Рекомендации по использованию функции root
лаболаторная работа № 5
Решение уравнений и систем уравнений
Краткие теоретические сведения
Решение линейных и трансцендентных уравнений
Для простейших уравнений вида f(x)=0 решение в MathCad находится с помощью функции root.
root( f(х1, x2, …), х1), где
f(х1, x2, …) – функция описывающая левую часть выражения вида f(x)=0. Выражение должно возвращать скалярные значения;
х1 – имя переменной, относительно которой решается уравнение.
Функция реализует вычисления итерационными методами и требует предварительного задания начального приближения искомой переменной (х1). Эта переменная называется варьируемой. Функция позволяет найти как вещественные корни, так и комплексные. В этом случае начальное приближение нужно задать как комплексное число.
Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть:
Известны из физического смысла задачи;
Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных;
Найдены графическим способом.
Н аиболее распространен графический способ определения начальных приближений. В этом случае достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением ,где функции f1(x) и f2(x) – более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f1(x) и у = f2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков. Для решения уравнений вида его необходимо привести к виду .
Часто возникает необходимость многократного решения уравнения при изменении одного из параметров.
Отсутствие сходимости функции root
Если после многих итераций Mathcad не
находит подходящего приближения, то
появится сообщение (отсутствует сходимость).
Эта ошибка
может быть вызвана следующими причинами:
Уравнение не имеет корней.
Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.
Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.
Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями.
Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.
Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f(x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f(x) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root сходиться.
Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно
изменить значение системной переменной TOL.
Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет
менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ
будет более точен. Значение TOL можно определить непосредственно в
рабочем документе, либо в меню Math
– Option . Если два корня расположены
близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.
Если функция f(x) имеет малый наклон около искомого корня, функция root(f(x), x) может сходиться к значению, отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL. Другой вариант заключается в замене уравнения f(x) = 0 на g(x) = 0 где .
Д
ля
выражения f(x) с известным
корнем (а) нахождение дополнительных корней f(x) эквивалентно поиску корней уравнения h(x)=f(x)/(x‑a).
Подобный
прием полезен для нахождения корней,
расположенных близко друг к другу. Проще
искать корень выражения h(x),
чем пробовать искать другой корень
уравнения
Нахождение корней полинома
Д ля нахождения корней выражения, вида используется функция polyroots. В отличие от функции root, polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные. Общий вид polyroots(v), где v – вектор коэффициентов полинома длины , n – степень полинома. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома. Вектор v удобно создавать использую команду меню Symbolics – Polynomial Cofficients.
Решение систем уравнений и неравенств
MathCAD дает возможность решать также и
системы уравнений. Максимальное число
уравнений и переменных равно 50.
Результатом
решения системы будет численное значение
искомого корня.
Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений;
Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает, что далее следует система уравнений;
Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl] + = либо палитру, для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >, и ;
Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: .
M
athcad
возвращает точное решение системы
уравнений. Число аргументов должно быть
равно числу неизвестных.
Функция, Find может возвращать результат следующими способами:
Find(var1, var2,…) =.
a := Find(x) – скаляр, var := Find(var1, var2,…) – вектор. Удобно при использовании решения системы в другом месте рабочего документа.
f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …). Определить другую функцию с помощью Find. Эта конструкция удобна для многократного решения системы уравнений для различных значений некоторых параметров a, b, c,…, непосредственно входящих в систему уравнений;
f (x, y, z, …) := Find(x, y, z, …).
Если необходимо найти решение при
различных начальных приближениях,
имеет смысл определить новую функцию.
Если необходимо найти решение при
различных начальных приближениях,
имеет смысл определить новую функцию.Последние два способа можно комбинировать.
Численные методы Моделирование Mathcad
РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ В MATHCAD | ||
ВВЕДЕНИЕ В НАУЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ | ||
Ошибки измерения | ||
Истинная ошибка [МАТКАД] Приблизительная ошибка [МАТКАД] | ||
Двоичный Представительство | ||
Десятичное в двоичное представление [МАТКАД] Двоично-десятичное представление [МАТКАД] | ||
Ошибки измерения | ||
Десятичный с плавающей запятой представление [МАТКАД] Двоичный код с плавающей запятой представление [МАТКАД] | ||
Распространение ошибок | ||
Распространение ошибок [МАТКАД] | ||
Дифференциация | ||
Непрерывные функции | ||
Вперед разделенный Разница [MATHCAD] Назад Разделенная разница [MATHCAD] Центральный Разделенный Разница [MATHCAD] Непрерывный функции Производная второго порядка [MATHCAD] | ||
Дискретный Данные | ||
Дискретный функции [MATHCAD] | ||
Нелинейные уравнения | ||
Метод деления пополам | ||
Метод [MATHCAD] Конвергенция [MATHCAD] Подводный камень: медленная сходимость моделирование метода деления пополам [MATHCAD] | ||
Метод Ньютона-Рафсона | ||
Метод [MATHCAD] Конвергенция [MATHCAD] Ошибка: деление на ноль [MATHCAD] Подводный камень: медленная конвергенция в Точки перегиба [MATHCAD] Ловушка: Корень перепрыгивает несколько корней [MATHCAD] Подводный камень: корни колеблются вокруг локальных максимумов и минимумов [MATHCAD] | ||
Метод секущих | ||
Моделирование метода секущих [MATHCAD] Конвергенция Моделирование метод секущих [MATHCAD] Ошибка: деление на ноль в моделирование методом секущих [MATHCAD] Ловушка: Корень перепрыгивает несколько корней методом секущих [MATHCAD] | ||
ОДНОВРЕМЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ | ||
Исключение Гаусса | ||
Метод [MATHCAD] | ||
Метод Гаусса-Зейделя | ||
Метод [MATHCAD] | ||
Конвергенция [MATHCAD] | ||
ЛУ Разложение | ||
Метод [MATHCAD] | ||
Интерполяция | ||
Прямой метод | ||
Метод [MATHCAD] | ||
Метод разделенной разности Ньютона | ||
Метод [MATHCAD] | ||
Лагранж Метод | ||
Метод [MATHCAD] | ||
Сплайн Метод | ||
Метод [MATHCAD] | ||
РЕГРЕССИЯ | ||
Линейная регрессия | ||
Метод [MATHCAD] | ||
Нелинейная регрессия | ||
Без линеаризации данных [MATHCAD] С линеаризацией данных [MATHCAD] Полиномиальная регрессия [MATHCAD] Сравнение с данными и без них Линеаризация [MATHCAD] | ||
Адекватность регрессионной модели | ||
Адекватность [MATHCAD] | ||
Интеграция | ||
Трапециевидная линейка | ||
Метод [MATHCAD] Конвергенция [MATHCAD] | ||
Правило 1/3 Симпсона | ||
Метод [MATHCAD] Конвергенция [MATHCAD] | ||
Правило Ромберга | ||
Метод [MATHCAD] Конвергенция [MATHCAD] | ||
Правило квадратур Гаусса | ||
Метод [МАТКАД] Конвергенция [MATHCAD] | ||
Интеграция дискретных функций | ||
Интеграция дискретных функций [MATHCAD] | ||
| ||
ОБЫЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ | ||
Метод Эйлера | ||
Метод [MATHCAD] Конвергенция [MATHCAD] | ||
Метод Рунге-Кутта 2-го порядка | ||
Метод [MATHCAD] Конвергенция [MATHCAD] | ||
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка | ||
Метод [MATHCAD] Конвергенция [MATHCAD] | ||
Способ съемки | ||
Метод [MATHCAD] | ||
Метод конечных разностей | ||
Метод [MATHCAD] | ||
Магазин Mathcad — Обучение работе с Mathcad
- Домашняя страница
- Обучение работе с Mathcad 907:10
В этом курсе вы изучите основы Mathcad Prime.
Вы узнаете о обширных функциональных возможностях Mathcad Prime, таких как открытие файлов Mathcad и работа с ними, навигация по рабочим пространствам, определение переменных и выражений и решение уравнений. Кроме того, вы научитесь строить графики, находить корни и работать с данными. В конце каждого модуля вы заполните набор контрольных вопросов, чтобы закрепить важные темы из этого модуля. В конце курса вы пройдете оценку курса в Pro/FICIENCY, предназначенную для оценки вашего понимания курса в целом.
Root Solutions — сертифицированный поставщик услуг обучения PTC.
После успешного завершения наших учебных курсов слушатели получат Сертификат об обучении PTC, который поможет их профессиональному развитию.
Для получения дополнительной информации о том, что входит в учебный курс Root Solutions, посетите наш обучающий веб-сайт, нажав здесь.
| Продолжительность: | 2 дня |
| Предпосылки: | Нет. |