Моделирование низкочастотного случайного процесса – Методы моделирования случайных процессов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Методы моделирования случайных процессов | Статья в журнале «Молодой ученый»

 

В данной статье рассмотрены методы статистического моделирования применительно к моделированию на ЭВМ случайных процессов, имитирующих непрерывные случайные функции с заданными вероятностными характеристиками.

Ключевые слова: статистическое моделирование, случайные величины, стохастические процессы.

 

Существуют два типа алгоритмов, при помощи которых на ЭВМ могут вырабатываться дискретные реализации случайного процесса U(t). Алгоритмы первого типа предусматривают вычисление дискретной последовательности значений , т. е. значений реализаций процесса U(t) в совокупности заранее выбранных моментов времени . Шаг дискретизации обычно принимается постоянным: ∆t = const, тогда из стационарности процесса U(t) следует стационарность последовательности {}.

В основе алгоритмов этого типа положено линейное преобразование стационарной последовательности независимых гауссовских чисел ζ с параметрами <ζ> = 0, < > = 1 в последовательность {} коррелированную по заданному закону

(1)

где K(τ) корреляционная функция моделируемого процесса. При этом оператор соответствующего линейного преобразования записывается или в виде скользящего суммирования с весом

или в виде рекуррентного уравнения типа

Вид корреляционной функции воспроизводимого при помощи соотношений (2), (3) случайного процесса определяет набор значений коэффициентов .

Ко второму типу относятся алгоритмы, основанные на представлении моделируемых процессов в виде разложений

где некоторая система детерминистических функций; U случайный вектор. При этом моделирование случайного процесса сводится к воспроизведению реализаций векторов U и последующему вычислению значений Um = U(tm) по формуле (4).

Целью статистического моделирования случайных полей является воспроизведение совокупности реализаций значений поля U(x) в дискретных точках [x = (), n=1,…,N]. В дальнейшем не будем делать формального различия между пространственными координатами и временем и ограничимся случаем однородных случайных полей. Алгоритмы моделирования случайных полей, как правило, являются обобщением соответствующих алгоритмов моделирования случайных процессов на случай m переменных.

Моделирование гауссовского белого шума.

При статистическом моделировании случайных процессов и полей возникает необходимость в моделировании стационарного дельта-коррелированного гауссовского процесса ζ(t) (белого шума интенсивности s) или его многомерного аналога ζ(x). На ЭВМ можно воспроизводить только усеченный белый шум ζ(f) с конечной дисперсией. Параметр при моделировании подбирается таким образом, чтобы последовательность ζm = ζ(m∆t) была некоррелированной. Это условие будет выполняться, если выбрать ∆t где ∆t шаг дискретизации. Моделирующий алгоритм при этом имеет вид [1]:

Метод скользящего суммирования для моделирования случайных процессов.

Алгоритм (2) позволяет воспроизводить на ЭВМ последовательности {Um} сколь угодно большой длины, которые с самого начала обладают свойством стационарности. Весовые коэффициенты могут быть вычислены различными способами. Эффективным является способ, основанный на разложении в ряд Фурье спектральной плотности моделируемого процесса. Преобразование (2) при этом берется в виде

а коэффициенты

Шаг дискретизации ∆t и число членов ряда P выбираются из условия

где ε — допустимая погрешность;

Моделирование стационарных случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью.

Для моделирования случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью вида

где B(i) и С(i) полиномы относительно (i) порядка r и p соответственно (r < p) эффективным является алгоритм типа (3). Спектральная плотность последовательности

может быть приведена к виду

Где

Коэффициенты используются в рекуррентных уравнениях (3). Соотношения (3) позволяют получать дискретные реализации случайных процессов сколь угодно большой длины. Начальные условия в (3) при вычислении первых значений последовательности {Um} можно выбрать произвольными (например, нулевыми). Вследствие этого возникает переходный процесс, в пределах которого начальный участок вырабатываемой реализации будет искажен. Величина этого участка реализации зависит от корреляционных свойств моделируемого процесса [2].

Моделирование случайных процессов с использованием канонического разложения.

Для стационарных гауссовских случайных процессов справедливо разложение:

где U(ω) и V(ω) — независимые и стохастически ортогональные случайные функции. Принимая, что S(ω) = 0 при |ω| > и заменяя интеграл конечной суммой, получим:

Здесь гауссовские случайные величины со следующими вероятностными характеристиками:

Число членов ряда (14) выбирается из условия

Наряду с (14) можно использовать разложение

Здесь случайные величины с совместной плотностью вероятности

.

Реализации, получаемые при помощи выражений (14), (15), являются периодическими (T = 2π/∆ω) следовательно, свойством эргодичности не обладают. Общее достоинство разложений (14) и (15) — простота алгоритма моделирования, а недостаток — необходимость учитывать большое число членов ряда.

Разложения (14) и (15) удобно использовать для получения дискретных реализаций случайных процессов в неравноотстоящих точках [3].

Другие методы моделирования случайных процессов.

Во многих случаях эффективным оказывается метод моделирования, основанный на использовании разложения [4]:

Здесь случайные величины с совместной плотностью вероятности

Согласно центральной предельной теореме распределение реализаций (16) при стремится к гауссовскому. Кроме того, при реализации будут асимптотически эргодическими по отношению к математическому ожиданию и корреляционной функции.

Наряду с (16) можно использовать разложение

Здесь случайные величины с совместной плотностью вероятности

Кроме того, Закон распределения величин можно принять равномерным на интервале (0,1), при этом их реализации моделируются при помощи соотношений

Здесь  — случайные числа, равномерно распределенные на интервале (0,1), которые вырабатываются на ЭВМ с помощью программных датчиков. Моделирование реализаций выполняют одним из методов моделирования случайных величин с заданным законом распределения.

Заключение

В данной статье были рассмотрены методы статистического моделирования применительно к моделированию на ЭВМ случайных процессов, заключающихся в решении задачи воспроизведения дискретных последовательностей, имитирующих непрерывные случайные функции с заданными вероятностными характеристиками.

 

Литература:

 

1. Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М., «Советское радио», 1971, 328с.
2. Голенко Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на электронных вычислительных машинах. М., «Наука», 1965. 227с.

3.       Шведов А. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд. дом, ГУ-ВШЭ, 2005. — 254с

4. Shinozuka M. Simulation of multivariate and multidimensional random processes. — “Journ. Acoust. Soc. Am.”, 1971, vol. 49, N 1, p. 556–583.

moluch.ru

4.4. Моделирование случайных процессов с заданными корреляционными свойствами

T∫MK(t1,t2 )xk (t2 )dt2 = λk uk (t1 ),	(4.20)
0

где K(t1,t2 ) – заданная ковариационная функция– ядро интегрального уравнения,TM – интервал моделирования случайного процесса,λk – собственные числа данного интегрального уравнения.

Основным достоинством представления (4.20) является возможность моделирования случайного процесса ξ(t) для любого

момента времени t , так какξ(t) моделируется как функция непре-

рывного времени. На практике описанный метод применяется редко из-заследующих трудностей.

1. Решение интегрального уравнения (4.20) аналитически найдено лишь для весьма ограниченного набора ковариационных

функций K(t1,t2 ).

2. В соответствии с (4.19) необходимо использовать бесконечное число функций xk (t). Это не может быть реализовано при

практическом моделировании. Если же взять число членов в правой части формулы (4.19) конечным, возникает методическая ошибка.

В работе [18] В.С. Пугачёв предложил метод, в котором случайный процесс ξ(t) моделируется таким образом, что истинная

ковариационная функция K(t1,t2 ) совпадает с ковариационной функцией моделируемого случайного процессаK Д (t1,t2 ) лишь

для заданных дискретных моментов времени. Таким образом, K(t1,t2 )= K Д (t1,t2 ) для конечного множества моментов, а само

моделирование происходит по формуле

ξ(t)= mξ(t)+ ∑N uk xk (t),	(4.21)
k=1

где N – число точек, в которыхK(t1,t2 )= K Д (t1,t2 ). Для вычисления по формуле (4.20) необходимо определить ортонормированную систему функцийxk (t),k =1,N и некоррелированные случай-

ные величины uk ,k =1,N . При этом накладываются условия лишь на первый и второй моменты случайных величинuk [18]:

studfiles.net

Моделирования случайных процессов

Моделирование случайных процессов — мощнейшее направление в современном математическом моделировании.

Событие называется случайным, если оно достоверно непредсказуемо. Случайность окружает наш мир и чаще всего играет отрицательную роль в нашей жизни. Однако есть обстоятельства, в которых случайность может оказаться полезной. В сложных вычислениях, когда искомый результат зависит от результатов многих факторов, моделей и измерений, можно сократить объем вычислений за счет случайных значений значащих цифр.

При вероятностном моделировании используют различные методы, которые позволяют решать задачи из различных областей. Ниже перечислены сферы применения вероятностных методов.

Метод статистического моделирования: решение краевых задач математической физики, решение систем линейных алгебраических уравнений, обращение матриц и сводящиеся к ним сеточные методы решения систем дифференциальных уравнений, вычисление кратных интегралов, решение интегральных уравнений, задач ядерной физики, газовой динамики, фильтрации, теплотехники.

Метод имитационного моделирования: моделирование систем массового обслуживания, задачи АСУ, АСУП и АСУТП, задачи защиты информации, моделирование сложных игровых ситуаций и динамических систем.

Метод стохастической аппроксимации: рекуррентные алгоритмы решения задач статистического оценивания.

Метод случайного поиска: решение задач оптимизации систем, зависящих от большого числа параметров, нахождение экстремумов функции большого числа переменных.

Другие методы: вероятностные методы распознавания образов, модели адаптации, обучения и самообучения.

При компьютерном математическом моделировании случайных процессов нельзя обойтись без наборов так называемых случайных чисел, удовлетворяющих заданному закону распределения. На самом деле эти числа генерирует компьютер по определенному алгоритму, т.е. они не являются вполне случайными хотя бы потому, что при повторном запуске программы с теми же параметрами последовательность повторится; такие числа называют «псевдослучайными».

Для не слишком требовательного пользователя обычно достаточны возможности датчика (генератора) случайных чисел, встроенного в большинство языков программирования. Так, в языке Паскаль есть функция random, значения которой — случайные числа из диапазона [0, 1]. Ее использованию обычно предшествует использование процедуры randomize, служащей для начальной ‘настройки» датчика, т.е. получения при каждом из обращений к датчику разных последовательностей случайных чисел. Для задач, Решение которых требует очень длинных некоррелированных последовательностей, вопрос осложняется и требует нестандартных

2. Особенности имитационного моделирования производственных систем

Для анализа производственных систем, которые очень сложны, разноплановы, не имеют исчерпывающего математического описания, а также проходят ряд этапов проектирования, реализации и развития, адекватные математические модели, будь то логические или числовые, построить не представляется возможным. Естественным здесь является использование методов имитационного моделирования.

Система может быть однозначно описана набором значений производственных параметров, характерных для каждого конкретного ее состояния. Если эти значения внести в компьютер, то изменения их в ходе вычислительного процесса можно интерпретировать как имитацию перехода системы из одного состояния в другое. При таких предположениях имитационное моделирование можно рассматривать как динамическое представление системы путем продвижения ее одного состояния к другому по характерным для нее операционным правилам.

При имитационном моделировании производственных систем изменения их состояния происходят в дискретные моменты времени. Основная концепция имитационного моделирования системы и в этом случае состоит в отображении изменений ее состояния с течением времени. Таким образом, здесь определяющим является выделение и однозначное описание состояний моделируемой системы.

Имитационные модели позволяют без использования каких-либо аналитических или других функциональных зависимостей отображать сложные объекты, состоящие из разнородных элементов, между которыми существуют разнообразные связи. В эти модели может быть включен также и человек.

Без принципиальных усложнений в такие модели могут быть включены как детерминированные, так и стохастические потоки (материальные и информационные). С помощью имитационного моделирования можно отображать взаимосвязи между рабочими местами, потоками материалов и изделий, транспортными средствами и персоналом.

Несмотря на такие очевидные преимущества, прежде всего заключающиеся в широте и универсальности применения, при этом методе из вида упускается существование логических связей, что исключает возможность полной оптимизации получаемых на этой модели решений. Гарантируется лишь возможность отбора лучшего из просмотренных вариантов.

Практически же имитационное моделирование во многих реальных случаях — единственно возможный способ исследования. После разработки имитационной модели с ней проводятся компьютерные эксперименты, которые позволяют сделать выводы о поведении производственной системы.

Появление и развитие методов компьютерного имитационного моделирования стало возможным также и в результате развития метода статистических испытаний, позволившего моделировать случайные события и процессы, занимающие большое место в реальных производствах.

При составлении имитационной модели и проведении с ее помощью моделирования исследуемого объекта необходимо решение нескольких связанных между собой задач. К ним относятся:

• анализ моделируемой системы и составление ее формализованного описания, включая выявление информационно-логической структуры системы, идентификацию ее компонентов, выбор параметров, характеризующих состояние этих компонентов, разработку компьютерной модели системы, способной воспроизвести ее поведение, планирование эксперимента по развертыванию событий в компьютерной модели, отображающих события в моделируемой системе;

• разработка методологии компьютерного статистического эксперимента, включая генерацию случайных или псевдослучайных чисел, имитацию различных случайных событий, статистическую обработку данных;

• проведение собственно компьютерного эксперимента на имитационной модели, включая управление параметрами и переменными модели в ходе ее исследования на компьютере.

studfiles.net

Моделирование стационарных случайных процессов

Цель работы: освоение методов моделирования случайных процессов с заданными спектрально-корреляционными свойствами.

1. Основные теоретические сведения

При моделировании систем управления и обработки информации важно уметь формировать модели внешних воздействий и ошибок измерений, представляемых, как правило, стационарными случайными процессами с заданными корреляционными функциями R() или спектральными плотностями S(). Как известно, данные статистические характеристики связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье:

Для того, чтобы получить стационарный процесс с заданными характеристиками, обычно используют метод формирующего фильтра [1], рассчитывая его таким образом, чтобы при подаче на вход фильтра процесса (t) типа белого шума его выходной сигнал y(t) обладал необходимыми свойствами. Отметим, что при моделировании марковских случайных процессов, характеризуемых спектральной плотностью дробно-рационального вида, формирующий фильтр будет линейным. Для получения передаточной функции W_фф(p) такого фильтра спектральную плотность процесса подвергают факторизации, т.е. представляют ее в виде произведения двух комплексно сопряженных сомножителей, все нули и полюса первого из которых лежат в левой полуплоскости, а второго – в правой:

Здесь предполагается, что интенсивность порождающего белого шума (t) равна единице.

Модель формирующего фильтра, заданная его передаточной функцией, может быть также представлена в форме пространства состояний [4]:

(13)

где x – вектор состояния фильтра; F – матрица динамики; G – матрица возмущений; H – матрица наблюдения.

Начальное состояние фильтра x(0) должно быть сформировано таким образом, чтобы обеспечить стационарность выходного процесса. Это условие выполняется, если ковариационная матрица P вектора состояния в начальный момент времени соответствует ее установившемуся значению, которое может быть найдено из матричного уравнения [5]

(14)

Заметим, что решение уравнения (14) может быть легко получено, если числитель дробно-рациональной спектральной плотности S() не зависит от . В этом случае процесс является n – 1 раз дифференцируемым, где n – порядок фильтра, так что переменные состояния могут быть выбраны равными соответственно выходному моделируемому процессу и его производным до (n – 1)-й включительно: x₁ = y ; x₂ = y^˙, …, x_n = y^{(n – 1)}. Действительно, в этом случае, как следует из вида функции S(), уравнение фильтра не будет содержать производных входного процесса, а n-я производная выходного процесса x^˙_n = y⁽ⁿ⁾ может быть выражена через его младшие производные y, y^˙, …, y^{(n – 1)}, т.е. непосредственно через переменные состояния x₁, x₂, …, x_n. Таким образом, элементы матрицы P, удовлетворяющие условию (14), могут быть сформированы только лишь исходя из выражения для корреляционной функции моделируемого процесса.

К примеру, для фильтра второго порядка имеем y = x₁; x^˙₁ = x₂. В этом случае матрица ковариаций, соответствующая стационарному векторному процессу x(t), примет вид [3]

причем R(0) = R(+0) = R(–0), т.е. при вычислении производных достаточно для определенности положить  > 0.

Соответственно, для фильтра третьего порядка y = x₁; x^˙₁ = x₂; x^˙₂ = x₃;

Начальное состояние фильтра формируется в виде x(0) = C, где CC^T = P,  – центрированная случайная величина с единичной дисперсией. При этом если матрица P диагональная, матрица C будет также диагональной с элементами C_ii =  в противном случае для нахождения матрицы C можно воспользоваться, например, разложением Холецкого [6], которое реализуется в Matlab с помощью встроенной функции chol.

Поскольку при компьютерном моделировании случайный процесс неизбежно должен быть представлен своими дискретными отсчетами, от непрерывной модели (13) переходят к ее дискретному описанию [4]:

(15)

где w_k – дискретный белый шум с дисперсией Q. Матрицы  и  следует определить из условия стохастической эквивалентности моделей (13) и (15), состоящей в совпадении математического ожидания и матрицы ковариаций вектора x(t), соответствующего непрерывной модели (13), с математическим ожиданием и матрицей ковариаций вектора x_k, соответствующего дискретной модели (15), в моменты времени t_k = kt, где t – период дискретности.

Поскольку матрица ковариаций P_k дискретной последовательности x_k определяется с помощью рекуррентного соотношения [5]

а для матрицы ковариаций P(t_k) непрерывного процесса x(t), t = t_k, справедливо следующее соотношение, являющееся следствием формулы Коши [4]:

,

где () = e^F – фундаментальная матрица системы (13), то условие стохастической эквивалентности может быть выполнено путем выбора матриц ,  и дисперсии Q в соответствии с соотношениями

 = e^Ft≈ E + Ft, (16)

(17)

Здесь E – единичная матрица.

На практике для нахождения  и Q нередко используют различного рода приближенные процедуры. Так, в первом приближении (при малых t) e^F ≈ E + F, и равенство (17) принимает вид

Полагая

 = Gt (18)

(что совпадает с формулой первого приближения для кусочно-постоянных входных воздействий [4]), для дисперсии порождающего шума получим Q = 1/t.

Период дискретности t следует выбирать таким образом, чтобы он был много меньше самой малой постоянной времени формирующего фильтра: при формировании узкополосных процессов t << 1/, где  – преобладающая частота процесса; при формировании широкополосных процессов t << 1/, где  – ширина спектра.

studfiles.net

Моделирования случайных процессов

Моделирование случайных процессов — мощнейшее направление в современном математическом моделировании.

Событие называется случайным, если оно достоверно непредсказуемо. Случайность окружает наш мир и чаще всего играет отрицательную роль в нашей жизни. Однако есть обстоятельства, в которых случайность может оказаться полезной. В сложных вычислениях, когда искомый результат зависит от результатов многих факторов, моделей и измерений, можно сократить объем вычислений за счет случайных значений значащих цифр.

При вероятностном моделировании используют различные методы, которые позволяют решать задачи из различных областей. Ниже перечислены сферы применения вероятностных методов.

Метод статистического моделирования: решение краевых задач математической физики, решение систем линейных алгебраических уравнений, обращение матриц и сводящиеся к ним сеточные методы решения систем дифференциальных уравнений, вычисление кратных интегралов, решение интегральных уравнений, задач ядерной физики, газовой динамики, фильтрации, теплотехники.

Метод имитационного моделирования: моделирование систем массового обслуживания, задачи АСУ, АСУП и АСУТП, задачи защиты информации, моделирование сложных игровых ситуаций и динамических систем.

Метод стохастической аппроксимации: рекуррентные алгоритмы решения задач статистического оценивания.

Метод случайного поиска: решение задач оптимизации систем, зависящих от большого числа параметров, нахождение экстремумов функции большого числа переменных.

Другие методы: вероятностные методы распознавания образов, модели адаптации, обучения и самообучения.

При компьютерном математическом моделировании случайных процессов нельзя обойтись без наборов так называемых случайных чисел, удовлетворяющих заданному закону распределения. На самом деле эти числа генерирует компьютер по определенному алгоритму, т.е. они не являются вполне случайными хотя бы потому, что при повторном запуске программы с теми же параметрами последовательность повторится; такие числа называют «псевдослучайными».

Для не слишком требовательного пользователя обычно достаточны возможности датчика (генератора) случайных чисел, встроенного в большинство языков программирования. Так, в языке Паскаль есть функция random, значения которой — случайные числа из диапазона [0, 1]. Ее использованию обычно предшествует использование процедуры randomize, служащей для начальной ‘настройки» датчика, т.е. получения при каждом из обращений к датчику разных последовательностей случайных чисел. Для задач, Решение которых требует очень длинных некоррелированных последовательностей, вопрос осложняется и требует нестандартных

2. Особенности имитационного моделирования производственных систем

Для анализа производственных систем, которые очень сложны, разноплановы, не имеют исчерпывающего математического описания, а также проходят ряд этапов проектирования, реализации и развития, адекватные математические модели, будь то логические или числовые, построить не представляется возможным. Естественным здесь является использование методов имитационного моделирования.

Система может быть однозначно описана набором значений производственных параметров, характерных для каждого конкретного ее состояния. Если эти значения внести в компьютер, то изменения их в ходе вычислительного процесса можно интерпретировать как имитацию перехода системы из одного состояния в другое. При таких предположениях имитационное моделирование можно рассматривать как динамическое представление системы путем продвижения ее одного состояния к другому по характерным для нее операционным правилам.

При имитационном моделировании производственных систем изменения их состояния происходят в дискретные моменты времени. Основная концепция имитационного моделирования системы и в этом случае состоит в отображении изменений ее состояния с течением времени. Таким образом, здесь определяющим является выделение и однозначное описание состояний моделируемой системы.

Имитационные модели позволяют без использования каких-либо аналитических или других функциональных зависимостей отображать сложные объекты, состоящие из разнородных элементов, между которыми существуют разнообразные связи. В эти модели может быть включен также и человек.

Без принципиальных усложнений в такие модели могут быть включены как детерминированные, так и стохастические потоки (материальные и информационные). С помощью имитационного моделирования можно отображать взаимосвязи между рабочими местами, потоками материалов и изделий, транспортными средствами и персоналом.

Несмотря на такие очевидные преимущества, прежде всего заключающиеся в широте и универсальности применения, при этом методе из вида упускается существование логических связей, что исключает возможность полной оптимизации получаемых на этой модели решений. Гарантируется лишь возможность отбора лучшего из просмотренных вариантов.

Практически же имитационное моделирование во многих реальных случаях — единственно возможный способ исследования. После разработки имитационной модели с ней проводятся компьютерные эксперименты, которые позволяют сделать выводы о поведении производственной системы.

Появление и развитие методов компьютерного имитационного моделирования стало возможным также и в результате развития метода статистических испытаний, позволившего моделировать случайные события и процессы, занимающие большое место в реальных производствах.

При составлении имитационной модели и проведении с ее помощью моделирования исследуемого объекта необходимо решение нескольких связанных между собой задач. К ним относятся:

• анализ моделируемой системы и составление ее формализованного описания, включая выявление информационно-логической структуры системы, идентификацию ее компонентов, выбор параметров, характеризующих состояние этих компонентов, разработку компьютерной модели системы, способной воспроизвести ее поведение, планирование эксперимента по развертыванию событий в компьютерной модели, отображающих события в моделируемой системе;

• разработка методологии компьютерного статистического эксперимента, включая генерацию случайных или псевдослучайных чисел, имитацию различных случайных событий, статистическую обработку данных;

• проведение собственно компьютерного эксперимента на имитационной модели, включая управление параметрами и переменными модели в ходе ее исследования на компьютере.

studfiles.net

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Во всех этих формулах значения величин, стоящих в знаменателях, определяются на предыдущих шагах.

Приведённые рекуррентные соотношения для условных плотностей используются для построения n датчиков случайных чисел с данными (условными) плотностями вероятностей. Каждыйi -йдатчик моделируетi -йотсчёт конкретной реализацииξ(ti ) слу-

чайного процесса ξ(t).

Многомерная плотность вероятности f (x1,t1,x2 ,t2 ,…,xn ,tn )

выражается через условные плотности вероятностей следующим образом:

f (x

,t ,x

,t

,…, x

,t

)=

f (x

,t) f

x

2

,t

2

… ×

x1

1

1

2

2

n

n

1

1

1

,t1

(4.3)

x

,t

×

x

,t

, x

,t

,…, x

,t

f

n

n

2

2

n−1

.

1 1

n−1

Итак, метод условных распределений позволяет моделировать случайные процессы с произвольной многомерной плотностью

вероятности f (x1,t1,x2 ,t2 ,…,xn ,tn ). Следует иметь в виду, что на практике приходится вычислять интегралы, выражающие условные плотности вероятностиf12…k , причём часто эти интегралы не

выражаются в конечном виде и их вычисляют численно. Это один из недостатков метода условных распределений. Второй недостаток – метод требует реализации n датчиков случайных чисел с

несовпадающими распределениями f1,f2 ,…,fn . В общем случае

вид плотностей вероятностей f (xk ,tk x1,t1,x2 ,t2 ,…,xk−1,tk−1 ) может меняться при смене текущей реализации, что ещё более ус-

ложняет практическое применение метода (третий недостаток). Пример 16 [22]. Рассмотрим моделирование случайного про-

цесса с двумерной функцией плотности

f (x	,t	, x	2	t	2	)=	1		(x1t1 )2 + 4(x2t2 )2 + (1 L)2	, L > 0 .
									5
1	1
							4πL		[(x1t1 )2 + (x2t2 )2 + (1 L)2 ]2

Определим безусловную плотность вероятности для первого отсчёта t1:

studfiles.net

1.3. Моделирование реализации случайных процессов

Для выполнения анализа процесса функционирования технической системы при случайных внешних воздействиях возникает необходимость моделирования этих воздействий. Реализации функций внешних воздействий на ЭВМ представляются в виде случайных последовательностей (значений воздействий в дискретные моменты времени), отображающих дискретные случайные процессы с заданными вероятностными характеристиками.

При моделировании стационарного случайного воздействия с нормальным распределением достаточно сформировать случайную последовательность с заданной корреляционной функцией. В основу алгоритмов формирования таких процессов положено линейное преобразование стационарной последовательности независимых случайных чисел, имеющих нормальное распределение, в последовательность q_k. При этом случайная последовательность подается на вход дискретного линейного фильтра, формирующего на выходе дискретный случайный процесс с заданной корреляционной функцией.

Алгоритмы формирования дискретных реализаций случайных процессов задаются рекуррентными соотношениями:

(85)

(86)

где а_l, b_j, c_i — параметры алгоритмов, определяемые по корреляционной функции R_q() формируемого дискретного случайного процесса q_k.

Начальные значения q_k при k = 0 в этих алгоритмах для простоты можно выбирать нулевыми. При этом начальный участок моделируемого процесса будет несколько искажен переходным процессом, по окончании которого последовательность q_k, k = 0,1,2… после некоторого значения k становится стационарной.

Для получения коэффициентов а_l, b_j, c_i, входящих в выражения скользящего суммирования (85) и (86), применяются разложение в ряд Фурье функции спектральной плотности; решение системы нелинейных алгебраических уравнений, правая часть которой определяется исходной корреляционной функцией; метод факторизации и др.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике корреляционные функции R_q() и алгоритмы моделирования случайных процессов, основанные на преобразовании последовательности независимых нормально распределенных чисел с математическим ожиданиемm_x = 0 и дисперсией = 1 в последовательность q_k, характеризуемую корреляционной функцией

(87)

где h — шаг дискретизации независимой переменной t.

При статистическом анализе случайных процессов в технических системах описание характеристик внешних воздействий обычно дается в виде корреляционных функций R_q() или спектральных плотностей S_q(). Эти функции получают путем статистической обработки результатов экспериментальных исследований технических систем в реальных условиях их функционирования. Получаемые в результате экспериментов графики корреляционных функций аппроксимируют некоторыми функциями. Наиболее часто используют экспоненциальные и экспоненциально-косинусные функции:

(88)

(89)

где — дисперсия возмущающего воздействияq(t),  — коэффициент, характеризующий затухание корреляционной функции;  — коэффициент, характеризующий колебательный процесс.

Разделив корреляционную функцию R_q() на , получим нормированную корреляционную функцию_q(). Графики нормированной экспоненциальной и экспоненциально-косинусной корреляционных функций показаны на рис. 12. Корреляционные функции R_q() и _q() — четные. При  = 0 получаем R_q(0) = иp_q(0) =1. При  > 0 любое значение R_q() меньше дисперсии случайного процесса , а_q() меньше единицы.

Корреляционная функция, определяемая выражением (89), относится к случайному процессу, содержащему периодическую составляющую.

Спектральная плотность стационарного случайного процесса S_q() представляет собой функцию круговой частоты , которая равна преобразованию Фурье ковариационной функции К() этого процесса:

(90)

Рис. 12. Графики нормированных корреляционных функций: 1-экспоненциальной; 2- экспоненциально-косинусной

После преобразования выражения (90) для центрированного случайного процесса получим известное соотношение для области положительных частот

(91)

Для корреляционной функции R_q() справедливо выражение

(92)

Поскольку при  = 0 R_q(0) = _q , то на основании выражения (92) получаем

(93)

Следовательно, площадь, ограниченная графиком функции S() и осью частот  , представляет собой дисперсию стационарного случайного процесса.

Перейдем к описанию алгоритмов формирования реализации дискретного случайного процесса с корреляционными функциями (88) и (89).

Последовательность ординат случайного процесса с корреляционной функцией (88) получают по формуле

(94)

где h — шаг дискретизации независимой переменной t; — значения нормально распределенной случайной величиныX^N с параметрами m_x = 0 и _x = 1.

Последовательность ординат случайного процесса с корреляционной функцией (89) получают по формуле

(95)

где

Если корреляционная функция случайного процесса представляет собой сумму выражений (88) и (89), то значение q_k равно сумме ординат, вычисленных по формулам (94) и (95). При этом в этих формулах должны быть независимыми последовательностями нормально распределенных величин с параметрамиm_x = 0 и _x = 1.

studfiles.net