Кто придумал комплексные числа: Откуда есть пошло комплексное число / Хабр

Откуда есть пошло комплексное число / Хабр

В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий, находящее применение и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной. Тем не менее, в середине XVI века математик Рафаэль Бомбелли вводит комплексные (в данном случае точнее сказать, мнимые) числа в оборот. Собственно, предлагаю посмотреть, в чем была суть затруднений, доведших в итоге солидного итальянца до подобных крайностей.

Существует распространенное заблуждение, что комплексные числа потребовались для того, чтобы решать квадратные уравнения. На самом деле, это совершенно не так: задача поиска корней квадратного уравнения никоим образом введение комплексных чисел не мотивирует.

Вот совершенно.

Давайте убедимся сами. Всякое квадратное уравнение можно представить в виде:
.
Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой и параболы
Я тут даже картинку сделал, для иллюстрации.

Как нам всем хорошо известно из школы, корни квадратного уравнения (в указанных выше обозначениях) находятся по следующей формуле:

Оказываются возможными 3 варианта:
1. Подкоренное выражение положительно.
2. Подкоренное выражение равно нулю.
3. Подкоренное выражение отрицательно.

В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию:
1. Прямая пересекает параболу (синяя прямая на рисунке).
2. Прямая касается параболы.
3. Прямая не имеет с параболой общих точек (сиреневая прямая на рисунке).

Ситуация проста, логична, непротиворечива.

Пытаться извлекать квадратный корень из отрицательного числа нет совершенно никаких оснований. Никто и не пытался.

Обстановка существенно изменилась, когда пытливая математическая мысль добралась до кубических уравнений. Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку, всякое кубическое уравнение можно свести к виду: . С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы.
Взгляните на картинку:

Существенное отличие от случая квадратного уравнения в том, что какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение.
Найти его можно воспользовавшись формулой Кардано:

где
.
Немного громоздко, но пока, вроде бы, все в порядке. Или нет?

Вообще, формула Кардано — это яркий пример «принципа Арнольда» в действии. И что характерно, Кардано никогда на авторство формулы не претендовал.

Вернемся, однако, к нашим баранам. Формула замечательная, без преувеличение великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс.
Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли:
.
Внезапно,
,
и, соответственно,
.
Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. При том, что решение у уравнения, безусловно, есть.

Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.

Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что
,
и
.
Давайте проверим:
.
Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.

В сумме получаем . Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.

Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго. Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.

Однако, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение для мнимой единицы) знаменитой формулы

открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. Но это уже совсем другая история.

кто их придумал и когда создали

Главная » Наука

На чтение 3 мин Просмотров 74 Опубликовано 30. 11.2022

Сегодня комплексное число представляет собой одно из наиболее фундаментальных понятий в математике. Оно нашло применение в так называемой чистой науке и в прикладных сферах. Однако так было далеко не всегда. В давние времена даже обыкновенные отрицательные цифры казались странной новинкой. Тем не менее, в середине шестнадцатого века началась история возникновения такого понятия, как комплексные числа.

Что это такое

Этим термином обозначают числа вида a + bi. При этом a, b представляют собой вещественные числа, а i – мнимую единицу. Для обозначения множества обычно применяется символ С. Вещественные разновидности рассматриваются как частный случай комплексных. Они имеют вид a + 0i. Основное свойство С заключается в том, что в нем выполняется главная теорема алгебры. Это означает, что любой многочлен n-й степени обладает n корней.

Как и для вещественных цифр, для комплексных характерны операции сложения, вычитания, умножения и деления. При этом их свойства имеют и некоторые отличия. К примеру, определить, какое из двух комплексных чисел больше или меньше, нельзя.

Представлять такие числа можно точками на комплексной плоскости. К примеру, отобразить сопряженные цифры помогает операция отражения относительно горизонтальной оси. Представление понятия в тригонометрической записи стало полезным для расчета корней и степеней.

Кто и зачем ввел комплексные числа

Это понятие стали использовать после открытия решения кубического уравнения. Это случилось еще в шестнадцатом веке. До этого момента при решении квадратного уравнения x2 + + = px возникала необходимость в извлечении квадратного корня(p/2) 2 – q. В нем параметр (p/2) 2 был меньше по сравнению с q. При этом введение новых чисел в тот момент не представлялось возможным. Однако при решении кубического уравнения в соответствии с правилом Тартальи выяснилось, что без операций над мнимыми числами невозможно получить действительный корень.

Теория, которая касалась рассматриваемого понятия, отличалась медленным развитием. Еще в восемнадцатом веке крупные ученые спорили на предмет определения логарифмов. Несмотря на то, что с их помощью удавалось получить большое количество важных фактов, само существование такого явления выглядело сомнительно.

Детальные правила действий с такими числами придумал российский академик Эйлер. Он считается одним из наиболее известных математиков мира. На стыке восемнадцатого и девятнадцатого веков датский ученый Вессель и французский математик Арган ввели геометрическое отображение рассматриваемого понятия. Однако их работы вначале остались без внимания. Только в 1831 году тот же способ развил известный немецкий математик Гаусс. Благодаря его работе теория превратилась во всеобщее достояние.

Появление рассматриваемого понятия стало важным достижением в сфере математики. Эта теория была придумана еще в шестнадцатом веке, но впоследствии она претерпела много изменений и усовершенствований.

Комплексные числа: что такое, происхождение, характеристики, важность…

Комплексные числа представляют собой комбинацию действительных и мнимых чисел. Действительная часть может быть выражена целым или десятичным числом, а мнимая часть имеет отрицательный квадрат. Комплексные числа возникают из-за необходимости выражать корни отрицательных чисел, чего действительные числа сделать не могут. Вот почему отражают все корни многочленов.

Их использование распространяется на различные отрасли науки, начиная с от математики до техники. Комплексные числа также могут представлять электромагнитные волны и электрические токи, поэтому они необходимы в области электроники и телекоммуникаций.

Его математическая формула: a + b i , где a и b — действительные числа, а i — мнимое число. Это выражение известно как биномиальная форма из-за того, что оно состоит из двух частей.

Каково происхождение комплексных чисел?

Французский математик Рене Декарт. ».

Однако концептуализация комплексных чисел восходит к 16 веку благодаря вкладу итальянского математика Джероламо Кардано, который доказал, что наличие отрицательного члена внутри квадратного корня может привести к решению уравнения. До этого считалось невозможным найти квадратный корень из отрицательного числа.

Позднее, в XVIII веке, математик Карл Фридрих Гаусс закрепил положения Кардано, в дополнение к разработав трактат о комплексных числах на плоскости и тем самым заложив современные основы термина.

Каковы основные характеристики комплексных чисел?

• Действительные числа, используемые в формуле комплексных чисел, могут быть выражены в виде упорядоченная пара, бином и вектор.
• Весь набор мнимых чисел называется i и эквивалентен 1 в действительных числах. Точно так же квадратный корень из из равен -1.
• Два комплексных числа считаются равными, если они имеют одинаковые действительные и мнимые компоненты.
• Буква C представляет собой набор всех комплексных чисел. С также образует двумерное векторное пространство.
• В отличие от действительных чисел, комплексные числа не имеют естественного порядка.
• Существуют чисто мнимые числа, действительная часть которых равна 0; их формула такова: 0 + bi = bi.

Каково значение комплексных чисел?

Хотя их повседневное применение не так прямолинейно, как у действительных чисел, их мнимая составляющая делает комплексные числа важными, поскольку они позволяют очень точно работать в конкретных областях науки и физики . Так обстоит дело с измерением электромагнитных полей, которые состоят из электрических и магнитных компонентов и для их описания требуются пары действительных чисел. Эти пары можно рассматривать как комплексные числа, отсюда и их важность.

Как комплексные числа представляются графически?

Любая числовая категория (натуральная, целая или рациональная) может быть представлена ​​графически на линии. В случае действительных чисел они полностью покрывают строку, и каждое число соответствует месту на линии (также называемой реальной строкой).

Комплексные числа покидают линию, чтобы заполнить плоскость, называемую комплексной плоскостью. В этом случае комплексных числа представлены на декартовых осях, , где X ось называется действительной осью , а Y мнимой осью . Формула комплексных чисел a + bi представлена ​​точкой или концом (a,b), называемым аффиксом, или вектором с началом координат (0,0).

Загрузите здесь PDF-файл со всем содержанием математики.

Учебник Sage для первого курса: Комплексные числа

 

Комплексные числа были введены известным итальянским игроком и математиком Джероламо Кардано (1501—1576) в 1545 г., когда он нашел явную формулу для всех трех корней кубического уравнения. Многие математики внесли свой вклад в полное развитие комплексных чисел. Правила сложения, вычитания, умножения и деления сложных числа были разработаны итальянским математиком Рафаэлем Бомбелли (крестился 20 января 1526 г., умер в 1572 г.). Обозначения

1 и i для единичных векторов в горизонтальном положительном направлении и вертикальное положительное направление, соответственно, были введены Леонардом Эйлером (1707—1783), который визуализировал комплексные числа как точки с прямоугольными координатами, но не дали удовлетворительного основания для теории комплексных чисел. Он также предложил отбросить единичный вектор 1 при представлении векторов на плоскости. Это был Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), которые ввели термин комплексное число. Коши, французский современник Гаусса, расширил понятие комплексных чисел до понятия комплексных функций. Профессор Университета Род-Айленда Орландо Мерино (родился в 19 г.54) написал сочинение о история открытия комплексных чисел.

Комплексные числа можно отождествить с тремя множествами: точки на плоскости, обозначается ℝ², множество всех (свободных) векторов на плоскости и множество всех упорядоченных пар действительных чисел

z = ( x , y ), где первая координата обозначается как ℜ z = x и называется по историческим причинам реальная часть комплексного номера z , а вторая координата обозначается как ℑ ℜ z = y и называется мнимая часть комплексного числа z . Геометрический график комплексных чисел как точки z = x + j y с использованием оси x как реальная ось и y -ось в качестве мнимой оси называется Диаграмма Аргана . Такие участки названы в честь Жана-Робера Аргана (1768–1822), который ввел его в 1806 году, хотя впервые они были описаны норвежско-датским землемером и математиком Каспаром Весселем (1745–1818).

Набор комплексных чисел является одним из трех вышеупомянутых наборов, снабженных арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) которые удовлетворяют обычным аксиомам действительных чисел. В то время как сложение и вычитание унаследованные от векторной алгебры, умножение и деление удовлетворяют определенным правила, основанные на тождестве j ² = -1.

Долгое время считалось, что комплексные числа — это просто игрушки, придуманные и с которыми играют только математики. Ведь никакая отдельная величина в реальном мире не может быть измерена воображаемым числом, числом, живущим только в воображении математиков. Однако в 1926, Эрвин Шредингер (1887—1961) обнаружил, что в языке мира субатомных частиц комплексные числа были незаменимым алфавитом. Хотя ни одна измеримая физическая величина не соответствует комплексному числу, пара физических величин может быть очень естественно представлена ​​комплексным числом.