Как складывать числа в восьмеричной системе: Сложение, вычитание, умножение и деление в системах счисления

Сложение, вычитание, умножение и деление в системах счисления

Сложение в системах счисления

Как мы складываем в десятичной системе счисления?

Давайте вспомним о том, как мы складываем числа уже привычным нам способом, в десятичной системе счисления.

Самое главное стоит понять разряды. Вспомните алфавит каждой СС и тогда вам станет легче.

Сложение в двоичной системе счисления

Сложение в двоичной системе ничем не отличается от сложения в десятичной системе. Главное помнить, алфавит содержит всего две цифры: 0 и 1. Поэтому когда мы складываем 1 + 1, то получаем 0, и увеличиваем число еще на 1 разряд. Посмотрите на пример выше:

1. Начинаем складывать как и привыкли справа налево. 0 + 0 = 0, значит записываем 0. Переходим к следующему разряду.
2. Складываем 1 + 1 и получаем 2, но 2 нет в двоичной системе счисления, а значит мы записываем 0, а 1 добавляем к следующему разряду.
3. У нас получается в этом разряде три единицы складываем 1 + 1 + 1 = 3, этой цифры также быть не может. Значит 3 – 2 = 1. И 1 добавляем к следующему разряду.
4. У нас вновь получается 1 + 1 = 2. Мы уже знаем, что 2 быть не может, значит записываем 0, а 1 добавляем к следующему разряду.
5. Складывать больше нечего, значит в ответе получаем: 10100.

Один пример мы разобрали, второй решите самостоятельно:

Сложение в восьмеричной системе счисления

Так же как и в любых других системах счисления необходимо помнить Алфавит. Давайте попробуем сложить выражение.

1. Все как обычно, начинаем складывать справа налево. 4 + 3 = 7.
2. 5 + 4 = 9. Девяти быть не может, значит из 9 вычитаем 8, получаем 1. И еще 1 добавляем к следующему разряду.
3. 3 + 7 + 1 = 11. Из 11 вычитаем 8, получаем 3. И единицу добавляем к следующему разряду.
4. 6 + 1 = 7.
5. Складывать далее нечего. Ответ: 7317.

А теперь проделайте сложение самостоятельно:

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

1. Выполняем уже знакомые нам действия и не забываем про алфавит. 2 + 1 = 3.
2. 5 + 9 = 14. Вспоминаем Алфавит: 14 = Е.
3. С = 12. 12 + 8 = 20. Двадцати нет в шестнадцатеричной системе счисления. Значит из 20 вычитаем 16 и получаем 4. И единицу добавляем к следующему разряду.
4. 1 + 1 = 2.
5. Больше складывать нечего. Ответ: 24Е3.

Вычетание в системах счисления

Вычитание в десятичной системе счисления

Вспомним, как мы это делаем в десятичной системе счисления.

1. Начинаем слева направо, от меньшего разряда к большему. 2 – 1 = 1.
2. 1 – 0 = 1.
3. 3 – 9 = ? Тройка меньше девяти, поэтому позаимствуем единицу из старшего разряда. 13 – 9 = 4.
4. Из последнего разряда мы взяли единицу для предыдущего действия, поэтому 4 – 1 = 3.
5. Ответ: 3411.

Вычитание в двоичной системе счисления

1. Начинаем как обычно. 1 – 1 = 0.
2. 1 – 0 = 1.
3. От 0 отнять единицу нельзя. Поэтому заберем один разряд у старшего. 2 – 1 = 1.
4. Ответ: 110.

А теперь решите самостоятельно:

Вычитание в восьмеричной системе счисления

1. Ничего нового, главное помнить алфавит. 4 – 3 = 1.
2. 5 – 0 = 5.
3. От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 11 – 7 = 4.
4. Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5.
5. Ответ: 5451.

Пример для самостоятельного решения:

Вычитание в шестнадцатеричной системе счисления

Возьмем предыдущий пример, и посмотрим каков будет результат в шестнадцатеричной системе. Такой же или другой?

1. 4 – 3 = 1.
2. 5 – 0 = 5.
3. От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 19 – 7 = 12. В шестнадцатеричной системе 12 = С.
4. Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5
5. Ответ: 5С51

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в системах счисления

Умножение в десятичной системе счисления

Давайте запомним раз и навсегда, что умножение в любой системе счисления на единицу, всегда даст тоже самое число.

1. Каждый разряд умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 6748;
2. 6748 умножаем на 8 и получаем число 53984;
3. Проделываем операцию умножения 6748 на 3. Получаем число 20244;
4. Складываем все 3 числа, по правилам. Получаем 2570988;
5. Ответ: 2570988.

Умножение в двоичной системе счисления

В двоичной системе умножать очень легко. Мы всегда умножаем либо на 0, либо на единицу. Главное, это внимательно складывать. Давайте попробуем.

1. 1101 умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 1101;
2. Проделываем эту операцию еще 2 раза;
3. Складываем все 3 числа внимательно, помним про алфавит, не забывая про лесенку;
4. Ответ: 1011011.

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в восьмеричной системе счисления

Есть небольшой лайфхак, как считать в восьмеричной системе. Давайте рассмотрим на примере:

1. 5 х 4 = 20. А 20 = 2 х 8 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 2 держим в уме. Проделываем эту процедуру справа налево и получаем число 40234;
2. При умножении на 0, получаем четыре 0;
3. При умножении на 7, у нас получается число 55164;
4. Теперь складываем числа и получаем – 5556634;
5. Ответ: 5556634.

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в шестнадцатеричной системе счисления

Все как обычно, главное вспомните алфавит. Буквенные цифры, для удобства переводите в привычную для себя систему счисления, как умножите, переводите обратно в буквенное значение.

Давайте для наглядности разберем умножение на 5 числа 20А4.

1. 5 х 4 = 20. А 20 = 16 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 1 держим в уме.
2. А х 5 + 1 = 10 х 5 + 1 = 51. 51 = 16 х 3 + 3. Остаток от деления записываем в число – это будет 3, а 3 держим в уме.
3. При умножении на 0, получаем 0 + 3 = 3;
4. 2 х 5 = 10 = А; В итоге у нас получается А334; Проделываем эту процедуру с двумя другими числами;
5. Помним правило умножения на 1;
6. При умножении на В, у нас получается число 1670С;
7. Теперь складываем числа и получаем – 169В974;
8. Ответ: 169В974.

Пример для самостоятельного решения:

Деление в системах счисления

С делением все так же, как и в привычной нам десятичной системе счисления.

Деление в двоичной системе счисления

В двоично системе счисления делить гораздо приятней, чем в десятичной системе. Потому что в десятичной надо угадывать числа и постоянно умножать, чтобы у нас получилось нужное значение. А в двоичной системе на какое еще число кроме единицы необходимо умножить, чтобы получить нужное значение? Правильно, ни на какое.

1. Сколько в 101 получится 11? Правильно, 1. 101 – 11 = 10;
2. 100 / 11? Так же 1 раз 11 поместится в 100. 100 – 11 = 1;
3. 11 / 11 = 1, в остатке 0;
4. Ответ: 111.

Деление в восьмеричной системе счисления

1. 46 меньше 53, значит делить будем 462. Надо угадать сколько раз число 53 поместиться? Угадываем 7 и записываем;
2. 53 / 53 = 1. Записываем к ответу, в остатке у нас 0;
3. Последний 0 мы так же записываем к ответу, так как делить больше нечего;
4. Ответ: 710.

Деление в шестнадцатеричной системе счисления

Осталось самое страшное – это научиться делить в шестнадцатеричной системе. Да прибудет с нами сила.

1. 4С мы должны поделить на 2В. Методом подбора определяем что умножить можем только 1 раз. 4С – 2В = 21 и единицу записываем в ответ;
2. Также методом подбора определяем, что 2В, мы можем умножить на С. 219 – 204 = 15;
3. Опять, методом подбора определяем, что это 8. 158 – 158 = 0, решение закончено;
4. Ответ: 1С8.

Related Articles

Действия в позиционных системах счисления. Арифметические операции в различных системах счисления. Способы записи информации в компьютерной технике

Системы счисления

Система счисления – совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками или символами.

Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные . В классе позиционных систем для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления. Ниже приведена таблица, содержащая наименования некоторых позиционных систем счисления и перечень знаков (цифр), из которых образуются в них числа.

Некоторые системы счисления

Основание	Система счисления	Знаки
	Двоичная	0,1
	Троичная	0, 1, 2
	Четверичная	0, 1, 2, 3
	Пятеричная	0, 1, 2, 3, 4
	Восьмеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Десятичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	Двенадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	Шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

В позиционной системе счисления относительной позиции цифры в числе ставится в соответствие весовой множитель, и число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на соответствующую степень основания системы счисления (весовой множитель):

A n А n–1 A n–2 .

..A 1 A 0 , A –1 A –2 … =

A n B n + A n-1 B n-1 + … + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + …

(знак «,» отделяет целую часть числа от дробной. Таким образом, значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Именно поэтому такие системы счисления называют позиционными).

Позиционная система счисления – система, в которой величина числа определяется значениями входящих в него цифр и их относительным положением в числе.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

Десятичный индекс внизу указывает основание системы счисления.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = А ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591,625 10 .

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления (чаще всего двоичную, десятичную, восьмеричную и шестнадцатеричную), поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую. Заметим, что во всех приведенных выше примерах результат является десятичным числом, и, таким образом, способ перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную уже продемонстрирован.

В общем случае, чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основанием В, необходимо разделить ее на В. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на В – остаток даст следующий разряд числа и т.д. Деления продолжают до тех пор, пока частное не станет меньше основания. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число.

Пример перевода целой части: Перевести 25 10 в число двоичной системы.

25 / 2 = 12 с остатком 1,

12 / 2 = 6 с остатком 0,

6 /2 = 3 с остатком 0,

Целая и дробная части переводятся порознь. Для перевода дробной части ее необходимо умножить на В. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произведения необходимо вновь умножить на В. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д.

Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной.

Пример перевода дробной части: Перевести 0,73 10 в число двоичной системы.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (целая часть 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (целая часть 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (целая часть 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (целая часть 1) и т.д.

Таким образом: 0,73 10 = 0,1011 2 .

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить различные арифметические операции. Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Рассмотрим сложение двух чисел с основание десять:

При сложении числа 6 и 7 результат можно представить, как выражение 10 + 3, где 10, является полным основанием для десятичной системы счисления. Заменим 10 (основание) на 1 и подставим слева от цифры 3. Получится:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Рассмотрим сложение двух чисел с основание восемь:

При сложении числа 6 и 7 результат можно представить, как выражение 8 + 5, где 8, является полным основанием для восьмеричной системы счисления. Заменим 8 (основание) на 1 и подставим слева от цифры 5. Получится:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Рассмотрим сложение двух больших чисел с основание восемь:

Сложение начинается с младшего разряда. Итак, 4 8 + 6 8 представляем, как 8 (основание) + 2. Заменяем 8 (основание) на 1 и добавляем эту единицу к цифрам старшего разряда. Далее складываем следующие разряды: 5 8 + 3 8 + 1 8 представляем, как 8 + 1, заменяем 8 (основание) на 1 и добавляем ее к старшему разряду. Далее, 2 8 + 7 8 + 1 8 представляем, как 8 (основание) + 2, заменяем 8 (основание) на 1 и подставляем слева от получившегося числа (в позицию старшего разряда). Таким образом, получается:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16 ,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Другие арифметические операции (вычитание, умножение и деление) в различных системах счисления выполняются аналогично.

Рассмотрим умножение «столбиком», на примере двух чисел двоичной системы:

11101 2 · 101 2

Записываем числа друг под другом, в соответствии с разрядами. Затем производим поразрядное перемножение второго множителя на первый и записываем со смещением влево, так же, как при умножении десятичных чисел. Остается сложить «смещенные» числа, учитывая основание чисел, в данном случае двоичное.

преобразуем получившийся результат к основанию 16.

Во втором разряде 29 представляем, как 16 (основание) и 13 (D). Заменим 16 (основание) на 1 и добавим к старшему разряду.

В третьем разряде 96 + 1 = 97. Затем 97 представим, как 6 · 16 (основание) и 1. Добавим 6 старшему разряду.

В четвертом разряде 20 + 6 = 26. Представим 26, как 16 (основание) и 10 (А). Единицу переносим в старший разряд.

При определенных навыках работы с различными системами счисления запись можно было сразу представить, как

		A
		B	B
	A		D

Таким образом, A31 16 · 29 16 = 1A1D9 16 .

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 – 4A77 16 = BF4 16 ,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 · 231 8 = 70616 8 ,

4A77 16 · BF4 16 = 37A166C 16 ,

1100110 2 · 1100111 2 = 10100100001010 2 .

С точки зрения изучения принципов представления и обработки информации в компьютере, обсуждаемые системы (двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная) представляют большой интерес, хотя компьютер обрабатывает данные только преобразованные к двоичному коду (двоичная система счисления). Однако, часто с целью уменьшения количества записываемых на бумаге или вводимых с клавиатуры компьютера знаков бывает удобнее пользоваться восьмеричными или шестнадцатеричными числами, тем более что, как будет показано далее, процедура взаимного перевода чисел из каждой из этих систем в двоичную очень проста – гораздо проще переводов между любой из этих трех систем и десятичной.

Представим числа различных систем счисления соответственно друг другу:

Десятичная	Шестнадцатеричная	Восьмеричная	Двоичная
	A
	B
	C
	D
	E
	F

Из таблицы видно, что числа системы с основанием 2, 8 и 16 имеют периодические закономерности. Так, восемь значений восьмеричной системы, то есть (от 0 до 7 или полное основание) соответствуют трем разрядам (триады ) двоичной системы. Таким образом, для описания чисел одного разряда восьмеричной системы требуется ровно три разряда двоичной. Аналогично и с числами шестнадцатеричной системы. Только для их описания требуется ровно четыре разряда (тетрады ) двоичной системы.

Отсюда следует, что для перевода любого целого двоичного числа в восьмеричное, необходимо разбить его справа налево на группы по 3 цифры (самая левая группа может содержать менее трех двоичных цифр), а затем каждой группе поставить в соответствие ее восьмеричный эквивалент.

Например, требуется перевести 11011001 2 в восьмеричную систему.

Разбиваем число на группы по три цифры 011 2 , 011 2 и 001 2 . Подставляем соответствующие цифры восьмеричной системы. Получаем 3 8 , 3 8 и 1 8 или 331 8 .

11011001 2 = 331 8 .

Аналогично осуществляются и обратные переводы, например:

Перевести AB5D 16 в двоичную систему счисления.

Поочередно заменяем каждый символ числа AB5D 16 на соответствующее число из двоичной системы. Получим 1010 16 , 1011 16 , 0101 16 и 1101 16 или 1010101101011101 2 .

AB5D 16 = 1010101101011101 2 .

Кроме рассмотренных выше позиционных систем счисления существуют такие, в которых значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе. Такие системы счисления называются непозиционными . Наиболее известным примером непозиционной системы являетсяримская . В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:

Правила записи чисел римскими цифрами : – если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), – если меньшая цифра стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания).

Второе правило применяется для того, чтобы избежать четырёхкратного повторения одной и той же цифры. Так, римские цифры I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400.

Примеры записи чисел римскими цифрами:

IV = 5 — 1 = 4 (вместо IIII),

XIX = 10 + 10 — 1 = 19 (вместо XVIIII),

XL = 50 — 10 =40 (вместо XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т.д.

Следует отметить, что выполнение даже простых арифметических действий над многозначными числами римскими цифрами весьма неудобно. Вероятно, сложность вычислений в римской системе, основанной на использовании латинских букв, стала одной из веских причин замены ее на более удобную в этом плане десятичную систему.

3.1 Основанием системы счисления называется…

Совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками или символами

Число знаков использующиеся в определенной позиционной системе счисления

Делитель, использующийся при переводе чисел из одной системы счисления в другую

Общий множитель, при переводе чисел из одной системы счисления в другую

3.2 Какая система счисления не нашла широкого применения в компьютерной технике

Восьмеричная

Двоичная

Пятеричная

Шестнадцатеричная

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110 2 и 11 2:

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10 .

Сравним результаты — сложение выполнено правильно.

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 110 2 на 11 2:

Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.

Задания

1.22. Провести сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 1010 2 и 10 2 и проверить правильность выполнения арифметических действий с помощью электронного калькулятора.

1.23. Сложить восьмеричные числа: 5 8 и 4 8 , 17 8 и 41 8 .

1.24. Провести вычитание шестнадцатеричных чисел: F 16 и А 16 , 41 16 и 17 16 .

1.25. Сложить числа: 17 8 и 17 16 , 41 8 и 41 16

Примечание:
Выполнять действия можно только в одной системе счисления, если вам даны разные системы счисления, сначала переведите все числа в одну систему счисления
Если вы работаете с системой счисления, основание которой больше 10 и у вас в примере встретилась буква, мысленно замените её цифрой в десятичной системе, проведите необходимые операции и переведите результат обратно в исходную систему счисления

Сложение:
Все помнят, как в начальной школе нас учили складывать столбиком, разряд с разрядом. Если при сложении в разряде получалось число больше 9, мы вычитали из него 10, полученный результат записывали в ответ, а 1 прибавляли к следующему разряду. Из этого можно сформулировать правило:

1. Складывать удобнее «столбиком»
2. Складывая поразрядно, если цифра в разряде > больше самой большой цифры алфавита данной Системы счисления, вычитаем из этого числа основание системы счисления.
3. Полученный результат записываем в нужный разряд
4. Прибавляем единицу к следующему разряду

Пример:

Сложить 1001001110 и 100111101 в двоичной системе счисления

1001001110

100111101

1110001011

Ответ: 1110001011

Сложить F3B и 5A в шестнадцатеричной системе счисления

Ответ: FE0

Вычитание:Все помнят, как в начальной школе нас учили вычитать столбиком, разряд из разряда. Если при вычитании в разряде получалось число меньше 0, мы то мы «занимали» единицу из старшего разряда и прибавляли к нужной цифре 10, из нового числа вычитали нужное. Из этого можно сформулировать правило:

1. Вычитать удобнее «столбиком»
2. Вычитая поразрядно, если цифра в разряде
3. Производим вычитание

Пример:

Вычесть из 1001001110 число 100111101 в двоичной системе счисления

1001001110

100111101

100010001

Ответ: 100010001

Вычесть из F3B число 5A в шестнадцатеричной системе счисления

Ответ: D96

Самое главное, не забывайте про то, что у вас в распоряжении только цифры данной системы счисления, так же не забывайте про переходы между разрядными слагаемыми.
Умножение:

Умножение в других системах счисления происходит точно так же, как и мы привыкли умножать.

1. Умножать удобнее «столбиком»
2. Умножение в любой системе счисления происходит по тем же правилам, что и в десятичной. Но мы можем использовать только алфавит, данный системы счисления

Пример:

Умножить 10111 на число 1101 в двоичной системе счисления

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Ответ: 100101011

Умножить F3B на число A в шестнадцатеричной системе счисления

F3B

984E

Ответ: 984E

Ответ: 984E

Самое главное, не забывайте про то, что у вас в распоряжении только цифры данной системы счисления, так же не забывайте про переходы между разрядными слагаемыми.

Деление в других системах счисления происходит точно так же, как и мы привыкли делить.

1. Делить удобнее «столбиком»
2. Деление в любой системе счисления происходит по тем же правилам, что и в десятичной. Но мы можем использовать только алфавит, данный системы счисления

Пример:

Разделить 1011011 на число 1101 в двоичной системе счисления

Разделить F 3 B на число 8 в шестнадцатеричной системе счисления

Самое главное, не забывайте про то, что у вас в распоряжении только цифры данной системы счисления, так же не забывайте про переходы между разрядными слагаемыми.

НЕПОЗИЦИОННЫЕ

Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления появились исторически первыми. В этих системах значение каждого цифрового символа постоянно и не зависит от его положения. Простейшим случаем непозиционной системы является единичная, для которой для обозначения чисел используется единственный символ, как правило это черта, иногда точка, которых всегда ставится количество, соответствующее обозначаемому числу:

• 1 — |
• 2 — ||
• 3 — |||, и т. д.

Таким образом, этот единственный символ имеет значение единицы , из которой последовательным сложением получается необходимое число:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Модификацией единичной системы является система с основанием, в которой есть символы не только для обозначения единицы, но и для степеней основания. Например, если за основание взято число 5, то будут дополнительные символы для обозначения 5, 25, 125 и так далее.

Примером такой системы с основанием 10 является древнеегипетская, возникшая во второй половине третьего тысячеления до новой эры. В этой системе имелись следующие иероглифы:

• шест — единицы,
• дуга — десятки,
• пальмовый лист — сотни,
• цветок лотоса — тысячи.

Числа получались простым сложением, порядок следования мог быть любым. Так, для обозначения, например, числа 3815, рисовали три цветка лотоса, восемь пальмовых листов, одну дугу и пять шестов. Более сложные системы с дополнительными знаками — старая греческая, римская. Римская также использует элемент позиционной системы — большая цифра, стоящая перед меньшей, прибавляется, меньшая перед большей — вычитается: IV = 4, но VI = 6, этот метод, правда, применяется исключительно для обозначения чисел 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000, и производных их сложением.

Новогреческая и древнерусская системы использовали в качестве цифр 27 букв алфавита, где ими обозначалось каждое число от 1 до 9, а также десятки и сотни. Такой подход обеспечил возможность записывать числа от 1 до 999 без повторений цифр.

В старорусской системе для обозначения больших чисел использовались специальные обрамления вокруг цифр.

В качестве словесной системы номерации до сих пор практически везде используется непозиционная. Словесные системы нумерации сильно привязаны в языку, и общие их элементы в основном относятся к общим принципам и названиям больших чисел (триллион и выше). Общие принципы, положенные в основу современных словесных нумераций вредполагают формирование обозначения посредством сложения и умножения значений уникальных названий.

| Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 10 классы | Планирование уроков на учебный год (ФГОС) | Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

В начальной школе для обучения детей счёту используют таблицы сложения и умножения. Подобные таблицы можно составить для любой позиционной системы счисления.

12.1. Сложение чисел в системе счисления с основанием q

Рассмотрите примеры таблиц сложения в троичной (табл. 3.2), восьмеричной (табл. 3.4) и шестнадцатеричной (табл. 3.3) системах счисления.

Таблица 3.2

Сложение в троичной системе счисления

Таблица 3. 3

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

Таблица 3.4

Сложение в восьмеричной системе счисления

q получить сумму S двух чисел А и Б , надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:

Если a i + b i если a i + b i ≥ q, то s i = а i + b i — q, старший (i + 1)-й разряд увеличивается на 1.

Примеры:

12.2. Вычитание чисел в системе счисления с основанием q

Чтобы в системе счисления с основанием q получить разность R двух чисел А и В , надо вычислить разности образующих их цифр по разрядам i справа налево:

Если a i ≥ b i , то r i = a i — b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
если a i

Электроника и схемотехника: примеры решения восьмеричного сложения

Примеры решения восьмеричного сложения

Примеры сложения восьмеричных чисел

Это моя первая статья о восьмеричной арифметике. В этом посте я собираюсь объяснить два разных метода сложения восьмеричных чисел.

Ключевые вопросы:

• Как выполнить восьмеричное сложение?

• Как выполнить дробное сложение восьмеричных чисел?

• Нарисовать восьмеричную таблицу сложения

• Обсудить два метода восьмеричного сложения

Метод сложения восьмеричных чисел:

Существует два метода сложения восьмеричных чисел. Я буду решать каждый пример, используя методы для лучшего понимания. Вы можете проверить свои результаты, используя этот онлайн-калькулятор восьмеричного сложения.

Метод № 1:

В этом методе вы должны помнить следующие точки:

• Думайте о каждом числе как о десятичном числе и складывайте их как десятичные числа.

• После добавления каждого столбца, если сумма столбца превышает 7, разделите результат на 8, чтобы оценить эквивалентное восьмеричное значение.

• Остаток будет частью ответа (подсумма), а частное станет переносом

Пример № 01: 167) 8+765) 8

1 1

1 6 7

+7 6 5

1 1 5 4

Помните первый шаг. Думайте о каждом числе как о десятичном числе и складывайте их как десятичные числа.

1-й столбец (столбец единиц) Дополнение 7+5 = 12

1 ← Коэффициент переноса

8 ⟌12

8

4 ← Остальные как подпрос

2-й колонна (столбец TENS). 1+6. +6=13

   1 ← частное как перенос

8⟌13

      8

      5 ← остаток как подсумма

носить с собой

8⟌9

      8

1 ← Остаток в качестве подсумжи

Ответ: 1154) 8

---

Пример № 02: 123) 8+7651) 8

1 2 3

+7 6 5 1

7000 7 7 7 70006

в в этом примере после добавления каждого столбца никакая подсумма не превышает 7. Таким образом, нет необходимости преобразовывать эквивалентное восьмеричное значение.

Ответ: 7774)8

---

Пример:03:246.57)8+357.1)8

     1   1

  2 4 6 . 5 7

+3 5 7 . 1

  6 2 5 . 6 7

Столбцы после восьмеричных точек не требуют дополнительных вычислений.

1-й столбец (столбец единиц) сложение 6+7=13

 1 ← частное как перенос

8⟌13

       8

       5 ← остаток как подсумма 5 столбец

90 2-й 90 +1=9

 1 ← частное как перенос

8⟌10

      8

      2 ← остаток как подсумма

3-й столбец (столбец сотен) сложение не превышает 7. Нет необходимости в дополнительных вычислениях.

Ответ:625.67)8

---

Метод №2:

В этом методе задается восьмеричная таблица сложения. Чем эта таблица полезна для сложения восьмеричных чисел. Давайте разбираться.

• Посмотрите на первую строку (красная строка), вы можете назвать ее как X

• Посмотрите на первый столбец (столбец синего цвета), вы можете назвать его Y

• Остальная часть стола черная. Это сумма X и Y

+		1	2	3	4	5	6	7
		1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Например 23)8+45)8

   1

   2 3

 +4 5

  7 0  1-й столбец, который нужно добавить. Назначьте X=3, Y=5. Поиск в таблице вы получите свой результат. Пересечение столбца 3 и строки 5 и есть ваш ответ.

Для 2-го столбца снова присвойте X=2+1 Y=4

Пересечение столбца 3 и строки 4 является вашим ответом.

Пример № 01: 167) 8+765) 8

1 1

1 6 7

+7 6 5

1 1 5 4

1 -й столбец Дополнение x = 7 Y = 5

2 -я столбец добавление X=6+1 Y=6

Добавление 3-го столбца X=1+1 Y=7

Ответ: 1154)8

---

7 6 5 1

  7  7  7 4

Добавление 1-го столбца X=3 Y=1

Добавление 2-го столбца X=2 Y=5

Дополнение 3-й колонки X=1 Y=6

Дополнение 4-й колонки X=0 Y=7

Ответ 7774)8

---

6 . 5 7

+3 5 7 . 1

  6 2 5 . 6 7

Учитывать столбцы после восьмеричной точки.

Добавление сотого столбца X=7 Y=0

Добавление десятого столбца X=5 Y=1

Добавление столбца единиц X=6 Y=7

Добавление столбца десятков X=4+1 Y=5

Столбца сотен сложение X= 2+1 Y=3

Ответ :625,67)8

Вывод:

Итак, все дело в восьмеричном сложении. Я использовал оба метода для расчета. Это простая и легкая задача. Я перепроверил и проверил все ответы в этом посте. Если вы все еще найдете какую-либо ошибку, пожалуйста, сообщите мне. Если есть предложения буду благодарен.

Новое сообщение Старый пост Главная

Подписаться на: Комментарии к сообщениям (Atom)

Популярные сообщения

• Двойственность в электрических цепях

  Принцип двойственности в электрических цепях Интересно знать, как системы связаны друг с другом. Как механическая система…

• Примеры сложения восьмеричных чисел

  Примеры сложения восьмеричных чисел Это моя первая статья о восьмеричной арифметике. В этом посте я объясню два…

• Примеры шестнадцатеричного умножения

  Шестнадцатеричное умножение Это моя третья статья о шестнадцатеричной арифметике. В этом посте я объясню, как умножить два…

• Дополнение к логическому выражению, двойное

  Дополнение и двойное к логическому выражению Прежде чем приступить к этой теме, вы должны знать о законе Де Моргана. Чтобы найти…

• Примеры шестнадцатеричных делений

  Примеры шестнадцатеричных делений Это моя четвертая и последняя статья о шестнадцатеричной арифметике. В этом посте я решу некоторые упр…

• Модель Ebers Moll для транзистора с биполярным переходом

  Модель Эберса-Молля, уравнения для всех режимов биполярного транзистора Модель Эберса-Молля для транзистора с биполярным переходом Наша следующая цель…

• Анализ линии нагрузки (диоды)

  В этом руководстве рассматриваются следующие концепции. Описание: Что такое грузовая линия? Как нарисовать линию нагрузки? Какой характеристический ток…

• Подвижность и проводимость полупроводников

  Подвижность и проводимость полупроводников Подвижность и проводимость носителей являются важными параметрами для работы…

• Матрица набора галстуков | Фундаментальная матрица циклов — график электрических сетей

  Это моя третья статья о графах электрических сетей. В этой статье я собираюсь объяснить матрицу набора галстуков. Матрица набора галстуков также…

• Примеры решения восьмеричного деления

  Примеры решения восьмеричного деления Это моя четвертая статья о восьмеричной арифметике. В этой статье я собираюсь решить некоторые э…

восьмеричных чисел | Изучайте и решайте вопросы

«Сумма» двух целых чисел — это место в области «сумма», где эти два столбца перекрываются, сложение восьмеричных чисел следует тем же правилам, что и сложение десятичных или двоичных чисел. Восьмеричное сложение выполняется аналогично десятичному сложению.

Восьмеричное сложение

Как работает восьмеричная система счисления?

Восьмеричная система счисления — это система счисления, в основе которой лежит цифра 8, а цифры — от 0 до 7. Термин «восьмеричная» относится к числам, в основе которых лежит восьмерка. Восьмеричные числа имеют множество применений и широко используются в компьютерах и цифровых системах счисления. Восьмеричные числа могут быть преобразованы в двоичные числа, десятичные числа и шестнадцатеричные числа в системе счисления.

Система счисления

Восьмеричная таблица чисел

Восьмеричная таблица чисел

Восьмеричный калькулятор сложения

Восьмеричная таблица сложения

68 + 58 = 138.

Добавьте 6, чтобы использовать этот пример:

Просто следуйте инструкциям в этой таблице: вместе. Найдите 6 в столбце A, затем 5 в столбце B. «Сумма» двух целых чисел — это место в области «сумма», где эти два столбца перекрываются.

Как преобразовать восьмеричную форму в десятичную?

Восьмеричное преобразование в десятичное аналогично преобразованию других систем счисления, таких как десятичное в восьмеричное, восьмеричное в шестнадцатеричное, восьмеричное в двоичное и т.д. При преобразовании из восьмеричного в десятичное восьмеричное число с основанием 8 должно быть преобразовано в десятичное число с основанием 10. Когда мы хотим узнать эквивалент числа в системе счисления, мы преобразуем его из восьмеричного в десятичное. Существует четыре вида систем счисления: двоичные системы счисления, восьмеричные системы счисления, десятичные системы счисления и шестнадцатеричные системы счисления. Каждая система счисления имеет свой собственный набор основных чисел, которые помогают определить тип числа. Эти базовые числа также полезны при преобразовании восьмеричных чисел в десятичные. Базовое число для восьмеричных чисел — 8, а для десятичных — 10.

Преобразование восьмеричного числа в десятичное

Шаги для преобразования восьмеричного числа в десятичное:

Вот шаги для преобразования восьмеричного числа в десятичное:

• 7, мы должны сначала упорядочить восьмеричное число со степенью 8.

• Шаг 2: Мы вычисляем значение каждого восьмеричного числа, оценивая все значения степени 8, например, 80 равно 1, 81 равно 8 и т. д. .

• Шаг 3: Получив значение, мы умножаем каждое число.

• Шаг 4: Чтобы получить десятичное число, просуммируйте произведение всех чисел.

Пример восьмеричного сложения

Рассмотрим следующий пример: преобразуйте (140) по основанию 8 в числовое число

Шаг 1: Запишите 140, умноженное на степень 8. Начните с правой стороны.

1 × 82+ 4 × 81 + 0 × 80

Шаг 2: Для каждого восьмеричного числа вычислите степень 8 значений.

82 = 64, 81 = 8, 80 = 1

Шаг 3: Умножьте каждую степень числа 8 на соответствующее число.

1 × 64 + 4 × 8 + 0 × 1 = 64 + 32 + 0

Шаг 4: Сложите значения, чтобы получить десятичное число.

64 + 32 + 0 = 96.

Следовательно, (140)= (96) по основанию 10.

Преобразование восьмеричного числа в десятичное

Решенные вопросы

1. Что такое восьмеричное число?

Ответ: Использование системы числового представления с основанием 8, а не 10 Выбор восьмеричного числа вместо двоичного экономит цифры. Octal обычно использовался на заре компьютеров.

2. Что такое восьмеричное и двоичное?

Ответ: Основание 8 для восьмеричных чисел и основание 2 для двоичных чисел Мы можем преобразовать восьмеричное число в десятичное, а затем десятичное число в его двоичный эквивалент.

3. В чем разница между восьмеричной, десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системами счисления?

Ответ: В системе счисления числа представлены своими основаниями. Числа имеют четыре основания: двоичное, восьмеричное, десятичное и шестнадцатеричное. Основание двоичное, если оно равно 2, восьмеричное, если оно равно 8, десятичное, если оно равно 10, и шестнадцатеричное, если оно равно 16.