, то числа делятся на 3 или 9 соответственно.

Какое наименьшее основание nnn такое, что мы можем проделать тот же трюк со всеми числами от 2 до 6?

Другими словами, какое наименьшее целое число n>1n > 1n>1 такое, что для любого числа xxx, записанного в системе счисления nnn, можно определить делимость на все целые числа mmm (2≤m≤6),(2 \leq m \leq 6),(2≤m≤6), сложив все цифры xxx и, если результат делится на mmm, сделать вывод, что xxx делится на m?m?m?

Попробуйте больше вопросов по базам.

Цитировать как: База номеров. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/number-base/

Числовые базы | Математика | Компьютеры

Существует более простое объяснение системы счисления, а также интерактивные страницы. на двоичные, двоичные дроби, нормализованные двоичные числа с плавающей запятой и шестнадцатеричный в разделе Interactive . Существует также число оснований Счеты , которые вы можете использовать для экспериментов с различными системами счисления, и вы можете смотрите видео по числовым базам на YouTube-канале AdvancedICT . Для большинства курсов GCSE по информатике требуется преобразование между системами счисления.

Что такое числовая база?

Немецкий математик Леопольд Кронекер однажды сказал, что «Бог дал нам целые числа, а все остальное — дело рук человека». Я думаю, он имел в виду, что числа существуют, но мы можем представлять их по-разному и делать с ними разные вещи. Не вдаваясь в философию, полезно помнить, что часто то, о чем мы думаем как о числах, на самом деле является символами, представляющими число — так же, как то, как вы пишете свое имя, не является вами, и вы все еще тот же человек, если вы печатаете свое имя, напишите его другим цветом или используйте другой алфавит.

Основы счисления — это разные способы записи и использования одного и того же числа. Для нашей арифметики мы используем систему, называемую основанием 10, или десятеричным числом, но существует почти столько же числовых оснований, сколько и самих чисел. Многие люди думают, что мы используем основание 10, потому что у нас есть 10 пальцев, на которых мы можем считать. Компьютеры и другие электронные устройства могут надежно использовать только электрический ток или отсутствие тока для счета (например, наличие двух пальцев), и поэтому они, как правило, используют основание 2 (двоичное) внутри.

Важно помнить, что числовые основания — это просто разные способы записи чисел — так же, как римские цифры или таблицы подсчета, — но в остальном числа ведут себя как обычно. Это не означает, что их арифметика принципиально отличается — на самом деле то, как ведут себя системы счисления, полностью согласовано.

Как они работают?

Вы будете знакомы с идеей основания 10 и заголовками столбцов, о которых вы говорили в начальной школе — единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. — другие системы счисления работают точно так же. У них есть столбцы с заголовками, которые используются для представления чисел, а разные цифры располагаются в разных позициях, начиная справа.

Заголовки столбцов для общих оснований и общее основание x показаны в таблице ниже:

Заголовки столбцов								Базовый номер
128	64	32	16	8	4	2	1	2 (двоичный)
и т.д.	262144	32768	4096	512	64	8	1	8 (восьмеричный)
	и т. Д.	100000	10000	1000	100	10	1	10 (Denary)
		и т. Д.	65536	4096	256	16	1	16 (Hexadecimal)
и т. д.	Х 6	Х 5	Х 4	Х 3	Х 2	Х 1	Х
х

Основание обычно записывается в виде нижнего индекса после числа, поэтому вы можете сказать, что 111 ₂ — это 7 в двоичном формате, а не сто одиннадцать.

Вы можете работать с любой системой счисления (кроме 1, что на самом деле не имеет смысла), и некоторые языки программирования, такие как Лисп, позволяют вам это делать. Однако в вычислительной технике вы, как правило, сталкиваетесь только со следующими четырьмя основаниями, и вы уже знаете основание 10. Эти общие основы также имеют собственные имена, указанные в скобках:

• основание 2 (двоичный)
• основание 8 (восьмеричное)
• основание 10 (денарий)
• основание 16 (шестнадцатеричное)

Самая большая цифра, которая может быть в любом столбце, на единицу меньше числа основания. Таким образом, для двоичного (по основанию 2) это 1, затем 7 для восьмеричного (по основанию 8), 9 для десятичного (по основанию 10) и т. д.

Однако после основания 10 у нас закончились цифры для представления чисел, поэтому мы должны использовать буквы, где A = 10, B = 11, C = 12 и т. д. Таким образом, последовательность чисел, записанных в шестнадцатеричном формате, равна 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, за которыми следуют 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F и т. д.

Когда мы записываем число с основанием 10, мы знаем его значение, потому что мы умножаем отдельные цифры на соответствующие им заголовки столбцов. Например, когда мы видим 123, даже если мы не думаем об этом, мы вычисляем 1 х 100 + 2 х 10 + 3 х 1, чтобы получить сто двадцать три. Точно так же работают и другие системы счисления.

Вы можете использовать эту информацию для преобразования чисел в других системах счисления в систему с основанием 10, например:

 возврат ( 
 ''' 
 ------------------------------------------ ------------------ 
 Добро пожаловать в конвертер числовой базы 
 Система запросит у вас: 
 - Число для преобразования 
 - Какое основание вы хотите преобразовать ИЗ 
 - Какое основание вы хотите преобразовать В ** ПОМНИТЕ: Все числа должны быть целыми числами! (кроме HEX) ** 
 --------- -------------------------------------------------- 
 ''') 

 [int(item) для элемента в наборе(list(check_number))] 

 если output_base == 2: 
 return (bin(input_number)[2:]) 

 >>> check_number = 23 
 >>> print(bin(check_number)) 
 0b10111 
 >>> print(bin(check_number)[2:]) 
 10111 

 reversed_input_number = input_number[::-1] 

 для индекса, число в enumerate(reversed_input_number): 
 для ключа, значение в hex_helper_dict.items(): 
 if str(number).lower() == key: 
 number = value sum_base_10 += (int(number)*(int(input_base)**index)) 

 sum_base_10 += (int(number)*(int(input_base)**index)) 

 elif input_base == 10: 
 sum_base_10 = int(input_number) 

 в то время как sum_base_10 > 0: 
 разделить = sum_base_10// int(output_base) 
 rester_list.append(str(sum_base_10 % int(output_base)) 
 sum_base_10 = разделить 

 return ''.join(remainder_list[::-1])