Линейная алгебра это: Линейная алгебра: пробный заезд / Хабр

Линейная алгебра: что это такое, как разобраться с матрицами

Линейная алгебра — это специальный раздел алгебры, который изучает линейные объекты. В качестве линейного объекта в алгебре выступают:

• векторы и пространство из векторов,

• линейное отображение,

• линейное уравнение,

• теория инвариантов,

• тензоры и операции над тензорами,

• и др.

Может возникнуть вопрос: «Как линейная алгебра связана с программированием?». На самом деле, это укорененный вопрос всех начинающих программистов, который выглядит так: «Нужна ли математика в программировании?». Ответ: все зависит от того, в какой сфере программирования вы будете работать. К примеру, если в веб-разработке, тогда там вам не нужны будут глубокие познания в математике, хватит основных школьных знаний. Если же вы рассчитываете работать в сфере искусственного интеллекта, машинного обучения или больших данных, тогда без математики вам будет очень сложно.

Кстати, линейная алгебра нужна при работе над искусственным интеллектом. В этой сфере используется большое количество математических концепций и принципов. Поэтому, если вы планируете развиваться в этой сфере как программист, значит, подтянуть знания по математике — обязательное условие. Что такое линейная алгебра? Мы расскажем.

Линейная алгебра — что это?

Если простыми словами, тогда линейная алгебра — это «математическая деятельность», образуемая вокруг небольшого количества «линейных» терминов-инструментов. Например:

• вектор,

• скаляр,

• тензор,

• матрица.

Все эти термины важны, когда речь идет о машинном обучении и искусственном интеллекте, поэтому каждый из них нужно рассмотреть подробнее.

Линейная алгебра: скаляр

Скаляр представляет собой простую величину в линейной алгебре и обычное число. Он определяет элемент поля, в котором описывается вектор. Из последовательности скаляров образуется вектор.

Скаляр может быть представлен:

• вещественным числом,

• действительным числом,

• натуральным числом.

Линейная алгебра: вектор

Если упорядочить скаляры в определенной последовательности, тогда получается вектор. По сути, скаляр в векторе — это координаты точек в пространстве. Если объединить несколько векторов в единое множество, тогда получится векторное пространство.

Векторы поддаются математическим операциям, например, их можно:

• складывать друг с другом,

• умножать друг на друга,

• масштабировать разными видами умножения между собой,

• умножать вектор на число,

• и др.

Для того чтобы с векторами было удобнее работать, у каждого вектора обозначен собственный индексный идентификатор.

Линейная алгебра: матрица

Матрица в линейной алгебре представляет собой двумерный массив скаляров. Каждый отдельный элемент массива из-за двухмерности имеет 2 индекса.

Когда матрицы одинаковы по количеству столбцов и строк, тогда их можно:

Когда количество столбцов одной матрицы будет равно количеству строк второй матрицы, эти матрицы можно умножить одну на другую. Еще матрицу можно:

В зависимости от элементов, содержащихся внутри матрицы, сама матрица бывает:

• квадратной — когда число строк равняется числу столбцов;

• диагональной — когда все элементы основного поля равняются «0», кроме тех, которые идут по диагонали;

• единичной — когда диагональные элементы равняются «1», а остальные — «0»;

• симметричной — когда все элементы имеют симметричное расположение относительно диагонали;

• кососимметричной — когда симметричные стороны матрицы отличаются знаком, то есть одни положительные, а другие отрицательные;

• и др.

Линейная алгебра: тензор

В линейной алгебре тензор представляет собой многомерный массив. Тензор состоит из нескольких измерений, поэтому его часто изображают как многомерную сетку из определенных чисел.

Каждая матрица, по сути, также является тензором, только двумерным. Это и отличает матрицу от тензора.

Тензор — это апогей в иерархии линейной алгебры:

• скаляр — один элемент,

• вектор — одномерный массив элементов,

• матрица — двумерный массив элементов,

• тензор — многомерный массив элементов.

Над тензором можно проводить ряд операций. Например:

• умножить тензор на скаляр,

• сложить два тензора,

• умножить один тензор на другой,

• и др.

Заключение

Линейная алгебра — это часть высшей математики, которая нужна будет при работе с искусственным интеллектом, машинным обучением и большими данными. Сегодня мы затронули лишь теоретическую часть темы «что такое линейная алгебра» и рассказали об ее основных составляющих. Мы продолжим цикл статей по этой тематике.

Линейная алгебра | это… Что такое Линейная алгебра?

Лине́йная а́лгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.

Содержание 1 Предмет линейной алгебры 2 Исторический очерк 3 См. также 4 Примечания 5 Литература

Предмет линейной алгебры

К линейной алгебре относят^[1]:

• теорию линейных уравнений
• теорию определителей
• теорию матриц
• теорию векторных пространств и линейных преобрахований в них
• теорию форм (например, квадратичных)
• теорию инвариантов (частично)
• тензорное исчисление (частично)

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейныс пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа^[1].

Исторический очерк

Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636)^{[источник?]}.

Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и определителей^[1]. В 1750 году для решения систем линейных уравнений было предложено правило Крамера (число уравнений равно числу неизвестных и определитель от коэффициентов не равен нулю), а в 1849 году — метод Гаусса^[2].

Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888)^{[источник?]}.

См. также

• Аналитическая геометрия

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3} Линейная алгебра. Большая советская энциклопедия. Проверено 20 декабря 2012.
2. ↑ Виноградов И. М. Линейная алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, Ч. 2: Линейная алгебра. М.: МЦНМО, 2009.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
• В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры.-М.:Наука 1983, 336с.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных.-Л.:ЛГУ 1985, 496с.
• Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 248 с.
• Сандаков Е. Б. Основы аналитической геометрии и линейной алгебры: учебное пособие.-М.:МИФИ, 2005.-308с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.-М.: Наука 1966, 576с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. -М.:Наука 1969, 528с.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.-СПб.: Лань 2005, 304с.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с.
• Ланкастер П. Теория матриц.-М.:Наука 1973, 280с.
• Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.-М.:Наука 1966, 384с.
• Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения.-М.:Мир 1980, 454с.
• Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- 356с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства.-М.:Физматгиз 1963, 264с.
• Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — М.: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
• Шилов Г. Е. Математический анализ (Конечномерные линейные пространства).- 264с.
• Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. Курс лекций для студентов факультета ВМК, МГУ.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Шарипов Р. А., Курс линейной алгебры и многомерной геометрии, — БашГУ, Уфа, 1996.

Линейная алгебра — определения, темы, формулы, примеры

Линейная алгебра — это раздел математики, который занимается линейными уравнениями и их представлением в векторном пространстве с использованием матриц. Другими словами, линейная алгебра — это изучение линейных функций и векторов. Это одна из центральных тем математики. Большинство современных геометрических концепций основаны на линейной алгебре.

Линейная алгебра облегчает моделирование многих природных явлений и, следовательно, является неотъемлемой частью техники и физики. Линейные уравнения, матрицы и векторные пространства являются наиболее важными компонентами этого предмета. В этой статье мы узнаем больше о линейной алгебре и различных связанных с ней темах.

1.	Что такое линейная алгебра?
2.	Разделы линейной алгебры
3.	Темы линейной алгебры
4.	Формула линейной алгебры
5.	Линейная алгебра и ее приложения
6.	Часто задаваемые вопросы по линейной алгебре

Что такое линейная алгебра?

Линейную алгебру можно определить как раздел математики, который занимается изучением линейных функций в векторных пространствах. Когда информация, относящаяся к линейным функциям, представлена ​​в организованной форме, она приводит к матрице. Таким образом, линейная алгебра имеет дело с векторными пространствами, векторами, линейными функциями, системой линейных уравнений и матрицами. Эти концепции являются необходимым условием для родственных тем, таких как геометрия и функциональный анализ.

Определение линейной алгебры

Раздел математики, который занимается векторами, матрицами, конечными или бесконечными измерениями, а также линейным отображением между такими пространствами, определяется как линейная алгебра. Он используется как в чистой, так и в прикладной математике, а также в различных технических областях, таких как физика, инженерия, естественные науки и т. д.

Разделы линейной алгебры

Линейную алгебру можно разделить на три ветви в зависимости от уровня сложности и вида тем, охватываемых каждой из них. Это элементарная, продвинутая и прикладная линейная алгебра. Каждая ветвь охватывает различные аспекты матриц, векторов и линейных функций.

Элементарная линейная алгебра

Элементарная линейная алгебра знакомит учащихся с основами линейной алгебры. Это включает в себя простые матричные операции, различные вычисления, которые могут быть выполнены в системе линейных уравнений, и некоторые аспекты векторов. Некоторые важные термины, связанные с элементарной линейной алгеброй, приведены ниже:

Скаляры — Скаляр — это величина, которая имеет только величину, но не направление. Это элемент, который используется для определения векторного пространства. В линейной алгебре скаляры обычно представляют собой действительные числа.

Векторы — Вектор — это элемент векторного пространства. Это количество, которое может описать как направление, так и величину элемента.

Векторное пространство — Векторное пространство состоит из векторов, которые можно складывать и умножать на скаляры.

Матрица — Матрица представляет собой прямоугольный массив, в котором информация организована в виде строк и столбцов. Большинство свойств линейной алгебры можно выразить в терминах матрицы.

Операции с матрицами — это простые арифметические операции, такие как сложение, вычитание и умножение, которые можно выполнять над матрицами.

Расширенная линейная алгебра

После того, как учащиеся познакомятся с основами линейной алгебры, основное внимание будет уделено более сложным понятиям, связанным с линейными уравнениями, векторами и матрицами. Вот некоторые важные термины, которые используются в продвинутой линейной алгебре:

Линейные преобразования — Преобразование функции из одного векторного пространства в другое с сохранением линейной структуры каждого векторного пространства.

Обратная матрица — Когда обратная матрица умножается на заданную исходную матрицу, результатом будет единичная матрица. Таким образом, A ^-1 A = I.

Собственный вектор — Собственный вектор — это ненулевой вектор, который изменяется на скалярный коэффициент (собственное значение) при применении к нему линейного преобразования.

Линейная карта — это тип отображения, который сохраняет векторное сложение и векторное умножение.

Прикладная линейная алгебра

Прикладная линейная алгебра обычно вводится студентам на уровне выпускников в области прикладной математики, инженерии и физики. Эта ветвь алгебры направлена ​​на объединение концепций элементарной и продвинутой линейной алгебры с их практическими последствиями. Такие темы, как норма вектора, QR-факторизация, дополнение Шура к матрице и т. Д., Подпадают под эту ветвь линейной алгебры.

Темы по линейной алгебре

Темы, относящиеся к линейной алгебре, можно разделить на три широкие категории. Это линейные уравнения, матрицы и векторы. Все эти три категории взаимосвязаны, и их необходимо хорошо понимать, чтобы овладеть линейной алгеброй. Темы, подпадающие под каждую категорию, приведены ниже.

Линейные уравнения

Линейное уравнение — это уравнение стандартной формы \(a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + … + a_{n}x_{n}\ ). Это фундаментальный компонент линейной алгебры. Темы, охватываемые линейными уравнениями, следующие:

• Линейные уравнения с одной переменной
• Линейные уравнения с двумя переменными
• Одновременные линейные уравнения
• Решение линейных уравнений
• Решения линейного уравнения
• Графики линейных уравнений
• Применение линейных уравнений
• Прямая линия

Векторы

В линейной алгебре над векторами можно выполнять несколько операций, таких как умножение, сложение и т. д. Векторы можно использовать для описания таких величин, как скорость движущихся объектов. Вот некоторые важные темы, охватываемые векторами:

• Типы векторов
• Скалярный продукт
• Перекрестное произведение
• Добавление векторов

Матрицы

Матрица используется для организации данных в форме прямоугольного массива. Его можно представить как \(A_{m\times n}\). Здесь m представляет количество строк, а n обозначает количество столбцов в матрице. В линейной алгебре матрица может использоваться для более компактного выражения линейных уравнений. Темы, которые охватываются матрицами, следующие:

• Операции с матрицами
• Определитель
• Транспонирование матрицы
• Типы матрицы

Формула линейной алгебры

Формулы составляют важную часть линейной алгебры, поскольку они помогают упростить вычисления. Ключом к решению любой задачи линейной алгебры является понимание формул и связанных с ними понятий, а не их запоминание. Важные формулы линейной алгебры можно разделить на 3 категории, а именно линейные уравнения, векторы и матрицы.

Линейные уравнения: Основные формулы линейных уравнений перечислены ниже:

• Общая форма: ax + by = c
• Форма пересечения наклона: y = mx + b
• а + б = б + а
• а + 0 = 0 + а = а

Векторы: Если есть два вектора \(\overrightarrow{u}\) = (\(u_{1}\), \(u_{2}\), \(u_{3}\)) и \(\overrightarrow{v}\) = (\(v_{1}\), \(v_{2}\), \(v_{3}\)) тогда важные векторные формулы, связанные с линейной алгеброй, приведены ниже . 9{2}}\)

\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3}\)

\(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v} = (u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}, u_{3}v_{1}-u_{1}v_{ 3}, и_{1}в_{2}-и_{2}в_{1})\)

Матрица: Если есть две квадратные матрицы, заданные A и B, где элементами являются \(a_{ij}\) и \(b_{ij}\) соответственно, то в линейной алгебре используются следующие важные формулы :

9{n}a_{ik}b_{kj}\)

Линейная алгебра и ее приложения

Линейная алгебра используется почти во всех областях. Простые алгоритмы также используют темы линейной алгебры, такие как матрицы. Ниже приведены некоторые приложения линейной алгебры:

• Обработка сигналов . Линейная алгебра используется для кодирования и обработки сигналов, таких как аудио- и видеосигналы. Кроме того, это требуется при анализе таких сигналов.
• Линейное программирование — это метод оптимизации, который используется для определения наилучшего результата линейной функции.
• Информатика — Специалисты по данным используют несколько алгоритмов линейной алгебры для решения сложных задач.
• Алгоритмы прогнозирования — Алгоритмы прогнозирования используют линейные модели, разработанные с использованием концепций линейной алгебры.

Связанные статьи:

• Введение в графику
• Линейные уравнения и неравенства с одной переменной
• Разложение вектора на компоненты

Важные замечания по линейной алгебре

• Линейная алгебра занимается изучением трех широких подтем — линейных функций, векторов и матриц
• Линейную алгебру можно разделить на 3 категории. Это элементарная, продвинутая и прикладная линейная алгебра.
• Элементарная линейная алгебра посвящена введению в линейную алгебру. Расширенная линейная алгебра основана на этих концепциях. Прикладная линейная алгебра применяет эти концепции к реальным ситуациям.

Часто задаваемые вопросы по линейной алгебре

Что означает линейная алгебра?

Линейная алгебра — это раздел математики, который занимается изучением линейных функций, векторов, матриц и других связанных аспектов.

Линейная алгебра — это сложно?

Линейная алгебра — очень обширная область математики. Однако при регулярной практике и привитии прочной концептуальной основы решать вопросы будет очень легко.

Каковы предпосылки для линейной алгебры?

Прежде чем приступить к линейной алгебре, необходимо иметь прочную базу знаний о свойствах чисел и способах выполнения вычислений.

Что такое подпространство в линейной алгебре?

Векторное пространство, полностью содержащееся в другом векторном пространстве, в линейной алгебре называется подпространством.

Как изучать линейную алгебру?

Первый шаг — заложить прочный фундамент в области элементарной алгебры. Понимание концепций и регулярное повторение формул также имеют решающее значение, прежде чем переходить к продвинутой алгебре. В равной степени необходимо решать практические вопросы различного уровня, чтобы преуспеть в этом предмете.

Линейная алгебра сложнее исчисления?

Линейная алгебра служит предпосылкой для исчисления. Важно развить глубокие знания по этому предмету, прежде чем переходить к исчислению. Оба предмета даются легко, если концепции ясны, а суммы регулярно практикуются.

Для чего используется линейная алгебра?

Линейная алгебра используется в нескольких отраслях, таких как информатика, инженерия и физика, для создания линейных моделей с использованием алгоритмов, описанных в этом разделе.

Линейная алгебра — Ферровиал

1. Ферровиал
2. ШТОК

Линейная алгебра — это раздел алгебры, изучающий изучение матриц, векторов, векторных пространств и линейных уравнений. Это математические функции, возникающие между векторами в рамках условий линейности или набора последовательностей, которые являются пропорциональным следствием причины.

Этот тип алгебры является фундаментальной областью математики, особенно в области геометрии. Позволяет определять такие объекты, как линии, плоскости и повороты. Он также незаменим в области инженерии, потому что позволяет рассчитывать, моделировать и вычислять природные явления.

Какие элементы линейной алгебры?

В уравнении линейной алгебры, графическим представлением которого является прямая линия, существует ряд элементов, которые необходимо учитывать при его решении:

• которые проецируются в определенное пространство. Это линии с исходными точками, величинами, направлениями, координатами и длинами. Они имеют прямолинейное графическое изображение.
• Оценщики: элементов, используемых для описания явления с величиной, но без направления. Они могут быть действительными, комплексными или постоянными числами.
• Корень: сумма, умноженная сама на себя столько раз, сколько необходимо, чтобы в результате получить другую сумму. Цель корня состоит в том, чтобы получить основание мощности, зная показатель степени и субрадикальное количество.
• Матрица: двумерный набор чисел, расположенных в строках и столбцах, которые позволяют представлять коэффициенты, присутствующие в системах линейных уравнений.
• Определитель: математическое выражение, полученное в результате применения элементов квадратной матрицы.

Как развивалась алгебра на протяжении всей истории?

Введение линейной алгебры на Западе восходит к 1637 году, когда Рене Декарт разработал концепцию координат в рамках геометрического подхода, известного сегодня как декартова геометрия. Эта концепция предлагает представлять линии и плоскости с помощью линейных уравнений , что позволяет вычислять их пересечения с помощью систем линейных уравнений.

Немецкий математик Готфрид Лейбниц установил использование определителей для решения линейных систем в 1693 году. В 1750 году швейцарский математик Габриэль Крамер использовал эту концепцию для решения линейных систем и разработал то, что сейчас известно как правило Крамера.

Линейная алгебра, как она известна сегодня, была разработана как последовательность вкладов ученых, которые продолжают добавлять термины. Вклад начался в 1843 году, когда ирландский ученый Уильям Роуэн Гамильтон разработал термин вектор и создал кватернионов . Кватернионы являются расширением действительных чисел, к которым добавляются мнимые единицы i , j и k . Они основаны на комплексных числах, которые добавляют мнимую единицу i к набору действительных чисел.

Годом позже немецкий физик Герман Грассманн опубликовал книгу The Extension Theory , , в которой развиваются темы и фундаментальные элементы этой области алгебры. Наконец, в 1848 году английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр добавил термин 9.0067 матрица .

Каковы основные характеристики линейной алгебры?

• Он рассматривает векторных пространств, то есть математических структур, в которых можно складывать различные элементы (называемые векторами) множества и умножать их на действительные или комплексные числа.
• Основан на системах линейных уравнений с константами (числами) и неизвестной информацией, представленной без показателей степени.
• Используется букв и символов для замены цифр в арифметических операциях; они известны как переменные .
• Он называется линейным , потому что уравнение представляет собой прямую линию в декартовой плоскости.
• Это позволяет нам решать задачи с помощью логических и математических инструментов , которые можно применять к различным наукам и отраслям исследований, а также к повседневным ситуациям.