Сходимость ряда и признаки сходимости числовых рядов
Числовой ряд
называется сходящимся, если его частичная сумма
имеет предел при . Величина
называется при этом суммой ряда, а число
остатком ряда.
Если предел
не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример 1
Исследовать на сходимость ряд, рассматривая последовательность его частичных сумм. В случае сходимости найти сумму ряда.
Решение
Преобразуем выражение под знаком суммы:
Данный ряд — сумма геометрических прогрессий со знаменателями и
ряд сходится
Необходимый признак сходимости и критерий Коши
Если ряд сходится, то
Обратное утверждение неверно
Критерий Коши
Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного числа можно подобрать такое , чтобы при и любом положительном выполнялось неравенство
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов.
Пример 2
Исследовать на сходимость ряд:
Решение
Воспользуемся необходимым признаком сходимости:
Необходимый признак сходимости не выполняется — ряд расходится.
Признак сравнения
Если , начиная с некоторого , и ряд
сходится, то ряд
также сходится. Если ряд (**) расходится, то расходится и ряд (*).
В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геометрическую прогрессию:
которая сходится при и расходится при , и гармонический ряд
являющийся рядом расходящимся.
Пример 3
Решение
Этот ряд сходится, так как
Причем геометрическая прогрессия
знаменатель которой , сходится
Предельный признак сравнения
Если существует конечный и отличный от нуля предел
(в частности, если , то ряды
сходятся или расходятся одновременно.
Пример 4
Ряд
Решение
Сравним заданный ряд с расходящимся гармоническим рядом
Таким образом ряды одновременно расходятся, так как найденный предел конечный и отличный от нуля.
Признак Даламбера
Пусть (начиная с некоторого ) и существует предел
Тогда ряд
сходится, если , и расходится, если . Если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 5
Решение
Воспользуемся признаком Даламбера
Ряд сходится
Признак Коши
Пусть (начиная с некоторого ) и существует предел
Тогда ряд
сходится, если
,
и расходится, если
.
Если
,
то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 6
Решение
Воспользуемся признаком Коши:
Ряд расходится
Интегральный признак Коши
Если , где функция положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд
и интеграл
сходится или расходится одновременно.
С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле
сходится, если , и расходится, если . Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле.
Пример 7
Исследовать на сходимость числовой ряд:
Решение
Используем интегральный признак Коши.
Соответствующий интеграл:
расходится, следовательно, расходится исходный ряд
Признак сравнения рядов для выяснения их сходимости
Признак сравнения рядов, как и
Применение признака сравнения заключается в том, что исследуемый ряд сравнивают с рядом, сходимость которого заранее известна.
Непосредственное сравнение членов рядов
Пусть даны два ряда с положительными общими членами и . Пусть для этих рядов выполняется неравенство , то есть члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда.
Тогда из сходимости второго ряда (ряда с бОльшим общим членом) следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда (ряда с меньшим общим членом) – расходимость второго ряда.
Предел отношения общих членов рядов
Пусть даны два ряда с положительными общими членами и . Если , то есть предел отношения общих членов ряда равен конечному и отличному от нуля числу, то оба ряда ведут себя одинаково: или оба сходятся, или оба расходятся.Трудность применения на практике признака сравнения состоит в необходимости
иметь «запас» рядов, сходимость (или расходимость) которых известна, а среди них подобрать такой,
чтобы выполнялось условие.
Для сравнения часто используются:
- геометрический ряд , который сходится, если |q| < 1 и расходится, если |q| ≥ 1;
- обобщённый гармонический ряд , который сходится, если p > 1 и расходится, если p ≤ 1;
- ряд .
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
Решение. Члены данного ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося геометрического ряда с общим членом
Согласно признаку сравнения, данный ряд также сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
Решение. Так как
то члены данного ряда меньше членов
сходящегося ряда. На основании признака сравнения данный ряд также сходится.
Пример 3.
Исследовать сходимость ряда
Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом. Первые их члены совпадают, а остальные члены данного ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда:
поскольку
Согласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Ряды
Пример 4. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Так как , а ряд сходится как геометрический ряд с , то по признаку сравнения данный ряд также сходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и гармонического ряда :
Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится,
отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково.
То есть данный ряд
так же расходится.
.
Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и гармонического ряда :
Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится, отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково. То есть данный ряд так же расходится.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Выясним значение предела отношения общих членов данного ряда и обобщённого гармонического ряда , который расходится, так как . Искать предел будем, учитывая, что , если , поэтому , если . Итак, предел:
.
Так как предел отношения общих членов данного ряда и второго ряда, который расходится,
отличен от нуля и не равен бесконечности, то оба ряда ведут себя одинаково.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Ряды
Всё по теме «Ряды»
- Числовые ряды
- Признак сравнения рядов
- Признак Даламбера сходимости рядов
- Радикальный признак Коши сходимости рядов
- Интегральный признак Коши сходимости рядов
- Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница
- Функциональные ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
Сравнительный тест
Пусть $\sum a_k$ и $\sum b_k$ — ряды с неотрицательными членами. Если $a_k \le b_k$ для всех достаточно больших $k$, то
- Если $\sum b_k$ сходится, то $\sum a_k$ также сходится.
- Если $\sum a_k$ расходится, то $\sum b_k$ также расходится.
Неформально, если «больший» ряд сходится, то сходится и «меньше». Если «меньшая» серия ныряет, то и «большая». 9{\infty}a_k $$ сходится, если последовательность частичных сумм сходится и расходится в противном случае.
Для определенного ряда один или несколько общих тестов сходимости
может быть наиболее удобным для применения.
[Я готов пройти тест.]
[Мне нужно просмотреть больше.]
4.4: Тесты сходимости — Сравнительный тест
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 13637
Эта страница является черновиком и находится в активной разработке.
Мы видели, что интегральный критерий позволяет определить сходимость или расхождение ряда путем сравнения его с родственным несобственным интегралом. В этом разделе мы покажем, как использовать сравнительные тесты для определения сходимости или расхождения ряда путем сравнения его с рядом, сходимость или расхождение которого известно. Обычно эти тесты используются для определения сходимости рядов, подобных геометрическим рядам или p-рядам. 9∞\dfrac{1}{n−1/2}\]
расходится.
Рисунок \(\PageIndex{1}\): (a) Каждая из частичных сумм данного ряда меньше соответствующей частичной суммы сходящегося \(p−ряда\). (b) Каждая из частных сумм данного ряда больше соответствующей частичной суммы расходящегося гармонического ряда.| \(к\) | 1 92}\) | 1 | 1,25 | 1. |
|---|