Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия
| Справочник по математике | Геометрия (Стереометрия) | Прямые и плоскости в пространстве |
| Признаки параллельности плоскостей |
Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться, как показано в следующей таблице.
| Фигура | Рисунок | Определение |
| Две пересекающиеся плоскости | Две плоскости называют пересекающимися, если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия. | |
| Две параллельные плоскости | Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек. |
| Две пересекающиеся плоскости |
Определение: |
| Две параллельные плоскости |
Определение: |
Первый признак параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены плоскости α и β
Рис.
1
Прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются в точке K. Прямые c и d лежат в плоскости β и параллельны прямым a и b соответственно.
Будем доказывать первый признак параллельности двух плоскостей методом «от противного». Для этого предположим, что плоскости α и β не параллельны. Следовательно, плоскости α и β должны пересекаться, причём пересекаться по некоторой прямой. Обозначим прямую линию, по которой пересекаются плоскости α и β буквой l (рис.2) и воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости.
Рис.2
Плоскость α проходит через прямую a, параллельную прямой c, и пересекает плоскость β по прямой l. Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости, заключаем, что прямые a и l параллельны. В то же время плоскость α проходит через прямую b, параллельную прямой d, и пересекает плоскость β по прямой l. Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости, заключаем, что прямые b и l параллельны.
Таким образом, мы получили, что на плоскости α через точку K проходят две прямые, а именно, прямые a и b, которые параллельны прямой l. Полученное противоречие с аксиомой о параллельных прямых аксиомой о параллельных прямых даёт возможность утверждать, что предположение о том, что плоскости α и β пересекаются, является неверным. Доказательство первого признака параллельности двух плоскостей завершено.
Второй признак параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 3, на котором изображены плоскости α и β.
Рис.3
На этом рисунке также изображены прямые a и b, которые лежат в плоскости α и пересекаются в точке K. По условию каждая из прямых a и b параллельна плоскости β. Требуется доказать, что плоскости α и β параллельны.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого признака параллельности двух плоскостей, и мы его оставляем читателю в качестве полезного упражнения.
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Плоскость в пространстве – необходимые сведения, способы задания плоскости, плоскости в пространстве
Плоскость – это одна из наиболее важных фигур в планиметрии, поэтому нужно хорошо понимать, что она из себя представляет. В рамках этого материала мы сформулируем само понятие плоскости, покажем, как ее обозначают на письме, и введем необходимые обозначения. Затем мы рассмотрим это понятие в сравнении с точкой, прямой или другой плоскостью и разберем варианты их взаимного расположения. Все определения будут проиллюстрированы графически, а нужные аксиомы сформулированы отдельно. В последнем пункте мы укажем, как правильно задать плоскость в пространстве несколькими способами.
Понятие плоскости и ее обозначения
Плоскость представляет собой одну из простейших фигур в геометрии наравне с прямой и точкой. Ранее мы уже объясняли, что точка и прямая размещаются на плоскости. Если эту плоскость разместить в трехмерном пространстве, то мы получим точки и прямые в пространстве.
В жизни представление о том, что такое плоскость, нам могут дать такие объекты, как поверхность пола, стола или стены. Но нужно учитывать, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости связано с бесконечностью.
Прямые и точки, размещенные в пространстве, мы будем обозначать аналогично размещенным на плоскости – с помощью строчных и прописных латинских букв (B, A, d, q и др.) Если в условиях задачи у нас есть две точки, которые расположены на прямой, то можно выбрать такие обозначения, которые будут соответствовать друг другу, например, прямая DB и точки D и B.
Чтобы обозначить плоскость на письме, традиционно используются маленькие греческие буквы, например, α, γ или π.
Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.
Плоскость принято рассматривать вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторые варианты их расположения друг относительно друга. Рассмотрим отдельные случаи.
Как могут располагаться плоскость и точка друг относительно друга
Первый способ взаимного расположения заключается в том, что точка расположена на плоскости, т.е. принадлежит ей. Можно сформулировать аксиому:
Определение 1В любой плоскости есть точки.
Такой вариант расположения также называется прохождением плоскости через точку. Чтобы обозначить это на письме, используется символ ∈. Так, если нам нужно записать в буквенном виде, что через точку A проходит некая плоскость π, то мы пишем: A∈π.
Если некая плоскость задана в пространстве, то число точек, принадлежащих ей, является бесконечным.
А какого минимального количества точек будет достаточно для определения плоскости? Ответом на этот вопрос будет следующая аксиома.
Через три точки, которые не расположены на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Зная это правило, можно ввести новое обозначение плоскости. Вместо маленькой греческой буквы мы можем использовать названия точек, лежащих в ней, например, плоскость АВС.
Другой способ взаимного расположения точки и плоскости можно выразить с помощью третьей аксиомы:
Определение 3Можно выделить как минимум 4 точки, которые не будут находиться в одной плоскости.
Выше мы уже отмечали, что для обозначения плоскости в пространстве будет достаточно трех точек, а четвертая может находиться как в ней, так и вне ее. Если нужно обозначить отсутствие принадлежности точки к заданной плоскости на письме, то используется знак ∉. Запись вида A∉π правильно читается как «точка A не принадлежит плоскости π»
Графически последнюю аксиому можно представить так:
Варианты взаимного расположения прямой и плоскости
Самый простой вариант – прямая находится в плоскости.
Тогда в ней будут расположены как минимум две точки этой прямой. Сформулируем аксиому:
Если хотя бы две точки заданной прямой находятся в некоторой плоскости, это значит, что все точки этой прямой расположены в данной плоскости.
Чтобы записать принадлежность прямой некой плоскости, используем тот же символ, что и для точки. Если мы напишем «a∈π», то это будет означать, что у нас есть прямая a, которая расположена в плоскости π. Изобразим это на рисунке:
Второй вариант взаимного расположения – это когда прямая пересекает плоскость. В таком случае у них будет всего одна общая точка – точка пересечения. Для записи такого расположения в буквенном виде используем символ ∩. Например, выражение a∩π=M читается как «прямая a пересекает плоскость π в некоторой точке M». Если у нас есть точка пересечения, значит, у нас есть и угол, под которым прямая пересекает плоскость.
Графически этот вариант расположения выглядит так:
Если у нас есть две прямые, одна из которых лежит в плоскости, а другая ее пересекает, то они являются перпендикулярными друг другу.
Если мы решаем задачу, в которой есть плоскость, нам необходимо знать, что из себя представляет нормальный вектор плоскости.
Определение 5Нормальный вектор плоскости – это такой вектор, который лежит на перпендикулярной прямой по отношению к плоскости и не равен при этом нулю.
Примеры нормальных векторов плоскости показаны на рисунке:
Третий случай взаимного расположения прямой и плоскости – это их параллельность. В таком случае ни одной общей точки у них нет. Для указания таких отношений на письме используется символ ∥. Если у нас есть запись вида a∥π, то ее следует читать так: «прямая a является параллельной плоскости ∥». Подробнее этот случай мы разберем в статье про параллельные плоскости и прямые.
Если прямая расположена внутри плоскости, то она делит ее на две равные или неравные части (полуплоскости).
Тогда такая прямая будет называться границей полуплоскостей.
Любые 2 точки, расположенные в одной полуплоскости, лежат по одной сторону от границы, а две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, лежат по разную сторону от границы.
Варианты расположения двух плоскостей друг относительно друга
1. Наиболее простой вариант – две плоскости совпадают друг с другом. Тогда они будут иметь минимум три общие точки.
2. Одна плоскость может пересекать другую. При этом образуется прямая. Выведем аксиому:
Определение 6Если две плоскости пересекаются, то между ними образуется общая прямая, на которой лежат все возможные точки пересечения.
На графике это будет выглядеть так:
В таком случае между плоскостями образуется угол. Если он будет равен 90 градусам, то плоскости будут перпендикулярны друг другу.
3. Две плоскости могут быть параллельными друг другу, то есть не иметь ни одной точки пересечения.
Если у нас есть не две, а три и больше пересекающихся плоскостей, то такую комбинацию принято называть пучком или связкой плоскостей.
Подробнее об этом мы напишем в отдельном материале.
Как задать плоскость в пространстве
В этом пункте мы посмотрим, какие существуют способы задания плоскости в пространстве.
1. Первый способ основан на одной из аксиом: единственная плоскость проходит через 3 точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, мы можем задать плоскость, просто указав три таких точки.
Если у нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой задана плоскость с помощью этого способа, то мы можем составить уравнение этой плоскости (подробнее см, соответствующую статью). Изобразим данный способ на рисунке:
2. Второй способ – задание плоскости с помощью прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Это следует из аксиомы о плоскости, проходящей через 3 точки. См. рисунок:
3. Третий способ заключается в задании плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые (как мы помним, в таком случае тоже есть только одна плоскость.) Проиллюстрируем способ так:
4.
Четвертый способ основан на параллельных прямых. Вспомним, какие прямые называются параллельными: они должны лежать в одной плоскости и не иметь ни одной точки пересечения. Получается, что если мы укажем в пространстве две такие прямые, то мы тем самым сможем определить для них ту самую единственную плоскость. Если у нас есть прямоугольная система координат в пространстве, в которой уже задана плоскость этим способом, то мы можем вывести уравнение такой плоскости.
На рисунке этот способ будет выглядеть так:
Если мы вспомним, что такое признак параллельности, то сможем вывести еще один способ задания плоскости:
Определение 7Если у нас есть две пересекающиеся прямые, которые лежат в некоторой плоскости, которые параллельны двум прямым в другой плоскости, то и сами эти плоскости будут параллельны.
Таким образом, если мы зададим точку, то мы сможем задать плоскость, которая проходит через нее, и ту плоскость, которой она будет параллельна. В таком случае мы тоже можем вывести уравнение плоскости (об этом у нас есть отдельный материал).
Вспомним одну теорему, изученную в рамках курса по геометрии:
Определение 8Через определенную точку пространства может проходить только одна плоскость, которая будет параллельна заданной прямой.
Это значит, что можно задать плоскость путем указания конкретной точки, через которую она будет проходить, и прямой, которая будет перпендикулярна по отношению к ней. Если плоскость задана этим способом в прямоугольной системе координат, то мы можем составить уравнение плоскости для нее.
Также мы можем указать не прямую, а нормальный вектор плоскости. Тогда можно будет сформулировать общее уравнение.
Мы рассмотрели основные способы, с помощью которых можно задать плоскость в пространстве.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
аналитическая геометрия — Как рассчитать пересечение двух плоскостей?
спросил
Изменено 9 месяцев назад
Просмотрено 338 тысяч раз
$\begingroup$
Как рассчитать пересечение двух плоскостей?
93$:$x + 2y + z — 1 = 0$
$2x + 3y — 2z + 2 = 0$
- аналитическая геометрия
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Вам нужно решить два уравнения
$$х+2у+г-1=0\
2x + 3y — 2z + 2 = 0.
$$
Обратите внимание, что это два уравнения с тремя переменными, поэтому у вас есть свободная переменная, скажем, $z=t$, тогда у нас есть
$$х+2у=1-т\ 2х + 3у = 2t-2. $$
Решение последней системы дает
$$ \left\{ x=-7+7\,t,y=4-4\,t \right\} .$$
Тогда параметризованное уравнение строка задается как
$$ (x,y,z)= (-7+7t, 4-4t,t)=(-7,4,0)+(7,-4,1)t . $$
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Из коэффициентов при x, y и z уравнений общего вида первая плоскость имеет вектор нормали $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$, а вторая — вектор нормали $\ begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}$, поэтому линия пересечения должна быть ортогональна им обоим. Мы знаем, что единственный вектор, ортогональный двум линейно независимым векторам $v_1,v_2$, равен $v_1\times v_2$, поэтому вектор направления линии пересечения равен $$\begin{pmatrix}1\\2\\1\ end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\4\\-1\end{pmatrix}$$Далее нам нужно найти определенную точку на прямой.
Здесь, поскольку линия, не параллельная какой-либо координатной плоскости, проходит через все три, вы можете проверить, равно параллельно единице с использованием вектора направления. Так как здесь прямая проходит через все три плоскости, мы можем попробовать $y=0$(поскольку она проходит через плоскость $x-z$) и решить получившуюся систему линейных уравнений:$$\begin{align}x+z- 1&=&0\\2x-2z+2&=&0\end{align}$$ дает $x=0, z=1$, таким образом, линия пересечения $\lbrace{\begin{pmatrix}-7t\\4t \\1-t\end{pmatrix}:t\in \Bbb R\rbrace}$
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Хотя у этой задачи есть отличный ответ из учебника, как объяснил @walcher, я не думаю, что это очень элегантно. Это потому, что решение зависит от выбора произвольной точки, которой не хватает геометрической интуиции. В идеале хотелось бы, чтобы эта точка имела какое-то значение, например, близость к плоскостям, или линии, и т.
д.
Для этого я хочу напомнить вам решение Джона Крамма, которое остается много. Пусть $\mathbf{p}=\{p_x,p_y,p_z\}$ и $\mathbf{n}=\{n_x,n_y,n_z\}$ составляют плоскость $\mathbf{P}=\{\mathbf {n},\mathbf{p}\}$. Пусть есть две плоскости $P_1$ и $P_2$, для которых мы хотим вычислить пересекающуюся прямую $\mathbf{l}$. Тривиально вычислить направление как векторное произведение: $$\mathbf{l}_d=\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$$ 92$$
Используя стандартную схему Лагранжа (опуская детали), можно установить хорошую матрицу в виде: $$
\mathbf{М}=
\ влево [ {\ начать {массив} {ccc}
2 & 0 & 0 & n_{1x} & n_{2x}\\ 0 & 2 & 0 & n_{1y} & n_{2y}\\ 0 & 0 & 2 & n_{1z} & n_{2z} \ \ n_{1x} & n_{1y} & n_{1z} & 0 & 0\\n_{2x} & n_{2y} & n_{2z} & 0 & 0 \end{массив} } \right]
$$
Теперь эту матрицу можно использовать в системе линейных уравнений для решения неизвестной точки $\mathbf{p}$, а также множителей Лагранжа $\{\lambda, \mu\}$.:
$$
\mathbf{M}\left[ {\begin{массив}{с}
p_x \\ p_y \\ p_z \\ \lambda \\ \mu \ end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{c}
2p_{0x} \\ 2p_{0y} \\ 2p_{0z} \\ \mathbf{p}_1 \cdot \mathbf{n}_1 \\ \mathbf{p}_2 \cdot \mathbf{n}_2 \end {массив} } \справа]
$$
Хотя множители не представляют особого интереса, они были бы интересны для понимания конфигурации точек или для различных параметризаций.
Я думаю, что это довольно изящный подход, дающий хороший и простой метод с геометрически интерпретируемыми результатами. Я публикую код MATLAB в своем блоге.
$\endgroup$
$\begingroup$
В этом вопросе мы можем найти любую точку, которая будет лежать на линии, пересекающей две плоскости, допустим $(a,b,0)$. Тогда мы можем одновременно решить уравнение двух плоскостей, поставив в него эту точку.
$$a+2b=1\qquad2a+3b=-3$$
После решения этих двух мы получим $a=-7$ и $b=4$. Теперь мы можем найти направление линии, которую нам нужно найти, взяв векторное произведение векторов нормалей двух заданных плоскостей.
$$(i,2j,k) × ( 2i,3j,-2k) = (-7i,4j,-k)$$
Таким образом, уравнение прямой равно $-7(x+7)+4(y-4)-1(z-0)=0$.
Следовательно
$$7x-4y+z+65=0$$
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Пусть $x$ лежит на пересечении плоскостей
\begin{уравнение*}
\langle m, x-b \rangle = 0,\\
\langle n, x-c \rangle = 0
\end{уравнение*}
и пусть $p = m \times n$.
Тогда для некоторого $\lambda$ \begin{уравнение*} \begin{pmatrix} м_0 и м_1 и м_2 \\ н_0&n_2&n_3\ p_0 & p_1 & p_2 \\ \end{pматрица} \begin{pmatrix} х_0\х_1\х_2 \end{pматрица} знак равно \begin{pmatrix} \лэнгле м,б\рангл\\ \langle п, с \rangle \\ \лямбда \end{pматрица}. \end{уравнение*} 92}. \end{уравнение*}
$\endgroup$
$\begingroup$
Я пробовал систему уравнений, предложенную несколькими людьми, но работа с делением на ноль сильно запутывала ситуацию. Поэтому я придумал более интуитивный подход.
Начните с перекрестного произведения векторов нормалей 2 плоскостей (Норма1 и Норма2), чтобы получить направление линии пересечения (Норма3):
Норма3 = Норма1 × Норма2
Теперь, если мы посмотрим на существующие плоскости с точки зрения этого направления, наши 2 плоскости выглядят как 2 линии, потому что мы рассматриваем их обе с ребра.
Итак, мы хотим рассчитать, что это за две строки. Мы можем получить направление каждой линии как произведение нормали нашей новой плоскости на исходную нормаль:
line1dir = Normal1 × Normal3 line2dir = Обычный2 × Обычный3
Итак, теперь нам нужно происхождение каждой из этих линий. Это просто обычное время смещения:
старт строки1 = Нормальный1 * Смещение1 line2start = Normal2 * Offset2
Это дает использование двух строк:
строка1 = (line1start, line1start + line1dir) строка2 = (line2start, строка2start + line2dir)
Теперь, если мы найдем пересечение этих двух линий, это даст точку, которая встречается на обеих линиях, что означает, что она также встречается в обеих плоскостях:
https://math.stackexchange.com/questions/270767/find -пересечение-двух-3d-линий/271366
Получив точку пересечения, объедините ее с Normal3, которую мы рассчитали в начале, чтобы получить линию пересечения.
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Вам необходимо решить следующую систему уравнений:
$$х+2у+г-1=0\
2x + 3y — 2z + 2 = 0.
$$
Так как это два уравнения с тремя переменными, то у вас нет решения, такого как $(a,b,c)$, но у вас будет параметрическая связь между переменными . Пусть $x=t$, тогда имеем
$$ t + 2y = 1-z \\ 2т + 3у = 2з-2. $$
Решение этой системы дает
$$ x=t,y=-\frac{4}{7}t,z= 1-\frac{1}{7}t$$
, которое является параметризованным уравнением нужную строку.
$\endgroup$
линейная алгебра — Как я могу доказать, что 3 плоскости расположены в форме треугольника, не вычисляя их линии пересечения?
Задача
Итак, недавно в школе мы должны были выполнить примерно такое задание (примерно):
Назначение системы линейных уравнений каждому чертежу
Затем были некоторые системы трех линейных уравнений (SLE), где каждое уравнение описывало плоскость в своей координатной форме, и несколько эскизов трех плоскостей в некотором отношении (например, параллельном или пересекающемся под углом 90 °).
Мой вопрос
Я почему-то сразу понял, что эти самолёты:
принадлежат этому СКВ: $$ x_1 -3x_2 +2x_3 = -2 $$ $$ x_1 +3x_2 -2x_3 = 5 $$ $$-6x_2 + 4x_3 = 3$$
И это оказалось правдой. В школе мы доказывали это, определяя линии пересечения плоскостей и показывая, что они параллельны, но не идентичны.
Тем не менее, я считаю, что должна быть возможность показать, что плоскости расположены таким образом, без долгих вычислений. Так как я сразу увидел/»почувствовал», что описанные в СЛЭ плоскости должны располагаться так, как они на картинке (типа треугольника). Я тоже мог определить такую же «форму» по подобному вопросу, так что не верю, что это было просто совпадение.
Что нужно показать?
Итак, мы должны показать, что три плоскости, описываемые SLE, пересекают друг друга способом, который я не знаю, как описать. Они не пересекаются друг с другом перпендикулярно (по крайней мере, их не обязательно располагать треугольником), но нет точки, в которой пересекаются все три плоскости.
Если бы вы провели линию в центре треугольника, она была бы параллельна всем плоскостям.
Три плоскости не имеют одной пересекающейся линии, как в этом случае:
(это был еще один рисунок из задания, но он не имеет отношения к этому вопросу, за исключением того, что его нужно исключить)
Мои мысли
Если бы вы посмотрели на плоскости точно с того направления, в котором ведет параллельная линия из предыдущего раздела, вы бы увидели что-то вроде этого:
Красные стрелки представляют нормаль каждой плоскости (они должны быть перпендикулярным). Вы можете видеть, что нормали каким-то образом являются частью одной (новой) плоскости. Это уже дается тем, как плоскости пересекаются друг с другом (как я описал ранее). Если бы вы теперь выровняли свою систему координат таким образом, что плоскость, в которой лежат нормали, была бы плоскостью $x_1 x_2$, каждая нормаль имела бы значение $x_3$, равное $0$. Если бы вы теперь еще больше выровняли оси координат так, чтобы ось $x_1$ была идентична одной из нормалей (давайте просто выберем нижнюю), значения нормалей были бы примерно такими:
$n_1=\begin{pmatrix} а \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ для нижней нормали
$n_2=\begin{pmatrix} а \\ а \\ 0 \end{pmatrix}$ для верхней правой нормали
и $n_3=\begin{pmatrix} а \\ -а \\ 0 \end{pmatrix}$ для верхней левой нормали
Конечно, плоскости не обязательно располагать таким образом, чтобы векторы выстраивались так точно, чтобы они находились в одной из плоскостей нашей системы координат.