Матлаб решение системы линейных уравнений: Решение СЛАУ и матрицы в Matlab

Решение СЛАУ и матрицы в Matlab

Доброго времени суток, читатели! Сегодня мы поговорим о матрицах в Matlab, об их применении в решении систем линейных алгебраических уравнений. Подробно разберем методы решения, и для этого необходимо знание нескольких базовых алгоритмов.

Также стоит отметить, что у каждого алгоритма, которым мы будем искать решение СЛАУ в Matlab, своя скорость нахождения этого решения, наличие или отсутствие условия выполнения алгоритма и т.д.

В традициях нашего сайта разберём на примере:

Решить систему линейных уравнений:

4*a + b - c = 6
a - b + c = 4
2*a - 3*b - 3*c = 4

Метод обратной матрицы в Matlab

Начнем с достаточно распространенного метода. Его суть состоит в том, что сначала необходимо выписать коэффициенты при a, b и c (то есть те коэффициенты, которые находятся слева) в одну матрицу, а свободный член (то есть то, что справа) в другую.

В итоге у нас получится 2 матрицы:

A=[4  1 -1; 1 -1  1; 2 -3 -3];   % коэффициенты
B=[6; 4; 4];

Для реализации этого метода (и следующих методов тоже) требуется одно условие: чтобы определитель матрицы, составленной из коэффициентов левой части не был равен нулю. Проверка на определитель:

det(A)

Вывод: 30

После проверки условия можем перейти к следующему шагу: нахождение обратной матрицы. В Matlab для этого используется оператор inv.
А само решение СЛАУ в Matlab находится как перемножение найденной обратной матрицы на матрицу свободных членов:

x=inv(A)*B

Вывод:
2
-1
1

Мы получили 3 значения, которые и соответствуют нашим коэффициентам: то есть a = 2, b = -1, c = 1. Можете проверить, подставив полученные ответы в исходную систему, и убедиться, что мы решили СЛАУ правильно.

Также следует отметить, что матрицы нужно перемножать именно, как сделали мы, то есть слева обратная матрица, справа матрица свободных членов.

Если вы не все поняли, то советую вам почитать нашу статью по основам Matlab.

Метод Гаусса

Метод Гаусса в Matlab реализуется достаточно просто: для этого нам нужно всего лишь изучить один новый оператор.
(\) - левое деление.
При следующей записи:

x = A\B

Вывод:
2
-1
1

Мы получим ответы на нашу исходную систему. Только заметьте, мы решили СЛАУ стандартным набором функций в Matlab, и желательно этот оператор использовать когда матрица коэффициентов квадратная, так как оператор приводит эту матрицу к треугольному виду. В других случаях могут возникнуть ошибки.

Метод разложения матрицы

Теперь поговорим о разложении матрицы. Нахождение решения через разложение матрицы очень эффективно. Эффективность обусловлена скоростью нахождения решения для данного вида систем и точностью полученных результатов.

Возможны следующие разложения:

• разложение Холецкого
• LU разложение
• QR разложение

Разберём решение через LU и QR разложение, так как в задачах чаще всего встречается задание на решение именно через такие разложения.

Основное отличие этих двух разложений: LU разложение применимо только для квадратных матриц, QR — возможно и для прямоугольных.

LU разложение

Решим выше предложенную задачу через LU разложение:

[L, U] = lu(A);

Вывод:

L =
    1       0     0
    0.25    1     0
    0.5     2.8   1

U =
    4     1     -1
    0    -1.25   1.25
    0     0     -5

Затем:

y = L\B;
x = U\y

Вывод:

2
-1
1

QR разложение

И через QR разложение соответственно:

[Q, R] = qr(A);
x = R\(Q'*B)

Вывод:

2.0000
-1.0000
1.0000

Отметим, что апостроф (  '  ) после Q означает транспонирование.

Стандартные функции Matlab

Так же Matlab предлагает функцию linsolve, с помощью которой возможно решить систему линейных алгебраических уравнений. Выглядит это так:

x = linsolve(A,B)

Вывод:

2
-1
1

Как видите, ничего сложного тут нет, на то они и стандартные функции Matlab.

Повторение

Итак, сегодня мы с вами изучили несколько методов для решения СЛАУ в Matlab

Решить систему линейных уравнений:
6*a - b - c = 0
a - 2*b + 3*d = 0
3*a - 4*b - 4*c = -1

A=[6 -1 -1; 1 -2 3; 3 -4 -4];
B=[0; 0; -1];

• Методом обратной матрицы:

x=inv(A)*B

Вывод:
    0.0476
    0.1810
    0.1048

x = A\B

Вывод:
    0.0476
    0.1810
    0.1048

[L, U] = lu(A);
y = L\B;
x = U\y

Вывод:
    0.0476
    0.1810
    0.1048

[Q, R] = qr(A);
x = R\(Q'*B)

Вывод:
    0.0476
    0.1810
    0.1048

На этом я с вами попрощаюсь, надеюсь, вы научились применять матрицы в Matlab для решения СЛАУ.

Поделиться ссылкой:

Решение систем линейных алгебраических уравнений в системе MATLAB

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса

Метод Жордана — Гаусса является одной из модификаций метода Гаусса, в котором матрица коэффициентов при неизвестных последовательно приводится к единичной матрице, а на месте столбца свободных членов в расширенной матрице в результате располагается решение системы линейных алгебраических уравнений:

,

где — коэффициенты системы, — свободные члены, — неизвестные.

Сущность этого метода заключается в том, что, начиная со второго шага, зануляются все элементы в соответствующем столбце, кроме элемента, стоящего на главной диагонали. Это достигается с помощью алгебраических преобразований аналогичных классическому методу Гаусса. Если имеется система линейных алгебраических уравнений — го порядка, то на каждом шаге прямого хода метода Гаусса в каждом столбце матрицы коэффициентов зануляется ровно коэффициент.

Стандартной функцией, которая реализует метод Жордана-Гаусса в системе MATLAB , является функция rref(). Аргументом у этой функции является расширенная матрица коэффициентов.

Пример:

.

>> A=[3 2 -1;2 -1 3;1 -2 2]; B=[4;9;3];

>> AB=[A B]

AB =

3 2 -1 4

2 -1 3 9

1 -2 2 3

>> rref(AB)

ans =

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

Для решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью MATLAB можно применять оператор «\», который самостоятельно выбирает лучший метод для решения заданной системы уравнений. При этом решение системы линейных алгебраических уравнений любого порядка достигается одной командой:

Индивидуальные задания

· Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса,

· решить систему линейных алгебраических уравнений методом Жордана— Гаусса в системе MATLAВ.

Таблица 4

Продолжение табл. 4

Окончание табл. 4

Содержание соответствующего раздела

В пояснительной записке

Данный раздел должен содержать:

· краткие теоретические сведения,

· исследование системы линейных алгебраических уравнений на совместность,

· аналитическое решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса,

· решение системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса в системе MATLAB,

· сравнение полученных результатов, найденных разными способами.

Решение систем линейных алгебраических уравнений в пакете MATLAB

Решение систем линейных алгебраических уравнений в пакете MATLAB

Ранее » Возможности MATLAB ‣ левостороннее деление › x = Ab ‣ обратная матрица › x = inv(A)*b 2/13/2018 2

Небольшие системы уравнений » Небольшая система содержит, как привило, не более трех уравнений » Решение, чаще всего, может не требовать компьютера » Методы ‣ графический ‣ Крамера ‣ исключения неизвестных 2/13/2018 3

Графический метод » 2/13/2018 4

Сложные случаи решений » Три случая 1. 2. 3. Параллельные линии › нет решения Совпадающие линии › множество решений Близкие линии › трудно определить точку пересечения » Системы в 1 и 2 случае называются – вырожденными (особыми, сингулярными) » Случай 3 соответствует плохо обусловленной системе ‣ существуют сложности при численном решении 2/13/2018 5

Метод Крамера » 2/13/2018 6

Метод Крамера » 2/13/2018 7

Исключение неизвестных » 2/13/2018 8

Исключение неизвестных » 2/13/2018 9

Метод Гаусса » 2/13/2018 10

Метод Гаусса – Прямой ход » 2/13/2018 11

Метод Гаусса – Прямой ход » 2/13/2018 12

Метод Гаусса – Прямой ход » 2/13/2018 13

Метод Гаусса – Прямой ход » 2/13/2018 14

Метод Гаусса – Обратный ход » 2/13/2018 15

Пример 2/13/2018 16

Метод Гаусса с обратной подстановкой » В рассмотренном варианте метода Гаусса могут возникнуть ситуации когда решение не может быть найдено или иметь существенную погрешность ‣ например, в случае если главный элемент равен 0, при нормализации возникает деление на 0 ‣ также существенно меньшее значение главного элемента по сравнению с остальными может привести к увеличению погрешности вычислений » Решение – выбор главного элемента ‣ частный › выбор максимального значения главного элемента с последующей перестановкой строк ‣ полный (применяется редко) › выбор максимального значения главного элемента с последующей перестановкой строк и столбцов 2/13/2018 17

Пример – Частный выбор главного элемента » 2/13/2018 18

Пример – Частный выбор главного элемента Разряды х2 х1 Ошибка х1, % 3 0, 667 -3, 33 1099 4 0, 6667 0, 0000 100 5 0, 66667 0, 30000 10 6 0, 666667 0, 330000 1 7 0, 6666667 0, 3330000 0, 1 Разряды х2 х1 Ошибка х1, % 3 0, 667 0, 333 0, 1 4 0, 6667 0, 3333 0, 01 5 0, 66667 0, 33333 0, 001 6 0, 666667 0, 333333 0, 0001 7 0, 6666667 0, 3333333 0, 0000 » 2/13/2018 19

Пример – MATLAB 2/13/2018 20

Расчет определителя матрицы » 2/13/2018 21

Факторизация матриц » В математике факторизация или факторинг — это декомпозиция объекта (например, числа, полинома или матрицы) в произведение других объектов или факторов, которые, будучи перемноженными, дают исходный объект » Целью факторизации является приведение объекта к «основным строительным блокам» ‣ Матрица может также быть факторизована на произведение матриц специального вида для приложений, в которых эта форма удобна » Виды факторизации матриц ‣ LU ‣ Холецкого ‣ QR 2/13/2018 22

LU факторизация » 2/13/2018 23

LU факторизация » 2/13/2018 24

‣ факторизация › выполняется декомпозиция матрицы А на верхнюю U и нижнюю L треугольные матрицы ‣ подстановка › прямая подстановка определяет промежуточный вектор d › обратная подстановка определяет вектор неизвестных x 2/13/2018 прямая обратная 25 подстановка » Два основных шага решения системы факторизация LU факторизация

Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 26

Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 27

Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 28

Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 29

Пример — Проверка » 2/13/2018 31

Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 32

Пример » 2/13/2018 33

Пример » 2/13/2018 34

LU факторизация с выбором главного элемента » Аналогично методу Гаусса для обеспечения надежности решения при использовании LU факторизации необходимо применять частный выбор главного элемента ‣ одним из способов является использование матрицы перестановки › единичная матрица для взаимной замены строк и столбцов 2/13/2018 35

LU факторизация с выбором главного элемента » 2/13/2018 36

Пример » 2/13/2018 37

Пример » 2/13/2018 38

LU факторизация – MATLAB функции » lu ‣ [L, U] = lu(A) – возвращает верхнюю треугольную матрицу U и психологическую нижнюю матрицу L (то есть произведение нижней треугольной матрицы и матрицы перестановок), так что A=L*U ‣ [L, U, P] = lu(A) – возвращает верхнюю треугольную матрицу U, нижнюю треугольную матрицу L и сопряженную (эрмитову) матрицу матрицы перестановок P, так что L*U =P*A 2/13/2018 39

Пример 2/13/2018 40

Факторизация Холецкого » 2/13/2018 41

Пример » 2/13/2018 42

Пример » 2/13/2018 43

Факторизация Холецкого » 2/13/2018 44

Факторизация Холецкого – MATLAB функции » chol ‣ U = chol(A) – для квадратной матрицы A возвращает верхнюю треугольную матрицу U, так что U’*U=A › Разложение Холецкого возможно для действительных и комплексных эрмитовых матриц 2/13/2018 45

Пример 2/13/2018 46

Левостороннее деление MATLAB » При использовании левостороннего деления «» MATLAB выполняет оценку матрицы коэффициентов и применяет оптимальный метод для решения ‣ MATLAB проверяет вид матрицы коэффициентов при неизвестных для возможности нахождения решения без применения полного метода Гаусса › разреженная › треугольная › симметричная ‣ В противном случае применяется для квадратной матрицы применяется метод Гаусса с частным выбором главного элемента 2/13/2018 47

QR факторизация » 2/13/2018 48

QR факторизация – MATLAB функции » qr ‣ [Q, R] = qr(A) – вычисляет верхнюю треугольную матрицу R того же размера, как и у A, и унитарную матрицу Q, так что X=Q*R ‣ [Q, R, P] = qr(A) – вычисляет матрицу перестановок P, верхнюю треугольную матрицу R с убывающими по модулю диагональными элементами и унитарную матрицу Q, так что A*P=Q*R › Матрица перестановок P выбрана так, что abs(diag(R)) уменьшается ‣ [Q, R] = qr(A, 0) и [Q, R, P] = qr(A, 0) – вычисляют экономное разложение, в котором P – вектор перестановок, так что Q*R=A(: , P) › Матрица P выбрана так, что abs(diag(R)) уменьшается 2/13/2018 49

Пример 2/13/2018 50

Итерационные методы » Итерационные или аппроксимационные методы являются альтернативой ранее рассмотренным методам решения СЛАУ, основанным на исключении неизвестных » Можно выделить два основных этапа ‣ выбор начального приближения ‣ последующее систематическое уточнение » Методы ‣ ‣ ‣ 2/13/2018 Гаусса-Зейделя Якоби релаксации бисопряженных градиентов и др. 51

Метод Гаусса-Зейделя » 2/13/2018 52

Метод Гаусса-Зейделя » 2/13/2018 53

Пример » 2/13/2018 54

Пример » 2/13/2018 55

Пример » 2/13/2018 56

Метод Якоби » Метод Гаусса-Зейделя использует найденное значение х сразу же для нахождения следующего х из другого уравнения » Несколько альтернативный подход, называемый методом Якоби, заключается в расчете всех х на основании предыдущей итерации Гаусса-Зейдель 2/13/2018 Якоби 57

Сходимость и диагональное преобладание » 2/13/2018 58

Пример » 2/13/2018 59

Метод релаксации » 2/13/2018 60

Метод релаксации » 2/13/2018 61

Пример » 2/13/2018 62

Пример » 2/13/2018 63

Пример » 2/13/2018 64

Решатель “СЛАУ” Qt C++ MATLAB

Описание
Загрузка данных
Настройка решателя СЛАУ
Вывод результатов
Настройка графика
Сохранение результатов
Реализация под Android Qt QML

Описание

Программа написана в рамках дипломного поекта ,с использованием технологий Qt Widget ,QCustomPlot, MatLab, С++. Реализованы следующие методы:

Программа считывает данные из текстовых файлов (*.txt) которые подготавливает пользователь. Файл должен содержать СЛАУ в виде расширенной матрицы элементы которой разделены пробелами или табуляциями.
Создать новый текстовый документ matrix.txt и записать в него приведенную ниже СЛАУ в виде расширенной матрицы

Пример

Загрузка данных

Для загрузки СЛАУ в меню «Файл» выбрать пункт меню «Загрузить СЛАУ» и выбрать файл с данными.

Для построения графика готового решения выбрать пункт меню «Загрузить тестовые данные» и выбрать файл с результатами решения СЛАУ. После чего будет построен график.

Настройка решателя СЛАУ

После загрузки СЛАУ необходимо выбрать в меню «Решение» пункт меню «Решение СЛАУ»

Откроется диалоговое окно настройки решателя.

В первом поле «Тип решателя» выбирается метод решения. Далее в группе checkBox-ов можно выбрать методы регуляризации. В зависимости от выбранного метода становятся доступны дополнительные поля настроек: точность решения, число итераций, порядок Q-градиента, порядок Alfa. После нажатия кнопки «ок» начинается поиск решения.

Вывод результатов

Результаты выводятся в виде графика и текстовой информации (режим «Extended mode»).

В процессе решения СЛАУ могут выводится информационные окна с предупреждениями. Предупреждение о плохой обусловленности СЛАУ.

В случае если решение не найдено за заданное количество итераций выводится информационное окно с предложением вывести результаты последней итерации.

Если решение не найдено за 3 секунды выводится прогресс диалог с информацией об установленном и текущем количестве итераций, а также прогресс выполнения итераций в процентах.

При невозможности решить СЛАУ выбранным методом выводятся соответствующие информационные окна.

Настройка графика

На графике реализовано контекстное меню графика и легенды. Для вызова контекстного меню графика выбрать график на форме или легенде ЛКМ и вызвать меню ПКМ.

В меню графика имеется возможность удаления выбранного графика, удаление всех графиков, настройка графика. В меню легенды добавлены пункты перемещения легенды на форме по углам и центру.

При выборе пункта меню «Настроить График» выводится форма настроек графика. На форме настроек можно изменить цвет, стиль, размер, точек и линии выбранного графика.

При изменении настроек происходит динамическое изменение графика.

Сохранение результатов

1. «Сохранить решение» — сохраняет в текстовый файл (*.txt) результаты решения СЛАУ и информацию о решаемой СЛАУ.

1. «Экспорт графика» — сохраняет график решения в *.jpg файл.

1. «Печать» — выводит окно с предварительным просмотром печати результатов.

Приближенное решение систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей коэффициентов Текст научной статьи по специальности «Математика»

38

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННОЙ

МАТРИЦЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Лутай Владимир Николаевич

канд.техн. наук, доцент Южного федерального университета,

г.Таганрог, РФ

АННОТАЦИЯ

Рассматривается возможность получения приближенного решения СЛАУ, у которых матрица коэффициентов плохо обусловлена. Вычислительная схема заключается в предварительной обработке исходной матрицы коэффициентов, в результате которой число обусловленности ее существенно снижается, вследствие чего полученное приближенное решение становится более устойчивым. В основе схемы лежит метод Гаусса. Приведенные результаты вычислительных экспериментов подтверждают возможность получения устойчивого приближенного решения, которое оценивается по величине невязки.

ABSRTRACT

The possibility of obtaining an approximate solution of linear systems, in which the coefficient matrix is ill-conditioned. Computational scheme is pre-treatment of the original matrix coefficients, as a result ofwhich the number of its conditionality is significantly reduced, resulting in an approximate solution becomes more stable. The scheme is based on the method of Gauss. The results of computational experiments confirm the possibility of obtaining stable approximate solution, which is measured at the residual value. system of linear equations, bad conditionality of the matrix, pre-processing matrix, compact scheme of Gauss

Известно [1, c. 32], что число обусловленности матрицы вычисляется как произведение норм исходной и обратной к ней матрицы. При очень большом числе обусловленности матрицы коэффициентов, решение соответствующей СЛАУ неточно и неустойчиво. В [2] для нахождения приближенного устойчивого решения используется регуляризация СЛАУ Критерием устойчивости решения считается минимум нормы вектора решения; коэффициент регуляризации подбирается исходя из дополнительных соображений, например, из точности задания свободных членов СЛАУ.

В нашем случае устойчивость решения повышается посредством снижения числа обусловленности матрицы коэффициентов СЛАУ.

Квадратная матрица A при решении системы СЛАУ вида

Ax = b (1)

методом Г аусса приводится к произведению двух треугольных матриц ([1, c. 39]):

A = LU,

min(i, j)

a.. = > lu .

у Z_i v pj p=i

В основе метода исключения Г аусса лежат выражения, которые обращают в ноль под диагональные члены матрицы U; например, для первого столбца этой матрицы такое выражение выглядит следующим образом:

ап

a ,i —- a„, j = 2,3,…, n. а

Введем два целых положительных числа р и t, таких что

0 < t < р. Под р будем понимать количество десятичных разрядов мантиссы при компьютерном представлении числа с плавающей точкой. Положим, что результат выражения

xy, где x, y, z — числа с плавающей точкой, имеет некоторое

«xy”

количество значащих цифр р> p > 1.. У = 2,3,…и,

а

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

39

В то же время решение системы

=au -Y\mpvp< ]

i = 2,3,…и, j = 1,2,…n,

(2)

vj = aij ~TymPvPj \,

p=i

i = 2,3,…n, j = 1,2,…n,

Cx = b

при d ф 0 является приближенным для системы (1). Приближение обычно оценивается по норме вектора невязки

r = Ax — b.

a .. — V mv .

j> /_( jp pi

p=i

mji =

i = 2,3,

v

ii

, n, j = i +1, i + 2,…, n

Приведенная схема отличается от известной [3, c. 175] тем, что вместо полных выражений используются усеченные;

кроме того, в формулах для v индекс j изменяется от 1, а не от i +1, так как вычисляются все члены матрицы V, а не только диагональные и над диагональные.

Рассмотрим систему из 2-х уравнений, известную как тестовая задача Уилкинсона [4]:

0.780 0.563 b = 0.217

А = 0.913 0.659 0.213

Точное решение системы — х0 = 1,х =—1. Так как члены матрицы А меньше 1, то коэффициент обусловленности

матрицы, определяемый величиной ||а_1|| равен 1.410+6.

В результате под диагональные члены матрицы V в отличие от матрицы U при p > р — t не равны 0. Матрица M остается нижней треугольной, но ее значения отличаются от значений матрицы L. После перемножения матриц M и V получаем матрицу C, элементы которой равны

/3=Vmipvpj+aij-V[mipvpj ]i j=2,3,…n.

(3) p=i p=i

Например, при n = 3 имеем

C3 j = a3 j + ЩЛ j —[m31a1 j ]t + m32 (a2 j —[m2!a! j ]t) — [m32 (a2 j — j ]t )]t

a31 a32 — m3iai3 .———,j = 1,2,3.

a 1

Обозначим d сумму всех, кроме a., слагаемых в правой части (3). Тогда

c=a+d«

Причиной сравнительно большой нормы A 1 является почти линейная зависимость строк(столбцов) исходной матрицы. Действительно, отношение a11 / a21 равно a12 / a22 с точностью до 5 знаков после запятой.

Для предварительной обработки матрицы A воспользуемся вычислительной схемой (3). Очевидно, что добавление

значений d к элементам a нарушает отношение между исходными строками матрицы, вследствие чего линейная

зависимость строк уменьшается и матрица C_1 имеет меньшую норму, чем А—.

Например, при t = 12 матрица D принимает следующий вид:

D =

0

0

0

8.7e — 6

Чем больше значение t, тем больше коэффициенты матрицы D и тем меньше норма обратной матрицы.

В то же время решение системы

Cx = b

или

C = A + D при d ф 0 является приближенным для системы (1). При-

ближение обычно оценивается по норме вектора невязки

При t = 0 все d = 0 и матрицы C,M, V совпадают с матри- r = Hx — b.

j

цами А ,L,U соответственно.

В таблице 1 приведены результаты предварительной обработки по схеме (3) матрицы Уилкинсона и решения соответствующей системы уравнений.

40

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Таблица 1.

Результаты решения задачи Уилкинсона для различных значений t

t И И-‘1 И X1 x2 И

0 0 1.4e+6 0 1 -1 2.7e-17

12 8e-6 9.5e+5 5.8e-11 0.741 -0.641 4.6e-7

14 9.8e-5 1.8e+4 1.2e-12 0.287 -0.0128 1.2e-6

15 1e-3 2e+3 0 0.279 — 0.001 1.3e-6

(Обратные матрицы вычислялись посредством решения СЛАУ с присоединенной единичной матрицей. В качестве меры точности этих вычислений использовалась норма

матрицы F = CC_1 — E, где E единичная матрица. В качестве норм для матриц f, C-1 использовалась евклидова

n n т I

М—‘А&*2 J

для векторов -IIJ 16.) 11 1

для матрицы D

ILdII = max Ё 11 1<i<m j=1

= max

1<i<n »

I. Значение p было принято за

Как следует из таблицы норма матрицы с с возрастанием t уменьшается и решение СЛАУ с ней становится более устойчивым.

Далее рассмотрим результаты использования предложенной вычислительной схемы для матрицы Гильберта. Ее коэффициенты вычисляются согласно следующим выражениям [1,c.98]

a.. =

j

i + j -1

, i, j = 1,…, n.

1

Так как норма матрицы невелика (меньше 2), а число обусловленности при n = 10 достигает 10+13 и c возрастанием n практически экспоненциально увеличивается, то и здесь число обусловленности определяется нормой обратной матрицы.

Причиной плохой обусловленности матрицы Гильберта так же, как и матрицы Уилкинсона, является почти линейная зависимость ее строк. Нетрудно проверить, что отношение элементов строк k и m

(m + j -1) / (k + j — 1),j = 1,…,n,

начиная с n = 5 отличается для различных j на очень малую величину и с увеличением n становится почти одинаковым.

В таблице 2 приведены результаты предварительной обработки и решения СЛАУ с матрицей Гильберта для n = 10 из [4], для которой все значения вектора x равны 1. Коэффи-

циенты и свободные члены системы заданы 15-ю десятичными знаками.

Таблица 2.

Результаты решения СЛАУ с матрицей Гильберта для

n = 10

t Я И-41 M IXII И

0 5.5e-17 9e+12 1.6e-4 1.02 1.1e-16

7 7e-10 6e+11 1.5e-5 17 6.6e-10

10 5e-7 2e+8 7e-9 4.6 4e-7

12 7e-5 2e+6 5e-11 9.33 4.5e-5

14 6.5e-3 3e+4 9e-13 15.7 1e-2

Как следует из таблицы, компромисс между точностью решения и нормой матрицы C достигается при t = 12. Заметим, что в [4] эта система решалась программой повышенной точности из библиотеки SADEL, тогда как приведенные результаты получены стандартной реализацией метода Гаусса в формате double с изменением ее согласно (3).

Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности проект №3442 «Информационно-алгоритмическое обеспечение систем цифрового управления, автономной высокоточной навигации и технического зрения для перспективных летательных аппаратов: разработка теоретических основ проектирования, алгоритмов, способов эффективной и надежной программной реализации, использование высокопроизводительной вычислительной инфраструктуры для экспериментального моделирования».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дж. Форсайт, К. Моллер Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969, 164 с.

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

41

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. . — М.:Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1971. Изд. 2-е.

3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 320 с.

4. SADEL-PA10. Моделирование и анализ систем и объектов. Тестирование решателей СЛАУ URL: http://paШ.m/?page_id=Ш9(дата последнего обращеd ния 20.10.2015)

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В СРЕДЕ MATLAB

Мулкиджанян Михаил Вартанович,

Студент магистратуры, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Геворкян Эдуард Аршавирович,

доктор физико-математических наук, профессор, академик Российской академии естествознания, профессор кафедры

высшей математики, Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова

АННОТАЦИЯ

В работе решена задача оптимального управления с использованием пакета прикладной программы MATLAB. Рассматриваются непрерывные и линейные по управлению процессы. Получены аналитические выражения оптимальных значений функций состояния и управления процессами, приводящих к оптимальному значению функционала.

ABSTRACT

In this paper we solve the problem of optimal control with the use of the application package MATLAB. We consider the time-continuous and linear-management processes. Obtained analytical expressions of optimal values of state functions and management processes that lead to the optimal value of the functional.

Ключевые слова: оптимальное управление, достаточные условия оптимальности, непрерывные процессы, аналитическое решение, MATLAB.

Keywords: optimal control, sufficient conditions of optimality, continuous-time processes, analytical solution, MATLAB.

1. Предпосылки к выполнению работы

Теория оптимального управления включает в себя методы, при помощи которых можно достичь максимального значения критерия качества посредством определенной организации управления, воздействующего на управляемый процесс.

Следует подчеркнуть, что совокупность методов теории оптимального управления является очень гибким инструментом в плане охвата областей, в которых ее можно применить, так как задачи управления возникают в экономике, в физике и в других науках.

Примером задачи оптимального управления в физике может являться поиск оптимальной траектории полета, которой будет придерживаться искусственный спутник, а в экономике — поиск оптимального плана производства.

Подобные задачи можно решать методами теории оптимального управления с использованием пакетов прикладных программных продуктов, но, к сожалению, во все программные пакеты для научной работы входят стандартные методы, позволяющие решить данные задачи численно, а, как известно, у численного решения есть ряд недостатков, которых нет у аналитического решения. Такими недостатками являются: наличие погрешности и трудоемкость получения решения как для человека, так и для ЭВМ, выраженная пересчетом критерия качества в каждой точке на какой-либо области с заданной величиной шага.

Данная работа направлена на создание программного кода на языке пакета прикладной программы MATLAB для получения аналитического решения ряда задач теории оптимального управления.

2. Достаточные условия оптимальности

для непрерывных процессов Объектами применения теории оптимального управления являются управляемые системы, описываемые дифференциальными или конечно-разностными уравнениями соответственно для непрерывных или дискретных процессов. Ниже будем рассматривать только случай непрерывных процессов.

В общем случае задача оптимального управления для непрерывных процессов состоит в отыскании минимума функционала при заданном законе уравнения процесса и начальным условии Коши, то есть:

Численные методы (лаболаторные работы) | Контрольные работы по матема

Численные методы

Лабораторная 1_2

Группа 1

Лабораторная работа № 1: «Решение систем линейных алгебраических уравнений»

Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений .

Цель работы: В среде MATLAB получить решение заданной системы линейных алгебраических уравнений с использованием встроенных функций и путем программирования численных методов.

Задание: В соответствии с вариантом задания (номер варианта задания соответствует номеру студента в группе) найти решение системы, используя функции MATLAB, а затем построить в среде MATLAB программы для поиска приближенного решения системы каждым из итерационных методов:

1. метод простых итераций;

2. метод Зейделя;

3. метод верхней релаксации.

Определить количество итераций , обеспечивающих при начальном приближении точность приближенного решения .

, ,

Спектр матрицы D:

K — Номер варианта задания.

Решение

Лабораторная работа № 2: «Численное интегрирование. Квадратурные формулы»

Тема: Вычисление определенного интеграла с помощью квадратурных формул.

Цель работы: В среде MATLAB провести приближенное вычисление определенного интеграла с использованием встроенных функций и путем программирования численных методов.

Задание: В соответствии с вариантом задания (номер варианта задания соответствует номеру студента в группе) вычислить:

— приближенные значения интеграла J с помощью встроенной функции MATLAB для различных значений переменной TOL: 10-4; 10-6; 10-8; 10-10;

— значения Jn для заданного N По одной из квадратурных формул (прямоугольников, трапеций, Симпсона). Построить априорные и апостериорные оценки погрешности и оценить скорость сходимости.

— значение Jm по квадратурной формуле Гаусса при заданном значении M и определить число узлов, необходимое для вычисления определенного интеграла с той же точностью по первой квадратурной формуле.

Проанализировать полученные результаты.

Расчетная часть.

Иллюстрированный самоучитель по MatLab › Численные методы › Решение полиномиальных матричных уравнений. Разложение на простые дроби. [страница — 296] | Самоучители по математическим пакетам

Решение полиномиальных матричных уравнений. Разложение на простые дроби.

Приведенная ниже функция вычисляет собственные значения матричного полинома.

• [Х.е] = polyeig(A0,A1,…Ap) – решает задачу собственных значений для матричного полинома степени р вида:

Где степень полинома р – целое неотрицательное число, а А ₀, А₁ ,…, А_p – входные матрицы порядка n. Выходная матрица X размера nхnр содержит собственные векторы в столбцах. Вектор е размером nр содержит собственные значения.

Пример:

>> A=[1:4:5:8:9:12:13:16]

A =

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

1314 15 16

>> В=[4:7; 2:5;10:13; 23:26]

3

4 5 6 7

2 3 4 5

10 11 12 13

23 24 25 26

>> [F.a]=polyeig(A.B)

F =

0.4373 0.0689 -0.5426 -0.7594

-0.3372 -0.4969 0.6675 -0.1314

-0.6375 0.7870 0.2927 -0.1314

0.5374 -0.3591 -0.4176 0.3771

a =

4.4048

0.4425

-0.3229

-1.0000

Разложение на простые дроби

Для отношения полиномов b и а используются следующие функции:

• [r,p,k] = residue (b, a) – возвращает вычеты, полюса и многочлен целой части отношения двух полиномов b(s) и a(s) в виде:

• [b.a] = residue(r.p.k) – выполняет обратную свертку суммы простых дробей (см. более подробное описание в справочной системе) в пару полиномов с коэффициентами в векторах b и а.

Пример:

>> b=[4.3.1]:a=[1.3.7.1]:[r.p,k]=residue(b,a)

r=

1.9484 + 0.80641

1.9484-0.80641

0.1033

P =

-1.4239 + 2.13051

-1.4239-2.13051

-0.1523

k =

[ ]

>> [bl,al]=residue(r,p,k)

b1=

4.0000 3.0000 1.0000

a1 =

1.0000 3.0000 7.0000 1.0000

Решение системы линейных уравнений в MATLAB

Давайте посмотрим, как решить систему линейных уравнений в MATLAB. Вот различные операторы, которые мы будем развертывать для выполнения нашей задачи:

Пример 1: Неоднородная система Ax = b, где A — квадрат, обратимый. В нашем примере мы рассмотрим следующие уравнения:

Выход:

А =

   2 1 -1
   1–2 5
   3 5-4

b =

    7
  -13
   18
 

Теперь создадим расширенную матрицу Ab.Мы будем сравнивать ранги Ab и A, если ранги равны, то существует единственное решение.

Выход:

Ab =

    2 1 -1 7
    1–2 5–13
    3 5-4 18

Уникальное решение существует
 

Теперь мы можем найти решение этой системы уравнений, используя 3 метода:

• обычный способ: inv (A) * b
• с использованием подпрограммы среднего деления: A \ b
• с использованием подпрограммы linsolve : linsolve (A, b)

Выход:

x_inv =

   2.0000e + 00
   8.8818e-16
  -3.0000e + 00

x_bslash =

   2.0000e + 00
   9.6892e-16
  -3.0000e + 00

x_linsolve =

   2.0000e + 00
   9.6892e-16
  -3.0000e + 00
 

Проверить правильность решения можно, найдя ошибку с помощью A * x - b . Ошибка должна быть 0.

Выход:

Er1 =

  -8.8818e-16
  -3.5527e-15
   0,0000e + 00

Er2 =

  -1,7764e-15
  -1,7764e-15
   0,0000e + 00

Er3 =

  -1,7764e-15
  -1,7764e-15
   0,0000e + 00
 

Так как все ошибки близки к нулю, можно сказать, что решение верное.

Пример 2: Неоднородная система Ax = b, где A — квадрат и необратима. В нашем примере мы рассмотрим следующие уравнения:

2x + 4y + 6z = 7
3x -2y + 1z = 2
1x + 2y + 3z = 5
 

А =

   2 4 6
   3 -2 1
   1 2 3

b =

   7
   2
   5

Ab =

   2 4 6 7
   3 -2 1 2
   1 2 3 5

Уникального решения не существует
предупреждение: матрица сингулярна для машинной точности
предупреждение: вызывается из
    тестирование в строке 17, столбце 7
x_inv =

   Inf
   Inf
   Inf

предупреждение: матрица сингулярна для машинной точности
предупреждение: вызывается из
    тестирование в строке 21, столбце 10
x_bslash =

   -Inf
   -Inf
   Inf

Er1 =

   Inf
   NaN
   Inf

Er2 =

   NaN
   NaN
   NaN
 

Пример 3: Неоднородная система Ax = b, где A не является квадратом.В нашем примере мы рассмотрим следующие уравнения:

2а + в - г + е = 2
а + с - г + е = 1
12a + 2b + 8c + 2e = 12
 

Выход:

А =

    2 0 1 -1 1
    1 0 1 -1 1
   12 2 8 0 2

b =

    2
    1
   12

Ab =

    2 0 1 -1 1 2
    1 0 1 -1 1 1
   12 2 8 0 2 12

Решение существует
Уникального решения не существует
 

Пример 4: Однородная система Ax = 0, где A — квадрат, обратимый.В нашем примере мы рассмотрим следующие уравнения:

6х + 2у + 3z = 0
4х - у + 2z = 0
2x + y + 5z = 0
 

Выход:

А =

   6 2 3
   4 -1 2
   2 1 5

b =

   0
   0
   0

Уникальное решение существует
х =

   0
   0
   0

x = [] (3x0)
 

Пример 5: Однородная система Ax = 0, где A — квадрат, не обратимый.В нашем примере мы рассмотрим следующие уравнения:

1x + 2y + 3z = 0
4x + 5y + 6z = 0
7x + 8y + 9z = 0
 

Выход:

А =

   1 2 3
   4 5 6
   7 8 9

b =

   0
   0
   0

Уникального решения не существует
предупреждение: матрица сингулярна для машинной точности, rcond = 1.54198e-18
предупреждение: вызывается из
    тестирование в строке 13, столбце 3
х =

   0
   0
   0

х =

   0,40825
  -0,81650
   0,40825
                                                                                                 
Err =

  -1,3323e-15
  -4.4409e-16
   4.4409e-16
 

MATLAB Tutor, Часть 10

MATLAB Репетитор

Часть 10: Решение линейного Системы

Предположим, мы хотим решить линейную система

x 2y + z = 0
2г 8z = 8
-4x + 5y + 9z = -9

Мы можем решить эту систему за несколько пути в MATLAB; вы выучите два из них в этой части и еще одну в следующей. часть.

1. Сначала нам нужно сохранить коэффициенты системы в матрице и вектор правой части в другой матрице. Введите

   A = [1-2 1
   0 2 -8
   -4 5 9]
   b = [0; 8; -9]

   , а затем введите

   X = A \ b

   Три числа, которые вы видите, являются значениями решения: x , y и z .

2. Вы легко можете проверить, решение правильное.Матричное произведение A , умноженное на X , должно равняться правая сторона b . Имеет ли это? Проверить это.
3. Если у вас есть символическая математика MATLAB Toolkit, вы также можете использовать команду «решить» для решения указанной выше системы. Введите

   syms x y z
   eq1 = ‘x — 2 * y + z = 0’;
   eq2 = ‘2 * y — 8 * z = 8’;
   eq3 = ‘-4 * x + 5 * y + 9 * z = -9’;
   [x, y, z] = решить (уравнение1, уравнение2, уравнение3)

4. Если у вас есть система с меньше уравнений, чем неизвестных, вы можете найти символическое решение для некоторых переменных в терминах других, которые мы могли бы назвать «свободными» переменными.Рассмотрим следующую систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными.

   x 2y + z + 2w = 0
   2г 8z + w = ​​8
   -4x + 5y + 9z — w = -9

   Мы можем решить для x , y и z в терминах w . Последняя запись в команде «решить» сообщает, какие переменные должны быть решены, и следовательно, какая переменная будет свободной. Введите

   syms x y z w
   eq1 = ‘x — 2 * y + z + 2 * w = 0’;
   eq2 = ‘2 * y — 8 * z + w = ​​8’;
   eq3 = ‘-4 * x + 5 * y + 9 * z — w = -9’;
   [x, y, z] = решить (eq1, eq2, eq3, ‘x, y, z’)

5. Попробуйте те же два метода решение в системе

   x + 4y + 3z = 10
   2x + y z = -1
   3x y 4z = 11

   О чем говорят результаты? Мы рассмотрим этот пример более внимательно. в следующей части.

Пример линейных систем MATLAB | Отделение математических наук

Чтобы ввести матрицу A в MATLAB, введите:

А = [1-2-3; 1 2 –1; 2 4 –1]

Эта команда генерирует матрицу 3×3, которая отображается на вашем экране.

Затем введите

b = [1 2 3] ’

, чтобы сгенерировать вектор-столбец b (убедитесь, что вы включили штрих ’в конце команды).

Чтобы решить систему Ax = b с использованием метода исключения Гаусса-Жордана, вам сначала необходимо сгенерировать расширенную матрицу, состоящую из матрицы коэффициентов A и правой части b:

Aaug = [A b]

Вы сгенерировали расширенную матрицу Aaug (вы можете назвать ее по-другому, если хотите). Теперь вам нужно использовать команду «rref», чтобы уменьшить расширенную матрицу до ее сокращенной формы эшелона строк и решить вашу систему:

C = rref (Aaug)

Можете ли вы определить решение системы после вычисления матрицы C?

Вы также можете решить ту же систему в MATLAB, используя команду

х = А \ б

Символ между матрицей A и вектором b — это обратная косая черта.Эта команда сгенерирует вектор x, который является решением линейной системы.

(Можем ли мы всегда использовать этот метод для решения линейных систем в MATLAB? Поэкспериментируйте с разными системами.)

Команда «help» — это команда, которую следует использовать часто. Он показывает вам, как следует использовать команды MATLAB. Например, введите:

справка rref

, и вы получите информацию об использовании «rref». Чтобы узнать больше о команде «help», введите

справка справка

Команда «help» полезна, когда вы точно знаете, какую команду хотите использовать, и хотите узнать подробности о ее использовании.Иногда мы не знаем точную команду, которую следует использовать для решения проблемы, которую нам нужно решить. Затем мы можем использовать команду «искать». Тип

ищите эшелон

, и вы получите в результате ряд команд MATLAB, которые имеют отношение к формам эшелона строк.

Вы также можете получить помощь с помощью команды «doc». Тип

справка doc

для получения подробной информации.

Для сохранения вашей работы вы можете использовать команду «дневник». Тип

дневник помощи

для получения дополнительной информации о том, как использовать команду.

Еще несколько полезных команд:

A ’- это транспонирование A.

Команда «inv» вычисляет обратную матрицу. Тип:

инв (А)

Команда «det» вычисляет детерминанты (мы узнаем больше о детерминантах в ближайшее время).

Есть несколько команд MATLAB, которые генерируют специальные матрицы.

Команда rand генерирует матрицы со случайными записями (rand (3,4) создает матрицу 3×4 со случайными записями). Команда «глаз» генерирует матрицу идентичности (попробуйте ввести глаз (3)).

Другие такие команды — «нули» (для нулевых матриц) и «magic» (введите help zeros и help magic для получения дополнительной информации).

2.8 MATLAB: решение систем линейных уравнений

Текст транскрибированного изображения: 2.8 MATLAB: повторное решение систем линейных уравнений ЛАБОРАТОРНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ 2.8.1: MATLAB: решение систем линейных уравнений. инструмент предоставляется третьей стороной. Хотя ваше действие может быть 0/1 MATLAB: Revisited System of Linear Equations В этом упражнении вы будете использовать команду inv (), чтобы найти обратную обратимую квадратную матрицу и использовать ее для решения системы линейных уравнений.Рассмотрим линейную систему уравнений: 2x + y = 4 x + 2y = 5 Создайте матрицу коэффициентов C. C = [2 1; 1 2] Помните, чтобы создать матрицу столбцов, строки разделены. Создайте матрицу столбцов d констант. точкой с запятой. d = [4; 5) Используйте команду inv), чтобы найти обратную матрицу C. invC = inv (C) Решение линейной системы уравнений представляет собой обратную матрицу, умноженную на матрицу-столбец констант, при условии, что существует обратная квадратная матрица C. . x = invC * d Используйте следующую линейную систему уравнений для этого упражнения.-2×1 + x2 + 2×3 = 0 X] + 3×2 + 2×3 = -4 3x — x2 + x3 = 3 Перед отправкой решения подумайте о том, чтобы повторить вышеописанную работу с матрицей коэффициентов A = [-21 2; 1 3 2; -1 4 4]. Вы сталкиваетесь с трудностями или ошибками при поиске решения? Объясните, что происходит, в виде комментария в вашем коде. Сценарий 2 Сохранить C Сброс D Документация MATLAB 1 Создайте матрицу коэффициентов. Сохраните матрицу коэффициентов в A. 3 Создайте матрицу столбцов констант. Сохраните матрицу столбцов констант в b. 5 Используйте команду inv), чтобы найти обратную матрицу A.Сохраните обратную матрицу в inva. 7% Найдите решение линейной системы уравнений, используя обратную матрицу, если обратная матрица 8 существует. Если существует обратная матрица, сохраните решение линейной системы уравнений в x. 9 10 Перед отправкой решения подумайте о том, чтобы повторить описанную выше работу с матрицей коэффициентов A = (-2 11 12 13 Run Script?

MATLAB учит _12 линейных уравнений и линейных систем

Эта статья обучающее видео: https: // www.bilibili.com/video/av68228488?p=12

Эта статья узнает две вещи:

1. Линейное уравнение
2. Линейная система

Примеры принципиальных схем. Чтобы использовать закон Кирхгофа:

Получено по формуле, то есть для решения следующей формулы:

первый способ. Метод исключения Гаусса-reff ()

Функция reff () имеет три использования.

R = rref ( A ) Используйте метод исключения Гаусса-Джордана и возврат частичного основного исключения Упрощенная лестница строк A 。

R = rref ( A , tol ) Указанный алгоритм используется для определения допуска поворота незначительного столбца.

[ R , p ] = rref ( A ) Возврат к ненулевой основной сумме p . Здесь p — столбец без единицы в матрице R. Этот метод является гауссовским.

Более эффективный способ вычисления обратной матрицы — использовать inv (A) . Вы также можете использовать reff ()

Это основное назначение функции rref (). Для получения дополнительной информации перейдите по следующему URL-адресу:

https: //ww2.mathworks.cn / help / matlab / ref / rref.html

пример:

  %%
очистить все; clc; % 15 минут практики
A = [1 2 1; 2 6 1; 1 1 4];
б = [2; 7; 3];
R = rref ([A b])  

Ниже показан результат отображения R:

  R =

           1 0 0 -3%, что составляет x1 = -3
     0 1 0 2% x2 = 2
     0 0 1 1% x1 = 1  

Разложение матрицы LU

Идеи решения проблем:

Замените решение Ax = b на решение U, и L-1 будет верхней треугольной матрицей или нижней треугольной матрицей.

л можно рассчитать много раз. Вы также можете знать U. Но вы можете использовать функцию LU ()

[ L , U ] = lu ( A )

Полная матрица или разреженная матрица A Разложить на верхнюю треугольную матрицу U И переставленную нижнюю треугольную матрицу L , получая A = L * U 。

[ L , U , P ] = lu ( A )

Также возвращает матрицу перестановок P И соответствует A = P '* L * U .В этой грамматике L — это нижняя треугольная матрица единицы, U — это верхняя треугольная матрица.

Обратите особое внимание: в PPT речь идет о. . Но при фактическом использовании [ L , U ] = lu ( A ) Рассчитывается так: A = L * U 。

А если использовать формулу [ L , U , P ] = lu ( A ) Фактически, A = P '* L * U. Таким образом, упражнение на странице 35 должно быть рассчитано следующим образом:

  %%
 очистить все; clc; % 32 минуты практики
A = [1 1 1; 2 3 5; 4 6 8];
б = [2; 7; 3];
[L, U] = lu (A)

y = inv (L) * b
х = inv (U) * y

%%
 очистить все; clc; % 32 минуты практики, другой метод
A = [1 1 1; 2 3 5; 4 6 8];
б = [2; 7; 3];
х = А \ б  

  очистить все; clc; % 37 минут практики, другой метод
syms R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2
А = [R1 0 0 R4 0;
   0 R2 0 -R4 R5;
   0 0 -R3 0 R5;
   1-1 0-1 0;
   0 1 -1 0 -1];
б = [V1; 0; V2; 0; 0];
х = А \ б  

 A = U * C * X '
B = V * S * X '
C '* C + S' * S = Я
 

Что касается chol (), посмотрите на следующий пример:

Используйте chol Разложите матрицу симметричных коэффициентов, а затем используйте коэффициент Холецкого для решения системы линейных уравнений.

Создайте симметричную матрицу с положительными значениями по диагонали.

 A = [1 0 1; 0 2 0; 1 0 3] 

 А =  3 × 3 

     1 0 1
     0 2 0
     1 0 3

 

Рассчитайте коэффициент Холецкого матрицы.

 R = хол (А) 

 R =  3 × 3 

    1,0000 0 1,0000
         0 1,4142 0
         0 0 1,4142 

Это знание линейной алгебры, которое не будет объяснено снова.

  очистить все; clc; % 44 минуты практики
А = [1 2 1; 2 6 1; 1 1 4];
б = [2; 7; 3];
 x = inv (A) * b% Должна существовать обратная матрица A  

Это не сработает. . . . .

y = Ab, линейная система должна найти y.

Линейное уравнение Ax = b должно найти x

В этом разделе в основном говорится о линейности, и я не понял этого позже. Давайте сначала посмотрим на линейность.

Решение линейных уравнений

Каждое уравнение с тремя неизвестными соответствует плоскости в трехмерном пространстве.Уравнения имеют единственное решение, если все плоскости пересекаются в одной точке.

Три непротиворечивых уравнения

  A <- матрица (c (2, 1, -1,
             -3, -1, 2,
             -2, 1, 2), 3, 3, byrow = ИСТИНА)
colnames (A) <- paste0 ('x', 1: 3)
b <- c (8, -11, -3)
showEqn (A, b)  

  ## 2 * x1 + 1 * x2 - 1 * x3 = 8
## -3 * x1 - 1 * x2 + 2 * x3 = -11
## -2 * x1 + 1 * x2 + 2 * x3 = -3  

Согласованы ли уравнения?

  ## [1] 3 3  

  ## [1] ИСТИНА  

Решите относительно \ (\ mathbf {x} \).{-1} b} \) с решением в последнем столбце.

  ## x1 x2 x3
## [1,] 1 0 0 2
## [2,] 0 1 0 3
## [3,] 0 0 1 -1  

  ##
## Исходная матрица:
## x1 x2 x3
## [1,] 2 1 -1 8
## [2,] -3 -1 2 -11
## [3,] -2 1 2 -3
##
## row: 1
##
## поменять местами строки 1 и 2
## x1 x2 x3
## [1,] -3 -1 2 -11
## [2,] 2 1 -1 8
## [3,] -2 1 2 -3
##
## умножить строку 1 на -1/3
## x1 x2 x3
## [1,] 1 1/3 -2/3 11/3
## [2,] 2 1 -1 8
## [3,] -2 1 2 -3
##
## умножить строку 1 на 2 и вычесть из строки 2
## x1 x2 x3
## [1,] 1 1/3 -2/3 11/3
## [2,] 0 1/3 1/3 2/3
## [3,] -2 1 2 -3
##
## умножить строку 1 на 2 и прибавить к строке 3
## x1 x2 x3
## [1,] 1 1/3 -2/3 11/3
## [2,] 0 1/3 1/3 2/3
## [3,] 0 5/3 2/3 13/3
##
## строка: 2
##
## поменяйте местами строки 2 и 3
## x1 x2 x3
## [1,] 1 1/3 -2/3 11/3
## [2,] 0 5/3 2/3 13/3
## [3,] 0 1/3 1/3 2/3
##
## умножить строку 2 на 3/5
## x1 x2 x3
## [1,] 1 1/3 -2/3 11/3
## [2,] 0 1 2/5 13/5
## [3,] 0 1/3 1/3 2/3
##
## умножить строку 2 на 1/3 и вычесть из строки 1
## x1 x2 x3
## [1,] 1 0 -4/5 14/5
## [2,] 0 1 2/5 13/5
## [3,] 0 1/3 1/3 2/3
##
## умножить строку 2 на 1/3 и вычесть из строки 3
## x1 x2 x3
## [1,] 1 0 -4/5 14/5
## [2,] 0 1 2/5 13/5
## [3,] 0 0 1/5 -1/5
##
## строка: 3
##
## умножить строку 3 на 5
## x1 x2 x3
## [1,] 1 0 -4/5 14/5
## [2,] 0 1 2/5 13/5
## [3,] 0 0 1 -1
##
## умножить строку 3 на 4/5 и прибавить к строке 1
## x1 x2 x3
## [1,] 1 0 0 2
## [2,] 0 1 2/5 13/5
## [3,] 0 0 1 -1
##
## умножьте строку 3 на 2/5 и вычтите из строки 2
## x1 x2 x3
## [1,] 1 0 0 2
## [2,] 0 1 0 3
## [3,] 0 0 1 -1  

Участок им. plotEqn3d использует rgl для 3D-графики. Если повернуть фигуру, вы увидите ориентацию, в которой все три плоскости пересекаются в точке решения, \ (\ mathbf {x} = (2, 3, -1) \)

Вы должны включить Javascript для правильного просмотра этой страницы.

Решение линейных уравнений с Simulink: учебник 4

В этом руководстве разработана блок-схема, которая поможет нам решить систему линейных уравнений с помощью MATLABs 'Simulink. Вначале дается краткое введение в линейные уравнения и систему линейных уравнений.После этого выполняется простой пример на MATLAB simulink, в котором взята типовая система линейных уравнений, и я решил для переменных, участвующих с помощью simulink. В данном примере рассматривается решение двух линейных уравнений для двух неизвестных, однако мы можем расширить его для одновременного решения большего числа уравнений. В конце дается простое упражнение, касающееся концепций и блоков, используемых в этом руководстве.

Линейное уравнение - это математический термин, который имеет форму неизвестных переменных, мощность которых равна единице и который может быть записан в форме уравнения наклона точки, как указано ниже,

y = mx + c

Где m - наклон линии, а c - точка пересечения с y.График линейного уравнения представляет собой прямую линию. Однако система линейных уравнений - это набор линейных уравнений, которые содержат одну и ту же переменную. Количество уравнений равно количеству неизвестных, присутствующих в уравнении. Например, если система содержит 5 линейных уравнений, то количество неизвестных или переменных во всех этих уравнениях в совокупности также равно 5, причем каждое уравнение удовлетворяет определению линейных уравнений (со степенью каждой переменной равной 1). В этом уроке мы собираемся решить систему линейных уравнений с двумя уравнениями и двумя неизвестными, и уравнения приведены ниже:

2x + 3y = -4

4x + 5y = -5

Предположим, что общая система была

a1 * x + b1 * y = -k1

a2 * x + b2 * y = -k2

Это означает, что a1 = 2, b1 = 3, k1 = 4, a2 = 4, b2 = 5, k2 = 5

Эти значения будут использоваться в учебнике позже.

Давайте теперь перейдем к простому примеру решения системы линейных уравнений с использованием Simulink. В Simulink блок с именем Algebraic Constraint поможет нам сделать эту работу за нас. Однако это не так просто, мы также должны применить некоторую логику, чтобы решить систему линейных уравнений. А теперь приступим к программированию. Откройте MATLAB, а затем Simulink, как мы делали в предыдущих руководствах.После этого откройте браузер библиотеки и в браузере библиотеки выберите часто используемые блоки, как мы делали в предыдущих уроках. Из этого раздела выберите блок усиления и перетащите этот блок усиления в раздел блок-схемы simulink. Поместите два таких блока усиления, как в примере, который мы здесь взяли, для двух неизвестных переменных, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 1: Блоки усиления

• Эти блоки усиления используются для ввода значения коэффициента каждой из переменных, следовательно, количество блоков усиления равно количеству неизвестных в уравнении.Поскольку мы используем систему уравнений с двумя неизвестными, количество блоков усиления равно двум.
• Далее идет постоянная часть. Константу в правой части уравнения можно поместить на блок-схему в виде блока констант. В разделе часто используемых блоков в браузере библиотеки simulink выберите блок константы и поместите его с двумя уже размещенными блоками усиления, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 2: Постоянный блок

• Теперь нам нужно добавить все эти три блока.Для этого мы также можем использовать блок суммы, но поскольку мы заинтересованы в изучении большего количества блоков в simulink, мы будем использовать другой блок, предоставленный simulink, чтобы сложить вещи вместе. В браузере библиотеки щелкните раздел Math operations , как показано на рисунке ниже,

Рисунок 3: Математические операции

• В этом разделе выберите блок добавления, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 4: Добавить блок

• Этот блок добавления будет выполнять ту же работу, что и блок суммы, который мы использовали в предыдущих руководствах.Как вы можете видеть, количество входов, предоставляемых этим блоком добавления, равно двум, однако мы хотим сложить три вещи (два блока усиления и одну константу), поэтому теперь нам нужно обновить параметры блока добавления. Дважды щелкните блок добавления и в списке знаков добавьте знак +, чтобы увеличить количество входов, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 5: Список знаков

• На входе блока добавления подключите все уже размещенные блоки, то есть два блока усиления и константу с помощью провода, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 6: Добавление

• Это сумматор уравнения 1, поэтому мы назовем усиление и константу как a1, b1 и k1. Следующим шагом здесь является размещение блока алгебраических ограничений. Этот блок ограничений вводит функцию, вход которой должен быть равен нулю, и оценивает выход значения функции. Выход блока должен быть предоставлен входному коэффициенту через цикл обратной связи, и с каждой итерацией выходное значение будет обновляться до тех пор, пока мы не получим правильное значение для этого неизвестного. Начальное значение, предоставленное блоку ограничения, здесь равно нулю. В разделе математических операций выберите блок алгебраических ограничений, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 7: Алгебраические ограничения

• К входу этого блока подключите выход сумматора.Теперь выберите секцию приемников в браузере библиотеки simulink, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 8: Раковины

• В этом разделе выберите блок отображения, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 9: Дисплей

• Поместите этот блок на выходе блока ограничений. Этот блок используется для отображения вывода программы. Теперь мы разработали полную блок-схему одного из уравнений, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 10: Блок-схема одного уравнения

• Просто скопируйте и вставьте эту полную блок-схему, чтобы получить блок-схему второго уравнения, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 11: Блок-схемы для обоих уравнений

• Обновите имена переменных второго блока как a2, b2 и k2. Теперь идет часть подключения обратной связи к блоку ограничений. Подключите провод обратной связи от выхода блока ограничений 1 ^st к входу блоков a1 и a2, поскольку они являются коэффициентом x (который будет отображаться в блоке ограничений 1 ^st , как показано на рисунке. внизу,

Рисунок 12: Значение X

• Сделайте то же самое с блоком ограничения 2 ^nd и b1, b2, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 13: Значение Y

• Выделенные провода показывают путь обратной связи для значения y.Теперь вернитесь в командное окно MATLAB, где мы определим значения переменных, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 14: Командное окно

• Определите все значения переменных в командном окне, как мы дали во вводной части, как показано на рисунке ниже,

Рисунок 15: Присвоение значения переменной

• После того, как вы запустите команду, эти переменные появятся в рабочем пространстве MATLAB, к которому также можно получить доступ в Simulink, как показано на рисунке ниже

Рисунок 16: Рабочая область

• Запустите блок-схему simulink сейчас с помощью значка запуска на экране, и результат решения системы линейных уравнений будет отображаться в поле отображения, как показано на рисунке, приведенном ниже,

Рисунок 17: Выход

Операция:

• Разработайте блок-схему, которая сможет решить три линейных уравнения с тремя неизвестными, как указано в уравнениях, приведенных ниже,

3x + 4y-2z = 9; 5x + 2y + z = 0; х-у + 5z = 11